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FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y TECNOLOGIAS

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SANTIAGO DEL ESTERO

December 18, 2012

Autor: Walter Toledo 30022/09 PI

Programacin Dinmica

Investigacin Operativa


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ndice

Resea Histrica. 2

La Programacin Dinmica. .. 3

Cuando Aplicar? 3

Principio de Optimalidad de la Programacin Dinmica o de Bellman.. 4

Procesos de Decisin de n Etapas.. 5

Relacin Recursiva (hacia atrs). 5

DP hacia atrs (backward DP).. 7

DP hacia adelante (forward DP).. 8

Programacin Dinmica en contraste con la Programacin Lineal.. 9

Ejemplos:

Problema del viajero o de la diligencia 11

Problema de la Mochila.. 12

Programacin de Produccin e Inventarios.. 12

Modelo Matemtico. ... 13

La Formulacin con Programacin Dinmica. . 13

Resolucin de un Problema de Programacin Dinmica. 14

Tipos de programacin dinmica:

Programacin dinmica homognea y no homognea... 15

Programacin dinmica determinista y aleatoria. 15

Conclusin.. 16

Bibliografa.... 17


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Historia

La primera gran disciplina que surgi a partir del abordaje matemtico de los

problemas especficos de la Segunda Guerra Mundial fue, seguramente, la InvestigacinOperativa1. El trmino Operations Research fue utilizado por primera vez en Inglaterra, en

1941.

Rpidamente se hizo evidente que las mismas tcnicas utilizadas en el mbito

militar podan servir en otras reas de aplicacin. En los aos posteriores a la Guerra se

abrieron nuevos temas de investigacin y se plantearon nuevos problemas, que fueron

abordados desde una perspectiva matemtica. Entre estos nuevos temas se encontraba la

teora de los Procesos de Decisin en Mltiples Pasos, que Richard Bellman (1920 - 1984)

abord alrededor de 1952, y para los cuales fue pensada originalmente la Programacin

Dinmica.

Despus de desarrollar el mtodo en el rea especfica de los problemas de

decisin discretos, Bellman y sus colaboradores se dedicaron a la ardua tarea de formular

diferentes problemas en los trminos de la Programacin Dinmica. Como resultado de

esta labor, encontraron que las ideas centrales del mtodo, en particular, el Principio de

Optimalidad, podan ser aplicadas satisfactoriamente en muchos de los problemas

abordados. Descubrieron tambin las limitaciones de esta tcnica y hallaron modos de

sobreponerse a ellas, para algunos problemas puntuales.

La Programacin Dinmica es, hoy en da, un recurso imprescindible de

Matemtica Aplicada y, tambin, una importante herramienta terica.


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La Programacin Dinmica

La programacin dinmica es un enfoque general para la solucin de problemas en

los que es necesario tomar decisiones en etapas sucesivas. Las decisiones tomadas en una

etapa condicionan la evolucin futura del sistema.

El procedimiento general de resolucin de estas situaciones se divide en el anlisis

recursivo de cada una de las etapas del problema, en orden inverso, es decir comenzando

por la ltima y pasando en cada iteracin a la etapa anterior.

Cuando Aplicar?

Existe problemas cuyas soluciones pueden ser expresadas recursivamente. No

obstante, el tiempo de ejecucin de la solucin recursiva, es de orden exponencial

y por tanto es muy difcil y costoso implementarlo pero puede mejorarse mediante

la Programacin Dinmica.

En el diseo Divide y Vencers se basa en resolver un problema dividiendo en

subproblemas independientes, los cuales se resolvan de manera recursiva para

combinar finalmente las soluciones y as resolver el problema original.

La Programacin Dinmica consiste en resolver los subproblemas una sola vez,

guardando sus soluciones en una tabla para su futura utilizacin.

La Programacin Dinmica en la resolucin de problemas de optimizacin se

realiza mediante la obtencin de un valor ptimo que puede ser mximo o mnimo

dependiendo el caso particular al que se aborde.

La solucin de problemas mediante esta tcnica se basa en el llamado principio

ptimo enunciado por Bellman en 1957 y que dice: En una secuencia de decisiones

ptima toda subsecuencia ha de ser tambin ptima.


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El algoritmo de Programacin Dinmica esta compuesto por los siguientes pasos:

1. Planteamiento de la solucin como una sucesin de decisiones y verificacin de

que sta cumple el principio de ptimo.

2. Definicin recursiva de la solucin.

3. Clculo del valor de la solucin ptima mediante una tabla en donde se almacenan

soluciones a problemas parciales para reutilizar los clculos.

4. Construccin de la solucin ptima haciendo uso de la informacin contenida en la

tabla anterior.

Principio de Optimalidad de la Programacin Dinmica o deBellman

Dado un estado, la poltica ptima para las siguientes etapas no depende de la

poltica tomada en las etapas anteriores.

La decisin de ptima inmediata slo depende del estado en el que se est, no de

cmo se lleg hasta l. Toda la informacin sobre el pasado se resume en el estado en que se

encuentra.

Una vez conocida la solucin ptima global, cualquier solucin parcial que involucre

slo una parte de las etapas es tambin una solucin ptima.

Todo subconjunto de una solucin ptima es a su vez una solucin ptima para un

problema parcial.


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Procesos de Decisin de n Etapas.

Un proceso de decisin de n etapas es el que puede descomponerse encierto

nmero de pasos. Cualquiera sea la forma de completar una etapa, se llama decisin y la

secuencia de decisiones a lo largo de las etapas, se denomina poltica. En la resolucin de

un problema se busca la poltica ptima que optimice el problema.

La condicin del proceso en una etapa, se denomina estado en esa etapa y cada

decisin produce un cambio de estado o transicin del estado actual a un estado asociado

con la siguiente etapa. Es decir, que en cada decisin se pasa de un estado actual a un

estado asociado con la prxima etapa.

Relacin Recursiva (hacia atrs)

Define la poltica ptima en la etapa k, conocida la poltica ptima en cualquier

estado de la etapa k + 1.


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I. Xk estado actual en la etapa k.

II. ukvariable de decisin en la etapa k.

III. Xk+1 estado al que se llega en la etapa k + 1 dependiente del estado inicial Xky de la decisin uk.

IV. fk(Xk)valor acumulado de la funcin objetivo para el estadoXk desde la etapa

k hasta N.

V. C xk,uk. valor inmediato de tomar la decisin ukdesde el estado Xk

VI. Coste acumulado desde una etapa k hasta el final para un estadoXk, f*k(xk) =

Coste inmediato de dicha etapa C xk,uk.+ Coste acumulado desde una etapa k +

1 hasta el final para un estadoXk+1, f*k+1(xk+1)

Ejemplo: problema del viajero

El viajero desea ir de la ciudad A a la J por el camino ms corto.


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DP hacia atrs (backward DP)

Empezamos por la etapa k = 4

Para la etapa k = 3

Para la etapa k = 2

Finalmente en la etapa k = 1

Ruta ptima: A C E H J 4+3+1+3=11

D E H J 3+4+1+3=11

D F I J 3+1+3+4=11


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ii) Cul es la ruta con ese costo mnimo.

Para ir desde su oficina hasta el lugar donde est la cosecha debe atravesar varias

ciudades. En su camino debe pasar por 3 ciudades antes de llegar a su destino, y algunos

lugares posibles en esas ciudades. Las posibles rutas, y el costo asociado por Km. de

distancia y otros es en $, se ven en el siguiente esquema:

Para ir de 1 a 13 hay 48 rutas posibles. Una posibilidad para encontrar la

solucin es calcular el valor asociado a cada una y ver cual es la que proporciona el menor

costo. Y si fuesen miles de rutas? Por se descarta esa alternativa y se usa el mtodo de la

programacin Dinmica, donde se resuelve desde el final hacia el inicio, y hay etapas y

estados.

Etapas: Son 4 etapas en este caso:

La etapa 1 es decidir ir del estado inicial 1 al estado 2, 3, 4 o 5 que son los puntos

posibles en el sector siguiente. La etapa 2 es decidir ir a 6, 7 u 8.

La etapa 3 es decidir ir a 9, 10, 11 o 12.

La etapa 4 es decidir a 13.


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Estado: Lugar donde se encuentra. La etapa 1 tiene 1 estado: el 1. La etapa 2 tiene 4

estados: 2, 3, 4, 5. La etapa 3 tiene 3 estados: 6, 7, 8. La etapa 4 tiene 4 estados: 9, 10,

11, 12.

Clculos

n = 4

S \ X4 13 F4* X4*

9 12 12 13

10 16 16 13

11 15 15 13

12 14 14 13

n = 3

S \ X3 9 10 11 12 F3* X3*

6 3+12=15 2+16=18 1+15=16 3+14=17 15 9

7 4+12=16 1+16=17 4+15=19 6+14=20 16 9

8 2+12=14 3+16=19 6+15=21 5+14=19 14 9

n=2

S \ X2 6 7 8 F2* X2*

2 9+15=24 4+16=20 6+14=20 20 7 , 8

3 5+15=20 7+16=23 4+14=18 18 8

4 9+15=24 10+16=26 8+14=22 22 8

5 9+15=24 10+16=26 11+14=25 24 6

n = 1

S \ X1 2 3 4 5 F1* X1*

1 7+20=27 6+18=24 5+22=27 6+24=30 24 3

Respuesta:El ptimo es: 24

La solucin ptima es: X1

= 3; X2

= 8; X3

= 9; X4

= 13.


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La ruta ptima es: 1 3 8 9 13

Respuesta al problema planteado:

El Ingeniero Forestal tiene un costo mnimo de $24 para ir desde su oficina al lugar

de cosecha, y ese mnimo lo puede lograr yendo desde su oficina al lugar 3 luego al lugar 8

luego al lugar 9 y de ah al lugar 13, que es donde est la cosecha.

Problema de la Mochila.

Existen N diferentes tipos de artculos que pueden cargarse en una mochila; cada

artculo tiene asociados un peso y un valor. El problema consiste en determinar cuntas

unidades de cada artculo se deben colocar en la mochila para maximizar el valor total.

Programacin de Produccin e Inventarios

El problema consiste en determinar un programa de produccin para un periodo

de tiempo con el fin de minimizar los costos totales. Hay demandas conocidas para cada

periodo, lmites de capacidad tanto para la produccin como para los inventarios

(almacenamiento). Cuando hay ms produccin que demanda, se acumula inventario, y


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cuando la produccin es menor que la demanda, se generarn retrasos en el

cumplimiento de pedidos (backorder). Para cada periodo, una produccin no-cero incurre

en un costo de preparacin. En programacin dinmica, el costo variable se expresa como

una funcin de la produccin (P), el inventario (H), y backorder (B).

Modelo Matemtico.

Genricamente un modelo matemtico que representa un tipo importante de

procesos de decisin de etapas se expresa como:

Opt Z =f1(x1)+ f2(x2)++ fn(xn)Sujeta a las siguientes restricciones:

x1+x2+x3++xn b ; xn con n = 1, 2, 3, ..... (Ensima decisin) son las

variables de decisin que representan el destino inmediato de la etapa n.

En el modelo todas las variables son enteras positivas y f1(x1); f2(x2);; fn(xn)son funciones conocidas no lineales de una sola variable y b es un nmero entero no

negativo conocido. n representa el nmero de etapas en que se descompone el

problema.

La Formulacin con Programacin Dinmica

Ahora bien, al comenzar la asignacin, es decir, en el momento de decidir el valor

x1, estamos limitados por las restricciones 0 x1 P. Una vez dado x1el monto total conel que contamos habr disminuido a P x1, por lo que las restricciones para la

determinacin de x2 sern 0 x2 (P x2). Siguiendo este razonamiento, cuando se

hayan determinado los valores x1, x2, x3,.., xk, las restricciones de la asignacin

correspondiente a la actividad k + 1 sern: 0 xk+1 P (x1+x2+x3+.+xk).

El Principio de Optimalidad nos dice que el valor xk+1de una asignacin ptima

para las N actividades con un monto inicial P corresponde, a su vez, a una asignacin

ptima de las actividades k + 1,..., N con un monto inicial z = P ( x1+x2+x3+.+xk). Lainformacin esencial con la que debemos contar a cada paso es, entonces, el nmero de la

actividad sobre la cual estamos decidiendo y la cantidad de pesos que restan distribuir.


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Por lo tanto, un estado deber ser un par (k, z), con k el nmero de la actividad que

debemos asignar y z el dinero disponible. Llamando f a la funcin ptima, la Ecuacin

Funcional del problema es:

Donde:

o P es la cantidad de dinero con la que contamos.

o Las actividades estn numeradas desde 1, 2,., N a las cuales le

corresponde una funcin de ganancias g1, g2,, gN.

o Si Xi es la cantidad de pesos que se asigna a la actividad i, gi(xi) ser laganancia proporcionada por esta actividad.

Resolucin de un Problema de Programacin Dinmica

Para resolver un problema de programacin dinmica debemos al menos contemplar:

Cada etapa debe tener asociado una o mas decisiones (problema de

optimizacin), cuya dependencia de las decisiones anteriores esta dadaexclusivamente por las variables de estado.

Cada estado debe contener toda la informacin relevante para la toma de

decisin asociada al periodo.

Las variables de decisin son aquellas sobre las cuales debemos definir su

valor de modo de optimizar el beneficio acumulado y modificar el estado

de la prxima etapa.

Descripcin de ecuaciones de recurrencia: Nos deben indicar como se acumula la

funcin de beneficios a optimizar (funcin objetivo) y como varan las funciones de estado

de una etapa a otra.

Resolucin, debemos optimizar cada subproblema por etapas en funcin de los

resultados de la resolucin del subproblema siguiente. Notar que las para que las

recurrencias estn bien definidas requerimos de condiciones de borde.


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Tipos de programacin dinmica

En principio, los problemas de programacin dinmica pueden clasificarse segn

dos criterios: su homogeneidad o no homogeneidad, y su carcter determinista o

aleatorio.

a) Programacin dinmica homognea y no homognea

Diremos que un modelo de programacin dinmica es homogneo si presenta la

misma estructura para todas las etapas del sistema. Ms concretamente:

El sistema puede presentar los mismos estados en cualquiera de sus

etapas.

Los valores posibles de las variables de decisin para cada uno de los

estados son las mismas para todas las etapas del sistema.

La funcin a optimizar es la misma para todas las etapas del sistema.

La evolucin del sistema, para un determinado estado y para un

determinado valor de la variable de decisin de los disponibles para dicho

estado, es la misma para todas las etapas del sistema.

Una consecuencia de esta definicin es que un modelo de programacin dinmica

homognea puede evolucionar indefinidamente en el tiempo, esto es, el nmero posible

de etapas es infinito. Entonces podemos plantearnos analizar su evolucin para un

nmero infinito de etapas o para un nmero finito de stas.

Cuando el modelo no cumple alguna de estas condiciones, tenemos programacin

dinmica no homognea. Todos aquellos modelos que tengan un nmero finito de etapas

posibles entrarn dentro de esta categora. Tambin puede suceder que el nmero de

etapas sea infinito, aunque los problemas de programacin dinmica no homognea

suelen ser de horizonte finito.

b) Programacin dinmica determinista y aleatoria

Esta categora tiene que ver con la naturaleza de la evolucin del sistema, una vez seha tomado la decisin. Cuando, en una etapa determinada, podemos conocer con certeza

la evolucin del sistema para un determinado estado y un determinado valor de la

variable de decisin, tenemos un modelo de programacin dinmica determinista. Para

estos modelos, podremos determinar las decisiones que, en cada etapa, dan el valor

ptimo de la funcin de recurrencia.


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Si, para una etapa determinada, en un estado cualquiera i, al escoger un determinado

valor de la variable de decisin, encontramos que el sistema puede evolucionar hacia

diferentes estados j de la siguiente etapa con una probabilidad conocida pij,entonces el

modelo es de programacin dinmica aleatoria. En este caso, podremos determinar las

decisiones que optimicen el valor esperado de la funcin de recurrencia.

Conclusin

La Programacin Dinmica es una tcnica que permite la optimizacin desoluciones a problemas adaptandandolos a la metodologa divide y vencers,

fraccionando el problema en subproblemas y solucionando a cada uno de ellos mediante

el uso de la recursividad para luego combinar estas soluciones parciales para obtener la

solucin al problema. Cabe destacar que para que un problema se pueda resolver

mediante la Programacin Dinmica debe cumplir ciertas caractersticas para que pueda

ser tratado como as.

Conviene resaltar que a diferencia de la programacin lineal, el modelado de

problemas de programacin dinmica no tiene una forma estndar. As, para cada

problema es necesario especificar cada uno de los componentes que caracterizan un

problema de programacin dinmica.

Sin embargo un aspecto realmente destacable es la posibilidad de amplio campo

de aplicacin que posee la programacin dinmica, que desde un turista queriendo viajaro la posibilidad de combinar objetos de una mochila para ahorrar espacio o tambin la

planificacin de programacin de produccin e inventarios y sin olvidarse de la gran

importancia que posee la Programacin Dinmicaen la informtica.


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Bibliografa

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Bohorquez Jaime y Cardozo Rodrigo, Programacin Dinmica, Anlisis de

Algoritmo 1992.

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Noviembre del 2008.

Goic F. Marcel, Programacin Dinmica, Universidad de Chile, Facultad de Ciencias

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Jos Pedro Garca Sabater y Julien Maheut, Modelos y Mtodos de Investigacin

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Webgrafia

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