Instituto Tecnolgico de VillahermosaIngeniera en Sistemas Computacionales -Investigacin de Operaciones-Unidad 3: Programacin no Lineal (Optimizacin clsica y caractersticas, puntos de inflexin, mximos y mnimos)Alumno: Kevin Ivn Soria AguirreProfesora: Norma Anglica Ibarra LunaVillahermosa, Tabasco. 08/06/2014

INTRODUCCIN

Desde la dcada de los 60 la programacin lineal (PL) ha sido aplicada en diversas reas de la vida como por ejemplo: sistemas militares, agrcolas, econmicos, de transporte y de salud. La PL ofrece bases importantes en el desarrollo de mtodos de solucin de otras tcnicas de la Investigacin de operaciones, como lo son la programacin entera, la estocstica y la no lineal [Taha 1991].

La PL juega un papel muy importante en el estudio de los problemas continuos de optimizacin considerados como la frontera de los problemas de optimizacin combinatoria, ya que en los continuos se tienen las caractersticas necesarias para que sean considerados dentro del tipo combinatorio [Papadimitriou and Steiglitz, 1982]: Un problema de optimizacin combinatoria siempre se le involucra un conjunto de instancias, donde cada una de ellas cuenta con un conjunto finito de posibles soluciones (caracterstica imprescindible de los problemas continuos). Por otra parte la teora de optimizacin clsica se usa para la obtencin de los mximos y mnimos de funciones no lineales restringidas y no restringidas, en los que se hace uso del clculo diferencial.

El problema deprogramacin no linealpuede enunciarse de una forma muy simple:Maximizar una funcin objetivoOMinimizar una funcin objetivo (de coste)Donde

3.1 CONCEPTOS BSICOS

Programacin no lineal Enmatemticas,Programacinno lineal(PNL) es elproceso deresolucin de un sistema de igualdades y desigualdades sujetas a un conjunto de restricciones sobre un conjunto de variables reales desconocidas, con un funcin objetivo a maximizar (o minimizar), cuando alguna de las restricciones o la funcin objetivo no son lineales. Si la funcin objetivofes lineal y elespaciorestringido es unpolitopo, el problema es deProgramacin linealy puede resolverse utilizando alguno de los bien conocidosalgoritmos de programacinlineal.

Si la funcin objetivo esconcava(problema de maximizacin), oconvexa(problema de minimizacin) y el conjunto de restricciones esconvexo, entonces se puede utilizar el mtodo general deOptimizacin convexa.Existe una variedad de mtodos pararesolver problemasno convexos. Uno de ellos consiste en utilizar formulaciones especiales deproblemas de programacinlineal. Otro mtodo implica el uso de tcnicas deRamificacin y poda, cuando el problema se divide en subdivisiones a resolver mediante aproximaciones que forman un lmite inferior del coste total en cada subdivisin.

Mediante subdivisiones sucesivas, se obtendr una solucin cuyo coste es igual o inferior que el mejor lmite inferior obtenido por alguna de las soluciones aproximadas. Esta solucin es ptima, aunque posiblemente no sea nica. El algoritmo puede ser parado antes, con la garanta de que la mejor solucin ser mejor que la solucin encontrada en un porcentaje acotado. Ello se utiliza en concreto en problemas importantes y especialmente difciles y cuando el problema cuenta con costes inciertos o valores donde la incertidumbre puede ser estimada en un grado de fiabilidad apropiado.Lascondiciones de Karush-Kuhn-Tuckerproporcionan las condiciones necesarias para que una solucin sea ptima.

3.2 ILUSTRACIN GRFICA DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIN NO LINEAL

Existe una variedad de mtodos para resolver problemas no convexos. Uno de ellos consiste en utilizar formulaciones especiales de problemas de programacin lineal. Otro mtodo implica el uso de tcnicas de Ramificacin y poda, cuando el problema se divide en subdivisiones a resolver mediante aproximaciones que forman unlmite inferiordel coste total en cada subdivisin. Mediante subdivisiones sucesivas, se obtendr una solucin cuyo coste es igual o inferior que el mejor lmite inferior obtenido por alguna de las soluciones aproximadas.

Esta solucin es ptima, aunque posiblemente no sea nica. El algoritmo puede ser parado antes, con la garanta de que lamejor solucinser mejor que la solucin encontrada en un porcentaje acotado. Ello se utiliza en concreto en problemas importantes y especialmente difciles y cuando el problema cuenta con costes inciertos o valores donde la incertidumbre puede ser estimada en un grado de fiabilidad apropiado.

3.3 TIPOS DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIN NO LINEAL

Si la funcin objetivo f es lineal y el espacio restringido es un politopo, el problema es de Programacin lineal y puede resolverse utilizando alguno de los bien conocidos algoritmos de programacin lineal.Si la funcin objetivo es concava (problema de maximizacin), o convexa (problema de minimizacin) y el conjunto de restricciones es convexo, entonces se puede utilizar el mtodo general de Optimizacin convexa.Los tipos deproblemas de programacin no lineal son:

1. Optimizacin no restringida.2. Optimizacin linealmente restringida.3. Programacin cuadrtica4.Programacin convexa.5. Programacin separable.6. Programacin no convexa.7. Programacin geomtrica.8. Programacin fraccional.9. Problema de complementariedad.

3.4 OPTIMIZACIN CLSICA

Representacin de mximos y mnimos en una funcin con una sola variable, tcnicas de optimizacin clsica, Mtodo de derivadas restringidas (Jacobiano), Mtodo de Newton, explicacin del mtodo simplex, programacin no lineal, mtodos de gradiente.Optimizacin clsica

En el caso ms simple, unproblema de optimizacinconsiste enmaximizar o minimizarunafuncin realeligiendo sistemticamente valores deentrada(tomados de un conjunto permitido) y computando elvalorde la funcin. La generalizacin de la teora de la optimizacin y tcnicas para otras formulaciones comprende un rea grande de lasmatemticas aplicadas. De forma general, la optimizacin incluye el descubrimiento de los "mejores valores" de alguna funcin objetivo dado undominiodefinido, incluyendo una variedad de diferentes tipos de funciones objetivo y diferentes tipos de dominios.

Si la restriccin no existe, o es una restriccin de igualdad, con menor o igual nmero de variables que la funcin objetivo entonces, el clculo diferencial, da la respuesta, ya que solo se trata de buscar los valores extremos de una funcin.

Unproblema de optimizacin puede ser representado de la siguiente formaDada:unafuncinf:ARdondeAes unconjuntodenmeros reales.Buscar:un elementox0enAtal quef(x0) f(x) para todoxenA("minimizacin") o tal quef(x0) f(x) para todoxenA("maximizacin").Tal formulacin es llamada unproblema de optimizacino unproblema de programacin matemtica(un trmino no directamente relacionado a laprogramacin de computadoras, pero todava en uso por ejemplo en laprogramacin lineal- verHistoriadebajo). Muchos problemas tericos y del mundo real pueden ser modelados en este esquema general. Problemas formulados usando esta tcnica en los campos defsicayvisin por computadorase refieren a la tcnica comominimizacin de la energa, hablando delvalorde la funcinfrepresentando la energa delsistemaque est siendomodelado.

Tpicamente,Aes algnsubconjuntodelespacio EuclidianoRn, con frecuencia especificado por un conjunto derestricciones, igualdades o desigualdades que los elementos de Atienen que satisfacer. EldominioAdefes llamado elespacio de bsquedao elconjunto de eleccin, mientras que los elementos deAson llamados soluciones candidatas o soluciones factibles.La funcinfes llamada, diversamente, unafuncin objetivo,funcin de costo(minimizacin),2funcin de utilidad indirecta(minimizacin),3funcin de utilidad(maximizacin), o, en ciertos campos,funcin de energa, oenergafuncional. Una solucin factible que minimice (o maximice, si este es el propsito) la funcin objetivo, es llamada unasolucin ptima.Por convenio, el formato estndar de un problema de optimizacin est declarado en trminos de minimizacin. Generalmente, a menos que ambas, la funcin objetivo y la regin factible sean convexas en un problema de minimizacin, puede haber varios mnimos locales, donde unmnimo localx*se define como un punto para el cual existe algn > 0, donde para todo x tal que

la expresin

es verdadera; es decir, en alguna regin alrededor de x*todos los valores de la funcin son mayores que o iguales al valor en ese punto. Elmximo localse define de modo similar.Un gran nmero de algoritmos propuestos para resolver problemas no-convexos incluyendo a la mayora de los solucionadores disponibles comercialmente no son capaces de hacer una distincin entre soluciones ptimas locales y soluciones ptimas rigurosas, y tratan a las primeras como soluciones actuales del problema original. La rama de las matemticas aplicadasy elanlisis numricoque se responsabiliza con el desarrollo de algoritmos deterministas que son capaces de garantizar convergencia en tiempo finito a la solucin ptima real de un problema no-convexo se llama optimizacin global.

3.4.1 PUNTOS DE INFLEXIN

Unpunto de inflexines unpuntodondelos valoresdexde una funcin continua pasan de un tipo deconcavidada otra. La curva "atraviesa" la tangente. Matemticamente laderivadasegunda de la funcinfen el punto de inflexin es cero, o no existe.En el clculo de varias variables a estos puntos de inflexin se les conoce comopuntos de ensilladura.En las funciones derivables reales de una variable real, para hallar estos puntos de inflexin, basta con igualar la segundaderivadade la funcin a cero y despejar. Los puntos obtenidos debern ser sustituidos en la derivada tercera o sucesiva hasta que nos d un valor diferente de cero. Cuando esto suceda, si la derivada para la que esdistinto de ceroes impar, se trata de un punto de inflexin; pero, si se trata de derivada par, no lo es. Ms concretamente:1. Se halla la primera derivada de2. Se halla la segunda derivada de3. Se halla la tercera derivada de4. Se iguala la segunda derivada a 0:5. Se despeja la variable independiente y se obtienen todos los valores posibles de la misma:.6. Se halla laimagen decadasustituyendo la variable dependiente en la funcin.7. Ahora, en la tercera derivada, se sustituye cada:Si, se tiene unpunto de inflexinen.Si, debemos sustituiren las sucesivas derivadas hasta sea distinto de cero. Cuando se halle la derivada para la queno sea nulo, hay que ver qu derivada es:Si la derivada es impar, se trata de unpunto de inflexin.Si la derivada es par,nose trata de unpunto de inflexin.La ecuacinno tiene puntos de inflexin, porque la derivada segunda es siempre mayor o igual a cero, por tanto no hay cambio deconcavidaddado que es no negativa en todo su dominio. Sin embargo enla derivada segunda se anula y la primera derivada no nula enes la derivada cuarta, que es par. Obsrvese quetampoco presenta un extremo en.

Unpunto de inflexines un punto donde cambia la curvatura de la funcin.Si x=a es un punto de inflexin f(a)=0

En el problema nos dan 2 datos:f(x) pasa por el punto (3,1), es decir f(3)=1x=3 es un punto de inflexin, es decir, f(3)=0

Con esta informacin, obtenemos b y df(3)=1 1=33+b32+2.3+d 1=27+9b+6+d 9b+d=-32f(x)=3x2+2bx+2f(x)=6x+2bf(3)=0 6.3+2b=0 18+2b=0 2b=-18 b=-18/2=-99b+d=-32; 9.(-9)+d=-32; -81+d=-32; d=-32+81; d=49Solucin: b=-9 y d=49

3.4.2 MXIMOS Y MNIMOS - EN PROGRAMACIN NO LINEAL

Los problemas de optimizacin se expresan a menudo con una notacin especial. A continuacin se muestran algunos ejemplos.Considere la siguiente notacin:

Esta denota elvalormnimo de la funcin objetivo, cuandoxse selecciona del conjunto denmeros reales. El valor mnimo en este caso esy ocurre para.De modo similar, la notacin

pregunta por el valor mximo de la funcin objetivo 2x, cuandoxpuede ser cualquier nmero real. En este caso, no existe tal mximo si la funcin objetivo es infinita, luego la respuesta es "infinito" o "indefinido".Argumentos de la entrada ptimaConsidere la siguiente notacin:

o de manera equivalente

Esta representa el valor (o valores) delargumentodexen elintervaloque minimiza (o minimizan) la funcin objetivox2+1 (el valor del mnimo actual de esta funcin no es por quien el problema pregunta). En este caso, la respuesta esx= -1, puesto quex= 0 no es factible, es decir no pertenece al conjunto factible.De modo similar,

o de manera equivalente

representa al par(o pares) que maximiza (o maximizan) el valor de la funcin objetivo, con la restriccin aadida de quexse encuentra en elintervalo(nuevamente, el valor del mximo actual de la expresin no importa). En este caso, las soluciones son los pares de la forma (5, 2k) y (5,(2k+1)), dondekrecorre a todos los enteros.Arg minyarg maxa veces aparecen escritos comoargminyargmax, y quieren decirargumento del mnimoyargumento del mximo.

Puntos minimax.

El punto minimax de la funcin lagrangiana es otro concepto relacionado con la solucin de un problema de optimizacin. Si bien su definicin no le hace til a la hora de la resolucin directa del problema, s constituye un paso intermedio muy importante en la obtencin del problema dual, que estudiaremos ms adelante. En esta seccin definimos dicho punto y estudiamos su relacin con otro concepto, el punto de silla de la lagrangiana.La relacin del punto minimax con la solucin del problema de programacin no lineal se obtiene de forma inmediata sin ms que tener en cuenta que:

Min L (x, ) = f (x) Max t [g(x) b]R m+R m+Si gi (x) bi 0, entonces i [gi(x) - bi] 0, luegoMax i ( gi (x) bi ) = 0R m+ (se alcanza en = 0).

Por tanto, si x X, Min L (x, ) = f (x) .R m+ Si gi (x) bi > 0, entonces Sup i [gi(x) - bi] = , por lo que en este caso no se alcanza el R m+ mnimo de la Lagrangiana.

Por tanto

Max Min L (x, ) = Max f (x) D R m+ X

As pues, si (x0, 0) es un punto minimax, x0 es una solucin ptima del problema original.CONCLUSIN

Se presento la teora clsica de optimizacin para encontrar mximos y mnimos de los problemas no lineales restringidos. Y la conclusin es que no es adecuada para fines de clculo. En el caso del mtodo simplex para sistemas lineales las condiciones de optimidad y factibilidad garantizan, partiendo de un punto extremo factible (solucin bsica), el poder mejorar el valor de la funcin objetivo hasta llegar al optimo en cada iteracin.

Referencias bibliogrficas

1. Conte S.D. y Boor C; Anlisis Numerico; McGraw-Hill, Mexico D.F., 1987.2. C.H. Papadimitriou and K. Steiglitz, "Combinatorial optimization: algorithms andcomplexity", Prentice Hall Inc., USA. ISBN 0-13-152462-3, 496 pp., 1982.3. H. A. Taha, Investigacin de Operaciones, Alfaomega, Mexico D.F., ISBN 0-02-418940-5, 989 pp., 1991.