PROGRAMACION ENTERAA

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PROGRAMACION LINIAL ENTERA

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PROGRAMACION LINIAL ENTERA

INVESTIGACIN DE OPERACIONES I PROGRAMACIN LINEAL PASO A PASO

Ejemplo de Aplicacin N 01

Un sastre hace un pedido a la empresa textil Textiles TyC 700 rollos de tela Poliseda, de 42 centmetros de ancho, 480 rollos de 50 centmetros de ancho y 1200 rollos de 70 centmetros de ancho. Si Textiles TyC slo tiene rollos de tela de 1.45 metros de ancho. Expresar en un modelo de programacin lineal para indicar de cmo debe cortarse la tela para cubrir el pedido con el mnimo desperdicio posible, sabiendo que el mximo desperdicio de tela que se puede aceptar es de 25 centmetros (las telas deben ser cortadas en 5 tipos).

Solucin.

Construyendo una tabla con todos los datos para facilitar la solucin.

TC CRX1X2X3X4X5CantidadPedido

4230210700

5001120480

70010021200

Desperdicio19251135

I. PLANTEO DE MODELO MATEMTICO

1. Identificacin de Variables:

El primer paso a seguir en el desarrollo de problemas de Programacin Lineal(PL) es identificar las variables existentes en el enunciado.

X1: Cantidad de rollo del corte de tipo 1. X2: Cantidad de rollo del corte de tipo 2. X3: Cantidad de rollo del corte de tipo 3. X4: Cantidad de rollo del corte de tipo 4. X5: Cantidad de rollo del corte de tipo 5.

2. Funcin Objetivo:

Por lo comn la funcin objetivo (FO) en la PL busca maximizar o minimizar:costos, utilidades, cantidad de produccin, ventas, unidades, etc.

Para el caso se busca Minimizar el desperdicio de corte de tela en funcin de los tipos de corte en metros de la tela de 1.35 metros.

UNJFSCUNIVERSIDAD NACIONALJOSE FAUSTINO SANCHEZ CARRION

Programacin Lineal Entero

Min : C

19 X1

25 X2

11X 3

3 X 4

5 X 5

3. Restricciones:Como tercer paso debemos detallar o especificar las restricciones al cual esta inmerso el problema o enunciado, de acuerdo a los datos o condiciones que muestra en problema.

Restriccin de pedidos de rollos de tela de 42 centmetros: 3X1

2X3 X4

700Restriccin de pedidos de rollos de tela de 50 centmetros: X 2Restriccin de pedidos de rollos de tela de 70 centmetros: X 2

X 32 X 5

2 X 41200

480Condiciones de no negatividad: X1

0; X 2

0; X 3

0; X 4

0; X 5 0

4. Modelo Matemtico:Finalmente se realiza el modelo matemtico del problema, este paso es el ms importante puesto que involucra todo los dems pasos y si esta bien planteado nos facilita para determinar la solucin optima por los diferentes mtodos: Mtodo grfico, Mtodo Simples, etc.

Min : C

19 X1

25 X2

11X 3

3 X 4

5 X 5

S. A.3X1X 2X 2

2 X 3X 32 X 5

X 42 X 41200

700480X1 ; X 2 ; X 3 ; X 4 ; X 5 0

II. SOLUCIN POR MTODO GRFICO Ejemplo de Aplicacin N 02Mediante la solucin por el mtodo grfico encontrar la solucin optima del siguiente modelo matemtico:

Max : Z S. A.129 X1186 X 2

8 X17 X 2840

10 X117 X 21700

X 240

X10 ; X 20

Solucin:

Este mtodo es muy sencillo, puesto que slo consiste en graficar el modelo matemtico considerndolo las variables (X1=X, X2=Y), es decir es como graficar inecuaciones de primer grado.

Creo que la forma ms simple de graficar rectas es identificando las intersecciones con el eje X (X1) y el eje Y (X2).

Entonces, los puntos por donde pasan cada una de las restricciones:

RestriccionesPuntosX1X2(1) 8 X 7 X 84001201050(2) 10 X 17 X 170001041360(3) X 2 40IR401 2

1 2

Luego, la grfica que se obtiene es el siguiente:

En el grfico, las lneas azules son las restricciones dadas, la recta morada (la inferior) es la grafica de la funcin objetivo y el de la parte superior no es mas que la prolongacin del mismo (en forma paralela) hasta alcanzar el punto donde se encuentra ubicado la Solucin ptima (SO).En el grfico observamos que la solucin ptima (SO) es el punto de interseccin de las restricciones (1) y (2), entonces considerando como un sistema de cauciones determinamos los valores de las variables. S. O. 1 2

8X1

7 X 2

840

X 36.06

X 78.7910 X1

17 X 2

1700 1 2

Por lo tanto obtenemos que: S. O. = (36.06; 78.79) unidades.Z 129 36.06 186 78.79 19 306.68 Unidades monetarias

Donde Z es la funcin objetivo.Ejemplo de Aplicacin N 03

Una empresa fabrica los productos A, B y C y puede comercializar todo lo que produce a un precio de: 120, 350 y 680 dlares, respectivamente. El cuadro adjunto muestra los requerimientos de horas de trabajo, horas de acabado y materia prima por producto.

ProductoTrabajoAcabadoMateria Prima

A5 Horas2 Horas3 Unidades

B2 Horas3 Horas7 Unidades

C3 Horas1 Hora4 Unidades

Disponibilidad100 Horas200 Horas500 Unidades

Basndose en los datos proporcionados Formule y construya el modelo deProgramacin Lineal, de manera que maximice los ingresos por ventas de la empresa.

Solucin

1. Identificacin de Variables:

Lo primero que debemos hacer es identificar y definir las variables de decisin y expresarlas simblicamente.

X1: Unidades a producir de producto A X2: Unidades a producir de producto B X3: Unidades a producir de producto C

2. Funcin Objetivo:

Como ya sabemos que la FO slo pude ser maximizar o minimizar, para el caso se trata de maximizar, la FO debe estar expresada como una funcin lineal.

Objetivo: Maximizar ingresos de ventas de los productos A, B y C.

Max : Z

120 X1

350 X 2

680 X 3

Escribir el objetivo de esta forma es expresar en unidades fsicas uno de sus trminos. Este trmino presenta la informacin especfica de lo que contiene y permite confirmar la esencia fsica de lo que se est sumando y tambin que ello es consecuente con lo que se est obteniendo en el total de la ecuacin; en este caso, ingreso en dlares.

3. Restricciones:En este punto deben definirse las restricciones y tambin expresarlas como funciones lineales.

R2: Horas de acabado disponibles en este perodo; 2 X1 3X 2X 3 200R3: Disponibilidad limitada de unidades de materia prima; 3 X17 X 24 X 3500R1: Disponibilidad limitada de horas de trabajo; 1

2 X 2

3X 3

100

De esta manera las restricciones estn expresadas en unidades fsicas. Se destaca en cada una de ellas alguno de sus trminos, con indicacin de lo que representa. Esto confirma que lo que se est sumando es consecuente con lo que se est obteniendo del lado derecho de la ecuacin.

4. Modelo Matemtico:

Por ltimo, incorporando las restricciones y las condiciones de no negatividad de las variables de decisin, se resume as el modelo matemtico:

Max : ZS. A.

120 X1

350 X 2

680 X 35 X12 X13X1

2 X 23X 27 X 2

3X 3X 34 X 3

100200500X1 , X 2 , X 3 0

Ejemplo de Aplicacin N 04

La Cmara de Industria del Per promueve peridicamente servicios pblicos, seminarios y programas de especializacin. Actualmente los planes de promocin para este ao estn en marcha. Los medios alternativos para realizar la publicidad as como los costos y la audiencia estimados por unidad de publicidad, adems de la cantidad mxima de unidades de publicidad en que puede ser usado cada medio se muestran en el cuadro siguiente.

RestriccionesTelevisinRadioPrensa

Audiencia por unidad de publicidadCosto por unidad de publicidadUso mximo del medio10 0002 000 $151 800350 $204000620 $10

Para lograr un uso balanceado de los medios, la publicidad en radio no debe exceder el60% del total de unidades de publicidad autorizados. Adems la cantidad de unidadessolicitadas en televisin debe ser al menos 15% del total autorizado. El presupuesto total para promociones se ha limitado a 12.500 dlares.

Solucin

1. Identificacin de Variables:

Lo primero que debemos hacer es identificar y definir las variables de decisin y expresarlas simblicamente.

X1: Unidades de publicidad a contratar en televisin. X2: Unidades de publicidad a contratar en radio.X3: Unidades de publicidad a contratar en prensa.

2. Funcin Objetivo:

Objetivo: Maximizar la audiencia total o cantidad de personas que ven la publicidad.

Max : Z

1000 X1

1800 X 2

4000 X 3

3. Restricciones:

R1: Disponibilidad limitada de presupuesto para la publicidad:2000 X1

350 X 2

620 X 3

12500R2: Uso mximo de medios para la publicidad: R3: Uso mximo de medios para la publicidad:R4: Uso mximo de medios para la publicidad:

X1 15X 2 20X 3 10R5: Publicidad limitada a un mximo de 60% en radio, con relacin al total deunidades a contratar: X 2

0.6 X1 X 2 X 3R6: La cantidad de unidades solicitadas en televisin debe ser al menos 15% deltotal autorizado. X1

0.15 X1 X 2 X 3

4. Modelo Matemtico:

Por ltimo, incorporando las restricciones y las condiciones de no negatividad de las variables de decisin, se resume as el modelo matemtico:

Max : ZS. A.

1000X1

1800 X2

4000 X 32000X1

350 X2

620 X3

12500X1 15X 2 20X 3 10X 2 0.6 X1 X 2 X 3X1 0.15 X1 X 2 X 3X1 , X 2 , X 3 0

Ejemplo de Aplicacin N 05

El Banco Azteca atiende de lunes a viernes de 8 a.m. a 4p.m. De experiencias pasadas sabe que va a necesitar la cantidad de cajeros sealados en la tabla dada. Hay dos tipos de cajeros: los que trabajan tiempo completo de 8 am a 4 pm, los cinco das, excepto la hora que utilizan para almorzar.

Periodo de tiempo8-9am9-10am 10-11am11-12m12-1pm1-2pm2-3pm3-4pm

Cajeros requeridos43465688

El Banco determina cundo debe almorzar cada cajero, pero debe ser entre las 12m y la 1 p.m. o entre la 1 p.m. y las 2 p.m. A los empleados a tiempo completo se les paga 180 $ la hora (incluida la hora de almorzar). Tambin hay trabajadores a tiempo parcial que deben trabajar exactamente 3 horas consecutivas cada da y se le paga 110 $ la hora, sin ningn otro pago. A fin de mantener la calidad del servicio el Banco desea tener un mximo de 5 cajeros contratados a tiempo parcial, es decir, se desea minimizar los costos de empleados contratados.