Projecte final de carrera. Salvador Serra, Moisès Morató.
-
Upload
moises-morato-gueell -
Category
Documents
-
view
235 -
download
4
description
Transcript of Projecte final de carrera. Salvador Serra, Moisès Morató.
Desembre 1999
PROJECTE FINAL DE CARRERA
Estudi i simulació del nucli d’un conductivímetre.
Autors
Moisès Morató Güell Salvador Serra Abellán
Projecte final de carrera
Capítol 1 Presentació del Projecte
1.1 Proposta i objectius 1.2 Fases del projecte 1.3 Contingut
Projecte final de carrera
1. INTRODUCCIÓ 1.1 PROPOSTA I OBJECTIUS
El present projecte va sorgir com a proposta del Departament de Màquines i Motors
Tèrmics de l’U.P.C., davant el seu dubte sobre el funcionament correcte del
Conductivímetre instal·lat en l’Escola Tècnica Superior d’Enginyers Industrials de
Barcelona. L’objectiu inicial era la comprovació de funcionament del conductivímetre per
comparació TCFCM N-20 adquirit, així com la preparació de la instrumentació necessària.
Una primera fase experimental per tal de comprovar el mecanisme funcional del
conductivímetre i familiarització amb els elements que el composen, evidencià que la
precisió obtinguda en les experiències era prou deficient, com alguns experimentadors
havien comprovat amb anterioritat.
Aquest fet va ser el decisiu per tal que el Departament decidís definir clarament l’objectiu
final del projecte, com una avaluació dels paràmetres influents del conductivímetre en
aquest aspecte. De la mateixa manera, s’acordà que seria de profund interés la
investigació, sense modificar els paràmetres principals del conductivímetre, de factors
tant metodològics com instrumentals per tal de millorar la precisió en la mesura de
conductivitats, essent aquesta la funció principal que està definida en un conductivímetre.
1.2 FASES DEL PROJECTE
En una primera fase del projecte, s’analitzen amb profunditat els antecedents, entre els
quals es destaquen el procediment d’obtenció de resultats, arquitectura del
conductivímetre, elements de mesura principals (termoparells) i d’altres factors no menys
importants com el factor humà.
Un cop recapitulades aquestes dades, es van documentar els coneixements amb
assistències a Empreses i Departaments diversos, entre els quals cal destacar les visites
a un proveidor de termoparells (SEDEM) i especialistes en mesures de caràcter físic en el
Laboratori General d’Assaigs i Investigacions pertanyent a la Generalitat de Catalunya.
Projecte final de carrera
La segona fase consisteix en l’anàlisi complert del sistema actual i procediment, en el
qual es detecten els elements cabdals que afecten a la determinació de la conductivitat,
amb els quals es passa a atacar mitjançant diverses estratègies la metodologia i pràctica
realitzada fins el moment.
Fig. 1.1 Esquema del procediment de treball en el projecte
FASES DEL PROJECTEFASES DEL PROJECTE
ANTECEDENTS1.- Grans errors en l’obtenció de conductivitats.2.- Manca d’operativa.3.- Acceptació a priori d’hipòtesis simplificatives.4.- Assignació injustificada d’errors.
Peces
Conductivímetre Termopars Procediment
Factor humà
EXPERIMENTACIÓTCFCM N-20 Holometrix
(Planta 7 ETSEIB)
CONSULTES IDOCUMENTACIÓ
-SEDEM-LGAI (Generalitat de
Catalunya)-Dpt. Cibernètica ETSEIB
SIMULACIÓblocs de programes
SIMUL
Mètode IN SITUCreació de metodologia
Anàlisi del sistemaactual
EXPERIMENTACIÓTCFCM N-20 Holometrix
(Planta 7 ETSEIB)
RESULTATS
Desenvolupament denou mètode per amillores
Detecció d’elementsque afecten a la
determinació de laconductivitat
Con
tras
t
correcció
Apl
icac
ió
Projecte final de carrera
Amb totes aquestes dades, s’inicia una nova fase d’experimentació, en la qual
s’introdueix l’anomenat Mètode In Situ, que depura els erros sistemàtics que sorgeixen en
els elements de mesura, i per extensió, en el càlcul d’estimació de la conductivitat
tèrmica.
Unaltra estratègia que reforça l’anterior ha estat la simulació numèrica del nucli funcional
del conductivímetre. Aquesta fase ha comportat l’elaboració de diversos programes
informàtics que han donat com a resultat una quantificació de l’error existent en la
determinació de la conductivitat, respecte el model teòric utilitzat fins ara.
Aquesta nova fase serà contrastada amb la fase anterior i serà la determinant per a la
construcció d’una nova metodologia o procediment de treball, proposat a fi i efecte de
millorar la precisió en la mesura, que és l’objectiu principal marcat com a fita en aquest
projecte.
Com a aportació principal d’aquest projecte, cal destacar la definició d’un mètode
experimental a seguir, si es volen eliminar aquells factors que distorsionen el càlcul i per
tant, el valor final estimat per a la conductivitat. Poden ser atractives per amplificar
aquestes millores el canvis en l’instrumentació proposats, de baix cost en relació amb la
inversió inicial del conductivímetre. També es proposen d’altres millores secundàries, de
caràcter mediambiental, i de facilitat de maneig, exposades en el Capítol 11.
1.3 CONTINGUT
En la recerca d’informació per a l’inici de la pròpia investigació, ha estat sorprenent la
quantitat d’informació trobada, elaborada al llarg de molts anys, tant en la recerca de
conductivitats de diferents materials, com en la investigació dels diferents elements que hi
participen en les diferentes màquines, essent la termometria del termoparell la que es
deriva ha estat la més atractiva tant per les seves múltiples aplicacions en el món
tecnològico-industrial com en el camp de laboratori. El ràpid desenvolupament tecnològic
durant les darreres décades han generat un increment en l’esforç per eixamplar els
coneixements de les propietats dels materials. Aquesta afirmació és veritablement certa
per aquelles propietats i valors necessaris per a l’avaluació de la transferència de calor, i
Projecte final de carrera
és vital per dissenyar més convenientment els elements que intervenen en la
transferència d’energia calorífica, tals com l’enginyeria nuclear, la investigació espacial i
d’altres àrees de la tecnologia moderna.
A més de la directa aplicació dels valors de les propietats en l’enginyeria computacional i
de disseny, existeix la necessitat dels científics (i de la Ciència) que intenten predir els
valors de les propietats per mecanismes estadístics, i que requereixen d’acurada
informació bàsica per verificar i provar els seus models. La predicció teòrica de les
propietats és de gran importància quan aquesta propietat necessita d’unes condicions on
la mesura n’és del tot impossible.
S’ha cregut oportú, incloure en la Memòria del present Projecte, i per introduir al
consultant al tema essencial en el qual es fonamenta el funcionament del
conductivímetre, uns capítols d’iniciació tant en la teoria de la transferència de calor
(Capítol 2), com dels diferents mètodes i mecanismes dels clàssics conductivímetres
existents (Capítol 3), fent menció especial els que tenen com a fonamentació la
transferència de calor en règim permanent, amb flux longitudinal, i de mesura per
comparació en el Capítol 5. Una breu però alhora interessant introducció a la teoria dels
termoparells en el Capítol 4 fonamenta el coneixement d’aquests elements per aquelles
persones que desconeixien els efectes sobre els quals es fonamenten.
En el Capítol 6 s’elabora una teoria sobre les possibilitats dels aïllaments i les maneres
d’optimitzar-los. Si es passa al Capítol 7 es troben diverses classificacions i tipologies
d’errors que es porten a terme en qualsevol experimentació en general.
Aquests capítols fonamenten el coneixement previ necessari per escometre, en tots els
detalls, els Capítols 8, i 9, on s’explica l’experimentació realitzada i les conclusions que
s’han obtingut, així com una valoració dels paràmetres de disseny que hi juguen en el
càlcul d’estimació de la conductivitat cercada. La simulació numèrica amb la varietat de
lligams entre variables és comentada en el Capítol 10, amb una introducció teòrica a
aquest tipus de simulació.El Capítol 11 i últim de la memòria inclou de manera resumida
les conclusions generals que s'han obtingut, i les propostes que d’aquestes conclusions
es deriven. La nova adquisió de material necessària per ampliar encara més les millores
en l’equip actual és nomenat en aquest Capítol.
Projecte final de carrera
Capítol 2 Fonaments teòrics de la transferència de calor
2.1 Concepte de la conducció de calor 2.2 La llei fonamental 2.3 Factors que afecten a la conductivitat tèrmica dels materials
Projecte final de carrera
2 FONAMENTS TEÒRICS DE LA TRANSFERÈNCIA DE
CALOR PER CONDUCCIÓ
2.1 CONCEPTE DE LA CONDUCCIÓ DE CALOR
El fenòmen de la conducció en sòlids és comunment interpretat com un simple canvi
intermolecular d’energia cinètica. Així, si les molècules d’un material conductor en el final
d’una vareta són escalfades, aquestes entren ràpidament en moviment i, per comunicació
mitjançant impactes elàstics amb les seves veines de menor energia cinètica, es van
posant successivament en moviment, i així segueix en tota la longitud de la vareta. Una
versió alternativa a aquesta es dibuixa a partir de la derivació de la conducció de calor a
partir del concepte de la direcció o corrent dels electrons; els bons conductors de calor
són també bons conductors del corrent elèctric, i des d’aleshores que la conducció de
l’electricitat és recollida en la teoria del corrent d’electrons lliures, sembla lògic atribuir la
conducció de calor al moviment d’electrons lliures o de valència (Llei de Wiedemann-
Franz). En ambdues teories, el que en transició es refereix com calor, en el procés propi
de transició és conegut com conducció.
Mentres el veritable mecanisme de la conducció de calor no és completament entés d’una
manera estricta (Sch 55), les lleis que governen aquest fenòmen són conegudes
fermament i conseqüents amb la Termodinàmica clàssica, i la llei particular que
caracteritza el fenòmen de la transferència de calor pot ésser establerta directament a
partir de l’evidència experimental.
2.2 LA LLEI FONAMENTAL
Una conseqüència de la segona llei de la Termodinàmica i de l’experiència és la que el
calor es pot intercanviar entre dos sistemes només si els dos sistemes són a diferent
temperatura, i que la direcció d’aquest flux de calor parteix des del sistema d’alta al
sistema de baixa temperatura.
Les condicions fonamentals per a la transferència de calor per conducció en l’interior d’un
sòlid són:
Projecte final de carrera
a) que existeixi un gradient de temperatura, i
b) que el flux resultant sigui en la direcció de decreixença de la temperatura.
Si el flux prové en proporció constant, aleshores la primera llei de la termodinàmica ens
diu que aquesta energia calorífica es conserva en tota la llargària del flux.
La llei bàsica que defineix quantitativament la conducció de calor s’atribueix al matemàtic
francès Jean Fourier (1768-1830). Respecte la Fig. 2.1, la forma unidimensional
d’entendre la Llei de Fourier estableix que la quantitat de calor dQ conduïda (o circulant)
en la direcció x d’un sòlid de material homogeni en un temps dt és proporcional al
producte de l’àrea de conducció A (normal al flux que segueix en la direcció x) pel
gradient de temperatura ∂T/∂x existent en un límit determinat. La proporció entre la
quantitat de flux circulant per unitat de temps i aquest producte és una propietat pròpia de
la conducció tèrmica del material coneguda com conductivitat tèrmica λ.
Fig. 2.1 Conducció tèrmica unidireccional
Si l’expressem aritmèticament
(2.1)
xTA
dtdQ
∂∂
−= λ
Projecte final de carrera
El signe negatiu és fixat arbitràriament, per tal d’obtenir el flux de calor Q positiu en el
sentit de temperatures decreixents. El tipus de procés mostrat segons l’equació (2.1), on
la temperatura T és funció del temps t i de l’espai x, és conegut com conducció transitòria,
i que contrasta amb el procés anomenat conducció estable, on la temperatura T només
és funció de l’espai. En aquest tipus darrer de conducció, tenim que dQ/dt = Q/t = q,
resultant
(2.2)
L’equació (2.1) definida com a Llei de Fourier, per a un flux transitori en un conductor
lineal, és deriva a partir de l’equació diferencial general establerta per a un volum
tridimensional.
Considerem un paral·lelepípede de material conductor, mostrat a la Fig. 2.2. Tractem el
cas general que el volum V=dxdydz genera un calor intern qT’’’, i que la conductivitat λT
del material no és uniforme, sino que depén de la temperatura. La quantitat total de calor
que travessa el diferencial de superfície dydz a una x vé donat per
(2.3)
Fig. 2.2 Balanç d’energia tèrmica en un volum diferencial
El gradient està expressat com a una derivada parcial, on T és també una funció de y i de
z. Per a determinar la corresponent quantitat de calor que abandona l’element a la posició
dxdTkAq −=
dtx
TdydzdQ xTx
∂
∂−= λ
Projecte final de carrera
x+dx, prenem F(x,T)=λT∂Tx/∂x i fem un increment dx a la posició x. Si operem, negligint
els termes a partir del 2on ordre, s’obté
(2.4)
i per tant
(2.5)
i es pot fer l’equació anàloga per a la conducció en les direccions y i z. La quantitat de
calor que incrementa l’energia interna de l’element volumètric vé donat com
(2.6)
i evidentment el calor total generat en el volum es correspon amb
(2.7)
Seguidament, es poden combinar els vuit components ( dos per a cada direcció, el calor
generat i el calor total), ja que s’ha de complir la conservació de l’energia.
(2.8)
que si desenvolupem,
(2.9)
L’equació amb derivades i diferencials més general per a la conducció de calor té la
mateixa forma, però on λT, C, w i qT’’’ són substituides per λ(x,y,z,T), C(x,y,z,T),
w(x,y,z,T) i q’’’(x,y,z,T,t), és a dir, amb la seva dependència espacial, temporal i de
temperatura. Per altra banda, l’equació (2.9) inclou la majoria dels casos de més interés.
Per exemple, si la conductivitat tèrmica del sistema és uniforme, aleshores el camp de
temperatura T(x,y,z,t) satisfarà l’equació general de la conducció de calor
(2.10)
dxxT
xxTdx
xFTxFTdxxF T
xT
∂∂
∂∂
+∂
∂=
∂∂
+=+ λλ),(),(
dtdxxT
xxTdydzdQ T
xTdxx
∂∂
∂∂
+∂
∂−=+ λλ
dttTCwdxdydzdE
∂∂
=
dxdydzdtqVdtqdQ TTg////// ==
dEdQdQdQdQdQdQdQ dzzdyydxxgzyx +++=+++ +++
tTCwq
zT
zyT
yxT
x TTTT ∂∂
=+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂ ///λλλ
tTq
zT
yT
xT T
∂∂
=+∂∂
+∂∂
+∂∂
αλ1///
2
2
2
2
2
2
Projecte final de carrera
on tenim una constant α que agrupa i es coneix amb el nom de difusivitat
tèrmica , una propietat dels materials conductors.
A partir de l’equació (2.10) es poden aplicar dues condicions diferents. Una és la condició
de no-generació de calor interna, qT’’’=0, de manera que la temperatura T(x,y,z,t) ha de
complir l’equació de Fourier
(2.11)
i l’altra condició, a partir de (2.10), és que si bé hi ha generació de calor, però les
temperatures es mantenen estables (constants respecte el temps), aleshores T(x,y,z)
haurà de complir l’equació de Poisson
(2.12)
Si apliquem les dues condicions a la vegada; condició estàtica i no generació de calor, el
camp de Temperatura T(x,y,z) complirà l’equació de Laplace
(2.13)
S’ha tractat en aquest capítol l’equació de Fourier, bàsica en el mecanisme del
conductivímetre per comparació que ens ocupa. La seva determinació per evidència i a
través de les equacions del balanç energètic serveixen per fonamentar l’experimentació
realitzada, i extreure les conclusions que en els Capítols 8 i 9 es mostren. Queda per
conèixer els valors de conductivitats tèrmiques d’alguns materials, així de la seva
dependència versus altres factors més coneguts.
Cwλ
α =
tT
zT
yT
xT
∂∂
=∂∂
+∂∂
+∂∂
α1
2
2
2
2
2
2
0///
2
2
2
2
2
2
=+∂∂
+∂∂
+∂∂
λTq
zT
yT
xT
02
2
2
2
2
2
=∂∂
+∂∂
+∂∂
zT
yT
xT
Projecte final de carrera
2.3 FACTORS QUE AFECTEN A LA CONDUCTIVITAT TÈRMICA DELS MATERIALS
La conductivitat tèrmica d’un cos depén de nombrosos factors (Mis 65), entre els que
podem destacar :
A) La composició química i la puresa, essent aquesta determinant pels cristalls
B) La constitució física pels sòlids, en particular:
a) el grau de cristal·lització, així com la grandària dels cristalls,
b) la porositat, la forma i la grandària dels porus, així com la seva orientació,
c) les anisotropies, la direcció del flux pot tenir una gran influència, particularment en
certs sistemes cristal·lins,
d) el corrent tèrmic, és a dir les temperatures prèvies que té el cos i la velocitat de
refredament,
C) La temperatura mitjana
D) La importància del flux de calor
E) La pressió.
En el cas especial dels metalls, des dels primers estudis sobre l’electricitat, era aparent
que els metalls eren tan bons transmissors de calor com tan bons conductors de
l’electricitat. D’aquí vingué la idea natural d’admetre que el ‘transport’ de la calor i de
l’electricitat es portava de la mateixa manera.
La conducció és l’únic mètode de transmissió d’energia tèrmica en les fases sòlides. La
transferència de calor mitjançant la conducció és un fenòmen que s’efectua de mol·lècula
a mol·lècula i s’aconsegueix a través de dos mecanismes.
El primer és la interacció mol·lecular, en el qual les mol·lècules de més energia cedeixen
energia tèrmica a mol·lecules veïnes amb un estat energètic inferior (indicat per la seva
temperatura). Aquest tipus de transferència té lloc en tots els sistemes formats per
Projecte final de carrera
mol·lècules, tant sols és necessari que existeixi un gradient de temperatura per que
aquest tipus de transmissió s’efectuï. Evidentment l’estat d’agregació de la matèria serà
un paràmetre que afectarà enormement a la conducció, per tant la facilitat per a conduir el
calor per conducció augmenta en l’ordre de gasos, líquids i sòlids.
El segon mecanisme de transferència de calor per conducció és el degut als electrons
lliures, els quals es presenten principalment en els sòlids metàl.lics purs. La concentració
d’electrons lliures varia considerablement per a les aleacions metàl.liques i és molt baixa
per als no metalls. La facilitat que tenen els sòlids per a conduïr la calor varia directament
amb la concentració d'electrons lliures. En consequència s'hauria d'esperar que els
metalls purs fossin els millors conductors de la calor, fet que està confirmat per
l'experiència.
Per als gasos, els valors de la conductivitat tèrmica mostren un increment amb l'augment
de la temperatura, fet que es deu a l'agitació tèrmica de les mol·lècules gasoses a
temperatures elevades que provoca un major freqüència de col·lisions, augmentant així
l'intercanvi mol.lecular.
Se ha desenvolupat una gran quantitat de treball analític en la predicció de la
conductivitat tèrmica en els gasos monoatòmics. Prenent com a hipòtesis que la
mol.lècula de gas és una esfera rígida, l'equació resultant per a la conductivitat és la
següent :
λπ
=⋅
⋅13
2 2
3
d
k Tm
(2.14)
On d és el diàmetre mol.lecular estimat, k la constant de Boltzmann, T la temperatura
absoluta i m la massa per mol.lècula.
Interacció mol.lecular
Electrons lliures Conducció
total
Projecte final de carrera
Aquesta equació prediu la conductivitat tèrmica en funció de la temperatura i independent
de la pressió. La dependència de la temperatura és una mica dèbil comparada amb els
resultats experimentals, no obstant és acceptable fins a una pressió de 10 atmosferes.
A la taula següent es mostra les conductivitats d’alguns sòlids:
Extret de Transferència de calor aplicada a la Ingenieria. James R. Welty.
λ (W/mK)
Material 20 ºC 100 ºC 200 ºC Metalls Alumini 228.45 228.45 230.18 Coure 385.95 379.02 368.64 Or 292.49 294.22 297.68 Ferro 73.21 67.50 54.69 Plom 35.13 33.40 29.77 Magnesi 172.20 167.53 158.19 Niquel 92.94 82.55 63.86 Platí 70.09 72.52 75.29 Plata 588.44 410.18 361.72 Estany 62.31 58.84 Tungsté 162.69 150.57 133.26 Urani 29.25 29.77 33.92 Zinc 112.50 109.03 100.38 Aleacions Alumini 2024 121.50 Llautó (70% Cu 30 % Zn) 106.96 127.9 147.63 Ferro fos 1.12 51.23 46.38 Nicrom V 12.22 13.83 17.20 Acer inoxidable 16.27 17.31 22.50 Acer dolç (1% C) 42.92 42.92 39.63 No metalls Asbest 0.16 0.19 0.22 Argila refrectària 1.12 Llàmina de suro 0.04 Terra diatomàcea (pols) 0.05 Vidre de finestra 0.78 Vidre, Pyrex 1.09 1.16 1.45 Marga arenosa 4% (H2O) 0.93 Llana de roca 0.04 0.06
En els materials sòlids i líquids, a diferència dels gasos , la conductivitat tèrmica és
essencialment independent de la pressió. La conductivitat en metalls purs tenim la
Projecte final de carrera
presència d'electrons lliures que augmenten considerablement les capacitats de
conducció de calor com també de la conducció elèctrica. Són molt conegudes les
propietats de conducció elèctrica dels metalls purs, i són les mateixes característiques
físiques que l'originen, les que també són responsables de que aquests materials siguin
millors conductors de la calor.
Projecte final de carrera
Capítol 3 Mecanismes de mesura de la conductivitat tèrmica
3.1 Introducció a la mesura de la conductivitat tèrmica 3.1.1 Generalitats 3.1.2 Mètodes d’avaluació del camp de temperatures 3.2 Mesura de conductivitats en sòlids 3.3 Mesures en sòlids de baixa conductivitat 3.3.1 Experimentació en règim permanent 3.3.2 Experimentació en règim transitori 3.4 Mesures en sòlids metàl·lics 3.4.1 Experimentació amb mètodes dinàmics 3.4.2 Experimentació amb mètodes estàtics 3.5 Conclusions
Projecte final de carrera
3 MECANISMES DE MESURA DE LA CONDUCTIVITAT TÈRMICA
3.1 INTRODUCCIÓ A LA MESURA DE LA CONDUCTIVITAT TÈRMICA
3.1.1 GENERALITATS
L’estudi de la transferència de calor per conducció està afectat principalment amb la
distribució de temperatura i la seva història en les estructures sòlides. En certs casos, la
determinació del camp de temperatures constitueix la solució per a la determinació de la
transferència de calor. Exemples d’això succeeix en el disseny de bobines elèctriques,
àleps de turbines, i d’altres estructures que han de treballar en les límits de temperatura
permesos. El disseny de sistemes d’altes temperatures com vehicles supersònics ó
reactors nuclears comporta el problema addicional de les altes tensions tèrmiques, i és
aquí unaltra vegada on el còmput d’aquesta tensió tèrmica depèn directament del
coneixement de la distribució de les temperatures existents.En algunes aplicacions, el flux
de calor travessa estructures com parets planes, tubs, així com superfícies canviadores
de calor, i ocasionalment pot ésser necessari el càlcul del domini de temperatures i el
flux. Sempre s’estarà per sobre el coneixement de la temperatura, perque en tots els
casos és la distribució de temperatures qui determina la transferència de calor, i aquesta
és, en general, impossible d’obtenir sense la primera, exceptuant l’experimentació directa.
3.1.2 MÈTODES D’AVALUACIÓ DEL CAMP DE TEMPERATURES
Es disposa essencialment de quatre mètodes per a l’avaluació d’aquests camps de
temperatura: (1) analític, (2) gràfic, (3) numèric, i (4) experimental.
Mètode analític
El mètode analític deriva a una solució matemàtica per a la temperatura com a funció de
les coordenades espai i temps. La solució ha de satisfer les equacions diferencials
característiques de les qual ha derivat, així com també d’unes condicions inicials de
contorn per a cada problema en particular. En quasi tots els casos, es necessària una
Projecte final de carrera
simplificació pràctica del sistema que aporta a una aproximació, amb la que la solució
obtinguda en aquestes circumstàncies no és “exacta”.
Mètodes gràfics
Les tècniques gràfiques es basen en les propietats dels dominis de les equacions i dels
principis numèrics, tenint com a principal avantatge el d’obtenir ràpidament una primera
aproximació a la solució.
Mètodes numèrics
El mètode numèric està basat en les diferències finites, i s’ha convertit en una tècnica
computacional d’aproximació. Aquest mètode és preferit per la seva flexibilitat, i acostuma
a dar bones solucions aproximatives al problema, sobretot quan aquest és intractable de
manera analítica. Com el mètode gràfic, tanmateix, per dreçar el sistema numèric és
necessària una possible parametrització.
Mètode experimental
Finalment, el mètode directe d’experimentació se sol reservar per aquells tipus de
problemes que no poden ésser tractats convenientment pels mètodes abans esmentats.
En el cas del conductivímetre, la informació final que es cerca és la de la conductivitat
d’un material, essent necessària la coneixença del flux calorífic sense saber-ne aquesta
conductivitat. Al no disposar d’aquesta dada, s’hauria de trobar el camp de temperatures
de la única manera possible: fent servir el mètode experimental.
La conductivitat tèrmica pot ser mesurada en qualsevol aparell que faciliti les condicions
de contorn requerides en una solució particular de l’equació de la conducció tèrmica de
Fourier.
(3.1)
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
=zT
zyT
yxT
xdtdTc zyx λλλρ
Projecte final de carrera
Per a un medi isotròpic, l’equació anterior queda
(3.2)
Aquesta equació és aplicada normalment a una geometria uni-direccional i la difusivitat
tèrmica a pot ésser avaluada de la distribució de temperatures T mesurades com a funció
del temps t. La conductivitat tèrmica pot ser determinada a partir de la capacitat tèrmica
cρ.
En el cas uni-dimensional de temperatures en règim permanent, i amb λ ≠ f(T), l’equació
(3.2) es transforma en
(3.3)
o bé (3.4)
per tal de determinar directament la conductivitat tèrmica. Pràcticament totes les mesures
de la conductivitat tèrmica són basades en les equacions anteriors (3.3) i (3.4); en canvi,
les condicions de contorn establertes en varis instruments i les correccions necessàries
difereixen d’un material a unaltre. És per això que s’estudia la determinació per als fluids i
per als sòlids separadament. El cas dels sòlids és la que interessa per al conductivímetre
en qüestió.
3.2 MESURA DE CONDUCTIVITATS EN SÒLIDS
La conductivitat tèrmica dels sòlids varia entre valors tan baixos com la que tenen els
gasos, a valors extremadament elevats. Els valors més elevats s’observen en els metalls,
especialment en aquells que tenen conductivitat elèctrica elevada. Aquest ampli rang fa
entendre que s’hagi de tractar separadament els casos de sòlids de conductivitat elevada
i els de baixa conductivitat. Per a ambdós casos, es podran fer experimentacions tal que
la recopilació de dades i mesures es faci o bé en règim transitori, o bé en règim
permanent. L’evolució de la informàtica i la rapidesa de captació de dades dels sensors
TatT 2∇=
∂∂
constantqperdxdTAq
dxTd
=−=
=
λ
02
2
Projecte final de carrera
versus una funció temporal permet actualment operar en un règim transitori sense que els
errors deguts a la temporalitat de les dades afectin a la determinació de la conductivitat.
3.3 MESURES EN SÒLIDS DE BAIXA CONDUCTIVITAT
3.3.1 EXPERIMENTACIÓ EN RÈGIM PERMANENT
L’equació (3.4) és principalment aplicada en fluxes lineals o radials de calor. Per a fluxos
lineals, els aparells usats tenen l’aspecte mostrat a la Fig. 3.1 ; instruments similars, amb
possibilitat de múltiples capes de substàncies són utilitzades. Les capes poden ésser
gruixudes ja que la convecció lliure no afecta. En el cas de líquids i gasos, el contacte
tèrmic amb les plaques escalfadores i refredadores estava assegurat, i l’increment de
temperatura en la “mostra” era la de les plaques, que es mesurava per sensors localitzats
en les superfícies conductores d’aquestes plaques.
Fig.3.1 Mecanisme de mesura de sòlids de baixa conductivitat
Per medis de baixa conductivitat, on la resistència de contacte no és la que més afecta,
s’utilitzen les mateixes tècniques per a mesurar la ∆T. Com més bon conductors siguin
aquests materials (aïllants), serà més important en aquests casos, el bon contacte entre
el material i les superfícies de l’escalfador i el refredador.
Una resistència de contacte baixa i uniforme normalment s’esdevé cada cop més difícil a
mesura que s’incrementa la temperatura i per a materials més conductors. En aquests
casos és avantatjós proveir un pobre, però uniforme contacte mitjançant capes aïllants
Projecte final de carrera
entre les superfícies escalfadores i refredadores amb la peça. Això porta a la reducció
dels problemes de contacte tèrmic quan es pertorben els gradients de temperatura.
3.3.2 EXPERIMENTACIÓ EN RÈGIM TRANSITORI
Aquest tipus de proves són comunes per a la determinació de medis porosos. Per a
mesures de petites mostres, hi ha desenvolupat el mètode transitori (anomenat “flash” o
“pulsació de calor”) on una alta intensitat d’energia de curta durada és absorbida en la
superfície d’una mostra fina. La difusivitat tèrmica és determinada per la forma de la
corba de la temperatura versus el temps i l’espai.
Molts dels instruments i mètodes, tant en règims permanents o transitoris, poden ésser
aplicats per a la mesura de la conductivitat dels metalls. Senzillament serà necessari
aplicar alguns condicionants per a aquests casos.
3.4 MESURES EN SÒLIDS METÀL·LICS
Com s’havia avançat anteriorment, la determinació de la conductivitat tèrmica necessita
de la determinació d’un camp de temperatures, per a la determinació de la transferència
de calor. Si coneixem prèviament els valors de conductivitats d’un sistema, podem
emprar un mètode analític, o gràfic, per a sistemes simples. Si el sistema és més
complex, aleshores es pot optar per a una discretització del sistema, i utilitzar els
mètodes numèrics computacionals, per a determinar el camp de temperatures. Si el
sistema és difícil de simular per ordinador, però és factible realitzar un model real,
aleshores es comptarà amb el mètode experimental.
Aquest mètode experimental no necessita de la coneixença del valor de la conductivitat
per a determinar el camp de temperatures, ja que el trobarem realment i el podrem
mesurar, això si, amb un grau d’error degut a les medicions, com s’ha comentat en els
apartats anteriors. Per tant, aquest mètode ha de permetre, per a geometries senzilles,
comparar la distribució de temperatures seguint altres mètodes (per exemple l’analític), i
poder determinar la conductivitat tèrmica que tenim en l’experiment.
Projecte final de carrera
Els mètodes utilitzats en la mesura del coeficient de conductivitat tèrmica poden ser
dividits en dos grans grups: estàtics o dinàmics, depenent del règim en que es realitzen
les lectures que serviran per al càlcul de la conductivitat.
Els mètodes estàtics treballen amb la hipòtesis que el règim assolit és estacionari. En
règim estacionari, les equacions implicades en la transferència de calor depenen
únicament de coordenades geomètriques i el temps no intervé com a variable. Els
mètodes estacionaris presenten com a principal avantatge la facilitat en ser mesurats, i
exigeixen menys correccions. El conductivímetre del qual s’ocupa el present estudi
treballa amb aquest mètode estàtic.
3.4.1 EXPERIMENTACIÓ AMB MÈTODES DINÀMICS
En els mètodes dinàmics la temperatura és funció de l’espai i del temps. Per poder
analitzar el comportament d’un sistema dinàmic necessitem l’ajut d’una computadora i
d’un conjunt d’hipòtesis de difícil comparació amb la realitat. Per exemple, la pressió a
que es sotmeten les peces determinen d’una manera molt important la resistència tèrmica
entre les superfícies (convecció-conducció), i cal tenir en compte que la pressió de
contacte entre les peces varia a l’evolucionar la temperatura. La necessitat de la
computadora és deguda a que en un instant t és impossible de mesurar la temperatura de
varis punts, i per tant s’ha de fer d’una manera automàtica en un diferencial de temps
prou petit. Per aquestes i d’altres causes, és extremadament difícil determinar amb
exactitud l’evolució de tots els paràmetres que intervenen en tot el procés. Per tant és poc
recomanable utilitzar mètodes dinàmics per a determinar la conductivitat, ja que el
tractament matemàtic és tant artificiós que la divergència amb la realitat pot ser molt gran.
3.4.2 EXPERIMENTACIÓ AMB MÈTODES ESTÀTICS
S’acudeix, doncs, a solucions estàtiques, que tot i essent més senzilles que les anteriors
donen un millor resultat, ja que la facilitat d’obtenir bones mesures és molt més gran i no
intervé la variable temps.
Projecte final de carrera
Els models estàtics també presuposen un seguit d’hipòtesis i solucions simplificades i
generalment són que les línees de flux de calor se suposen rectes i paral·leles i que les
isotermes són plans paral·lels i perpendiculars a les línees de flux. La major part
d’aquests estudis estàtics es basen en la determinació d’aquest flux calorífic que
atravessa una superfície coneguda, medint aquest flux mitjançant calorímetres especials.
Dins aquest grup de mesures estàtiques, trobem dos mètodes diferents segons la manera
de determinar aquest flux calorífic:
A) Mètode de mesura absoluta
B) Mètode per comparació
Mètode de mesura absoluta
Es pren el material a estudiar en forma de placa circular, la qual es disposa sobre una
placa conductora escalfada elèctricament, tot això en un sistema format per dos vasos
cilíndrics plens d’aigua. El got exterior fa el paper d’anell de guarda i impedeix les
pèrdues de calor per la superfície lateral del vas interior. L’aigua continguda en els vasos
es porta a ebullició, la quantitat de calor transmesa per la part de la placa que s’estudia,
en contacte amb la base del vas interior, es determina per la quantitat d’aigua vaporitzada
en aquest vas, la qual és recollida en la proveta després de condensada. (Fig.3.2)
Fig. 3.2 Determinació del flux calorífic amb mètode de mesura absoluta
Projecte final de carrera
Un aparell més avançat que es sol utilitzar té l’aspecte de la Fig. 3.3. La mostra es
subjecta dins un contenidor, i està perforada pels seus extrems superior i inferior. Per
l’extrem inferior s’hi acopla un escalfador elèctric, mentre que l’extrem superior és refredat
per aigua circulant freda. Un forn de guarda que envolta la peça, té un escalfament i un
refredament molt similar a la peça, per tal de tenir una distribució de temperatures
semblant. La peça és més aviat llarga, que no pas ample, i té un gradient elevat de
temperatura entre els seus extrems. La distribució de temperatura longitudinalment, és
mesurada per varis termoparells, distanciats de manera coneguda, permetent el càlcul de
la conductivitat tèrmica a diferents temperatures.
Fig. 3.3 Mètode de mesura absoluta amb cilindre de guarda
Alguns mètodes, degut a que els metalls poden escalfar-se directament a partir d’un
corrent elèctric, s’aprofiten d’aquest fenòmen amb instruments basats en l’anomenant
“mètode directe d’escalfament elèctric”.
Per a una geometria cilíndrica, l’equació (3.5) és (3.5)
tTc
xT
AI
rE
xEk
rT
xT
TrT
rrT
xT
∂∂
=∂∂
−
∂∂
+
∂∂
+
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
+∂∂
+∂∂
ρµλ
λ2222
2
2
2
2 1
Projecte final de carrera
on k és la conductivitat elèctrica, E el potencial elèctric, I el corrent elèctric, A la secció de
la mostra, i µ el coeficient Thompson de calor (veure capítol 4).
La influència del calor de Thompson pot ser minúscul si es mesuren petits gradients de
temperatura. Si s’utilitzen mostres primes que permeten menystenir el gradient radial,
aleshores l’equació (3.5) es simplifica a
(3.6)
Si s’assumeix que λ ≠ f(T) aleshores eliminem el segon terme quedant l’equació
(3.7)
Kohlrausch aplicà aquesta equació en una prova amb el condicionant que els extrems de
la mostra són a temperatura constant, i el flux radial de calor és minimitzat per aïllament.
En aquestes circumstàncies, s’obté un perfil axial de temperatures a partir del qual el rati
de les conductivitats tèrmica i elèctrica pot ser avaluat. Coneixent la conductivitat
elèctrica, s’està en condicions de determinar la conductivitat tèrmica.
Negligint pèrdues de calor radials en la mostra, s’obté la primera relació de Kohlrausch
(3.8)
Bode, K.H. (“Eine neue Methode zur Messung der Wärmeleitfähigkeit von Metallen bei
hohen Temperaturen”) provà d’escalfar cables molt prims, els extrems dels quals estaven
a la mateixa temperatura, i generava a la mostra la mateixa quantitat de calor que anava
perdent radialment per radiació les parets d’una cambra de buit termoestàtica. La
distribució de temperatures era uniforme al llarg del cable (només hi havia una distribució
radial de temperatura) , i l’assumpció feta per al calor de Thompson a l’equació (3.6) es
complia. Angell M.F. (“Thermal Conductivity at High Temperatures”) establí una
distribució uniforme de temperatura a la zona central d’una llarguíssima mostra (a
022
2
2
=
∂∂
+
∂∂
∂∂
+∂∂
xEk
xT
TxT λ
λ
02
2
2
=
∂∂
+∂∂
xEk
xT
λ
12
221 )(
21
TTEE
k −−
=λ
Projecte final de carrera
temperatures fredes en els seus extrems). La conductivitat tèrmica de les seves mesures
podia ésser avaluada per
(3.9)
on ∆E és la caiguda de potencial observada sobre una longitud L en la zona uniforme de
temperatures i ∆T és la diferència de temperatures radial a la mateixa regió.
Un dels aparells clàssics de mesura directa, correspon al d’escalfament directe.
Els mètodes d’escalfament elèctric directe, on la temperatura es manté pel pas d’un
corrent elèctric a través de la mostra, es feren populars per a la determinació de la
conductivitat a altes temperatures (>1500ºC). Existeixen diferents tècniques i variants
incloses dins la classificació d’escalfament directe, començant pel mètode Kohlraush
utilitzat abans de 1900. En general, els mètodes d’escalfament directe tenen algunes
avantatges (HTD 69) respecte d’altres mètodes:
a) les propietats termofísiques (com la resistivitat elèctrica, emitància hemiesfèrica,
emitància espectral, coeficient Seebeck i calor específica,...) poden ser determinades
simultàniament o successivament en la mateixa mostra
b) els aparells i les tècniques experimentals acostumen a ser més senzilles que altres
mètodes.
Comunment amb d’altres mètodes, s’usen per mesurar conductivitats tèrmiques a
temperatures elevades, i els resultats obtinguts per diferents mètodes d’escalfament
directe acostumen a ser àmpliament diferents. A més, els resultats finals dependran de
l’anàlisis matemàtic i de les suposicions adoptades que s’adoptin; per exemple, la
integració tenint en compte o no de les diferencials de segon ordre en les equacions.
Una comparació dels resultats experimentals obtinguts per un bon nombre
d’investigadors, per a un material en concret, serveix per avaluar els diferents mètodes.
L’aparell experimental va ser dissenyat per a ser flexible. Era necessari per tal de
permetre diferents condicions de contorn i permetre a les diferents geometries de les
TI
LE
∆∆
=π
λ41
Projecte final de carrera
mostres la seva mesura. Les mostres en forma de cables, cilindres o tubs són suspeses
verticalment entre dos electrodes. Les proves es realitzen sota el buit per eliminar la
convecció i minimitzar els efectes a la superfície. La potència regulable és aplicada a la
mostra, on es fan mesures elèctriques i de temperatura.
Mètode per comparació
Coneixent el valor de la conductivitat tèrmica d’un material, i prenent aquest com a patró,
es pot determinar el coeficient de conductivitat tèrmica d’unaltre material. Aquest és el
principi de funcionament del conductivímetre en estudi. S’ajunten dues plaques, una de
conductivitat tèrmica coneguda λ1, i unaltre de conductivitat desconeguda λ2. S’estableix
un règim permanent tal que el mateix flux travessa ambdues plaques, i per tant
(3.10)
amb la mesura de les temperatures es pot determinar λ2. Una de les dificultats de l’ús
d’aquest mètode rau en el temps que es necessita per arribar a l’estabilització de les
temperatures.
Com es desprén de la descripció anterior, el determinar el valor numèric de λ és una
operació delicada, i els valors indicats per a una mateixa matèria per diferents
experimentadors, a vegades difereixen bastant: això s’explica perque el valor de λ varia
molt amb l’estat físic de la matèria i la seva composició. L’acer fos no presenta el mateix
valor de λ que l’acer laminat. Les impureses tenen també una marcada influència: per
exemple, per a l’or en estat pur s’ha trobat λOR = 266 Kcal/m2·h·ºC/m. Amb un 0,2%
d’impureses de les quals 0,1% era ferro es troba que λOR = 155 Kcal/m2·h·ºC/m. El coure
també ens presenta un λCOURE = 346 Kcal/m2·h·ºC/m, mentres que el coure comercial té
una conductivitat λCOURE com.= 300 Kcal/m2·h·ºC/m.
El valor de λ serà també molt variable segons la compacitat de la matèria de que es tracti;
per exemple, la fibra de amiant presenta quan el seu pes específic és de 0,7 Kgs/dm3 una
conductivitat λ0,7 = 0,165 Kcal/m2·h·ºC/m, baixant notablement si la fibra està menys
compactada: per a 0,39 Kg/dm3 té una λ0,39 = 0,0775 Kcal/m2·h·ºC/m. Aquesta variabilitat
2
22
1
11
eT
eT ∆
=∆ λλ
Projecte final de carrera
també es trobarà quan el material pugui tenir diferentes composicions granulomètriques
com succeeix amb les arenes utilitzades per al moldeig de metalls, en el formigó, etc...
Un anàlisi més ampli, amb el tractament de les desviacions possibles, es tracta en el
Capítol 9, on el seguiment de les experiències provocaren un estudi de les desviacions de
cada mesura i les seves aportacions en el resultat final.
A la vegada, i depenent de la geometria, els mètodes de mesura es poden classificar en
dos grups principals : Els mètodes de flux de calor radial i els mètodes de flux de calor
longitudinal.
Mètode de flux de calor radial
Aquest mètode presuposa que el flux de calor en la mostra és radial, i per tant, les
superfícies isotèrmiques són un conjunt de superfícies cil.líndriques centrades en l'eix de
la mostra.
Fig. 3.4 Geometria cilíndrica
El mètode de flux radial es basa en la mesura directa de la conductivitat tèrmica, és a dir
mesurant la potència i increments tèrmics entre dos punts a diferents radis de la mostra.
Per a un cilindre amb flux radial de calor, tenim que la potència que l'atravessa és :
( )L
rrToTiq
i
or πλ2
ln∗
−
=& (3.11)
Projecte final de carrera
Fig. 3.5 Distribució de temperatures amb flux travessant geometria cilíndrica
La potència es genera en el nucli de la mostra mitjançant resistències elèctriques
centrals, per tant , determinant T0 i Ti a dos radis diferents de la mostra, obtenim la
conductivitat tèrmica aillant λ de l'equació 3.11.
La potència suministrada pot mesurar-se elèctricament, determinant la intensitat i la
caiguda de potencial. Les temperatures es determinen mitjançant termopars.
Aquest mètode és senzill en concepte, però presenta agunes dificultats experimentals.
Per assegurar unes superfícies isotèrmes en el centre del cilindre i flux radial (Fig. 3.4), la
relació longitud / diàmetre ha de ser aproximadament 4 com a mínim: això suposa utilitzar
mostres grans. Aquest mètode és especialment indicat per mesurar conductivitats en
metalls, aillants de tuberia i en materials que puguin ser fabricats per extrussió.
Mètode de flux de calor longitudinal
La mesura de λ per aquest mètode es basa en la determinació del gradient tèrmic en una
mostra que s'escalfa per un costat i es refreda per l'altre. El flux de calor ha de mantenir-
se en una direcció, i per tant les superfícies isotermes són plans perpendiculars a la
direcció del flux (Fig. 3.6). És el cas del conductivímetre en estudi, malgrat que s’utilitzin
peces cilíndriques geomètricament parlant.
Projecte final de carrera
Fig. 3.6 Flux de calor longitudinal
Amb la finalitat d'aconseguir una direcció longitudinal del flux i evitar perdues laerals
s'utilitzen guardes calorífiques, les quals pretenen que en cada punt tinguin la mateixa
temperatura que la mostra adjacent, impedint així la fuita de calor en sentit transversal.
3.5 CONCLUSIONS
A partir d’aquests dos mètodes, s’han creat múltiples aparells Conductivímetres; alguns
per mesura directa i d’altres per comparació. Al llarg dels anys, diversos experimentadors
han trobat resultats diferents per a diversos materials utilitzant aquests aparells, i s’ha
elaborat una àmplia bibliografia al respecte, així com una documentació de consulta
realitzada a partir de conferències on s’exposaven els resultats d’aquesta pràctica. La
dificultat sovint en l’estimació d’un material concret rau, com s’ha vist, d’una manera
experimental en la determinació amb la seva imprecissió del camp de temperatures, fet
que confirmem amb l’experimentació realitzada i comentada en el Capítol 8. Però unaltre
factor és la homogeneïtat de les peces, la puresa del material.
Per a l’obtenció d’un major afinament en el resultat, es troba amb que l’assumpció d’una
distribució linial de temperatura (degut a una dependència de la conductivitat també lineal
versus la temperatura) és inadmissible des del punt de vista teòric. Però amb unes
condicions concretes per a alguns materials, complint que per a un gradient de
temperatura suficientment petit, el factor de segon ordre de la dependència de la
conductivitat respecte a la temperatura sigui mínimament menyspreable, és pot donar per
acceptable aquesta simplificació. Una vegada hi ha una recopilació de dades de
Projecte final de carrera
conductivitat per a un material concret al llarg d’un ampli espectre de temperatures, es pot
deduir si la dependència del tipus λ(T)= a + b·T + c·T2 té un caràcter fortament no-lineal, i
introduir factors de correcció a l’hora de determinar la transferència de calor al llarg de la
peça d’aquest material.
Projecte final de carrera
35
Capítol 4 La termometria del termoparell
4.1 Introducció 4.2 Principis fonamentals 4.3 Estimació dels errors en la mesura de la temperatura 4.4 Mesura de la temperatura en sòlids 4.5 Tipus de termoparells 4.5.1 Rang de temperatura 4.5.2 Protecció atmosfèrica 4.5.3 Materials de contacte 4.5.4 Limitacions mecàniques 4.6 Termoparells tipus K
Projecte final de carrera
36
4 LA TERMOMETRIA DEL TERMOPARELL
4.1 INTRODUCCIÓ
A causa dels seus varis avantatges, els termoparells han estat llargament utilitzats tant en
la recerca científica, així com en la termometria a nivell industrial. Són ben senzills,
consisteixen normalment en dos cables, una unió estable de referència, i un sistema de
potenciòmetre. Alguns sistemes de termoparells més complexos consisteixen de moltes
unions separades o termopiles, però el principi fonamental segueix essent el mateix.
Poden ser ben llargs (per permetre una protecció mecànica o corrossiva) o ben petits (per
tenir una resposta ràpida i una capacitat tèrmica petita). Els cables petits son utilitzats en
sistemes criogènics, essent molt fràgils i flexibles; en canvi els de longitud major que
s’usen en forns solen estar instal·lats i són generalment rígids.
Amb un disseny acurat, els encapsulaments dels termòmetres poden conviure en
ambients corrossius. Els termoparells poden usar-se sobre un ampli rang de
temperatures, des de Heli líquid a –270 ºC a altes temperatures en forns de 2200 ºC.
Però són necessàries diferentes aleacions per poder treballar en temperatures extremes.
Moltes de les combinacions de termoparells dónen pràcticament una relació lineal entre la
seva sortida de mesura i un ampli rang de temperatures. Aquesta propietat porta a una
calibració i a uns mètodes d’instrumentació que són tant simples com precisos. A
diferència dels termòmetres de resistència, els termoparells no tenen l’efecte
d’autoescalfament. Aquesta característica és molt important en estudis de calorimetria
precisa i en recerca criogènica.
El nombre de combinacions de termopars potencials és virtualment infinita, pero
afortunadament hi ha un bon munt d’estandaritzats. Aquesta normalització ha permès una
disponibilitat molt difosa a un preu raonable, permetent intercambiabilitat de materials
entre diferents subministradors i companyies.
Per tant, els sistemes de termoparells són fàcils d’utilitzar: amb una sèrie d’aparells com
multímetres, potenciòmetres portàtils, són utilitzats amb freqüència. La necessitat d’una
unió estable de referència ha d’ésser evitat per moltes aplicacions amb la inserció d’una
unió de compensació de temperatura; aquesta és la pràctica més comuna en la indústria
que s’hi dedica.
Projecte final de carrera
37
A l’any 1821 Thomas Johann Seebeck descobrí l’existència de la corrent termoelèctrica
mentres experimentava amb circuits de bismut-coure i bismut-antimoni. Ell veié que quan
les unions de diferents metalls eren escalfades a diferentes temperatures, es generava
una emf (força electromotriu). Si es formava un circuit tancat, s’induïa una corrent , que
anomenen termoelèctrica. Pocs anys abans Becquerel havia demostrat que la unió entre
platí i pal·ladi es podria utilitzar per mesurar la temperatura. Aproximadament una década
més tard, Jean Peltier descobrí un efecte tèrmic inusual, quan feia circular petites
corrents externes a través de les unions de diferents cables termoparells. Quan una
corrent travessava una unió en un sentit, aquesta es refredava; quan el corrent circulava
en sentit contrari, la unió s’escalfava. Amb l’ajuda de les noves teories desenvolupades
de la Termodinàmica, William Thomson fou capaç de mostrar que els dos efectes estaven
relacionats. Ell deduí les equacions fonamentals que s’utilitzen avui dia. Les teories de la
Termoelectricitat han arribat a ésser polides i complexes, malgrat que són innecesàries
pel seu ús a la pràctica (EGo 76). Una revisió fou preparada per Pollack per a la
American Society for Testing and Materials.
4.2 PRINCIPIS FONAMENTALS
Els principis fonamentals necessaris per entendre els circuits termoelèctrics més simples
poden ser expressats en tres efectes, i tres lleis que es deriven de les equacions
fonamentals.
L’efecte Seebeck es descriu segons la Fig. 4.1. Si un circuit està format tal que consisteix
de dos conductors diferents A (positiu) i B (negatiu), units en ambdós extrems, i a
temperatures diferents T1 i T2, aleshores un corrent flueix dins el circuit en la direcció
indicada. Si aleshores tallem el circuit en el cable A, aleshores tenim una diferència de
potencial creada en aquest esvoranc, que s’anomena Voltatge de Seebeck (també se sol
dir voltatge termoelèctric, emf...).
Projecte final de carrera
38
Fig 4.1 L’efecte Seebeck
Per a una diferència petita de temperatures, el canvi en la diferència de potencial que
dóna l’obertura en el cable A vé donada per
(4.1)
on αA,B és el coeficient Seebeck (o potència termoelèctrica) per la combinació dels
materials A i B a la temperatura T. La caiguda de potencial per un rang de temperatures
vé donat per
(4.2)
El coeficient de Seebeck es pot obtenir diferenciant la funció de Es(T), o també mitjançant
la relació
(4.3)
on R indica un material estàndar de referència.
L’efecte Thomson pot ésser entés amb l’ajuda de la Fig. 4.2. Quan un corrent circula a
través d’una unió de conductors desiguals, el calor és absorbit (T2+∆T) o alliberat (T1-∆T)
per les unions. Si el corrent elèctric circula en la mateixa direcció que la corrent Seebeck,
aleshores el calor és absorbit en la unió calenta (i viceversa). Aquest efecte és utilitzat en
l’escalfament o refredament termoelèctric. La relació és la que segueix
(4.4)
dTdE BAs ,α=
∫=2
1,
T
T BAs dTE α
BRRABA ,,, ααα +=
IdtdQ BAp ,π=
Projecte final de carrera
39
on dQp és la quantitat de calor, πA,B és el coeficient de Peltier, I el corrent elèctric, i dt el
temps transcorregut. L’efecte Peltier està estretament lligat amb l’efecte Seebeck.
Fig. 4.2 L’efecte Thomson
La relació entre ambdós fou derivat per Thomsom com segueix
(4.5)
on σ és el coeficient de Thomson per un conductor definit per
(4.6)
Literalment l’efecte Thomson és defineix com el canvi en capacitat tèrmica de un
conductor (de secció unitat) quan una quantitat unitat de càrrega elèctrica flueix a través
d’ell en un gradient de temperatura de 1 K.
Les tres lleis bàsiques de la termotècnia pràctica es troben descrites en la ASTM STP
470. Aquestes són:
1.”Llei dels metalls homogenis – un corrent termoelèctric no pot ser soportat en un circuit
d’un únic material homogeni, per més que varii la seva secció, només per l’aplicació de
calor”
Per tant, com a mínim, seran dos materials diferents els necessaris per a un circuit
termoelèctric. S’ha de notar que les imperfeccions físiques o químiques poden fer que un
material sigui efectivament no homogeni.
dTBABA )(, σσπ −=
∫=2
121 ,
T
T ATT dTE σ
Projecte final de carrera
40
2.”Llei de metalls intermedis – la suma algebràica de les forces termoelectromotius
(voltatges) en un circuit composat de qualsevol nombre de materials diferents és zero si
tot el circuit és a una temperatura uniforme”
Un tercer material no homogeni pot afegir-se sempre a un circuit si és tant llarg com una
regió isoterma. A partir d’aquesta llei, representada en la Fig. 4.3, tenim la conseqüència
que el mètode d’unió dels cables termopàrics, per exemple la soldadura, subjecció,
contacte de mercuri, etc..., no afecta al resultat de la sortida si la unió és isotèrmica.
Unaltra conseqüència és que si els voltatges termoelèctrics de dos materials són
coneguts respecte a un material de referència, els seus voltatges respecte els altres
poden ser determinats per addició, com és mostra a la Fig. 4.4 més endavant.
Fig. 4.3 Llei de metalls intermedis. El voltatge termoelèctric no queda afectat per la inserció del material C
Projecte final de carrera
41
Fig.4.4 Determinació per addició dels voltatges termoelèctrics
3.”Llei de les temperatures intermèdies – si dos metalls homogenis diferents produeixen una emf
de valor E1, quan les unions estan a temperatures T1 i T2, i produeixen una emf de valor E2 quan
les temperatures de les unions són T2 i T3, aleshores la emf generada quan les unions estan a T1 i
T3 serà la suma E1+ E2.”
Un resultat d’aquesta llei es que els termoparells calibrats per a una temperatura de
referència, poden ser fàcilment corregits per a unaltra temperatura de referència. Unaltra
aplicació d’aquesta llei es la disponibilitat d’ús de cables d’extensió (allargaments) sense
malmetre el voltatge resultant.
4.3 ESTIMACIO DELS ERRORS EN LA MESURA DE LA TEMPERATURA
És extensament reconegut que la sortida d’un sensor, com un termoparell o un
termòmetre, representa una aproximació de la temperatura en un lloc dins un fluid o un
sòlid. Hi ha una varietat de factors que causen desviacions entre el valor de sortida i la
temperatura real en el punt d’interés. Primer de tot, la presència d’una sonda mateixa pot
modificar les condicions tèrmiques en el punt i els seus voltants, alterant així la distribució
de la temperatura. Això passa, per exemple, quan el calor és condueix desde
Projecte final de carrera
42
l’empalmament del termoparell al llarg dels cables conductors. Un segon i major factor és
que el sensor pot comunicar-se amb d’altres ambients propers al que estem mesurant.
A més, certes característiques bàsiques de la transferència energètica i procesos
d’emmagatzemament energètic tendeixen a afavorir l’aparició d’errors en la mesura de la
temperatura. Un cas característic és que el canvi de calor per convecció no pot tenir lloc
sense una diferència de temperatures. Unaltre és la dissipació viscosa que ocurreix en la
superfície adjacent d’un cos situat enmig d’un flux d’alta velocitat. En addició, en els
processos transitoris, la capacitat tèrmica d’un sensor provoca una diferència de
temperatura entre el sensor i el fluid.
La tasca dels sensors dissenyats per petits errors és agreujada pel factor que els aïllants
tèrmics perfectes no existeixen. Això contrasta amb la situació de les mesures
elèctriques, on essencialment els aïllants perfectes són fàcilment aconseguibles.
Amb un disseny curós, és possible reduir els errors de mesura resultants d’una o més
causes abans esmentades. Per exemple, els coeficients de transferència de calor per
convecció poden ser incrementats mitjançant l’increment local de la velocitat del fluid
adjacent al sensor. El canvi mitjançant radiació amb l’entorn es pot reduir encobrint el
sensor.
És assumit aquí que la informació relacionada amb el disseny de la sonda pot ser
obtinguda a partir de les referències abans esmentades i de l’ampli ventall d’informació
que trata sobre el tema. El propòsit d’aquest apartat és revisar les fonts d’error en la
mesura de temperatura i la discussió analítica dels models que es poden emprar en
l’estimació d’aquests errors.
Una finalitat aparentment natural de l’anàlisi seria proporcionar fòrmules aproximadament
precises de correcció que s’usarien per ajustar la sortida d’un sensor i tenir aleshores
valors acurats de la temperatura. En canvi, a la pràctica, els problemes de la
transferència de calor que afecten a les sondes de temperatures són tan complexes que
no permeten a fer anàlisis precisos. Fins i tot quan els ordinadors son usats per facilitar la
solució, relativament els models analítics simples són quasi apropiats. Avui en dia, una
finalitat real d’anàlisi és proporcionar estimacions de l’ordre de la magnitud dels errors
Projecte final de carrera
43
que poden ser esperats en la mesura de temperatures. Els anàlisis dónen consells per les
sondes així com suggereixen paràmetres de correlació per tests de calibració.
4.4 MESURA DE LA TEMPERATURA EN SÒLIDS
La nostra atenció es centra ara en els models computacionals d’estimació d’errors en la
mesura de temperatures en estat estable en sòlids. Es poden trobar vàries situacions:
mesura de la temperatura de la superfície d’un sòlid, termoparell insert dins un sòlid... En
el nostre cas ens interessa aquest darrer cas.
TERMOPARELL INSERT DINS UN SÒLID
Fig. 4.5 Inserció d’un termoparell dins un sòlid
Un diagrama esquemàtic del problema és mostrat a la Fig. 4.5. Un termoparell és situat en
un forat fet dins la superfície; a més, és emplaçat amb una mica d’adhesiu, com per
exemple, epoxi. Per fora del sòlid, el termoparell es condueix enmig d’un fluid, la
temperatura del qual és Tf. El cable és tant llarg que al final pren la temperatura del fluid
Tf.
Projecte final de carrera
44
akrr
π2)/ln( 23
ai krr
krrR
ππ 2)/ln(
2)/ln( 2312
1 +=
El termoparell serveix aleshores com un canal a través del qual el calor pot fluir-hi cap a
dins, o cap a fora, del sòlid. Així que el calor és conduit, es provoquen dos tipus d’errors
de mesura de la temperatura. Primerament, hi ha un increment o disminució de la
temperatura del sòlid. En segon lloc, degut a la presència del adhesiu, hi ha una
diferència de temperatura addicional entre el sòlid i la unió termopàrica. Si el sòlid és un
metall, aleshores el segon d’aquests efectes és dominant. Per tant, en una primera
aproximació, la temperatura del sòlid s’assumeix que és influenciada per la presència del
termoparell.
El model analític i l’expressió resultant de l’error de temperatura es deuen a Moffat (Mof
68) Temperature Measurement in Solids: Errors Due to Thermal Resistance between the
Thermocouple and the Specimen, personal communication. Consta d’imaginar-se que el
cable del termopar està format de dues parts: (1) el segment que està introduit en el sòlid
i (2) el segment que està dins el fluid, tal i com es mostra a la Fig. 4.5. La línea
discontínua 0-0 representa la superfície. Aleshores Moffat tractà per separat els
problemes d’ambdues regions. Aquestes solucions impliquen també la temperatura T00 en
la interfície entre les dues regions. Imposant, però, la condició de flux de calor continu a la
interfície 0-0 es pot determinar T00. Un cop és coneguda aquesta temperatura, l’error de
temperatura a la unió és calculable fàcilment.
A la regió 1 el cable termoparell es comporta com una aleta situada en un entorn
uniforme de temperatura. L’adhesiu aporta una resistència tèrmica
(4.7)
on ka és la conductivitat tèrmica de l’adhesiu, i r2 i r3 són, respectivament, els radis externs
del cable termopàric i de l’adhesiu. Llavors, la resistència R1 pel flux de calor radial dQr/dx
des del cable termopar fins al sòlid es:
(4.8)
Projecte final de carrera
45
LARktanhTTRAkQ S
2/1100
11 )~()(
~−−=
on r2 i r1 representen els radis equivalents en el cas que el termopar tingui aïllant de
conductivitat ki.
Si T00 és la temperatura en el plà 0-0, la teoria d’aletes ens facilita la següent expressió
de la quantitat de flux de calor que travessa la interfície 0-0 cap a la regió 1.
(4.9)
La quantitat Ak~ és el producte conductivitat-àrea per una conducció axial a través dels
cables termopars, i L és la longitud de la sonda en la regió d’estudi. L’equació (4.9) no té
en compte de la transferència de calor a la pròpia unió, però pot ser inclosa utilitzant una
expressió alternativa d’aquesta teoria.
La tranferència de calor que travessa el plà 0-0 desde la regió 2 és expressada per una
equació similar a l’anterior, però amb canvis a la nomenclatura:
R1→R2 i (T00-TS)→ (Tf-T00). A més, la longitud del cable és suficientment llarga com
perque tanh≈1.
(4.10)
L’expressions per Q1 i Q2 s’han d’igualar, del que surt
(4.11)
Tornant a la regió 1 i tornant a utilitzar la teoria d’aletes, la temperatura Ttc de la unió del
termopar es pot expressar en termes de T00 com segueix:
(4.12)
)(~
002
2 TTRAkQ f −=
LARktanhRRTT
TT SfS 2/1
11200 )~(/1 −+
−=−
LARkTTTT
S
Stc2/1
100 )~cosh(1
−=
−−
Projecte final de carrera
46
Combinant les equacions (4.11) i (4.12) adequadament, es pot trobar una equació per
l’expressió de l’error Ttc-TS
(4.13)
Donat un valor a Tf-TS, l’error de temperatura és accentuat per petites profunditats L,
grans valors de Ak~ , valors elevats de la resistència tèrmica R1 i petits valors de la
resistència R2. Aquestes normes qualitatives semblen físicament raonables.
L’estimació dels errors en la mesura de temperatures de sòlids en règim transitori és una
tasca molt més dificultosa que la de règims permanents. Una revisió a les publicacions
referides al tema indiquen que un model físic bastant simple comporta a un gran
problema matemàtic, el centre del qual és tractar amb equacions de derivades parcials,
inclús si l’espai depenent és monodimensional. Les solucions numèriques trobades amb
l’ajut dels ordinadors han pogut avançar en aquest camí, emperò quasi bé sempre cada
problema s’ha de modelar més o menys individualment, per arribar a un ordre requerit
d’estimació d’error.
4.5 TIPUS DE TERMOPARELLS
Molts dels treballs de mesura de temperatura amb termoparells poden fer-se
adequadament per un dels molts estandaritzats que existeixen. La utilització d’un
d’aquests tipus és sovint recomanable, sempre i quan el suposat acompliment no sigui
totalment tant satisfactori com amb una selecció concreta. La raó d’això, és naturalment,
que les despeses extres han d’ésser defugides. L’ús de materials comuns és realment
disponible amb un estoc ampli de termoparells de característiques conegudes i de
qualitat. També, els endarreriments dels coneixements en l’aplicació és molt més gran
per aquestes combinacions menys usades.
+=
−−
−− LARktanhRRLARkTTTT
Sf
Stc2/1
1122/1
1 )~(/11
)~
cosh(1
Projecte final de carrera
47
La funció d’un termoparell pot deteriorar-se sota moltes condicions i aplicacions adverses.
De fet, no s’han trobat termoparells que actuin successivament per a tots els requisits
d’ús. A ran d’això, s’ha de tenir un compromís en la selecció del tipus més satisfactori
d’entre un conjunt de candidats per a un ús particular. Les limitacions dels termoparells
fan desitjable catalogar i descriure les consideracions principalment respecte l’entorn en
termes de rang de temperatura, protecció atmosfèrica, materials de contacte i limitacions
mecàniques.
4.5.1 RANG DE TEMPERATURA
L’acompliment funcional dels termoparells varia majorment amb la temperatura. Molts
materials que són utilitzats a altes temperatures degut a que els seus elevats punts de
fusió, són menys satisfactoris que d’altres amb moderats punts de fusió a menors
temperatures. Els requeriments d’actuació en un determinat rang de temperatures, a part
d’altres factors ambientals, condueix de facto, a una classificació dels termoparells per a
usos criogènics, usos generals (temperatures moderades) o aplicacions d’elevada
temperatura. Aquesta és una classificació convenient ja que generalment un usuari estarà
interessat en només un d’aquests tres rangs i pot generalment escollir el material dels
termoparells més adequat.
4.5.2 PROTECCIÓ ATMOSFÈRICA
Els efectes atmosfèrics són importants per a temperatures moderades i altes, degut a que
les reaccions químiques i processos de difusió es produeixen ràpidament sota aquestes
condicions. Una atmosfera inerta és necessària en molts casos, especialment per a
operacions tèrmiques de llarga durada; el buit pot utilitzar-se com a alternativa, però la
vaporització dels materials dels termoparells poden arribar a ser notables a temperatures
extremes. Alguns dels metalls nobles tenen característiques excelents per a atmosferes
oxidants entre mitjanes i altes temperatures, però cap dels metalls és òptim per a
ambients reductors. Aquestes restriccions fan necessari l’aïllament del termoparell
respecte l’entorn per alguns serveis. Pous de termopars, sondes o cables embeinats són
Projecte final de carrera
48
la solució al respecte. En aquesta última opció, la junta dels cables termopàrics pot estar
soldada a la part interior de la funda, o bé estar totalment aïllada mitjançant un aïllant
posat entremig.
4.5.3 MATERIALS DE CONTACTE
Els termoparells necessiten sovintment d’un suport mecànic, així com d’un aïllament
elèctric. El contacte amb el material a mesurar és sovint un requisit per a l’obtenció d’un
valor real de temperatura del material, més que no pas del seu entorn. Tots aquests
materials han d’ésser compatibles amb el termoparell per evitar l’error per contaminació
progressiva. La contaminació és, moltes de les vegades, el major problema a altes
temperatures, on les reaccions químiques prenen part d’una manera important. A més de
tot això, els processos metalúrgics com la interdifusió entre metalls pot ocòrrer. També la
resistivitat elèctrica dels aïllants disminueix. Aquestes consideracions deuen ser
observades en el disseny o aplicació de termoparells per a altes temperatures,
particularment en el rang comprès entre 1600 i 1800 ºC.
Per a baixes temperatures on materials orgànics o bé plàstics poden usar-se com aïllants,
existeixen menors limitacions. Malgrat tot, s’han de vigilar les reaccions químiques en
medis corrossius sempre.
4.5.4 LIMITACIONS MECÀNIQUES
Un dels majors avantatges declarats dels termoparells com a sensors de temperatura és
el petit tamany que la unió i el cablejat poden prendre. La seva adaptabilitat en les
instal·lacions en punts concrets, muntatges petits o bé localitzacions inaccessibles és
ilimitada. Hi ha disponible una variabilitat en els dissenys termopàrics; els conductors
poden ésser cables tant petits de fins a 0,02 mm. Pel que fa al tamany físic i adaptabilitat
per a condicions especials, hi ha menys limitacions amb l’ús de termoparells que amb
qualsevol altre tipus de sensor de temperatura.
Projecte final de carrera
49
En entorns mecànics durs, on les vibracions, cops, expansions tèrmiques o la càrrega
estructural són factors importants, la instal·lació de termoparells ha de ser dissenyada
apropiadament. En general, l’eludició d’aquest tipus de limitacions és similar a la resolució
de problemes. Existeixen comptades situacions on el disseny de l’instal·lació es torna
molt especialitzat.
Una característica elèctrica d’un termoparell instal·lat pot dependre de limitacions de
tamany i d’altres conceptes mecànics, com el temps de resposta a un canvi sobtat de
temperatura. El tamany final d’un termoparell és, al final, un compromís entre un curta
instal·lació per a l’obtenció d’una ràpida resposta i una instal·lació més abrupte per evitar
les vibracions i els cops.
4.6 TERMOPARELLS TIPUS K
Un termoparell de base metall amb el nom comercial de Chromel-P vs Alumel fou
desenvolupat per la Hoskins Manufacturing Company i fou emprat per aplicacions
industrials durant el període de la Primera Guerra Mundial. Adams (1920) revisà els
termoparells en ús en aquest temps i va incloure taules i d’altres dades a aquesta parella.
Lohr (1920), en aquesta línia, desenvolupà en termes de processos de selecció
d’aleacions, que el conduiren a una tria de metalls utilitzats avui dia. Les taules de
referència foren preparades per Roeser, Dahl, and Gowens (1935) en la National Bureau
of Standards, i més endavant per l’equip de Shenker (1955) en la circular de la NBS núm.
561. Jones (1969) convertí les taules NBS a la Escala Internacional Pràctica de
Temperatura (International Practical Temperature Scale - IPTS) de 1968, pel rang
comprès entre –180 a +1300 ºC en increments d’un grau. Gottlieb (1971) proporcionà
dades per a la correcció de la IPTS-48 cap a la IPTS-68.
El termoparell Chromel-P vs Alumel ha estat complementat per parelles similars
produïdes per d’altres fabricants. Actualment, aquests termoparells s’adapten a les taules
de referència NBS_561 amb una desviació de ±2.2 ºC des de 0 a 277ºC, i ±0,75% a partir
de 277ºC i fins a 1260ºC. Són denominats com termoparells Tipus K, fent servir el
sistema de classificació aceptat per molts fabricants i pel conjunt d’organitzacions
Projecte final de carrera
50
interessades. L’ús comú del nom original ha persistit, tanmateix, com que Chromel-
Alumel és sinònim de la designació Tipus K.
D’acord amb Starr & Wang (1969), el rang recomanat per termoparells tipus K és
generalment el comprés entre 0 i 1260 ºC amb les toleràncies facilitades anteriorment;
també es disposa en el mercat de termoparells amb cables de major qualitat, que
permeten tenir per al mateix rang de temperatura, una tolerància de desviació igual a la
meitat de la tolerància estàndard. En l’annex es troba la taula, de la qual es pot graficar la
corba voltatge versus temperatura en la Fig. 4.6 . El potencial termoelèctric varia per
sobre el rang de 0 a 1000ºC, però és aproximadament 40 µV/ºC.
Fig. 4.6 Corba dels termoparells tipus K
Roeser i Wensel (1941) presentaren un informe l’èxit en l’intent de trobar equacions de la
forma
per a la corba de calibratge en l’interval de 0 a 300ºC. Una equació basada sobre tres
punts de calibració a 100, 200 i 300ºC portaven a errors de 1ºC. El mateix feren per al
rang comprès entre –190 i 0ºC. L’equació resultant no portava a un error superior a 2 µV
en qualsevol punt.
32 cTbTaTV ++=
-10000
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
Temperatura (ºC)
f.e.m
. (10
e-6
V)
Projecte final de carrera
51
Els termoparells de tipus Crom-Alumini no poden ésser calibrats i utilitzats sempre amb
tant alta precissió i repetitivitat com alguns dels altres termoparells, malgrat això
acostumen a ser clarament superiors en altres aspectes si els lleus errors són aceptables.
En algunes aplicacions aquestes petites desviacions poden ser eliminades bé amb un
tractament de calor previ de calibració, o bé sense excedir-se d’un límit de temperatura.
La falta de repetiment i les seves conseqüèncioes foren estudiades per varis
investigadors, i els seus resultats mostraven una regió de inestabilitat reversible de
caràcter metal·lúrgic en els aliatges del Crom entre 300 i 550 ºC. Dins aquesta regió el
potencial termoelèctric depèn de la temperatura, el temps d’exposició, i l’historial tèrmic
previ del termoparell.
Unaltre efecte que provoca un petit error fou observat per Wintle i Salt (1967) en els seus
estudis sobre termoparells de Crom i Alumini. Trobaren que els instruments de mesura
fabricats a partir de la mateixa remesa de cables exhibien generalment diferències de
l’ordre de ±0,25% de la temperatura indicada. A més a més, les corbes de calibració es
desviaven amb forma de punxa, si bé en petites quantitats, i que en un curt interval de
temperatura eren com corbes suaus. Aleshores una corba real diferencial no podia ser
dibuixada sense primerament plotejar un gran nombre de punts de calibració sobre el
rang d’interés. Un límit d’error de ±0,75ºC era acotat per corbes de calibració amb dades
separades 20ºC. En vistes d’aquesta condició es podia suggerir que la tolerància
específica per a una remesa concreta de cables sería si més no que ± (0,75ºC+0,25% de
T) a partir de la calibració obtinguda per una mostra d’aquesta remesa.
Projecte final de carrera
Capítol 5 Introducció a la realitat del conductivímetre per comparació
5.1 Introducció 5.2 Equacions bàsiques i contrastació 5.2.1 Introducció 5.2 2 Problemàtica 5.2.3 Comprovació de hipòtesis en el càlcul de la conductivitat 5.3 Resistència Tèrmica de Contacte 5.4 Modelització de superfícies 5.5 Conclusions
Projecte final de carrera
5. INTRODUCCIÓ A LA REALITAT DEL CONDUCTIVÍMETRE PER COMPARACIÓ 5.1 INTRODUCCIÓ En aquest capítol s’introdueix la realitat física del comportament tèrmic del
conductivímetre per comparació, realitat llunyana dels models simplificats que es donen
als nombrosos llibres de termodinàmica. Aquest capítol s’endinsarà amb profunditat
sobre els efectes de la resistència tèrmica que provoquen les interfícies entre peces,
creant salts considerables de temperatura en aquestes, dificultant enormement l’obtenció
d’un perfil de temperatures extern forçat que pugui assimilar-se a la distribució interna
En el present capítol es proposarà un model de superfícies per a comprendre com es
realitza aproximadament el contacte entre dues superfícies. El contacte entre superfícies
es una dada molt important per a altres estudis per saber quin percentatge de transmissió
de calor es realitza per conducció o convecció gasosa. El model de superfícies proposat
en aquest treball és propi, i no pretén ser un patró exhaustiu del comportament en el
contacte entre dos cossos, ja que l’estudi profund d’aquest tema suposa tot un món
encara avui no totalment conegut, per tant s’ha de prendre el model proposat com un
Perfil intern
Perfil extern
Fig.5.1 Diferència entre perfils de temperatura interna i externa.
Projecte final de carrera
model de tendències, que explica com evoluciona la superfície de contacte enfront de
l’apropament de dos cossos.
5.2 EQUACIONS BÀSIQUES I CONTRASTACIÓ 5.2.1 INTRODUCCIÓ
S'ha estat experimentant al llarg d'un any amb un conductivímetre per comparació model
TCFCM-120. El funcionament d'aquest es basa en fer passar un flux de calor a través de
tres mostres. Dues de les mostres són de material i conductivitat coneguda, són les
mostres de referència, entre mig de les quals s’hi situa una mostra de conductivitat
desconeguda. Les tres peces tenen la mateixa secció amb la finalitat de garantir un flux
(W/m^2) uniforme.
El conductivímetre per comparació es basa en el fet que per les tres peces es veuen
travesades pel mateix flux de calor, aleshores és fàcil determinar la conductivitat de la
peça central aplicant la primera llei de Fourier.
La primera llei de Fourier estableix que el flux de calor és proporcional al gradient de
temperatura. Per a un estudi monodimensional com aquest, l'expressió de la primera llei
de Fourier és :
1 2 3
Q
(5.1)
Fig.5.2 Disposició de peces en el conductivímetre
dxdT
Aq
λ−=&
Projecte final de carrera
Aplicant l'equació de conducció de Fourier (considerant la conductivitat mitjana a cada
peça i un gradient lineal per a cada mostra) s’arriben a les següents igualtats:
3
333
2
222
1
111 ......
xT
AxTA
xTA
∆∆
=∆∆
=∆∆
λλλ
Experimentalment es mesura el gradient de temperatura prenent les temperatures en els
nuclis de les peces mitjançant orificis que estan fets a distancies conegudes.
Si es considera que el flux de calor és el mateix, que les seccions de les peces són les
mateixes, i la conductivitat a la temperatura mitjana de cada mostra i les distàncies a que
es prenen els increments de temperatures son les mateixes, llavors es pot escriure que :
λ λ λ1 1 2 2 3 3. . .∆ ∆ ∆T T T= =
On λi és la conductivitat i ∆Ti és l'increment de temperatura en la peça i. La conductivitat
que es busca és λ2, i totes les demés variables son conegudes, per tant, una mesura que
se sol fer de la conductivitat tèrmica sol contemplar els dos resultats (superior i inferior) ja
que matemàticament mai es troba la igualtat exacta de fluxos entre la peça 1 i 3.
(5.2)
Fig.5.3 Situació dels orificis per permetre l’alotjament dels termopars
∆x1
∆x2
∆x3
Projecte final de carrera
Així doncs, el valor experimental de la conductivitat tèrmica que s'agafa és el següent.
On λi és la conductivitat a la temperatura mitjana a que es troba la peça i.
En aquesta senzilla equació i condicions de contorn es basa el conductivímetre per
comparació.
En resum, el conductivímetre per comparació necessita un flux uniforme que travessi una
columna de peces i la coneixença prèvia de la conductivitat de les dues peces extremes.
un cop determinats els increments de temperatura en cadascuna de les tres peces,
l'obtenció de la conductivitat és inmediata amb l'equació anterior (5.3).
2
33112 .2
..T
TT∆
∆+∆=
λλλ (5.3)
Projecte final de carrera
5.2.2 PROBLEMÀTICA
Paradoxalment aquest mètode, tot i tenir un fonament tant senzill i una formulació
d'equacions també senzilles, l' obtenció de resultats precisos, ha estat fins ara dificultós.
El perquè d' aquesta dificultat, s'ha trobat en la llarga experimentació al llarg d'un any
amb el conductivímetre per comparació.
Els problemes principals han estat :
-dificultat en la determinació del gradient de temperatura en cada peça.
-precissió relativa insuficient dels termopars.
-col.locació de les peces.
-manca d'una operativa en la recullida de dades (correció in situ).
El càlcul de la conductivitat en conductivímetres per
comparació es limita en primer terme al càlcul de gradients
de temperatures, per tant, la bondat dels resultats depèn
exclusivament en primera instància de la precissió en que
es determinin els gradients de temperatura. En particular
en aquest estudi, els gradients a determinar es mesuren en
longituts relativament petites, les quals comporten a errors
no despreciables que dificultaran una bona apreciació del
gradient real. Aquest fenomen s’explica detalladament en
els capítols 8 i 9.
Aquest problema afecta directament al problema anterior,
ja que la manca de precissió introdueix un error en el càlcul
del gradient de temperatura. Tot i que els termopars tenen
una precissió considerable, la necessitat d’obtenir la
diferència relativa real de temperatures entre dos punts
molt propers dificulta molt l’avaluació del gradient tèrmic.
• Dificultat en la determinació
del gradient de precissió
• Precissió relativa insuficient
dels termopars.
Projecte final de carrera
Encara que la precissió dels termopars pugui ser en error
percentil (%) molt petit, per a temperatures elevades, un
error de 1º entre dos termopars a la mateixa temperatura
de 300º suposa introduir una font d’error en l’avaluació del
gradient de temperatures. És per aquest fet que s’ha
introduit el sistema de referenciació in situ per al càlcul de
la conductivitat tèrmica.
A tall d’exemple s’introdueix el següent cas :
Es tenen dues peces de conductivitat 40 Wm-1K-1 i 10 Wm-1K-1 respectivament, ambdues
amb un gruix de 25 mm.
Si es posen les dues peces en columna sota un gradient de 50º, s’obindria en teoria una
distribució de temperatures com la següent :
Peça A: λ=40 Peça B: λ=10
10º
40º
Peça A: λ=40
Peça B: λ=10
Fig.5.4 Distribució teòrica de temperatures.
Projecte final de carrera
El qué significa que s’obtindría un gradient teòric de 0,4º per mm en el primer tram i 1,6º
per mm en el segon.
Donant una longitut de18 mm entre cada forat de lectura de termopars, s’obtindría pel
primer tram, una diferència de lectures en els termopars de :
I similarment en el segon:
El quocient dels quals donen evidentment la relació de conductivitats.
Si es suposa que es té un une error de 1º per a cada termopar, en el pitjor dels casos es
podria obtenir el següent resultat respecte al quocient de increments de temperatura:
Discrepant un 48 % del valor real.
Un problema no tèrmic, encara que no per aixó menys
important ha estat la dificultat d’aconseguir un bon
centratge de les peces de la columna. El problema es deu
en gran part al sistema de premsapeces, el qual una gran
majoria de vegades fa rotar les peces i les descentra.
Aquest problema seria fàcilment solventable amb un
premasapeces de diferent concepció. (Fig.5.5).
º2,7º4,0.18 =mmmm
º8,28º6,1.18 =mmmm
4º2,7º8,28
==B
Aλ
λ
92,522,728,28
=−+
=errorB
Aλ
λ
• Col.locació de les peces
Projecte final de carrera
La operativa que s’utilitzava anteriorment per extreure el
valor de la conductivitat porta implicita una acumulació
d’errors que actualment s’ha solventat amb la referenciació
in situ i tractament posterior de dades. Aquests temes són
ampliament exposats en el capítol 8 i 9.
5.2.3 COMPROVACIÓ DE HIPÒTESIS EN EL CÀLCUL DE LA CONDUCTIVITAT
En un primer contacte amb el conductivímetre, era sabut que els resultats obtinguts fins
aleshores per altres investigadors no havien estat satisfactoris. Així mateix, el fabricant,
alertava que un error entre les potències obtingudes en les peces superior i inferior
havien d'estar per sota el 30 %, d'altre banda s'haurien de desestimar els resultats.
Aquest 30 % dona una idea aproximada de la precissió d’ aquest conductivímetre per
comparació.
En les primeres proves que es van realitzar al laboratori es van confirmar les
observacions d'altres investigadors : Els resultats obtinguts discrepaven dels esperats, els
gradients de temperatures es desviaven entre un 20 i un 30 % dels resultats esperats.
En un primer moment es va creure en la necessitat de comprobar si totes les suposicions
i simplificacions fetes en el model eren realment aplicables al conductivímetre. Les
simplificacions acceptades són:
- Conductivitats constants de les peces. La conductivitat de les peces és
constant , és a dir :
- Flux uniforme. Es considera que el flux de calor travessa
transversalment les peces.
• Manca d’operativa en la
recollida de dades
.),,,( ctantTzyx =λ
Projecte final de carrera
Conductivitat constant La primera simplificació que es fa en el procés de determinació de la conductivitat, és
suposar la conductivitat de la peça constant (a la temperatura mitjana de la peça). La
conductivitat essencialment per a un metall és funció de la seva temperatura, per tant, la
peça tindrà una conductivitat diferent al llarg del seu eix longitudinal. En els càlculs que es
realitzen, però,per a determinar la conductivitat s’utilitza sempre la conductivitat a la
temperatura mitjana de les mostres, per tant és una simplificació en la que és considera
un amitjanament de les propietats conductores de la peça. Es presenten en l’annex 9
algunes gràfiques de diferents materials on s'observa la dependència de la conductivitat
amb la temperatura.
Es va desestimar en un principi aquesta simplificació i es va incloure en les equacions
una λ variable (lineal) λ=a+b.T. amb la sorpresa que els resultats continuaven essent
quasi els mateixos que suposant λ =ctant, amb una diferència de resultat entre λ constant
i λ variable de 10-6 unitats. Aquesta curisositat queda revelada en l’annex 4.
Evidentment, la simplificació de λ(T) =ctant era prou bona, posteriorment es va
comprobar que la conductivitat versus temperatura, per a la gran majoria de casos varia
lentament i linealment en els intervals de temperatura a que es troba cada peça,
posteriorment es va arribar a la conclusió, que pel increment de temperatures en que es
troben les peces (20 graus màxim) la conductivitat es pot considerar o aproximar
perfectament per una recta. λ=a+b.T. En aquest cas, considerant la conductivitat tèrmica
com una funció lineal de la temperatura, el resultat que s'obté de la conductivitat
incògnita, és exactament la mateixa que havent considerat la conductivitat de la peça a la
temperatura mitjana. Per tant la simplificació de considerar λ(T) =ctant, és correcta.
Aquesta afirmació queda demostrada en l’annex 4.
Projecte final de carrera
Flux uniforme Una segona simplificació que es fa en aquest model, i fonamental per al càlcul de la
conductivitat, és el que fa referència al flux uniforme de calor a través de les tres peces.
Exigir un flux de calor uniforme al llarg de les peces (sentit vertical), és en difinitiva, exigir
una distribució de plans isotèrmics (horitzontals) , és a dir, al voltant de les tres peces i
per a qualsevol alçada s'ha de tenir la mateixa temperatura en el pla horitzontal per a
garantir la nulitat de flux radial.
Per a aconseguir un flux unidireccional de calor o el qué és el mateix, plans horitzontals
isotèrmics (Fig.5.5) al voltant de les tres peces, es poden utilitzar bàsicament dues
metodologies :
1-disposar al voltant de les tres peces una resistència molt més gran
que la que suposa la pròpia pila de peces, a la fi de conduir
forçosament el flux de calor a través de les peces.
2-disposar al voltant de les peces un dispositiu , que iguali en cada
alçada la temperatura de la pila central. Així, al establir un grup de
superficíes planes isotèrmiques, el flux de calor, forçosament haurà
de prendre la direcció perpendicular a aquests, és a dir atravessant
les tres mostres.
Superfícies isotermes
Flux de calor
Plans isotèrmics
Projecte final de carrera
El conductivímetre TCFCM utilitza una combinació dels dos mètodes anteriors, potenciant
així l'efecte final. La pila central, amb les tres peces ,està envoltada d'un forn de guarda
que s'encarrega de mantenir un gradient lineal de temperatures el més semblant possible
a la pila central a la mateixa vegada que les mostres estan envoltades de pols altament
aillant (pols de diatomàcees).
Aquest forn de guarda, senzillament és una anell exterior a la pila, del qual es pot
controlar la temperatura dels seus dos extrems, així es té la possibilitat d'aconseguir un
gradient lineal de temperatura a l'entorn de les tres peces :
Pila
Forn de guarda
Fig.5.6 Distribució teòrica de temperatures al forn de guarda.
Pols aïllant Forn de guarda
Premsapeces
Fig.5.5 Identificació del forn de guarda.
Projecte final de carrera
Entre la pila central, composada per les tres peces, i el forn de guarda es diposita aïllant,
per potenciar més l’efecte de conducció del flux en sentit longitudinal. L'aïlllant sol ser
pols de diatomàcees, la conductivitat d'aquestes sol èsser de l'ordre de 100 vegades
menys conductora que els metalls. En valor absolut, la conductivitat de les diatomàcees
és de (0,02÷0,08) W/mK.
La distribució de temperatures al llarg del nucli central s'ha pogut comprobar
experimentalment amb una única peça de gran longitut. El resultat ha estat que les
distribucions de temperatures interiors segueix una forta tendència lineal com era
d'esperar i no s'hi han trobat anomalies. Els resultats sobre l’anàlisis de la peça única
estan desenvolupats en el capítol 8.
Com preveu la teoria, en la pila central es tenen dos gradients diferents, un per a la
mostra i una altre per les dues referències (Fig. 5.7).
Fig.5.7 Distribució teòrica de temperatures de la pila.
Pila
Forn de guarda
Projecte final de carrera
En realitat s'ha trobat que a més d' aquesta diferència de pendents (tal i com preveu la
primera llei de Fourier) es tenen uns salts de temperatura importants en les interfícies
(Fig 5.8).
Aquest salt de temperatures és degut a que en les interfícies coexisteixen nous fenòmens
de transferència tèrmica : conducció gaseosa, convecció i radiació. D'aquests tres nous
fenòmens, el que pren més rellevància enfront dels altres és la conducció gaseosa. Fent
càlculs (annex 7), s'arriba al següent resultat sobre el paper que hi juga cada tipus de
transferència.
Pila
Forn de guarda
Fig.5.8 Distribució real de temperatures de la pila.
Conducció sòlid
Conducció gas
Convecció Radiació
Fig.5.9 Proporció de transferència calorífica pels diferents mètodes.
Projecte final de carrera
En el gràfic anterior (Fig.5.9) observem com els dos mètodes més rellevants de
transferència de calor són les conduccións. Les àrees són proporcionals a les potències
(Watts) que travessen les interfícies per a cada tipologia de transferència. Així, tot i tenint
la conducció per sòlids una transferència superficial (Watts/m2) molt superior a la
conducció per gasos, la superfície de contacte és percentualment molt inferior a la
superfície on la continuitat física es veu interrompuda i per tant la transferència total per
conducció sòlid-sòlid es veu reduïda dràsticament, havent de compartir protagonisme
amb la transferència amb la conducció gasosa. El paper que pren ara la conducció
gasosa en la interfície provoca un salt tèrmic en aquesta.
Com es veurà, aquest gradient tèrmic tant elevat a la interfície és degut a que la
conducció gasosa transmet la potència amb menys eficiència que la conducció a través
de sòlids, a consequència d'aquest fet el salt tèrmic ha de ser tant elevat per poder
continuar aportant el mateix flux de calor a la interfície que a través de les peces. A grans
trets, i abans d'aprofundir en el comportament del flux en les interfícies cal fixar-se en que
aquest salt tèrmic representa un elevadíssim gradient tèrmic en les interfícies, per tant es
preveu que el fenomen de la conducció sòlid-sòlid perdi molta importància en les
interfícies. Quan més importància tingui la conducció gasosa en les interfícies de contacte
més elevat serà el salt tèrmic. Per tant, es preveu ja, que la superfície real de contacte en
les interfícies passarà a tenir un valor molt petit compararat amb la secció total de les
peces.
Projecte final de carrera
5.3 RESISTÈNCIA TÈRMICA DE CONTACTE
Un estudi previ en les interfícies de contacte es necessària per a comprendre la forta
discontinuitat de temperatures que tenen lloc en aquestes :
Si es consideren ara dues peces sòlides en contacte com s'il.lustra a la Fig.5.10, amb els
costats aïllats de manera que el calor flueix únicament en direcció axial, el flux de calor ha
de ser el mateix a través de les dues peces sota condicions de estat estacionari. La
experiència mostra que el perfil de temperatura actual varia aproximadament com es
mostra en la Fig.5.11 La caiguda de temperatura en el el pla de contacte entre ambdós
materials és el resultat d'una resistència tèrmica de contacte.
Fig 5.10 Interfícies i superfícies de contacte.
Forta caiguda de temperatura
Pla de contacte
Fig.5.11 Distribució real de temperatures al llarg de la columna
Projecte final de carrera
Tot i essent les superfícies de contacte entre les peces molt pulides per aconseguir un
gran nombre de punts de contacte i així facilitar el pas de calor per conducció sòlid-sòlid,
realment sempre es tenen microcavitats i escletxes entre les peces, fet que comporta a
l’existència de punts entre les superfícies de contacte on no es té continuitat física
material, per tant , la conducció i convecció gasosa intervenen el l'intercanvi de calor a les
interfícies.
Una senzilla modelització de la interfície :
La figura 5.12 esquematitza el contacte entre dues peces. En el contacte entre dues
superfícies existeixen zones on queda garantida la continuitat física, mentre que altres
zones queden mancades d'aquesta continuitat, i per tant la transferència d'energia es
realitzen per fenomens de convecció i conducció gasosa.
Les distàncies que separen les discontinuitats entre les superfícies depenen
fonamentalment de l'acabat de les superfícies d'aquestes. Per a modelitzar el contacte
entre les superfícies es pren una distància mitjana que és representativa de la separàció
entre dues superfícies en tots els seus punts on el contacte és inexistent. A aquesta
distància representativa l'anomenem Lg . Serà important tenir en compte que Lg<<L, on L
és la longitut de dues peces superposades (Fig.5.12).
Fig.5.12 Modelització d’interfícies.
Projecte final de carrera
El procés de pulit de les superfícies també determina en gran part la proporció de
superfícies en contacte. Però és important tenir en compte que la quantitat d'àrea de
contacte entre les dues superfícies és molt inferior a l'àrea de discontinuitat física (buits).
A la superfície total o la secció de tranferència de calor l'anomenarem Atot o A, la
superfície en la que queda garantida la continuitat física l'anomenarem Acond i la resta
de superfície Aconv (Fig.5.12).
Es compleix la següent igualtat :
A A Atot conv cond= +
fent un balanç d'energia entre els dos material A i B obtenim :
q AT T
xT T
h AA
T TxA
A
A
A B
cB
B
B=
−=
−=
−λ λ. .
/ .. .1 2 2 2 2 3
1∆ ∆
On a la quantitat 1 / .h Ac se l'anomena resistència tèrmica de contacte, i hc es
denomina coeficient de contacte o coeficient de convecció. Aquest factor pot ser de vital
importància en certes aplicacions, degut a les diferents situacions de transferència de
calor que involucren unions mecàniques de dos materials.
Cap superfície real és perfectament llisa, i es creu que la rugositat de la superfície pren
un paper molt important en la resistència de contacte.
Existeixen dos contribucions principals a la transferència de calor en la unió :
1- La conducció sòlid a sòlid en els punts de contacte.
2- La conducció a través dels gasos atrapats en els espais buits creats pel
contacte.
(5.4)
(5.5)
Projecte final de carrera
El segon factor representa la major resistència al flux , ja que la conductivitat tèrmica del
gas és bastant més petita que la dels sòlids.
Podem escriure per al flux de la unió tenint en compte la nomenclatura
qT T
L A L AA
T TL
T Th A
A B
g A cond g B condf conv
A B
g
A B
c=
−+
+−
=−2 2 2 2 2 2
2 2 1/ . . / . .. .
/ .λ λλ
On Lg és l'espesor mitjà de l'espai buit i λf és la conductivitat tèrmica del fluid que omple
l'espai buit. A és l'àrea de secció transversal total de les barres. Si resolem hc , el
coeficient de convecció s'obté :
hL
AA
AAc
g
cond A B
A B
convf= ⋅ ⋅
++ ⋅
1 2λ λλ λ
λ.
En la majoria de casos, l'aire és el fluid que omple els buits i λf és petita comparada amb
λA i λB . Si l' àrea de contacte és petita, la major resistència tèrmica resulta de l'espai buit.
El problema principal respecte a aquesta senzilla teoria ha estat determinar els valors
efectius de Acond , Aconv i Lg . La determinació d'aquests paràmetres són estremadament
difícils de determinar.
La superfície de contacte és un paràmetre determinant per aconseguir una conducció de
la calor òptima. Per aconseguir que la superfície de contacte entre dues cares augmenti
es pot recòrrer a pressionar una cara contra l'altre a fi i efecte de augmentar els punts de
contacte. El conductivímetre TCFCM disposa d'un pertit cargol per pressionar les peces,
però bàsicament el seu servei és mantenir les tres peces inmòbils durant el muntatge del
procés.
La pregunta que es questiona ara, és determinar com efecte la pressió a que es sotmeten
les peces sobre la superficie total de conducció. Es proposa a continuació un model de
superfícies, per a poder valorar a grans trets quins poden ser els valors de les àrees.
(5.6)
(5.7)
Projecte final de carrera
5.4 MODELITZACIÓ DE SUPERFÍCIES Si amb un comparador de precissió s'escaneja una superfície pulida i es recullen diferents
mesures aleatòries del relleu de la superfície, s'obtíndrà una base de dades de les
característiques d'aquesta, és a dir, de la diferència d'alçades relatives entre diferents
punts.
palpador
superfície
Projecte final de carrera
Ara bé, la superfície mesurada amb comparador difereix de la superfície real ja que el
palpador no pot seguir realment totes les depressions existents o microcavitats.
Així doncs, la superfície mesurada és el resultat de l’exploració, amb l’ajuda d’instruments
de mesura de la superfície real. Aixó explica en part la diferència que existeix entre la
superfície real i la superfície mesurada. La diversitat d’instruments i les diferents
tècniques poden donar a partir d’una mateixa superfície real, superfícies de mesura
diferents.
Si una superfície es talla per un pla normal a ella mateixa s’obté una corba anomenada
perfil de la superficie. És a partir d’aquest perfil que s’examinen els diferents defectes de
superfície.
superfície palpador
Direcció del perfil geomètric
Escales en µ
2
200
ondulació
estries
Fig.5.13 Secció aumentada de material pulit
Projecte final de carrera
Els defectes geomètrics es reparteixen en tres ordres de magnitut :
n Defectes de primer ordre. Són els defectes de forma. Per exemple desviacions d’alineació, desviacions de
rodonesa, etc.
n Defectes de segon ordre. Es caracteritzen per una línea ondulada. S’obtenen fent l’envolvent superior que passa
per la majoria de sortints. Aquesta envolvent és la que aproximadament detecta el
palpador del comparador.
n Defectes de tercer ordre. Caracteritzen la rugositat de lasuperfície.
Els defectes de tercer ordre son els defectes constituïts per les estries o sots. Els
defectes de quart ordre son defectes aperiòdics.
És necessari estudiar estadísticament el relleu de les superficies amb la finalitat de
preveure el seu comportament en el contacte amb una altre superficie.
Els resultats d’una exploració d’una superfície poden ser molt diferents depenent de la
exactitut en que es mesura. No és el mateix mesurar la superfície real amb sistemes
microscòpics que amb sistemes mecànics. Amb sistemes microscòpics es coneix el relleu
de la superfície fins als defectes de tercer ordre, mentre que amb sistemes mecànics
només s’arriba a detectar el defectes de segon ordre, i si aquests no són molt acurats,
ens quedem amb defectes de primer ordre.
Projecte final de carrera
Si per exemple es fes un histograma de la superfície real d’un disc de vinil, la seva
aparença seria semblant a la següent:
Suposem que tenim una superfície i tres aparells de mesura diferents amb precisions i
formes diferents:
El palpador nº 1 mesura quasi exclusivament
les crestes de la superficie, per tant
s’obtindran només els màxims d’aquella
superficie
1 2 3
superfície disc de vinil
0
5
10
15
20
25
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10pr of undi t a t
valls
crestes Fr
eqüè
ncia
abs
olut
a
Projecte final de carrera
El palpador nº 2 (realment seria amb sistemes
microscòpics), mesura molt afinadament la
realitat de la superfície real, i per tant es
tindria una lectura quasi exacta de la
superfície al detectar els defectes de tercer
ordre
El palpador nº 3 captaria les ondulacions dels
defectes de segon ordre i i té una precissió
intermitja als palpadors nº 1 i nº2.
Si es realitza un histograma real de la superfície (palpador nº 2), es tindria un histograma
com ara el següent:
.
VALLS
CRESTES
Projecte final de carrera
Realment però, el que interessa per a aquest estudi són les crestes dels materials, ja que
són aquestes les primeres en entrar en contacte amb una altre superfície.
Si es fa un histograma de les crestes de la superficie (palpador nº1)el que s’obté tendeix
a la forma :
En principi, s’assimilarà la distribució de màxims del material (crestes) a una distribució
normal, distribució millorable per a altres estudis en els quals s’adoptin distribucions
diferents a partir de valors reals.
A continuació es proposa el model normal per a la distribució d’alçades de conjunts de
crestes d’un material. Evidentment aquest és un model, i si fos necessari, els models
poden ser perfeccionats si s’obtenen dades de cada superfície en concret per obtenir-ne
la seva distribució d’alçades. Partim d’una secció augmentada de material de superfície
pulida :
Projecte final de carrera
A continuació s’associa a cada cresta un molla :
En teoria, la distribució d’alçades de les crestes ha de seguir una distribució normal :
Realment la distribució gaussiana té els seus límits en aquest model, ja que es preveuen
models superficials que difereixin substancialment del model Gaussià.
F(t)
Fig.5.14. Modelització d’ una superfície
Fig.5.15 Distribució gaussiana
Projecte final de carrera
A partir d’ara, si no es diu el contrari, les distribucions a que es farà referència al llarg
d’aquest capítol són referents a les crestes del material. Les crestes són els primers punts
del material en entrar en contacte amb una altre superfície, és per aquest fet que ara ens
centrarem en les crestes del material.
Per a una superfície pulida es tindrà un rang reduit de la distribució de crestes mentre que
per a una superfície poc pulida, el rang o domimi de lectures serà més gran
Suposem que tenim dues superfícies ben definides, és a dir, amb la distribució de crestes
(Fig.5.14 i Fig.5.15).
El comportament de la superfície és semblant al d'un conjunt de molles de diferents
longituts, oposades unes contra les altres (Fig 5.17). Aquest model, encara que en principi
es apropiat, ja que els materials en que es treballa son metalls i aquests presenten una
llei lineal en el primer tram de la corba elàstica (tensió-deformació), té els seus limits en
les deformacions plàstiques degudes a grans pressions que succeixen en microzones. :
Superfície molt pulida
superfície poc pulida
Fig.5.16 Distribucions d’alçades de diferents qualitats de superfícies
Fig.5.17 Apropament de dues superfícies
Projecte final de carrera
El procés de contacte entre dues superfícies és la següent : En un primer moment prenen
contacte els punts de les dues superficies que sobresurten més, en el model de les
molles, entrerien en contacte primer el punts als quals la suma de les llargades de la
molla fos màxima. A partir d'aquest punt, per aconseguir que més punts de la superfície
estiguin en contacte serà necessari pressionar les dues superfícies, ja que ara la
existeixen molles en contacte i ofereixen resistència a l’aproximació d’ambdues.
Evidentment, quan més es vulguin aproximar les dues superfícies, una major pressió
s'haurà d'exercir , ja que un major nombre de molles estarà en contacte.
La llei de Hook estableix :
On σ és la tensió aplicada, ε és la deformació unitària i E és la constant de
proporcionalitat entre les tensions i les deformacions coneguda com a mòdul dèlasticitat,
el seu valor depèn del tipus de materials. Aquesta llei és vàlida únicament en el tram
lineal de les deformacions enfront dels esforços.
Alguns valors de E de materials més usuals són :
Material E, Kg/cm2
Acer (2.-2,2.).10^6
Coure 10^6
Fusta 10^5
Alumini 0,675.10^6
Ferro fos (0,75-1,6).10^6
Plàstic de fibra de vidre (0,18-0.40).10^6
En la figura següent fig 5.18 es modelitza la superfície d'una de les cares de les peces. Xo
és l'increment entre el punt més alt de la superfície i el més baix. Com que el model està
matematitzat per una corba de Gauss, matemàticament la probabilitat de trobar un punt a
εσ .E= (5.8)
Projecte final de carrera
qualsevol alçada o profunditat de la superfície no és diferent de zero. Evidentment,
físicament aquest cas no és així, ja que existeix una acotació per els punts més elevats, i
una altre pels punts més baixos. S'ha agafat en aquest cas una distància significativa de
Xo que representi la realitat, una aproximació de Xo de 6 desviacions tipus, es a dir , 6σ,
distància que inclou el 99.8 % de punts de la superfície.
Per a facilitar el modelatge, es farà interaccionar la superfície real (de molles) amb una
superfície totalment plana, la penetració de la qual dins de la superfície modelitzada ve
donada pel paràmetre X.
Es prendrà com a referència zero tres desviacions tipus més enllà de la mitjana de les
crestes. Per tant el pla zero seria el pla extrem de la superfície.
Ara, per aplicar l'equació de Hook és necesari conèixer prèviament quin valor de la
superfície de contacte tenim per a cada x donat. Evidentment per x=0→ S=0 , i per x=Xo
→ S=So. Tot i que el model que es proposa aquí només serveix per els primers moments
de contacte, ja que només es contempla la conexió entre crestes i no de la superfície
total, conexió per a la qual s’hauria d’arribar a deformacions plàstiques.
Fig.5.18 Modelització
Projecte final de carrera
La modelització prèvia que hem fet
de la superfície mitjançant la corba
de Gauss a partir de les dades
experimentals del relleu de la
superfície ens donen una funció
matemàtica f(t). Per a una distància
arbitrària x a partir del punt més
allunyat de la superfície, l’àrea
donada sota la corba fins al punt X es
la probabilitat de trobar crestes més
petiques que la distància X , Aquesta
probabilitat ve donada per l'àrea
continguda fins aquest punt
(Fig.5.19).
Per exemple, si x=0, la probabilitat de que una distància o en la modelització, una molla
toqui la superfície totalment plana és del 0,14%. si X=X0=6σ la probabilitat de que
aquesta mateixa molla toqui el pla teòric és del 99.86 %.
Evidentment, aquesta àrea sota de la funció, representa la totalitat de la superfície que
està en contacte de les dues superfícies (perfectament plana-modelitzada). Per tant, la
funció que representa la superfície de contacte en funció de la distància de penetracio x
és la següent :
dttfSoxSX
.)(.)(0∫=
On So és la superfície total que formarien totes les crestes del material i f(x) la funció de
probabilitat.
(5.9)
Fig.5.19 Àrea i probabilitat
Projecte final de carrera
Per fer el calcul de l'expressió de la llei de Hook , serà necessari integrar la expressió
anterior :
∫=X
dttfxF0
).()(
Llavors: S x So F x( ) . ( )=
Matemàticament, resulta :
si x=0 → S(x) ≈ 0
si x=X0 → S(x) ≈ S0
Plantejem ara la llei de Hook per al model proposat en la fig 5.20.
(5.10)
(5.11)
fig 5.20 Probabilitat a profunditat X.
εσ .E= (5.12)
Projecte final de carrera
Aquesta llei és vàlida per a cada molla del model proposat.
Tenim que ε és per a cada molla, el seu escurçament dividit per a la seva longitut inicial,
és a dir :
Per a poder aplicar la llei de Hook al conjunt de molles s'escull una ε representativa de
l'escurçament de totes les molles.
S'han de donar ara els valors correponents als valors mitjans de l'equació anterior. El
valor de X 0, tenint en compte que és la longitut mitjana de les molles del model en estat
de repòs.
El valor de X és el valor representatiu de l'escurçament mitjà de totes les molles al ser la
superfície modelitazada penetrada per una superfície plana perfecte una distància x. Si
totes les molles tinguessin la mateixa longitut, el valor representatiu de l'escurçament de
les molles seria evidentment x, ja que totes elles prendrien contacte amb la superfície
(5.14) 0X
X=ε
(5.13) 0X
X=ε
ε.)()( E
xSxN
= (5.15)
0
.)()(
XXE
xSxN
= (5.16)
Fig.5.21. escurçament d’un molla
Projecte final de carrera
teòricament plana al mateix temps i totes minvarien amb el mateix valor. En el model
presentat les longituts de les molles presenten però una distribució de campana de
Gauss, per tant, no totes les molles prenen contacte en el mateix moment amb la
superfície teòrica, per tant, s'ha de fer una estimació de quina és la disminució de la
longitut mitjana total de les molles per a una penetració x donada.
En la Fig.5.22 per a una penetració de x donada, la mitjana representativa de les longituts
totals, és la mitjana (centre de gravetat de l'area sota la corva fins al punt x ).
Per tant
Si x és el valor mitjà de les profunditats en referència a la molla més llarga, llavors el
tram mitjà comprimit és x X− .
El mateix efecte tenim amb el valor promig de les molles ( X 0) per a una distància x
donada. El valor de X 0 serà doncs la distància entre el punt de base les molles i el punt
(5.17) ∫∫= X
X
dttf
dttftx
0
0
).(
).(.
Fig. 5.16
X x
Projecte final de carrera
de mitjana de longituts de molles entre 0 i X. Es a dir :
∫∫
−= X
X
dttf
dttftX
0
00
).(
).(.6σ
Substituint tots els valors en
S'arriba a : (Tenint en comte que Xo comença a la base (6 sigma)
I substituint per f(t) :
(5.18)
)()(.)(0
xSX
XxExN ⋅−
= (5.19)
∫∫
∫
∫∫
−
⋅
−⋅⋅
=
X
X
X
X
X
dttf
dttft
Edttf
dttftxSdttf
xN
0
0
0
00
0
).(
).(.6
).(
).(.).(
)(
σ
(5.20)
dte
dtet
Edte
dtetxSdte
xN
Xt
Xt
X t
X t
X t
.
..6
.
...
2.1
)(
0.2
)(0
.2)(
0
.2)(
0
.2)(
00
.2)(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
∫
∫
∫
∫∫
−−
−−
−−
−−
−−
−
⋅
−⋅⋅
=
σµ
σµ
σµ
σ
µ
σµ
σ
πσ
(5.21)
Projecte final de carrera
I desenvolupant igualment per a la superfície, obtenim :
On
N(x) : força a aplicar per aconseguir penetrar una profunditat x
So : secció total
E : mòdul d'elasticitat
µ : profunditat mitjana
σ : desviació tipus de les mostres.
La tipologia general de la funció anterior (5.20) és la següent :
SodtexSX
t
..2.
1)(0
.2)(2
2
⋅= ∫
−−
σ
µ
πσ (5.20)
x
N(x)
0 2 4 6 8 100
2
4
6
8
10
Fig.5.23. Esforç versus desplaçament
Projecte final de carrera
La tipologia de (5.22) pren la forma :
El significat de les gràfiques anteriors està plenament d'acord amb el que cabria
presuposar del comportament del contacte entre dues superfícies. Respecte a la primera
gràfica (Fig.5.23) el comportament és l'esperat, per a penetracions o aproximacions
petites entre les superfícies de l'ordre de 1σ la força que s'ha de fer per aproximar dites
superfícies és manté constant a quasi zero, aquest comportament és d'esperar ja que els
contactes en aquest primer instant són pocs. a mesura que la distància de penetració va
augmentant, l'esforç puja subtadament. A partir d'un punt (aproximadament 6 σ) l'esforç
que s'ha de fer per continuar aproximant les dues superficies és lineal. Aquest
comportament s'ha de donar, ja que ha partir d'una certa pressió, la superfície total de
contacte roman quasi constant, aleshores la llei de Hook és vàlida macroscòpicament i
els increments de longitut passen a ser proporcionals a les tensions.
Respecte a la segona gràfica (Fig.5.24) el resultat també és l'esperat amb el model, a
partir d'una certa distància de penetració, la superfície contactada per una altre superficie
totalment plana convergeix cap a la superfície o secció total So.
X
S(x)/S0
0 2 4 6 8 10
Fig.5.24. escurçament d’un molla
1
0
Projecte final de carrera
L'equació (5.21) que ens relaciona N(x) amb x hauria de convergir amb la llei de Hook per
a valors suficienment grans, ja que a partir d'una x elevada (x>6σ) els termes següents
convergeixen cap a les següents expressions :
→ 1
→ 3 σ
Llavors, l'expressió assoleix la forma :
Reordenant termes :
Equació que concorda amb la llei de Hook i per tant convergeix amb la teoria
macroscòpica.
Aquest estudi preliminar es necessari si es vol conèixer previament quina totalitat de la
superfície de dues peces està en contacte per a determinar Acond . Una utilitat
important, però poc fiable és fer una estimació de l'esforç a que s'han de mantenir les
peces a fi i efecte d'assegurar un contacte mínim. Aquest estudi tant sols intenta
modelitzar a petits trets el comportament en el contacte entre dos superfícies. Les
mancances del model poden ser moltes, com per exemple la no contemplació de la
∫+→
X
xdttflim
0inf
).( (5.23)
∫
∫−
−
−−
+→ X t
X t
x
dte
dtetlim
0
.2)(
0
.2)(
inf
.
..
2
2
2
2
σµ
σµ
(5.24)
ExSExSxN ⋅−
=⋅−−
=σ
σσσσ
3)3.(
36)3.()( 00 (5.25)
(5.26) σ
σ3
)3(.)(
0
−=
xES
xN
Projecte final de carrera
plastificació puntual de microzones on la pressió pot superar la pressió del material de
fluència. En aquestes zones es donaria un contacte superficial del quasi el 100 %,
invalidant en part la distribució estadística donada. Tot i tenint en compte aquestes
deficiències, el model ens ajuda a representar en una primera aproximació aquest
comportament.Un cas teòric a aplicar al model donat pot contrastar-se amb dades reals
extretes de diferents assajos.
Considerem dues superficies de 20 cm2 amb una distribució de superfície de (0-0,6) mm.
σ=0,1 i E=2100000. i la mitjana 3. S'obté :
x N(Kg) S(%) P (Kg/cm2) Pefec (Kg/cm2) 0 0 0 0 0
0,01 1,0709 0,05159 0,053545 103,789494 0,02 5,4207 0,1205 0,271035 224,925311 0,03 15,696 0,2117 0,7848 370,713274 0,04 36,458 0,3311 1,8229 550,558744 0,05 75,3911 0,4859 3,769555 775,788228 0,06 145,181 0,6847 7,25905 1060,17964 0,07 266,304 0,9374 13,3152 1420,43951 0,08 471,191 1,2553 23,55955 1876,80634 0,09 810,014 1,6514 40,5007 2452,50696
0,1 1358,91 2,14 67,9455 3175,02336
E=2100000 sigma=1 Superf=20 cm2
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12
x
N(x
)
0
2
4
6
8
10
12
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12
x
Supe
rfíc
ie(%
)
0
20
40
60
80
100
120
0 1 2 3 4 5 6
Fig.5.25 Esforç a compressió Fig.5.26 Superfície de contacte
Projecte final de carrera
Per a validar aquest resultat és necessari contrastar-ho amb els resultats obtinguts amb
diversos assajos realitzats a laboratori. El nostre model en que la superfície de contacte
entre dues superfícies pulides les superfícies de les quals presenten una distribució
normal i que la rugositat en aquesta sigui de varis ordres de magnitut inferior als
diàmetres d'aquestes, prediu que per aconseguir superfícies de contacte porcentualment
petites (1%) es necessiten pressions elevades 23 Kg/cm2, i per arribar a contactes de un
2% de superfície es necessitarien uns 70 Kg/cm2 . Per a percentatges més elevats de
contacte superficial (15%), s'haurien de sotmetre les peces unes compressions
impracticables de 40.000 Kg/cm2, evidentment, el material ja hauria passat pel punt de
fluència. Per tant el model no és aplicable a partir de pressions elevades, o el qué és el
mateix, a partir de percentatges d'area de conducció elevades.
Per tant, és important tenir en compte que aquest model és vàlid només en el tram lineal
(compressions-deformacions), i s'ha de tenir especial atenció en considerar que aquest
deix de ser vàlid en quan les pressions que s'obtenen sobrepassen el límit de fluència del
material. Quan s'arriba a aquest punt, que realment s'inicia per zones microscòpiques on
s'ha rebasat el límit de fluència, és produeix una plastificació i localment pren contacte un
elevadíssim percentatge d' àtoms, millorant així la conducció. Evidentment, si fos de vital
importància assegurar un contacte molt elevat, tant sols caldria exposar les dues peces a
0
0,25
0,5
0,75
1
1,25
1,5
1,75
2
2,25
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600
Pressió (Kg/cm2)
% s
uper
fície
Força(Kp)
Fig.5.27 Superficie vs esforç Fig.5.28 Guany marginal
0,0001
0,001
0,01
0,1
11 10 100 1000
N(kg)
inc(
N)/i
nc(S
)
Força(Kp)
Projecte final de carrera
la compressió de fluència de la mostra de menor tensió de fluència, així ens
asseguraríem un contacte superficial elevat. Però el principal problema en que ens
trobem és que els metalls en que s'està treballant presenten una tensió de fluència
elevada, de l'ordre de uns quants milers de Kg/cm^2 , tenint en compte que les seccions
tenen uns 20 cm^2, les pressions a donar serien massa elevades i es necessitarien
premses descomunals. Ens centrarem doncs únicament en les tensions que produeixen
deformacions lineals.
Per tant, aquest model prediu que un gran increment de pressió no comporta a una
millora apreciable (en el tram lineal compressions-deformacions) de conducció a partir
d'una area efectiva de contacte de un 1%.
Ara comprovarem si efectivament l'àrea de contacte és percentualment tant petita com
prediu el nostre model :
Anem a determinar de quin ordre és l'area de conducció, per tant , en la comprovació
següent suposarem que tant la peça A com la B estan fetes amb el mateix material.
Podem escriure doncs
λ λ λAB
A condB A
ggas conv
B A
gA
T Tx
AT T
LA
T TL
⋅ ⋅−
= ⋅ ⋅−
+ ⋅ ⋅−2 2 2 2 2 2
∆
Fig.5.28
(5.27)
Projecte final de carrera
Si despreciem la part deguda únicament a convecció obtenim el següent resultat :
% . .AT TT T
Lxcond
B
B A
g<
−−
100 2 2
2 2 ∆
Que ens acota superiorment el percentatge de superfície en contacte.
Per al valor de Lg podem recòrrer a determinar l' estat de les superfíces amb un
comparador, per poder determinar el valor mitjà d'aquest.
Comprovem de quin ordre és aquesta superfície introduïnt valors característics obtinguts
a laboratori :
T2-T2B = 10
T2B-T2A = 5
x = 2 cm
Lg = 0.001 cm
L’expressió (5.28) dóna un valor de % Acond < 0.1 fet que concorda amb el model , ja que
preveu una superfície de contacte ínfima.
(5.28)
Projecte final de carrera
5.5 Conclusións La conclusió final sobre aquest apartat és la següent :
Per a tenir una bona conducció en les interfícies, el millor és aconseguir un bon poliment
de les superfícies, si aquestes presenten concavitats o convexitats, els punts de contacte
entre ambdues poden arribar a ser del tot insignificants (<<0.01 %). En el cas de
presentar la superfície punts no pulits que sobresurtin, afectaran aquests punts que
sobresurten als seus inmediats veïns impossibilitant-los de mantenir un contacte amb la
superfície contrària i afectant greument la conducció. En els millor dels casos, si
aconseguim un bon acabat de les superfícies l'alçada dels punts d'aquesta han de seguir
una normal, ja s'ha vist que tot i així la superfície de contacte és ínfima, però no
despreciable. Per tant s'ha d' aconseguir un bon puliment de les superfícies de contacte i
pressionar-les durant els assajos.
Tenint en compte que a partir de pressions relativament baixes s’aconsegueix el millor
increment en la conducció i que per arribar a un percentatge de superfície notable s’han
de practicar compressions, un disseny que presenti un equip que permeti grans
compressions és innecesari, realment donant una pressió mecànica manual és suficient,
ja que el rendiment marginal (fig.5.28) és molt més important a compressions baixes.
S'ha vist la importància del fenomen de la convecció. La convecció transmet la calor amb
més dificultat que la conducció, per tant, al participar ambdues (convecció + conducció)
en la transferència de calor en les interfases, el salt de temperatura a la interfase serà
forçosament major que en el cas d'existir continuitat únicament sòlida, ja que ara , la
resistència que ofereix la interfície és major, per tant, per a garantir un mateix flux de
calor s'ha d'incrementar el salt tèrmic.
Quan més elevat sigui el percentatge de convecció entre les dues superfícies (enfront la
conducció) , més gran serà el salt tèrmic. Aixó és degut a que al treballar en paral.lel els
dos sistemes, i al tenir un coeficent de transferència més baix la convecció que la
conducció, quan major importància té la convecció més gran ha de ser el salt de
temperatura a fi i efecte de mantenir la potència constant al llarg de la peça.
Projecte final de carrera
La solució òptima seria poder aconseguir que en les interfícies, la conducció fos el més
gran possible enfront a la convecció, ja que quan més important és el paper de la
conducció, més fàcilment la potència travessa la mostra, d'aquesta manera s'aconsegueix
millorar l'objectiu de tenir un flux de calor axial el més gran possible enfront de pèrdues
laterals.
Per aconseguir un paper més important de la conducció enfront de la convecció es pot
recòrrer a diferents solucions : pulir les superficies de contacte, col.locar líquid conductor
a la interfície, pressionar mínimament les peces... peró totes elles no evitaran una
caiguda sobtada de temperatura a la interfície ja que el percentatge en aquesta que
careix de contacte directe és molt elevat, per tant qualsevol sobreesforç en aquesta
direcció careix de sentit i s’han de buscar en consequència altres mètodes per aconseguir
l’objectiu inicial: un flux longitudinal de calor i el més gran possible.
Projecte final de carrera
Capítol 6 Mètodes d’aïllament
6.1 Introducció 6.2 Mètodes d’aíllament 6.3 Conclusions
Projecte final de carrera
6 MÈTODES D’AÏLLAMENT 6.1 INTRODUCCIÓ L’aillament tèrmic és un dels requisits que ha de cumplir un bon conductivímetre per
apropar-se a les condicions d’idealitat. Aquest aïllament tèrmic, a més, s’ha de cumplir
només en una determinada direcció.
L’aïllament tèrmic ha estat per a l’enginyeria un dels reptes a vèncer per aconseguir un
mateix objectiu, minimitzar la transferència de calor. En la industria alimentaria , en la
construcció i empreses de tots els àmbits s’utilitzen diverses tipologies d’aïllament tèrmic
per aconseguir diversos objectius (estalvi energètic, refredaments elevats,
escalfaments ...). En l’última decada s’han aconseguit aïllants millors i més barats, tot
aixó gràcies a la recent investigació en un dels camps en plena expansió en el món de
l’enginyeria, els aïllants. Un dels exemples més importants aconseguits en aquesta
dècada han estat la dels materials anomenats aerogels, d’una densitat comparable a la
de l’aire i conductivitat tèrmica extremadament baixa.
Per a un conductivímetre, l’aïllament tèrmic és extremadament important, ja que es pretén
obtenir un flux de calor en una direcció determinada (axial) i anul.lar les fuites de calor
radials. Per aconseguir aquest objectiu d’aillament es pot recòrrer a vàries tècniques,
desde materials de baixa conductivitat, fins a sistemes més sofisticats com forns de
guarda que dificulten la transmissió radial de calor.
Projecte final de carrera
6.2. AÏLLAMENTS La transferència de calor es pot produir per tres fenòmens,: conducció, radiació i
convecció. Coneixent la naturalesa de la transfència de cadascuna d’elles es poden
realitzar diferents metodologies per a frenar el trasvàs energètic de flux de calor.A
continuació es farà una breu explicació de la metodologia emprada per a reduir cadascun
dels trasvassos d’energia.
•Aïllaments per a la conducció. L’expressió de la primera llei de la transferència de calor ens diu que el flux de potència
tèrmica és proporcional algradient de temperatures, essent la constant de proporcionalitat
la conductivitat tèrmica del material.
I que en el cas particular de paret plana amb conductivitat constant l’expressió de flux de
potència es tradueix a la senzilla igualtat següent :
dxdT
Aq
x
⋅−= λ
dTbTa
xT
Aq
x
−⋅−=
∆∆
⋅−= λλ
Ta
Tb
λ
d
(6.1)
(6.2)
Fig.6.1
Projecte final de carrera
En el cas de tenir un seguit de materials conexes (disposició en sèrie) es té la següent
igualtat per al trasvàs energètic.
Similarment a com passa en els corrents elèctrics, la diferencia de temperatures entre els
extrems del seguit de peces representaria el diferencial de potencial, els termes di/λi
serien les resistències que composarien el circuit i el flux de calor per unitat de superfície
correspondria a la intensitat elèctrica.
Per a una distribució en forma cil.líndrica, es té una transmissió de potència com la
següent :
λA λB λC
Ta
Tb
C
c
B
b
A
ax dddTbTa
Aq
λλλ
λ++
−⋅−=
LDiDo
ToTiqr
πλ2
ln
−
=
Fig.6.2
(6.3)
Do
Di
Fig.6.3
(6.4)
To
Ti
Projecte final de carrera
∑∑
=
=
−
∆=
−
= n
in
i n
n
nr
R
T
LDDToTiq
1
1
1
2
ln
πλ
En el cas de tenir un seguit de superfícies cil.líndriques conexes, el flux de calor radial
que s’establiria degut a l’increment de temperatura entre els dos extrems seria :
En el cas del conductivímetre, la tipologia cil.líndrica és la més escaient per prendre el
model d’aïllament lateral, i simplificant el problema, es pot associar en un primer model la
(Fig.6.4) on una de les capes estaria composada per a un aillant, és a dir d’un material
amb una λ baixa. Les altres capes representarien el recipient on està contingut l’aillant i
altres parts del conductivímetre, en el centre estaria disposada la columna de peces.
Com es pot veure en l’equació (6.5) l’aillant juga el paper de resistència dins d’una cadena
de resistències, és a dir forma part del sumatori de resistències per conducció.
Ti To
∑=
−
−
=
n
i n
n
nr
LDDToTiq
1
1
2
ln
πλ
Fig.6.4
(6.5)
(6.6)
Projecte final de carrera
L’expressió d’ aquesta resistència és la següent :
LDD
Rn
n
n
n πλ2
ln1
= −
Analitzant-la s’arriba a les següents conclusions :
• El pes de la resistència tèrmica de l’anell d’aïllant
és inversament proporcional a la conductivitat
tèrmica de l’aillant, per tant interessa evidentment
un material amb conductivitat baixa.aïllant
•La resistència es proporcional al logaritme de la
relació de diàmetres que forma l’anell. Per tant, una
relació gran entre diàmetres comporta a un
aillament elevat. Com que el diàmetre intern de
l’aillant està acotat per la geometria del propi
conductivímetre, només es pot jugar amb el
diàmetre exterior, fet que condiciona que no
s’utilitzin gruixos elevats d’aïllant per què tant sols
s’aconsegueix augmentar la resistència en l’ordre
del logaritme de la relació de diàmetres, el que
significa, a grans trets, que grans augments en
gruix d’aïllants no comporten a grans resistències
d’aïllament tèrmic.
(6.7)
α
λ
α
Do/Di
Fig.6.5
Fig.6.6
Projecte final de carrera
Com a conclusió d’aquesta primera part dedicada a la conducció, es té que per a tenir
una gran resistència a la conducció és necessari tenir una material aillant (baixa
conductivitat) amb un gruix de paret suficient, però no per que aquest tingui un gruix molt
elevat, s’aconseguiran efectes aillants proporcionals.
•Aïllaments per a la convecció. La convecció és el mecanisme de transferència de calor característic de les interfícies,
normalment sòlid-fluid. La fòrmula que permet calcular la potència transmesa per aquest
medi, entre una superfície a temperatura To i un fluid a T∞ és :
Aquesta agitació pot ser espontània a causa de la varició de la densitat amb la
temperatura, o afavorida mitjançant l’aportació d’energia externa, el primer cas es
denomina convecció natural i el segon convecció forçada.
La convecció es tracta d’un fenomen complex, que s’inicia amb la conducció a través de
les mol.lècules del fluid adherides a la superfície del sòlid. Posteriorment aquest procés
continua gràcies al moviment dels paquets de mol.lècules que afavoreix la potència
tèrmica transmesa.
Per a l’estudi de la convecció s’utilitzen paràmetres adimensionals que defineixen el
comportament del sistema. Aquest paràmetres són :
•Nre. De Reynolds •Nre. De Prantl
)( 0 ∞−= TTAhq c
µρvL
L =Re
αν
=Pr
Relació entre les forces d’inèrcia i les forces viscoses.
Quocient entre les difusivitat mecànica i tèrmica
(6.8)
Projecte final de carrera
•Nre. De Grashof •Nre. De Nusselt Així mateix, és molt freqüent trobar-se a la pràctica amb fenòmens de transferència de
calor en que intervenen l’aigua i l’aire, en aquest cas és possible fer l’estudi mitjançant les
fòrmules simplificades per a aquests dos elements. En general aquestes fòrmules
proporcionen valors més ajustats i són en general, d’ús més senzill. A més existeixen
fòrmules simplificades per altres fluids, fòrmules que són la síntesi de la interpolació de
multitut d’experiencies elaborades per investigadors.
En el cas del conductivímetre, la convecció quasi no intervé en la transferència
energètica, ja que entre les peces i el conductivímetre no existeixen pràcticament volums
de fluids, a més, tenint en compte que les experiències es poden realitzar en el buit, la
transferència per convecció queda totalment anulada. Així doncs, a efectes pràctics no
es contempla la convecció, ja que aquesta ja no apareix com a forma de trasvàs
energètic, o dit d’una altre manera, l’objectiu d’anul.lar aquesta transferència s’aconseguit
a priori al ser aquesta ja quasi nul.la.
2
3)(ν
β LTTgGr o ∞−
=
λLhNu c=
La seva arrel cuadrada té un paper anàleg, en el cas de la convecció natural, al desenvolupat pel ReL en la convecció forçada. β és el coeficient de dilatació volumètrica.
A partir d’aquest paràmetre s’obté el coeficient de convecció.
Projecte final de carrera
•Aïllaments per a la radiació. Suposem que tenim dues plaques metàl.lique molt properes, amb un coeficient
d’emisivitat ε i a diferent temperatura, la transferència de calor per unitat de superfície
establerta entre ambdues degut a la radiació ve donada per la següent eqüació:
Per a simplificar el desenvolupament següent suposarem que les plaques tenen la
mateixa emisivitat εm=εn=ε, llavors la igualtat anterior pren la forma següent :
111)( 44
0 −+
−=
nm
nm TTAq
εε
σ
On σ és la constant de Boltzman i el seu valor és 5,67E-8 W/m2K4,ε1 i ε2 són les esmisivitats corresponents a cadascuna de les plaques.
Tm Tn
)(22
)( 4444
0nm
nm TTTTAq
−−
=−
−= σ
εε
εεσ
(6.9)
(6.10)
Projecte final de carrera
Si col.loquem una placa entre mig de les dues anteriors i mantenim les temperatures de
les plaques extremes :
Les equacions de transferència passen a ser :
Per tant, posant una placa metàl.lica intermitja a les del primer cas, rebaixem la
transferència energètica per radiació fins a la meitat.
En el cas de posar s plaques intermitges entre les dues a temperatures Tm i Tn amb el
mateix ε, s’obté el següent resultat :
Tm Tn T1
)(2
)(2
441
41
4
1nm TTTT
Aq
−−
=−−
= σε
εσ
εε
Sumant les dos expresions últimes obtenim :
2)(
2
44
1
nm TTAq −
−= σ
εε
Amb el que s’obté :
2)(
2044
1
Aq
TTAq
nm =−−
= σε
ε
Tm T2 T1 Ts-1 Tn Ts
...
s plaques intermitges
(6.11)
(6.12)
(6.13)
Fig.6.7
Fig.6.8
Projecte final de carrera
Les equacions de transferència energètica són :
Sumant les s+1 últimes expresions obtenim :
Com a resultat obtenim que si entre dues plaques d’emisivitat ε s’en situen un nombre s,
la potència que es transmet és s+1 vegades més petita que en el cas de no existir
plaques
Aquest cas és considerant com de plaques infinites, o el que és el mateix, que la
distància que separa les plaques sigui molt més petita que la dimensió de les plaques.
En el conductivímetre, si es volgués apantallar la radiació, seria lògic fer-ho disposant de
plaques cil.lindriques al voltant de les peces . Per tant, la reducció de potència degut a
l’apantallament per plaques s’ha de prendre com a aproximació de l’ordre de magnitud.
Quan més juntes estiguin les làmines cil.lindriques i més estret sigui el gruix total que
ocupent totes elles, més ens acostarem al càlcul anterior (6.15).
)(2
)(2
...)(2
)(2
44441
42
41
41
4nsssm
sTTTTTTTT
Aq
−−
=−−
==−−
=−−
= − σε
εσ
εε
σε
εσ
εε
12
44
+−
−=
sTT
Aq nm
s
σε
ε
(6.14)
(6.15)
apantallament per radiació
Projecte final de carrera
D’aquest apartat es conclou que l’aillament que és produiria en un apantallament per
làmines cil.lindriques, seria aproximadament el que ens dona la següent expresió:
Per tant, on s’aconsegueix una reducció més important de flux de calor és en les primeres
plaques,
Anem ara a comparar dos dels sistemes d’aïllaments, l’aïllament per conducció i
l’aillament per apantallament a la radiació.
Partirem d’entre dues plaques planes d’alumini
paraleles situades a 10 cm de distància (ordre de
magnitut del problema tractat en aquest estudi) i
cadascuna d’elles a diferent temperatura, una
d’elles a 300 K (25ºc)i l’ altre a Tsup. L’aïllament
per conducció es basarà en un material de baixa
conductivitat, mentre que l’aïllament per
apantallament tèrmic consistirà en extreure l’aire
d’entre les plaques i situar-hi un conjunt de
pantalles paraleles d’alumini.
11
: +=
nK
Aq
plaquesn
300 K Tsup
10 cm
reducció de perdues per radiació
0102030405060708090
100
0 5 10 15
nº de plaques
Potè
ncia
tran
smes
a (%
)
Fig.6.9 Reducció de pèrdues per apantallament
(6.16)
Fig.6.10
Projecte final de carrera
Les solucions proposades són les següents : La potència transmesa pel tipus d’aillament A,sense tenir en compte el signe, és :
Mentre la potència transmesa pel tipus d’aillament B, es del tipus :
On n és el nombre de plaques interposades. És d’especial interés per l’objectiu d’aquest apartat escriure (6.18) en el format :
Tsup
1,0300sup−
=T
Aq
λ
300 K
Plaques d’alumini
B
300 K Tsup
aillant
A
λ
1300sup
2
44
+−
−=
nT
Aq
σε
ε
ℜ∆
=T
Aq
(6.17)
(6.18)
(6.19)
Fig.6.11
Projecte final de carrera
Per poder apreciar de que depèn la “resistència tèrmica” en el cas de la radiació.
Desenvolupant :
Reordenant termes : Per tant la resistència tèrmica serà l’expressió :
En el que es comprova que la resistència tèrmica és proporcional al nombre de plaques
que s’interposin, i inversament proporcional al coeficient d’emissió.
És especialment important veure que l’efectivitat de la resistència tèrmica depèn de les
temperatures, ja que els termes de temperatures del denominador penalitzen molt en
altes temperatures la resistivitat tèrmica, i per tant es preveu que la funció
d’apantallament tèrmic sigui efectiva a temperatures moderades peró no a altes
temperatures. Aixó implicarà que en el disseny d’aillament és molt important saber en
quin rang de temperatures es mourà l’experimentació per determinar quin mètode
d’aillament escollir. A grans trets, ja es preveu que per a zones properes al nucli s’hauria
d’utilitzar material aillant, i per les zones més externes (més fredes) s’hauria d’utilitzar
apantallament tèrmic.
1)300sup)(300sup)(300sup(
21300sup
2
2244
+−++
−=
+−
−=
nTTT
nT
Aq
σε
εσ
εε
σε
ε−
++
+−
=
2).300sup)(300sup(
1)300sup(
22 TT
nT
Aq
σε
ε−
++
+=ℜ
2).300sup)(300sup(
122 TT
n
(6.20)
(6.21)
(6.22)
Projecte final de carrera
Per a comparar els dos mètodes, de forma aproximada, es calcula quan s’estableix un
mateix trasvàs de potència pels dos mètodes d’aillament, igualant les dues expresions
(6.17) (6.18) s’obté :
Desenvolupant el segon terme Simplificant Si es vol comparar el nombre de plaques necessaries per tenir el mateix efecte que un
material de conductivitat λ que separa dues plaques situades a 10 cm de distància amb la
placa més freda a 300 K i plaques de emisivitat ε=0,1, es té la següent expressió :
1infsup
2infsup 44
+−
−=
∆−
=n
TTxtT
Aq
σε
ελ
σε
ε
λ
−++
+−
=∆−
=
2inf)sup)(infsup(
1inf)sup(infsup
22 TTTT
nTT
xtT
Aq
12
inf)sup)(infsup( 22
+−
++=
∆ n
TTTT
x
σε
ελ
11,01̂,0)300sup)(300sup( 22
−⋅++
=λ
σTTn
(6.23)
(6.24)
(6.25)
(6.26)
Projecte final de carrera
Que representada gràficament s’ obté :
Gràfica de la qual se n’extreuen les següents conclusions :
•Per a baixes temperatures, les plaques a posar que equivalen a 10 cm. de gruix d’aillant
entren dins un rang assequible (2-10 plaques).
•Per a temperatures moderades, amb un petit nombre de plaques (2-10 plaques)
s’aconsegueixen aillaments tant importants o més com els aconseguits per aïllaments
tant sofisticats com poden ser els aerogels.
•Per a temperatures elevades de Tsup i aillaments elevats es necessita una gran
quantitat de plaques paraleles (60-100 plaques), fet que queda limitat per l’espai fixat
inicialment pel recinte aillant de 10 cm. Així mateix també s’ha de valorar l’eficiència d’un
aillant en els 10 cm. d’espai disponible.
Per tant, els camps d’utilització de cadascun dels dos mètodes dependrà del rang de
temperatures que ens trobem i de l’aillament que es vulgui donar. Per a importants
gradients de temperatura els mètodoes d’aillament més adequats seran els material
aïllants (aerogels, pols de diatomàcees...) mentre que per a salts més moderats de
gradients i per a temperatures amb valor absolut més baixes, és interesant pensar en
Fig.6.12
1
10
100
300 500 700 900
nº p
laqu
es e
quiv
alen
ts
lamda=0,1
lamda=0,05
lamda=0,02
lamda=0,01
Tsup
Projecte final de carrera
adoptar un mètode per apantallament tèrmic. La combinació dels dos mètodes promet els
millors resultats.
A continuació es presenten diverses configuracions de sistemes d’aïllament, combinant
l’apantallament (radiació) i aillament material. Aquestes configuracions es comparen amb
el cas de tenir una peça cil.líndrica sense aillament (cas 8).
Els càlculs de potència s’han realitzat de forma simpificada ja que el que es pretén es
comparar si existeix una substancial millora emprant un determinat mètode. El nostre
objectiu és determinar quin tipus de disseny aillant obté millors resultat.
Per a obtenir un resultat orientatiu de quina és la millor configuració, s’ha calculat per
diversos dissenys d’aillaments, quina potència es dissipa a través d’ells, evidentment, el
millor serà aquell disseny que dificulti més el trasvàs d’energia calorífica.
Les variables usades per aquests càlculs, s’els li ha donat un valor realista del que es té
en realitat , tant per el que fa a la conductivitat de les diatomàcees com per a constant
d’emisivitat o al coeficient de convecció.
Els càlculs realitzats sobre aquests diferents dissenys estan inclosos en l’annex nº 8.
Projecte final de carrera
Les diferents configuracions de prototipus candidates a millor disseny són els següents :
El cas 8, desprovist de qualsevol aïllament és el cas de referència per poder valorar la
resta de casos. Ha tots els models se’ls li ha calculat quina potència dissipen si la
columna interior està a 773 K i exteriorment es té una temperatura de 293 K, els demés
paràmetres (diàmetres, conductivitats, emisivitats ...) estan definits en l’annex 8.
Fig.6.13
Projecte final de carrera
Els valors obtinguts de les potències dissipades per a cada model, són els següents :
Com s’aprecia, el cas 8 és el cas amb més dissipació energètica ja que no està provist de
cap tipus d’aïllament, les restants tipologies estan provistes d’aillament, aíllaments que
redueixen la potència dissipada, sense ser valors excepcionalment importants.
Tots els model proposats tenen en comú dues plaques metal.liques que conformen el
recinte en el qual s’ha de dissenyar el model òptim per garantir un aillament el més gran
possible. Aquest recinte està acotat per les parets 2 i 7.Aquest recinte finalment està
envoltat per una cúpula de vidre amb la qual s’aconsegueix aconseguir el buit en tot
l’interior.
El cas 4, contempla només el recinte anterior sense introduir parts aillants en el seu
interior, evidentment, aquest és el que fa pitjor la funció d’aïllant.
Els demés casos són fets per una combinació de diferents sectors dins d’aquest recinte
en el qual es disposa de subsectors amb aillant i altres amb càmeres de buit confinades
entre plaques metal.liques.7
El cas 3, la seva eficàcia depèn en gran part de la proximitat de les plaques d’alumini que
s’utilitzen per apantallar, quan més properes estiguin aquestes, més s’aproximaran a la
geometria de plaques planes, amb la inmediata consequència que s’obtindran millores en
l’aíllament proporcional al nombre de plaques.
76,72 70,28
94,66
193
64,24 60,61
224
0
50
100
150
200
250
CAS1 CAS2 CAS3 CAS4 CAS5 CAS7 CAS8
W/m
Fig.6.14
Projecte final de carrera
El següent gràfic presenta la potència dissipada versus la proximitat de les plaques : El model 5 és el model en que tota la capacitat del recinte s’ha utilitzat pols aillant per
actuar com a aïllant, la reducció de potència dissipada respecte el cas 8 és important,
amb una reducció de potència dissipada del 71 %.
Els casos 1 i 2 son diferents propostes de combinacions d’aillament (apantallament + pols
diatomàcees), fent una funció prou bona però encara no òptima.
El més important a observar en la gràfica (Fig 6.14) anterior, és el disseny amb menys
pèrdues (73 % d’aillamet respecte cas 8), aquest és el model 7, i és una combinació dels
mètodes d’aillament amb aillant i amb apantallament tèrmic, disposant en les zones de
més gradient tèrmic material d’aillament (pols de diatomàcees) i en la zona exterior, amb
menys gradient tèrmic s’utilitza aillament per apantallament tèrmic. Aquest fet confirma la
teoria introduida en aquest apartat, en el que s’ha demostrat que l’aillament per
apantallament és millor en petits gradients de temperatura i per a temperatures baixes en
valor absolut. Per tant, el millor disseny de conductivímetre és una combinació del dos
mètodes, en el qual l’apantallament tèrmic té la seva màxima eficiencia a baixes
temperatures i l’aillament amb pols és més rendible a altes temperatures .
aïllament
72,5373,97
76,7
81,8
90,7
70
75
80
85
90
95
0 5 10
distància entre làmines [m m]
potè
ncia
per
duda
[w/m
]
Fig.6.15
Projecte final de carrera
6.3 CONCLUSIONS Despres d’analitzar les diverses tipologies d’aillaments amb diferents dissenys, s’ha
arribat a la conclusió que el millor model proposat per a aconseguir un aillament òptim, és
disposar d’una primer recinte amb material aillant i a continuació un recinte amb plaques
metàl.liques que actuin per apantallament tèrmic. Aquest resultat ha estat comprobat i
contrastat amb diferents models en el capítol anterior, i, efectivament els millors resultats
es donen per la distribució descrita.
L’aillament proposat d’altes prestacions és especialment útil per incorporar en
conductivímetres que no disposen de forn de guarda, i per tant la seva efectivitat per a la
determinació de la conductivitat depèn fonamentalment de les garanties d’aillament.
Un punt especialment important a tenir en compte és que l’aillament a obtenir per a la
conducció està acotat, és a dir, els valors mínims de conductivitat que podem disposar en
el nostre conductivímetre ve donat per la naturalesa de l’aillant emprat. Els millors aillants
coneguts fins ara (aerogels) estan en l’ordre de 0,02 Wm-1K-1. A efectes pràctics aixó
suposa que al tenir un recinte limitat per disposar de l’aillament, el poder d’aillament
emprant aillants està limitat.
Fig.6.16
Columna central
aíllant
Plaques metal.liques
Projecte final de carrera
En el cas exposat en el capítol anterior en el que es disposava de dues plaques a
diferents temperatures
l’aillament màxim actual que es pot aconseguir, és de :
Per tant, disposant del millor aillament que ens permet la tecnologia actual se’ns
dissiparien 0,2 Watts per metre quadrat de superfície per cada grau de diferència entre
ambdues plaques. Suposant una diferència de 50º entre plaques s’obtindria una perdua
energètica de 10 watts per metre quadrat.
Encara que aquesta potència sigui minsa, és la potència mínima que es pot arribar
mitjançant aquesta tecnologia. Per tant, queda preguntar si és possible disminuir encara
més aquests 10 W/m2.
Tinf Tsup
10 cm
Tinf Tsup
aillant
A
λ Km
WxTA
qx
22,01,0
102,01=⋅=
∆⋅=
∆λ
Fig.6.17
Fig.6.18
(6.27)
Projecte final de carrera
Si recorrem a la segona possibilitat d’aillament per apantallament tèrmic suposant
emissivitats iguals per a tots els components:
Suposant que es tinguin 350 K de T sup, desenvolupant .
Per tant, per aquest cas, es veu que posant aproximadament tres plaques, s’aconsegueix
una efecte aillant de la mateixa qualitat que amb l’aillament més sofisticat que es coneix, i
superar-lo ampliament posant més plaques entre les dues plaques extremes, tot
dependrà del nombre de plaques que càpiguen en el recinte, suposant que hi poguèssim
posar aproximadament 19 plaques intermitges (5 mm de separació entre cadascuna
d’elles), s’aconseguiria rebaixar la potència fins a 1 Wm-2K-1, el que suposa una millora
respecte el màxim possible mitjançant aïllants importantíssima.
El principal avantatge doncs de l’apantallament tèrmic és que la seva eficiència es pot fer
en teoria tant gran com es vulgui, ja que la potència dissipada es inversament
proporcional al nombre de plaques que es col.loquin en el recinte. Això però està acotat
1300sup
2
44
+−
−=
nT
Aq
σε
ε
300 K
Plaques d’alumini
B
Tsup
244
/15,19
130035005,0.867,5 mW
nnE
Aq
+=
+−
−=
(6.28)
Fig.6.19
Projecte final de carrera
realment per a la tècnica, ja que el nombre de plaques possibles (en el cas real
cil.lindriques) dependrà de la mínima proximitat que la tècnica permiti col.locar.
En segon lloc anotar que el grau de rendiment de l’apantallament tèrmic depèn dels rangs
de temperatura en que es mogui l’experimentació. Com s’ha demostrat anteriorment, a
altes temperatures l’apantallament tèrmic deixa de tenir efectivitat i passa a tenir
protagonisme l’aillament per conducció. Per tant, combinant las característiques més
favorables de cadascuna de les dues tipologies d’aillament s’aconsegueix un recinte amb
l’ efecte aïllant òptim.
Projecte final de carrera
119
Capítol 7 Els errors en les mesures experimentals
7.1 Introducció a les medicions 7.2 Nocions generals sobre la precisió i els errors de les medicions 7.3 Exemple d’aplicació en els termoparells
Projecte final de carrera
120
7. ELS ERRORS EN LES MESURES EXPERIMENTALS. 7.1 INTRODUCCIÓ A LES MEDICIONS
S’anomena medició el procés que consisteix en obtenir, mitjançant experiments, la relació
numèrica entre una magnitud subjecta a medició i un cert valor adoptat com a unitat de
referència.
El número que expressa la relació entre la magnitud subjecta a medició i la unitat de
mesura, s’anomena valor numèric de la magnitud subjecta a medició (Pre 80); aquest
valor pot ser enter o fracció, però és un número abstracte. El valor de la magnitud,
adoptat com a unitat de mesura, s’anomena dimensió d’aquesta unitat.
A l’escollir les unitats de mesura es necessari adoptar el factor de ‘comoditat’, és a dir, el
resultat de les medicions s’ha d’expressar, tant com sigui possible, per un valor ‘còmode’,
ni molt gran ni molt petit.
Si la unitat de medició és representada en forma d’una mostra concreta, anomenada
mesura, aleshores el procés de mesura consisteix en comparar directament la magnitud
subjecta a medició amb la mesura, com l’expressió material de la unitat de medició.
En aquells casos quan la comparació directa és impossible o és difícil de realitzar, la
magnitud que ha de ser mesurada es transforma en qualsevol altra magnitud física,
relacionada unívocament amb la que ha de ser mesurada i més còmode per a la medició.
Per exemple, la medició de la temperatura mitjançant un termòmetre de líquid, es redueix
a la determinació de la longitud de la columna de líquid expressada en divisions de
l’escala, mentre que la medició de la temperatura amb un termòmetre de resistència, es
redueix a la determinació de la resistència elèctrica.
Segons el procediment usat per a obtenir el valor numèric de la magnitud cercada, les
medicions es poden dividir en dos tipus: directes i indirectes.
directes
Medicions
indirectes
Tipus de medicions segons el procediment
Projecte final de carrera
121
Medicions directes
Es consideren directes aquelles medicions, el resultat de les quals s’obté directament de
les dades experimentals. En aquest cas, el valor de la magnitud cercada s’obté
comparant-la directament amb les mesures o mitjançant instruments de medició graduats
segons les unitats respectives.
A l’efectuar medicions directes, el seu resultat s’expressa en les mateixes unitats que la
magnitud subjecta a medició.
Les medicions directes són una varietat molt difosa de medicions tècniques. Entre les
mateixes figuren les medicions de longitud mitjançant un metre, de la temperatura a partir
d’un termòmetre, de la pressió amb un manòmetre, etc.
Medicions indirectes
A les medicions indirectes pertanyen les que el seu resultat s’obté a partir de les
medicions directes d’altres magnituds enllaçades, mitjançant una dependència
determinada, amb la magnitud cercada.
En una forma general, la magnitud cercada ‘x’ pot ésser determinada mitjançant una certa
dependència funcional y=f(x1,x2,x3,...), on x1,x2,x3,... són els valors de les magnituds que es
mesuren directament.
Per exemple de medicions indirectes, tenim la determinació de despesa de gas, líquid o
vapor a partir del salt de pressió.
Les medicions indirectes s’utilitzen en la tècnica i en les investigacions científiques en
aquells casos on és impossible o molt difícil la medició directa de la magnitud cercada, o
quan la medició indirecta permet obtenir uns resultats més precisos.
Segons la destinació de les medicions i l’exactitud amb que s’han d’efectuar, aquestes es
divideixen en medicions de laboratori (precises) i medicions tècniques.
Projecte final de carrera
122
Per principi de medició s’entén el conjunt de fenòmens físics sobre els quals es
fonamenten les medicions, per exemple, la medició de la temperatura utilitzant l’efecte
termoelèctric. Per mètode de medicions s’entén el conjunt de procediments relacionats
amb l’aplicació dels principis i els medis tècnics de medició.
El procès de medició, les maneres de realitzar-lo i els aparells usats, depenen de la
magnitud que ha de ser mesurada i els mètodes i condicions de medició existents. A
l’efectuar medicions termotècniques, s’usa ampliament el mètode d’avaluació directa, el
mètode de comparació amb la mesura i el mètode de zero.
d’avaluació directa
Mètodes de medicions de comparació
de zero
Mètode d’avaluació directa
Per mètode d’avaluació directa s’entén el mètode de medició en el qual el valor de la
magnitud que ha de ser mesurada es determina directament pel dispositiu de lectura de
l’aparell de medició d’efecte directe, per exemple, la medició de la pressió amb un
manòmetre. Aquest és el mètode més difós sobretot en condicions industrials.
Mètode de comparació
El mètode de comparació amb la mesura és quan la magnitud subjecta a medició es
compara amb la magnitud de la mesura reproduible, per exemple, la medició de la f.e.m.
del termòmetre termoelèctric, o de la tensió de la corrent contínua en un compensador,
comparant-la amb la f.e.m. d’un element normal. Aquest mètode s’anomena sovint
mètode de compensació.
Projecte final de carrera
123
Mètode de zero
S’anomena mètode de zero aquest que l’efecte de la magnitud subjecta a medició
s’equilibra totalment pel defecte de la magnitud coneguda, de manera que, com a
resultat, el seu efecte recíproc es redueix a zero. En aquest cas l’aparell emprat només
serveix per a enregistrar el moment en que s’assoleix l’equilibri, és a dir, el moment quan
la seva indicació es redueix a zero. Per si mateix, l’aparell no mesura res i per això
s’anomena així.
7.2 NOCIONS GENERALS SOBRE LA PRECISIÓ I ELS ERRORS DE LES MEDICIONS.
Al mesurar qualsevol magnitud, encara que ho fem amb molta cura, sempre obtindrem un
resultat quelcom alterat. Les causes d’aquesta alteració poden ésser diferents. Les
alteracions poden originar-se degut a l’ús de mètodes i aparells de medició defectuosos,
la inconstància de les condicions de medició i una sèrie d’altres causes. Les alteracions
que es produeixen a l’efectuar qualsevol tipus de mesura, determinen els errors de
medició, és a dir, la divergència del resultat de la medició respecte el valor veritable de la
magnitud mesurada.
L’error de medició pot expressar-se en unitats de la magnitud mesurada, o sia, en forma
d’error absolut que és la diferència entre el valor obtingut durant la medició i el valor
veritable de la magnitud mesurada. L’error de medició també pot expressar-se en forma
d’error relatiu de medició, el qual és la relació amb el valor exacte de la magnitud
mesurada. Però si parlem amb exactitud, aquest valor romandrà sempre incògnit,
desconegut, i tan sols podrem trobar l’avaluació aproximada de l’error de medició.
L’error resultant d’una medició permet revelar les xifres dubtoses del valor numèric d’una
magnitud, que s’obté com a resultat de la medició. El valor referit s’arrodoneix d’acord
amb l’ordre numèric de la xifra significativa de l’error, o sia, el valor numèric del resultat
d’una medició ha de finalitzar en una xifra del mateix ordre que el valor de l’error. A
l’arrodonir els valors de les medicions es recomanable aprofitar les regles dels càlculs
aproximatius.
Els errors de medició, segons el caràcter de les causes que els originin, solen classificar-
se en errors aleatoris, sistemàtics i greus.
Projecte final de carrera
124
a) aleatoris
errors instrumentals
errors deguts al mètode de medició
Tipus d’errors b) sistemàtics errors subjectius
(segons les causes) errors deguts a l’instal·lació
errors metòdics
c) greus
Errors aleatoris
Per error aleatori s’entén l’error de medició que varía casualment al mesurar repetits cops
una mateixa magnitud. Aquests errors són provocats per factors que no es poden
determinar en el procés de medició i sobre els quals és impossible exercir influència. La
presència d’errors aleatoris pot sostenir-se només en realitzar medicions repetides de una
mateixa magnitud i amb la mateixa cura. Si al repetir les medicions s’obtenen valors
numèrics iguals, això no vol dir que no hi han errors aleatoris, sino que són insuficients
tant la precisió com la sensibilitat del mètode o els aparells de medició.
Els errors aleatoris son inconstants respecte al seu valor i signe. No poden determinar-se
per separat i provoquen la inexactitud del resultat de medició. Emperò, mitjançant la
teoria de la probabilitat i els mètodes estadístics, aquests errors poden ésser determinats
i caracteritzats quantitativament en el seu conjunt, d’una manera tant més segura com
major sigui el nombre d’observacions realitzades.
Projecte final de carrera
125
Errors sistemàtics
Per error sistemàtic s’entén l’error de medició que roman constant o varia d’una manera
regular al mesurar repetides vegades una mateixa magnitud. Si els errors sistemàtics són
coneguts, aleshores, si tenen valors i signes determinats, aquests poden corregir-se.
S’anomena correcció el valor d’una magnitud –homònima a la que es medeix-, el qual
s’afegeix al valor obtingut durant la medició amb l’objectiu d’eliminar l’error sistemàtic.
S’ha de notar que la correcció que s’introdueix en les indicacions d’un aparell de mesura
s’anomena correcció de la indicació de l’aparell; la correcció que s’afegeix al valor
nominal de la mesura s’anomena correcció del valor de la mesura. En alguns casos
s’utilitza el factor de correcció, o sigui, el nombre pel qual es multiplica el resultat de la
medició amb la finalitat d’eliminar l’error sistemàtic. Generalment es distingeixen les
següents varietats d’error sistemàtic: els errors instrumentals, els errors deguts al mètode
de medició, els errors subjectius, els errors deguts a la instalació i els errors metòdics.
a) Per errors instrumentals de medició s’entenen els que depenen dels errors dels
aparells de medició emprats. A l’utilitzar aparells de precisió elevada, els errors
instrumentals, provocats pels errors dels instruments, poden eliminar-se introduint
correccions. Però els errors instrumentals dels medis tècnics de medició d’ús comú no
poden ésser eliminats, ja que a aquests medis tècnics, al comprovar-los, no se’ls
proporciona correccions.
b) Per error del mètode de medicions s’entén el que succeeix a partir de la imperfecció
del mètode usat. Tal error surgeix amb freqüència a l’usar nous mètodes, així com a
l’aplicar equacions aproximatives que representen, sovint, una aproximació inexacta de la
dependència real entre les magnituds. L’error del mètode de medicions s’ha de prendre
en consideració a l’avaluar l’error dels aparells, i en particular, el del dispositiu de mesura,
i en molts casos, també l’error del resultat de les medicions.
c) Els errors subjectius (típics de les medicions no automàtiques) s’originen a
conseqüència de les particularitats individuals de l’observador, per exemple, degut al
retard o a l’avançament a l’enregistrar el moment de qualsevol senyal, la interpolació
incorrecta al llegir les indicacions dins dels límits d’una divisió de l’escala, a causa del
paralatge, etc...
Projecte final de carrera
126
d) Els errors d’instalació surten a partir de la incorrecta instalació de l’agulla de l’aparell
de medició en la marca inicial de l’escala, o a la imperfecta instalació del propi aparell.
e) Els errors metòdics de les medicions son els que es determinen a partir de les
condicions (o la metodologia) de medició d’una magnitud ( la pressió, la temperatura...) i
no depenen de l’exactitud dels aparells usats. L’error metòdic pot aparèixer, per exemple,
degut a la pressió excessiva de la columna de líquid en la línia de connexió, si el aparell
mesurador de la pressió s’instala més amunt o més avall on hi ha aquesta pressió, i al
mesurar la temperatura amb un termòmetre termoparell juntament amb un aparell de
medició, degut a les condicions d’intercanvi tèrmic en el medi ambient on es vol mesurar
la temperatura, o degut al canvi de temperatura de l’objecte, provocada pel mateix
termòmetre en el procés de medició.
A l’efectuar medicions, sobretot en les precises, es necesari tenir en compte que els
errors sistemàtics poden alterar considerablement els resultats de les mateixes. Per això,
abans de començar a mesurar s’han d’assenyalar totes les possibles fonts d’errors
sistemàtics i prendre mesures per eliminar-les o determinar-les. Malgrat tot, pràcticament
és impossible establir unes regles absolutes per a detectar i eliminar els errors
sistemàtics, doncs hi han massa variats els procediments per a mesurar magnituds
diferents. A més, al realitzar mesures no automàtiques, la seva precissió depèn molt dels
coneixements i l’experiència de l’experimentador. Hi ha, però, algunes regles generals per
eliminar els errors sistemàtics.
Per tal de precisar les variacions possibles dels errors instrumentals, cal sotmetre els
aparells a un control sistemàtic.
Per eliminar els errors d’instal·lació, tant a l’efectuar medicions precisions com tècniques,
cal un curós i adequat muntatge dels aparells de medició. Si les causes son les
pertorbacions exteriors (temperatura, moviment, vibració), aleshores la seva influència
s’ha de tenir en compte.
Projecte final de carrera
127
Errors greus
Per error greu d’una medició s’entén aquell que supera molt l’error estimat en unes
condicions determinades.
Al mesurar una magnitud variable en funció del temps, el resultat de la medició pot
alterar-se no només a causa dels errors abans esmentats, sino també a un error d’unaltre
tipus, el qual només apareix en règim dinàmic, i per això s’anomena error dinàmic dels
aparells de medició. Al mesurar una magnitud variable en funció del temps, l’error dinàmic
pot aparèixer degut a la incorrecta elecció dels aparells de mesura o que aquests no
corresponen a les condicions de medició. A l’elegir l’aparell es necessari conèixer les
seves propietats dinàmiques, així com la llei de variació de la magnitud que ha de
mesurar-se.
Per regla general, les medicions precises es repeteixen diferents cops i es fan amb
aparells d’alta precisió. Repetint les medicions es pot reduir la influència dels errors
aleatoris sobre el resultat final, i per tant, elevar l’exactitud de les mateixes. S’ha de tenir
en compte, però, que inclús en condicions favorables, l’exactitud de la medició no pot
superar l’exactitud de control dels aparells.
A l’utilitzar mesures tècniques utilitzades ampliament en la indústria, i sovint en
condicions de laboratori, s’utilitzen aparells d’ús comú, als quals no se’ls hi proporciona
correccions.
7.3 EXEMPLE D’APLICACIÓ EN ELS TERMOPARELLS
A continuació i aplicat particularment a aquest projecte s’analitza la dispersió de la lectura
de temperatures degut a la imprecisió dels termopars i del posicionament d’aquests.
En primer lloc es consideren les següents hipòtesis: els termopars donen una lectura per
a una certa temperatura segons una normal centrada en el valor nominal donat pel
fabricant i una certa desviació tipus denominada σtermo. Així mateix també es pren com a
hipòtesi que segueix una distribució probabiística normal de Gauss la posició que ocupa
Projecte final de carrera
128
l’extrem del termopar respecte l’eix de la peça, aquesta distribució té una desviació tipus
σpos.
Per a una lectura en un cert termopar i intervenen doncs dos focus d’errors i poden ser
gràficament visualitzats com segueix:
Fig. 7.1 Desviacions aleatòries en els termoparells
En el gràfic anterior s’observa l’acumulació d’errors degut a la imprecisió pròpia del
termopar i del posicionament exacte del termopar.
Distr. A
T
Punt A
T(A)
Distr. B
Punt B
α
Projecte final de carrera
129
En primer lloc, el termopar no queda exactament col.locat en el punt desitjat, i el taladre
també té un cert valor de desviació. En definitiva, on es pren la temperatura de la peça
serà en un punt A dins d’una distribució de probabilitats A. Això significa que s’està
prenent una temperatura d’un termopar a una coordenada que realment es desconeix. La
distribució de probabilitats d’aquest posicionament se li assigna una desviació tipus de
valor σpos. A més de l’error del coneixement de la posició on exactament es pren la
temperatura, es té un error adidional de lectura del termopar. Si es fixa la posició de la
peça perfectament i es determina la temperatura d’aquell punt, aquest valor també
presentarà una incertesa degut al marge de tolerància d’aquell termopar. Aquest error
existeix tot i encara que el termopar estigui cal.librat i no s’ha de confondre amb l’error de
temperatura del tercer apartat. L’error de precissió de temperatura del termopar sol ser
molt més petit que l’error degut a un descentament d’aquest. A la lectura del termopar se
li assigna un valor de desviació tipus σtermo.
L’anàlisi matemàtica dóna com a resultat total una desviació tipus per l’error conjunt de
precisió de termopar i de posicionament :
(7.1)
Finalment i com a ressolució d’aquest punt , la solució per atenuar l’efecte d’aquestes
imprecisions irradicables és la de la repetició de mesures a fi i efecte de tenir la màxima
mostra de resultats i per tant un rang de confiança del valor de la conductivitat més reduït.
Però el veritable error que més afecta en l’actualitat a la realització pràctica d’experiments
en el conductivímetre, és l’error sistemàtic existent entre un termoparell i unaltre, com
queda evident en el Capítol 8, i la seva eliminació relativa segons la proposta explicada
en el Capítol 11.
)(cos2
22
α
σσσ pos
termototal +=
Projecte final de carrera
130
Capítol 8 Verificació experimental del conductivímetre TCFCM N-20
8.1 Introducció a les experiències 8.2 Les primeres experiències 8.3 Experiències amb càlcul de Qmàx i Qmín 8.4 El factor diàmetre 8.5 La repetitivitat en les experiències 8.6 La pila única i la referenciació de termoparells
Projecte final de carrera
131
8. VERIFICACIÓ EXPERIMENTAL DEL CONDUCTIVÍMETRE
TCFCM N-20.
8.1 INTRODUCCIÓ A LES EXPERIÈNCIES
En aquest capítol s’explica les diferentes experiències que s’han realitzat, a partir d’uns
objectius que es cercaven en cada una d’elles. Aquests objectius anaven evolucionant,
intentant trobar un camí a partir del qual es podría crear una operativa sistemàtica que fés
obtenir resultats cada cop més precisos.
Es parteix d’unes condicions de funcionament suposades, que s’han de comprovar, i per
tal de comprovar, altrament dit avaluar, una certa millora, és imprescindible definir un cert
valor relacionat amb la precisió o qualitat de les mesures, i conèixer en quin rang es troba
aquest valor en l’estatus inicial de partida.
Altrament, i suposant que aquest valor (o valors) relacionat amb la precisió pot ésser
millorable, s’han de buscar les suposades causes per les quals no ho és, i comprovar la
seva implicació en el resultat. Aquestes causes van des de la temperatura de l’aigua de
refredament, el cabal d’aigua circulant, el tipus de termoparell, l’alineació de les peces,
les magnituds de les peces (alçada, diàmetre, forats...) i d’altres. També es planteja que
el sistema d’aïllament de la columna central no és la correcta mitjançant pols de
diatomea, i sigui més útil fer el buit dins el forn de guarda. En resum, es dubta de tot i tot
és suscitable de provocar l’error més important.
Com més endavant es comprova en l’explicació de les experiències realitzades, també
les peces facilitades pel Departament de certs materials, com l’Inconel, són dubtoses de
pertànyer a la mateixa naturalesa, i per tant, òbviament no obtenim el resultat esperat
segons les nostres taules de conductivitats a diferentes temperatures.
Per tal d’eliminar i comprovar les diferents causes d’error, s’ha utilitzat tant
l’experimentació (que es el que més tracta aquest capítol), així com l’anàlisi paramètrica
(Veure capítol 9) o el càlcul per simulació numèrica (tractat en el capítol 10).
A mesura que el nombre d’experiències creix, es veu la necesitat de crear una
metodologia de recollida de dades, que es la presentada més àmpliament en l’annex.
Projecte final de carrera
132
També, i a mesura que s’han anat fent les experiències, s’han trobat millores que no
afecten al resultat, però si a la comoditat o a d’altres factors, que han anat formant una
sèrie d’objectius de segon terme.
8.2 LES PRIMERES EXPERIÈNCIES
Primer de tot, s’han comprovat que els termoparells que pertanyen al Forn de Guarda,
anomenats des de TC7 fins a TC12, corresponen a les lectures observades en el lector.
Efectivament, si toquem amb un filferro calent les puntes termopàriques que eixen en la
superfície del Forn de Guarda, veiem que el valor donat en mV en l’aparell creix per
moments. Comprovem que les posicions de cada termopar corresponen a les indicades
en el manual: el TC7 és el situat en la posició més elevada, i el TC12 és el més inferior
del grup de 6 termoparells localitzats en la part superior. Altrament es comprova que el
termoparell anomenat TC15 Lower Guard Heater Controller és el localitzat en la part més
inferior de la superfície del Forn de Guarda.
La mateixa prova es fa similarment, als termoparells connectats en les posicions TC1 a
TC6 (que correspondran a aquells termoparells que s’hauran d’introduir en la pila central),
així com els TC13 Main Heater Controller i TC14 Auxiliary Heater Controller, que són els
que fixaran la temperatura superior i inferior de la pila central.
La primera prova en que es passa a tractar les lectures dels termoparells (donades en
mV) a valors de temperatura (en K o ºC) la fem a temperatura ambient. Sense muntar cap
dispositiu especial, i deixant els extrems dels termoparells connectats a l’aire, obtenim
unes temperatures semblants a la temperatura ambient. Per passar de la lectura
electrònica a un valor de temperatura, podem fer-ho per dos camins diferents:
a) taules
b) fòrmula de regressió
Cal comprovar si són semblants aquestes dues maneres de fer-ho, i en quin marge de
temperatures es pot aplicar tant una com l’altra. Per principis, és preferible sempre la
utilització de taules, facilitades pel proveidor o fabricant dels elements termopàrics, o bé
les que proporcionen Associacions com l’ ASTM, abans que emprar mètodes a partir
Projecte final de carrera
133
d’una equació de regressió, ja que aquesta no s’adaptarà fidelment a la corba en tots els
seus punts (ja que necessitaríem una equació de infinits termes). Però sovint, aquestes
fòrmules de regressió poden resultar útils pel seu ús, ja que amb una petita calculadora
programable o bé un senzill programa informàtic, permet obtenir ràpidament el valor
cercat només introduïnt el valor d’entrada, i estalviar la feina de fer la regressió lineal
entre dos punts de la taula (amb el perill que això pot comportar de cometre errors
manuals d’operació).
El fabricant OMEGA de termoparells, facilita en el seu manual “The Temperature
HandbookTM” tant una taula de conversió, com una equació de regressió. Si s’estudia en
el rang de temperatures que es preveu es farà servir en les experiències de 200 ºC a
250 ºC, es pot comprovar la linealitat de la funció en aquest rang, així com la divergència
que comet la corba versus la taula. Els valors en taula corresponen a:
ºC 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
200 8138 8178 8218 8258 8298 8338 8378 8418 8458 8499 8539
210 8539 8579 8619 8659 8699 8739 8779 8819 8860 8900 8940
220 8940 8980 9020 9061 9101 9141 9181 9222 9262 9302 9343
230 9343 9383 9423 9464 9504 9545 9585 9626 9666 9707 9747
240 9747 9788 9828 9869 9909 9950 9991 10031 10072 10113 10153
Revised Thermocouple Reference Tables, Type K, Pàg. Z-168 The Temperature Handbook, OMEGA 1995
I l’equació de regressió facilitada, per a Termoparells tipus K, es de ordre 8, i indica que
és vàlida per a un rang d’entre 0 ºC i 1370 ºC, amb un error acotat de ±0.7 ºC:
(8.1)
T = Temperatura en ºC ; x= Voltatge del termoparell en KV
8
7654
32
1333708.61338690.11218452.11083506.49.860963914
682.22103404248.67233·109.24152226584602.0
xExExExEx
xxxT
⋅−
−⋅+⋅−⋅+⋅−
−⋅+⋅+⋅+=
Projecte final de carrera
134
En la següent taula es mostren alguns valors obtinguts per la fòrmula de regressió, i la
seva comparació amb el que corresponen segons la taula
emf (mV) T taula (ºC) Tregressió (ºC) Ttaula-Tregressió (ºC)
8138 200 200.0575 -0.0575
8539 210 209.9425 0.0575
8940 220 219.8168 0.1832
9343 230 229.7277 0.2723
9747 240 239.6492 0.3324
10153 250 249.6042 0.3958
Si s’expressa en un gràfic, es pot veure l’evolució del comportament de la corba
Fig. 8.1 Temperatura respecte lectura del termoparell tipus K segons taula i equació regressora
En el gràfic superior no es poden distingir molt bé les dues corbes que relacionen la emf
amb la Temperatura, però si es grafica la diferència Ttaula – Tequació per veure l’evolució
d’aquest terme, s’aprecia més ampliament la difèrencia entre un mètode i l’altre:
temperatura versus emf
200
210
220
230
240
250
8130 8630 9130 9630 10130emf (10e-6 V)
Tem
pera
tura
(ºC
)
taulaequació
Projecte final de carrera
135
Fig. 8.2 Diferència de la temperatura entre taules i equació regressora
es comprova la creixent separació del valor donat per l’equació regressora i el valor
facilitat per la taula. La separació màxima per a aquest rang arriba quasi a 0,4 ºC. Si
suposem correctes les relacions entre la temperatura i la força electromotriu facilitades
per la taula, aleshores aquestes diferències corresponen a l’error que s’obtindria fent
servir les equacions de regressió. Aquest tipus d’error està clarament tipificat en el
Capítol 7, com un error sistemàtic degut al mètode de medició.
Es comprova en la Fig. 8.1 la linealitat força constatable, si més no en aquest rang de
temperatura, d’amplada 50 ºC. El coeficient de Seebeck, correspon a uns 40 µV / ºC, per
tant, a un error de lectura de 1 µV li correspon un error de 0,025 ºC, 16 vegades més
petit que el trobat per fer servir una equació de regressió.
No ha de ser, emperò, infravalorat el mètode d’obtenció de la temperatura a partir
d’equacions regressores, ja que l’error donat segueix una linealitat, i per tant, per a rangs
petits de diferències de temperatura, els dos errors es poden compensar (l’equació de
Fourier ens parla de ∆T, i no de temperatures absolutes), i per tant, si tenim un material
d’una certa conductivitat que faci tenir gradients petits de temperatura, podem assumir
que els dos errors seran comparables. En el cas de l’Inconel, les mostres mesuren uns
gradients d’aproximadament uns 10 ºC, i per tant, no és tant l’error provocat per fer servir
un mètode de mesura o unaltre,
Exemple: TC1: 9747 µV ⇒ Tequació= 239,6492 ºC (Ttaula=240 ºC)
TC2: 10153 µV ⇒ Tequació= 249,6042 ºC (Ttaula=250 ºC)
-0,1000
0,0000
0,1000
0,2000
0,3000
0,4000
0,5000
8130 8630 9130 9630 10130
e.m.f. (10e-6 V)D
iferè
ncia
(ºC
)
Projecte final de carrera
136
Això provoca que ∆T= TC2 - TC1 = 9,955 ºC (equació) = 10 ºC (taula),
per tant l’error obtingut en el càlcul del gradient correspon a –0,045 ºC (un 4,5‰ del
gradient “real”). On es denota més la mancança de fiabilitat de l’ús de l’equació és quan
cerquem valors absoluts de temperatura com per exemple la temperatura mitjana del
gradient anterior,
Tmitjana= (TC1+TC2)/2 = 244,6267 ºC (equació) = 245 ºC (taula) ,
representant una desviació de –0,3733 ºC respecte el valor esperat segons taula.
És important saber, per tant, si la utilització d’equacions regressores pot influir molt o poc
en el resultat dels càlculs. De moment, sembla que afecta poc en el càlcul del gradient
quant aquest és petit (només ho hem verificat en un rang concret de 200 a 250 ºC, i en el
cas més òptim quan més a prop de 250 ºC més constant es feia la diferència respecte el
valor obtingut a taula. La utilització, però, d’un simple ordinador on tinguem introduïda la
taula del tipus de termoparell a utilitzar, i un simple programa que interpoli el valor
d’entrada entre dos valors de la taula, evitarà cometre l’error obtingut anteriorment
descrit, tenint en compte que encara a la nostra mesura de temperatura li afecten d’altres
errors, o bé, que la precissió necessària no sigui l’adequada. El mètode escollit en les
experiències, doncs, serà la transformació de lectura de força electromotriu a temperatura
a partir de la taula.
Presentem, ara si, els resultats obtinguts a partir de la lectura de 9 termoparells
connectats, amb la punta descoberta en l’aire en repòs. Després d’esperar uns 10 minuts,
per tal que el contacte físic de la nostra mà amb el cable no hagi pervertit el resultat de la
medició, veiem que la pantalla mostra els valors estables de força electromotriu següents;
Temperatura emf TAULA
Projecte final de carrera
137
fem 940 904 937 933 927 922 917 910 903
T (ºC) 23.5122 22.6250 23.4390 23.3415 23.1951 23.0732 22.9500 22.7750 22.6000
Tots els valors es mostren propers, i tenen com a mitjana una temperatura de 23,0568 ºC
(valor més probable estadísticament).
Fig. 8.3 Valors de temperatura per als 9 termoparells
S’observa que entre el valor màxim (23,5122 ºC) i el valor mínim (22,60 ºC) es
distribueixen la resta de valors sense destacar cap mena de localització especial, ni cap
anomalia extrema, sino que uniformement existeixen valors al llarg de tot el rang.
L’amplitud del rang (valor màxim – valor mínim) correspon a una amplada de 0.9122 ºC
(que podríem representar com si a un valor central T se li sumés una desviació maximal ±
0,4561 ºC).
Tenim una primera aproximació dels errors comesos per aquests 9 termoparells. Si
cerquem la relació entre l’interval d’error i el valor esperat de 23,06 ºC, trobem el
percentatge d’error màxim comés entre aquests 9 termoparells,
Aquest error és perfectament normal, i per tant haurem de conviure amb ell, ja que el
fabricant compleix l’especificació advertida (vegeu Capítol 4) dels límits d’error dels
termoparells tipus K;
22
22,5
23
23,5
24
1 2 3 4 5 6 7 8 9
tem
pera
tura
(ºC
)
%98.110006.23
4561.0'. =×±
=errordpercent
Projecte final de carrera
138
Existeixen en el mercat termoparells millors que presenten, per a temperatures superiors
a 0 ºC, un error maximal de 1,1ºC o bé 0,4%, com també es pot solicitar una calibració
personificada dels termoparells (molt més costosos, i més endavant es discutirà sobre la
seva impracticabilitat en el nostre cas).
Un problema semblant a l’anterior, a l’aplicació de taules o fòrmules de regressió per a la
conversió d’una lectura d’una magnitud per passar-la a una dada en unaltre magnitud, es
presenta quan es té la necessitat d’avaluar la conductivitat tèrmica d’un material a una
certa temperatura. Recordem que en el conductivímetre per comparació, per avaluar el
cabal de calor circulant pel conjunt de mostres, es necessari aplicar l’equació de Fourier
si no es disposa d’elements quantificadors d’energia calorífica circulant.
Les peces mostres que el Departament ha facilitat són les que el fabricant suministra amb
la màquina, i són de Inconel 718 i Electrolytic Iron. En el manual de la màquina també
s’inclouen unes taules de conductivitat d’ambdós materials, així com les seves equacions
regressores.
Fig. 8.4 Gràfica de la conductivitat de l’Inconel 718 versus la temperatura
LÍMITS D’ERROR TERMOPARELLS K (el que sigui més gran) per a T < 0ºC → 2,2ºC ó 2% per a T > 0ºC → 2,2ºC ó 0,75%
0
5
10
15
20
25
30
-200 0 200 400 600 800 1000
Temperatura (ºC)
cond
uctiv
itat (
W/m
K)
Projecte final de carrera
139
(8.2)
λ en (W/mK) ; T en (K)
Es pot observar la força linealitat de la conductivitat tèrmica de l’Inconel 718 respecte la
temperatura, fet que permet gaudir de la simplicitat de poder interpolar linealment a partir
de la taula de valors, on la conductivitat vé definida en un interval de 5ºC. Els valors de la
conductivitat tèrmica dels materials, degut a la seva variabilitat i dificultat de mesura, no
acostumen a donar-se amb una gran precissió, com en les taules donades, on la màxima
precissió és de 0,01 W/mK.
Si restem els valors donats per taula, als que corresponen utilitzant l’equació de
regressió, i els grafiquem, obtenim la corba següent en funció de la temperatura,
Fig. 8.5 Desviació de la conductivitat de l’Inconel segons el mètode taula / equació regressora
Es pot observar que a la zona al voltant dels 300 ºC tindrem la major desviació per l’ús de
fòrmules de regressió, superant els 0,05 W/mK (representa un 0,31% d’error per a la
conductivitat a aquesta temperatura, i és 10 vegades superior a la precisió facilitada per
les taules). La fòrmula ens està facilitant la conductivitat del material a uns 3 ºC per sota
de la temperatura de referència. Cal determinar amb quin pes pot afectar aquesta
desviació en el nostre càlcul. Com s’ha comentat anteriorment, per al càlcul experimental
s’ha d’optar, ja que es disposa, de les taules facilitades.
617514411
39252718
107767.1103952.5106635.4
101805.4104555.210853.245.4
TTTTTTINCONEL
−−−
−−−
⋅+⋅−⋅+
+⋅+⋅−⋅+≈λ
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
-200 0 200 400 600 800 1000
temperatura (ºC)
desv
iaci
óco
nduc
tivita
t (W
/mK
)
Projecte final de carrera
140
La determinació del material de referencia en les proves experimentals ha de permetre la
coneixença el més exacte possible del valor de la conductivitat en el rang de
temperatures d’estudi. Un material que la seva conductivitat sigui el més constant
possible hauria de ser l’idoni.
Fig. 8.6 Gràfica de la conductivitat de l’Electrolytic Iron respecte la temperatura
L’Electrolytic Iron té una conductivitat no tant lineal, decreixent amb la temperatura i més
elevada.
Per a les experiències, es treballa amb 3 peces d’Inconel 718, de 25,4 mm d’alçada entre
les seves dues superfícies de contacte, de 25 mm de diàmetre, i amb dos forats cecs, de
diàmetre 1.6 mm, que arriben a l’eix del cilindre, interseparats 19.05 mm, i a una distància
cada un d’ells de la superfície de 3.18 mm.
El manual de l’aparell facilita les coordenades dels termoparells del Guard Furnace,
prenent com a plà de referència l’anomenat Top Sink , que es la superfície de contacte
refredadora, on es munta la Resistència Inferior d’escalfament de la pila (Fig. 5.5). Les
coordenades són:
termopar 7 8 9 10 11 12 15
alçada (mm) 177,6 111,25 104,9 98,55 92,2 85,85 41,4
0
20
40
60
80
100
-200 0 200 400 600 800 1000
temperatura (ºC)
cond
uctiv
itat (
W/m
K)
Projecte final de carrera
141
Com es pot comprovar, els termoparells 7 al 12 estan iso-distanciats respecte el següent
6,35mm, mentres que el termoparell 15 està en la posició més baixa. El selector de que
disposa el Conductivímetre, serveix per a les diferentes mides de piles centrals a
mesurar. Podem tenir a vegades conjunts que seran més o menys alts. Com que
l’aïllament consisteix en tenir el mateix gradient tant a la pila central com en el forn de
guarda, i sovint tindrem peces més llargues o més curtes, el termoparell que controlarà la
temperatura superior en la pila hauria d’estar a la mateixa alçada que el termoparell que
comandarà la temperatura superior en el forn de guarda. Com que els termoparells en el
forn de guarda són fixos, s’ha proporcionat aquest selector de termoparell entre el 7 i el
12, per cercar el que estigui més a prop del termoparell de la pila central.
La nostra primera curiositat es centra ara, a partir dels resultats d’un muntatge de 3 peces
d’Inconel (veure experiència 0.1), els resultats trobats en el forn de guarda, en la seva
part superior. Les temperatures de control han estat de 240 ºC en la part superior, i de
180 ºC en l’escalfador auxiliar, provocant així un gradient d’uns 60 ºC entre els
termoparells que controlen la temperatura superior i inferior en la pila central (números 13
i 14), o bé entre aquells que controlen el forn de guarda (en aquest cas el TC7, i com
sempre en la part inferior el TC15).
Cal observar que després de 2,5 hores aproximadament, sembla que el sistema hagi
arribat a un estat estacionari, perque els valors mostrats en les pantalles dels
controladors PID de les temperatures asolides pels termoparells de control s’han
estabilitzat, i per altra banda coincideixen amb els valors introduïts. Malgrat tot, si llegim
els valors en el multivoltímetre, veiem que cada termoparell oscila entre uns valors límits
de manera molt lenta. Això es provoca quan hi passa corrent per les resistències a
impulsos, per tal d’estabilitzar les temperatures de control, i per tant provoca petites
turbulències de temperatura, sobretot en els termoparells més a prop dels escalfadors.
Les més petites oscilacions poden ser degudes, segons la bibliografia consultada, a
sorolls elèctrics i petitíssimes variacions locals de la temperatura, com veurem més
endavant. Es prenen els valors que es veuen que queden més estabilitzats en el temps,
obtenint el resultat següent:
Projecte final de carrera
142
TERMOPAR LECTURA
(µV) TEMPERATURA
(ºC)
TC1 9367 230.60 TC2 8874 218.35
TC3 8710 214.27
TC4 8265 203.18
TC5 8080 198.52
TC6 7512 184.30
TC7 9732 239.62
TC8 9542 234.93
TC9 9331 229.71
TC10 9242 227.50
TC11 8974 220.85
TC12 8822 217.07
TC13 9714 239.18
TC14 7313 179.32
Fig. 8.7 Distribució de temperatures en el forn de guarda
Dels resultats en general es pot comprovar com TC7 ≅ TC13.
Del gràfic es comprova una forta linealitat entre els termoparells d’estudi. S’indica amb
una línia vermella la unió tèrmica teòrica entre TC7 i TC12 (el que s’hauria d’haver
esperat). Això no és així, degut bàsicament als errors facilitats pels termoparells i tot el
Resultats experiència 0.1 Als valors llegits, se’ls hi ha aplicat la taula de conversió comentada anteriorment. S’han arrodonit els resultats a dues xifres decimals de temperatura, ja que si el coeficient de Seebeck resulta d’uns 40 µV/ºC, per a un error de lectura mínim de 0,5 µV, li corresponen 0,012 ºC, que sería la precisió que facilita la taula. També la localització pot afectar. Malgrat tot, ja hem vist que ha estat dificultosa la lectura perque els valors llegits anaven oscilant, així com també que el termoparell dóna un error natural que pot arribar a 2.2ºC d’error en aquest cas. Si grafiquem isodistancialment els valors de TC7 a TC12, obtenim el gràfic següent:
215
220
225
230
235
240
7 8 9 10 11 12termoparell
Tem
pera
tura
Projecte final de carrera
143
procés de lectura. Això, i el fet que les conductivitats no són constants, pot provocar
alteracions en la teorica linealitat de les temperatures.
Analitzem més acuradament els resultats:
S’observa que si entre cada 2 termoparells hi hauria d’haver 4.51ºC (ja que la mitjana és
el valor més probable), les diferències més greus són les que separen TC10-
TC11=6.65ºC que s’allunyen 2.14ºC del valor esperat. Per sota hi ha TC9-TC10 = 2.21ºC
que té un error de 2.3ºC respecte el valor desitjat.
Cal tenir en compte, que encara que sembli gran aquest error, està dins dels paràmetres
assumibles i aceptables, ja que l’error d’un termoparell pot ser de 2.2 ºC, i per calcular la
diferència de temperatures calen dos termoparells (duplicant l’error acceptable), però
l’estadística diu que l’error suma no serà la suma dels errors, sinó quelcom més petit (si
els errors es comporten com a distribucions normals). Mirant el gràfic, es veu que
l’element comú que distorsiona per més i per menys aquests dos gradients és el
termoparell TC10, que dóna un valor massa elevat. Si suposem correctes els valors
extrems TC7 i TC12 (més que res perque al ser als extrems, el rati temperatura/distància
serà més correcte), podem calcular el valor de TC10 a partir de la línea vermella.
El valor esperat TC10linial= TC12 + 2·Mitjana = 226.09 ºC, i el TC10lectura = 227.50 ºC,
essent l’error de la lectura respecte l’esperat de +1.41ºC.
A partir de l’anàlisi dels valors trobats a la pila central, formada per 3 peces d’Inconel 718,
amb forats distanciats segons la Fig. 8.8
TC7-TC8 = 4.69 ºC TC8-TC9 = 5.22 ºC TC9-TC10 = 2.21 ºC TC10-TC11 = 6.65 ºC TC11-TC12 = 3.78 ºC Mitjana=(TC7-TC12)/5 = 4.51 ºC
Projecte final de carrera
144
Fig. 8.8 Mostra
Si tenim en compte la mida de la resistència, i de la peça que posiciona el termoparell
núm. 14, controlador de la Temperatura Auxiliar, es pot obtenir les cotes dels termoparells
1 al 6. Es busquen aquí les diferentes posicions dels termoparells per graficar
adequadament els resultats (els termoparells no estan isodistanciats com en el guard
furnace)
Les resistències tenen una amplaza en la direcció ‘z’, de 35 mm. Els termoparells
controladors ‘MAIN 13’ i ‘AUX 14’ estan localitzats en dues peces cilíndriques, d’igual
diàmetre que la pila central, i d’alçada 6.4 mm (el termoparell està en el plà mig d’aquesta
peça).
TERMOPAR ALÇADA
(mm) TEMPERATURA
(ºC)
TC13 120,83 239.18 TC1 114,45 230.60
TC2 95,4 218.35
TC3 89,04 214.27
TC4 69,99 203.18
TC5 63,63 198.52
TC6 44,58 184.30
TC14 38,2 179.32
S’observen diferències (notables?) entre els gradients de les 3 peces (el que és el mateix
entre les diferències de termoparells en cada peça). S’analitzen a continuació diferents
aspectes:
Alguns càlculs d’interès: TC1-TC2 = 12.25 ºC tmitjana1= 224.475 ºC TC3-TC4 = 11.09 ºC tmitjana2= 208.725 ºC TC5-TC6 = 14.22 ºC tmitjana3= 191.41 ºC gradients: (TC1-TC6) / (Z1-Z6) = 0.6626 ºC/mm (TC1-TC2) / (Z1-Z2) = 0.6430 ºC/mm (TC3-TC4) / (Z3-Z4) = 0.5821 ºC/mm (TC5-TC6) / (Z5-Z6) = 0.7465 ºC/mm
Projecte final de carrera
145
Fig. 8.9 Resultats en pila central formada per les 3 peces
a) La diferència entre els gradients trobats
Si s’accepta la hipòtesi que el material d’estudi té conductivitat tèrmica constant,
aleshores les diferències de temperatura de cada peça haurien de ser iguals. Si es
numeren les peces de dalt a baix, la peça núm. 2 té un salt de temperatura de 11.09 ºC,
mentres que la tercera té una diferència de 14.22 ºC que suposa un increment de 3.13
ºC corresponent a un 28.22% de diferència. Malgrat que sembli una diferència molt
elevada, 3.13 ºC d’error entre un salt i unaltre és perfectament comprensible amb la
precisió anotada en els termoparells. Comença, però, a ser preocupant aquesta
admisibilitat en els errors dels termoparells, ja que es comprova que relativament uns
resultats aparentment semblants apareixen amb diferències notables percentuals.
Apareix, en el càlcul del gradient, el factor distància. El fet que un forat practicat a les
peces de 1.6 mm de diàmetre per allotjar un termoparell, i es suposi que la lectura feta
pel termoparell sigui justament en el centre del forat, sembla un xic atrevit. Consultat un
fabricant de termoparells, la resposta sobre la localització de la unió termopàrica dintre de
la ‘camisa’ del termoparell fou que es troba en el mig, seguint un procés molt acurat.
Òbviament, s’ha de suposar una dispersió en aquest posicionament. Cal veure i analitzar
si dintre del marge d’aquests 1.6 mm, un desplaçament de la lectura pot afectar molt el
175
185
195
205
215
225
235
35455565758595105115125
z(tc) (mm)
tem
pera
tura
(ºC
)
exp 0.1
tc6
tc2tc3
tc4
tc5
tc1
Projecte final de carrera
146
nostre resultat, però en qualsevol cas és un factor a tenir en compte, que afegeix
dispersió i error en el càlcul final. Si més no, mínimament s’ha d’esperar una localització
de la unió termopàrica seguint una distribució normal.
Un anàlisi ràpid i senzill és que quan més gran sigui el gradient de temperatura, més
afectarà aquesta indeterminació de la localització, ja que repercutirà en el valor llegit pel
termoparell. Per exemple, si un termoparell està localitzat en una pila on hi passa un flux
de calor que provoca un gradient com l’experiència d’estudi de 0.66 ºC/mm
aproximadament, i la localització del termoparell pot estar dins una tolerància per error de
± 0.5 mm, aleshores l’error de lectura de temperatura degut a aquest motiu sería de:
Error de temperatura = Gradient x Tolerància dist. = 0.66 ºC/mm · ± 0.5 mm = ± 0.33 ºC .
No es un factor numèricament important, però s’ha de tenir en compte, i posteriorment
s’haurà de cercar si existeix alguna manera de decrementar-lo per tal de poder ser
menystingut.
Tornant a l’experiència anterior, si es vol justificar l’error dels salts de temperatura entre
les peces 2 i 3, continuant amb la suposició de conductivitat constant i suposant que les
lectures dels termoparells són exactes i no tenen cap altre error a més del produït per la
localització, la suma milimètrica dels errors de posicionament faria igualar els dos
gradients. Com que la peça 2 té un salt més petit de temperatura , vol dir que els
termoparells introduits en la peça 2 estan més a prop que aquests 19,05 mm, mentres
que en la peça 3 estan més separats. Simulant aquesta situació, i considerant que la
distància de desviació és la mateixa per tots, tenim
(8.3)
on d són els 19.05 mm teòrics entre els termoparells, s’obté e = 1.1779 mm.
Com que aquesta desviació (repartida equitativament entre els 4 termoparells) és
superior als ±0.8 mm de marge que tenim en cada banda del termoparell (ja que té
diàmetre 1.6 mm), es comprova que hi han d’altres factors, a part d’aquesta posibilitat de
edT
edT
2232
+∆
=−
∆
Projecte final de carrera
147
descentratge de la unió termopàrica, com pot ser l’error assumible dels termoparells,
encara que també hi ha la possibilitat de que el flux de calor sigui diferent en bona
mesura en les dues peces, que suposaria tenir greus problemes amb la filosofia de
l’aparell.
Evidentement el nostre problema és aconseguir amb la màxima precisió els valors de d i
∆T, que són els paràmetres que ens afecten en el càlcul de la conductivitat per
comparació (a més de la conductivitat de la mostra patró). Per millorar la distància, tenim
2 factors en quant a la seva determinació ja que la distància possible a prendre realment
està compresa en l’interval d±φforat . Per disminuir aquest interval, millorant la precisió
relativa, s’ha d’augmentar d i disminuir φforat en el possible. S’ha de tenir en compte que
els forats no estiguin massa aprop dels extrems per evitar la no uniformitat de
temperatures en aquella zona.
Tot aquest anàlisi s’ha de comprovar però amb les dades de conductivitat del material
emprat, ja que fins ara s’ha treballat amb la hipòtesi de conductivitat constant. Degut a
que l’Inconel 718 té conductivitat més gran quan més gran és la temperatura, i si el flux
de calor ha de ser constant
(8.4)
aleshores degut a que λ1 > λ2 > λ3 , tenim que per complir l’equació hauríem d’obtenir ∆T1
< ∆T2 < ∆T3, la qual cosa es compleix entre la 3ª peça i les altres, però no entre les peces
1 i 2.
b) El desplaçament per sota i per sobre de les temperatures respecte la teòrica.
Si els termoparells de control estan en consonància amb el forn de guarda, igualant
aquest el gradient amb la pila central per evitar fluxos radials, es nota que la pila 1 té les
temperatures per sota de la línia teòrica, la peça 2 intersecta i la peça 3 té les
temperatures més altes que el forn de guarda a la seva alçada. En un principi es podria
dT
dT
dT 332211 ∆
=∆
=∆ λλλ
Projecte final de carrera
148
sospitar que el flux intenta “escapar-se” en la zona de la peça 1, cap a l’exterior (sobre-
escalfant la pols i el forn de guarda), i després torna en la part més inferior cap a la pila
central. El que simplement passa es que entre els termoparells 2 i 3, i entre els 4 i 5,
existeixen unes interfícies de contacte de peces que provoquen un salt de temperatura
degut a la resistència tèrmica existent. En les interfícies coexisteixen dos fenòmens: la
conducció i la convecció. Aquest gradient tèrmic tant elevat a la interfície és degut a que
la convecció transmet la potència amb menys eficiència que la conducció, a
conseqüència d’aquest fet el salt tèrmic ha de ser tant elevat per poder continuar aportant
el mateix flux de calor. A grans trets, i sense aprofundir en el comportament del flux en les
interfícies cal fixar-nos en que aquest salt tèrmic representa un elevadíssim gradient
tèrmic en les interfícies, per tant es preveu que el fenòmen de la conducció hi perd
importància. Quanta més importància tingui la convecció més elevat serà el salt tèrmic, i
per tant la superfície de contacte en les interfícies passa a tenir un valor molt petit
comparat amb la secció total de les peces. Uns factors importants que decanten la
balança cap a una interfície amb molta convecció o molta conducció, és el grau de
rugositat de les peces, així com la pressió que s’exerceix a la pila central.
Per comprovar sobre quin rang es troba aquest salt de temperatura, i a partir dels
resultats obtinguts en l’experiència 7.0, podem calcular aproximadament la temperatura
en els extrems comuns de les peces, a partir de la regressió.
Fig. 8.9 Situació dels termoparells en les peces mostra
Si prenem unes coordenades com les de la figura anterior per a cada peça, i escrivim
l’equació
(8.5) iiii bzazT +=)(
Projecte final de carrera
149
per a cadascuna de les peces i i cercant els valors a i b per cada equació,
PEÇA 1 TC1=230.60 ºC Z(1)= 22.23 mm TC2=218.35 ºC Z(2)= 3.18 mm PEÇA 2 TC3=214.27 ºC Z(3)= 22.23 mm TC4=203.18 ºC Z(4)= 3.18 mm PEÇA 3 TC5=198.52 ºC Z(5)= 22.23 mm TC6=184.30 ºC Z(6)= 3.18 mm s’obtenen les equacions individuals per a cada peça (8.6)
Comparem les Temperatures inferior i superior de les peces en les dues interfícies
Tinf1=216.30 ºC Tsup2=216.62 ºC ∆T = -0.32 ºC!!
Tinf2=201.26 ºC Tsup3=200.89 ºC ∆T = 0.37 ºC
Es comprova un cert error, ja que teòricament, la Temperatura inferior de la peça 1 hauria
de ser en tot cas superior a la superior de la peça 2. Això és degut clarament a les
desviacions de les lectures (i cal tenir en compte que aquí s’ha suposat conductivitat
constant). Recordem l’anomalia detectada en el sub-apartat anterior, on es trobava erroni
trobar un gradient de temperatura major en la peça 1 que en la 2. En qualsevol cas, de
moment sembla que el salt de temperatura sigui petit per a aquesta configuració, si fem
cas al segon salt de 0.37ºC, pràcticament inapreciable.
Implementem ara el concepte de conductivitat tèrmica, cercant els valors en l’experiència
d’estudi. Tal i com s’explica en l’Annex 4, per calcular el flux de calor circulant per una pila
només ens cal saber el valor de la conductivitat tèrmica a la temperatura mitjana del
gradient d’estudi, si acceptem que la conductivitat és funció lineal de la temperatura.
a1=0.6430 b1=216.30
a2=0.6047 b2=201.26
a3=0.7465 b3=181.93
93.1817465.026.2016047.030.2166430.0
33
22
11
+=+=
+=
zTzTzT
Projecte final de carrera
150
Retrobant les temperatures mitjanes de cada pila i buscant la conductivitat tèrmica a
aquestes a partir de la interpolació de taules, s’obtenen les següents dades:
PEÇA 1: Tmitj = 224.475 ºC ⇒ λ1 = 14.59055 W/mK ⇒ Q1=9382.37 W/m2
PEÇA 2: Tmitj = 208.725 ºC ⇒ λ2 = 14.30705 W/mK ⇒ Q2=8328.88 W/m2
PEÇA 3: Tmitj = 191.410 ºC ⇒ λ3 = 14.00538 W/mK ⇒ Q3=10454.41 W/m2
Veiem que els fluxos de calor calculats són diferents, quan la teoria ens diu que haurien
de ser iguals. Fixant-se en la diferència, es comprova que tenim més flux de calor on hi
ha més gradient de temperatura (pila 3,TC5-TC6 = 14.22 K), i que on hi havia menys
gradient (pila2, TC3-TC4 = 11.09 K) hi ha menys flux, quedant amb valor entremig la pila
1. Això desemboca a la conclusió que els gradients han predominat en el càlcul degut a
les seves desviacions, és a dir, són massa desiguals.
Si es calcula el percentatge d’error màxim entre cabals, prenent com a referència el més
petit:
Q3 / Q2 = 1.255 ⇒ 25.5% d’error
Segons el manual del Conductivímetre TCFCM-N20, quan els fluxos han estat més
diferents del 20%, aleshores es suggereix que hi ha hagut un problema en el muntatge
global, o amb la mesura d’algunes temperatures en la pila central. Si el “balanç d’energia”
és millor que el 5% és un indicatiu que estem davant d’un test excel·lent. Si el balanç es
troba entre el 5% i el 20% aleshores el test es considera acceptable. Malgrat tot, com és
de lògica, indica que ens podem trobar amb un test de baixa precisió en la mesura de la
conductivitat tot i tenint que els fluxos siguin perfectament iguals, ja que es poden tenir
problemes amb la mesura de temperatures en la mostra de testeig.
Si prenem la mitjana entre Q2 i Q3, obtenim el valor Q2,3 = (Q2 + Q3)/ 2 = 9391.645 W/m2,
molt proper al flux de calor Q1, només un 0.0988 % més de diferència, el que hauria estat
una dada excel·lent per al càlcul de la conductivitat en la peça 1.
Pero el manual ens indica que posicionarem la peça d’estudi en el mig de la pila central
(és a dir, en la posició 2), i que per trobar el flux que passa per 2 es troba la mitjana entre
Q1 i Q3 com a valor més probable. La diferència entre aquests fluxos extrems Q1 i Q3 és
del 11.42% i per tant en principi és una prova acceptable.
Projecte final de carrera
151
En comparació de mitjanes, en aquest cas s’obtenen uns valors molt diferents:
Q1,3 = (Q1+Q3)/2 = 9918.39 W/m2 Q2= 8328,88 W/m2
tenint la mitjana un 19.0843 % més que el valor Q2 esperat. Si es calcula la conductivitat
trobada en la peça 2 seguint els passos indicats en el manual,
(8.7)
es troba un valor λ2exp= 17.0374 W/mK per a l’Inconel a la temperatura mitjana de la peça
2 de 208.725 ºC, mentres que segons taules, el valor correspon a 14.307 W/mK.
El valor trobat té, respecte el valor esperat, una sobreestimació del 19.08%,
semblantment com la mitjana dels fluxos Q1,3 tenia respecte Q2.
NOTA: L’Inconel 718 presenta la conductivitat trobada de 17.0374 W/mK a la temperatura de 369.8375 ºC (161.11 ºC per
sobre de la temperatura d’estudi).
Es pot cloure aquesta experiència amb l’afirmació que no ha complert els objectius
esperats, si bé que el balanç entre els fluxos Q1 i Q3 és acceptable, el resultat de la
conductivitat trobada un 19.08% per sobre del que s’esperava, no compleix la precissió
de entre el ±5% i ±10% que el manual contempla. A més, la temperatura a la qual
correspon la conductivitat trobada (369ºC) no es troba ni tant sols al llarg de la pila central
(compresa entre els 240 ºC i els 180ºC). És suposa que els errors en les conductivitats
trobades depenen també de la funció d’aquestes respecte la temperatura, pendent
d’estudi en el següent capítol.
La curiositat respecte el dubte de fer servir taules per als termoparells, i per a les
conductivitats de l’Inconel, o bé la utilització de funcions regressores, fa comparar per a
aquesta experiència els resultats seguint el mètode emprat fins ara, Taules, o bé els que
s’haurien obtingut amb les funcions. Els resultats són els que es presenten:
2
3,12
·T
dQ∆
=λ
Projecte final de carrera
152
(W/mK) Taules Funcions Dif (%)
Q1 9382.37 9416 +0.36
Q2 8328.88 8355 +0.31
Q3 10454.41 10432 -0.21
Amb les dispersions que s’han trobat en l’esperiència estudiada, l’efecte de servir un
mètode o unaltre no és important amb aquestes diferències, ja que hi han altres factors
que afecten molt més. Si les experiències fossin més precises, aleshores si serà
convenient d’eliminar aquesta dispersió.
Per últim, cerquem d’una manera aproximada, sobre quins valors haurien d’haver estat
les diferències de temperatura en cada pila. Si considerem com a valor més probable del
flux circulant la mitjana dels 3 fluxos, Q1,2,3= (Q1+Q2+Q3)/3 = 9388.55 W/m2 i considerem
que les conductivitats trobades a la temperatura mitjana de cada pila no varien
excessivament de les reals, es pot trobar ∆Ti = Q1,2,3·d / λi, que després dels càlculs es
troba
∆T1 =12.26 ºC ; ∆T2 =12.50 ºC ; ∆T3 =12.77 ºC
8.3 EXPERIÈNCIES AMB CÀLCUL DE Qmàx I Qmín
Per especular sobre la teoria que un dels factors importants és la localització de la unió
termopàrica, per intentar justificar les diferències entre els fluxos de calor, i amb l’objectiu
de cercar una acotació al valor del cabal calorífic per trobar uns límits (raonables?) a la
conductivitat tèrmica cercada, es realitzen dues experiències, a temperatures més
elevades que l’anterior.
Els valors per al nostre cas corresponen a:
d=19.05 mm ∅=1.7 mm ⇒ dmàx= d + ∅ = 20.75 mm dmín= d - ∅ = 17.35 mm
La pràctica consisteix en trobar, per a les peces 1 i 3 (superior i inferior), uns valors
màxims i mínims del flux de calor circulant, a partir de les distàncies mínima i màxima
respectivament, suposant que les temperatures trobades no tenen més error que aquest,
Projecte final de carrera
153
Fig. 8.10 Indicacions de la distància màxima i mínima en les peces
el de la localització. S’ha comprovat anteriorment que no era prou suposar aquesta
deslocalització, ja que les diferències entre els gradients era massa elevada, i aquest
factor d’estudi no podia solament ser el causant d’aquesta desviació. Emperó, pot ser
interessant fer una anàlisi amb dades experimentals:
TC1: 451.6 ºC
TC2: 432.5 ºC
∆T1=19.1 ºC
Tm1=442.05 ºC
λ1=18.3075 W/mK
TC3: 423.0 ºC
TC4: 402.1 ºC
∆T2=20.9 ºC
Tm2=412.55 ºC
λ2=17.7934 W/mK
TC5: 392.9 ºC
TC6: 368.1 ºC
∆T3=24.8 ºC
Tm3=380.5 ºC
λ3=17.2360 W/mK
Experiència 0.2
Es comprova primerament els resultats teòrics considerant la distància d.
S’observa un flux de calor més gran en la peça posicionada en la part més inferior, i
menys flux en la peça superior, quedant la peça del mig amb un cabal intermedi.
2333
2222
2111
/46.22438
/37.19521
/55.18355
mWdTQ
mWdTQ
mWdTQ
=∆
=
=∆
=
=∆
=
λ
λ
λ
Projecte final de carrera
154
La diferència relativa entre els cabals extrems (3 respecte 1) és del 22.24% (deixaria de
ser una bona experiència). Malgrat tot, degut a que la mitjana entre els fluxos extrems es
trobarà propera al cabal a cercar Q2, el resultat que s’obtindrà serà molt proper al teòric:
Q13= (Q1 + Q3) / 2 = 20397 W/m2. (representa només un 4.48% d’error respecte Q2 experimental).
Fem l’anàlisi de distàncies màxima i mínima “possible”:
Això representa fer un interval aproximadament del ±10% de cada cabal. Per tant, si el
cabal real Q del flux uniforme que travessa la peça ha de complir les condicions
següents:
Q1mín < Q < Q1màx Q3mín < Q < Q3màx
que en el nostre cas es converteixen en condicions incompatibles, ja que Q3mín > Q1màx.
S’haurien de suposar unes deslocalitzacions dels termoparells una mica més grans, per
tal de tenir solapació entre els dos intervals, i per tant, teòricament, es trobaria que el flux
estaria en la intersecció d’aquests intervals, que coincidiria en un punt aproximadament
igual a la mitjana entre el cabal mínim de la peça 3 i el cabal màxim de la peça 1. Però
com hem vist abans, potser es casualitat que la peça 2 tingui un cabal aproximadament
igual a la mitjana dels cabals 1 i 3, mentres que aquests difereixen un 22%.
Sense desmuntar la pila central de peces, tornem a fer una altra experiència, amb
temperatures encara més elevades. Els resultats i càlculs referents a temperatures
mitjanes, salts de temperatura i conductivitat són els següents:
233mín3
2
mín
333
211mín1
2
mín
111
/13.20600/05.24637
/72.16851/08.20154
mWd
TQmWd
TQ
mWd
TQmWd
TQ
màxmàx
màxmàx
=∆
==∆
=
=∆
==∆
=
λλ
λλ
Projecte final de carrera
155
TC1: 523.9 ºC
TC2: 504.5 ºC
∆T1=19.4 ºC
Tm1=514.2 ºC
λ1=19.5556 W/mK
TC3: 495.5 ºC
TC4: 474.5 ºC
∆T2=21 ºC
Tm2=485 ºC
λ2=19.05 W/mK
TC5: 464.9 ºC
TC6: 440.6 ºC
∆T3=24.3 ºC
Tm3=452.75 ºC
λ3=18.4995 W/mK
Experiència 0.3
S’observa, respecte l’experiència anterior, una similitud en l’ordre dels resultats: les peces
tenen, en l’ordre 1 a 3, un salt de temperatura creixent. La conductivitat tèrmica, com
sembla lògic, és cada cop més petita (ja que la temperatura mitjana de cada peça és
decreixent, i no queda desvirtuada per les desviacions de lectura). Això porta a uns
resultats de cabals anàlegs als anteriors:
Aquesta vegada, la relació diferencial de Q3 respecte Q1 és del 18.5% (ha millorat una
mica, però està en el mateix ordre). La mitjana Q13=21756.333 W/m2 només està un 3,6%
per sobre del que s’ha trobat experimentalment a Q2.
Només observant aquesta correlació entre els últims 2 experiments, entre els quals no
s’ha fet cap desmuntatge del conjunt ni s’han tocat els termoparells de la seva posició, es
poden sospitar dues causes possibles:
a) Les 3 peces de mateix material, Inconel718, no són exactament iguals, de la mateixa
naturalesa: tenen conductivitats una mica diferents, que si es coneguessin amb
exactitud, calcularíem cabals més semblants entre les 3 peces.
b) Pot afectar en el resultat dels cabals la localització geomètrica dels termoparells
(efecte de distància d ± error), i com que no s’han tocat els termoparells, es
repeteixen els efectes de la mateixa manera relativa.
2333
2222
2111
/78.23597
/21000
/89.19914
mWdTQ
mWdTQ
mWdTQ
=∆
=
=∆
=
=∆
=
λ
λ
λ
Projecte final de carrera
156
Tenint en compte aquestes dues possibles causes, es podria buscar una relació
aproximada del tipus
(8.8)
que sempre es compliria si no es toquessin les peces d’ordre ni els termoparells. Això ens
indica que és necessària una identificació de les peces, per saber si canviant-les d’ordre
es pot deduir alguna cosa. També ens porta a una personificació dels termoparells, no
tant per l’efecte de la deslocalització, ja que la seva posició final en la peça pot quedar
totalment girada respecte a unaltre experiència, sino globalment per la seva desviació
respecte un valor de referència.
Si es suposa en l’experiència 0.3, que com a càlcul del flux és acceptable la mitjana dels
cabals Q13, calculem quina seria la conductivitat trobada seguint el mecanisme:
λ2(485ºC) = Q13·d / ∆T2 = 19.74 W/mK
que representa a l’igual que els fluxos un 3.6% d’error respecte el valor esperat de 19.05
W/mK. (La conductivitat trobada correspon per a l’Inconel 718 a la temperatura de 524.3
ºC).
Òbviament, l’aplicació d’aquesta última equació per trobar el valor estimat de la
conductivitat de la peça, hi intervé el factor deslocalització geomètrica. Cerquem ara
aquesta dispersió ideal que si la coneguéssim amb exactitud trobariem la conductivitat
esperada de 19.05 W/mK.
d*=λ*·∆T2 / Q13 = 18.39·10-3 m = 18.39 mm
Això representa una desviació de la distància termopàrica de –0.66 mm, que està dins
dels límits raonables.
Si s’intenta analitzar el perquè en aquesta experiència 0.3 hem trobat una major
proximitat en els fluxos extrems, que a la vegada la seva mitjana s’ha apropat al valor
experimental en la peça 2 (en conjunt s’ha trobat de manera molt sensible una millor
experimentació) que respecte l’exp. 0.2, es pot deduir que la causa rau en la quantitat de
flux tèrmic circulant. Si es comparen:
312 QQQ βα +=
Projecte final de carrera
157
EXP. 0.2 Q123= 20105.13 W/m2 ∆T16= 83.5 K λ2=17.7934 W/mK
EXP. 0.3 Q123= 21504.22 W/m2 ∆T16= 83.3 K λ2=19.05 W/mK
El flux circulant en l’exp. 0.3 és un 6.96% més gran que l’exp. 0.2, i no perque s’hagi
aplicat un gradient més gran de temperatura (que són quasi-iguals), sino perque al
realitzar-se a temperatures més elevades, les conductivitats són un 7% més grans.
Malgrat tot, no es troba perquè hauria de ser millor l’experiència a major temperatura
(major flux), ja que els errors en els termoparells fins i tot poden ser més grans a més
temperatura, les distàncies queden afectades de la mateixa manera, i la conductivitat
segueix essent igual de lineal en ambdós rangs de temperatura. L’únic del que es pot
sospitar és que a més flux de calor, el mecanisme del conductivímetre (escalfadors,
refredadors, controls PID, forn de guarda) funciona de manera més correcta. Són punts
que s’hauran de comprovar en futures experiències, però es constata amb l’experiència
0.1, que era a temperatures més baixes, i la dispersió entre els cabals més diferents era
del 25.5%. Si ens fixem que aleshores aquesta dispersió corresponia entre les peces 2 i
3, es pot arribar a la conclusió anterior que les peces poden ésser quelcom diferents per
naturalesa (encara que el factor termoparell està pendent d’estudi).
Si ordenem els cabals trobats per a les tres experiències de menor a major, i cerquem les
variables de relació α i β a partir de les exp. 02 i 0.3 segons:
exp. Qm Q QM
0.1 8328.88 9382.37 10454.41
0.2 18355.55 19521.37 22438.46
0.3 19914.89 21000 23597.78
s’obtenen els valors α = 0.7693 i β = 0.2406.
Si apliquem aquests factors de linealitat als fluxos corresponents a l’exp. 0.1, trobem
Q*2= α·Qm + β·QM = 8922.74 W/m2 (només un 4.89 % menys que el Q experimental).
Mm QQQ βα +=
Projecte final de carrera
158
8.4 EL FACTOR DIÀMETRE
Fins ara s’ha tractat el flux de calor com el flux per unitat de superfície (en W/m2), ja que
al tenir teòricament una pila formada per 3 peces de diàmetre constant i igual a 50 mm,
per tal de tenir un flux el més uniforme possible, no calia diferenciar-les i aplicar cada
vegada un diàmetre diferent.
S’ha comprovat anteriorment com les desviacions en la distància inter-termopàrica podien
influir en el resultat final. Comprovem-ho ara per al factor diàmetre. Les peces hauran de
ser mecanitzades en principi, per tal de tenir el diàmetre desitjat. És obvi que les
perforacions practicades a les peces per a la localització dels termoparells és un clar
impediment per tal de tenir una situació teòrica impecable de pila central uniforme, però
està clar que és la manera com treballa el conductivímetre.
També en el disseny del conductivímetre imposa una certa geometria, que en el cas del
diàmetre, és de 50 mm, ja que les peces mostra són així. En el capítol 9 s’explica com
aquest diàmetre de peça, és òptim per a les dimensions del forn de guarda que es té.
Per a la valoració de l’efectivitat de dispersió del flux de calor degut a la dispersió de
diàmetre, tenim que l’àrea de la peça teòrica és A=πr2.
El rati que compara aquest flux teòric vé amb relació inversa al quadrat de la relació entre
radis (o diàmetres)
(8.9)
Fent un exemple numèric, si el diàmetre té 1 mm menys dels 50 mm corresponents (un
2% d’error), aleshores pertoca per aquest motiu un error en l’estimació del flux (per unitat
d’àrea) de +4.12%.
Aquest efecte podria explicar les inexactituds dels fluxos dins un rang, però no explica
gensmenys les diferències trobades anteriors de fins el 25,55% de desviació entre fluxos,
degut a que la mecanització de les peces es troba força correcta.
Mesurades amb un peu de rei les 4 peces d’Inconel, els seus diàmetres són: 49,9 mm, 50
mm, 49,85 mm i 49.85 mm.
2
*2*
2
*
**
====
RR
RR
AA
AqAq
ππ
Projecte final de carrera
159
Si el diàmetre és pogués creixer tant com vulguèssim, aleshores una millora directament
relacionada seria que la perforació de les peces per als termoparells no seria
(relativament) tant important.
Altres factors que poden afectar al càlcul, degut a que afecten a la teoria bàsica de
funcionament del conductivímetre, seria la no linealitat de les 3 peces. Els seus eixos
tenen segur una descentricitat, que en les interfícies provocaria unes línies de flux no
simètriques, podent arribar a perjudicar la lectura dels termoparells (que està només a
només a 3.18 mm de les interfícies).
8.5 LA REPETITIVITAT EN LES EXPERIÈNCIES
L’experimentació sembla que dóna resposta a algunes de les preguntes que inicialment, i
sense conèixer profundament el mecanisme tèrmic del conductivímetre, es poden
presentar. La comparació entre experiments poden donar com a conclusió que hi han
efectes pràctics que segons la teoria no es contemplen. Un d’ells, és conèixer fins a quin
grau dues experiències, amb les mateixes peces i les mateixes entrades de temperatures
límits, poden donar resultats diferents, degut a que el muntatge geomètric poden haver
petitíssimes desviacions de col·locació de peces.
TERMOPAR LECTURA (µV) TEMPERATURA
(ºC)
TERMOPAR LECTURA (µV) TEMPERATURA
(ºC)
TC1 9769 240.61 TC1 9787 241.05
TC2 9209 226.65 TC2 9226 227.07
TC3 8785 216.05 TC3 8801 216.45
TC4 8132 199.71 TC4 8147 200.09
TC5 7841 192.44 TC5 7855 192.79
TC6 7311 179.21 TC6 7324 179.53
TC7 9893 243.69 TC7 9907 244.03
TC8 9731 239.66 TC8 9743 239.96
TC9 9503 233.98 TC9 9514 234.26
TC10 9385 231.04 TC10 9395 231.29
TC11 9084 223.52 TC11 9092 223.72
TC12 8931 219.70 TC12 8939 219.90
TC13 9709 239.11 TC13 9717 239.31
TC14 7306 179.08 TC14 7313 179.26
TC15 7297 178.86 TC15 7303 179.01
EXPERIÈNCIA 1.1 EXPERIÈNCIA 1.2
Projecte final de carrera
160
Es comença en aquest punt a personificar les peces per tal de situarles en l’ordre que ens
interessi. Partim amb els resultats de l’exp. 1.1. i exp. 1.2. mostrats a la taula anterior.
Amb les lectures anteriors, es poden calcular els corresponents fluxos de calor:
exp. QI QII QIII QI/QII QI/QIII
1.1 10785.74 12249.89 9661.14 0.88047 1.116405
1.2 10808.96 12274.29 9683.95 0.88061 1.116172
1.1/1.2 0.997851 0.998012 0.997644
Aquestes dues experiències han estat realitzades amb 3 peces d’Inconel718, que s’han
anomenat I,II i III i han estat posicionades des de la part superior a inferior. Les
temperatures de control, tant per a la pila central com pel forn de guarda han estat de
240 ºC i de 180 ºC. Després d’anotar les lectures de l’experiment 1.1 havent passat unes
4 hores, s’ha esperat 2 hores més per tal d’estabilitzar més el llarg transitori.
Els resultats dels cabals difereixen, semblantment a les experiències anteriors, però entre
ambdues lectures, es nota un creixement del cabal circulant, de manera uniforme en les 3
peces ja que les relacions dels cabals són molt semblants.
Aquesta experiència continua confirmant una diferència dels cabals calculats segons uns
paràmetres de distància i de conductivitat suposats, i aquesta dispersió pot ser deguda en
part a que la distància inter-termopàrica pot ser diferent en cada cas, provocant una
dispersió per la localització dels termoparells (vegeu Capítol 7). Així mateix la naturalesa
del material pot provocar que les peces mostra tinguin una conductivitat tèrmica real molt
diferent entre elles, fent que el camp de temperatures provocat sigui diferent.
Realitzem, sense desmuntar la pila de l’experiència anterior, una prova amb tots els
controladors de temperatura marcant 210 ºC (temperatura mitjana de les temperatures
extremes anteriors 240ºC i 180ºC). Servirà aquesta experiència per continuar valorant les
diferències entre les lectures dels termoparells que, teòricament, estan mesurant tots la
mateixa temperatura.
Les lectures són les següents:
Projecte final de carrera
161
TERMOPAR LECTURA (µV) TEMPERATURA
(ºC)
TC1 8528 209.62
TC2 8617 211.85
TC3 8534 209.77
TC4 8567 210.59
TC5 8587 211.09
TC6 8616 211.82
TC7 8544 210.02
TC8 8530 209.67
TC9 8435 207.29
TC10 8447 207.59
TC11 8293 203.74
TC12 8281 203.44
TC13 8500 208.92
TC14 8513 209.24
TC15 8500 208.92
EXPERIÈNCIA 1.3
A partir d’aquest resultat, s’ha desmuntat l’experiment global 1 i es torna a muntar de la
mateixa manera, amb el mateix ordre de peces, per passar a realitzar l’experiència 2.
L’únic element que no es repeteix són els termoparells, que els anem agafant a l’atzar i
els anem posicionant a les diferentes peces.
La primera lectura la farem a partir de introduir les mateixes temperatures de control que
les experiències 1.1 i 1.2, és a dir 240 i 180 ºC. El resultat en els cabals,
comparativament amb l’experiencia 1, són els següents:
exp. QI QII QIII QI/QII QI/QIII
1.1 10785.74 12249.89 9661.14 0.88047 1.116405
2.1 10601.11 11368.10 9469.52 0.93253 1.119498
1.1/2.1 1.017416 1.077567 1.020235
Aquesta experiència en comparació amb la exp. 1.1 es comporta de diferent manera de
com es comportava la exp. 1.2 respecte la mateixa exp. 1.1. Els resultats, si bé defineixen
la mateixa tendència, difereixen relativament entre ells, notant-se que la peça II és la que
té una pertorbació major.
Tots els termoparells tenen lectures molt aproximades, exceptuant els termoparells més inferiors del forn de guarda, que presenten temperatures uns 7ºC inferiors a les esperades. Les lectures bàsiques de la pila central (TC1 a TC6), presenten com a temperatures més diferents la TC1=209.62 ºC i la TC2=211.85 ºC. Això representa una diferència entre aquestes dues lectures de 2.23 ºC, que és una diferència comprensible a partir de les especificacions dels termoparells tipus K. Semblantment com s’ha fet amb les peces que s’han personalitzat per veure si sempre existeix una relació entre elles, s’hauran de personalitzar els termoparells per saber si existeix una relació entre dos termoparells concrets.
Projecte final de carrera
162
És pot deduir que la tendència més forta que fa que els fluxos continuin tenint l’ordre QII >
QI > QIII és degut a les peces (bé per material o per distància termopàrica/diàmetre), però
també hi ha un factor termopàric que fa que les relacions entre els cabals que en un
mateix muntatge fa que sigui força constant, puguin variar entre dos experiments anàlegs.
Per poder constatar aquesta suposició anterior, amb el mateix muntatge es predisposa a
fer la lectura corresponent a l’exp. 2.2, que consisteix a posar com a temperatures de
control els valors de 140 ºC i 100 ºC per el MAIN HEATER i el AUX HEATER
respectivament. Els resultats dels cabals així com els comparatius entre ells són els que
es mostren a la taula següent:
exp. QI QII QIII QI/QII QI/QIII
2.1 10601.11 11368.10 9469.52 0.93253 1.119498
2.2 6999.49 6602.08 5838.82 1.06019 1.198785
2.1/2.2 1.514555 1.721896 1.621821
El balanç ha estat malaurat. Per començar, ja no es té que la peça II té el cabal més gran
de les tres. Les relacions entre l’exp. 2.1 i l’exp. 2.2 tenen major diferència, per tant, que
els valors que s’havien trobat en les relacions de l’exp. 1.1 versus exp. 1.2.
Per buscar les causes d’aquestes anomalies dintre de les anomalies que tenen els
cabals, es pot suposar que a menor temperatura, els resultats dels cabals s’alteren
perque els gradients de temperatura s’han vist afectat per un error relatiu major. També
s’ha fet l’observació dels valors que mostra la Unitat Lectora temporalment, i s’arriba a la
conclusió que les e.m.f. mostrades oscil·len en un entorn aproximat de ±15 µV que
equival a ±0.375 ºC.
Tot això impulsa a la recomanació d’executar l’experiment 2.3 realitzat a temperatures
superiors a la realitzada en l’experiència 2.1, concretament a 400ºC com a temperatura
superior i 340 ºC com a temperatura inferior, i no a temperatures tant baixes com l’exp.
2.2.
Projecte final de carrera
163
Però aquest experiment no es pot realitzar, ja que la resistència superior ha sofert un
reescalfament molt elevat de manera contínua, degut a que el termoparell que controla
aquesta resistència superior s’ha averiat, provocant que el PID sempre troba una
temperatura inferior a la introduïda, escalfant contínuament la resistència. El muntatge
s’ha desmontat per tal de reparar la citada resistència.
Es passa al muntatge d’una nova experiència, consistent en fer passar un flux de calor a
les mateixes peces, però aquesta vegada s’ha optat per canviar l’ordre de les peces I,II i
III, posicionant la peça II en la posició superior 1, la peça III en la posició intermèdia 2 i la
peça I a la part inferior 3. Els termoparells, com fins ara, s’han escollit de manera
aleatòria. S’han fet dues lectures (dos experiències); una amb un gradient aplicat d’entre
180ºC i 140ºC (exp. 3.1), i el gradient típic d’entre 240ºC i 180ºC (exp. 3.2). Els fluxos
resultants i les seves corresponents relacions s’expressen a la taula següent:
exp. QI QII QIII QI/QII QI/QIII
3.1 7852.35 7260.14 5325.41 1.081570 1.474506
3.2 13116.46 11509.01 9082.60 1.139660 1.444130
3.1/3.2 0.598663 0.6308222 0.586331
En les relacions entre els resultats de l’exp.3.1 i exp.3.2 es nota una petita diferència,
però tots els valors estan entorn del valor que el flux de cada peça una a una en
l’experiment 3.1 és 0.60 vegades aprox el flux de cada peça en l’experiment 3.2. Les
variacions poden venir degut a que, com s’ha comentat anteriorment, els fluxos baixos
deguts a petits salts de temperatura (o bé a baixes temperatures), poden alterar-se més
fàcilment.
Pel mateix motiu, les relacions entre peces en la primera experiència varien un xic
respecte les mateixes relacions en la segona experiència, però es mantenen força
constants si tenim en compte la variació dels fluxos que arriben a l’experiència 3.1 fins el
47% entre les peces I i III.
El que és important notar, és que ara tenim la relació de QI > QII > QIII, , a l’igual que
l’experiment 2.2, en les dues experiències, diferenciant-se del que succeïa a les
Projecte final de carrera
164
experiències 1.1, 1.2 i 2.1. El que hi ha en comú sempre és que la peça III sempre té un
cabal molt inferior a les peces I i II, arribant a tenir la peça I un flux 47% major que la peça
III (QI / QIII = 1.47), mentres que les relacions dels fluxos de les peces I i II (QI / QII) solen
estar entre 0.88 i 1.14 ( major flux en I que en II o a la inversa).
Podem fer la hipòtesi atrevida, degut als paràmetres amb els que estem jugant, que les
peces I i II poden tenir naturalesa o comportament semblant, i la diferència entre els seus
fluxos sigui deguda a variacions provocades per termoparells, o bé al procés de
muntatge, posicionament o al comportament del conductivímetre (refredament lateral, ...).
Però es pot desconfiar de la peça III per un comportament anòmal (distància entre
termoparells més petita, Inconel pertorbat, etc...).
Per estudiar com ha afectat el canvi de localització de les peces I, II i III en l’experiment 2
respecte les anteriors, es fa la comparació entre experiències que han tingut les mateixes
temperatures extremes, en aquest cas s’escull la experiència 2.1 i l’experiència 3.2,
realitzades amb un gradient comprés entre 240ºC i 180ºC. Cal tenir en compte que
l’aleatorietat dels termoparells que s’han usat pot tenir implicació directa important, i
podria donar pas a suposicions incorrectes.
Les relacions dels fluxos entre les dues experiències, les podem fer de dues maneres:
a) relacionant de manera que la peça personalitzada com I es relaciona amb ella
mateixa, sigui la seva situació que sigui, o bé
b) relacionant les peces superiors entre si, les que ocupen la posició intermèdia entre si i
les inferiors entre si.
Si relacionem les peces independentment de la seva situació:
exp. QI QII QIII QI/QII QI/QIII QII/QIII
2.1 10601.11 11368.10 9469.52 0.93253 1.119498 1.200494
3.2 13116.46 11509.01 9082.60 1.139660 1.444130 1.267233
2.1/3.2 0.808229 0.987756 1.042600
Projecte final de carrera
165
S’observa que les relacions QI/QII i QI/QIII tenen valors molt dispars entre les dues
experiències. mentres que la relació QII/QIII es manté força més constant entre els dos
experiments. Es pot observar, aleshores, que la peça I té un comportament molt diferent
en cadascuna de les proves: mentres que en l’exp. 2.1 té un flux intermedi que les altres
dues peces (posicionada en la peça superior), a l’exp. 3.2 té un flux superior que les
altres dues (quan està posicionada en la part inferior). Això es reflecteix també en les
relacions de fluxos de cada peça; mentres que les peces II i III tenen fluxos molt propers
en cadascuna de les experiències (0.98 i 1.04), la peça I difereix un 20%. Aquest fet
provoca que mentres en l’exp. 2.1 tenim una diferència de fluxos del 20% entre la peça II i
la peça III, en l’experiment 3.2 la diferència creix fins el 44% entre les peces I i III.
Per tant la repetitivitat sembla, es veu compromesa pel posicionament de peces, però cal
tenir en compte que potser l’aleatorietat dels termoparells pugui tenir molt a veure en
aquest sentit.
Comprovem els resultats segons el posicionament, i no segons les peces:
exp. Q1 Q2 Q3 Q1/Q2 Q1/Q3 Q2/Q3
2.1 10601.11 11368.10 9469.52 0.93253 1.119498 1.200494
3.2 11509.01 9082.60 13116.46 1.267149 0.877447 0.692458
2.1/3.2 0.92111 1.251634 0.721956
S’observa que no existeix cap correspondència en els ratis dels fluxos. La peça
intermèdia 2 té en l’experiment 2.1 el flux més gran de les tres, mentres que en la
següent experiència té el flux més petit. Per tant, es pot concloure que la repetitivat depen
clarament de les peces mostra que es facin servir.
El seu posicionament també pot implicar alguna desviació, però la variabilitat observada
es pot entendre sobretot si ens fixem en les peces i no depén d’on les posem que el seu
comportament seguirà essent el mateix. Per a una bona experimentació per trobar la
conductivitat tèrmica d’una mostra, s’haurà de testejar molt bé prèviament les peces
mostra que s’utilitzarà.
Projecte final de carrera
166
8.6 LA PILA ÚNICA I LA REFERENCIACIÓ DE TERMOPARELLS
Degut al diferent comportament de la peça 1 en les experiències 2.1 i 3.2, una possible
causa que se li atribueix és la desviació provocada pels termoparells en cada cas. Per a
això, i fugint de la variabilitat eventual entre les peces mostra i la seva posició, es prepara
una peça de llargària igual al conjunt pila central formada per 3 peces. Aquesta peça, que
l’anomenarem Pila Única, és de material acer, i es desconeix la seva conductivitat. Però
la seva utilitat és per a l’observació dels termoparells i la seva dependència entre ells.
Aquesta peça de 80 mm de longitud i de diàmetre 50mm té practicats 7 forats
interespaiats 10 mm, i allunyats de les 2 cares superior i inferior també 10 mm. Com a
principal avantatge, és que no hi han interfícies, i en teoria tota la pila és de la mateixa
naturalesa, mateix material. Desconeixem la conductivitat tèrmica del material, ja que
desconeixem el material en si i la seva composició. Si prenem com a referència la
conductivitat tèrmica de l’acer al carboni 1.5%C en l’interval de 273 K a 875 K, que té
com a equació regresora:
λAcer = 36 –0.0083· (T-273) T en K
i per tant té una variabilitat de la seva conductivitat de 0.0083 W/mK2, que en un interval
de 100 K representaria només 0.83 W/mK de diferència (només un 2.3% de variació).
Això permet esperar que els intervals de temperatura hauran de ser força constants.
Fig. 8.11 Localització dels termoparells i experimentació amb peça única
Projecte final de carrera
167
Per al conjunt d’experiències 4, el forat del mig no s’ha ocupat amb cap termoparell.
Les distàncies d(1-2)=d(2-3)=d(4-5)=d(5-6)= 10 mm i d(3-4)=20 mm.
La primera experimentació es realitza introduint les temperatures de control MAIN a 240
ºC i AUX a 200 ºC. Es fa una primera lectura 4.1, i es deixa reposar tota una nit, després
de la qual es fa la lectura 4.2. Es nota que els valors no han variat gaire, i per tant, es
suposa que s’ha arribat a un transitori força estable. S’observa, però, que els termoparells
posicionats al forn de guarda varien més amb el temps que els termoparells de la pila
central, que són més estacionaris. Els valors de transició, però, no varien més de 0.25ºC.
Les lectures són les expressades en la següent taula:
TERMOPAR LECTURA (µV) TEMPERATURA
(ºC)
TC1 9608 236.5986
TC2 9446 232.5614
TC3 9102 223.9736
TC4 8653 212.7461
TC5 8463 207.9924
TC6 8174 200.7623
TC7 9861 242.8672
TC8 9735 239.7597
TC9 9550 235.1538
TC10 9470 233.1598
TC11 9228 227.1211
TC12 9127 224.5983
TC13 9715 239.2622
TC14 8114 199.2617
TC15 8100 199.1616
EXPERIÈNCIA 4.2
Es pot comprovar una forta linealitat en les temperatures de la Pila Central, degut
bàsicament a la inexistència d’interfícies que provocaven salts. Com a més discordants
d’aquestes temperatures, sembla que la TC2 té la temperatura una mica per sobre de la
tendència general, així com la TC5. A primera vista, el forn de guarda té en la seva
posició superior un comportament similar i paral·lel al de la pila central, malgrat que
200205210215220225230235240245
50 70 90 110
ALÇADA (mm)
TEM
P. (º
C)
PILA CENTRALFORN GUARDA
Fig. 8.12 Temperatures segons exp. 4.2
Projecte final de carrera
168
sembla que obtinguem temperatures una mica més grans (possiblement per desajustos
en les mides d’alçada)
Calculant només els gradients en la pila central, i agafant distàncies diferents cada
vegada s’obtenen els següents resultats:
Si prenem les diferències de temperatures distanciades 10 mm: TC1-TC2 = 4.0373 ºC (TC1-TC2)/D = 403.73 ºC/m TC2-TC3 = 8.5877 ºC (TC2-TC3)/D = 858.77 ºC/m TC4-TC5 = 4.7537 ºC (TC4-TC5)/D = 475.37 ºC/m TC5-TC6 = 7.2300 ºC (TC5-TC6)/D = 723.00 ºC/m S’obtenen unes diferències de temperatures molt diferents entre si.
Si es calcula la mitjana i la desviació estandard dels gradients: MITJANA = 615.2175 ºC/m DESVIACIÓ=212.30 ºC/m
Si prenem les diferències de temperatures distanciades 20 mm (com passa en les peces mostres) TC1-TC3 = 12.6250 ºC (TC1-TC3)/D = 631.25 ºC/m TC3-TC4 = 11.2276 ºC (TC3-TC4)/D = 561.38 ºC/m TC4-TC6 = 11.9837 ºC (TC4-TC6)/D = 599.185 ºC/m MITJANA = 597.2717 ºC/m DESVIACIÓ =34.97 ºC/m
Ha millorat amb gran quantitat la desviació tipus. Cal tenir en compte que només hi havia
3 dades.
Si prenem les diferències de temperatures distanciades 30 mm. TC2-TC4 = 19.8153 ºC (TC2-TC4)/D = 660.51 ºC/m TC3-TC5 = 15.9813 ºC (TC3-TC5)/D = 532.71 ºC/m
MITJANA = 596.61 ºC/m DESVIACIÓ = 90.368 ºC/m (Només hi han 2 dades!!!)
Si prenem les diferències de temperatures distanciades 40 mm. TC1-TC4 = 23.8526 ºC (TC1-TC4)/D = 596.315 ºC/m TC2-TC5 = 24.5690 ºC (TC2-TC5)/D = 614.225 ºC/m TC3-TC6 = 23.2113 ºC (TC3-TC6)/D = 580.282 ºC/m
MITJANA = 596.94 ºC/m DESVIACIÓ = 16.98014 ºC/m
Projecte final de carrera
169
Si prenem les diferències de temperatures distanciades 50 mm. TC1-TC5 = 28.6063 ºC (TC1-TC5)/D = 572.126 ºC/m TC2-TC6 = 31.799 ºC (TC2-TC6)/D = 635.98 ºC/m
MITJANA = 604.053 ºC/m DESVIACIÓ = 45.151 ºC/m (Només hi han 2 dades!!!)
Diferència de temperatures separades 60 mm: TC1-TC6 = 35.8363 ºC (TC1-TC6)/D = 597.2716 ºC/m
Òbviament, per causes d’estadística, només són comparables les desviacions estàndards
de mostres d’igual número de dades. Si comparem les de D=20 mm, i les de D=40 mm,
on tenim 3 dades en cada cas, la desviació estàndard es redueix a la meitat (de 34ºC/m a
16ºC/m). Si comparem les desviacions de les mostres de 2 dades (com les de D=30 mm i
les de D=50 mm) també s’obté una reducció de la meitat: de 90 ºC/m a 45 ºC/m (i això
que no hem doblat els 30 mm per passar a 60 mm, sinó que ens quedem a D=50 mm).
S’observa que per a més dades, la desviació és inferior, però cal fixar-se en el cas de
D=10 mm, on tenim 4 dades i tenim la desviació de 212 ºC/m. El que si que queda
clarivident és que per a aproximar millor el càlcul del gradient s’ha tenir distàncies com
més grans millor.
Això dóna a pensar que és favorable INTENTAR EXPERIMENTAR amb dues peces, de
conductivitat coneguda, més grans, en comptes de tres peces més petites com
actualment s’està fent. Una altra raó per a EXPERIMENTAR amb dues peces, és que, al
no tenir tants forats (només es necessitaran 2 a cada peça, per tant 4 en total), no es
distorsionarà tant el flux de calor que travessa el cilindre.
Un condicionant en contra d’experimentar amb dues peces, és la suposada simetria que
s’obté amb el Guard Furnace (Forn de Guarda) actualment amb les 3 peces, però
aquesta asimetria que obtindríem, és molt petita, i no afectarà gaire al nostre flux, ja que
tenim un bon aïllant entre la pila i el forn de guarda. Càlculs realitzats amb les dades de la
Diatomea, dónen un flux de calor, per a una diferència de temperatura constant al llarg de
la pila de 10ºC (cas més desfavorable), de 0,4496 W, és a dir, un 1,7% del flux que
travessa la pila. En estat estacionari, però, seria molt inferior, i en qualsevol cas, es pot
regular les temperatures del forn de guarda.
Projecte final de carrera
170
Fig. 8.13 Tipologies de camp de temperatura en pila central
S’observa en la Fig. 8.13 la simetria citada anteriorment. Les peces patró A tenen la
mateixa conductivitat, mentres que la peça desconeguda B té una conductivitat que serà
inferior o superior a A en el rang de temperatures d’estudi. Tenint en compte aquesta
diferència de conductivitats i les resistències de contacte, s’observa que les corbes de
temperatures seran com la vermella en el cas que la conductivitat de B sigui més petita
que la del material A. En el cas contrari tenim la corba groga. El forn de guarda segueix
una corba més o menys lineal representada de color blau.
Segons el fabricant de termoparells SEDEM consultat, el problema real dels termoparells
és el fons d’escala. Això vol dir que cada termoparell té una corba característica pròpia
que relaciona la e.m.f. que dóna amb la temperatura mesurada. Els errors no són
constants, si no que depenen de la temperatura a la qual es mesura.
L’error que s’obté per la indeterminació de la localització dels termoparells (la inexactitud
de la distància) no és tan gran com es podia pensar, ja que SEDEM asegura que els
termoparells que venen incorporats amb màntel, van soldats en el centre de la punta, i
que això es fa microscòpicament. Aquest fet pot semblar inútil, ja que no serveix en el
nostre cas tenir molt ben localitzat el punt del sensor de temperatura, si la lectura que
dóna depén d’un fons d’escala desconegut. Només pot ser útil quan d’aquest
termoparell previ a la seva instalació, se li ha fet un calibratge.
Projecte final de carrera
171
Per veure si és efectiu un calibratge, seguidament s’analitza la prova consistent en
sotmetre el conjunt a una temperatura constant, introduint en els quatre controladors PID
la temperatura de 240ºC, que era la superior en les experiències anteriors. Aquest
calibratge el podem qualificar d’atrevit, ja que els termoparells estan separats, i no tenim
la certesa que tota la peça estigui a la mateixa temperatura. Però els resultats obtinguts
són molt interesants de seguir amb la mateixa operativa d’abans. Posteriorment es fa una
prova similar, però ara introduïnt la temperatura de 200 ºC. Els resultats d’aquestes dues
experiències 4.3 i 4.4 es troben en la taula adjunta.
TERMOPAR LECTURA (µV) TEMPERATURA
(ºC) TERMOPAR LECTURA (µV) TEMPERATURA
(ºC)
TC1 9723 239.4612 TC1 8096 198.8115
TC2 9787 241.0529 TC2 8160 200.4121
TC3 9703 238.9636 TC3 8078 198.3613
TC4 9732 239.6851 TC4 8106 199.0616
TC5 9801 241.4010 TC5 8153 200.2371
TC6 9730 239.6353 TC6 8114 199.2617
TC7 9753 240.2074 TC7 8130 199.6618
TC8 9729 239.6104 TC8 8113 199.2366
TC9 9624 236.9971 TC9 8022 196.9610
TC10 9640 237.3954 TC10 8035 197.2861
TC11 9496 233.8080 TC11 7904 194.0111
TC12 9493 233.7332 TC12 7902 193.9611
TC13 9709 239.1129 TC13 8091 198.6864
TC14 9720 239.3866 TC14 8103 198.9865
TC15 9712 239.1875 TC15 8092 198.7114
EXPERIÈNCIA 4.3 EXPERIÈNCIA 4.4
Podríem fixar-nos una altra vegada entre els valors màxims i mínims de cada experiència
i notar que en principi són variacions acceptables. Es podria notar que en el forn de
guarda existeixen els termoparells núm. 11 i 12 que destaquen per donar les
temperatures més inferiors i allunyades. Però no ens interessa de moment el conjunt de
termoparells, sinó que centrarem l’atenció en els TC1 a TC6 que són els de la pila central,
i els que en definitiva, dónen lectures amb les quals s’opera per obtenir el resultat final.
Projecte final de carrera
172
Si de cada experiència, “prenem” com a termoparell referència el TC1, que correspondría
a aquell termoparell que dóna la temperatura exacta, i restem a cada lectura dels altres
termoparells la temperatura llegida per TC1, obtenim la desviació que dóna cada
termoparell.
di = TCi – TC1 ⇒ TCi* = TCi – d = TCi – TCi + TC1 = TC1
essent TCi* la temperatura del termoparell TCi un cop se li aplica la correcció de la seva
desviació.
Verifiquem, per als termoparells indicats abans, les seves desviacions:
Termoparell Desviació a 4.3 Desviació a 4.4
TC2 +1.5917 +1.6006
TC3 -0.4976 -0.4502
TC4 +0.2239 +0.2501
TC5 +1.9398 +1.4256
TC6 +0.1741 +0.4502
Verifiquem que per a cada termoparell són diferentes les desviacions, però és curiós el
paral·lelisme entre les dues experiències. No és d’extranyar que les desviacions siguin
diferentes per a cada experiència, ja que la desviació, tal com informava SEDEM, era
funció de la temperatura. El que passa és que per a petits intervals de temepratura,
aquesta desviació és manté aproximadament igual. El resultat seria similar si s’hagués
pres com a termoparell de referència qualsevol altre. El que passa és que quan corregim
les temperatures, el valor absolut de la temperatura potser diferirà del valor físic real,
depenent de la bondat del valor de referència.
Passem, doncs, a corregir els resultats de l’experiència 4.2 amb aquestes desviacions.
Com que la peça té un gradient de 40ºC, les desviacions calculades segons l’exp. 4.3 a
240ºC no són les millors per als termoparells que llegeixen valors al voltant de 200ºC, i a
Projecte final de carrera
173
la inversa. Per això, es corregeixen els TC1, TC2, TC3 amb les desviacions de l’exp. 4.3,
i els TC4,TC5,TC6 es corregeixen amb les desviacions de l’exp. 4.4.
Tot seguit, es compara l’estudi realitzat anteriorment calculant els diferents gradients
segons diferentes distàncies, i les seves desviacions, i es compara sense i amb correcció.
Termoparell Temp. 4.2 (ºC) Temp. 4.2 corregida (ºC)
TC1 236.5986 236.5986
TC2 232.5614 230.9697
TC3 223.9736 224.4712
TC4 212.7461 212.4961
TC5 207.9924 206.5669
TC6 200.7623 200.3122
SENSE CORREGIR AMB CORRECCIÓ
Si prenem les diferències de temperatures distanciades D=10 mm: (TC1-TC2)/D = 403.73 ºC/m (TC1-TC2)*/D = 562.90 ºC/m (TC2-TC3)/D = 858.77 ºC/m (TC2-TC3)*/D = 649.84 ºC/m (TC4-TC5)/D = 475.37 ºC/m (TC4-TC5)*/D = 592.93 ºC/m (TC5-TC6)/D = 723.00 ºC/m (TC5-TC6)*/D = 625.46 ºC/m MITJANA = 615.2175 ºC/m MITJANA = 607.7819 ºC/m DESVIACIÓ=212.30 ºC/m DESVIACIÓ = 37.93 ºC/m
Si prenem les diferències de temperatures distanciades 20 mm (com passa en les
peces mostres) (TC1-TC3)/D = 631.25 ºC/m (TC1-TC3)*/D = 606.37 ºC/m (TC3-TC4)/D = 561.38 ºC/m (TC3-TC4)*/D = 598.76 ºC/m (TC4-TC6)/D = 599.185 ºC/m (TC4-TC6)*/D = 609.19 ºC/m MITJANA = 597.2717 ºC/m MITJANA = 604.7736 ºC/m DESVIACIÓ =34.97 ºC/m DESVIACIÓ = 5.3981 ºC/m
Si prenem les diferències de temperatures distanciades 30 mm. (TC2-TC4)/D = 660.51 ºC/m (TC2-TC4)*/D = 615.79 ºC/m (TC3-TC5)/D = 532.71 ºC/m (TC3-TC5)*/D = 596.81 ºC/m
MITJANA = 596.61 ºC/m MITJANA = 606.2987 ºC/m DESVIACIÓ = 90.368 ºC/m DESVIACIÓ = 13.4169 ºC/m
Projecte final de carrera
174
Si prenem les diferències de temperatures distanciades 40 mm. (TC1-TC4)/D = 596.315 ºC/m (TC1-TC4)*/D = 602.56 ºC/m (TC2-TC5)/D = 614.225 ºC/m (TC2-TC5)*/D = 610.07 ºC/m (TC3-TC6)/D = 580.282 ºC/m (TC3-TC6)*/D = 603.97 ºC/m
MITJANA = 596.94 ºC/m MITJANA = 605.5362 ºC/m DESVIACIÓ = 16.98014 ºC/m DESVIACIÓ = 3.9889 ºC/m
Si prenem les diferències de temperatures distanciades 50 mm. (TC1-TC5)/D = 572.126 ºC/m (TC1-TC5)*/D = 600.64 ºC/m (TC2-TC6)/D = 635.98 ºC/m (TC2-TC6)*/D = 613.15 ºC/m
MITJANA = 604.053 ºC/m MITJANA = 606.89 ºC/m DESVIACIÓ = 45.151 ºC/m DESVIACIÓ = 8.8480 ºC/m
Diferència de temperatures separades 60 mm: (TC1-TC6)/D = 597.2716 ºC/m (TC1-TC6)*/D = 604.7736 ºC/m
La millora és, indubtablement, substancial. Si ens fixem en els valors de gradients formats
a partir de D=20 mm, s’observa que passem de tenir gradients tant diferents des de 561
ºC/m fins al valor de 631 ºC/m (un interval de 70 ºC/m), mentre que un cop s’han corregit
les lectures termopàriques, l’entorn es redueix entre 599 ºC/m a 609 ºC/m (només un
interval de 10ºC/m, una setena part).
Aquesta variabilitat, inclús, queda millorada si fixem els gradients a partir de D=40 mm (és
a dir, peces més grans). L’interval queda reduït a 6ºC/m, tenint una desviació tipus els 3
gradients de 4ºC/m.
A part d’aquestes experiències, es realitza unes altres isotèrmiques a 100ºC (exp. 4.5), a
220ºC (exp. 4.6) i una final posant com a temperatures extremes 250ºC i 210ºC (exp.
4.7), els resultats de les quals es poden consultar en els annexos. La conclusió és que es
fa inevitable una correcció per comparació dels termoparells amb un de referència, i
l’estudi de tenir major distància entre els termoparells. A el mètode d’escalfar tota una
peça a una temperatura isoterma, i aplicar la ‘calibració’ dels termoparells, l’anomenem
‘Referenciació in situ’. De fet, no podem parlar de calibració, ja que s’escull un termoparell
a l’atzar com el de referència, però en principi no ens importa gaire si la seva lectura és la
més aproximada a la temperatura real.
Projecte final de carrera
175
En aquest moment, s’ha procedit a col·locar una etiqueta a cada termoparell, de manera
que els tindrem numerats.
Es creu oportú seguir el comportament d’aquests termoparells a temperatures més
elevades ja que en aquest conductivímetre, el rang de treball pot arribar fins els 1000 ºC.
Per a portar a terme la comprovació d’errors relatius entre els sis termoparells (per tal
d’eliminar el que clarament és coneix com error sistemàtic), es va idear el següent
muntatge:
Es va disposar del mateix conductivímetre, el qual disposa de quatre controladors PID
que tenen com a finalitat mantenir els dos extrems de la pila i els extrems del forn de
guarda a unes temperatures concretes. L’objectiu final es mantenir la pila a temperatura
uniforme mantenint els controladors PID tots a la mateixa temperatura. A més, es
dissenya una peça especial per a la col·locació dels sis termoparells: es tracta d’una peça
cilíndrica metàl·lica, en la qual s’hi practiquen sis forats radials.
Fig. 8.14 Peça per a la referenciació permanent dels termoparells
Aquesta peça pretén que les lectures llegides pels sis termoparells estiguessin el més
possible concentrades en un sol punt de la peça, a fi i efecte de poder evitar
pertorbacions degudes a una possible imperfecte isotèrmia. En aquesta experiència,
l’objectiu de la isotèrmia és una dificultat més afegida, ja que els controladors PID
presenten certes oscil·lacions periòdiques característiques del sistema (acoplament) i
pertorbacions mínimes degudes al fenòmen del ‘soroll’. En definitiva, la condició
d’isotermicitat no està garantida, però no es cap problema si tenim en compte que els
petits canvis de lectura donats pels termoparells segueixen cicles d’uns quatre minuts, i
Projecte final de carrera
176
les lectures dels sis termoparells poden ésser preses en un lapse de temps
considerablement més petit (20 segons) fet que tenint en compte que el punt de lectura
de temperatures pels sis termoparells és localment el mateix i que les oscil·lacions de
temperatures a més eren quasi insignificants (0.8 ºC), els resultats de les lectures dels sis
termoparells poden esser considerats perfectament sota condicions d’estat estacionari a
efectes de l’objectiu a aconseguir.
Els resultats es troben als Annexos. Aquesta taula de referenciació, permet corregir les
lectures mitjançant la interpolació, respecte un dels termoparells.
El problema que es planteja és que quan els termoparells que han estat referenciats
respecte aquest mètode, un cop s’haguessin trencat, s’haurien de tornar a referenciar un
paquet nou de termoparells. Però si el sistema funciona, una referenciació que pot durar
una semana de pràctica, permet tenir un conjunt de termoparells amb una taula de
correccions per molt de temps.
En el gràfic següent, mostrem l’evolució de les lectures dels 6 termoparells en un entorn
d’entre 180-220 ºC. Veiem que són força lineals, mentre que entre ells les diferencies son
una mica notables.
t TC1 TC2 TC3 TC4 TC5 TC6 180 7344 7367 7273 7268 7264 7297 185 7557 7582 7482 7476 7471 7503 190 7761 7787 7684 7678 7673 7704 195 7962 7988 7883 7877 7871 7903 200 8160 8186 8077 8071 8063 8092 205 8367 8393 8278 8274 8258 8299 210 8565 8589 8473 8469 8453 8493 215 8776 8800 8684 8680 8663 8702 220 8970 8992 8876 8872 8855 8895
Fig. 8.15 Resultats en la referenciació permanent dels termoparells
L’experiència 5.1 es composa de 3 peces d’Inconel, però en aquest cas s’ha substituit la
peça III, que en principi era sospitosa de tenir alguna errada, per la peça IV. El
posicionament, de dalt a baix segueix l’ordre I,II i IV. Per error, s’ha posat la peça I a
l’inrevés, de manera que la localització del TC13 (MAIN) la tenim localitzada a l’alçada de
7200
7700
8200
8700
1 2 3 4 5 6Termoparell
Lect
ura
emf (
10e-
6V)
Projecte final de carrera
177
TC2. No es cap problema, ja que el selector de MAIN GUARD el posicionem al TC10
coincidint aproximadament amb aquesta alçada. A més, servirà aquesta prova per veure
si s’arriba a un transitori més estable, pel fet de tenir la temperatura de control MAIN més
lluny de la resistència. Al veure que les temperatures oscil·laven molt, especialment la del
TC1 (per estar entre la resistència focus i el termoparell de control), s’opta per fer un
auto-tunning, acció que fa estabilitzar molt bé la situació. Les temperatures de control han
estat de 230ºC i 180 ºC, ja que no permetia el sistema arribar a una temperatura superior
en el MAIN. El resultat en els termoparells principals en l’experiència, i afegint-hi el factor
correcció per taula, han estat els següents:
TC EMF (µV)
5.1
Temp (ºC)
5.1
EMF (µV)
5.1 corregit
Temp (ºC)
5.1 corregit
TC1 9962 245.40 9962 245.40
TC2 9406 231.56 9386 231.06
TC3 8972 220.72 9067.35 223.11
TC4 8350 205.17 8444.17 207.52
TC5 7992 196.21 8086.78 198.58
TC6 7276 178.34 7322.79 179.50
La correcció s’ha fet a partir d’interpolar en la taula de referenciació el valor dels
termoparells 2 a 6 respecte el TC1. Per tant el valor de cada termoparell és el que
correspondria a la lectura del TC1 si estigués posat a cada lloc.
Els resultats de fluxos de calor són els que segueixen:
Q1=10750.52 W/m2 Q1corregit=11135.01 W/m2
Q2=11737.06 W/m2 Q2corregit=11790.34 W/m2
Q3=13077.64 W/m2 Q3corregit=13988.24 W/m2
El resultat ha estat decebedor. Mentres que la diferència dels fluxos més gran en
l’experiència sense calibrar ha estat de un 21.6%, aquesta augmenta fins el 25.62% en
quant s’aplica la suposada referenciació. Dóna a entendre que els termoparells es
comporten entre ells de manera diferenta quan estan muntats d’una manera o unaltre.
Projecte final de carrera
178
Degut a que l’experiència 5.1 s’ha realitzat en principi d’una manera anòmala, descartem
continuar provant fent isotermes a aquest muntatge, i es passa a l’experiència següent.
Es passa a experimentar amb el material Electrolytic Iron, per veure el seu
comportament. Estem parlant d’un material de major conductivitat que l’ Inconel 718 a les
temperatures d’estudi, i amb una mica més de pendent respecte la temperatura.
L’experiència 6.1 la realitzem amb les temperatures de control 240ºC i 190ºC. Degut a
que el material és diferent, i per tant es calenta de manera diferent, després d’un temps
raonable es comprova que les temperatures han arribat a un transitori molt oscil·lant. Es
fa un auto-tunning de manera que el sistema cerca els seus paràmetres Proporcional,
Derivador i Integrador de manera automàtica, arribant a un transitori força més estable.
Es treu la conclusió, doncs, que per a cada experiència s’haurà de fer un self-tunning. Els
resultats obtinguts són:
TC1: 9815 241.75 ºC
TC2: 9451 232.69 ºC
∆T1= 9.0629 ºC
Tm1=237.2175 ºC
λ1=58.4226 W/mK
Q1=27794.26 W/m2
TC3: 8882 218.47 ºC
TC4: 8448 207.62 ºC
∆T2= 10.8570 ºC
Tm2=213.0456 ºC
λ2=60.1172 W/mK
Q2=34262.15 W/m2
TC5: 8128 199.61 ºC
TC6: 7665 188.04 ºC
∆T3= 11.5718 ºC
Tm3=193.8260 ºC
λ3=61.4704 W/mK
Q3=37339.70 W/m2
S’observen a priori dues característiques:
a) el cabal ha crescut respecte les altres proves: estem a l’ordre de 35000 W/m2.
b) la diferència entre cabals és molt gran: 34.34% entre el màxim i el mínim.
El primer fet és degut al creixement de la conductivitat tèrmica del material, que provoca
també que els gradients de temperatura en les peces sigui inferior. El que no sabem és el
factor que limita el cabal: en aquesta experiència només hem posat en les temperatures
de control 50 ºC de diferència, ja que més no permetia el sistema. En canvi, amb
l’Inconel, era difícil pujar de 60ºC de gradient, però tot i això el cabal era inferior. A més
cabal, podem tenir més gradient de temperatura, que en principi sembla favorable a tenir
millor precisió.
Projecte final de carrera
179
Podem asumir que la característica b) és deguda a la imprecisió de la conductivitat
tèrmica, ja que depén més fortament de la temperatura, i un error de temperatura provoca
una desviació en la conductivitat més gran que no pas en les peces anteriors. Per tant, el
fet que el manual digui que una experimentació no sigui vàlida a partir d’una diferència
superior del 20% entre els seus gradients, no pot ser generalitzable, ja que dependria de
les peces mostra.
Si s’intenta cercar la conductivitat a la peça 2, a partir de Q1 i Q3:
Q=(Q1+Q3)/2 = 32566.98 W/m2 ⇒ λ2=Q·d/∆T = 57.14 W/mK
El resultat esperat era de 60.12 W/mK, per tant no està tant malament. Això ratifica el fet
que encara que els cabals difereixin molt, es pot trobar (per sort?) un bon resultat,
mentres que no es pot assegurar que trobant una bona similitud entre cabals el resultat
sigui òptim.
Si apliquem la taula de referenciació als resultats de 6.1, obtenim:
Q1=28734.7037 W/m2 Q2=33776.5587 W/m2 Q3=40417.8144 W/m2
diferenciant-se aquests valors un 40,65 %, pitjor encara que sense referenciació.
El resultat de conductivitat cercat és similar al trobat sense referenciar.
El muntatge de les experiències 7 és similar al 6, però ara l’ordre de les Electrolytic ha
variat, posant les peces en l’ordre 2,3,1 cap avall. L’objectiu és veure si els cabals
continuent tenint l’ordre QI < QII < QIII com a l’experiència anterior.
A l’experiència 7.1 les temperatures de control són 240ºC i 190 ºC. Els resultats són:
TC1: 9772 240.68 ºC
TC2: 9385 231.04 ºC
∆T1= 9.6401 ºC
Tm1=235.85985 ºC
λ1=58.5312 W/mK
Q1=29619.25 W/m2
TC3: 8938 219.87 ºC
TC4: 8471 208.19 ºC
∆T2= 11.6818 ºC
Tm2=214.0334 ºC
λ2=60.0580 W/mK
Q2=36828.63 W/m2
TC5: 8153 200.24 ºC
TC6: 7665 188.04 ºC
∆T3= 12.197 ºC
Tm3=194.1385 ºC
λ3=61.4517 W/mK
Q3=39345.21 W/m2
Projecte final de carrera
180
Ara, Q1=QII, Q2=QIII, Q3=QI. Es compleix que els cabals són més grans quan més avall,
però no ha estat en funció de les peces: ara QII < QIII < QI.
La primera sospita rau en el Forn de Guarda, que treu flux de calor per la part superior i
n’injecta per la part inferior (veure gràfic). Però el que es creu la causa més probable, és
que els termoparells, que han estat posicionats en el mateix ordre que anteriorment,
provoquen sempre aquesta desigualtat.
Fig. 8.16 Resultats en l’experiment 7.1
La diferència entre cabals màxima és del 32.84%.
Si cerquem la conductivitat per la peça 2=III, trobem λobtinguda=56.2316 que correspon a la
T=272ºC (uns 60º C més del que toca).
Per tal d’eliminar la posibilitat abans esmentada que el forn de guarda sigui el causant de
la diferència de cabals entre peces, es realitza l’experiència 7.2, similar a l’anterior, però
consistent en regular el forn de guarda per tal que linealment sigui més semblant a la pila
central, i no tingui tanta desviació en els extrems. Per a aquest ajust, es pren com a
referència la peça central de la pila, i el seu gradient (T3-T4)/d. Si es perllonga aquest
gradient fins a les alçades del MAIN GUARD i AUX GUARD, s’obtenen les temperatures
de control 235 ºC i 193 ºC. Els resultats obtinguts a 7.2, en temperatura, són pràcticament
iguals que a 7.1, la qual cosa ens elimina la possibilitat que el forn de guarda sigui un
causant directe important d’anomalies a la pila central, que sembla sigui un avantatge.
180
190
200
210
220
230
240
40 60 80 100 120
ALÇADA (m m)
TEM
P. (º
C)
PILA CENTRAL
FORN GUARDA
Projecte final de carrera
181
Experiència 7.1 Experiència 7.2 TC1: 9772 240.68 ºC TC1: 9770 240.63 ºC
TC2: 9385 231.04 ºC TC2: 9387 231.09 ºC
TC3: 8938 219.87 ºC TC3: 8936 219.82 ºC
TC4: 8471 208.19 ºC TC4: 8473 208.24 ºC
TC5: 8153 200.24 ºC TC5: 8145 200.04 ºC
TC6: 7665 188.04 ºC TC6: 7660 187.92 ºC
Els resultats de 7.2 referents a fluxos són 29313 W/m2, 36513 W/m2 i 39108 W/m2
respectivament, essent la diferència màxima del 33%.
Es fan experiències similars 7.3. i 7.4 que no aporten cap novetat ni millora substancial
(veure els resultats experimentals en els annexos).
Un cop eliminades les possibilitats que el forn de guarda sigui l’actuant i causant que la
relació de fluxos es mantingui tant diferent i alhora ordenada tal que QII < QIII < QI, ja que
les peces tampoc sembla que siguin diferents i provoquin aquesta desigualtat, es prepara
l’experiment 8 que consta de:
- tenir el mateix ordre de peces que l’exp. 7: és a dir, de dalt a baix les peces són la 2, 3
i 1.
- canviar l’ordre de termoparells: en aquest ordre TC5,TC6 per a la peça superior 2,
mantenir TC3 i TC4 per la peça central 3 i posar els TC1 i TC2 a la peça inferior 1.
- Mantenir el gradient de temperatures que en 7.1: 240 i 190 ºC per els MAIN i els AUX.
Notem que en aquestes experiències s’estan cercant causes d’error, i no s’està experimentant ni ajustant
temperatures per tal d’obtenir la màxima precisió.
Els resultats a l’experiment 8.1 són els següents:
Experiència 8.1
TC5: 9766 240.53 ºC
TC6: 9212 226.72 ºC
∆T1= 13.8092 ºC
Tm1=233.6261 ºC
λ1=58.6824 W/mK
Q2=42538.71 W/m2
TC3: 8784 216.02 ºC
TC4: 8323 204.49 ºC
∆T2= 11.5335 ºC
Tm2=210.2563 ºC
λ2=60.2846 W/mK
Q3=36498.30 W/m2
TC1: 8166 200.56 ºC
TC2: 7742 189.96 ºC
∆T3= 10.5991 ºC
Tm3=195.2626 ºC
λ3=61.3790 W/mK
Q1=34150.24 W/m2
Projecte final de carrera
182
Ens trobem que la diferència és del 24.5%, però el que és més important, és que l’ordre
de fluxos ara pertany a: Q2 > Q3 > Q1, totalment a l’inrevés que abans. En termes de
termoparells, equival a dir que Qtc56 > Qtc34 > Qtc12, i aquesta desigualtat si que s’ha
mantingut en les tres experiències 6.1, 7.1 i 8.1.
Es pot concloure que els termoparells són els causants principals de desigualtats de
fluxos, sense desestimar però, altres causants. S’haurà de tendir a fer experiments de
manera que després d’una correcció de temperatures, el resultat s’avingui millor per tenir
més precisió, i un dels pocs (únic?) indicadors que tenim fins el moment és el càlcul de
fluxos de peces conegudes.
Un dels mètodes que poden ajudar és el Mètode In Situ comentat anteriorment. Unaltre
que pretén fer el mateix: trobar les desviacions aproximades de cada termoparell per
cercar les temperatures més exactament, s’aconsegueix mitjançant la permutació dels
termoparells.
Fig. 8.17 Permutació dels termoparells en les peces
En els punts 1 i 2 de la peça es tenen les temperatures reals T1 i T2 respectivament.
Quan es posen els termoparells TC1 i TC2 en la posició A, aquests dónen com a lectures
TC1 = T1 + dTC1 TC2 = T2 + dTC2 ∆TA= TC1-TC2=T1-T2+dTC1-dTC2
essent dTC1 i dTC2 els errors sistemàtics dels termoparells 1 i 2 respectivament.
Quan intercanviem els termoparells, les lectures que es perceben i el gradient trobat
correspon a:
TC1 = T2 + dTC1 TC2 = T1 + dTC2 ∆TB= TC2-TC1=T1-T2+dTC2-dTC1
Projecte final de carrera
183
i si busquem la mitjana dels dos gradients trobats en les dues posicions:
∆T = (∆TA + ∆TB) / 2 = (T1-T2+dTC1-dTC2 + T1-T2+dTC2-dTC1)/2 = (2·T1 – 2·T2)/2 = T1 – T2.
Per tant, trobariem el gradient real de temperatures. Aquest mètode, però, implica mig
desmuntar l’experiment, sense desmuntar la pila central, però intercanviant els
termoparells de lloc. Aquest fet topa amb la repetitivitat d’experiències. El segon
posicionament potser no repeteix de la mateixa manera el camp de temperatures, i per
tant les condicions de mesura queden alterades. A més, al tocar els termoparells poden
quedar de diferent manera fent que la seva desviació sistemàtica hagi variat.
Per comprovar unaltra vegada la repetitivitat d’experiments, es fa l’experiment 8.2, on es
troben petites desviacions respecte l’experiment 8.1 respecte temperatura (la màxima
correspon a 0.7 ºC en el termoparell núm. 6). Els cabals, però, si que difereixen bastant,
degut bàsicament a que com que l’Electrolytic Iron té una conductivitat amb una
dependència lineal respecte la temperatura molt elevada, una petita desviació en el càlcul
de la temperatura mitjana, fa que la conductivitat a aquesta temperatura varii en ambdós
casos, provocant diferències en els fluxos.
Malgrat tot, fem l’experiment 8.3 consistent en permutar dos a dos els termoparells de
cada peça. Per tant l’ordre de dalt a baix serà de 6 a 1 decreixent.
Experiència 8.3
TC6: 9702 238.94 ºC
TC5: 9300 228.92 ºC
∆T1= 10.0201 ºC
Tm1=233.9286 ºC
λ1=58.6642 W/mK
Q2=30856.80 W/m2
TC4: 8885 218.55 ºC
TC3: 8443 207.49 ºC
∆T2= 11.0572 ºC
Tm2=213.0205 ºC
λ2=60.1188 W/mK
Q3=34894.76 W/m2
TC2: 8217 201.84 ºC
TC1: 7711 189.19 ºC
∆T3= 12.6491 ºC
Tm3=195.5133 ºC
λ3=61.3589 W/mK
Q1=40742.01 W/m2
Es pot observar, com només fent aquesta permutació, els fluxos varien l’un a l’altre fent
que ara tornem a tenir QII < QIII < QI. La relació entre fluxos extrems representa una
variació entre ells del 32%.
Projecte final de carrera
184
Si apliquem la pràctica abans comentada, fent les mitjanes de temperatures, i també per
sobre de les conductivitats es troben els següents resultats:
∆T2= 11.565 ºC λ2=58.6613 W/mK Q2=35612.49 W/m2
∆T3= 11.058 ºC λ3=60.2035 W/mK Q3=34945.54 W/m2
∆T1= 11.699 ºC λ1=61.3828 W/mK Q1=37695.82 W/m2
Els fluxos s’assemblen ara molt més, ja que existeix només una diferència màxima del
7.87% entre ells.
Si es simulés que es cerca la conductivitat de la peça central 3, tenim
Qmig= (Q2+Q1) / 2 = 36654.1528 W/m2. λtrobada= Q·d/∆T= 63.14 W/mK.
I la conductivitat esperada a la temperatura de 211,6 ºC és 60.20 W/mK, per tant s’ha
produït un error del 4.88%.
Si ho féssim a l’experiment 8.3 tal cual, la λtrobada= Q·d/∆T= 61.68 W/mK, mentres que la
conductivitat esperada a la temperatura de 213.02ºC és de 60.12 W/mK, obtenint per tant
un error de només 2.60%. Tornem a tenir casos on tenint càlculs de fluxos de calor molt
diferent entre les peces, la seva mitjana no s’allunya tant (per casualitat de desviacions
de termoparells) del flux esperat en la peça incògnita.
El conjunt d’experiències 9 serveix per comprovar l’efectivitat del Mètode In Situ versus la
Taula Referenciació realitzada independentment. S’utilitza la Peça Única, posant els
termoparells seguits i en ordre. L’experiment 9.1 es realitza amb un gradient petit (180 a
160 ºC), i la 9.2 serveix per a la correcció amb el mètode In Situ. Com que no es coneix el
material de la peça ni la seva conductivitat, s’estudien les diferències de temperatura que
haurien de ser molt semblants.
L’exp. 9.1 dóna com a diferències:
TC1-TC2= 2.0928 ºC TC3-TC4= 3.0085 ºC TC5-TC6= 2.6817 ºC
Projecte final de carrera
185
Entre els valors de 2.0928ºC i 3.0085ºC existeix una diferència del 43.75% molt elevada.
Si s’aplica la correcció a partir de l’exp. 92 el resultat és:
TC1-TC2= 2.7393 ºC TC3-TC4= 3.48 ºC TC5-TC6= 2.83 ºC
Ara la diferència maximal correspon a un 27.03%: molt millor però encara excessiu.
Si s’aplica la correcció a partir de les dades de Referenciació de termoparells:
TC1-TC2= 2.58 ºC TC3-TC4= 2.74 ºC TC5-TC6= 3.63 ºC
Tornem a tenir una diferència del 40.69%, que és excessivament alta. Donem per supost
que el sistema de referenciació de termoparells previ no és el millor mètode per calcular
les desviacions sistemàtiques dels termoparells, i s’opta per fer servir el Mètode In Situ
com el millor per a la correcció i millorament de les experiències. Aquest mètode ajuda
sensiblement al càlcul dels gradients en les peces, però no em diu res sobre la
temperatura mitjana real, que pot influir negativament en les peces de conductivitat amb
forta dependència lineal amb la temperatura. Per millorar aquest aspecte, només cal tenir
gradients elevats, i per aconseguir-ho es fa necessari tenir distàncies intertermopàriques
elevades i quan més diferencial de temperatura millor.
La resta d’experiències constaten el mateix que el trobat fins el moment i no aporten res
de nou. Per a la millora de l’experimentació, que en teoria hauria de permetre calcular
valors de conductivitat més propers, sense dependre de la sort d’escollir termoparells,
s’han trobat el mètode, així com les circumstàncies més òptimes que poden ajudar a
assolir l’objectiu.
En aquest capítol s’han trobat les conclusions d’una manera totalment experimental,
malgrat els recursos de que es disponien. En altres capítols s’estudien els diferents
paràmetres a partir de l’ajuda del càlcul numèric, o bé s’analitza d’una manera més
paramètrica (amb les suposicions pertinents) els factors que intervenen en el procés de
funcionament del conductivímetre.
Projecte final de carrera
186
També en els annexos es pot trobar l’experimentació realitzada amb una bomba d’aigua,
reciclada per a l’ocasió. Aquesta iniciativa partí del Departament, ja que la primera sospita
d’aquest era que no circulava prou aigua pel conductivímetre, no refrigerant-se prou
aquest, impedint tenir un flux uniforme. Els resultats amb o sense bomba són
pràcticament constants, ja que quan s’imposen temperatures amb els PID i les
resistències, l’efecte refrigerant queda anul·lat. Senzillament, si s’anul·la la resistència
inferior (posant 0ºC per exemple en el PID AUX HEATER), el flux que aconseguirà tenir la
pila central serà el màxim amb les condicions de contorn establertes, i augmentant el flux
d’aigua pràcticament no s’aprecia cap millora substancial. Seria necessari aplicar a
l’aigua una mescla de refrigerant i connectar-ho tot a una màquina refredadora. En els
annexos es troben alguna proposta.
Projecte final de carrera
187
Capítol 9 Anàlisi dels paràmetres de disseny i de les variables de mesura
9.1 Introducció 9.2 Anàlisi modal d’efectes 9.3 Anàlisi de paràmetres fonamentals en el càlcul de la conductivitat
tèrmica 9.4 Ordres de magnitud en l’error del càlcul de la conductivitat
Projecte final de carrera
188
9. ANÀLISI DELS PARÀMETRES DE DISSENY I DE LES
VARIABLES DE MESURA
9.1 INTRODUCCIÓ
Després de les nombroses experiències realitzades i comentades algunes d’elles en el
capítol anterior, s’han extret unes conclusions preliminars que han format la base que
conformarien les millores oportunes tant en el mètode de realització de les pràctiques,
com d’alguns dels paràmetres que conformen el mecanisme. S’han dut a terme canvis
que milloren el càlcul de la conductivitat, i es proposen d’altres canvis que, malgrat no
tenir la certesa que milloraríen, s’haurien d’experimentar. Per a això, caldria incorporar
nous elements i adquirir noves peces.
L’objectiu d’aquest nou capítol és comprovar d’una manera més analítica les relacions
entre paràmetres, i la seva optimització versus el càlcul final de la conductivitat. És una
manera de comprovar algunes de les conclusions percebudes durant l’experimentació.
No vol dir això que tota l’experimentació realitzada hagi estat supèrflua i innecessària.
L’experimentació ha estat útil per comprovar algunes causes que eren evidents a primer
cop d’ull, com que el gradient sotmés a les peces ha de ser el major possible, ja que
numéricament, l’error produit pels termoparells que evoluciona d’una manera més o
menys constant en un rang de temperatures, influeix molt menys. També l’experimentació
ha ajudat a copsar el funcionament real del conductivímetre, i la seva comparació amb el
funcionament teòric. Ha assegurat que el forn de guarda té una distribució tèrmica
aproximadament igual a la teòrica, i que el funcionament electrònic de termoparells i
lectures és correcte. En l’experimentació han sortit dubtes d’alguns paràmetres, com per
exemple el diàmetre de les peces, i que per falta de medis no s’han provat. Per subsanar
aquesta mancança, s’ha aprofitat la teoria del càlcul numèric a partir d’elements finits
simulant els efectes i cercant els valors òptims. Es troba doncs que el diàmetre aconsellat
pel proveidor del conductivímetre és prou òptim.
Fem en primer terme un anàlisi intuitiu de les possibles causes, i recerca de tots els
paràmetres que poden afectar en el càlcul final de la mesura de la conductivitat. Més
endavant, podem establir un rang en els errors que hi intervenen, ja que en
Projecte final de carrera
189
l’experimentació hem obtingut una idea clara de la magnitud dels errors en les mesures,
així com en els mètodes que es fan servir per al càlcul.
9.2 ANÀLISI MODAL D’EFECTES
De la teoria a la pràctica hi ha un munt de desviacions i de no homogeneitats que alteren
el nostre procés. De l’eliminació de les possibles variabilitats es trobarà un mètode o
procés d’experimentació, si bé no òptim, millor que el que sense cap control de les
entrades de valors ni correccions posteriors tindríem.
Si bé és cert que el nucli important del procés del conductivímetre es troba en la pila
central, el seu entorn més proper (forn de guarda i aïllament) pot afectar molt
sensiblement en el resultat. El sistema de refrigeració, així com tots els útils de mesura hi
estan abocats a l’error. La simple introducció d’elements de mesura dins el sistema ja
altera aquest, essent imposible la seva medició.
Com en qualsevol altre procés en la indústria, podem dividir les possibles causes d’error
en el resultat final a factors com: Factor humà, mètodes, materials i maquinària. I dintre
d’aquests grans grups, podem intuir alguns aspectes més concrets per al nostre cas.
En la figura següent es mostra alguns d’aquests factors classificats en cada grup, i també
queden marcats en vermell algunes de les seves causes. A grans trets, però, són els que
afecten al mètode de càlcul de la conductivitat.
Fig. 9.1 Anàlisi modal de fallades i efectes
Projecte final de carrera
190
Comentem per sobre cada grup de factors:
a) El factor humà: Hem vist que la repetitivitat de les experiències, agafant els
mateixos termoparells i les mateixes peces mostra no estava garantida. No hi havia
grans diferències, però els resultats no eren el mateixos. Podem donar com a causes
directes d’aquest fenòmen l’habilitat de l’operari en fer el muntatge de les peces
centrals. L’arrenglerament de les peces pot influir en que el flux circuli més o menys
bé, ja que hi haurà una resistència tèrmica o unaltra. En general, però, serà prou
òptima i el seu efecte en el resultat final serà inapreciable. També pot afectar la
pressió amb que l’operari munta el conjunt, provocant major contacte directe entre les
peces. D’altres seria el bon posicionament dels termoparells dins les peces, la
col·locació d’olis de contacte, etc...Com a punt final, l’operari que ha de llegir les
dades pot adonar-se o no de la variació en el temps de les temperatures, per una
mala selecció dels paràmetres PID, obtenint una lectura errònia.
b) Les peces mostra intervenen en el procès, i el coneixement de la seva
conductivitat tèrmica en el càlcul. Paràmetres geomètrics poden alterar tant una cosa
com unaltra: el diàmetre o bé la distància intertermopàrica. La seva conducció (si es
homogènia o no) influirà en el procés, mentres que el coneixement per part nostra del
valor mig d’aquesta influirà en el càlcul. Si la seva conductivitat depén de la
temperatura en ordres de segon terme de manera important, aleshores les
suposicions de conductivitat lineal i simplificació dels càlculs serà falsa. La rugositat
en les seves superfícies de contacte permetrà un millor contacte, o bé la mecanització
dels forats que allotgen els termopars pot determinar alteracions en el flux o no.
c) El mètode de càlcul també influeix. Com s’ha comentat anteriorment, les
simplificacions per conductivitats lineals pot ser a voltes inapropiada, així com el
coneixement de la conductivitat del material. La utilització d’equacions regressores o
taules per interpolar poden variar el resultat. El refiament, segons el mètode
estàndard, de si tenim fluxos iguals a les dues peces mostres l’experiment ( i per tant
el resultat final) ha estat un èxit i el resultat gaudeix d’una garantia impecable, pot
portar-nos a errors importants.
Projecte final de carrera
191
d) El funcionament teòric de flux constant al llarg d’una pila central, amb un aïllant
perfecte en tot el seu contorn, ha de ser l’objectiu a assolir amb tot el conjunt
d’elements que conformen el conductivímetre. Com se sap que això no és cert en
el 100%, ja que l’aïllant no és perfecte, les temperatures poden variar de forma
temporalment i mínima fins i tot en el seu estat transitori, degut als paràmetres PID i a
la pròpia idiosincràcia de l’aparell, i com elements més importants en el càlcul estan
les lectures facilitades pels termoparells que tenen les desviacions pròpies d’aquests
instruments, és interesant conèixer, i si es pot fitar, l’error que poden provocar
aquestes causes.
Algunes d’aquestes possibles causes ja s’han tractat en altres capítols d’aquesta
memòria, i fins i tot s’han descartat els seus possibles efectes negatius sobre el càlcul
final en un cert ordre de magnitud. Destaquem en el següent apartat aquells paràmetres
que afecten bàsicament el càlcul, dins del funcionament teòric del conductivímetre.
9.3 ANÀLISI DE PARÀMETRES FONAMENTALS EN EL CÀLCUL DE LA CONDUCTIVITAT TÈRMICA.
Una de les característiques que més sobten en aquest tipus de conductivímetres, és la
necessitat imperiosa de contrastar la nostra peça desconeguda amb dues peces mostra
de conductivitat coneguda. Aquest fet, en teoria, està pensat per saber amb un cert criteri
de qualitat, si l’experimentació s’ha realitzat satisfactòriament. Seria una espècie de
control, per saber si el flux circulant per la primera mostra es manté, dins d’una variabilitat
raonable, constant fins passar per la segona mostra després d’atravessar la peça posada
a prova.
Aquesta comprovació, però, no pot ser igual per a tots els possibles tipus de peça mostra,
ja que hi hauran algunes que degut a la seva conductivitat variable amb la temperatura,
farà trontollar el càlcul del seu flux de calor de manera diferent. Com s’ha vist amb els dos
tipus diferents de materials, Inconel718 i Electrolytic Iron, la desviació de fluxos era en
principi diferent en un cas i unaltre. No es pot deduir que el comportament del
conductivímetre sigui sensible a la peça mostra introduïda, sino que hi ha una
dependència amb el factor lineal de la conductivitat versus la temperatura. Aquest
Projecte final de carrera
192
projecte intenta demostrar, si bé amb matissos, que és preferible prescindir d’aquesta
comprovació, si a la vegada això permet obtenir major precisió.
En comptes de tres peces, es poden muntar dues de manera que la coneguda serveix
per conèixer el flux circulant, que substituint en l’equació permet trobar la conductivitat de
la segona. El fet de necessitar només dues peces, permet que aquestes siguin de major
longitud, fent aplicables gradients més grans a cada peça, i disminuint l’error en el càlcul.
De fet, si en teoria el flux circulant és el mateix, o a la pràctica molt poc diferent, degut al
bon aïllament, no es creu necessària aquesta comprovació ni cap amitjanament entre dos
fluxos.
Per l’anàlisi dels diferents paràmetres, s’utilitza l’equació que iguala el flux circulant per la
peça coneguda (c) a la desconeguda (d), com si de dues peces es tractessin.
El cabal calorífic circulant es pot expresar com segueix:
(9.1)
És clar que en cada d’aquestes magnituds que cal mesurar, tindrem una desviació o error
respecte la mesura correcta, que em comportarà un error en la magnitud que vull
calcular: λd.
Si aïllem λd respecte les altres variables, i diferenciem respecte cadascuna d’elles, ens
queda:
(9.2)
(9.3)
d
dd
c
c
dT
dT ∆
=∆
= λλcQ
∂
∆−∆∂
∆∆
−∂∆+∆∂+∂∆
∆
=∂ cc
dccd
d
dccdcccdccdc
cdd d
ddTT
TdTdTTddT
dT····
·······
1 λλλλλλ
cd
dccd dT
dT∆∆
= λλ
Projecte final de carrera
193
Si volem que ∂λd ↓↓ per tal de tenir un error baix, caldria tenir en primer terme, segons
l’equació, ∆Td ↑↑ i dc ↑↑. Per tant, peça coneguda el més gran posible, i tenir una
diferència de temperatura elevada a la peça desconeguda. Fins aquí segueix bàsicament
el que l’experimentació demostrava amb la peça única: a més distanciament entre
termoparells per calcular el gradient menys variabilitat existia entre les diferents dades.
També en experimentacions on el gradient aplicat era molt baix, l’error entre fluxos
calculats era superior que en d’altres on els gradients eren més elevats. De moment,
però, dóna aquestes condicions per una peça i per l’altra, però de fet, són les mateixes
condicions: si necessito tenir un gradient elevat a la peça desconeguda, una de les
maneres és tenint una peça llarga, i com més distància tingui en la peça coneguda, més
gradient tindré per a un mateix flux de calor.
També ens diu, segons els factors que acompanyen les diferents derivades parcials, que
en principi:
-La conductivitat coneguda hauria de ser baixa: λc ↓↓
-La diferència de temperatura en peça coneguda també baixa: ∆T c ↓↓
-La grandària de la peça desconeguda petita: dd ↓↓
Aquestes condicions son incompatibles si s’analitzen d’aquesta manera: no em poden
demanar tenir una gran diferència de temperatura en la peça desconeguda, si aquesta a
la vegada ha de ser el més petita posible. Això només es posible tenint un cabal molt
elevat, condició que es contraposa amb conductivitat coneguda petita.
Si arreglem l’equació, però, substituint λc per
(9.4)
aleshores ens queda una funció, on hi ha una magnitud que ens afecta molt, la
conductivitat desconeguda, però que no ens la podem triar, ja que és la que volem.
(9.5)
cdc
cdd dT
dTλλ =
∆∆
··
∂−∆∂
∆−∂+∆∂
∆+∂=∂ c
cd
dd
dc
cc
cdd d
dT
Td
dT
T11111
λλ
λλ
Projecte final de carrera
194
Aquí s’observa que preferentment, la conductivitat desconeguda hauria de ser petita
(però és una cosa que no es pot escollir). Clarament, l’error en el càlcul de la conductivitat
depén d’aquesta. Si és molt elevada, els fluxos seràn elevats, i l’error també serà
superior.
De fet, es pot trobar l’error relatiu de la conductivitat a cercar:
(9.6)
No és nova la informació que facilita aquesta equació: el que interessa és diferencies
grans de temperatura i distàncies grans (peces grans, o el que és el mateix termoparells
allunyats). El primer terme on apareix la conductivitat de la mostra coneguda, no ens
indica que la conductivitat hagi de ser elevada, sino que el seu error respecte aquesta ha
de ser el mínim possible. Si la conductivitat és elevada, però el seu coneixement és
menys exacte, ens trobem amb un error similar.
Per tant, tenim acotat l’error que produirem si coneixem cadascun d’aquests paràmetres, i
si prenem la hipòtesis que el cabal calorífic circulant és constant en tota la pila (que no
tenim pèrdues laterals=conductivitat pols aïllant=0). En el cas real, això no és així, i per
tant hauríem d’afegir unaltre paràmetre que ens afegiria error al càlcul de la conductivitat
desconeguda.
Per a determinar quin grau d’imprecisió em dóna la no constància del cabal al llarg de la
pila, fem servir el càlcul numèric per a simular diverses situacions, i així optimitzar la
situació on tenim mínimes pèrdues laterals.
Fixem-nos, però, en els paràmetres inicials abans esmentats, suposant en principi cabal
de calor constant:
• El coneixement de la conductivitat ha d’esser el màxim exacte possible. Sembla
evident, però encara podem fer servir algun aspecte que millorarà aquest factor. Si
cc
dd
dd
cc
ccd
d dd
TT
dd
TT
∂−∆∂∆
−∂+∆∂∆
+∂=∂ 11111
λλλ
λ
Projecte final de carrera
195
desenvolupem en funció de la temperatura la conductivitat dels materials, tenim una
funció λc = a + b·T + c·T2 + ... que si diferenciem respecte la temperatura obtenim
(9.7)
la qual cosa implica que , implicant el coneixement exacte de la temperatura
en l’error de la conductivitat tèrmica de la mostra, però en funció del factor b. Amb peces
de conductivitat creixent / decreixent fortament relacionada amb la temperatura (b
elevades en valor absolut), un petit error en l’estimació de la temperatura mitjana
comportarà un greu error en la conductivitat, provocant una falsa valoració del flux. Per
tant, escollirem mostres de conductivitat força constant amb la temperatura (factor de
correlació b petit). Aquest fenòmen s’ha pogut comprovar en l’experimentació realitzada
entre les peces d’Inconel 718 i les d’Electrolytic Iron. Per altra banda, al tenir la
conductivitat coneguda en el denominador, sembla que aquesta hagi de ser el més
elevada possible, però estarà condicionada als altres factors, com ja es veurà.
• Si ens fixem en els termes que acompanyen els diferencials de gradient de
temperatura, aquests es poden comparar entre ells, ja que depenen de la casuística dels
termoparells: ∂∆Tc ≈ ∂∆Td ≈ ∂∆T. Aquest terme té una sèrie d’errors, però s’ha trobat una
manera de disminuir-los, eliminant aquest error sistemàtic que diferencia un termoparell
d’unaltre, mitjançant el Mètode In Situ. Si agrupem aquests factors:
i volem fer mínima aquesta expressió, i tenint en compte que els diferencials de
temperatura son equivalents (varien segons una llei probabilística normal),
(9.8)
equival a dir que
(9.9)
bTTc =∂∂ /λ
TbTc ∂=∂ ·λ
dd
cc
TT
TT
∆∂∆
−∆∂∆
11
011=∆∂
∆−∆∂
∆T
TT
T dc
011=
∆−
∆ dc TT
Projecte final de carrera
196
o el que és el mateix, que els gradients han de ser aproximadament iguals, i a la vegada,
el més grans possibles.
• De forma anàloga a l’anterior, si agrupem els factors que acompanyen els diferencials
de distàncies, i els fem equiparables, trobem que les distàncies intertermopàriques han
de ser aproximadament iguals, i a la vegada, el més grans possibles.
• D’aquestes dues últimes afirmacions, tenim que les peces han d’esser de dimensions
aproximadament iguals, ja que si no, en una tindríem un error petit de distanciament, però
en l’altre descompensaria al tenir-ne un de gran. Igualment, amb els gradients de
temperatura. Tenint en compte això, si el flux circulant ha de ser el mateix segons l’eq. 9.1
i reunifiquem els paràmetres estudiats, trobem
(9.10)
és a dir, que les peces desconeguda i mostra han de ser aproximadament de la mateixa
conductivitat, a la temperatura mitjana d’estudi. Més endavant ho justificarem
tèrmicament, mitjançant el model numèric. Evidentment comporta un mètode iteratiu
d’experimentació, on a base d’anar provant peces mostra s’anirà trobant cada cop amb
més exactitud el valor de la conductivitat del material d’estudi.
L’espai en el nostre conductivímetre el tenim limitat, per tant les peces no les podrem
agafar tant grans com voldrem (però si més grans que en disseny actual, si passem de
tres peces a dues). Degut a que s’ha augmentat la distància entre termoparells, la
diferència de temperatura entre ells ha augmentat per un mateix cabal de calor. Però
encara hi caben d’altres aspectes que apunten en aquesta direcció i que provoquen
millores. Senzillament, al passar de tres a dues peces, hem eliminat una interfície de
contacte, amb la seva corresponent resistència tèrmica, fet que hem provoca un major
flux de calor.
d
dd
c
c
dT
dT ∆
=∆
= λλcQ
1c ≈∆∆
=dc
cd
d dTdT
λλ
Projecte final de carrera
197
Les actuacions següents serien:
1.- Intentar incrementar el cabal de calor, per tal de tenir diferències de temperatura
superiors. Aquí es tractaria d’intentar eliminar la resistència amb l’aigua (la resistència
inferior n’és una). S’hauria d’incrementar el coeficient de convecció amb l’aigua freda
(n’és prou freda?). El fet que refredessim l’aigua uns pocs graus la seva temperatura (fet
costós) no incrementaria fortament el cabal de calor. S’han d’aplicar altres actuacions que
provoquen millores més notables.
2.- No limitar les resistències, sinó sotmetre les peces a uns gradients forts. Posar una
temperatura elevada en el Main, i tancar la resistència AUX (a ambient). Que la peça
estigui sotmesa al seu gradient màxim (a menys que refredessim més l’aigua). No tenen
sentit, doncs, les experimentacions on s’apliquen gradients molt petits, ja que s’ha
comrpovat que aquest aspecte és el que queda afectat principalment pels errors
sistemàtics dels termoparells, que son per altra banda, un dels més importants a priori.
9.4 ORDRES DE MAGNITUD EN L’ERROR DEL CÀLCUL DE LA CONDUCTIVITAT
Mitjançant l’equació s’ha trobat la relació dels paràmetres i les seves desviacions
respecte l’error en el càlcul de la conductivitat. Però no hem vist cap valor numèric, per
donar una orientació en quins termes treballa el conductivímetre.
Si prenem tal qual l’equació 9.6, i substituíssim els valors dels paràmetres i de les seves
desviacions per unes valoracions aproximades, cauríem en un error estadístic. Cal tenir
en compte que aquestes desviacions dels paràmetres segueixen una llei aproximadament
natural, i que pot ser perfectament comparable amb una normal, per tant no podem
sumar aritmèticament els factors (ni restar-los ja que s’anularien gran part dels errors),
sino que s’ha d’aplicar la suma estadística de variabilitats normals.
Suposarem que el valor mig de la desviació o error és zero. Aleshores, que el valor
màxim i mínim de la desviació queda comprés pel 99,73% dels casos, és a dir, un interval
de ±3σ.
Projecte final de carrera
198
Fig. 9.2 Llei probabilística normal mostrant el 99.73% de la distribució
Aplicant la suma estadística, s’obté que la desviació estàndard de la suma és:
Calculem per a l’experimentació que s’ha fet amb l’Inconel718, els valors que
contribueixen en l’error final: La conductivitat de l’Inconel718 té un factor de correlació b amb la temperatura igual a
2.853·10-2, que suposa que per a un error en la determinació de la temperatura de ±2 K
aproximadament (cal recordar la teoria dels termoparells tipus K), una variabilitat igual a
±2 x 2.853·10-2 = 0.0576 W/mK. Aproximadament el valor mig de la conductivitat estava
voltant els 20 W/mK, representant en total una variabilitat de ± 0,002853.
Els gradients de temperatura poden estar alterats per cada un dels dos termoparells que
s’utilitzen per calcular el gradient. Si cada termoparell pot tenir una variabilitat de ±2 K, la
variabilitat de la diferència de temperatures no serà la suma aritmètica d’aquests dos,
sinó una suma estadística, de valor igual a (22+22)1/2 = 2.82 K aproximadament. Els
gradients, degut a aquesta variabilitat eren molt diferents, però estaven de l’ordre de
12_K. Veiem que aquesta variabilitat relativa és molt important: ±2.82/12= 0.235.
La variabilitat en les distàncies tampoc no és greu aparentment, però ja es va veure que
amb gradients elevats, un error en la distància pot repercutir seriosament. Hi poden
intervenir 2 factors: a) que els dos forats estiguin més o menys a prop entre ells, degut a
la mecanització. b) que el forat de 1.7 mm, al ser més gran que el termoparell de 1.6 mm
de gruix, permeti que aquest balli o quedi posicionat amb una certa llibertat.
∑= isuma σσ
Projecte final de carrera
199
En quant al primer factor, les 4 peces d’Inconel presenten unes distàncies entre
termoparells de 19, 19.075, 19.05 i 19.075 mm respectivament. Aquesta mesura s’ha fet
a partir de les mides màxima i mínima entre forats. Si la distància teòrica pertany al valor
de 19.05 mm, podríem estar parlant de una variabilitat màxima de ±0.1 mm en aquest
aspecte.
Respecte el segon factor, queda un joc entre el termoparell i el forat de 0.1 mm, que
representa una desviació possible de ±0.05 mm, que per als dos termoparells, i no cal ser
tant estricte de caure en la suma estadística, representa un joc total de ±0.1 mm.
En conjunt podríem estar parlant del voltant de ±0.15 mm de desviació de distància
intertermopàrica, que representaria respecte la d teòrica, una desviació relativa de
±0.008.
Fig. 9.3 Simulació estadística maximal de les desviacions dels paràmetres afectats
d
d
λλ∂
c
c
λλ∂
c
c
TT
∆∆∂
d
d
dd∂
d
d
TT
∆∆∂
c
c
dd∂
Projecte final de carrera
200
Si sumen estadísticament aquests valors, trobarem l’ordre de magnitud, molt
aproximadament, de l’error relatiu de la conductivitat de la mostra desconeguda d’estudi.
D’una manera gràfica, tenim un arbre o piràmide que representa els valors de cada
desviació relativa en cadascun dels nodes inferiors, i la suma total queda reflectida en el
node superior (Fig. 9.3). (Per a aquest grafisme s’ha utilitzat un software que realitza
simulacions de tolerancies, anomenat 1-Dcs, utilitzat en el disseny i desenvolupament de
peces)
Aquesta variabilitat relativa de ±0.3325 (un 33% maximal d’error), representa per a la
conductivitat aproximada en l’experimentació de 12 W/mK, un error absolut de ±4 W/mK.
Recordem que aquesta seria la màxima desviació que comprendria quasi el 100% de les
experimentacions. En l’experimentació realitzada s’han trobat casos de ±2 W/mK, que
representaria un 15% aproximadament.
La pregunta inmediata és com variaria aquest rati de desviació, si implementem les
millores que proposa el present estudi:
-Peces més llargues (veure annexos) que permeterien tenir unes separacions entre
termoparells de fins 37 ÷ 40 mm.
-Aplicar el mètode In Situ que permeteria rebaixar notòriament la variabilitat normal dels
termoparells, ajustant els seus nominals. És difícil afitar l’error en el gradient, ja que en
teoria, aquest seria zero, però degut a que el mètode pot tenir petitíssimes variacions de
temperatura en fer l’experimentació isoterma, i el propi sistema de conversió per
taules/equacions, continuaria provocant un error aproximat de fins 0.5 K.
Aquestes actuacions farien variar el gradients llegits en les peces. En el mateix supòsit
que tinguéssim Inconel718, aleshores estariem sobre uns gradients de 23 K. L’error
relatiu de temperatures seria ara de ±0.5 K/23K = 0.022.
L’error relatiu de les distàncies correspondria ara a : ±0.15 mm/37 mm = 0.004.
Aplicant aquests valors a la piràmide de toleràncies establerta anteriorment, trobem una
millora en la variabilitat final.
Projecte final de carrera
201
Aquesta millora considerable consisteix en reduir l’error maximal possible al 3% en
aquest cas, tenint en compte que, a l’igual que en el cas anterior, només s’ha tingut en
compte els paràmetres bàsics del càlcul. Quan el resultat queda millorat notablement,
quedant el seu error maximal possible tant petit, els altres factors que no s’han tingut en
compte adquireixen major importància: en la suma estadística, quan un valor és molt petit
comparablement amb l’altre sumant, pràcticament no afecta gaire en el resultat de la
suma.
Fig. 9.4 Simulació estadística amb les millores aplicades
d
d
λλ∂
c
c
λλ∂
c
c
TT
∆∆∂
d
d
dd∂
d
d
TT
∆∆∂
c
c
dd∂
Projecte final de carrera
Capítol 10 Aplicació de mètode numèric en el Conductivímetre per comparació
10.1. Introducció 10.2. Introducció a les diferències finites 10.2.1. Aproximació a les derivades en diferències finites 10.2.2. Discretització del continu 10.3. Característiques del model 10.4. Discretització 10.5. Els 4 models 10.6. Ressolució pel mètode directe 10.7. Precissió d’avaluació de la conductivitat tèrmica 10.8. Anàlisi de la potència 10.9. Conclusions
Projecte final de carrera
10 MÈTODE NUMÈRIC APLICAT EN EL CONDUCTIVÍMETRE PER COMPARACIÓ 10.1 INTRODUCCIÓ Una de les principals eines que s'ha fet servir en aquest projecte ha estat la simulació
numèrica.
Aquesta ha estat una eina decisiva per a valorar quins són els paràmetres fonamentals a
tenir en compte en un conductivímetre per a obtenir uns bons resultats en l'estimació de
la conductivitat tèrmica.
L'objectiu principal de la utilització de la simulació numèrica ha estat determinar quin
comportament i distribució real segueixen les temperatures en l'interior del nucli del
conductivímetre (Fig.10.1) en estat estacionari per certes condicions de contorn.
Un cop determinat el comportament de les
temperatures en el nucli del conductivímetre
es podrà valorar el grau de fiabilitat que hi
ha realment al suposar les hipòtesis
simplificatives (flux axial, geometria constant
sense forats ...) que es prenen per a calcular
la conductivitat. Així mateix, les diferents
condicions de contorn que es poden imposar
al conductivímetre numèric determinarà quin
o quins són els dissenys que ajuden a
obtenir un millor resultat de la conductivitat
tèrmica.
Fig. 10.1 (disseny amb forn de guarda)
NUCLI
Projecte final de carrera
La simulació numèrica permet determinar quin és l'estat que assoleix la pila en condicions
properes a les reals i contrastar amb les hipòtesis simplificatives.
Si el model numèric dona resultats allunyats dels resultats esperats , caldrà fer una
rectificació dels valors donats pel conductivímetre real, o en el pitjor dels casos renunciar
a obtenir el valor de la conductivitat tèrmica amb l'expressió simplificada (6.2) ja que la
desviació dels resultats (teòrics/reals) seria massa gran, invalidant l'expressió simplificada
aplicada al conductivímetre.
Si els resultats que caldria esperar amb l'expressió simplificada (6.2) coincideixen amb els
del model numèric, llavors es té certesa que les hipòtesis simplificatives es compleixen i
l'expressió simplificada és vàlida.
En definitiva, la simulació numèrica ajuda a determinar si l'expressió que es fa servir per
trobar la conductivitat :
λ λ1 2
21
= .∆∆
TT
s'ajusta a la realitat del conductivímetre per comparació.
De l'estudi numèric s'extreuran les variables (diàmetre de les peces,conductivitat de la
pols aillant, lloc on es pren la lectura amb els termopars...) que afecten més directament
al càlcul de la conductivitat i que efecten directament a les hipòtesis simplificatives.
Un cop obtinguts els resultats de la simulació es poden emprar aquests per a millorar el
conductivímetre, redissenyar les peces, o per a reajustar el valor de les dades
obtingudes.
Projecte final de carrera
10.2 INTRODUCCIÓ A LES DIFERÈNCIES FINITES
Els mètodes de resolució analítica no poden abordar la majoria de geometries i
condicions de contorn que es plantegen en els problemes habituals d’enginyeria.
La dificultat que representa voler determinar per un sistema donat una distribució
contínua (infinits valors) de temperatura, es redueix dràsticament si ens conformem a
obtenir tan sols una distribució discreta. (nombre finit).
Aquest mètode consisteix en el fet d’aproximar les derivades pel quocient incremental
que s’obté emprant les temperatures d’un nombre finit de punts convenientment escollits,
l’anomenada distribució discreta de temperatures.
Plantejant en diferències a cada punt l’equació diferencial que governa la conducció de la
calor, la 2ª de Fourier, obtenim un sistema d’equacions algebraiques, que un cop resolt
ens permet trobar l’esmentada distribució.
10.2.1 APROXIMACIÓ DE LES DERIVADES EN DIFERÈNCIES FINITES
EMPRANT EL DESENVOLUPAMENT DE TAYLOR
• Primera derivada en diferències
En la resolució numèrica d’un problema de conducció de calor emprant computadores
digitals, el primer pas és transformar l’equació diferencial que governa el fenomen
substituint les derivades parcials per diferències. Per aquest procediment obtenim un
sistema d’equacions algebraiques que resolem emprant les quatre operacions
aritmètiques bàsiques; l’anomenat càlcul numèric, que les computadores realitzen tan
eficaçment.
Projecte final de carrera
Sigui T(x) una funció que es pot desenvolupar en sèrie de Taylor. Aleshores el
desenvolupament de Taylor de les funcions T(x+h) i T(x-h) en el punt x resulta,
Aïllant T’(x) de l’equació (10.1),
Anomenem primera diferència endavant a l’expressió que aproxima T’(x) amb un error de
l’ordre de l’increment considerat.
Aïllant T’(x) de l’equació (10.2) obtenim la primera diferència enrera,
Sumant les equacions (10.3) i (10.4) resulta la primera diferència central,
• Notació
Introduïm la notació següent:
x = i h ; x + h = ( i + 1 ) h ; x - h = ( i - 1 ) h
T (x) = Ti ; T (x + h) = Ti+1 ; T(x – h) = Ti-1
...)('''!3
)(''!2
)(')()(32
++++=+ xThxThxhTxThxT
...)('''!3
)(''!2
)(')()(32
+−+−=− xThxThxhTxThxT
)()()()...('''6
)(''2
)()()('2
hOh
xThxTxThxThh
xThxTxT +−+
=−−−+
=
hxThxT )()( −+
)()()()(' hOh
hxTxTxT +−−
=
)(2
)()()(' 2hOh
hxThxTxT +−−+
=
(10.1)
(10.2)
(10.3)
(10.4)
Projecte final de carrera
; ;
Primera derivada:
Amb la notació establerta escrivim les diferències anteriors,
Primera diferència endavant (FD)
Primera diferència enrera (BD)
Primera diferència central (CD)
Podem veure gràficament que la diferència central representa una aproximació millor.
Desenvolupant T(x+h) en el punt x+h/2 obtenim una altra expressió que ens serà útil per
aproximar la T’’(x)
•Segona derivada en diferències
Desenvolupem per Taylor la funció T(x+2h) i T(x-2h) en el punt x:
')(' ii
TdxdTxT ≡
= '')('' 2
2
ii
Tdx
TdxT ≡
=
21)
2(
+≡+
iThxT
)(' 1 hOh
TTT iii +
−= +
)(' 1 hOhTTT ii
i +−
= −
)(2
' 211 hOhTTT ii
i +−
= −+
)()()(' 2
)2
(hO
hxThxTT hx
+−+
=+
)( 21
21 hO
hTTT ii
i+
−= +
+
...)('''34)(''2)('2)()2( 32 ++++=+ xThxThxhTxThxT (10.5)
Projecte final de carrera
Eliminant T’(x) entre les equacions (10.1) i (10.3) obtenim la segona diferència endavant
(FD):
Eliminant T’(x) entre les equacions (10.2) i (10.4) obtenim la segona diferència enrera
(BD):
Eliminant T’(x) entre les equacions (1) i (2) obtenim la segona diferència central (CD):
• Resum de primeres i segones diferències
Emprant la notació establerta anteriorment, exposem en forma de resum algunes
aproximacions en diferències de la primera i segona derivada.
Derivades de 1er ordre:
a) Fórmules de 2 punts
Primera diferència endavant (FD)
...)('''34)(''2)('2)()2( 32 +−+−=− xThxThxhTxThxT
...)(''')2()(2)()('' 2 +−+++−
= xhTh
hxThxTxTxT
...)(''')()(2)2()('' 2 −++−−−
= xhTh
xThxThxTxT
...)('''121)()(2)()('' 2
2 +−++−−
= xThh
hxTxThxTxT
)(' 1 hOh
TTT iii +
−= +
(10.6)
(10.7)
Projecte final de carrera
Primera diferència enrera (BD)
b) Fórmules de 3 punts
Primera diferència central (CD)
Primera diferència endavant (FD)
Primera diferència enrera (BD)
Derivades de 2on ordre
a) Fórmules de 3 punts
Segona diferència endavant (FD)
Segona diferència enrera (BD)
Segona diferència central (CD)
)(' 1 hOhTTT ii
i +−
= −
)(2
' 211 hOhTTT ii
i +−
= −+
)(243
' 221 hOh
TTTT iiii +
−+−= ++
)(2
34' 212 hO
hTTTT iii
i ++−
= −−
)(2
'' 221 hO
hTTTT iii
i ++−
= ++
)(2
'' 212 hO
hTTTT iii
i ++−
= −−
)(2
'' 22
11 hOh
TTTT iiii +
+−= +−
Projecte final de carrera
b) Fórmules de 4 punts
Segona diferència endavant (FD)
Segona diferència enrera (BD)
Substituint en una equació diferencial les derivades per les seves aproximacions en
diferències, convertim un problema inabordable en la resolució d’un sistema de equacions
algebraic, en general amb un nombre considerable de incògnites.
• Representació en diferències finites d’un problema de conducció bidimensional en estat
estacionari
En un punt (x,y) interior del sòlid es verifica la segona equació de Fourier, que en règim
estacionari resulta,
Siguin (x,y) les coordenades del node A, representatiu del domini ombrejat a la figura.
D’acord amb la notació escollida prèviament,
)(452
'' 22
321 hOh
TTTTT iiiii +
−+−= +++
)(254
'' 22
123 hOh
TTTTT iiiii +
+−+−= −−−
0),(2
2
2
2
=+∂∂
+∂∂
λyxg
yT
xT &
ji
ji
gyjxigyxgTyjxiTyxT
yjyxix
,
,
),(),(),(),(
&&& ≡∆∆=
≡∆∆=∆=
∆=
2,1,,1
,2
2
)(2
xTTT
xT jijiji
ji ∆
+−=
∂∂ +−
21,,1,
,2
2
)(2
yTTT
yT jijiji
ji ∆
+−=
∂∂ +−
Projecte final de carrera
Substituint a l’equació segona de Fourier, arribem a l’expressió algebraica,
Si i resulta,
O bé
10.2.2 DISCRETITZACIÓ DEL CONTINU
• Domini, node i malla
Anomenem discretitzar el fet de substituir el model continu de la matèria per una partició
o mosaic d’aquesta.
Anomenem domini a cada element discret d’aquest mosaic, i node el seu centre on
considerem concentrada tota la seva massa. Quan més fina és la discretització, més
s’aproxima la temperatura del node al valor mitjà de la temperatura del domini. El mateix
succeeix a la resta de propietats assignades al node.
Enllacem els nodes amb línies o conductes ficticis per on suposarem que es transfereix la
calor, la qual cosa constitueix l’anomenada malla o retícula.
Dos nodes i i j estaran connectats o enllaçats, si la línia o el conducte que els uneix és
normal a la superfície comuna entre els dos dominis respectius.
0)(
2)(
2 ,2
1,,1,2
,1,,1 =+∆
+−+
∆
+− +−+−
λjijijijijijiji g
yTTT
xTTT &
yx ∆=∆ 0, =jig&
04 ,1,1,,1,1 =−+++ −+−+ jijijijiji TTTTT
aritmèticaMitjanainodeelenvoltenqueesTemperatur
T ji == ∑4
"",
Projecte final de carrera
•Discretització del temps
En règim transitori algunes temperatures canvien al llarg del temps. Determinar l’evolució
de les temperatures en qualsevol instant representa en la majoria dels problemes reals
d’enginyeria tèrmica una dificultat inabordable.
Si ens conformem a conèixer la distribució de temperatures en cada interval de temps, el
problema es torna més fàcilment resoluble.
Per tant, subdividim o discretitzem el temps en intervals ∆t i els numerem de forma que a
l’interval n li correspon l’instant de temps t=n·∆t.
Tin representa la temperatura del node i en l’instant tn=n·∆t.
10.2.3 EQUACIÓ EN DIFERÈNCIES MITJANÇANT EL MÈTODE DEL BALANÇ
• Equació general del balanç d’energia
Suposem un domini i com el de la figura
Representem per Kji la conductància entre el node j i el node i. (Conductància de la paret
plana).
Essent s un punt de la frontera entre els dos dominis
iji
si
ijj
jssijsijji
AARR
KK
λδ
λ
δ+
=+
==11
δsi
δjs
i
j
Projecte final de carrera
Considerem l’instant t comprès entre tn i tn+1
0 1 2 ... n n+1 interval
to t1 t2 ... tn < t < tn+1 temps
Temps en funció de l’interval:
tn = n·∆t < t < tn+1 = (n+1)·∆t
El balanç d’energia amitjanat del node i en l’instant de temps t tal que tn < t < tn+1, i
prenent com a volum de control el domini del node i resulta,
representa tota la potència que s’aporta al node i en l’instant t.
és la variació en el temps de l’energia continguda en el node i a l’instant t.
Representem per qtj→i la potència que el node j cedeix al node i en l’instant t, que d’acord
amb el conveni establert, serà positiva quan el node guanya potència,
( > 0 si Tj > Ti )
Per tant
Essent la potència generada en l’instant t en el node i de volum Vi.
0+=
∂t
i
t
i dtdE
dtQ σ
t
idtQ
∂
t
idtdE
σ
)( ti
tj
tji
tij TTKq −=→
tijq →
∑=
+−=∂ N
ji
ti
ti
tj
tji
t
i
VgTTKdtQ
1)( &
tig&
tTTcV
tTcV
dtdE n
in
itiii
t
i
tiii
t
i ∆−
=
∂∂
= +1
)()( ρρσ
Projecte final de carrera
Si igualem, resulta l’equació general del balanç d’energia per al node i en l’instant tn < t <
tn+1,
, capacitat calorífica del node i en l’instant t
Partim d’unes condicions inicials (variables conegudes) per trobar el valor de les variables
en l’interval següent.
Interval n → variables conegudes
Interval n+1 → variables desconegudes
• Mètode explícit
Es calcula la potència aportada al node i en funció de les variables conegudes en l’instant
de temps tn que correspon a l’interval n (tn=n·∆t).
Considerant per tant t = tn en l’equació general del balanç d’energia i posant el supraindex
n per representar el temps tn = n·∆t resulta,
N= nombre de nodes en contacte amb el node i.
Aquesta equació determina la temperatura del node i en un instant tn+1 a partir de les
temperatures del sistema en un instant anterior tn.
tTTCVgTTK
ni
nit
it
ii
N
j
ti
tj
tji ∆
−=+−
+
=∑
1
1
)()( &
tiii
ti cVC )(ρ=
tTTCVgTTK
ni
nin
in
ii
N
j
ni
nj
nji ∆
−=+−
+
=∑
1
1
)()( &
ni
N
j
njin
i
nii
N
j
nj
njin
i
ni TK
CtVgTK
CtT
∆−+
+
∆= ∑∑
==
+
11
1 1)( &
Projecte final de carrera
Si escollim un interval de temps ∆t de manera que el segon claudàtor resulti positiu, la
solució és estable.
Condició d’estabilitat
•Mètode implícit
Es calcula la potència aportada al node i en funció del valor de les variables a l’instant de
temps tn+1 en el qual totes les temperatures són desconegudes.
Considerant per tant t=tn+1 i posant el supraíndex n+1 a les temperatures per identificar-ne
l’instant, resulta:
Cada equació conté n+1 incògnites essent N el nombre de nodes en contacte amb el
node i.
Essent NT el nombre de nodes de temperatura desconeguda del sistema, haurem de
resoldre un sistema de NT equacions amb NT incògnites. Aquest mètode és intrinsicament
estable per qualsevol valor de l’interval ∆t.
Quan més fina sigui la discretització en l’espai i en el temps, la solució obtinguda
s’aproximarà millor a la distribució real de temperatures.
Quan el nombre d’incògnites és gran resulta pràctic resoldre el sistema d’equacions, per
un mètode iteratiu com per exemple el de Gauss-Seidel, ja que el procés d’acumulació
d’errors d’arrodoniment és molt més reduït que en els mètodes directes.
Per emprar aquest mètode aïllem de l’equació del node i la temperatura Tin+1,
niK
Ct N
j
nji
ni ∀∀≤∆
∑=
,
1
∑=
++++++
∆−
=+−N
j
ni
nin
in
iin
inj
nji t
TTCVgTTK1
111111 )()( &
∑
∑
=
++
+
=
+++
+
∆+
+
∆+
= N
j
njin
i
nii
N
j
nj
njin
i
ni
ni
KC
t
VgTKC
tTT
1
11
1
1
111
1
1
)( &
Projecte final de carrera
Si n → ∞ , Tin+1 → Ti (estacionari) com es pot comprovar fàcilment.
• Mètode mixt o de mitjana ponderada: Crank-Nicolson (F=0.5)
Sigui F un factor de ponderació inferior a la unitat. En aquest mètode calculem la potència
que rep el node i com la suma ponderada amb els factors F i 1-F de les potències
tèrmiques calculades en funció de les temperatures de l’instant n i n+1 respectivament.
A l’instant n totes les variables són conegudes, i per tant el primer claudàtor resultarà ser
una constant en l’equació del node corresponent.
L’equació del balanç per al node i resulta,
Si anomenem
Obtenim una expressió més compacta del mètode mixt o de la mitjana ponderada ,
Si aïllem la temperatura del node i en l’instant tn+1 resulta,
+−+
+=
∂ +
=
+→
=→ ∑∑ 1
1
1
1)()1()( n
ii
N
j
nij
N
j
nii
nij
i
VgqFVgqFdtQ
&&
tTTCFFC
VgTTKFVgTTKF
ni
nin
ini
N
j
nii
ni
nj
nji
N
j
nii
ni
nj
nji
∆−
−+=
=
+−−+
+−
++
=
++++
=∑∑
11
1
1111
1
))1((
)()()1()()( &&
11 )1())(1()( ++ −+=−+= ni
ni
Fi
nii
nii
Fi CFFCCVgFVgFq &&
∑ ∑= =
++++
∆−
=+−−+−N
j
N
j
ni
niF
iFi
ni
nj
nji
ni
nj
nji t
TTCqTTKFTTKF1 1
1111 )()1()(
∑
∑ ∑ ∑
=
+
= = =
++
+
−+∆
+
−
∆+−+
=N
j
nji
Fi
N
j
N
j
Fi
ni
N
j
nji
Fin
jnji
nj
nji
ni
KFt
C
qTKFt
CTKFTKFT
1
1
1 1 1
11
1
)1(
)1(
Projecte final de carrera
Condició d’estabilitat
Si assignem al paràmetre F el valor 0.5 el mètode mixt o de mitjana ponderada
s’anomena de Crank Nicolson. En aquest mètode, el càlcul de la potència aportada al
node en l’interval de temps comprès entre tn i tn+1 es realitza de la manera següent:
- 50% emprant les temperatures de l’instant tn (explícit)
- 50% emprant les temperatures de l’instant tn+1 (implícit)
En cas de ser acceptable considera que la capacitat calorífica del node és independent
de la seva temperatura (almenys en l’interval de treball), aleshores la condició d’estabilitat
es converteix en la següent,
Condició d’estabilitat (F=0.5 ; Cin=Ci
n+1):
niKF
Ct N
j
nji
Fi ∀∀≤∆
∑=
,
1
nitK
C
K
CCt EXPLICITN
j
nji
ni
N
j
nji
ni
ni ∀∀∆==
+≤∆
∑∑==
+
22
5.0
5.05.0
11
1
Projecte final de carrera
10.3 CARACTERÍSTIQUES DEL MODEL
En el model numèric no cal tenir en compte les simplificacions a que sotmet evaluar la
conductivitat amb les hipòtesis de flux uniforme, i per tant, es pot abordar un model més
complex i proper a la realitat, un model que incorpora forats en la geometria de les peces,
conductivitats variables, salts tèrmics elevats a les interfícies de contacte i on les
condicions de contorn a aplicar poden ser variades (perfil de temperatures de forn de
guarda, aillament total, aillament parcial, pols amb conductivitat variable, aïllaments
superiors...). Aquesta diversitat de possibilitats poden ser valorades mitjançant models
numèrics amb la finalitat d'observar com es comporten les temperatures en el nucli del
conductivímetre per a diferents condicions.
El model numèric del nucli del conductivímetre presenta les següents característiques:
• Gran nombre de nodes
• El model contempla dues peces en la pila
• Cada peça té practicats dos orificis
• Interfícies
• Pols Aïllant
• Simetria
• Les condicions de contorn
A continuació s'especifica detalladament cadascuna de les anteriors característiques.
Projecte final de carrera
• Gran quantitat de nodes
El nombre de nodes utilitzats varen ser 6006, aquesta va ser la màxima quantitat de
nodes que permetia el programa en que es va realitzar la simulació. Tot i que el nombre
pot semblar molt gran, per a tenir una precissió prou acurada de la temperatura en un cert
punt (±1mm.) fa falta una discretització d'aquest ordre. Cal afegir la gran influència sobre
el nombre de nodes totals que té la petita dimensió dels forats que travessen la peces fins
els eixos geomètrics de les
peces. No ha estat un
inconvenient triar un
nombre gran de nodes, ja
que la característica
geomètrica de cadascun
d'ells, així com la
conductivitat depenen tant
sols de la seva posició en
l'espai, aquest fet fa que la
implementació informàtica
que s'ha utilitzat sigui
senzilla i la dificultat de
programació sigui la
mateixa per un nombre alt
com baix de nodes. La
discretització que s’ha
utilitzat ha esta la que
millor s’adaptava
geomètricament, en aquest
cas evidentment la
discretització ha estat
cil.líndrica (Fig.10.2).
Semisecció transversal
Fig. 10.2
Projecte final de carrera
L'efecte més important que comporta l'elecció d'un gran nombre de nodes és la
determinació de temperatura en un punt concret del nucli, aportant una major precissió en
els resultats obtinguts.
En darrer terme cal anotar que les representacions gràfiques 3-D amb una gran quantitat
de nodes ens donen una informació visual molt millor, progressiva i sense discontinuitats,
afavorint una millor interpretació de la distribució interna de temperatures.
L’exemple superior (Fig.10.3) és una mostra dels resultats visuals que s’obtenen gràcies a
una elevada densitat de nodes, en aquest gràfic estan representats 924 nodes d’una
secció característica. Com es pot comprobar, l’efecte visual és considerablement bo, i la
interpretació de el qué està passant en l’interior de la peça té una interpretació intuitiva
senzilla.
Fig.10.3 Exemple de resultat numèric
Projecte final de carrera
• El model contempla dues peces en la pila
En el model real TCFCM se'n tenen tres, a fi i efecte d'obtenir una simetria tèrmica.
Aquesta reducció d’una peça és deguda a que amb la simulació ja es consideren les
condicions de contorn i no és necesari disposar de tres peces amb la finalitat
d'aconseguir una simetria de perfils tèrmics determinats. El principal avantatge de
disposar de dues peces està en la determinació del gradient de temperatures (dada
fonamental per al càlcul de la conductivitat), ja que en l'espai en que s'alotjaven tres
peces, ara se n'alotgen dues, per tant els punts de mesura s'allunyen i ens permeten
obtenir amb més precissió el gradient tèrmic.
Els dos gràfics superiors (Fig.10.4) denoten la millora de distància que s’obté al considerar
dues peces en lloc de dues per a una mateixa alçada determinada. Com s’ha fet menció
anteriorment, aquest augment de la distància permetrà determinar el gradient tèrmic amb
més precissió.
Fig.10.4 Diferents disposicions de peces
d
d
d
d’
d’
Projecte final de carrera
• Orificis en les peces
Cada peça té practicats dos orificis fins al seu centre, els quals permetran determinar les
temperatures en l'interior de les peces mitjançant termopars. aquests taladres en el model
són aproximats per uns forats de geometria en forma de falca i se'ls associa una baixa
conductivitat. La petita dimensió d'aquests orificis repercutirà evidentment en el nombre
de nodes que tindra el model numèric ja que implica un afinament més gran de la
discretització en aquella zona.
El tenir en compte fins i tot els petits forats en el model numèric Fig.10.5(b) repercutirà en
una millora i fiabilitat dels resultats finals, ja que el model contempla petits detalls com
aquests forats practicats que comportan a una distorsió de la geometria completament
cil.índrica que en un principi es considera en primera aproximació Com es podrà
Forat simulat (b) Forat real (a)
Fig.10.5
Projecte final de carrera
comprobar més endavant, el taladres practicats quasi bé no provoquen distorsions sobre
els resultats previstos, peró en aquest estudi no s'han volgut obviar cap possibilitat de
introducció d'errors en la determinació de la conductivitat i per tant s'han tingut en compte
possibilitats que a priori podríen ser considerades irrellevants.
• Interfícies.
Entre peça i peça (en el model numèric) n'existeix una altra de baixíssima conductivitat
(Fig. 10.6.b), aquesta simularà la interficie entre peces. Ja s'ha vist en la part teòrica, que
l'existència d'una interfície suposa un salt tèrmic important, aquest salt tèrmic es simula
amb un conjunt de nodes de molt baixa conductivitat, que ofereixin una resistència
tèrmica igual a la que provocaria la interfície real (Fig. 10.6.b).
La imatge superior mostra com la interfíce (Fig.10.6.a), encara que allisada, si es mostra
amb prous augments presenta realment la superfície contactada per a un reduït grup de
punts, pels quals es transmet part de la potència, però perdent una gran rellevància, ja
que en la interfície es troben majoritariament discontinuitats, per tant, la transferència de
potència deixa un paper important al medi gasós, pel qual es tindran fenòmens de
Fig.10.6.a
detall microcóspic.
Fig.10.6.b
Projecte final de carrera
conducció gasosa i convecció. Degut a la petita distància que separa les dues cares, la
conducció gasosa pren protagonisme en la tranferència energètica sobre la convecció.
Globalment, el més important a afectes pràctics per la simulació, és que en les interfícies
es produeixen augments de resistències tèrmiques, fet que es considerat en els diversos
models de conductivímetres, aportant així un comportament molt més realista a la
simulació.
Projecte final de carrera
• Pols Aïllant.
Les peces estan envoltades de material de baixa conductivitat: la pols de diatomees
(Fig.10.7), responsable en gran part de disminuir les perdues de calor en sentit radial. La
pols estarà representada per un conjunt de nodes també de baixa conductivitat.
Fig.10.7 Nucli de conductivímetre
Projecte final de carrera
Simetria.
Es considera en la pila un pla de simetria (Fig.10.8), tant tèrmic com geomètric, si és un
pla de simetria tèrmica, evidentment, a través d'aquest no hi pot fluir calor i les pendents
de temperatures en aquest pla han de ser forçosament zero. Aquesta simetrització de la
pila facilita la implementació del programa numèric, ja que només es té en compte la
meitat de nodes que en una peça sencera , paralelament s'augmenta la velocitat de
execució del programa i es necessita menys memòria RAM, fet que permet escollir un
nombre de nodes (6006) el doble de gran que sense tenir en compte l'efecte de la
simetria tèrmica.
Fig.10.8 simetria tèrmica i geomètrica
Projecte final de carrera
• Les condicions de contorn .
Diferentment a l'equacio (10.8) que només és vàlida per a condicions molt determinades,
s'han creat quatre models numèrics amb diferentes condicions de contorn per a poder
valorar la resposta tèrmica de cada opció. Els resultats numèrics d'aquests quatre models
seran posteriorment analitzats per a extreure'n conclusions respecte al millor model, i
sobretot, quines discrepàncies presenta cada model respecte a un anàlisis simplificat. Els
quatre models representen quatre possibilitats de conductivímetres, desde el més senzill,
amb aïllament lateral, fins al més complex que incorpora forn de guarda. Posteriorment
en el present capítol es tractaran individualment cadascun d’aquests quatre models per
aprofundir sobre el seu comportament.
12.21 T
T∆∆
= λλ (10.8)
Projecte final de carrera
10.4.Discretització
La discretització que s'ha utilitzat en els quatre models ha estat la cil.líndrica, ja que
aquesta és la configuració geomètrica del nucli. La part discretitzada del nucli comprèn:
-dues peces centrals que conformen la pila
-interficie entre ambdues peces, -pols aillant al voltant de les peces
-orificis practicats a les dues peces per alotjar els termopars.
Els quatre models que s'han elaborat numèricament tenen condicions de contorn
diferents, fet que suposa canviar certes parts de la implementació dels programes que
simulen l’estat estacionari dels quatre nuclis.
La simulació es limita a estudiar el nucli del conductivímetre i es pren com a límit el forn
de guarda, ja que en aquest punt es coneixen les condicions i aquest és un fet que fa
d’aquest un bon límit per indicar-hi les condicions de contorn.
La discretització que s’ha portat a terme ha estat molt afinada i s’han utilitzat més de 6000
nodes per a modelitzar el nucli. En aquells llocs on es requeria una precisió més gran
s’han utilitzat nodes més petits per poder adaptar-los a la geometria requerida. Aquesta
gran quantitat de nodes per a la simulació no és un fet gaire usual, ja que es tracta d’un
nombre elevadíssim de nodes, però la geometria del problema a afavorit el poder
desenvolupar una programació basada en la parametrització del problema. Gràcies a
aquests dos fets s’ha pogut escollir aquest gran nombre de nodes, resultant-ne com a
consequència més important la precisió dels resultats obtinguts amb el model numèric.
Com avantatge indirecta però no menys important, és la gran facilitat que ofereix el
programa numèric per poder variar multitut de paràmetres com són: geometries de les
peces, forats, conductivitats de les peces, conductivitat de la pols ... resultant-ne doncs
un programa altament rentable a nivell de flexivilitat de programació. Aquesta gran
flexibilitat que permet el programa numèric a permés fer multiples avaluacions sobre els
efectes que comporta en fer variacions de conductivitats, diàmetres de les peces,
interfícies i així poder valorar en últim terme quins són els paràmetres fonamentals a tenir
Projecte final de carrera
en compte en un conductivímetre per comparació. La única desaventatge que presenta
un programa com aquest és el temps d’execució, sobretot el mètode directe (Ap.10.6), el
qual pot tardar vàries hore a donar l’estat estacionari.
A continuació es presenta esquemàticament on queda localitzada la zona discretizada en
el programa de simulació numèrica.
Projecte final de carrera
NUCLI
discretització
CONDUCTIVÍMETRE
Fig.10.9
Projecte final de carrera
La discretització nodal que s’ha utilitzat en als quatre models ha estat la mateixa.
Cada node de la discretització pot ser localitzat espaialment pels tres paràmetres (i,j,k).
Aquests tres paràmetres prenen una gran importància en el desenvolupament del
programa de simulació ja que són l'eix vertebral de tota la implementació numèrica.
El significat de cadascun d'ells és el següent :
i: El paràmetre i indica en quin nivell en direcció axial es troba el node (i,,j,k). Es té
un total de 33 nivells enumerats del 0 al 32. Cada nivell pot tenir assignat una alçada
diferent, aquesta ve donada per l'expressió ALT(i). Els nivells 0 i 32 donen les condicions
de contorn superior i inferior.
j: Aquest paràmetre indica quina és la posició en sentit radial d'un node (i,j,k). El
nombre de nivells en aquesta direcció és de 14 i estan enumerats de l'1 al 14. En el nivell
14 (direcció j) estan implicites les condicions de contorn. AMP(j) és l'expressió que dona
Fig.10.10
Projecte final de carrera
el gruix del node en la direcció radial. El nivell 14 dona les condicions de contorns
laterals.
k: Marca quin nivell en direcció a l'angle k es troba el node. ANG(k) és l'expressió
que determina quin angle li pertany a un node situat en una posició (i,j,k). es té un total de
13 divisions en aquesta parametrització , enumerades de l'1 al 13.
La discretizació en aquest cas s’ha reduït a la meitat ja que es tracta d’un problema
simètric, per tant la solució queda reduïda a solucionar mitja peça. Qualsevol configuració
del conductivímetre ha de cumplir:
En la figura següent es representa la discreització en sentit j i k. la part sombrejada
correspon a una secció transversal de les peces i la part més clara corrrespon a la pols.
Es interessant obsevar com la discretització és més acurada a mesura que s’aproxima a
la zona on estan practicats els forats, amb la finalitat de poder aproximar més el valor en
aquesta zona on la geometria requereix d’una discretització més acurada,i a més, és la
zona on es prenen els inputs per calcular la conductivitat i per tant s’hi ha de destinar un
esforç suplementari per obtenir un afinament millor en la discretització.
18013
1=∑
=
=
n
nnk
Fig.10.11 Discretització cil.líndrica
Projecte final de carrera
És interessant el fet que ALT(i), AM(j) i ANG(k) , les tres expressions que donen l'alçada,
amplada i angle d'un cert nivell, siguin tres vectors, ja que faciliten la discretització, que
pot efectuar-se d'una manera personalitzada i permet afinar més en punts com els forats,
o variar les dimensions de les peces per a fer diferents experimentacions amb geometries
diverses.
En resum, la parametrització del nucli del conductivímetre permet flexivilitzar qualsevol
modificació sobre aquest (dimensions, conductivitats diferents...) amb la finalitat de
comprobar diferents configuracions que es vulguin probar.
El fet de situar qualsevol punt del nucli del conductivímetre amb els paràmetres (i,j,k)
permet fer una implementació fàcil del programa numèric. Així doncs, per exemple, la
conductivitat d'un node situat en un punt (i,j,k) pot ser coneguda tant sols per la posició
d'aquest node. De la mateixa manera també pot ser coneguda la superfíce de contacte
entre dos nodes amb la seva posició (i,j,k) .
Aquesta parametrització del problema numèric facilita enormement el seguiment i
ressolució del problema , ja que una ressolució "clàssica " del problema necessitaria una
matriu (6006x6006) i amb les eines disponibles és un objectiu impossible , tant per a la
memòria necessaria com per al temps de construcció de la matriu.
Cadascun dels quatre models ha necessitat atenció especial en les condicions de
contorn, ja que per a unes mateixes posicions (i,j,k) de dos models diferents, les
situacions termodinàmiques poden ser molt diferents (isotermia, aïllament...), és per aixó
que en l’annex 2 es detalla exhaustivament com s’ha procedit per a definir l’àmbit de
veinatge per als nodes de cadascun dels quatre models estudiats.
En quan a les mesures relatives de les peces utilitzades en el model numèric està detallat
exhaustivament a l’annex 3, en aquest annex es donen les mides emprades en aquest
estudi. La implementació del programa permet fer modificacions sobre la geometria de les
peces, fet que pot ser utilitzat per altres laboratoris que utilitzin peces de mides diferents.
Projecte final de carrera
Equació fonamental
El mètode escollit per a trobar la solució en estat estacionari a esta el mètode explicit. En
l'expressió que s'arribava en l'episodi (10.2.3) s'obtenia :
K T T g V CT T
tjin
j
N
jn
in
i in
in i
nin
=
+
∑ − + =−
1
1
( ) ( & . ) .∆
Tenint en compte que l'aportació de potència interna &gi és nul.la, i que es busca la
sol.lució en estat estacionari (Tin+1 = Ti
n ) l'expressió anterior (10.9) queda simplificada a :
K T Tjin
j
N
jn
in
=∑ − =
10( )
Si s'ailla la temperatura del node i, s'obté :
TK T
Kin
jin
jn
j
N
jin
j
N==
=
∑
∑
.1
1
com la solució no depèn del temps, podem eliminar el supraíndex n, ja que la solució en
l'estacionari no es funció del temps, finalment l'expressió anterior queda reduïda a :
TK T
Ki
ji jj
N
jij
N==
=
∑
∑
.1
1
Aquesta ha estat l’equació emprada per obtenir la solució en el model numèric.
(10.9)
(10.10)
(10.11)
(10.12)
Projecte final de carrera
Determinació de la conductància.
En la determinació de les temperatures en estat estacionari, cal determinar la
conductància entre dos nodes conectats i-j tal i com expressa l'equació (10.12). Aquest
valor serà calculat en funció de la posició espaial de cada parell de nodes i de la
conductivitat en aquella regió de l'espai. Per avaluar el valor de la conductància entre dos
nodes utilitzant la parametrització tant sols cal disposar de la localització del node i, i la
direcció espaial del segon node j. (No confondre nodes i,,j o k amb paràmetres i,,j o k).
Les direccions en que pot estar conectat un node poden ser 6, aquestes han estat
nombrades com es pot veure en la figura ( Fig. 10.12). Es té un node central (i,j,k), el qual
està envoltat per sis nodes, aixó és el cas general, ja que en particular, depenent de la
posició del node en questió pot tenir també 5,4 ó 3 nodes veins .Així per exemple, per a
indicar un node inmediatament superior al (i,j,k) tant sols s’ha de pujar un pis , és a dir el
node (i,j,k+1). Aixó resulta ser una gran avantatge ja que les característiques de qualsevol
node queden establertes sabent la seva adreça (i,j,k).
Fig.10.12 Veinatge d’un node
Projecte final de carrera
Per a poder evaluar la conductància, és necessari disposar dels valors anteriorment
citats: (i,j,k) amb els quals el programa numèric determinarà la seva posició, contactes
amb nodes veïns i conductivitats. És per aquest motiu que s'han creat una sèrie de
funcions que ens donen aquests valors donat un valor del la situació espaial d'un node
(i,j,k). Aquestes han estat les següents.
-CONDUCT(i,j,k) : expressió que evalua el valor de la conductivitat d'un node
situat en un ninxol (i,j,k). Aquesta expressió s'evalua en una funció específica del
programa que localitza quina conductivitat està associada en aquell lloc ocupat pel
ninxol(i,j,k). Els valors que pot retornar poden ser: conductivitat de la peça superior
CONDA, conductivitat de la peça inferior CONDB, conductivitat de la interfície CONDS,
conductivitat dels forats CONDF o conductivitat de la pols CONDP.
-SUMAMP(j) : expressió que evalua el radi exterior d'un node situat a un nivell de
profunditat radial j.
El seu valor en expressió matemàtica és :
SUMAMP j AMP jn
n j
( ) ( )==
=
∑1
-AMP(j) : expressió que dona el valor d'amplada en direcció radial d'un node (i,j,k).
Aquests valors son introduits previament per l'usuari per definir la geometria de la peça.
-ALT(i) : expressió que dona el valor de l'alçada d'un node situat en un ninxol
(i,j,k).
-ANG(k) : expressió que dona el valor de l'angle o sector ocupar per a un node
(i,j,k).
Aquests últims tres valors són introduïts previament per l'usuari per a definir la geometria
de la peça i concretar la localització dels forats.
(10.13)
Projecte final de carrera
Un cop definides les funcions anteriors, ja es pot donar el valor de les conductàncies que
estableix un node genèric i amb els nodes que l'envolten, aquestes són : Ki1, Ki2, Ki3,
Ki4, Ki5, i Ki6:
i les seves expressions desenvolupades són :
Ki1
Ki6
Ki3
Ki5
Ki4
Ki2
)().().().,1,(2
)1(
)().().().,,(2
)(1
3
iALTkANGjSUMAMPkjiCONDUCT
jAMP
iALTkANGjSUMAMPkjiCONDUCT
jAMPKi
+
−+
=
)().().1().,1,(2
)1(
)().().1().,,(2
)(1
1
iALTkANGjSUMAMPkjiCONDUCT
jAMP
iALTkANGjSUMAMPkjiCONDUCT
jAMPKi
−−
−
−+
=
Projecte final de carrera
)(.2)()1().,,1().(
2)1(
)(.2)()1().,,().(
2)(
15
kANGjAMPjSUMAMPkjiCONDUCTjAMP
iALT
kANGjAMPjSUMAMPkjiCONDUCTjAMP
iALTKi
+−−
−
+−
+
=
( ) ( ))()()1,,(
2)1(
2)()1(
)()(),,(2
)(2
)()1(
14
iALTjAMPkjiCONDUCT
kANGjAMPjSUMAMP
iALTjAMPkjiCONDUCT
kANGjAMPjSUMAMPKi
⋅⋅−
−+−
⋅⋅
+− ⋅+
⋅=
( ) ( )iALTjAMPkjiCONDUCT
kANGjAMPjSUMAMP
iALTjAMPkjiCONDUCT
kANGjAMPjSUMAMPKi
()()1,,(2
)1(2
)()1(
)()(),,(2
)(2
)()1(
12
⋅⋅+
++−
⋅⋅
+− ⋅+
⋅=
)(.2)()1().,,1().(
2)1(
)(.2)()1().,,().(
2)(
16
kANGjAMPjSUMAMPkjiCONDUCTjAMP
iALT
kANGjAMPjSUMAMPkjiCONDUCTjAMP
iALTKi
+−+
+
+−
+
=
Projecte final de carrera
10.5 ELS QUATRE MODELS Per a complementar la investigació d’aquest treball s’ha recurrit a la simulació mitjançant
el mètode numèric. S’ha creat un programa base, el qual permet simular la distribució de
temperatures assolides en el nucli del conductivímetre. Aquest programa base té quatre
variants, cadascuna d’elles respon a quatre diferents condicions de contorn. Les quatre
condicions de contorn simulen desde un conductivímetre senzill amb només aïllament
fins a un conductivímetre amb forn de guarda com el que s’ha utilitzat per a realitzar les
diferents experiencies. Aquests quatre models han estat creats per poder comparar quin
disseny és millor i extreure conclusions per a cada conductivímetre en particular.
La investigació mitjançant simulació ha estat realitzada desde dues òptiques, la
comparació i la determinació directa.
El mètode de comparació, consisteix en proveir de totes les dades necessaries al
programa de càlcul (conductivitats de peces, conductivitat de la pols, resistència
interficial, condicions de contorn...) per a determinar quines son les temperatures que
s’assoleixen en els nodes on estarien ubicats els termopars en el conductivimetre, amb la
finalitat de determinar quina és la relació de gradients entre ambdues peces. Un cop
determinada la relació de gradients es compara amb la relació de conductivitats reals
coneguda, conductivitats ja escullides a priori introduïdes al programa. Comparant
ambdós resultats se’n extreu quina és la valoració de la lambda real per a un determinat
valor de tots el paràmetres que conformen el model. Un cop fetes multituts de simulacions
variant diferents paràmetres (diàmetre de les peces, conductivitat de la pols ...) es
procedirà a analitzar quins factors influeixen més en el conductivímetre i quines
correccions es poden fer per millorar els resultats. Tot aquest procés es fa per cadascún
dels quatre models numèrics amb la finalitat de poder comparar a més a més quines són
les diferències existents per als quatre conductivímetres sota les mateixes condicions.
La gran qualitat de les imatges se simulació s’ha obtingut gràcies al refinat nivell de
discretització. Les imatges visualitzades en els quatre models representen una secció
longitudinal amb quasi un miler de punts.
Projecte final de carrera
En el gràfic següent (Fig.10.13) es representa la logística seguida en la metodolgia per
comparació, la finalitat de la qual es poder comparar la relació de conductivitats coneguda
a priori amb la relació de conductivitats calculada a partir del model numèric:
-λ(peça A) -λ(peça B) -λ(pols) -Tsup -Tinf -....
Valors introduits
+-[_]----------------------------- SIMUL60 ¦#include <stdio.h> ¦#include <stdlib.h> ¦#include <math.h> ¦#include <graphics.h> ¦#include <conio.h> ¦FILE * f1; ¦void main (void) ¦{ ¦ float conduct(int i,int j,int k); ¦ float sumamp(int j,double *AMP); ¦ int m,n,o,i,j,k,b,t; ¦ float ***TV; ¦ double cangr,ALT[33],AMP[15],ANG[ ¦ double Ki1,Ki2,Ki3,Ki4,Ki5,Ki6;
Simulació Resultats
T1 T2 T3 T4
)4,3,2,1( TTTTfcalcB
A =λλ
%kcalc
real
B
A
B
A
=
λλλλ
realB
A
λλ
VALORACIÓ
Fig. 10.13 Valoració d’eficiència del conductivímetre
Projecte final de carrera
La segona metodologia que s’ha emprat en el càlcul numèric ha estat la determinació
directa de la conductivitat. Aquest mètode ha requerit modificacions del programa base.
S’ha introduït un petit algoritme, el qual a partir de les dades de les lectures dels quatre
termopars i de la conductivitat coneguda d’una de les peces calcula quina és la
conductivitat de la peça incògnita. Aquest segon mètode és explicat amb deteniment en
l’apartat 10.6 i a l’annex 1.
A continuació es presentaran els quatre programes utilitzats pel mètode de comparació.
Els quatre programes han estat provats amb diferents variables, amb la finalitat de
determinar com varia la precisió de determinació de lambda al moure els diferents
paràmetres. El programa base es fàcilment modificable per a poder simular altres
condicions de contorn a més a més dels quatre models aquí indicats.
A continuació es presenten individualment cadascun dels quatre models :
Projecte final de carrera
1-Conductivímetre-70 (11).
Aquest conductivímetre té la totalitat de la part superior del nucli (arena i peça) a la
mateixa temperatura (Tsup) i tota la part inferior (arena i peça a una determinada
temperatura (Tinf). Aquesta consideració físicament és traduible a que superiorment i
inferiorment es disposaria de dues peces d’alta conductivitat que forçarien ambdós
extrems de la pila a estar a una determinada temperatura constant. Aquest cas no és
exactament el que es presenta en el conductivímetre amb el qual s’ha treballat a
laboratori, però introduint dues peces s’obtindria fàcilment aquest nou prototipus de
conductivímetre.
Com es pot apreciar en la (Fig.10.14) les peces que conformen part del nucli estan
envoltades primerament per pols que actua com aïllant, que limita aquesta amb el forn de
guarda, el qual es capaç de presentar una distribució lineal de temperatures. D’altra
banda , les dues peces estan limitades superior i inferiorment per les dues plaques
metàl.liques d’alta conductivitat, plaques que hauran d’assegurar la constancia de les
temperatures en els nivells més superior i inferior.
Pols
Peça B
Peça A
Peces metàl.liques d’alta conductivitat Forn de
Guarda
Fig. 10.14
Projecte final de carrera
La principal característica d’aquest és que lateralment presenta un forn de guarda que
proporciona una distribució lineal de temperatures.
A continuació es presenta esquemàticament les temperatures perifèriques en el nucli en
el cas present.
El gràfic superior (Fig10.14a) representa les temperatures perifèriques que assoleix el
conductivimetre i que són la base de partida per determinar les temperatures internes. La
temperatura al llarg del cilindre que forma part del forn de guarda, la temperatura descèn
de forma lineal, aminorant així perdues laterals, les dues plaques suerior i inferior estan
cadascuna a una deterninada tempertura constant.
Aquest conductivímetre físicament estaria construït com el conductivímetre de laboratori
TCFCM peró estaria provist de dues peces metàl.liques d'alta conductivitat, una a cada
extrem de la pila
T inf
T
T T sup
Tsup
Tinf
Fig 10.14a
Projecte final de carrera
La simulació numèrica per a aquest cas dona distribucions de temperatures en l’interior
del nucli com les següents:
Aquesta primera representació gràfica dona informació visual prou bona per a poder
interpretar qué esta succeint a l’interior del nucli del conductivímetre. En primer lloc les
condicions de contorn forçades pel forn de guarda que força a mantenir un gradient de
temperatures lineals s’observa amb tot detall en la perifèria del gràfic. En segon lloc, la
part central està constituïda per un seguit de tres canvis de superfícies, començant desde
Zona 1 Zona 2
Zona 3
Nucli
Material A Material B
Pols
Fig. 10.14 b
Projecte final de carrera
la part superior (zona 1) amb una pendent lleu (material A) fins arribar a una gran pendent
(zona 2) en un petit espai (interfície) per a continuar amb una superfície (zona 3,material
B) de pendent superior a la del material A. La relació de les pendents de la zona 1 i la
zona 2 són les relacions de conductivitats entre ambdós materials. La pols està envoltant
les peces i confinada dins del forn de guarda, així, les condicions de contorn per a la pols
perifèrica és la que en dona el forn de guarda i superiorment i inferiorment a temperatura
constant gràcies a les peces que es disposen d’alta conductivitat. Es pot apreciar
perfectament com la pols actua com un amortidor tèrmic entre la distribució de
temperatures del forn de guarda i les temperatures assolides a la pila.
Per a crear el programa ha estat necessari fer una implementació a priori de les diferents
zones on les característiques de contacte són diferents per a cada zona. Aquesta
implementació s’explica amb detall a l’annex 2.
Projecte final de carrera
2- Conductivímetre-61 (60).
Aquest conductivímetre no té guard furnace, però lateralment té un aïllament elevat.
Aquest és un conductivímetre més senzill de disseny ja que no disposa de forn de
guarda, peró ja es preveu que si l'aillament lateral no és molt bo, els resultats poden ser
molt allunyats d'una situació ideal amb flux teòricament únicament axial. Per a la
implementació del programa s’ha soposat que en la part superior i inferior de la pols no
existeix flux de calor.
En els resultats extrets per el model numèric, donen a aquest model de conductivímetre
els pitjors resultats d’avaluació de la conductivitat. Només s’obtenen resultats bons si es
disposa d’un excelent aïllament lateral.
Peça A
Fig. 10.15
pols
Peça metàl.lica d’alta conductivitat
Peça metàl.lica d’alta conductivitat
Aïllant
Aïllant total
Peça B
Peça A
Projecte final de carrera
La simulació numèrica per a aquest cas dona distribucions de temperatures en l’interior
del nucli com les següents:
Com es pot observar en aquest cas, diferentment a l’anterior, al no disposar de forn de
guarda, les altes temperatures assolides a les peces centrals es veuen bruscament
disminuides quan es surt dels límits de les peces. Es pot observar també que les
distribucions de temperatures dins del nucli són lineals, donant encara validesa a aquest
senzill conductivímetre. La bondat dels resultats d’un conductivímetre que no disposi de
forn de guarda serà funció bàsicament de la conductivitat de la pols.
Per a crear el programa ha estat necessari fer una implementació a priori de les diferents
zones on les característiques de contacte són diferents per a cada zona. Aquesta
implementació s’explica amb detall a l’annex 2.
Nucli
Material A Material B
Pols
Fig.10.16
Projecte final de carrera
3- Conductivímetre-50 (40).
Aquest model està provist de forn de guarda. La pols a la part superior i inferior forma una
aillament perfecte. Aquest model de conductivímetre és el que més s'acosta al
conductivímetre TCFCM que s’ha utilitzat a laboratori. Físicament és molt semblant al
model Conductivímetre-70 , i la única diferencia existent entre els dos està en que en el
conductivímetre-50 es continua tenint aïllant tèrmic per la part superior de la pila, i no es
força a la pols a tenir una determinada temperatura en els nivells superior i inferior de la
pila, semblantment com succeix en el model numèric conductivímetre-70. Per a la
implementació del programa s’ha soposat que en la part superior i inferior de la pols no
existeix flux de calor,
En la ilustració superior s’observa esquemàticament la disposició dels diferents elements
que constitueixen el nucli.
Peça metàl.lica d’alta conductivitat
Aïllant total
Forn de guarda
pols
Peça A
Peça B
Fig. 10.17
Projecte final de carrera
Per a crear el programa per obtenir la simulació ha estat necessari fer una implementació
a priori de les diferents zones on les característiques de contacte són diferents per a cada
zona. Aquesta implementació s’explica amb detall a l’annex 2.
Els resultats gràfics que presenta aquest model a partir del càlcul numèric són com els
següents :
Zona 1
Zona 2
Zona 3
Nucli
Material A Material B
Pols
Fig. 10.18
Projecte final de carrera
Gràficament s’observa el forçament lineal de temperatures a que sotmet el forn de guarda
en la perifèria del nucli. Les peces estan també forçades a mantenir una certa
temperatura en els seus extrems. En aquest cas, diferentment al cas 1, no es té la pols
superior forçada a mantenir la mateixa temperatura que les peces en els seus extrems,
formant-se ara unes valls en el que abans era una distribució lineal forçada. Així mateix
es denota una transició de tempertaures suaus desde el nucli fins al forn de guarda , fet
que fa suposar que els resultats en aquest model seran satisfactoris. Al igual que els
demés models, les superfícies que representen les temperatures de les peces (zona1 i
Zona 3) presenten un comportament fortament lineal. La relació de pendents entre
ambdues serà quasi exactament la relació de conductivitats.
Projecte final de carrera
4- Conductivímetre-80 (22).
Aquest model de conductívimetre no té forn de guarda però està totalment aillat
(lateralment i axialment) Aquest seria en principi el conductivímetre més ideal de els
quatre modelitzats, ja que força al flux de calor a entrar per la cara superior de la peça
superior i a sortir per la cara inferior de la peça inferior. Aquesta afirmació es podrà
comparar posteriorment amb els resultats obtinguts.
En la ilustració superior (Fig.10.19) s’observa esquemàticament la disposició dels diferents
elements que constitueixen el nucli d’aquest model en concret.
Per a crear el programa per obtenir la simulació ha estat necessari fer una implementació
a priori de les diferents zones on les característiques de contacte són diferents per a cada
zona. Aquesta implementació s’explica amb detall a l’annex 2.
Peça metàl.lica d’alta conductivitat
Peça A
Peça B
Pols
Aïll
ant t
otal
Fig. 10.19
Projecte final de carrera
Els resultats gràfics que presenta aquest model a partir del càlcul numèric són com el
següents
En el gràfic 10.20 es pot observar la suavitat de transició que presenten les temperatures
desde les peces fins a l’extrem de la pols. La pols externa també presenta una distribució
de temperatures molt amortida. Aquest fet és degut al aillament perfecte que presenta la
part externa. A priori es preveuen grans resultats per aquest model de conductivímetre.
Nucli
Material A Material B
Pols
Fig.10.20
Projecte final de carrera
10.6 RESSOLUCIÓ PER MÈTODE DIRECTE El programa base que resol els quatre estats estacionaris dels models corresponents se li
ha introduït una modificació per aconseguir un programa que dongui una solució directa.
Els quatre programes realitzats pels quatre models consisteixen en donar tots els
paràmetres necessaris (conductivitats, geometria, consicions de contorn...) amb la finalitat
de trobar un estat estacionari final, és a dir que a partir de totes les dades
predeterminades s’obté un valor final de les temperatures del nucli. (10.13).
El que s’aconsegueix amb aquest nou programa és que a partir de les lectures de quatre
termopars i la conductivitat de la peça coneguda (dades que s’obtenen a laboratori) el
programa calcula quina a de ser la conductivitat de la peça incògnita per què realment es
tinguin les condicions de temperatura que donen els quatre termopars.
A continuació es presenta gràficament el procés directe :
El programa directe té la seva màxima utilitat per afinar directament el resultat donat per
la lectura dels quatre termopars.
La implementació del programa ha estat més laboriosa que els quatre programes de
models, sobretot perquè s’han de moure varies variables a la vegada fins aconseguir la
convergència de les dades cap als valors predeterminats de temperatures als quatre
termopars. El mètode que s’ha emprat per solucionar el sistema multivariable és
totalment propi, i el funcionament d’aquest s’explica amb tot detall a l’annex1.
-Termopar 1 -Termopar 2 -Termopar 3 -Termopar 4 -Conductivitat A
CONDUCTIVITAT B
Dades d’entrada Resultat
+-[_]------------------------ ¦#include <stdio.h> ¦#include <stdlib.h> ¦#include <math.h> ¦#include <graphics.h> ¦#include <conio.h> ¦FILE * f1; ¦void main (void)
Programa
Projecte final de carrera
Les aplicacions d’aquest programa són de màxima importància en el laboratori, ja que el
programa treballa amb les dades obtingudes pels termopars i la conductivitat coneguda
d’una de les peces.. La seva màxima utilitat en serà el servei a laboratoris per valorar
amb més precissió la conductivitat obtinguda a partir de la lectura dels termopars.
Projecte final de carrera
10.7 PRECISSIÓ D’AVALUACIÓ DE LA CONDUCTIVITAT TÈRMICA La precissió d’avaluació de la conductivitat tèrmica depèn del model de conductivímetre
utilitzat i de les condicions experimentals a que es veu sotmesa l’experiència en la
determinació de la conductivitat. Els conductivímetres provistos de forn de guarda es
perfilen com els millors candidats a donar un bon resultat de la conductivitat tèrmica. La
precissió d’avaluació de la conductivitat tèrmica depèn també de variables diferents al
disseny del propi conductivímetre, variables com la conductivitat de la pols, conductivitat
relativa de les peces, diàmetres de les peces, distribució de temperatures en els extrems
de la pila... Així doncs, aquest capítol pretén determinar quins són els paràmetres
fonamentals que prenen lloc en la determinació de la conductivitat a fi i efecte de poder
valorar quina és la seva implicació i com efecte a l’error de mesura de la conductivitat.
Per a aconseguir aquest propòsit s’ha recorrregut a fer 160 simulacions en les quals s'han
modificat les variables de les quals es volia valorar el seu efecte en el càlcul de la
conductivitat.
En primer lloc s’ha escollit una geometria genèrica com la que s’estableix a l’annex 3,
geometria realista de les condicions que es donen en peces per a conductivímetres.
En segon lloc, un cop establert el valor de cadascuna de les variables, s’ha executat el
programa corresponent i s’ha extret el valor de les temperatures on estarien situats els
quatre termopars:
T[28][1][1]
T[20][1][1]
T[12][1][1]
T[4][1][1]
Fig.10.21
Projecte final de carrera
A continuació s’ha determinat la relació entre el quocient d’increment de temperatures de cada
peça amb el cocient de conductivitats tèrmiques que ja són conegudes a priori:
Relació que permet saber amb quin grau de precissió es determina una conductivitat tèrmica d’una
peça desconeguda per a un determinat model sota determinades condicions geomètriques i de
contorn. Fent aquest procés amb el resultat de 160 proves s’obtenen valors d’un alt valor qualitatiu
per poder determinar quines són les principals variables que afecten al valor de estimació de la
conductivitat tèrmica.
A continuació es presenten els diferents resultats graficats obtinguts en les 160 simulacions
(annex 6) sota diferents condicions en els quatre models de conductivímetre per a cadascun dels
paràmetres que influeix en la precissió d’avaluació de la conductivitat tèrmica. S’han escullit 5
paràmetres que es perfilen com a candidats a ser variables d’alta dependència en l’estimació de la
conductivitat tèrmica, aquests han estat:
a- Apreciació de la conductivitat vs. Conductivitat de la pols. b- Apreciació de la conductivitat vs. Conductivitat de la interfície.
c- Apreciació de la conductivitat vs. diàmetre de les peces.
d- Apreciació de la conductivitat vs. relació de conductivitats. e- Apreciació de la conductivitat vs. dispersió de temperatures als extrems de les peces.
En els següents apartats es presenten el resultats obtinguts de la precissió dels quatre
conductivímetres versus les 5 variables proposades mitjançant la simulació numèrica.
100
)()(
412
2028
∗−−
ACONDBCOND
TTTT
Projecte final de carrera
a- Apreciació de la conductivitat vs. Conductivitat de la pols.
A priori s’intueix que la conductivitat de la pols juga un paper decisiu en la determinació
de la conductivitat tèrmica. Quan més petita sigui la conductivitat de la pols millor serà el
resultat de la valoració de la conductivitat ja que menys flux de calor escaparà de forma
radial cap a fora del nucli, fent que la majoria de flux vagi en la direcció axial i així el
procés s’acosti més al teòric de flux perfectament axial.
El gràfic obtingut a partir de les simulacions és el següent :
En el gràfic superior es confirma que quan menys conductora és la pols, més bons
resultats s’extreuen en la valoració de la conductivitat tèrmica. El model que dona millor
resultat és el model SIMUL22 , model que presentaba una aïllament total més enllà de la
pols. Els dos models que poseeixen forn de guarda (SIMUL40 i SIMUL11) també
presenten un bon comportament comparat amb el model SIMUL22 però d’inferior qualitat.
Realment per aquest tres models anteriors , fins a una conductivitat de la pols unes 20
vegades inferior a la conductivitat de les peces presenta uns resultats prou bons
d’aproximadament un 80 a 90 % de precissió. Evidentment a aquest error de
configuració termica, posteriorment s’hi haurà de sumar els errors de termopar. En quan
al model 60 que es troba desprovist de forn de guarda i el seu aillament lateral depèn
0
20
40
60
80
100
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
conductivitat pols (W/mK)
prec
issi
ó (%
)
SIM UL40
SIM UL60
SIM UL11
SIM UL22
Fig.10.22
Projecte final de carrera
exclusivament de la qualitat de la pols, es veu greumet afectat per un augment de la
conductivitat de la pols.
D’aquest primer apartat se n’extreu la necessitat de precisar d’una bona pols aïllant per a
la mesura de la conductivitat tèrmica , sobretot per a mesurar la conductivitat de peces
amb conductivitat molt baixa.
Projecte final de carrera
b- Apreciació de la conductivitat vs. Conductivitat de la interfície.
Un altre dels paràmetres que s’ha volgut estudiar ha estat la conductivitat tèrmica que
s’associa a la interfície, on existeix un fort gradient de temperatures degut al trencament
de conducció per sòlid. En principi es preveu que una disminució de la conductivitat
interficial efecti negativament al resultat de la precissió d’avaluació de la conductivitat
tèrmica, ja que suposa una resistència adicional per el flux axial, afavorint una dissipació
radial del flux de calor. D’altre banda però, com que la resistència tèrmica també depèn
del gruix associat a la interfície, i aquesta és molt petita en relació a les magnituts de les
peces, es preveu que aquest no sigui un paràmetre molt rellevant. Els resultats aportats
per als programes de simulació han estat els següents:
En els tres models (SIMUL22,SIMUL11 i SIMUL40) no existeix quasi bé cap tipus de
dependència entre el valor de la precissió de la determinació de la conductivitat tèrmica i
la conductivitat interficial. Només en el model SIMUL60 es comproba que existeix una
dependència per a conductivitats baixes de conductivitat interficial, però aquest model ja
presenta greus distorsions de la precissió a qualsevol rang, empitjorant encara més per a
conductivitats molt petites de la interfície.
Fig.10.23
82
84
86
88
90
92
94
96
98
100
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2conductivitat interficial(W/mK)
prec
isió
(%)
SIMUL40SIMUL60SIMUL11SIMUL22
Projecte final de carrera
c- Apreciació de la conductivitat vs. diàmetre de les peces. La grandària de les peces és un dels paràmetres importants per aconseguir una bona
apreciació de la conductivitat tèrmica, ja que és important que s’aconsegueixi un gran flux
de calor axial respecte al flux que es dissipa radialment. El flux axial flueix a través d’una
secció que és proporcional al quadrat del diámetre de la peça,en canvi el flux dissipat
radialmet creix linealment amb el diàmetre per a unes mateixes condicions, per tant un
diàmetre gran afavoreix una bona determinació de la conductivitat tèrmica.
En el gràfic superior s’observa clarament com un radi petit implica una pitjor precissió de
la conductivitat tèrmica, tot i que els conductivímetres provistos de forn de guarda i
aïllament total més enllà de la pols presenten un comportament molt millor que el
conductivímetre sense forn de guarda (SIMUL60) el qual és molt sensible a una
disminució dels diàmetres de les peces.
0102030405060708090
100
0 10 20 30 40 50 60diàm etre de la peça (mm )
Prec
issi
ó(%
)
SIM UL40SIM UL60SIM UL11SIM UL22
Fig.10.24
Projecte final de carrera
d- Apreciació de la conductivitat vs. relació de conductivitats.
Una de les recomanacions que es fan per l’ús del conductivímetre en els manuals és que
s’usin peces amb conductivitats tèrmiques el més semblant possibles, és a dir que per a
obtenir una bona mesura de la conductivitat tèrmica s’haurien de tenir diferents patrons
de mesura que cubrissin diferents rangs de conductivitat tèrmica, en una primera mesura
es determinaria de quin ordre és la conductivitat tèrmica d’una determinada peça i un cop
determinada la conductivitat no s'hauria de donar encara aquesta per bona, sobretot si
surt que la conductivitat de la peça incógnita és molt diferent de la peça patró. El que s’ha
de fer en un segon pas és posar novament la peça incògnita amb una peça patró de
conductivitat el més semblant a la conductivitat donada en el primer assaig, i agafar el
resultat del nou assaig com a bó. Aquesta consideració es veu reflexada en el gràfic
següent, obtingut a partir de dades de diverses simulacions :
75
80
85
90
95
100
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
conductivitat A(W/mK)
prec
isió
(%) SIM UL40
SIM UL60SIM UL11SIM UL22
Fig.10.25
Zona 2
Zona 1
Projecte final de carrera
El gràfic anterior (Fig.10.25) es veu com varia la precissió d’avaluació de la conductivitat
tèrmica de la conductivitat tèrmica quan es varia la conductivitat tèrmica d’una de les
peces. S’ha fixat la conductivitat de la peça inferior (peça B) amb un valor de 10 W/mK i
s’ha variat el valor de la conductivitat de la peça A. El resultat de la precissió es veu
efectat per dos fenòmens:
• Resistència tèrmica de la peça A.
El primer dels fenòmens afavoreix a una bona precissió de la conductivitat tèrmica quan
més gran sigui el valor de la conductivitat tèrmica, ja que quan més gran sigui aquest
menys resistència tèrmica efectuen ambdues peces i per tant afavoreixen un flux axial en
detriment d’un flux radial que és sinònim de divergència amb la hipòtesis de flux totalment
axial.
D’aquest primer punt és important tenir en compte que al actuar ambdues peces en sèrie,
la resistencia tèrmica total és la suma directa de les resistències tèrmiques parcials, i per
tant si s’augmenta molt la conductivitat tèrmica de la peça B (λB) (disminuir la resistència
tèrmica) només passa a tenir efecte global la resistència de la peça A, per tant es preveu
que per a grans conductivitats de la peça A (zona2) no es tinguin grans variacions de
precissió en la conductivitat, ja que la resistència total passa a ser funció exclusivament
de la resistència fixada (resistència B).
Restotal = Res(peça A) + Res(peça B)
Si Res(peça A) → 0 llavors: Restotal ≅ Res(peça B)
Peça
Peça B RES A
RES B
Fig.10.26
Projecte final de carrera
En canvi si la conductivitat de la peça A (λA) passa a ser molt més petita que la de B (λB),
és a dir s’augmenta molt la resistència tèrmica de la peça A (zona 1), es passa a tenir la
situació següent :
Restotal = Res(peça A) + Res(peça B)
Si Res(peça A) → ∝ llavors: Restotal ≅ Res(peça A)
És a dir, passa a jugar un paper important la conductivitat de la peça A, per tant es
preveuen fortes variacions de la precissió de la conductivitat en la zona de conductivitat
baixa de la peça A. (zona 2).
Aquests fets queden palesos perfectament en el (Fig.10.25) on en la zona de conductivitat
alta de A (zona 1) la variació de precissió de λ és mínima , en canvi a la zona de baixa
conductivitat (zona 2), la precissió de λ passa a ser funció fortament depenent de λA.
•Diferència de conductivitats entre les dues peces.
El segon fenomen és degut a la diferència de conductivitats entre les dues mostres. Quan
més semblants siguin ambdues mostres més precissió s’obtindrà en l’apreciació de la
conductivitat tèrmica. Aixó és degut a la simetria que s’obté en el perfil de temperatures i
en segon lloc per questió de sensibilitat, el qual té efecte si la peça patró té una
conductivitat molt més elevada que la peça mostra.
Es determina la conductivitat de la peça desconeguda A com :
λ A
λ B
A
BBA T
TTT
∆∆
= ).()( λλ
Fig. 10.27
(10.14)
Projecte final de carrera
La sensibilitat de la determinació de λA pot ser associada al quocient de temperatures de
l’equació anterior (10.14) Si l’increment de temperatures superior és molt més gran que
l’inferior, es tindrà que per un petit error d’avaluació de l’increment inferior existirà un error
gran en la determinació de λA.
També repercuteix en la determinació de la conductivitat una diferència elevada de
conductivitats de la següent manera :
Si es tenen conductivitats semblants es tindrà un perfil de temperatures com ara:
I si es tenen conductivitats molt diferents s’obtenen perfils com els següents :
La diferència entre els dos és clara, mentre en la (Fig.10.28) el forn de guarda fa
perfectament la seva funció intentant aconseguir una distribució de temperatures el més
semblant possibles a la pila, en el segon (Fig.10.29) cas la el forn de guarda no fa la seva
funció, i fins i tot pot agreujar la precissió de determinació de la conductivitat ja que la
temperatura del forn s’allunya notablement de la distribució de temperatures de la pila,
per tant quan es té una diferència elevada de conductivitats entre ambdues peces es
poden assolir errors importants.
λ A
λ B
Temperatura columna
Temperatura forn de guarda
λ A
λ B
Temperatura columna
Temperatura forn de guarda
Fig.10.29
Fig. 10.28
Projecte final de carrera
e- Apreciació de la conductivitat vs. dispersió de temperatures als extrems de les peces.
Una de les conseqüencies de la imposició de flux perfectament axial, és que la distribució
de temperatures al llarg de les peces han de formar plans isotèrmics. En un principi en la
experimentació les peces es veuen calentades per resistències elèctriques les quals
s’encarreguen de’aportar el gradient necesari per aconseguir un flux de calor a través de
les peces. Se suposa que la temperatura d’ambdues peces en els extrems amb contacte
amb les resistències són a temperatura constant.
Evidentment les temperatures als extrems de les peces no seran perfectament
isotèrmiques sinó que tindran variacions respecte als plans isotèrmics teòrics:
Superfície a temperatura constant
Fig.10.30
Fig.10.31
Projecte final de carrera
Mitjançant els models numèrics es pot evaluar quina és la influencia d’una distribució de
temperatures no uniforme sobre l’apreciació de la conductivitat tèrmica. A continuació es
presenta un dels resultats gràfics obtinguts per simulació (diver50), en el qual s’ha forçat
tant a la peça superior com inferior en els seus extrems a mantenir temperatures
diferents:
distorsions
distorsions
Nucli
Material A Material B
Pols
Fig.10.32
Projecte final de carrera
Per a considerar aquesta influencia
sobre la precisió de determinació de la
conductivitat tèrmica, en els programes
numèrics corresponents als quatre
models s’ha optat per modificar les
temperatures als nodes superiors i
inferiors i obligar a un sector de la
superficie a tenir una temperatura i la
resta a una altre (Fig.10.33) així
s’estableix una distribució no uniforme
de temperatures i el model divergeix de
les condicions d’idealitat. S’han probat
diferents increments de temperatures
per a aquestes distribucions no
uniformes en els extrems de les peces.
En el gràfic adjunt s’observa quina distribució de temperatures s’ha utilitzat per a
estimar aquest efecte (Fig.10.33).
Els resultats obtinguts per als quatre diferents models variant el salt de temperatura
del gràfic anterior han estat els següents :
70
75
80
85
90
95
100
0 2 4 6 8 10
diferencia de Tª
Prec
issi
ó(%
)
Precissió M 40Precissió M 60Precissió M 11Precissió M 22
peces
2xDifer
Distribucions De Tª als extrems de les peces
Fig.10.33
Fig.10.34
Projecte final de carrera
S’observa que, evidentment quan més gran és el salt de temperatura en els extrems de
les peces, la precissió dels conductivímetres decau. Tots els models presenten una
caiguda fortament lineal fins a salts de ± 10º. La variació de precissió deguda a la
variació de distribució uniforme de temperatures en els extrems de la pila són
considerablement petits, ja que per a diferències de temperatures de ±5ºC =(10º) es
tenen variacions de precissió respecte a una superfície amb distribució uniforme de
temperatura de només un 90 ÷95 %.
Dels quatre models presentats aquí, el que té la precissió que devalla amb menys
rapidesa, és el model 40, model provist de forn de guarda .
Els valors de precissió han estat obtinguts amb els programes lleugerament modificats
dels originals. Aquests són DIVER50, DIVER61,DIVER70 i DIVER80 que corresponen al
model 40,60,11 i 22 respectivament.
Projecte final de carrera
10.8 ANÀLISI DE LA POTÈNCIA En aquest apartat s’analitza com varia la potència al llarg de la columna central per poder
comparar els quatre models entre si i amb la situació teòrica de flux perfectament axial
que s’hauria de donar en el cas ideal.
Per tractar la potència s’ha calculat per cada altura (i) de cada ninxol quina potència es
transmet al ninxol inmediatament inferior, i quina potència es transmet cap a la pols,
l’estudi i comparació de les potències entre els quatre models són significatives de la
qualitat de disseny de cadascun d’ells.
Discretització
Q sortida axial
AVALUACIÓ DE POTÈNCIES PER NIVELL
Q entrada axial
Q Sortida lateral
i
i+1
i-1
Fig.10.35
Projecte final de carrera
En el gràfic anterior (Fig.10.35) s’observen les potències que a continuació seran
analitzades. Per a un pis (i) de una de les dues peces com les del gràfic es té que per la
part superior (i+1) hi entra una potència Qentrada axial i part d’aquesta és transmesa a la
peça inferior (i-1) com a Qsortida axial. L’energia que flueix radialment per el pis (i) de la peça
s’anomena Qsortida lateral.
En estat estacionari i sense generació interna de calor, per a cada volum de control intern
que s’esculli la potència entrant ha de ser forçosament igual a la potència de sortida, per
tant s’ha de cumplir la següent igualtat :
Amb la igualtat anterior s’arriba una igualtat que lliga la potència axial amb la radial al
llarg de l’eix geomètric de les peces:
En primer lloc es defineix per a un diferencial de llesca de peça les magnituts que
intervenen en el flux de calor :
eralsortidalatalsortidaaxialentradaaxi QQQ &&& +=
dx
Qax(x+dx)
Qax(x)
Qrad(x)
x
(10.15)
Fig.10.36
Projecte final de carrera
D’on es pot escriure: Q x Q x dx Q xRad Ax Ax( ) ( ) ( )= + − Multiplicant i dividint per les superfícies:
AxAx
Ax
Ax
Ax
Rad
RadRad S
SxQ
SdxxQ
SxQS ⋅
−
+=⋅
)()()(
Reordenant : QS
xS
R dxQS
x dxQS
xRad
A
ax ax
( ). . .
( ) ( )= ⋅ + −
2 π
d'on :
⋅
⋅= )(
..2)(
2
xSQ
dxd
RRx
SQ
axRad ππ
s'obté que la potència dissipada per unitat de superfície radialment és proporcional a la
derivada de la potència dissipada per unitat de superfície axialment al llarg de la peça.
Si es té en compte que la direcció de la “x” és en sentit contrari al gradient establert per
fer aquesta correspondència, per definir correctament l’equació anterior, s’ha de canviar
de signe, arribant finalment a:
⋅−= )(
2)( x
SQ
dxdRx
SQ
axRad
Per al cas teòric de flux axial la potència lateral Qsortida lateral és zero. En el cas real es
tindran transferències energètiques radials. A continuació es presenten els resultats
obtinguts mitjançant la simulació numèrica per a diferents situacions de contorn i
s’analitzarà quin comportament general assoleixen cadascun dels quatre models
proposats. Per seguir les següents anàlisis, s’ha de tenir en compte que es presentaran
dos tipus de resultats, la potència axial per unitat de superficie que entra per la cara
(10.16)
(10.17)
(10.18)
(10.19)
(10.20)
Projecte final de carrera
superior de cada nivell i la potència radial que entra lateralment per cada node de cada
nivell, ambdós escullits en signe positiu si els fluxes entren cap l’interior de les peces.
NOTA: La distribució de temperatures s’ha accentuat respecte a la realitat, ja que el que s’intenta reflectir en el fenomen és el fet conceptual i no valors numèrics, per tant s’ha optat per la visualtzaciódels processos que tenen lloc en cada model.
Q entrada axial
Q sortida axial
Q Sortida lateral
i i+1
i-1
Definit positiu
Definit positiu
Fig.10.37 definició de signe
Projecte final de carrera
•MODEL 40 (SI51) El model 40 es el model numèric que simula un nucli de conductivímetre provist de forn
de guarda i aïllament tèrmic superiorment i inferiorment.
Per fer un estudi de la potència que flueix al llarg de la peça o que s’escapa per les seves
parets, s’ha procedit a evaluar aquesta mitjançant una modificació del programa SIMUL40
i creant-ne un de nou (SI51) que evalua nivell a nivell de cada peça la potència que entra
superiorment, la que surt inferiorment i la que flueix per les parets (Fig.10.35) Tant el
programa com els valors de les conductivitats com geometría de la peça surten a
l’annex 5.
Per a un model com el (10.38) provist de forn de guarda i aïllat superiorment i inferiorment
s’ha analitzat com es comporten el flux de calor al llarg de la peça, i el comportament de
aquestes és analitzat en els subapartats següents.
MODEL 40
C
B A
Fig.10.38
Projecte final de carrera
Potència axial en el model 40 En la gràfica (Fig.10.39) es pot obsevar un decreixement progressiu inicial de la potència
que passa per un mínim per passar a pujar seguidament. La zona A és la que correspon
a la peça superior, la potència és decreixent, aixó és degut a que les temperatures de la
peça A són superiors a les temperatures de la pols que l’envolta i per tant una part del
flux surt per les parets de la peça fet que es tradueix amb una disminució de la potència
axial a mesura que es progressa cap a la interfície. A la zona B es produeix un mínim en
la potència axial, a partir d’aquest punt es passa a la peça B on la potència passa a ser
una funció creixent degut a que a la zona C, la temperatura del voltant de les peces és
superior a la de les parets de la peça B. En consequència s’estableix un flux de calor
entrant a la peça B fet que es reflexa en la funció creixent en aquesta zona.
Potència axial
3660
3680
3700
3720
3740
3760
3780
3800
-191929 nodes
Potè
ncia
(W/m
2)
Zona A
Zona B
Zona C
Fig.10.39 Potència axial
Projecte final de carrera
Potència radial o lateral en el model 40 La potència lateral és aquella que surt o entra radialment per la superfície de les peces.
Quan més gran sigui aquesta, major serà la discrepància amb el model teòric de flux axial
constant. Un valor negatiu de la potència radial indica un flux de calor surtint de la peça
en direcció a la pols.
Respecte la potència lateral, aquesta pot ser evaluada de dues maneres, directament
amb els resultats del programa numèric o indirectament a partir de la potència axial, ja
que si es coneixen les potències d’entrada i sortida per cada pis,es pot mitjançant la
igualtat (10.15) obtenir el valor de la potència radial.
Així com es pot observar en la gràfica (10.40) de la potència lateral o radial es reflecteix
clarament la relació que existeix entre la derivada de la gràfica (10.39) y la gràfica (10.40).
El valor 0 s’assoleix en el punt de la gràfica de la potència axial on es troba el mínim.
En la primera part de la gràfica (10.40) presenta un valor negatiu, aixó significa que
existeix un flux de calor cap a l’exterior de la peça A, aquesta afirmació pot ser
contrastada amb la (Fig. 10.38) on efectivament les temperatures de la peça A són
Potència Lateral
-300
-200
-100
0
100
200
300
-191929nodes
Potè
ncia
(W/m
2)
Zona B
Zona C
Zona A
Fig.10.40 Potència lateral
Projecte final de carrera
superiors a la pols que l’envolta. A l’inrevés succeix a la zona C on les temperatures de la
peça són inferiors a la pols que l’envolta. La potència (W/m2) dissipada radialment pel
cas aquí tractat és unes 36 vegades inferior en mitjana a la potència que flueix axialment.
A continuació (Fig.10.41) es reflecteix la correspondència entre la derivada de la potència
axial y la potència radial que ja s’expresava en la identitat (10.20).
3660
3680
3700
3720
3740
3760
3780
3800
-1 9 19 29nodes
Potè
ncia
(W/m
2)
-300
-200
-100
0
100
200
300
-1 9 19 29nodes
Potè
ncia
(W/m
2)
f’’=0
f’=0
f’’=0 Potència Axial
g’=0
g=0
g’=0
Potència Radial
Fig.10.41 Relació potències axial i radial
Projecte final de carrera
•MODEL 60 (SI62) Aquest model és el més senzill i no està provist de forn de guarda .
Per fer un estudi de la potència que flueix al llarg de la peça o que s’escapa per les seves
parets, s’ha procedit a evaluar aquesta mitjançant una modificació del programa SIMUL60
i creant-ne un de nou (SI62) que evalua nivell a nivell de cada peça la potència que entra
superiorment, la que surt inferiorment i la que flueix per les parets (Fig.10.36) Tant els
programa com els valors de les conductivitats com geometría de la peça surten a
l’annex 5.
Per al model 60 es tenia una distribució de temperatures com la de la figura superior , el
primer fet important a és que la columna sempre està perdent calor radialment i no es té
cap punt on hi hagi una entrada de potència, aquest fet es veu clarament representat en
les gràfiques que analitzen les potències axials i radials al llarg de l’eix de la columna.
MODEL 60
Fig. 10.42 Model sense forn de guarda
Projecte final de carrera
Potència axial en el model 60
En primer lloc a la gràfica (10.43) es reflecteix clarament la afirmació anterior ja que la
potència axial al llarg de la peça decreix continuament, desde els nodes superiors (30)
fins a nodes inferiors (1). La pendent sempre és negativa (tenint en compte la situació
decreixent dels nodes), amb el clar significat que en cap zona de la geometria de la
columna hi ha una aportació de calor “cap dins d’ella”.
La potència axial manté sempre el mateix signe, fet evidencial que corrobora el fet que el
flux de calor de la columna central sempre flueix cap a l’exterior, no havent-hi cap punt de
la perifèria de la columna central que tingui la temperatura inferior a la pols que l’envolta
fet que es comprova en la distribució de temperatures tridimensional (Fig.10.42).
Potència Axial
340035003600370038003900400041004200
0102030
nodes
Potè
ncia
(W/m
2)
Fig.10.43 potència axial del model sense forn de guarda.
Projecte final de carrera
Potència radial o lateral en el model 60
La potència (W/m2) dissipada radialment (absolutament) pel cas aquí tractat és unes 14
vegades inferior en mitjana a la potència que flueix axialment (absolutament), clarament
molt inferior al model anteriorment analitzat, fet que demostra la inferior qualitat d’aquest
conductivímetre.
A l’inici del gráfic es té un decrement continuat de la potència que surt lateralment per la
columna. Aquest fet és degut evidentment al increment de diferències de temperatura
entre la peça i la pols que l’envolta. En la zona de la interfície hi ha un salt qualitatiu de
canvi substancial del flux dissipat lateralment, existeix un fort salt cap a una pèrdua
d’energia lateral més petita, fenomen degut al decrement de la temperatura entre la
columna i la pols a partir de la interfície.
Potència Lateral
-600
-500
-400
-300
-200
-100
0
0102030
nodes
Potè
ncia
(W/m
2)Fig.10.44 potència radial del model sense forn de guarda.
Projecte final de carrera
•MODEL 11 (SI70) Aquest model estava provist de forn de guarda i forçava tant als extrems com a la pols
extremes a mantenir una temperatura constant.
Per fer un estudi de la potència que flueix al llarg de la peça o que s’escapa per les seves
parets, s’ha procedit a evaluar aquesta mitjançant una modificació del programa SIMUL11
i creant-ne un de nou (SI70) que evalua nivell a nivell de cada peça la potència que entra
superiorment, la que surt inferiorment i la que flueix per les parets (Fig.10.36) Tant els
programa com els valors de les conductivitats com geometría de la peça es poden
consultar a l’annex 5.
La distribució de temperatures donades per aquest model era com la següent :
Per a aquesta distribució de temperatures s’ha obtingut la següent distribució de
potències com les que es presentaran en l’apartat següent.
MODEL 11
Fig.10.45 potència radial del model amb forn de guarda
Projecte final de carrera
Potència axial en el model 11 En quan a la potència axial s’observa un comportament similar al del model 40,
únicament destacar que el rang de potència al llarg de la columna és més petit, degut
principalment al forçament a la pols a mantenir superiorment i inferiorment una
temperatura igual a la columna en els seus extrems.
Potència radial o lateral en el model 11 En quan al comportament de la potència radial, aquest és també similar al comportament
del model 40.
Potència Axial
3660
3680
3700
3720
3740
3760
3780
0102030
nodes
Potè
ncia
(W/m
2)
Fig.10.46
Fig.10.47
Potència Lateral
-300
-200
-100
0
100
200
300
0102030
nodes
Potè
ncia
(W/m
2)
Potència Lateral
Projecte final de carrera
• MODEL 22 (SI81) Aquest model estava provist d’aïllament total més enllà de la pols que recubreix la
columna central així com als extrems superiors i inferiors.
Per fer un estudi de la potència que flueix al llarg de la peça o que s’escapa per les seves
parets, s’ha procedit a evaluar aquesta mitjançant una modificació del programa SIMUL80
i creant-ne un de nou (SI81) que evalua nivell a nivell de cada peça la potència que entra
superiorment, la que surt inferiorment i la que flueix per les parets (Fig.10.36) Tant els
programa com els valors de les conductivitats com geometría de la peça es poden
consultar a l’annex 5.
La distribució de temperatures donades per aquest model era com la següent :
A continuació es presenta el comportament de les potències axials i radials al llarg de la peça.
MODEL 22
Fig. 10.48
Projecte final de carrera
Potència axial en el model 22 El comportament de la potència axial en aquest model també presenta un comportament
similar als models 11 i 40, on a la part superior de la peça existeix una diferencia de
temperatura entre la peça i la pols que va disminuint progressivament cap a les parts
inferiors, arribant a un mínim en la zona de la interfície per tornar a crèixer a continuació,
fenomen que es compren perfectament si s’observa el gràfic 3D de la distribució de
temperatures (Fig.10.48).
Potència Axial
364036603680370037203740376037803800
0102030
nodes
Potè
ncia
(W/m
2)
Fig. 10.49
Projecte final de carrera
Potència radial en el model 22 La potència axial evidentment també té un comportament semblat als models 11 i 40 on
la peça superior está perdent flux lateral de calor i la inferior n’ está rebent.
Potencia lateral
-300
-200
-100
0
100
200
300
0102030
nodes
Potè
ncia
(W/m
2)
Fig. 10.50
Projecte final de carrera
Una vegada ja analitzats els quatre models de conductivímetre, si es comparan els fluxes
mitjans de potència axial amb els fluxes mitjans de potència radial, s’obté un coeficient
estimatiu de la relació entre les dues transferències.
∑
∑=
=
=
== 30
1
30
1
_/_
_/_
n
n
n
n
radialÀrearadialPotència
axialÀreaaxialPotènciaCoef
Quan més gran sigui aquest coeficient, millor serà en principi la qualitat del disseny del
conductivímetre, ja que serà indicatiu de que la potència majoritariament flueix en sentit
axial i les pèrdues laterals són mínimes.
Per a cadascun dels quatre conductivímetres s’han valorat aquests coeficients, els valors
dels quals són :
Per al model 40 Coef =36,82
Per al model 60 Coef =14,11
Per al model 11 Coef =51,30
Per al model 22 Coef =34,17
Per tant, a priori es pot preveure que els models 22 y 40 tenen un disseny amb el que
s’aconsegueix una apreciació de la conductivitat tèrmica similar. El model 11 dona el
millor resultat , per tant sembla ser que aquest serà el model candidat a donar els millors
resultats d’avaluació de conductivitat tèrmica. Els coeficient del model 60 dona a aquest
el pitjor coeficient, evidenciant el que ja se suposava a priori, ja que aquest model és el
més senzill.
(10.21)
Projecte final de carrera
Comparativa gràfica dels diferents coeficients per als diferents models.
SI51 SI62 SI71 SI81S1
0
20
40
60
MODEL 40 MODEL 22
MODEL 60 MODEL 11
Projecte final de carrera
10.9 CONCLUSIONS Un cop analitzat el comportament de la precissió de la determinació de la conductivitat
enfront de diferents variables i del comportament de les potències per als diferents
models, es poden treure conclusions respecte als efectes de les variables i a la qualitat
dels diferents models de conductivímetres. A continuació es presenten resumits els
resultats gràfics del capítol 9.7.1.
En quan a la precissió d’avaluació s’havien obtingut les següents gràfiques:
0
20
40
60
80
100
0 0,5 1 1,5conductivitat pols
prec
issi
ó
828486889092949698
100
0 0,5 1 1,5 2 2,5conductivitat interficial
prec
issi
ó
0
20
40
60
80
100
0 20 40 60diàmetre de la peça (mm)
Prec
issi
ó
7 5
8 0
8 5
9 0
9 5
1 0 0
0 1 0 2 0 3 0 40 50 6 0 7 0 8 0 9 0 1 00c o n d u c ti v it a t A
prec
issi
ó
70
75
80
85
90
95
100
0 2 4 6 8 10
diferencia de Tª
Prec
issi
ó
SIM UL40SIM UL60SIM UL11SIM UL22
Fig.10.51 Fig.10.52
Fig.10.53 Fig.10.54
Fig.10.55
Projecte final de carrera
Les conclusions a que s’arriba després d’analitzar els gràfics anteriors són:
1- L’ aíllament de la pols garanteix una bona apreciació de la conductivitat de la peça
sempre que la conductivitat de la pols sigui d’un ordre de unes 20 vegades inferior a
la de les peces de la columna. Fig.10.51.
2- El diàmetre de les peces de la columna ha de ser el més gran possible a fi i efecte de
donar protagonisme al flux que flueix axialment enfront del flux lateral de calor. Fig.10.52.
3- El salt de temperatura que es produeix en la interfície es irrellevant per al càlcul de la
conductivitat tèrmica Fig.10.53.
4- Les conductivitats de la peça mostra i de la peça incógnita han de ser el més
semblant possibles per aconseguir un resultat òptim. Aquest fet influirà en la
metodologia per a l’obtenció de la conductivitat tèrmica .Fig.10.54.
5- Un distribució de temperatures no uniforme en els extrems de la pila no agreuja
notablament el resultat de la apreciació de la conductivitat tèrmica. Fig.10.55.
6- El millor model és el que presenta aïllament total a partir de la pols que envolta la pila,
aquest és però un cas teòric per referenciar la bondat dels resultats dels altres models
de conductivímetre.
7- Els millors models reals són els que estan provistos de forn de guarda, amb resultats
molt allunyats del model sense forn de guarda el qual difícilment sobrepassa el 80%
d’efectivitat en la mesura de la conductivitat en el millor dels casos.
Aquest resultats donen el camí per a obtenir una millor precissió de la conductivitat
tèrmica. Existeixen però altres variables que no poden ser valorades numèricament i que
afecten d’una manera molt important a la determinació de la conductivitat com és per
exemple la precissió dels termopars o la posició exacte dels termopars. Posteriorment
s’analitzara en el capítol 4 la influència de tots els paràmetres que influeixen en la
valoració de la conductivitat a part dels aquí estudiats per tenir en compte tots els efectes
possibles.
Projecte final de carrera
289
Capítol 11 Crítica i proposta de millores
11.1 Crítica a la metodologia actual 11.2 Proposta de millors 11.2.1 Referenciació In situ 11.2.2 Canvi de dimensions de les mostres 11.2.3 Aplicacions de factors de correcció 11.3 Altres millores secundàries 11.4 Estructura final en el procediment
Projecte final de carrera
290
11. CRÍTICA I PROPOSTA DE MILLORES
11.1 CRÍTICA A LA METODOLOGIA ACTUAL
L’experimentació realitzada fa constatable el fet que el criteri establert pel fabricant del
Conductivímetre per a donar com a bona una mesura és erroni, i no proporcional. Aquest
criteri consisteix en que si els dos fluxos calculats en les peces mostres conegudes no
difereixen més d’un 20% podem donar com a satisfactòria l’experimentació realitzada.
Aquest fet, a més de ser incorrecte, ja que s’han donat els dos casos inversos, no és ni
proporcional per les dues causes següents:
• Una experimentació A en que els fluxos difereixin menys que una experimentació B
no significa que el valor estimat per a la conductivitat en l’experimentació A tingui major
índex de confiança que el trobat en l’experimentació B.
• El fet que dos fluxos siguin més o menys iguals depén dels errors que provoquen els
termoparells, que si bé són sempre del mateix ordre, afecten relativament més o menys
depenent dels tamany dels gradients que mesuren. I que els gradients siguin més o
menys grans depén (si sempre tendim a fer experimentacions amb el major gradient
possible) de les difusivitats dels materials que conformen la pila central. Per tant,
depenent d’aquesta propietat tèrmica tindrem experimentacions més o menys
satisfactòries, que aleatòriament podran donar resultats correctes, però no fiables. Però
la qualitat de l’experimentació no haurà depengut només de la traça de
l’experimentador, ni de la correcta alineació de les mostres.
La manca de fiabilitat demostrada en el procés actual, fa que sigui necessària l’aplicació
de millores. Les directrius marcades en aquest Projecte fan que el procés sigui més
fiable, però elimina degut a les limitacions geomètriques el criteri d’èxit en
l’experimentació realitzada, essent necessari el control i manteniment eventual dels
elements que conformen el dispositiu de mesura: termoparells, forn de guarda,
resistències.
El procediment proposat no dificulta excesivament l’experimentació, ja que el muntatge
del dispositiu es manté igual, i només cal corregir les temperatures de control per fer la
Projecte final de carrera
291
referenciació In Situ. I si l’experimentador vol, pot aplicar la simulació numèrica via
computadora introduïnt les temperatures corregides per a obtenir el valor de la
conductivitat cercada, o bé aplicar els factors de correcció facilitats per les taules segons
especificacions de diàmetres de peces, diferència entre conductivitats i d’altres
paràmetres de disseny.
Fig. 11.1 Esquema del procediment actual
Antic procediment
1- Experimentació
2- Aplicació teoria placa plana
3- Resultats
Lectures Conductivímetre
2
222
1
111 ....
xTA
xTA
∆∆
=∆∆
λλ
Flux unidireccional Equació simplificada
2,5
3
3,5
4
4,5
5
5,5
6
-400 -200 0 200 400 600 800 1000 1200
Temperature(C)
Projecte final de carrera
292
Es detalla a continuació la sèrie de millores proposades en el nou procediment de treball
per al conductivímetre TCFCM - N20, i que poden ser aplicables a d’altres
conductivímetres de tipologia semblant.
11.2 PROPOSTA DE MILLORES
Les millores bàsiques que proposa aquest Projecte es fonamenten en 3 canvis; dos de
metodologia, i un de caràcter geomètric:
a) Referenciació In Situ
b) Canvi de dimensions de mostres
c) Aplicacions de factors de correcció facilitats per la simulació numèrica
11.2.1 REFERENCIACIÓ IN SITU
Tal i com en l’experimentació (Capítol 8) s’ha demostrat que la causa fonamental de
dispersió en els resultats vé donada pels termoparells, el comportament del qual (error
sistemàtic) varia en diferentes condicions: al doblar-se, a l’estar en un camp de
temperatures diferents, i altres factors no controlables com expliquen els manuals dels
proveïdors de termoparells.
Els errors que presentaven parells de termopars en diferents experiències eren prou
grans com per no prendre les característiques de cada termopar com a constants per a
diferents situacions.
Com exemple es presenten aquests dos gràfics (Fig. 11.2), representatius dels resultat
obtinguts que ens mostren com per a mateixes condicions, s'obtenen resultats diferents :
Projecte final de carrera
293
Característica en exper. 1
150170190210230250270290310
1 2
term opar
tem
pera
tura
(ter
mop
ar)
Característica en exper. 2
150
170
190
210
230
250
270
290
310
1 2
term opar
tem
pera
tura
(ter
mop
ar)
Fig. 11.2 Comportament dels termoparells en dues experiències diferents
La solució aportada a aquesta mancança de constancia de les característiques de cada
termopar va ser la referenciació in situ. aquesta solució proposa prendre nota de les
lectures dels termopars a una mateixa temperatura cada uns 100 º C durant
l'enregistrament de dades.
Projecte final de carrera
294
Com exemple , suposem que volem conèixer la conductivitat de un material entre 75 ºC i
400 ºC. La operativa a seguir és la següent.
1- Posem el controlador PID main i el PID aux a 50 ºC. un cop estabilitzats prenem nota
de tots els termopars de la columna.
2- Posem el PID main a 100 ºC , un cop estabilitzats els termopars prenem dades de tots
els termopars de la columna.
3- Anem incrementant al la vegada en 10 ºC els dos PID fins que el PID aux arriba a
100 ºC.
4- Posem el PID main a 100 º C, prenem nota de totes les lectures.
5- Posem el PID main a 160 ºC i l'aux a 110 , un cop estabilitzat prenem nota.
6- S'incrementa cada PID en 10 ºC i es va prenen nota dels resultats fins que el PID aux
arriba a 200 ºC.
7- Col.loquem tots els PID a 200 ºC
8- ...
0
50
100
150
200
250
300
350
0 10 20 30estats
tem
pera
tura PID aux
PID main
Fig. 11.3 Evolució de les dades a introduir en els PID
Projecte final de carrera
295
(cal tenir en compte que els PID del forn de guarda també han d'evolucionar
paral·lelament amb el PID Main i PID Aux).
Evidentment, cadascuna de les mesures dels termopars en cada fase sense increment de
temperatura (els dos termopars a la mateixa temperatura) servirà posteriorment per al
tractament de les dades obtingudes.
Suposem que en la mesura de temperatures a 200 ºC (sense increment) i els resultats
per a cada termopar han estat els següents:
TC1 = 199 ºC TC4 = 203 ºC
TC2 = 200 ºC TC5 = 202 ºC
TC3 = 198 ºC TC6 = 198 ºC
gràficament,
195
196
197
198
199
200
201
202
203
1 2 3 4 5 6term opar nº
Tem
pera
tura
Fig. 11.4 Apariència gràfica dels resultats obtinguts en els termoparells
A partir d'aquestes dades es calcula les diferències de lectura enfront d'un termopar
qualsevol, en el nostre cas triem el termopar 1. Ens interessen doncs les diferències de
temperatura envers el primer termopar, aquestes diferències corregiran posteriors
lectures que es faran en el mateix muntatge.
TC1
Projecte final de carrera
296
Les diferències de temperatura referides al termoparell 1,
195
196
197
198
199
200
201
202
203
1 2 3 4 5 6term opar nº
Tem
pera
tura
Fig. 11.5 Referenciació de temperatures amb el mètode In Situ
Posteriorment es fa una altre referenciació a temperatures més elevades, suposem que
les dades obtingudes són les següents :
TC1 = 300 ºC TC4 = 300 ºC
TC2 = 302 ºC TC5 = 304 ºC
TC3 = 298 ºC TC6 = 296 ºC
Fent també una referenciació in situ dels resultats s'obté la següent gràfica :
e3
e2 e1 e4 e5
e6
Projecte final de carrera
297
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
1 2 3 4 5 6
termopar nº
Tem
pera
tura
Fig. 11.5 Referenciació seguint el mètode In Situ dels termoparells
En una representació gràfica de les diferències de temperatura :
t1 t2 t3 t4 t5 t6-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Incr
emen
t T
t1 t2 t3 t4 t5 t6
termopar nº
Serie1Serie2
Fig. 11.7 Desviacions dels termoparells en dues situacions isotermes diferents
e1'
e2'
e3'
e4'
e5'
e6'
Projecte final de carrera
298
On la sèrie 1 son les diferències de temperatura referent al termopar 1 a 200 ºC i la sèrie
2 a 300 º C. Com es pot comprovar en aquest exemple explicatiu, les diferències relatives
dels termopars no es mantenen constants, per tant caldrà interpolar per a modificar els
valors de les experiències fetes. Una regressió lineal és més que suficient per aquest
propòsit, ja que realment les diferències varien molt lentament amb la temperatura.
Un cop es tenen els valors de diferències de temperatura a dues temperatures donades
es poden utilitzar aquestes per a determinar el valor de la conductivitat a qualsevol
temperatura entre aquestes.
Siguin e1,e2,e3,e4,e5 i s6 les diferències de temperatures (ei=Ti-T1) referents al
termopar 1 a temperatura T1 és a dir, i siguin e1',e2'e3',e4',e5' i e6' les diferències de
temperatures (ei'=Ti'-T2) referents al termopar 1 a temperatura T2. Llavors, per a
qualsevol temperatura entre T1 i T2 podem modificar la lectura de quasevol termopar per
ternir una precisió més elevada dels increments.
11.2.2 CANVI DE DIMENSIONS DE LES MOSTRES
L’estudi encaminava al principi a l’engrandiment de les peces, per tal de poder obtenir
gradients més grans en les peces i disminuir l’error relatiu que provocaven els
termoparells. Això representava el condicionant de tenir dues peces, que com hem vist,
elimina el criteri d’èxit de l’experimentació, però que degut a la seva poca fiabilitat és
admissible. Per unaltra banda, s’elimina una interfície de contacte entre les mostres, fet
que elimina resistència tèrmica i afavoreix un flux lineal per la pila central encara més
gran.
Primerament es va pensar en eliminar dràsticament la resistència inferior, per tal de
guanyar aquests 35 milímetres de gruix que tenen, però això provocava la limitació en les
temperatures d’experimentació, ja que no es podien escalfar les mostres a la temperatura
que volguèssim. A més, el mètode In Situ que necessita d’una experimentació isoterma
no seria viable si s’eliminés aquesta resistència inferior. Una solució de compromís, és
Projecte final de carrera
299
doncs, mantenir aquesta resistència inferior i tenir limitada la pila central per la geometria
del conductivímetre actual (és a dir, entre el TC7 i el TC15 del forn de guarda). És podrien
adquirir resistències més primes de característiques eléctriques similars, però no es
guanyaria molta més longitud en les mostres.
La longitud a vegades pot venir determinada, ja que en la nostra recerca de barres de
diversos materials per a experimentar, sovint no era disponible tenir-les de diàmetres i
longituds desitjats. De totes maneres, i seguint amb el criteri per a obtenir el millor resultat
en les experimentacions, tot i les limitacions geomètriques de que disposem, facilitem el
tamany ideal de les mostres:
Fig. 11.8 Dimensions ideals de les mostres
3,75
50
1,7
44,5
Projecte final de carrera
300
11.2.3 APLICACIONS DE FACTORS DE CORRECCIÓ
En el Capítol 10, s’han vist les dispersions que existeixen en els fluxos, depenent dels
diàmetres de les mostres, així com la relació entre les conductivitats de les peces, entre
d’altres. Aquestes variacions en els fluxos determinen factors de relació, que si
s’implementen en els resultats experimentals, han de corregir el valor estimat per a la
conductivitat.
Els resultats obtinguts en les 160 simulacions han permés elaborar un seguit de taules
que mostren les desviaciones dels diferents conductivímetres simultats respecte el
conductivímetre ideal de flux perfectament axial. Per tant, a priori ja es pot observar en
quina zona de les gràfiques queda ubicat el nostre experiment, tant sols cal triar el tipus
de conductivímetre més adient.
Un ús d’aquestes taules està destinat a rectificar els valors de la conductivitat una vegada
ja ha estat aquesta filtrada pel Mètode In Situ.
Per a obtenir un resultat el més acurat possible s’ha desenvolupat el programa LUMIS2.C
el qual, a partir de la tipologia del conductivímetre, dades extretes en les lectures dels
termoparells, geometria i dimensions de les peces, és capaç de trobar quina ha de ser la
conductivitat de la peça incògnita per a que es donguin les condicions de contorn que ens
donen les temperatures dels termoparells. Aquest programa és de gran utilitat ja que
permet fer directament les correccions sense necessitat d’acudir a les taules, és a dir,
permet una ressolució totalment personalitzada per a cada tipus de conductivímetre i
característiques geomètriques de les peces.
11.3 ALTRES MILLORES SECUNDÀRIES
S’han cercat dues millores addicionals, que no s’encaminen en l’objectiu propi del
Projecte de millora en la precisió de resultats experimentals. Una té caràcter merament
mediambiental, i l’altra si que pot afavorir el mètode actual de mesura experimental, però
amb la referenciació In Situ perd efectivitat.
Projecte final de carrera
301
Instal·lació de refrigedadora d’aigua industrial
La primera millora consisteix en la instal·lació d’una refrigedadora d’aigua industrial. Si el
usuari responsable del conductivímetre ha de fer un ús intensiu de l’aparell, la quantitat
d’aigua que es perd és considerable, ja que actualment s’agafa aigua de la xarxa, es fa
passar pel conductivímetre per afavorir el flux i posteriorment s’evacua l’aigua sense cap
mena de contaminació. Si una experimentació (per trobar només la conductivitat a una
temperatura concreta) dura al voltant de 2 hores, amb un cabal mesurat de 6 l/min s’obté
un consum de 720 litres per experiment. Si s’analitza un material a diferents
temperatures, fent les referenciacions corresponents, la quantitat d’aigua llençada és
excesiva.
Per a esmenar aquest problema, es proposa la instal·lació d’una refrigedadora d’aigua
industrial, que amb una recirculació de l’aigua, i evitant que la temperatura del refrigerant
vagi augmentant, s’obté un estalvi en el consum de l’aigua. Aquestes refrigedadores
permeten a més, aconseguir temperatures un xic més fredes que les que es poden
obtenir directament de la xarxa, afavorint tenir un flux més lineal al llarg de la pila central, i
fent crèixer els gradients de temperatura a mesurar.
Un dels fets que també serveixen per a la crítica pròpia del conductivímetre, és que el
refrigerant d’entrada (aigua) és conduit primerament cap al Forn de Guarda, per a
mantenir en aquest dispositiu el gradient desitjat. El refrigerant passa posteriorment per la
zona inferior del nucli central (mostres), quan aquest refrigerant ja ha estat escalfat,
encara que mínimament, ja que la temperatura de sortida del refrigerant i la d’entrada són
pràcticament constants, degut al cabal important d’aigua que hi circula. Malgrat tot, es
troba més lógic que el refrigerant passés primerament per la zona inferior de la pila
central, per tal d’afavorir el gradient maximal en aquest nucli, i posteriorment passés al
Forn de Guarda. Això és pot aconseguir canviant els tubs d’entrada i sortida en el
conductivímetre.
Projecte final de carrera
302
Ús de termoparells de lectura doble
Un dels fabricants més importants a nivell mundial d’elements de mesura i control de
variables termofísiques (OMEGA) mostra en un dels seus catàlegs sol·licitats, un tipus de
termoparell amb camisa, semblant als d’us actual, que tenen dos connectors de lectura,
ja que en la punta hi han dues unions termopàriques diferents. És a dir, que en un punt
local hi tenim dues unions, dos termoparells, obtenint dues lectures, a partir de les quals
es pot obtenir una mitjana, que estadísticament parlant , dóna una dispersió menor que
cadascuna de les lectures per separat.
Aquesta millora perd efectivitat quan apliquem la referenciació In Situ, ja que de dues
lectures s’aplicarien factors de referenciació diferents i obtindríem dues lectures
referenciades iguals en el mateix punt.
Només té sentit aquesta aplicació si no es vol aplicar la referenciació proposada en el
Projecte, que per altra banda, es demostra necessària per a l’obtenció de resultats més
fiables.
Projecte final de carrera
303
11.4 ESTRUCTURA FINAL EN EL PROCEDIMENT
1-Referenciació in situ
2- Experimentació
Lectures Conductivímetre
3- Aplicació mètodes numèrics
4- Resultats
2,5
3
3,5
4
4,5
5
5,5
6
-400 -200 0 200 400 600 800 1000 1200
Temperature(C)
Simulació 1 5 9
13S1
S11
S21
S31
340
350
360
370
380
390
400
Correcció
Nou procediment
Projecte final de carrera
305
Annexes
1. Càlcul directe 2. Els quatre models 3. Geometria bàsica utilitzada 4. Demostració potència 5. Càlcul de potències 6. Resultats 7. Importància de la conducció, convecció i radiació en les interfícies 8. Tipologies d’aïllament 9. Gràfiques de conductivitats 10. Fulles de control d’experimentació 11. Fotografies
Projecte final de carrera
306
Projecte final de carrera
ANNEX 1. CÀLCUL DIRECTE. En aquest annex es detalla com ha estat confeccionat el programa que resol per mètode
directe la conductivitat d’una peça mitjançant la simulació numèrica. La base del
programa és la mateixa que la dels quatre programes que resolen cadascún dels models,
s’ha introduït però una petita rutina interna que calcula certes variables (conductivitat,
resistencia interficial i temperatures extremes) per a que es donguin quatre temperatures
donades a cadascun dels quatre termopars. Aquest programa requereix una metodologia
de treball diferent al programa base, ja que a part de que el programa a de trobar la
solució per a un estat estacionari, a la vegada a de recalcular quatre paràmetres per què
es donguin certes condicions que s’exigeixen a priori (quatre temperatures + conductivitat
de la peça coneguda). El nom del programa és LUMIS2.C.
Els inputs de referència del programa, a part evidentment de les condicions de contorn
per a aquest programa, són els següents :
T1- Temperatura assolida al termopar 1
T2- Temperatura assolida al termopar 2
T3- Temperatura assolida al termopar 3
T4- Temperatura assolida al termopar 4
Els inputs fixats del programa són:
CONDA- Conductivitat de la peça coneguda
Inputs modificables dins del programa per assolir condicions predeterminades :
CONDB- Conductivitat de la peça incògnita
CONDS- Conductivitat interficial
TSUP- Temperatura de la part superior de la peça A.
TINF- Temperatura de la part inferior de la peça B.
L’objectiu és determinar quina conductivitat de la peça B farà que es compleixin les
condicions T1,T2,T3 i T4 en els punts del model numèric on es capten en el
conductivímetre de laboratori les quatre lectures de termopar.. A més encara falten tres
Projecte final de carrera
variables per a fixar i tenir un sistema determinat, aquestes són: la conductivitat interficial,
la temperatura superior de la peça A i la temperatura inferior de la peça B, que realment,
el que s’aconsegueix és donar les condicions de contorn al limit de les peces i tancar
l’àrea de control i. En el capítol 10 es representa la implementació bàsica del programa
LUMIS2 on primerament s’introdueixen els valor sabut a priori de la peça amb
conductivitat coneguda i els valors de referència de temperatura a quatre punts del model
numèric, els quals són la referència per establir com de proper es troba el programa per
determinar les condicions que fan possibles aquestes quatre temperatures. S’introdueixen
també al programa les variables que seran modificades al llarg del programa per assolir
les condicions predeterminades, aquestes variables s’introdueixen amb un valor estimatiu
el més proper possible al real, aquest valors estimats a priori es troben analitzant quins
valors tindrien en cas de tenir el cas de flux perfectament axial amb geometria cil.líndrica.
Aquests valors són: CONDB, CONDS, TSUP i TINF.
amb aquestes dades es procedeix a fer una estimació dels quatre paràmetres i a
continuació es calcula l’estat estacionari per aquests valors. En el resultat de l’estacionari
es comparen les temperatures assolides en les quatre posicions del model numèric on es
captaria en realitat la temperatura dels quatre termopars amb les temperatures reals que
s’han obtingut a laboratori, si coincideixen, ja s’ha trobat la solució de la conductivitat
buscada, si no coincideixen els valors, s’ha de procedir a recalcular els valors dels quatre
paràmetres paràmetres, i així succesivament fins a la convergència final. Per assegurar la
convergència d’una forma més ràpida s’ha seccionat el programa en tres parts, la primera
part no canvia el valor de cap de les quatre variables, i es limita a cercar l’estat
estacionari per a les condicions inicials. Per aquesta primera part es destinen 1400
iteracions. La segona part del programa ja entra en acció el mètode convergent per trobar
quins valors de TSUP, TINF,CONDS i CONDB donen els valors buscats a priori. En
aquesta fase s’hi accedeix quan ja han trsnscorregut 1440 iteracions, però només es té
accés a modificar els valors de TSUP, TINF,CONDS i CONDB una vegada de cada 100
iteracions per assegurar la convergència, ja que del contrari el sistema es pot tornar
inestable. En aquesta segona fase la rapidesa de convergència és rapida, i les
temperatures de Tdup i Tinf es varien 0.02º cada vegada mentre que les conductivitats es
varien un 0.05 %. Aquesta fase està continguda desde la iteració 1400 fins a la 30000, i
els paràmetres son variats una de cada cent iteracions, el que suposa que hauran estat
modificades 286 vegades cadascuna de les qutre variables. El el tercer i últim pas el que
Projecte final de carrera
es fa és afinar el valor d’aquestes quatre variables, per tant es baixa el valor d’increment
a cadascun dels passos. Les temperatures TSUP i TINF es veuen variades 0.0005º i les
conductivitats CONDS i CONDB es varien a cada iteració un 0.01 %. Aquesta tercera
fase es realitza desde la iteració 30000 fins a la 60000. Les quatre variables en aquesta
fase només son variades una de cada 200 iteracions, el que suposa 150 variacions en
total de les quatre variables en aquest darrer pas. La variació de les variables cada 200
iteracions es fa així per què es garanteix la estabilitat al programa,. El nombre d’iteracions
per a cada fase han estat escollits a través de l’experiència adquirida a través de l’us del
programa .
Projecte final de carrera
Estructuració del programa LUMIS2 Per accelerar la convergència s’ha procedit a fer una estimació de quins serien els valors
de les variables buscades en el cas teòric de tenir una distribució lineal de temperatures a
Tsup- Temp. sup. pila Tinf - Temp. Inf pila Cond B- Conduc. Peça desconeguda Cond S- Conduc. Interf.
Variables a establir
T1- Temperatura assolida al termopar 1
T2- Temperatura assolida al termopar 2
T3- Temperatura assolida al termopar 3
T4- Temperatura assolida al termopar 4
Condicions a complir
Valoració de Tsup, Tinf, CondB,CondS
Càlcul de l’estat ESTACIONARI
CondB- conductivitat peça desconeguda
CondS- conductivitat interficial
Tinf- T inferior peça B
Tsup – T superior peça A
Comparar T1,T2,T3,T4
Rec
alcu
lar
Projecte final de carrera
la columna. Es presenta a continuació una gràfica per identificar cadascuna de les
variables introduïdes fins aquí.
Geometria de la peça :
Els inputs són : T1,T2,T3,T4 i CONDA i les variables a determinar són Tsup, Tinf,CONDS
i CONDB. Les variables a determinar poden ser primerament precalculades per alleugir
iteracions al programa, el valor que es donarà a cada variable serà el que tindria si es
donés flux perfectament axial.
T1
T2
T3
T4
Peça A
Interfície
Peça B
T1
T4
T3
T2
T
d d
f
X
s
d
Projecte final de carrera
El càlcul dona que per la geometria i temperatures donades, el valors de Tsup,
Tinf,CONDS i CONDB serien en el cas de flux perfectament axial :
Amb aquest quatre valors s’inicialitzaran les quatre variables en el programa LUMIS2, a
partir d’aquí s’aniran ajustant fins aconseguir els valors predeterminats de temperatura en
els quatre termopars, la metodologia per aconseguir aquesta convergència cap al valor
real de les quatre variables a estat pròpia i a consistint en la següent metodologia:
)43()21(
TTTTCONDACONDB
−−
⋅=
dsdd
TTsd
TTTT
fTTCONDACONDS⋅
+⋅
−
−⋅−
+−
⋅−=
)(213431
)21(.
sd
TTTTSUP ⋅
−
+=211
sd
TTTTINF ⋅
−
−=434
Projecte final de carrera
La distribució real de temperatures que s’assoleix en qualsevol de les iteracions, fa que
per cada peça, les possibilitats de distribució de temperatures respecte a les exigides
puguin ser quatre:
Per a la peça A
CAS 1)
CAS 2)
T
T1
T2
T
T1
T2
Projecte final de carrera
CAS 3)
CAS 4)
T1 i t2 en qualsevol del quatre casos anetriors representen les temperatures a que es
desitja que es trobin dos punts determinats del model numèric. Per exemple en el cas 1
es troba la temperatura en el model numèric per sota del valor exigit T1 i per sobre en el
cas del valor T2 exigit. Per tant, quan es dona aquest cas s’han de modificar els
paràmetres TSUP, TINF CONDS i CONDB perqué la distribució de temperatures en el
model numèric baixi cap a T1 i pugi cap a T2.
T T1
T2
T
T1
T2
Projecte final de carrera
Els quatre casos que s’acaben de representar són les quatre possibilitats de distribució
de temperatures dels dos termopars:
Valor
requerit
Valor
numèric
Valor
requerit
Valor
numèric
Condició cas Efecte
sobre
LUMIS2
(T1) TV[28][1][1] (T2) TV[20][1][1] TV[28][1][1]>T1
TV[20][1][1]<T2
CAS1 Tsup↓
CONDS↓
(T1) TV[28][1][1] (T2) TV[20][1][1] TV[28][1][1]<T1
TV[20][1][1]>T2
CAS2 Tsup↑
CONDS↑
(T1) TV[28][1][1] (T2) TV[20][1][1] TV[28][1][1]>T1
TV[20][1][1]>T2
CAS3 Tsup↓
CONDS↓
(T1) TV[28][1][1] (T2) TV[20][1][1] TV[28][1][1]<T1
TV[20][1][1]<T2
CAS4 Tsup↑
CONDS↓
La taula anterior dona les possibles combinacións de temperatures que es poden donar
entre la temperatura exigida i la temperatura assolida a l’estat estacionari. La temperatura
calculada en cadascuna de les posicions que ocuparien els dos termopars poden ser en
principi majors o menors a les exigides per l’usuari, per tant s’ha de prendre una decisió i
moure les variables per aconseguir una convergencia dels paràmetres calculats amb els
paràmetres exigits.
En el cas 1, les variables que principalment efecten a la distribució de temperatures són
la TSUP i la condS, cadascuna d’elles efecte a la distribució de temperatures d’una forma
diferent :
Si s’apuja Tsup i es mantenen totes les variables constants, aixó té un efecte de pujada
general de totes les temperatures de la columna, ponderat evidentment, quan més aprop
dels nodes superiors, més notoris seran aquests increments de temperatura.
Si s’apuja el valor de CONDS, l’efecte inmediat, és baixar el salt de temperatura entre
ambdues peces, com a consequència d’una pujada de la conductivitat de CONDS
s’obtindrà una disminucuó general de les temperatures de la peça superior (peça A) i un
augment general de les temperatures de la peça inferior (peça B).
Projecte final de carrera
Gràficament :
Efecte si s’apuja Tsup
Com es pot apreciar visualment, la variació de temperatura queda ponderada de manera
que els punts que es veuen més afectats són els més propers a la zona superior de la
peça A.
T
Tsu
Tinf
T
Tsu
Tinf
Projecte final de carrera
Efecte si s'apuja la conductivitat interficial CONDS:
Efecte si s’augmenta la conductivitat de la peça B CONDB:
Efecte si s’apuja TINF :
T
Tsup
Tinf
T
Tsup
Tinf
T
Tsup
Tinf
Projecte final de carrera
Així doncs, si el programa es troba per exemple en el cas 1 en la peça A:
Es tractatà d’aconseguir el següent
Procés que s’aconsegueix baixant TSUP i baixant CONDS així com queda indicat al
quadre següent. Per a qualsevol dels altres quatre casos s’actuarà en relació com indica
el quadre indicat. Per a la peça B s’actua de forma paralela modificant els valor de la
conductivitat de la peça desconeguda CONDB i la temperatura inferior TINF.
T T2: temperatura a assolir
T1:Temperatura a assolir
Distribució real al model
T
Projecte final de carrera
Per a T3 i T4 el procediment és paral.lel al de T1 i T2 , però les variables que s’han de
modificar en aquest cas són TINF i CONDB. La taula de modificacions per a la peça B és
la següent
Valor
requerit
Valor
numèric
Valor
requerit
Valor
numèric
Condició cas Efecte
sobre
LUMIS2
(T3) TV[12][1][1] (T4) TV[4][1][1] TV[12][1][1]>T3
TV[4][1][1]<T4
CAS1 CONDB↑
TINF↑
(T3) TV[12][1][1] (T4) TV[4][1][1] TV[12][1][1]<T3
TV[4][1][1]>T4
CAS2 CONB↓
TINF↓
(T3) TV[12][1][1] (T4) TV[4][1][1] TV[12][1][1]>T3
TV[4][1][1]>T4
CAS3 CONDB↑
TINF↓
(T3) TV[12][1][1] (T4) TV[4][1][1] TV[12][1][1]<T3
TV[4][1][1]<T4
CAS4 CONB↓
TINF↑
Projecte final de carrera
A continuació es presenta el llistat del programa LUMIS2.C que resol de manera directa
l’evaluació de la conductivitat. LUMIS2 està fet sobre la base de SIMUL70.
LUMIS2.C
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> #include <graphics.h> #include <conio.h> FILE * f1; void main (void) { float conduct(int i,int j,int k,float CONDB,float CONDS); float sumamp(int j,double *AMP),t; int m,n,o,i,j,k,b; float ***TV,CONDB,CONDS,T1,T2,T3,T4,conA,s,d; double cangr,ALT[33],AMP[15],ANG[14],Tsup,Tinf,acum1,acum2; double Ki1,Ki2,Ki3,Ki4,Ki5,Ki6; clrscr(); i=31; j=13; k=13; t=4000; f1=fopen("a:llum3","w"); /*---------------------------------------------------------- ---------- Temperatures dels termopars --i definici¢ de la-- ------- conductivitat de A ------------------- ----------------------------------------------------------*/ T1= 398.998444; T2= 397.004456; T3= 368.944702; T4= 362.985657; conA=30; /* --------------------------------------------------------- ------ GUARDEM MEMORIA PER LES TEMPERATURES ------------ ------------------------------------------------------- */ TV=(float***)malloc((i+2)*sizeof(float**)); if (TV==NULL) { puts("error memoria 1"); exit(1); } for(m=0;m<=(i+2);m++) { TV[m]=(float**)malloc((j+2)*sizeof(float*)); if (TV[m]==NULL) { puts("error memoria2");
Projecte final de carrera
exit(1); } } for(m=0;m<=(i+2);m++) { for(n=0;n<=(j+2);n++) { TV[m][n]=(float*)calloc((k+2),sizeof(float)); if (TV[m][n]==NULL) { puts("error memoria 3"); exit(1); } } } /* -------------------------------------------------- -----------------finalitza emmagatzament------------- ----------------------------------------------------- */ /* -------------------------------------------------- -----------------omplo vectors----------------------- ----------------------------------------------------- */ /* distancies en metres, angles en radians */ /*-------------omplo amplades (j)-------------------- */ AMP[1]=0.00357; AMP[2]=0.00357; AMP[3]=0.00357; AMP[4]=0.00357; AMP[5]=0.00357; AMP[6]=0.00357; AMP[7]=0.00357; AMP[8]=0.00357; AMP[9]=0.00357; AMP[10]=0.00357; AMP[11]=0.00357; AMP[12]=0.00357; AMP[13]=0.00357; AMP[14]=0.00357; /*--------------omplo angles (k)--------------------- */ cangr=3.1415926/180; ANG[1]=2*cangr; ANG[2]=7*cangr; ANG[3]=9*cangr; ANG[4]=9*cangr; ANG[5]=9*cangr; ANG[6]=18*cangr; ANG[7]=18*cangr;
Projecte final de carrera
ANG[8]=18*cangr; ANG[9]=18*cangr; ANG[10]=18*cangr; ANG[11]=18*cangr; ANG[12]=18*cangr; ANG[13]=18*cangr; /* ----------omplo altures (i) ---------------------*/ ALT[0]= 0.001; ALT[1]= 0.001; ALT[2]= 0.001; ALT[3]= 0.001; ALT[4]= 0.001; ALT[5]= 0.001; ALT[6]= 0.001; ALT[7]= 0.001; ALT[8]= 0.001; ALT[9]= 0.001; ALT[10]= 0.001; ALT[11]= 0.001; ALT[12]= 0.001; ALT[13]= 0.001; ALT[14]= 0.001; ALT[15]= 0.001; ALT[16]= 0.001; ALT[17]= 0.001; ALT[18]= 0.001; ALT[19]= 0.001; ALT[20]= 0.001; ALT[21]= 0.001; ALT[22]= 0.001; ALT[23]= 0.001; ALT[24]= 0.001; ALT[25]= 0.001; ALT[26]= 0.001; ALT[27]= 0.001; ALT[28]= 0.001; ALT[29]= 0.001; ALT[30]= 0.001; ALT[31]= 0.001; ALT[32]= 0.001; /*--------------------------------------------------------- ---estimacio de les variables CONDB, CONDS, Tsup, Tinf----- ---------------------------------------------------------*/ s=ALT[29]+ALT[30]+ALT[31]; d=ALT[21]+ALT[22]+ALT[23]+ALT[24]+ALT[25]+ALT[26]+ALT[27]; CONDB=conA*((T1-T2)/(T3-T4)); CONDS=conA*(T1-T2)*ALT[16]/((T1-T3+((T4-T3)*s)/d-((T1-T2)*(d+s))/d)*d); Tsup=T1+((T1-T2)*s)/d; Tinf=T4-((T3-T4)*s)/d; /*-----------Omplo temperatures-perifŠriques-----------
Projecte final de carrera
-------------i inicialitzo temperatures internes-----*/ for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[32][n][o]=Tsup; TV[0][n][o]=Tinf; } } acum2=0; for(b=1;b<=31;b++) { acum2=acum2+ALT[b]; } acum2=acum2+(ALT[0]+ALT[32])/2; for(m=1;m<=31;m++) { acum1=ALT[0]/2; for(b=1;b<=m-1;b++) { acum1=acum1+ALT[b]; } acum1=acum1+ALT[b]/2; for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[m][n][o]=Tinf+(Tsup-Tinf)*(acum1/acum2); } } } /*------------------comencen les iteracions---------------*/ for(t=1;t<=60000;t++) { printf("%f ",t); for(m=1;m<=31;m++) { for(n=13;n>=1;n=n-1) { for(o=1;o<=13;o++) { if(o!=1 && o!=13 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*AL
Projecte final de carrera
T[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1,CONDB,CONDS)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1,CONDB,CONDS)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n-1][o]+Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki2+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } if(o==1 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1,CONDB,CONDS)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=0; Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n-1][o]+Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki2+Ki3+Ki5+Ki6);
Projecte final de carrera
} if(o==13 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=0; Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1,CONDB,CONDS)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n-1][o]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } if(n==1 && o!=1 && o!=13) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1,CONDB,CONDS)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1,CONDB,CONDS)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-
Projecte final de carrera
1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); TV[m][n][o]=(Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki2+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } if(n==1 && o==1) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1,CONDB,CONDS)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=0; Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); TV[m][n][o]=(Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki2+Ki3+Ki5+Ki6); } if(n==1 && o==13) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=0; Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1,CONDB,CONDS)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n]));
Projecte final de carrera
Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); TV[m][n][o]=(Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } } } } /* --------------- modificacions de CONDB, CONDS Tsup, Tinf -----------------------------------*/ if(t>1400 && t<=30000) { if(floor(t/100)==t/100) { if(TV[28][1][1]>T1 && TV[20][1][1]<T2) { Tsup=Tsup-0.02; CONDS=CONDS*(1-0.0005); } if(TV[28][1][1]<T1 && TV[20][1][1]>T2) { Tsup=Tsup+0.02; CONDS=CONDS*(1+0.0005); } if(TV[28][1][1]>T1 && TV[20][1][1]>T2) { Tsup=Tsup-0.02; CONDS=CONDS*(1+0.0005); } if(TV[28][1][1]<T1 && TV[20][1][1]<T2) { Tsup=Tsup+0.02; CONDS=CONDS*(1-0.0005); } if(TV[12][1][1]>T3 && TV[4][1][1]<T4) { CONDB=CONDB*(1+0.0005); Tinf=Tinf+0.02; } if(TV[12][1][1]<T3 && TV[4][1][1]>T4) { CONDB=CONDB*(1-0.0005); Tinf=Tinf-0.02; } if(TV[12][1][1]>T3 && TV[4][1][1]>T4)
Projecte final de carrera
{ CONDB=CONDB*(1+0.0005); Tinf=Tinf-0.02; } if(TV[12][1][1]<T3 && TV[4][1][1]<T4) { CONDB=CONDB*(1-0.0005); Tinf=Tinf+0.02; } fprintf(f1," %f %f %f %f \n",CONDB,CONDS,Tinf,Tsup); } } if(t>30000) { if(floor(t/200)==t/200) { if(TV[28][1][1]>T1 && TV[20][1][1]<T2) { Tsup=Tsup-0.0005; CONDS=CONDS*(1-0.0001); } if(TV[28][1][1]<T1 && TV[20][1][1]>T2) { Tsup=Tsup+0.0005; CONDS=CONDS*(1+0.0001); } if(TV[28][1][1]>T1 && TV[20][1][1]>T2) { Tsup=Tsup-0.0005; CONDS=CONDS*(1+0.0001); } if(TV[28][1][1]<T1 && TV[20][1][1]<T2) { Tsup=Tsup+0.0005; CONDS=CONDS*(1-0.0001); } if(TV[12][1][1]>T3 && TV[4][1][1]<T4) { CONDB=CONDB*(1+0.0001); Tinf=Tinf+0.0005; } if(TV[12][1][1]<T3 && TV[4][1][1]>T4) { CONDB=CONDB*(1-0.0001); Tinf=Tinf-0.0005; } if(TV[12][1][1]>T3 && TV[4][1][1]>T4) { CONDB=CONDB*(1+0.0001); Tinf=Tinf-0.0005; } if(TV[12][1][1]<T3 && TV[4][1][1]<T4) { CONDB=CONDB*(1-0.0001);
Projecte final de carrera
Tinf=Tinf+0.0005; } fprintf(f1," %f %f %f %f \n",CONDB,CONDS,Tinf,Tsup); } } /* -----------reinicialitzo altre vegada les T de dalt i de baix */ for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[32][n][o]=Tsup; TV[0][n][o]=Tinf; } } printf("conductivitat de B, Tinf: %f %f\n",CONDB,Tinf); } /*--------------------------------------------------------- --------------------comprovacions-------------------------- ---------------------------------------------------------*/ fclose(f1); /*--------------------------------------------------------*/ free(TV); } float conduct(int i,int j,int k,float CONDB,float CONDS) { float condaux,CONDA,CONDF,CONDP;
Projecte final de carrera
/*-------------- variables---------------------------------- CONDA = conductivitat pe‡a superior CONDB = conductivitat pe‡a inferior CONDS = conductivitat interf¡cie CONDF = conductivitat del forat CONDP = conductivitat de la pols ----------------------------------------------------------*/ CONDA=30; CONDF=0.3; CONDP=0.1; /*--------------------------------------------------------- -----aquesta subrutina assigna un valor de la conductivitat -----depenen de la situaci¢ del node----------------------- ---------------------------------------------------------*/ if(j<=7) { if(i>16) { condaux=CONDA; } if(i<16) { condaux=CONDB; } } if (i==4 || i==12 || i==20 || i==28) { if (k==1) { condaux=CONDF; } } if (i==16) { condaux=CONDS; } if(j>7) { condaux=CONDP; } return condaux; } float sumamp(int j,double AMP[]) { int s; float sum; /*------------ Aquesta subrutina em dona la distancia fins----- al radi exterior d'un node a partir de l'eix-----------------------*/ sum=0; for(s=1;s<=j;s++) { sum=sum+AMP[s];
Projecte final de carrera
} return sum; }
Finalment, es presenta com exemple numèric i gràfic la convergència de les quatre
variables cap a un valor que conferirà a quatre punts determinats del model els valors
requerits a priori. Les quatre variables que són corregides per assolir els quatre valors
són CONB,CONDS, Tsup i Tinf. Per provar la fiabilitat del programa s’ha procedit
primerament a fer una simulació amb SIMUL70, llavors s’han extret les temperatures que
es donaven en els llocs on anirien situats els termopars i s’han introduït aquests valors de
les quatre temperatures a LUMIS2, i els valors que ens haurien de retornar aquest
programa serien : CONDB=39,TSUP=400,TINF=360,CONDS=0,3.
Projecte final de carrera
RESULTATS GRÀFICS
C OND B
9 ,6
9 ,8
1 0
1 0 ,2
1 0 ,4
1 0 ,6
1 0 ,8
1 5 1 1 0 1 15 1 2 0 1 2 51 3 0 1 3 51 40 1
C OND S
0 ,2 7
0 ,2 8
0 ,2 9
0 ,3
0 ,3 1
0 ,3 2
0 ,3 3
0 ,3 4
0 ,3 5
1 51 1 0 1 1 5 1 20 1 2 5 1 30 1 35 1 4 01
iteració
iteració
Projecte final de carrera
TINF
35 9 ,4
35 9 ,6
35 9 ,8
36 0
36 0 ,2
36 0 ,4
36 0 ,6
1 5 1 10 1 1 5 1 2 0 1 2 51 3 01 35 1 40 1
TS UP
399 ,75
399 ,8
399 ,85
399 ,9
399 ,95
4 00
400 ,05
400 ,1
400 ,15
1 51 101 1 51 201 251 301 351 4 01
iteració
iteració
Projecte final de carrera
VALORS NUMÈRICS CONDB CONDS TINF TSUP 10.043480 0.346488 360.411780 399.873010 10.048502 0.346315 360.391780 399.893010 10.053526 0.346142 360.371780 399.913010 10.058553 0.345969 360.351780 399.933010 10.063582 0.345796 360.331780 399.953010 10.068614 0.345623 360.311780 399.973010 10.073648 0.345450 360.291780 399.993010 10.078685 0.345277 360.271780 400.013010 10.083724 0.345105 360.251780 400.033010 10.088766 0.344932 360.231780 400.053010 10.093810 0.344760 360.211780 400.073010 10.098857 0.344587 360.191780 400.093010 10.103907 0.344415 360.171780 400.113010 10.108958 0.344243 360.151780 400.093010 10.114013 0.344071 360.131780 400.073010 10.119070 0.343899 360.111780 400.093010 10.124129 0.343727 360.091780 400.073010 10.129191 0.343555 360.071780 400.093010 10.134256 0.343383 360.051780 400.073010 10.139323 0.343211 360.031780 400.093010 10.144393 0.343040 360.011780 400.073010 10.149466 0.342868 359.991780 400.093010 10.154540 0.342697 359.971780 400.073010 10.159617 0.342526 359.951780 400.093010 10.164698 0.342354 359.931780 400.113010 10.169780 0.342183 359.911780 400.093010 10.174865 0.342012 359.891780 400.073010 10.179953 0.341841 359.871780 400.093010 10.185042 0.341670 359.851780 400.073010 10.190135 0.341499 359.831780 400.093010 10.195230 0.341329 359.811780 400.113010 10.200328 0.341158 359.791780 400.093010 10.205428 0.340987 359.771780 400.073010 10.210531 0.340817 359.751780 400.093010 10.215636 0.340646 359.771780 400.113010 10.220744 0.340476 359.791780 400.093010 10.225855 0.340306 359.811780 400.073010 10.230968 0.340136 359.791780 400.093010 10.236083 0.339966 359.771780 400.113010 10.241201 0.339796 359.791780 400.093010 10.246322 0.339626 359.811780 400.073010 10.251445 0.339456 359.791780 400.093010 10.256571 0.339286 359.811780 400.113010 10.261699 0.339116 359.791780 400.093010 10.266829 0.338947 359.811780 400.073010 10.271963 0.338777 359.791780 400.093010 10.277099 0.338608 359.811780 400.113010 10.282237 0.338439 359.831780 400.093010 10.287378 0.338270 359.811780 400.073010 10.292522 0.338100 359.791780 400.093010 10.297668 0.337931 359.811780 400.073010 10.302817 0.337762 359.831780 400.093010
Valors precalculats (flux perfectament axial)
Projecte final de carrera
10.307969 0.337593 359.811780 400.113010 10.313123 0.337425 359.831780 400.093010 10.318279 0.337256 359.851780 400.073010 10.323439 0.337087 359.831780 400.093010 10.328600 0.336919 359.811780 400.073010 10.333764 0.336750 359.831780 400.093010 10.338931 0.336582 359.851780 400.073010 10.344101 0.336414 359.831780 400.093010 10.349273 0.336245 359.851780 400.073010 10.354447 0.336077 359.831780 400.093010 10.359625 0.335909 359.851780 400.073010 10.364804 0.335741 359.871780 400.093010 10.369987 0.335573 359.851780 400.073010 10.375172 0.335406 359.831780 400.093010 10.380360 0.335238 359.851780 400.073010 10.385550 0.335070 359.871780 400.093010 10.390742 0.334903 359.851780 400.073010 10.395938 0.334735 359.871780 400.093010 10.401135 0.334568 359.851780 400.073010 10.406336 0.334401 359.871780 400.093010 10.411539 0.334234 359.891780 400.073010 10.416745 0.334066 359.871780 400.093010 10.421953 0.333899 359.851780 400.073010 10.427164 0.333732 359.871780 400.093010 10.432378 0.333566 359.891780 400.073010 10.437594 0.333399 359.871780 400.093010 10.442813 0.333232 359.891780 400.073010 10.448034 0.333065 359.871780 400.093010 10.453259 0.332899 359.891780 400.073010 10.458486 0.332732 359.871780 400.093010 10.463715 0.332566 359.891780 400.073010 10.468946 0.332400 359.911780 400.093010 10.474181 0.332234 359.891780 400.073010 10.479418 0.332067 359.871780 400.093010 10.484657 0.331901 359.891780 400.073010 10.489900 0.331736 359.911780 400.093010 10.495145 0.331570 359.891780 400.073010 10.500392 0.331404 359.911780 400.093010 10.505642 0.331238 359.891780 400.073010 10.510895 0.331073 359.911780 400.093010 10.516150 0.330907 359.931780 400.073010 10.521408 0.330742 359.911780 400.093010 10.526669 0.330576 359.891780 400.073010 10.531932 0.330576 359.911780 400.073010 10.537198 0.330411 359.931780 400.093010 10.542467 0.330246 359.911780 400.073010 10.547738 0.330081 359.931780 400.093010 10.553012 0.329916 359.911780 400.073010 10.558289 0.329751 359.931780 400.053010 10.563568 0.329586 359.951780 400.073010 10.568850 0.329421 359.931780 400.093010 10.574134 0.329256 359.911780 400.073010 10.579421 0.329092 359.931780 400.093010 10.584711 0.328927 359.951780 400.073010 10.590003 0.328763 359.931780 400.053010
Projecte final de carrera
10.595298 0.328598 359.951780 400.073010 10.600595 0.328434 359.931780 400.093010 10.605896 0.328270 359.951780 400.073010 10.611199 0.328106 359.971780 400.053010 10.616505 0.327941 359.951780 400.073010 10.621813 0.327778 359.931780 400.093010 10.627124 0.327614 359.951780 400.073010 10.632438 0.327450 359.971780 400.053010 10.637753 0.327286 359.951780 400.073010 10.643072 0.327122 359.971780 400.093010 10.648394 0.326959 359.951780 400.073010 10.653718 0.326795 359.971780 400.053010 10.659045 0.326632 359.991780 400.073010 10.664374 0.326469 359.971780 400.093010 10.669706 0.326305 359.951780 400.073010 10.675041 0.326142 359.971780 400.053010 10.680379 0.325979 359.991780 400.073010 10.685719 0.325816 359.971780 400.093010 10.691062 0.325653 359.991780 400.073010 10.696407 0.325491 359.971780 400.053010 10.701756 0.325328 359.991780 400.073010 10.707107 0.325165 360.011780 400.093010 10.712461 0.325003 359.991780 400.073010 10.717816 0.324840 359.971780 400.053010 10.723175 0.324678 359.991780 400.073010 10.728537 0.324515 360.011780 400.093010 10.723172 0.324353 359.991780 400.073010 10.728534 0.324191 360.011780 400.053010 10.723169 0.324029 359.991780 400.073010 10.717808 0.323867 360.011780 400.093010 10.712449 0.323705 359.991780 400.073010 10.707093 0.323543 360.011780 400.053010 10.701739 0.323381 359.991780 400.073010 10.696388 0.323220 360.011780 400.053010 10.691040 0.323058 359.991780 400.073010 10.685695 0.322896 360.011780 400.053010 10.680352 0.322735 359.991780 400.073010 10.675012 0.322574 360.011780 400.053010 10.669674 0.322412 359.991780 400.073010 10.664339 0.322251 360.011780 400.053010 10.659007 0.322090 359.991780 400.073010 10.653678 0.321929 360.011780 400.053010 10.648351 0.321768 359.991780 400.073010 10.643026 0.321607 360.011780 400.053010 10.637705 0.321446 359.991780 400.073010 10.632386 0.321286 360.011780 400.053010 10.637702 0.321125 359.991780 400.073010 10.632383 0.320964 360.011780 400.053010 10.627068 0.320804 359.991780 400.073010 10.621754 0.320643 360.011780 400.053010 10.616443 0.320483 359.991780 400.073010 10.611135 0.320323 360.011780 400.053010 10.605829 0.320163 359.991780 400.073010 10.600526 0.320003 360.011780 400.053010 10.595225 0.319843 359.991780 400.033010
Projecte final de carrera
10.589928 0.319683 360.011780 400.053010 10.584633 0.319523 359.991780 400.073010 10.579341 0.319363 360.011780 400.053010 10.574051 0.319203 359.991780 400.033010 10.568764 0.319044 360.011780 400.053010 10.563479 0.318884 359.991780 400.073010 10.558198 0.318725 360.011780 400.053010 10.552918 0.318565 359.991780 400.033010 10.558195 0.318406 360.011780 400.053010 10.552916 0.318247 359.991780 400.073010 10.547639 0.318088 360.011780 400.053010 10.542365 0.317929 359.991780 400.033010 10.537094 0.317770 360.011780 400.053010 10.531826 0.317611 359.991780 400.073010 10.526560 0.317452 360.011780 400.053010 10.521297 0.317293 359.991780 400.033010 10.516036 0.317135 360.011780 400.053010 10.510778 0.316976 359.991780 400.073010 10.505523 0.316818 360.011780 400.053010 10.500270 0.316659 359.991780 400.033010 10.495020 0.316501 360.011780 400.053010 10.489773 0.316343 359.991780 400.033010 10.484528 0.316185 360.011780 400.053010 10.479285 0.316026 359.991780 400.033010 10.474046 0.315868 360.011780 400.053010 10.468809 0.315711 359.991780 400.033010 10.463574 0.315553 360.011780 400.053010 10.458343 0.315395 359.991780 400.033010 10.463572 0.315237 360.011780 400.053010 10.458340 0.315080 359.991780 400.033010 10.453111 0.314922 360.011780 400.053010 10.447885 0.314765 359.991780 400.033010 10.442660 0.314607 360.011780 400.053010 10.437439 0.314450 359.991780 400.033010 10.432220 0.314293 360.011780 400.053010 10.427005 0.314136 359.991780 400.033010 10.421791 0.313978 360.011780 400.053010 10.416580 0.313821 359.991780 400.033010 10.411372 0.313665 360.011780 400.053010 10.406166 0.313508 359.991780 400.033010 10.400963 0.313351 360.011780 400.053010 10.406163 0.313194 359.991780 400.033010 10.400960 0.313038 360.011780 400.013010 10.395760 0.312881 359.991780 400.033010 10.390562 0.312725 360.011780 400.053010 10.385366 0.312568 359.991780 400.033010 10.380174 0.312412 360.011780 400.013010 10.374984 0.312256 359.991780 400.033010 10.369797 0.312100 360.011780 400.053010 10.364612 0.311944 359.991780 400.033010 10.359429 0.311788 360.011780 400.013010 10.354250 0.311632 359.991780 400.033010 10.349072 0.311476 360.011780 400.053010 10.343898 0.311320 359.991780 400.033010 10.338726 0.311165 360.011780 400.013010
Projecte final de carrera
10.333557 0.311009 359.991780 400.033010 10.328390 0.310854 360.011780 400.053010 10.323226 0.310698 359.991780 400.033010 10.318065 0.310543 360.011780 400.013010 10.323224 0.310387 359.991780 400.033010 10.318063 0.310232 360.011780 400.053010 10.312903 0.310077 359.991780 400.033010 10.307747 0.309922 360.011780 400.013010 10.302593 0.309767 359.991780 400.033010 10.297441 0.309612 360.011780 400.013010 10.292293 0.309458 359.991780 400.033010 10.287147 0.309303 360.011780 400.013010 10.282003 0.309148 359.991780 400.033010 10.276862 0.308994 360.011780 400.013010 10.271724 0.308839 359.991780 400.033010 10.266588 0.308685 360.011780 400.013010 10.261455 0.308530 359.991780 400.033010 10.256324 0.308376 360.011780 400.013010 10.251196 0.308222 359.991780 400.033010 10.246070 0.308068 360.011780 400.013010 10.240947 0.307914 359.991780 400.033010 10.235826 0.307760 360.011780 400.013010 10.230708 0.307606 359.991780 400.033010 10.225593 0.307452 360.011780 400.013010 10.230705 0.307298 359.991780 400.033010 10.225590 0.307145 360.011780 400.013010 10.220477 0.306991 359.991780 400.033010 10.215367 0.306838 360.011780 400.013010 10.210259 0.306684 359.991780 400.033010 10.205154 0.306531 360.011780 400.013010 10.200052 0.306378 359.991780 399.993010 10.194952 0.306224 360.011780 400.013010 10.189855 0.306071 359.991780 400.033010 10.184760 0.305918 360.011780 400.013010 10.179667 0.305765 359.991780 399.993010 10.174578 0.305612 360.011780 400.013010 10.169491 0.305460 359.991780 400.033010 10.164406 0.305307 360.011780 400.013010 10.159324 0.305154 359.991780 399.993010 10.154244 0.305002 360.011780 400.013010 10.149167 0.304849 359.991780 400.033010 10.144093 0.304697 360.011780 400.013010 10.149164 0.304544 359.991780 399.993010 10.144090 0.304392 360.011780 400.013010 10.139018 0.304240 359.991780 400.033010 10.133948 0.304088 360.011780 400.013010 10.128881 0.303936 359.991780 399.993010 10.123817 0.303784 360.011780 400.013010 10.118755 0.303632 359.991780 400.033010 10.113696 0.303480 360.011780 400.013010 10.108640 0.303328 359.991780 399.993010 10.103585 0.303177 360.011780 400.013010 10.098534 0.303025 359.991780 399.993010 10.093484 0.302874 360.011780 400.013010 10.088437 0.302722 359.991780 400.033010
Projecte final de carrera
10.083393 0.302571 360.011780 400.013010 10.078351 0.302419 359.991780 399.993010 10.083390 0.302268 360.011780 400.013010 10.078348 0.302117 359.991780 399.993010 10.073309 0.301966 360.011780 400.013010 10.068273 0.301815 359.991780 399.993010 10.063238 0.301664 360.011780 400.013010 10.058207 0.301513 359.991780 399.993010 10.053178 0.301363 360.011780 400.013010 10.048151 0.301212 359.991780 399.993010 10.043127 0.301061 360.011780 400.013010 10.038106 0.300911 359.991780 399.993010 10.033087 0.300760 360.011780 400.013010 10.028070 0.300610 359.991780 399.993010 10.027067 0.300580 359.992280 399.993510 10.026065 0.300550 359.992780 399.994010 10.025063 0.300520 359.993280 399.994510 10.024060 0.300490 359.993780 399.995010 10.023058 0.300460 359.994280 399.995510 10.022056 0.300430 359.994780 399.996010 10.021053 0.300400 359.995280 399.996510 10.020051 0.300370 359.995780 399.997010 10.019049 0.300340 359.996280 399.997510 10.018046 0.300309 359.996780 399.998010 10.017045 0.300279 359.997280 399.998510 10.016044 0.300249 359.997780 399.999010 10.015042 0.300219 359.998280 399.999510 10.014041 0.300189 359.998780 400.000010 10.013040 0.300159 359.999280 400.000510 10.012038 0.300129 359.999780 400.001010 10.011037 0.300099 360.000280 400.000510 10.010036 0.300069 360.000780 400.000010 10.009034 0.300039 360.001280 399.999510 10.008033 0.300009 360.001780 399.999010 10.007032 0.299979 360.001280 399.998510 10.006032 0.299949 360.000780 399.998010 10.005032 0.299919 360.000280 399.997510 10.004031 0.299919 359.999780 399.997510 10.003031 0.299919 360.000280 399.997510 10.002030 0.299919 360.000780 399.997510 10.001030 0.299949 360.001280 399.998010 10.000030 0.299979 360.000780 399.998510 10.001030 0.300009 360.000280 399.999010 10.002030 0.300039 359.999780 399.999510 10.003031 0.300069 359.999280 400.000010 10.004031 0.300099 359.998780 399.999510 10.005032 0.300129 359.998280 399.999010 10.006032 0.300159 359.997780 399.998510 10.006032 0.300189 359.997780 399.998010 10.006032 0.300219 359.997780 399.997510 10.006032 0.300249 359.997780 399.998010 10.006032 0.300279 359.997780 399.998510 10.006032 0.300309 359.997780 399.999010 10.006032 0.300339 359.997780 399.999510 10.006032 0.300370 359.997780 400.000010
Projecte final de carrera
10.006032 0.300339 359.997780 399.999510 10.006032 0.300309 359.997780 399.999010 10.006032 0.300279 359.997780 399.998510 10.006032 0.300249 359.997780 399.998010 10.006032 0.300219 359.997780 399.998510 10.006032 0.300189 359.997780 399.999010 10.006032 0.300159 359.997780 399.999510 10.006032 0.300129 359.997780 400.000010 10.007032 0.300099 359.998280 399.999510 10.008033 0.300069 359.998780 399.999010 10.007032 0.300039 359.999280 399.998510 10.006032 0.300009 359.999780 399.998010 10.005032 0.300009 360.000280 399.998010 10.004031 0.300009 360.000780 399.998010 10.003031 0.300009 360.000280 399.998010 10.002030 0.300009 359.999780 399.998010 10.001030 0.300009 359.999280 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010
CONVERGÈNCIA
Projecte final de carrera
10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010
Projecte final de carrera
ANNEX 2. ELS QUATRE MODELS. En el present annex es presenten els llistats de programes del quatre models numèrcis emprats
per a la realitzazió d’aquest projecte. Conjuntament també s’inclou per a cada programa quines
son les conexions internodals per a facilitar la comprensió dels programes. La base de la
discretització ha estat la mateixa per als quatre models, només varien les condicions de contorn, i
per tant les conexions dels nodes amb la perifèria. Les variables del programa són les
conductivitats de les peces, conductivitat de la pols i les temperatures als extrems de les peces. La
implementació dels programes s’ha fet pensant en modificacions posteriors de la geometria inicial.
Projecte final de carrera
Conjunt de programes SIMUL501 i SIMUL40
Simulen un nucli de conductivímetre amb dues peces, ambdues estan
forçades en els seus extrems a mantenir una determinada temperatura
constant, la peça superior manté els nodes del nivell superiors a Tsup i
els nodes extrems inferiors de la peça inferior a Tinf. Les peces estan
envoltades de pols i confinada per una paret, el Guard Furnace. Per la
part superior i inferior, la pols està confinada per una superfície
totalment aïllada. Aquest és el model de conductivímetre que més
s'acosta al conductivímetre estudiat al laboratori.
Les regions que configuren els diversos tipus de nodes segons les seves conexions han estat
desglosades per a poder implementar el programa numèric. A continuació es presenten les
resticcions corresponents a cada zona, entenent-se restricció, la direcció en que un node no
presenta cap conexió.
Projecte final de carrera
ZONES RESTRICCIONS o≠1 o≠13 n≠1 → o≠1 o≠13 n≠1 m=1 n≤13 n≥8 → Ki5=0 o≠1 o≠13 n≠1 m=31 n≤13 n≥8 → Ki6=0 o=1 n≠1 → Ki4=0 o=1 n≠1 m=1 n≤13 n≥8 → Ki4=0 Ki5=0 o=1 n≠1 m=31 n≤13 n≥8 → Ki4=0 Ki6=0 o=13 n≠1 → Ki2=0 o=13 n≠1 m=1 n≤13 n≥8 → Ki2=0 Ki5=0 o=13 n≠1 m=31 n≤13 n≥8 → Ki2=0 Ki6=0 n=1 o≠1 o≠13 → Ki1=0 n=1 o≠1 o≠13 m=1 n≤13 n≥8 → Ki1=0 Ki5=0 n=1 o≠1 o≠13 m=31 n≤13 n≥8 → Ki1=0 Ki6=0 n=1 o=1 → Ki1=0 ki4=0 n=1 o=1 m=1 n≤13 n≥8 → Ki1=0 ki4=0 Ki5=0 n=1 o=1 m=31 n≤13 n≥8 → Ki1=0 ki4=0 Ki6=0 n=1 o=13 → Ki1=0 ki2=0 n=1 o=13 m=1 n≤13 n≥8 → Ki1=0 ki2=0 Ki5=0 n=1 o=13 m=31 n≤13 n≥8 → Ki1=0 ki2=0 Ki6=0 On:
Zona 6
Zona 4 Zona 1
Zona 5
Zona 3 Zona 2
Ki1
Ki6 Ki3
Ki5
Ki4
Ki2
Projecte final de carrera
Llistat de SIMUL50 :
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> #include <graphics.h> #include <conio.h> FILE * f1; void main (void) { float conduct(int i,int j,int k); float sumamp(int j,double *AMP); int m,n,o,i,j,k,b,t; float ***TV,difer,Tant; double cangr,ALT[33],AMP[15],ANG[14],Tsup,Tinf,acum1,acum2; double Ki1,Ki2,Ki3,Ki4,Ki5,Ki6; clrscr(); i=31; j=13; k=13; /*---------------------------------------------------------- ---------- Tsup = temperatura superior --------------------- ----------------------------------------------------------*/ Tsup=400; Tinf=360; /* --------------------------------------------------------- ------ GUARDEM MEMORIA PER LES TEMPERATURES ------------ ------------------------------------------------------- */ TV=(float***)malloc((i+2)*sizeof(float**)); if (TV==NULL) { puts("error memoria 1"); exit(1); } for(m=0;m<=(i+2);m++) { TV[m]=(float**)malloc((j+2)*sizeof(float*)); if (TV[m]==NULL) { puts("error memoria2"); exit(1); } } for(m=0;m<=(i+2);m++) { for(n=0;n<=(j+2);n++) { TV[m][n]=(float*)calloc((k+2),sizeof(float)); if (TV[m][n]==NULL) { puts("error memoria 3");
Projecte final de carrera
exit(1); } } } /* -------------------------------------------------- -----------------finalitza emmagatzament------------- ----------------------------------------------------- */ /* -------------------------------------------------- -----------------omplo vectors----------------------- ----------------------------------------------------- */ /* distancies en metres, angles en radians */ /*-------------omplo amplades (j)-------------------- */ AMP[1]=0.00357; AMP[2]=0.00357; AMP[3]=0.00357; AMP[4]=0.00357; AMP[5]=0.00357; AMP[6]=0.00357; AMP[7]=0.00357; AMP[8]=0.00357; AMP[9]=0.00357; AMP[10]=0.00357; AMP[11]=0.00357; AMP[12]=0.00357; AMP[13]=0.00357; AMP[14]=0.00357; /*--------------omplo angles (k)--------------------- */ cangr=3.1415926/180; ANG[1]=2*cangr; ANG[2]=7*cangr; ANG[3]=9*cangr; ANG[4]=9*cangr; ANG[5]=9*cangr; ANG[6]=18*cangr; ANG[7]=18*cangr; ANG[8]=18*cangr; ANG[9]=18*cangr; ANG[10]=18*cangr; ANG[11]=18*cangr; ANG[12]=18*cangr; ANG[13]=18*cangr; /* ----------omplo altures (i) ---------------------*/ ALT[0]= 0.0001; ALT[1]= 0.0017073; ALT[2]= 0.0017073; ALT[3]= 0.0017073;
Projecte final de carrera
ALT[4]= 0.0017073; ALT[5]= 0.0017073; ALT[6]= 0.0025609; ALT[7]= 0.0042682; ALT[8]= 0.0042682; ALT[9]= 0.0042682; ALT[10]= 0.0025609; ALT[11]= 0.0017073; ALT[12]= 0.0017073; ALT[13]= 0.0017073; ALT[14]= 0.0017073; ALT[15]= 0.0017073; ALT[16]= 0.0001; ALT[17]= 0.0017073; ALT[18]= 0.0017073; ALT[19]= 0.0017073; ALT[20]= 0.0017073; ALT[21]= 0.0017073; ALT[22]= 0.0025609; ALT[23]= 0.0042682; ALT[24]= 0.0042682; ALT[25]= 0.0042682; ALT[26]= 0.0025609; ALT[27]= 0.0017073; ALT[28]= 0.0017073; ALT[29]= 0.0017073; ALT[30]= 0.0017073; ALT[31]= 0.0017073; ALT[32]= 0.0001; /*-----------Omplo temperatures-perifŠriques----------- -------------i inicialitzo temperatures internes-----*/ for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[32][n][o]=Tsup; TV[0][n][o]=Tinf; } } acum2=0; for(b=1;b<=31;b++) { acum2=acum2+ALT[b]; } acum2=acum2+(ALT[0]+ALT[32])/2; for(m=1;m<=31;m++) { acum1=ALT[0]/2; for(b=1;b<=m-1;b++) { acum1=acum1+ALT[b]; }
Projecte final de carrera
acum1=acum1+ALT[b]/2; for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[m][n][o]=Tinf+(Tsup-Tinf)*(acum1/acum2); } } } /*------------------comencen les iteracions---------------*/ difer=1; t=0; while(difer != 0) { t=t+1; difer=0; printf("%d ",t); for(m=1;m<=31;m++) { for(n=13;n>=1;n=n-1) { for(o=1;o<=13;o++) { Tant=TV[m][n][o]; if(o!=1 && o!=13 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8)
Projecte final de carrera
{ Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n-1][o]+Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki2+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } if(o==1 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=0; Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n-1][o]+Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki2+Ki3+Ki5+Ki6); } if(o==13 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=0;
Projecte final de carrera
Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n-1][o]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } if(n==1 && o!=1 && o!=13) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) {
Projecte final de carrera
Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki2+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } if(n==1 && o==1) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=0; Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki2+Ki3+Ki5+Ki6); } if(n==1 && o==13) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=0; Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m]));
Projecte final de carrera
Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } if(fabs(TV[m][n][o]-Tant)>difer) { difer=fabs(TV[m][n][o]-Tant); } } } } printf("%f \n",difer); } /*--------------------------------------------------------- --------------------comprovacions-------------------------- ---------------------------------------------------------*/ f1=fopen("a:arx40","w"); for(o=1;o<=13;o++) { fprintf(f1,"angle %d\n",o); for(m=1;m<=31;m++) { fprintf(f1,"%f %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f \n",TV[m][14][o],TV[m][13][o],TV[m][12][o],TV[m][11][o],TV[m][10][o],TV[m][9][o],TV[m][8][o],TV[m][7][o],TV[m][6][o],TV[m][5][o],TV[m][4][o],TV[m][3][o],TV[m][2][o],TV[m][1][o]); }
Projecte final de carrera
} fclose(f1); /*--------------------------------------------------------*/ free(TV); } float conduct(int i,int j,int k) { float condaux,CONDA,CONDB,CONDS,CONDF,CONDP; /*-------------- variables---------------------------------- CONDA = conductivitat pe‡a superior CONDB = conductivitat pe‡a inferior CONDS = conductivitat interf¡cie CONDF = conductivitat del forat CONDP = conductivitat de la pols ----------------------------------------------------------*/ CONDA=10; CONDB=20; CONDS=0.3; CONDF=0.3; CONDP=0.1; /*--------------------------------------------------------- -----aquesta subrutina assigna un valor de la conductivitat -----depenen de la situaci¢ del node----------------------- ---------------------------------------------------------*/ if(j<=7) { if(i>16) { condaux=CONDA; } if(i<16) { condaux=CONDB; } } if (i==4 || i==12 || i==20 || i==28) { if (k==1) { condaux=CONDF; }
Projecte final de carrera
} if (i==16) { condaux=CONDS; } if(j>7) { condaux=CONDP; } return condaux; } float sumamp(int j,double AMP[]) { int s; float sum; /*------------ Aquesta subrutina em dona la distancia fins----- al radi exterior d'un node a partir de l'eix-----------------------*/ sum=0; for(s=1;s<=j;s++) { sum=sum+AMP[s]; } return sum; }
Projecte final de carrera
Conjunt de programes SIMUL 61 i SIMUL60
Simulen un nucli de conductivímetre amb dues peces, ambdues
estan forçades en els seus extrems a mantenir una determinada
temperatura constant, la peça superior manté els nodes del nivell
superiors a Tsup i els nodes extrems inferiors de la peça inferior a
Tinf. Les peces estan envoltades de pols i confinada per una paret
de conductivitat molt baixa. Per la part superior i inferior de la pols
(nivells i=32 i i=0) l'aillament és total..
Aquest model de conducticímetre no té Guard-Furnace, ja que es pretén simular un
conductivímetre tant sols aïllat del medi exterior amb un seguit de nodes amb una baixa
conductivitat.
El que es fa per simular un aïllament alt, es considera un seguit de nodes amb un gruix gran
(j=13), i es força al conjunt de nodes (j=14) a tenit una temperatura determinada. Les iteracions
van de j=13 fins j=1.
A continuació es presenten les resticcions corresponents a cada zona, entenent-se restricció, la
direcció en que un node no presenta cap conexió.
Projecte final de carrera
ZONES RESTRICCIONS o≠1 o≠13 n≠1 → o≠1 o≠13 n≠1 m=1 n≤13 n≥8 → Ki5=0 o≠1 o≠13 n≠1 m=31 n≤13 n≥8 → Ki6=0 o=1 n≠1 → Ki4=0 o=1 n≠1 m=1 n≤13 n≥8 → Ki4=0 Ki5=0 o=1 n≠1 m=31 n≤13 n≥8 → Ki4=0 Ki6=0 o=13 n≠1 → Ki2=0 o=13 n≠1 m=1 n≤13 n≥8 → Ki2=0 Ki5=0 o=13 n≠1 m=31 n≤13 n≥8 → Ki2=0 Ki6=0 n=1 o≠1 o≠13 → Ki1=0 n=1 o≠1 o≠13 m=1 n≤13 n≥8 → Ki1=0 Ki5=0 n=1 o≠1 o≠13 m=31 n≤13 n≥8 → Ki1=0 Ki6=0 n=1 o=1 → Ki1=0 ki4=0 n=1 o=1 m=1 n≤13 n≥8 → Ki1=0 ki4=0 Ki5=0 n=1 o=1 m=31 n≤13 n≥8 → Ki1=0 ki4=0 Ki6=0 n=1 o=13 → Ki1=0 ki2=0 n=1 o=13 m=1 n≤13 n≥8 → Ki1=0 ki2=0 Ki5=0 n=1 o=13 m=31 n≤13 n≥8 → Ki1=0 ki2=0 Ki6=0 On:
Zona 6
Zona 4 Zona 1
Zona 5
Zona 3 Zona 2
Ki1
Ki6 Ki3
Ki5
Ki4
Ki2
Projecte final de carrera
Llistat de SIMUL61 :
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> #include <graphics.h> #include <conio.h> FILE * f1; void main (void) { float conduct(int i,int j,int k); float sumamp(int j,double *AMP); int m,n,o,i,j,k,b,t; float ***TV,difer,Tant; double cangr,ALT[33],AMP[15],ANG[14],Tsup,Tinf,acum1,acum2; double Ki1,Ki2,Ki3,Ki4,Ki5,Ki6; clrscr(); i=31; j=13; k=13; /*---------------------------------------------------------- ---------- Tsup = temperatura superior --------------------- ----------------------------------------------------------*/ Tsup=400; Tinf=360; /* --------------------------------------------------------- ------ GUARDEM MEMORIA PER LES TEMPERATURES ------------ ------------------------------------------------------- */ TV=(float***)malloc((i+2)*sizeof(float**)); if (TV==NULL) { puts("error memoria 1"); exit(1); } for(m=0;m<=(i+2);m++) { TV[m]=(float**)malloc((j+2)*sizeof(float*)); if (TV[m]==NULL) { puts("error memoria2"); exit(1); } } for(m=0;m<=(i+2);m++) { for(n=0;n<=(j+2);n++) {
Projecte final de carrera
TV[m][n]=(float*)calloc((k+2),sizeof(float)); if (TV[m][n]==NULL) { puts("error memoria 3"); exit(1); } } } /* -------------------------------------------------- -----------------finalitza emmagatzament------------- ----------------------------------------------------- */ /* -------------------------------------------------- -----------------omplo vectors----------------------- ----------------------------------------------------- */ /* distancies en metres, angles en radians */ /*-------------omplo amplades (j)-------------------- */ AMP[1]=0.00357; AMP[2]=0.00357; AMP[3]=0.00357; AMP[4]=0.00357; AMP[5]=0.00357; AMP[6]=0.00357; AMP[7]=0.00357; AMP[8]=0.00357; AMP[9]=0.00357; AMP[10]=0.00357; AMP[11]=0.00357; AMP[12]=0.00357; AMP[13]=0.1; AMP[14]=0.00357; /*--------------omplo angles (k)--------------------- */ cangr=3.1415926/180; ANG[1]=2*cangr; ANG[2]=7*cangr; ANG[3]=9*cangr; ANG[4]=9*cangr; ANG[5]=9*cangr; ANG[6]=18*cangr; ANG[7]=18*cangr; ANG[8]=18*cangr; ANG[9]=18*cangr; ANG[10]=18*cangr; ANG[11]=18*cangr; ANG[12]=18*cangr; ANG[13]=18*cangr; /* ----------omplo altures (i) ---------------------*/
Projecte final de carrera
ALT[0]= 0.0001; ALT[1]= 0.0017073; ALT[2]= 0.0017073; ALT[3]= 0.0017073; ALT[4]= 0.0017073; ALT[5]= 0.0017073; ALT[6]= 0.0025609; ALT[7]= 0.0042682; ALT[8]= 0.0042682; ALT[9]= 0.0042682; ALT[10]= 0.0025609; ALT[11]= 0.0017073; ALT[12]= 0.0017073; ALT[13]= 0.0017073; ALT[14]= 0.0017073; ALT[15]= 0.0017073; ALT[16]= 0.0001; ALT[17]= 0.0017073; ALT[18]= 0.0017073; ALT[19]= 0.0017073; ALT[20]= 0.0017073; ALT[21]= 0.0017073; ALT[22]= 0.0025609; ALT[23]= 0.0042682; ALT[24]= 0.0042682; ALT[25]= 0.0042682; ALT[26]= 0.0025609; ALT[27]= 0.0017073; ALT[28]= 0.0017073; ALT[29]= 0.0017073; ALT[30]= 0.0017073; ALT[31]= 0.0017073; ALT[32]= 0.0001; /*-----------Omplo temperatures-perifŠriques----------- -------------i inicialitzo temperatures internes-----*/ for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[32][n][o]=Tsup; TV[0][n][o]=Tinf; } } acum2=0; for(b=1;b<=31;b++) { acum2=acum2+ALT[b]; } acum2=acum2+(ALT[0]+ALT[32])/2; for(m=1;m<=31;m++) { acum1=ALT[0]/2;
Projecte final de carrera
for(b=1;b<=m-1;b++) { acum1=acum1+ALT[b]; } acum1=acum1+ALT[b]/2; for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[m][n][o]=Tinf+(Tsup-Tinf)*(acum1/acum2); } } } for(m=1;m<=32;m++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[m][14][o]=100; } } /*------------------comencen les iteracions---------------*/ difer=1; t=0; while(difer != 0) { t=t+1; difer=0; printf("%d ",t); for(m=1;m<=31;m++) { for(n=13;n>=1;n=n-1) { for(o=1;o<=13;o++) { Tant=TV[m][n][o]; if(o!=1 && o!=13 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-
Projecte final de carrera
1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n-1][o]+Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki2+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } if(o==1 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=0; Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n-1][o]+Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki2+Ki3+Ki5+Ki6);
Projecte final de carrera
} if(o==13 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=0; Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n-1][o]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } if(n==1 && o!=1 && o!=13) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n]));
Projecte final de carrera
Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki2+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } if(n==1 && o==1) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=0; Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki2+Ki3+Ki5+Ki6); }
Projecte final de carrera
if(n==1 && o==13) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=0; Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } if(fabs(TV[m][n][o]-Tant)>difer) { difer=fabs(TV[m][n][o]-Tant); } } } } printf("%f \n",difer); } /*--------------------------------------------------------- --------------------comprovacions-------------------------- ---------------------------------------------------------*/ f1=fopen("a:arx43","w");
Projecte final de carrera
for(m=1;m<=31;m++) { fprintf(f1,"%f %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f \n",TV[m][14][1],TV[m][13][1],TV[m][12][1],TV[m][11][1],TV[m][10][1],TV[m][9][1],TV[m][8][1],TV[m][7][1],TV[m][6][1],TV[m][5][1],TV[m][4][1],TV[m][3][1],TV[m][2][1],TV[m][1][1]); } fclose(f1); /*--------------------------------------------------------*/ free(TV); } float conduct(int i,int j,int k) { float condaux,CONDA,CONDB,CONDS,CONDF,CONDP; /*-------------- variables---------------------------------- CONDA = conductivitat pe‡a superior CONDB = conductivitat pe‡a inferior CONDS = conductivitat interf¡cie CONDF = conductivitat del forat CONDP = conductivitat de la pols ----------------------------------------------------------*/ CONDA=30; CONDB=10; CONDS=0.3; CONDF=0.3; CONDP=0.4; /*--------------------------------------------------------- -----aquesta subrutina assigna un valor de la conductivitat -----depenen de la situaci¢ del node----------------------- ---------------------------------------------------------*/ if(j<=7) { if(i>16) { condaux=CONDA; } if(i<16) { condaux=CONDB; } }
Projecte final de carrera
if (i==4 || i==12 || i==20 || i==28) { if (k==1) { condaux=CONDF; } } if (i==16) { condaux=CONDS; } if(j>7) { condaux=CONDP; } return condaux; } float sumamp(int j,double AMP[]) { int s; float sum; /*------------ Aquesta subrutina em dona la distancia fins----- al radi exterior d'un node a partir de l'eix-----------------------*/ sum=0; for(s=1;s<=j;s++) { sum=sum+AMP[s]; } return sum; }
Projecte final de carrera
Conjunt de programes SIMUL70 i SIMUL11
Simulen 2 peces , una a temperatura constant a la part superior
(m=32) i a una temperatura inferior constant ala part inferior (m=0).
Lateralment el nucli està forçat a mantenir un gradient de
temperatura lineal desde Tsup al nivell m=32 i Tinf al nivell m=0. Cal
diferenciar 6 tipus de nodes diferents en el nucli, depenent de la
seva posició en aquests (nodes exteriors,interiors,nodes extrems ...).
Les 6 regions queden definides per 6 tipus de conexió que assoleix
cada node amb els seus veins. Així per exemple, un node que
estiguien un nivell radial (n=1) no te possibilitat de conectar-se amb un nivell radial més interior,
per tant seria (Ki1=0).
figura on queden representats les 6 regions possibles en SIMUL70 Definides Ki1,Ki2,...Ki6 i la posició d'un node qualsevol per les coordenades (i,j,k)=(m,n,o) es té: Si o≠1 i o≠13 i n≠1 totes les conductàncies tenen assignat un valor diferent de zero. Si o=1 i n≠1 → Ki4=0 Si o=13 i n≠1 → Ki2=0 Si n=1 i o≠1 i o≠13 → Ki1=0 Si n=1 i o=1 → Ki1=0;Ki4=0 Si n=1 i o=13 → Ki1=0 Ki2=0
On:
Ki1
Ki6
Ki3
Ki5
Ki4
Ki2
Projecte final de carrera
Llistat de SIMUL70 :
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> #include <graphics.h> #include <conio.h> FILE * f1; void main (void) { float conduct(int i,int j,int k); float sumamp(int j,double *AMP); int m,n,o,i,j,k,b,t; float ***TV,difer,Tant; double cangr,ALT[33],AMP[15],ANG[14],Tsup,Tinf,acum1,acum2; double Ki1,Ki2,Ki3,Ki4,Ki5,Ki6; clrscr(); i=31; j=13; k=13; /*---------------------------------------------------------- ---------- Tsup = temperatura superior --------------------- ----------------------------------------------------------*/ Tsup=400; Tinf=360; /* --------------------------------------------------------- ------ GUARDEM MEMORIA PER LES TEMPERATURES ------------ ------------------------------------------------------- */ TV=(float***)malloc((i+2)*sizeof(float**)); if (TV==NULL) { puts("error memoria 1"); exit(1); } for(m=0;m<=(i+2);m++) { TV[m]=(float**)malloc((j+2)*sizeof(float*)); if (TV[m]==NULL) { puts("error memoria2"); exit(1); } } for(m=0;m<=(i+2);m++) { for(n=0;n<=(j+2);n++) { TV[m][n]=(float*)calloc((k+2),sizeof(float)); if (TV[m][n]==NULL)
Projecte final de carrera
{ puts("error memoria 3"); exit(1); } } } /* -------------------------------------------------- -----------------finalitza emmagatzament------------- ----------------------------------------------------- */ /* -------------------------------------------------- -----------------omplo vectors----------------------- ----------------------------------------------------- */ /* distancies en metres, angles en radians */ /*-------------omplo amplades (j)-------------------- */ AMP[1]=0.00357; AMP[2]=0.00357; AMP[3]=0.00357; AMP[4]=0.00357; AMP[5]=0.00357; AMP[6]=0.00357; AMP[7]=0.00357; AMP[8]=0.00357; AMP[9]=0.00357; AMP[10]=0.00357; AMP[11]=0.00357; AMP[12]=0.00357; AMP[13]=0.00357; AMP[14]=0.00357; /*--------------omplo angles (k)--------------------- */ cangr=3.1415926/180; ANG[1]=2*cangr; ANG[2]=7*cangr; ANG[3]=9*cangr; ANG[4]=9*cangr; ANG[5]=9*cangr; ANG[6]=18*cangr; ANG[7]=18*cangr; ANG[8]=18*cangr; ANG[9]=18*cangr; ANG[10]=18*cangr; ANG[11]=18*cangr; ANG[12]=18*cangr; ANG[13]=18*cangr; /* ----------omplo altures (i) ---------------------*/ ALT[0]= 0.0001; ALT[1]= 0.0017073;
Projecte final de carrera
ALT[2]= 0.0017073; ALT[3]= 0.0017073; ALT[4]= 0.0017073; ALT[5]= 0.0017073; ALT[6]= 0.0025609; ALT[7]= 0.0042682; ALT[8]= 0.0042682; ALT[9]= 0.0042682; ALT[10]= 0.0025609; ALT[11]= 0.0017073; ALT[12]= 0.0017073; ALT[13]= 0.0017073; ALT[14]= 0.0017073; ALT[15]= 0.0017073; ALT[16]= 0.0001; ALT[17]= 0.0017073; ALT[18]= 0.0017073; ALT[19]= 0.0017073; ALT[20]= 0.0017073; ALT[21]= 0.0017073; ALT[22]= 0.0025609; ALT[23]= 0.0042682; ALT[24]= 0.0042682; ALT[25]= 0.0042682; ALT[26]= 0.0025609; ALT[27]= 0.0017073; ALT[28]= 0.0017073; ALT[29]= 0.0017073; ALT[30]= 0.0017073; ALT[31]= 0.0017073; ALT[32]= 0.0001; /*-----------Omplo temperatures-perifŠriques----------- -------------i inicialitzo temperatures internes-----*/ for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[32][n][o]=Tsup; TV[0][n][o]=Tinf; } } acum2=0; for(b=1;b<=31;b++) { acum2=acum2+ALT[b]; } acum2=acum2+(ALT[0]+ALT[32])/2; for(m=1;m<=31;m++) { acum1=ALT[0]/2; for(b=1;b<=m-1;b++)
Projecte final de carrera
{ acum1=acum1+ALT[b]; } acum1=acum1+ALT[b]/2; for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[m][n][o]=Tinf+(Tsup-Tinf)*(acum1/acum2); } } } /*------------------comencen les iteracions---------------*/ difer=1; t=0; while(difer != 0) { t=t+1; difer=0; printf("%d ",t); for(m=1;m<=31;m++) { for(n=13;n>=1;n=n-1) { for(o=1;o<=13;o++) { Tant=TV[m][n][o]; if(o!=1 && o!=13 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n]));
Projecte final de carrera
TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n-1][o]+Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki2+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } if(o==1 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=0; Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n-1][o]+Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki2+Ki3+Ki5+Ki6); } if(o==13 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=0; Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n]));
Projecte final de carrera
TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n-1][o]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } if(n==1 && o!=1 && o!=13) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); TV[m][n][o]=(Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki2+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } if(n==1 && o==1) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=0; Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n]));
Projecte final de carrera
TV[m][n][o]=(Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki2+Ki3+Ki5+Ki6); } if(n==1 && o==13) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=0; Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); TV[m][n][o]=(Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } if(fabs(TV[m][n][o]-Tant)>difer) { difer=fabs(TV[m][n][o]-Tant); } } } } printf("%f \n",difer); } /*--------------------------------------------------------- --------------------comprovacions-------------------------- ---------------------------------------------------------*/ f1=fopen("a:arx9","w"); for(m=0;m<=32;m++) { fprintf(f1,"%f %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f \n",TV[m][14][1],TV[m][13][1],TV[m][12][1],TV[m][11][1],TV[m][10][1],TV[m][9][1],TV[m][8][1],TV[m][7][1],TV[m][6][1],TV[m][5][1],TV[m][4][1],TV[m][3][1],TV[m][2][1],TV[m][1][1]);
Projecte final de carrera
} fclose(f1); /*--------------------------------------------------------*/ free(TV); } float conduct(int i,int j,int k) { float condaux,CONDA,CONDB,CONDS,CONDF,CONDP; /*-------------- variables---------------------------------- CONDA = conductivitat pe‡a superior CONDB = conductivitat pe‡a inferior CONDS = conductivitat interf¡cie CONDF = conductivitat del forat CONDP = conductivitat de la pols ----------------------------------------------------------*/ CONDA=30; CONDB=10; CONDS=0.3; CONDF=0.3; CONDP=0.1; /*--------------------------------------------------------- -----aquesta subrutina assigna un valor de la conductivitat -----depenen de la situaci¢ del node----------------------- ---------------------------------------------------------*/ if(j<=7) { if(i>16) { condaux=CONDA; } if(i<16) { condaux=CONDB; } } if (i==4 || i==12 || i==20 || i==28) { if (k==1) { condaux=CONDF; }
Projecte final de carrera
} if (i==16) { condaux=CONDS; } if(j>7) { condaux=CONDP; } return condaux; } float sumamp(int j,double AMP[]) { int s; float sum; /*------------ Aquesta subrutina em dona la distancia fins----- al radi exterior d'un node a partir de l'eix-----------------------*/ sum=0; for(s=1;s<=j;s++) { sum=sum+AMP[s]; } return sum; }
Projecte final de carrera
Conjunt de programes SIMUL 80 i SIMUL 22
Simulen 2 peces aillades lateralment de manera total, els límits de
la pols amb les parets del conductivímetre estan aillats totalment ,
tant per la perifèria com superior i inferiorment. Els extrems de les
dues peces, extrem superior de la peça A a Tsup= ctant i extrem
inferior de la peça B a Tinf= ctant.
En aquest model numèric queden definides en un primer terme 3
divisions que representen 3 regions de conexió diferet, dins
d'aquestes es troben 9 subdivisions més, també definides pel tipus
de conexió que estableix cada tipus de node.
Aquestes divisions han estat fetes per a facilitar la implementació del programa i poder modificar el
programa amb més faciliten si es vol variar algun tipus de condició de contorn.
Les 3 primeres divisions corresponen a:
1) nivell superior (i=32)
2) nivell inferior (i=0)
3) nivells intermitjos
Aquesta primera diferenciació en tres regions segons la seva posició en i's ve donada per la
conexió en aquest sentit, és a dir, per exemple els nodes superiors (i=32) no establiran cap
conexió amb cap nivell inmediatament superior, ja que la condició de aillament total comporta a
una conductancia en aquest sentit igual a zero, per tant per a tots els nodes superiors (i=32) es
compleix Ki6=0. Així mateix els nodes que composen la part inferior (i=0) no tindran conexió amb
cap node inferior, per tant Ki5=0.
Per a cadascun d'aquests 3 grups que separen tres nivell en direcció i es tindra una nova
subdivisió en el pla definit per les variables j i k . Aquesta regió que subdivida en 9 regions que es
conformen depenen de la conexió dels diferents tipus de nodes. Els nodes que es conecten d'igual
forma generen una regió
Projecte final de carrera
TIPUS 1 TIPUS 2 TIPUS 3
i=32 i≠0 i i≠32 i=0
Projecte final de carrera
A continuació es presenten les zones on les conductivitats es defineixen amb el valor zero.
TIPUS 3 i≠0 i≠32 k≠1 k≠13 j≠1 j≠14 → i≠0 i≠32 k=1 j≠1 j≠14 → K4=0 i≠0 i≠32 k=1 j=1 → K4=0 K1=0 i≠0 i≠32 k=1 j=14 → K3=0 K4=0 i≠0 i≠32 k=13 j=1 → K1=0 K2=0 i≠0 i≠32 k=13 j=14 → K3=0 K2=0 i≠0 i≠32 k=13 j≠1 j≠14 → K2=0 i≠0 i≠32 k≠1 k≠13 j=1 → K1=0 i≠0 i≠32 k≠1 k≠13 j=14 → K3=0 TIPUS 1 i=32 k≠1 k≠13 j≠14 j≠1 → K6=0 i=32 k=1 j≠14 j≠1 → K6=0 K4=0 i=32 k=1 j=14 → K3=0 K4=0 K6=0 i=32 k=1 j=1 → K1=0 K4=0 K6=0 i=32 k=13 j=14 → K2=0 K6=0 K3=0 i=32 k=13 j=1 → K1=0 K2=0 K6=0 i=32 k=13 j≠1 j≠14 → K2=0 K6=0 i=32 k≠1 k≠13 j=14 → K3=0 K6=0 i=32 k≠1 k≠13 j=1 → K1=0 K6=0 TIPUS 2 i=0 k≠1 k≠13 j≠14 j≠1 → K5=0 i=0 k=1 j≠14 j≠1 → K5=0 K4=0 i=0 k=1 j=14 → K5=0 K4=0 K3=0 i=0 k=1 j=1 → K5=0 K4=0 K1=0 i=0 k=13 j=14 → K5=0 K3=0 K2=0 i=0 k=13 j=1 → K5=0 K2=0 K1=0 i=0 k=13 j≠1 j≠14 → K5=0 K2=0 i=0 k≠1 k≠13 j=14 → K5=0 K3=0 i=0 k≠1 k≠13 j=1 → K5=0 K1=0
Projecte final de carrera
Llistat de SIMUL80 :
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> #include <graphics.h> #include <conio.h> FILE * f1; void main (void) { void calcula(int m,int n, int o,double *AMP,double *ALT,double *ANG, float ***TV); float conduct(int i,int j,int k); float sumamp(int j,double *AMP); int m,n,o,i,j,k,b,t; float ***TV,difer,Tant; double cangr,ALT[33],AMP[15],ANG[14],Tsup,Tinf,acum1,acum2; clrscr(); i=31; j=13; k=13; /*---------------------------------------------------------- ---------- Tsup = temperatura superior --------------------- ----------------------------------------------------------*/ Tsup=400; Tinf=360; /* --------------------------------------------------------- ------ GUARDEM MEMORIA PER LES TEMPERATURES ------------ ------------------------------------------------------- */ TV=(float***)malloc((i+2)*sizeof(float**)); if (TV==NULL) { puts("error memoria 1"); exit(1); } for(m=0;m<=(i+2);m++) { TV[m]=(float**)malloc((j+2)*sizeof(float*)); if (TV[m]==NULL) { puts("error memoria2"); exit(1); } } for(m=0;m<=(i+2);m++) { for(n=0;n<=(j+2);n++) { TV[m][n]=(float*)calloc((k+2),sizeof(float));
Projecte final de carrera
if (TV[m][n]==NULL) { puts("error memoria 3"); exit(1); } } } /* -------------------------------------------------- -----------------finalitza emmagatzament------------- ----------------------------------------------------- */ /* -------------------------------------------------- -----------------omplo vectors----------------------- ----------------------------------------------------- */ /* distancies en metres, angles en radians */ /*-------------omplo amplades (j)-------------------- */ AMP[1]=0.00357; AMP[2]=0.00357; AMP[3]=0.00357; AMP[4]=0.00357; AMP[5]=0.00357; AMP[6]=0.00357; AMP[7]=0.00357; AMP[8]=0.00357; AMP[9]=0.00357; AMP[10]=0.00357; AMP[11]=0.00357; AMP[12]=0.00357; AMP[13]=0.00357; AMP[14]=0.00357; /*--------------omplo angles (k)--------------------- */ cangr=3.1415926/180; ANG[1]=2*cangr; ANG[2]=7*cangr; ANG[3]=9*cangr; ANG[4]=9*cangr; ANG[5]=9*cangr; ANG[6]=18*cangr; ANG[7]=18*cangr; ANG[8]=18*cangr; ANG[9]=18*cangr; ANG[10]=18*cangr; ANG[11]=18*cangr; ANG[12]=18*cangr; ANG[13]=18*cangr; /* ----------omplo altures (i) ---------------------*/ ALT[0]= 0.0001;
Projecte final de carrera
ALT[1]= 0.0017073; ALT[2]= 0.0017073; ALT[3]= 0.0017073; ALT[4]= 0.0017073; ALT[5]= 0.0017073; ALT[6]= 0.0025609; ALT[7]= 0.0042682; ALT[8]= 0.0042682; ALT[9]= 0.0042682; ALT[10]= 0.0025609; ALT[11]= 0.0017073; ALT[12]= 0.0017073; ALT[13]= 0.0017073; ALT[14]= 0.0017073; ALT[15]= 0.0017073; ALT[16]= 0.0001; ALT[17]= 0.0017073; ALT[18]= 0.0017073; ALT[19]= 0.0017073; ALT[20]= 0.0017073; ALT[21]= 0.0017073; ALT[22]= 0.0025609; ALT[23]= 0.0042682; ALT[24]= 0.0042682; ALT[25]= 0.0042682; ALT[26]= 0.0025609; ALT[27]= 0.0017073; ALT[28]= 0.0017073; ALT[29]= 0.0017073; ALT[30]= 0.0017073; ALT[31]= 0.0017073; ALT[32]= 0.0001; /*-----------Omplo temperatures-perifŠriques----------- -------------i inicialitzo temperatures internes-----*/ for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[32][n][o]=Tsup; TV[0][n][o]=Tinf; } } acum2=0; for(b=1;b<=31;b++) { acum2=acum2+ALT[b]; } acum2=acum2+(ALT[0]+ALT[32])/2; for(m=1;m<=31;m++) { acum1=ALT[0]/2;
Projecte final de carrera
for(b=1;b<=m-1;b++) { acum1=acum1+ALT[b]; } acum1=acum1+ALT[b]/2; for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[m][n][o]=Tinf+(Tsup-Tinf)*(acum1/acum2); } } } /*------------------comencen les iteracions---------------*/ difer=1; t=0; while(difer != 0) { t=t+1; difer=0; printf("%d ",t); m=32; for(n=8;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { Tant=TV[m][n][o]; calcula(m,n,o,AMP,ALT,ANG,TV); if(fabs(TV[m][n][o]-Tant)>difer) { difer=fabs(TV[m][n][o]-Tant); } } } for(m=31;m>=1;m=m-1) { for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { Tant=TV[m][n][o]; calcula(m,n,o,AMP,ALT,ANG,TV); if(fabs(TV[m][n][o]-Tant)>difer) { difer=fabs(TV[m][n][o]-Tant); } } } } m=0; for(n=8;n<=14;n++)
Projecte final de carrera
{ for(o=1;o<=13;o++) { Tant=TV[m][n][o]; calcula(m,n,o,AMP,ALT,ANG,TV); if(fabs(TV[m][n][o]-Tant)>difer) { difer=fabs(TV[m][n][o]-Tant); } } } printf("%f \n",difer); } /*--------------------------------------------------------- --------------------comprovacions-------------------------- ---------------------------------------------------------*/ f1=fopen("a:sim22","w"); for(m=0;m<=32;m++) { fprintf(f1," %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f \n",TV[m][14][1],TV[m][13][1],TV[m][12][1],TV[m][11][1],TV[m][10][1],TV[m][9][1],TV[m][8][1],TV[m][7][1],TV[m][6][1],TV[m][5][1],TV[m][4][1],TV[m][3][1],TV[m][2][1],TV[m][1][1]); } fclose(f1); /*--------------------------------------------------------*/ free(TV); } float conduct(int i,int j,int k) {
Projecte final de carrera
float condaux,CONDA,CONDB,CONDS,CONDF,CONDP; /*-------------- variables---------------------------------- CONDA = conductivitat pe‡a superior CONDB = conductivitat pe‡a inferior CONDS = conductivitat interf¡cie CONDF = conductivitat del forat CONDP = conductivitat de la pols ----------------------------------------------------------*/ CONDA=30; CONDB=10; CONDS=0.3; CONDF=0.3; CONDP=0.1; /*--------------------------------------------------------- -----aquesta subrutina assigna un valor de la conductivitat -----depenen de la situaci¢ del node----------------------- ---------------------------------------------------------*/ if(j<=7) { if(i>16) { condaux=CONDA; } if(i<16) { condaux=CONDB; } } if (i==4 || i==12 || i==20 || i==28) { if (k==1) { condaux=CONDF; } } if (i==16) { condaux=CONDS; } if(j>7) { condaux=CONDP; } return condaux; } float sumamp(int j,double AMP[]) { int s; float sum; /*------------ Aquesta subrutina em dona la distancia fins----- al radi exterior d'un node a partir de l'eix-----------------------*/ sum=0;
Projecte final de carrera
for(s=1;s<=j;s++) { sum=sum+AMP[s]; } return sum; } void calcula(int m,int n,int o,double *AMP,double *ALT,double *ANG,float ***TV) { double Ki1,Ki2,Ki3,Ki4,Ki5,Ki6; Ki1=1; Ki2=1; Ki3=1; Ki4=1; Ki5=1; Ki6=1; if(m !=0 && m!=32 && o==1 && n!=1 && n!=14) { Ki4=0; } if(m !=0 && m!=32 && o==1 && n==1) { Ki1=0; Ki4=0; } if(m !=0 && m!=32 && o==1 && n==14) { Ki3=0; Ki4=0; } if(m !=0 && m!=32 && o==13 && n==1) { Ki1=0; Ki2=0; } if(m !=0 && m!=32 && o==13 && n==14) { Ki3=0; Ki2=0; } if(m !=0 && m!=32 && o==13 && n!=1 && n!=14) { Ki2=0; }
Projecte final de carrera
if(m!=0 && m!=32 && o!=1 && o!=13 && n==1) { Ki1=0; } if(m !=0 && m!=32 && o!=1 && o!=13 && n==14) { Ki3=0; } /* ------------------------ 2 part---------------------- */ if(m==32 && o!=1 && o!=13 && n!=14 && n!=1) { Ki6=0; } if(m==32 && o==1 && n!=1 && n!=14) { Ki4=0; Ki6=0; } if(m==32 && o==1 && n==14) { Ki3=0; Ki4=0; Ki6=0; } if(m==32 && o==1 && n==1) { Ki1=0; Ki4=0; Ki6=0; } if(m==32 && o==13 && n==14) { Ki3=0; Ki2=0; Ki6=0; } if(m==32 && o==13 && n==1) { Ki1=0; Ki2=0; Ki6=0; } if(m==32 && o==13 && n!=1 && n!=14) {
Projecte final de carrera
Ki2=0; Ki6=0; } if(m==32 && o!=1 && o!=13 && n==14) { Ki3=0; Ki6=0; } if(m==32 && o!=1 && o!=13 && n==1) { Ki1=0; Ki6=0; } /*----------------- 3 part --------------------------*/ if(m==0 && o!=1 && o!=13 && n!=14 && n!=1) { Ki5=0; } if(m==0 && o==1 && n!=1 && n!=14) { Ki4=0; Ki5=0; } if(m==0 && o==1 && n==14) { Ki3=0; Ki4=0; Ki5=0; } if(m==0 && o==1 && n==1) { Ki1=0; Ki4=0; Ki5=0; } if(m==0 && o==13 && n==14) { Ki3=0; Ki2=0; Ki5=0; } if(m==0 && o==13 && n==1)
Projecte final de carrera
{ Ki1=0; Ki2=0; Ki5=0; } if(m==0 && o==13 && n!=1 && n!=14) { Ki2=0; Ki5=0; } if(m==0 && o!=1 && o!=13 && n==14) { Ki3=0; Ki5=0; } if(m==0 && o!=1 && o!=13 && n==1) { Ki1=0; Ki5=0; } /*------------------------------------------------*/ if(Ki1==1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); } if(Ki2==1) { Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); } if(Ki3==1) { Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); } if(Ki4==1) { Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); } if(Ki5==1) { Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-
Projecte final de carrera
1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); } if(Ki6==1) { Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); } TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n-1][o]+Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki2+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); }
Projecte final de carrera
ANNEX 3. GEOMETRIA DE LES PECES UTILITZADES.
La geometria i mesures utilitzades en els nodes de les peces dels diferents quatre models
ha estat la següent :
Projecte final de carrera
I l’altura de cada node ha estat :
ALTURES DELS DIFERENTS NODES
NODE proporció ALTURA (mm) ALTURA(m)
32 2 0,1 0,0001 3231 2 1,707317073 0,001707317 3130 2 1,707317073 0,001707317 3029 2 1,707317073 0,001707317 2928 2 1,707317073 0,001707317 2827 2 1,707317073 0,001707317 2726 3 2,56097561 0,002560976 2625 5 4,268292683 0,004268293 2524 5 4,268292683 0,004268293 2423 5 4,268292683 0,004268293 2322 3 2,56097561 0,002560976 2221 2 1,707317073 0,001707317 2120 2 1,707317073 0,001707317 2019 2 1,707317073 0,001707317 1918 2 1,707317073 0,001707317 1817 2 1,707317073 0,001707317 1716 0,1 0,0001 1615 2 1,707317073 0,001707317 1514 2 1,707317073 0,001707317 1413 2 1,707317073 0,001707317 1312 2 1,707317073 0,001707317 1211 2 1,707317073 0,001707317 1110 3 2,56097561 0,002560976 109 5 4,268292683 0,004268293 98 5 4,268292683 0,004268293 87 5 4,268292683 0,004268293 76 3 2,56097561 0,002560976 65 2 1,707317073 0,001707317 54 2 1,707317073 0,001707317 43 2 1,707317073 0,001707317 32 2 1,707317073 0,001707317 21 2 1,707317073 0,001707317 10 2 0,1 0,0001 0
peça
extrems
interfície
35 mm
35 mm
Projecte final de carrera
Els angles per a la discretització han estat els següents :
ANG[1]=2º ANG[8]= 18º
ANG[2]=7º ANG[9]= 18º
ANG[3]=9º ANG[10]= 18º
ANG[4]=9º ANG[11]= 18º
ANG[5]=9º ANG[12]= 18º
ANG[6]=18º ANG[13]= 18º
ANG[7]=18º
Per l’amplada de tots els nodes (AMP[ ]) s’ha escollit 0.00357 m. el que fa que la peça
mesuri 5 cm de diàmetre.
Projecte final de carrera
ANNEX 4. DEMOSTRACIÓ POTENCIA. Aquest apartat demostra que la simplificació d'escullir la conductivitat representativa de
la peça per als càlculs com la conductivitat de la peça a la temperatura mitjana, no és
una simplificació, sinó una igualtat.
Per a un interval de temperatures no molt gran (60-80) ºC, la conductivitat tèrmica pot
ser donada perfectament per una funció lineal de la temperatura. Així doncs, la
conductivitat pren la forma :
λ= a+b.T
L'equació de tranferència de calor de Fourier ens diu :
&qA
dTdx
= −λ
Si hi substituïm la conductivitat :
( )&qA
dTdx
= − a + b.T
Reordenant :
( )&qA
dx dT⋅ = − ⋅a + b.T
Integrant :
( )&qA
dx dTx
x
T
Tf
x
f
⋅ = − ⋅∫ ∫ a + b.T0
Si prescindim del signe - , que ens indica tant sols la direcció del flux de calor i
integrem les dues funcions a banda i banda :
&
( ) ( )qA
d a Tf To b Tf To⋅ = − + ⋅ ⋅ −12
2 2
Projecte final de carrera
Si considerem ara quina és la potència que atravessa la peça considerant
la conductivitat a la temperatura mitjana, tenim :
&qA
dTdx
= −λ
Si λ= a+b.T llavors la conductivitat presa a la temperatura mitjana és la
següent:
λ = + ⋅+
a bTo Tf
2
Aplicant ara l'equació de Fourier i substituint l'expressió anterior, sense tenir en compte
el signe :
&qA
a bTo Tf Tf To
d= + ⋅
+
−2
Reordenant :
&
( )qA
d a bTo Tf
Tf To⋅ = + ⋅+
⋅ −
2
I operant:
&
( ) ( )qA
d a Tf To b Tf To⋅ = − + ⋅ ⋅ −12
2 2
Expressió que concorda amb la de la pàgina anterior.
Projecte final de carrera
ANNEX 5. CÀLCUL DE POTÈNCIES. En el present annex s’inclouen els llistats dels programes amb els quals s’ha calculat el
flux de potències al llarg de les peces per a cadascun dels quatre models , també s’han
inclosos els resultats donats per a cada programa. La geometria i conductivitats utilitzada
per a cadascun dels quatre models ha estat la mateixa amb la finalitat evident de poder
comparar els resultats.
•Model 40 Llistat del programa: #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> #include <graphics.h> #include <conio.h> FILE * f1; void main (void) { float conduct(int i,int j,int k); float sumamp(int j,double *AMP); int m,n,o,i,j,k,b,t; float ***TV,difer,Tant,P1,P2,P4; double cangr,ALT[33],AMP[15],ANG[14],Tsup,Tinf,acum1,acum2; double Ki1,Ki2,Ki3,Ki4,Ki5,Ki6; clrscr(); i=31; j=13; k=13; /*---------------------------------------------------------- ---------- Tsup = temperatura superior --------------------- ----------------------------------------------------------*/ Tsup=400; Tinf=360; /* --------------------------------------------------------- ------ GUARDEM MEMORIA PER LES TEMPERATURES ------------ ------------------------------------------------------- */ TV=(float***)malloc((i+2)*sizeof(float**)); if (TV==NULL) { puts("error memoria 1"); exit(1); } for(m=0;m<=(i+2);m++)
Projecte final de carrera
{ TV[m]=(float**)malloc((j+2)*sizeof(float*)); if (TV[m]==NULL) { puts("error memoria2"); exit(1); } } for(m=0;m<=(i+2);m++) { for(n=0;n<=(j+2);n++) { TV[m][n]=(float*)calloc((k+2),sizeof(float)); if (TV[m][n]==NULL) { puts("error memoria 3"); exit(1); } } } /* -------------------------------------------------- -----------------finalitza emmagatzament------------- ----------------------------------------------------- */ /* -------------------------------------------------- -----------------omplo vectors----------------------- ----------------------------------------------------- */ /* distancies en metres, angles en radians */ /*-------------omplo amplades (j)-------------------- */ AMP[1]=0.00357; AMP[2]=0.00357; AMP[3]=0.00357; AMP[4]=0.00357; AMP[5]=0.00357; AMP[6]=0.00357; AMP[7]=0.00357; AMP[8]=0.00357; AMP[9]=0.00357; AMP[10]=0.00357; AMP[11]=0.00357; AMP[12]=0.00357; AMP[13]=0.00357; AMP[14]=0.00357; /*--------------omplo angles (k)--------------------- */ cangr=3.1415926/180; ANG[1]=2*cangr; ANG[2]=7*cangr; ANG[3]=9*cangr; ANG[4]=9*cangr; ANG[5]=9*cangr; ANG[6]=18*cangr; ANG[7]=18*cangr; ANG[8]=18*cangr; ANG[9]=18*cangr; ANG[10]=18*cangr; ANG[11]=18*cangr; ANG[12]=18*cangr; ANG[13]=18*cangr; /* ----------omplo altures (i) ---------------------*/ ALT[0]= 0.001;
Projecte final de carrera
ALT[1]= 0.001; ALT[2]= 0.001; ALT[3]= 0.001; ALT[4]= 0.001; ALT[5]= 0.001; ALT[6]= 0.001; ALT[7]= 0.001; ALT[8]= 0.001; ALT[9]= 0.001; ALT[10]= 0.001; ALT[11]= 0.001; ALT[12]= 0.001; ALT[13]= 0.001; ALT[14]= 0.001; ALT[15]= 0.001; ALT[16]= 0.001; ALT[17]= 0.001; ALT[18]= 0.001; ALT[19]= 0.001; ALT[20]= 0.001; ALT[21]= 0.001; ALT[22]= 0.001; ALT[23]= 0.001; ALT[24]= 0.001; ALT[25]= 0.001; ALT[26]= 0.001; ALT[27]= 0.001; ALT[28]= 0.001; ALT[29]= 0.001; ALT[30]= 0.001; ALT[31]= 0.001; ALT[32]= 0.001; /*-----------Omplo temperatures-perifŠriques----------- -------------i inicialitzo temperatures internes-----*/ for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[32][n][o]=Tsup; TV[0][n][o]=Tinf; } } acum2=0; for(b=1;b<=31;b++) { acum2=acum2+ALT[b]; } acum2=acum2+(ALT[0]+ALT[32])/2; for(m=1;m<=31;m++) { acum1=ALT[0]/2; for(b=1;b<=m-1;b++) { acum1=acum1+ALT[b]; } acum1=acum1+ALT[b]/2; for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[m][n][o]=Tinf+(Tsup-Tinf)*(acum1/acum2); } } }
Projecte final de carrera
/*------------------comencen les iteracions---------------*/ difer=1; t=0; while(difer != 0) { t=t+1; difer=0; printf("%d ",t); for(m=1;m<=31;m++) { for(n=13;n>=1;n=n-1) { for(o=1;o<=13;o++) { Tant=TV[m][n][o]; if(o!=1 && o!=13 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n-1][o]+Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki2+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } if(o==1 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=0; Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n]));
Projecte final de carrera
if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n-1][o]+Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki2+Ki3+Ki5+Ki6); } if(o==13 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=0; Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n-1][o]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } if(n==1 && o!=1 && o!=13) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) {
Projecte final de carrera
Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki2+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } if(n==1 && o==1) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=0; Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki2+Ki3+Ki5+Ki6); } if(n==1 && o==13) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=0; Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) {
Projecte final de carrera
Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } if(fabs(TV[m][n][o]-Tant)>difer) { difer=fabs(TV[m][n][o]-Tant); } } } } printf("%f %d %d %d\n",difer,m,n,o); } f1=fopen("a:si51","w"); clrscr(); for(t=29;t>=1;t=t-1) { P1=0; P2=0; P4=0; m=t; for(n=1;n<=7;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { P1=P1+(1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])))*(TV[t+1][n][o]-TV[t][n][o]); } } for(n=1;n<=7;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { P4=P4+(1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])))*(TV[t-1][n][o]-TV[t][n][o]); } } n=7; for(m=t;m<=t;m++) { for(o=1;o<=13;o++) { P2=P2+(1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])))*(TV[m][8][o]-TV[m][7][o]); } } fprintf(f1,"nivell %d \n pot superior %f\n pot inferior %f\n potencia lateral %f \n potencia total %f\n\n",t,P1,P4,P2,P1+P4+P2); } /*--------------------------------------------------------- --------------------comprovacions-------------------------- ---------------------------------------------------------*/
Projecte final de carrera
fclose(f1); /*--------------------------------------------------------*/ free(TV); } float conduct(int i,int j,int k) { float condaux,CONDA,CONDB,CONDS,CONDF,CONDP; /*-------------- variables---------------------------------- CONDA = conductivitat pe‡a superior CONDB = conductivitat pe‡a inferior CONDS = conductivitat interf¡cie CONDF = conductivitat del forat CONDP = conductivitat de la pols ----------------------------------------------------------*/ CONDA=30; CONDB=10; CONDS=0.3; CONDF=0.3; CONDP=0.1; /*--------------------------------------------------------- -----aquesta subrutina assigna un valor de la conductivitat -----depenen de la situaci¢ del node----------------------- ---------------------------------------------------------*/ if(j<=7) { if(i>16) { condaux=CONDA; } if(i<16) { condaux=CONDB; } } if (i==4 || i==12 || i==20 || i==28) { if (k==1) { condaux=CONDF; } } if (i==16) { condaux=CONDS; } if(j>7) { condaux=CONDP; } return condaux; } float sumamp(int j,double AMP[]) { int s;
Projecte final de carrera
float sum; /*------------ Aquesta subrutina em dona la distancia fins----- al radi exterior d'un node a partir de l'eix-----------------------*/ sum=0; for(s=1;s<=j;s++) { sum=sum+AMP[s]; } return sum; } •Resultats : nivell 29 pot superior 7,439146 pot inferior -7,428342 potencia lateral -0,010500 potencia total 0,000303 nivell 28 pot superior 7,428342 pot inferior -7,417572 potencia lateral -0,010322 potencia total 0,000448 nivell 27 pot superior 7,417572 pot inferior -7,406713 potencia lateral -0,010433 potencia total 0,000426 nivell 26 pot superior 7,406713 pot inferior -7,395705 potencia lateral -0,010761 potencia total 0,000247 nivell 25 pot superior 7,395705 pot inferior -7,383965 potencia lateral -0,011333 potencia total 0,000407 nivell 24 pot superior 7,383965 pot inferior -7,371263 potencia lateral -0,012188 potencia total 0,000515 nivell 23 pot superior 7,371263 pot inferior -7,357471 potencia lateral -0,013398 potencia total 0,000394 nivell 22 pot superior 7,357471 pot inferior -7,341932 potencia lateral -0,015083 potencia total 0,000456 nivell 21 pot superior 7,341932 pot inferior -7,324113 potencia lateral -0,017425 potencia total 0,000394
Projecte final de carrera
nivell 20 pot superior 7,324113 pot inferior -7,302963 potencia lateral -0,020634 potencia total 0,000516 nivell 19 pot superior 7,302963 pot inferior -7,277190 potencia lateral -0,025352 potencia total 0,000421 nivell 18 pot superior 7,277190 pot inferior -7,244491 potencia lateral -0,032150 potencia total 0,000549 nivell 17 pot superior 7,244491 pot inferior -7,202140 potencia lateral -0,042207 potencia total 0,000143 nivell 16 pot superior 7,202140 pot inferior -7,198769 potencia lateral -0,003370 potencia total 0,000002 nivell 15 pot superior 7,198769 pot inferior -7,232548 potencia lateral 0,033849 potencia total 0,000070 nivell 14 pot superior 7,232548 pot inferior -7,257734 potencia lateral 0,025318 potencia total 0,000133 nivell 13 pot superior 7,257734 pot inferior -7,277265 potencia lateral 0,019692 potencia total 0,000161 nivell 12 pot superior 7,277265 pot inferior -7,293092 potencia lateral 0,015967 potencia total 0,000139 nivell 11 pot superior 7,293092 pot inferior -7,306527 potencia lateral 0,013575 potencia total 0,000140 nivell 10 pot superior 7,306527 pot inferior -7,318289 potencia lateral 0,011933 potencia total 0,000171 nivell 9 pot superior 7,318289
Projecte final de carrera
pot inferior -7,329026 potencia lateral 0,010897 potencia total 0,000160 nivell 8 pot superior 7,329026 pot inferior -7,339235 potencia lateral 0,010311 potencia total 0,000102 nivell 7 pot superior 7,339235 pot inferior -7,349183 potencia lateral 0,010085 potencia total 0,000138 nivell 6 pot superior 7,349183 pot inferior -7,359210 potencia lateral 0,010172 potencia total 0,000144 nivell 5 pot superior 7,359210 pot inferior -7,369631 potencia lateral 0,010562 potencia total 0,000141 nivell 4 pot superior 7,369631 pot inferior -7,380827 potencia lateral 0,011310 potencia total 0,000115 nivell 3 pot superior 7,380827 pot inferior -7,393203 potencia lateral 0,012515 potencia total 0,000139 nivell 2 pot superior 7,393203 pot inferior -7,407213 potencia lateral 0,014143 potencia total 0,000132 nivell 1 pot superior 7,407213 pot inferior -7,423563 potencia lateral 0,016480 potencia total 0,000130
Projecte final de carrera
•Model 60 Llistat del programa: #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> #include <graphics.h> #include <conio.h> FILE * f1; void main (void) { float conduct(int i,int j,int k); float sumamp(int j,double *AMP); int m,n,o,i,j,k,b,t; float ***TV,difer,Tant,P1,P2,P4; double cangr,ALT[33],AMP[15],ANG[14],Tsup,Tinf,acum1,acum2; double Ki1,Ki2,Ki3,Ki4,Ki5,Ki6; clrscr(); i=31; j=13; k=13; /*---------------------------------------------------------- ---------- Tsup = temperatura superior --------------------- ----------------------------------------------------------*/ Tsup=400; Tinf=360; /* --------------------------------------------------------- ------ GUARDEM MEMORIA PER LES TEMPERATURES ------------ ------------------------------------------------------- */ TV=(float***)malloc((i+2)*sizeof(float**)); if (TV==NULL) { puts("error memoria 1"); exit(1); } for(m=0;m<=(i+2);m++) { TV[m]=(float**)malloc((j+2)*sizeof(float*)); if (TV[m]==NULL) { puts("error memoria2"); exit(1); } } for(m=0;m<=(i+2);m++) { for(n=0;n<=(j+2);n++) { TV[m][n]=(float*)calloc((k+2),sizeof(float)); if (TV[m][n]==NULL)
Projecte final de carrera
{ puts("error memoria 3"); exit(1); } } } /* -------------------------------------------------- -----------------finalitza emmagatzament------------- ----------------------------------------------------- */ /* -------------------------------------------------- -----------------omplo vectors----------------------- ----------------------------------------------------- */ /* distancies en metres, angles en radians */ /*-------------omplo amplades (j)-------------------- */ AMP[1]=0.00357; AMP[2]=0.00357; AMP[3]=0.00357; AMP[4]=0.00357; AMP[5]=0.00357; AMP[6]=0.00357; AMP[7]=0.00357; AMP[8]=0.00357; AMP[9]=0.00357; AMP[10]=0.00357; AMP[11]=0.00357; AMP[12]=0.00357; AMP[13]=0.1; AMP[14]=0.00357; /*--------------omplo angles (k)--------------------- */ cangr=3.1415926/180; ANG[1]=2*cangr; ANG[2]=7*cangr; ANG[3]=9*cangr; ANG[4]=9*cangr; ANG[5]=9*cangr; ANG[6]=18*cangr; ANG[7]=18*cangr; ANG[8]=18*cangr; ANG[9]=18*cangr; ANG[10]=18*cangr; ANG[11]=18*cangr; ANG[12]=18*cangr; ANG[13]=18*cangr; /* ----------omplo altures (i) ---------------------*/ ALT[0]= 0.001; ALT[1]= 0.001; ALT[2]= 0.001; ALT[3]= 0.001; ALT[4]= 0.001; ALT[5]= 0.001; ALT[6]= 0.001; ALT[7]= 0.001; ALT[8]= 0.001; ALT[9]= 0.001; ALT[10]= 0.001; ALT[11]= 0.001; ALT[12]= 0.001; ALT[13]= 0.001; ALT[14]= 0.001; ALT[15]= 0.001;
Projecte final de carrera
ALT[16]= 0.001; ALT[17]= 0.001; ALT[18]= 0.001; ALT[19]= 0.001; ALT[20]= 0.001; ALT[21]= 0.001; ALT[22]= 0.001; ALT[23]= 0.001; ALT[24]= 0.001; ALT[25]= 0.001; ALT[26]= 0.001; ALT[27]= 0.001; ALT[28]= 0.001; ALT[29]= 0.001; ALT[30]= 0.001; ALT[31]= 0.001; ALT[32]= 0.001; /*-----------Omplo temperatures-perifŠriques----------- -------------i inicialitzo temperatures internes-----*/ for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[32][n][o]=Tsup; TV[0][n][o]=Tinf; } } acum2=0; for(b=1;b<=31;b++) { acum2=acum2+ALT[b]; } acum2=acum2+(ALT[0]+ALT[32])/2; for(m=1;m<=31;m++) { acum1=ALT[0]/2; for(b=1;b<=m-1;b++) { acum1=acum1+ALT[b]; } acum1=acum1+ALT[b]/2; for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[m][n][o]=Tinf+(Tsup-Tinf)*(acum1/acum2); } } } for(m=1;m<=32;m++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[m][14][o]=100; } } /*------------------comencen les iteracions---------------*/ difer=1; t=0; while(difer != 0) { t=t+1; difer=0; printf("%d ",t);
Projecte final de carrera
for(m=1;m<=31;m++) { for(n=13;n>=1;n=n-1) { for(o=1;o<=13;o++) { Tant=TV[m][n][o]; if(o!=1 && o!=13 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n-1][o]+Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki2+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } if(o==1 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=0; Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; }
Projecte final de carrera
TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n-1][o]+Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki2+Ki3+Ki5+Ki6); } if(o==13 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=0; Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n-1][o]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } if(n==1 && o!=1 && o!=13) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; }
Projecte final de carrera
TV[m][n][o]=(Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki2+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } if(n==1 && o==1) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=0; Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki2+Ki3+Ki5+Ki6); } if(n==1 && o==13) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=0; Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki3+Ki4+Ki5+Ki6);
Projecte final de carrera
} if(fabs(TV[m][n][o]-Tant)>difer) { difer=fabs(TV[m][n][o]-Tant); } } } } printf("%f \n",difer); } f1=fopen("a:si62","w"); clrscr(); for(t=29;t>=1;t=t-1) { P1=0; P2=0; P4=0; m=t; for(n=1;n<=7;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { P1=P1+(1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])))*(TV[t+1][n][o]-TV[t][n][o]); } } for(n=1;n<=7;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { P4=P4+(1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])))*(TV[t-1][n][o]-TV[t][n][o]); } } n=7; for(m=t;m<=t;m++) { for(o=1;o<=13;o++) { P2=P2+(1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])))*(TV[m][8][o]-TV[m][7][o]); } } fprintf(f1,"nivell %d \n pot superior %f\n pot inferior %f\n potencia lateral %f \n potencia total %f\n\n",t,P1,P4,P2,P1+P4+P2); } /*--------------------------------------------------------- --------------------comprovacions-------------------------- ---------------------------------------------------------*/ fclose(f1); /*--------------------------------------------------------*/ free(TV);
Projecte final de carrera
} float conduct(int i,int j,int k) { float condaux,CONDA,CONDB,CONDS,CONDF,CONDP; /*-------------- variables---------------------------------- CONDA = conductivitat pe‡a superior CONDB = conductivitat pe‡a inferior CONDS = conductivitat interf¡cie CONDF = conductivitat del forat CONDP = conductivitat de la pols ----------------------------------------------------------*/ CONDA=30; CONDB=10; CONDS=0.3; CONDF=0.3; CONDP=0.1; /*--------------------------------------------------------- -----aquesta subrutina assigna un valor de la conductivitat -----depenen de la situaci¢ del node----------------------- ---------------------------------------------------------*/ if(j<=7) { if(i>16) { condaux=CONDA; } if(i<16) { condaux=CONDB; } } if (i==4 || i==12 || i==20 || i==28) { if (k==1) { condaux=CONDF; } } if (i==16) { condaux=CONDS; } if(j>7) { condaux=CONDP; } return condaux; } float sumamp(int j,double AMP[]) { int s; float sum; /*------------ Aquesta subrutina em dona la distancia fins----- al radi exterior d'un node a partir de l'eix-----------------------*/ sum=0; for(s=1;s<=j;s++) { sum=sum+AMP[s]; }
Projecte final de carrera
return sum; } •Resultats : nivell 29 pot superior 8,073672 pot inferior -8,019251 potencia lateral -0,054849 potencia total -0,000428 nivell 28 pot superior 8,019251 pot inferior -7,965212 potencia lateral -0,054423 potencia total -0,000384 nivell 27 pot superior 7,965212 pot inferior -7,911136 potencia lateral -0,054521 potencia total -0,000445 nivell 26 pot superior 7,911136 pot inferior -7,856734 potencia lateral -0,054712 potencia total -0,000310 nivell 25 pot superior 7,856734 pot inferior -7,802024 potencia lateral -0,055141 potencia total -0,000431 nivell 24 pot superior 7,802024 pot inferior -7,746608 potencia lateral -0,055854 potencia total -0,000438 nivell 23 pot superior 7,746608 pot inferior -7,690064 potencia lateral -0,056926 potencia total -0,000382 nivell 22 pot superior 7,690064 pot inferior -7,632110 potencia lateral -0,058484 potencia total -0,000529 nivell 21 pot superior 7,632110 pot inferior -7,571784 potencia lateral -0,060724 potencia total -0,000399 nivell 20 pot superior 7,571784 pot inferior -7,508303 potencia lateral -0,063750 potencia total -0,000269 nivell 19
Projecte final de carrera
pot superior 7,508303 pot inferior -7,440288 potencia lateral -0,068588 potencia total -0,000573 nivell 18 pot superior 7,440288 pot inferior -7,365297 potencia lateral -0,075501 potencia total -0,000510 nivell 17 pot superior 7,365297 pot inferior -7,279610 potencia lateral -0,085859 potencia total -0,000172 nivell 16 pot superior 7,279610 pot inferior -7,243804 potencia lateral -0,035807 potencia total -0,000001 nivell 15 pot superior 7,243804 pot inferior -7,235805 potencia lateral -0,008070 potencia total -0,000071 nivell 14 pot superior 7,235805 pot inferior -7,219842 potencia lateral -0,016127 potencia total -0,000164 nivell 13 pot superior 7,219842 pot inferior -7,198623 potencia lateral -0,021383 potencia total -0,000163 nivell 12 pot superior 7,198623 pot inferior -7,174052 potencia lateral -0,024695 potencia total -0,000124 nivell 11 pot superior 7,174052 pot inferior -7,147269 potencia lateral -0,026941 potencia total -0,000158 nivell 10 pot superior 7,147269 pot inferior -7,119040 potencia lateral -0,028362 potencia total -0,000132 nivell 9 pot superior 7,119040 pot inferior -7,089983 potencia lateral -0,029213 potencia total -0,000157 nivell 8 pot superior 7,089983 pot inferior -7,060466 potencia lateral -0,029647
Projecte final de carrera
potencia total -0,000130 nivell 7 pot superior 7,060466 pot inferior -7,030886 potencia lateral -0,029756 potencia total -0,000176 nivell 6 pot superior 7,030886 pot inferior -7,001431 potencia lateral -0,029589 potencia total -0,000134 nivell 5 pot superior 7,001431 pot inferior -6,972371 potencia lateral -0,029161 potencia total -0,000101 nivell 4 pot superior 6,972371 pot inferior -6,944218 potencia lateral -0,028322 potencia total -0,000169 nivell 3 pot superior 6,944218 pot inferior -6,917052 potencia lateral -0,027300 potencia total -0,000135 nivell 2 pot superior 6,917052 pot inferior -6,891315 potencia lateral -0,025823 potencia total -0,000086 nivell 1 pot superior 6,891315 pot inferior -6,867694 potencia lateral -0,023752 potencia total -0,000132
Projecte final de carrera
•Model 11 Llistat del programa: #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> #include <graphics.h> #include <conio.h> FILE * f1; void main (void) { float conduct(int i,int j,int k); float sumamp(int j,double *AMP); int m,n,o,i,j,k,b,t; float ***TV,difer,Tant,P1,P2,P4; double cangr,ALT[33],AMP[15],ANG[14],Tsup,Tinf,acum1,acum2; double Ki1,Ki2,Ki3,Ki4,Ki5,Ki6; clrscr(); i=31; j=13; k=13; /*---------------------------------------------------------- ---------- Tsup = temperatura superior --------------------- ----------------------------------------------------------*/ Tsup=400; Tinf=360; /* --------------------------------------------------------- ------ GUARDEM MEMORIA PER LES TEMPERATURES ------------ ------------------------------------------------------- */ TV=(float***)malloc((i+2)*sizeof(float**)); if (TV==NULL) { puts("error memoria 1"); exit(1); } for(m=0;m<=(i+2);m++) { TV[m]=(float**)malloc((j+2)*sizeof(float*)); if (TV[m]==NULL) { puts("error memoria2"); exit(1); } } for(m=0;m<=(i+2);m++) { for(n=0;n<=(j+2);n++) { TV[m][n]=(float*)calloc((k+2),sizeof(float));
Projecte final de carrera
if (TV[m][n]==NULL) { puts("error memoria 3"); exit(1); } } } /* -------------------------------------------------- -----------------finalitza emmagatzament------------- ----------------------------------------------------- */ /* -------------------------------------------------- -----------------omplo vectors----------------------- ----------------------------------------------------- */ /* distancies en metres, angles en radians */ /*-------------omplo amplades (j)-------------------- */ AMP[1]=0.00357; AMP[2]=0.00357; AMP[3]=0.00357; AMP[4]=0.00357; AMP[5]=0.00357; AMP[6]=0.00357; AMP[7]=0.00357; AMP[8]=0.00357; AMP[9]=0.00357; AMP[10]=0.00357; AMP[11]=0.00357; AMP[12]=0.00357; AMP[13]=0.00357; AMP[14]=0.00357; /*--------------omplo angles (k)--------------------- */ cangr=3.1415926/180; ANG[1]=2*cangr; ANG[2]=7*cangr; ANG[3]=9*cangr; ANG[4]=9*cangr; ANG[5]=9*cangr; ANG[6]=18*cangr; ANG[7]=18*cangr; ANG[8]=18*cangr; ANG[9]=18*cangr; ANG[10]=18*cangr; ANG[11]=18*cangr; ANG[12]=18*cangr; ANG[13]=18*cangr; /* ----------omplo altures (i) ---------------------*/ ALT[0]= 0.001; ALT[1]= 0.001; ALT[2]= 0.001; ALT[3]= 0.001; ALT[4]= 0.001; ALT[5]= 0.001; ALT[6]= 0.001; ALT[7]= 0.001; ALT[8]= 0.001; ALT[9]= 0.001; ALT[10]= 0.001; ALT[11]= 0.001; ALT[12]= 0.001; ALT[13]= 0.001; ALT[14]= 0.001;
Projecte final de carrera
ALT[15]= 0.001; ALT[16]= 0.001; ALT[17]= 0.001; ALT[18]= 0.001; ALT[19]= 0.001; ALT[20]= 0.001; ALT[21]= 0.001; ALT[22]= 0.001; ALT[23]= 0.001; ALT[24]= 0.001; ALT[25]= 0.001; ALT[26]= 0.001; ALT[27]= 0.001; ALT[28]= 0.001; ALT[29]= 0.001; ALT[30]= 0.001; ALT[31]= 0.001; ALT[32]= 0.001; /*-----------Omplo temperatures-perifŠriques----------- -------------i inicialitzo temperatures internes-----*/ for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[32][n][o]=Tsup; TV[0][n][o]=Tinf; } } acum2=0; for(b=1;b<=31;b++) { acum2=acum2+ALT[b]; } acum2=acum2+(ALT[0]+ALT[32])/2; for(m=1;m<=31;m++) { acum1=ALT[0]/2; for(b=1;b<=m-1;b++) { acum1=acum1+ALT[b]; } acum1=acum1+ALT[b]/2; for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[m][n][o]=Tinf+(Tsup-Tinf)*(acum1/acum2); } } } /*------------------comencen les iteracions---------------*/ difer=1; t=0; while(difer != 0) { t=t+1; difer=0; printf("%d ",t); for(m=1;m<=31;m++) { for(n=13;n>=1;n=n-1) { for(o=1;o<=13;o++)
Projecte final de carrera
{ Tant=TV[m][n][o]; if(o!=1 && o!=13 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n-1][o]+Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki2+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } if(o==1 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=0; Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n-1][o]+Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki2+Ki3+Ki5+Ki6); } if(o==13 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=0; Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n]));
Projecte final de carrera
TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n-1][o]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } if(n==1 && o!=1 && o!=13) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); TV[m][n][o]=(Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki2+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } if(n==1 && o==1) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=0; Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); TV[m][n][o]=(Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki2+Ki3+Ki5+Ki6); } if(n==1 && o==13) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=0; Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m]));
Projecte final de carrera
Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); TV[m][n][o]=(Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } if(fabs(TV[m][n][o]-Tant)>difer) { difer=fabs(TV[m][n][o]-Tant); } } } } printf("%f \n",difer); } f1=fopen("a:si71","w"); clrscr(); for(t=29;t>=1;t=t-1) { P1=0; P2=0; P4=0; m=t; for(n=1;n<=7;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { P1=P1+(1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])))*(TV[t+1][n][o]-TV[t][n][o]); } } for(n=1;n<=7;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { P4=P4+(1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])))*(TV[t-1][n][o]-TV[t][n][o]); } } n=7; for(m=t;m<=t;m++) { for(o=1;o<=13;o++) { P2=P2+(1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])))*(TV[m][8][o]-TV[m][7][o]); } } fprintf(f1,"nivell %d \n pot superior %f\n pot inferior %f\n potencia lateral %f \n potencia total %f\n\n",t,P1,P4,P2,P1+P4+P2); } /*--------------------------------------------------------- --------------------comprovacions-------------------------- ---------------------------------------------------------*/
Projecte final de carrera
fclose(f1); /*--------------------------------------------------------*/ free(TV); } float conduct(int i,int j,int k) { float condaux,CONDA,CONDB,CONDS,CONDF,CONDP; /*-------------- variables---------------------------------- CONDA = conductivitat pe‡a superior CONDB = conductivitat pe‡a inferior CONDS = conductivitat interf¡cie CONDF = conductivitat del forat CONDP = conductivitat de la pols ----------------------------------------------------------*/ CONDA=30; CONDB=10; CONDS=0.3; CONDF=0.3; CONDP=0.1; /*--------------------------------------------------------- -----aquesta subrutina assigna un valor de la conductivitat -----depenen de la situaci¢ del node----------------------- ---------------------------------------------------------*/ if(j<=7) { if(i>16) { condaux=CONDA; } if(i<16) { condaux=CONDB; } } if (i==4 || i==12 || i==20 || i==28) { if (k==1) { condaux=CONDF; } } if (i==16) { condaux=CONDS; } if(j>7) { condaux=CONDP; } return condaux; } float sumamp(int j,double AMP[]) { int s; float sum;
Projecte final de carrera
/*------------ Aquesta subrutina em dona la distancia fins----- al radi exterior d'un node a partir de l'eix-----------------------*/ sum=0; for(s=1;s<=j;s++) { sum=sum+AMP[s]; } return sum; }
•Resultats : nivell 29 pot superior 7,406289 pot inferior -7,403197 potencia lateral -0,002707 potencia total 0,000385 nivell 28 pot superior 7,403197 pot inferior -7,399146 potencia lateral -0,003654 potencia total 0,000397 nivell 27 pot superior 7,399146 pot inferior -7,393975 potencia lateral -0,004695 potencia total 0,000475 nivell 26 pot superior 7,393975 pot inferior -7,387764 potencia lateral -0,005851 potencia total 0,000359 nivell 25 pot superior 7,387764 pot inferior -7,380243 potencia lateral -0,007153 potencia total 0,000368 nivell 24 pot superior 7,380243 pot inferior -7,371137 potencia lateral -0,008662 potencia total 0,000444 nivell 23 pot superior 7,371137 pot inferior -7,360087 potencia lateral -0,010465 potencia total 0,000585 nivell 22 pot superior 7,360087 pot inferior -7,347051 potencia lateral -0,012692 potencia total 0,000343 nivell 21 pot superior 7,347051 pot inferior -7,331084 potencia lateral -0,015539 potencia total 0,000428 nivell 20
Projecte final de carrera
pot superior 7,331084 pot inferior -7,311463 potencia lateral -0,019228 potencia total 0,000393 nivell 19 pot superior 7,311463 pot inferior -7,286579 potencia lateral -0,024399 potencia total 0,000486 nivell 18 pot superior 7,286579 pot inferior -7,254505 potencia lateral -0,031643 potencia total 0,000430 nivell 17 pot superior 7,254505 pot inferior -7,212097 potencia lateral -0,042146 potencia total 0,000262 nivell 16 pot superior 7,212097 pot inferior -7,208503 potencia lateral -0,003589 potencia total 0,000004 nivell 15 pot superior 7,208503 pot inferior -7,241643 potencia lateral 0,033206 potencia total 0,000066 nivell 14 pot superior 7,241643 pot inferior -7,265716 potencia lateral 0,024219 potencia total 0,000145 nivell 13 pot superior 7,265716 pot inferior -7,283649 potencia lateral 0,018118 potencia total 0,000186 nivell 12 pot superior 7,283649 pot inferior -7,297404 potencia lateral 0,013898 potencia total 0,000143 nivell 11 pot superior 7,297404 pot inferior -7,308201 potencia lateral 0,010960 potencia total 0,000163 nivell 10 pot superior 7,308201 pot inferior -7,316770 potencia lateral 0,008726 potencia total 0,000158 nivell 9 pot superior 7,316770 pot inferior -7,323685 potencia lateral 0,007032
Projecte final de carrera
potencia total 0,000117 nivell 8 pot superior 7,323685 pot inferior -7,329240 potencia lateral 0,005702 potencia total 0,000147 nivell 7 pot superior 7,329240 pot inferior -7,333711 potencia lateral 0,004624 potencia total 0,000154 nivell 6 pot superior 7,333711 pot inferior -7,337313 potencia lateral 0,003720 potencia total 0,000118 nivell 5 pot superior 7,337313 pot inferior -7,340127 potencia lateral 0,002936 potencia total 0,000122 nivell 4 pot superior 7,340127 pot inferior -7,342305 potencia lateral 0,002290 potencia total 0,000112 nivell 3 pot superior 7,342305 pot inferior -7,343885 potencia lateral 0,001716 potencia total 0,000136 nivell 2 pot superior 7,343885 pot inferior -7,344882 potencia lateral 0,001121 potencia total 0,000124 nivell 1 pot superior 7,344882 pot inferior -7,345330 potencia lateral 0,000553 potencia total 0,000105
Projecte final de carrera
•Model 22 Llistat del programa: #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> #include <graphics.h> #include <conio.h> FILE * f1; void main (void) { void calcula(int m,int n, int o,double *AMP,double *ALT,double *ANG, float ***TV); float conduct(int i,int j,int k); float sumamp(int j,double *AMP); int m,n,o,i,j,k,b,t; float ***TV,difer,Tant,P1,P2,P4; double cangr,ALT[33],AMP[15],ANG[14],Tsup,Tinf,acum1,acum2; clrscr(); i=31; j=13; k=13; /*---------------------------------------------------------- ---------- Tsup = temperatura superior --------------------- ----------------------------------------------------------*/ Tsup=400; Tinf=360; /* --------------------------------------------------------- ------ GUARDEM MEMORIA PER LES TEMPERATURES ------------ ------------------------------------------------------- */ TV=(float***)malloc((i+2)*sizeof(float**)); if (TV==NULL) { puts("error memoria 1"); exit(1); } for(m=0;m<=(i+2);m++) { TV[m]=(float**)malloc((j+2)*sizeof(float*)); if (TV[m]==NULL) { puts("error memoria2"); exit(1); } } for(m=0;m<=(i+2);m++) {
Projecte final de carrera
for(n=0;n<=(j+2);n++) { TV[m][n]=(float*)calloc((k+2),sizeof(float)); if (TV[m][n]==NULL) { puts("error memoria 3"); exit(1); } } } /* -------------------------------------------------- -----------------finalitza emmagatzament------------- ----------------------------------------------------- */ /* -------------------------------------------------- -----------------omplo vectors----------------------- ----------------------------------------------------- */ /* distancies en metres, angles en radians */ /*-------------omplo amplades (j)-------------------- */ AMP[1]=0.00357; AMP[2]=0.00357; AMP[3]=0.00357; AMP[4]=0.00357; AMP[5]=0.00357; AMP[6]=0.00357; AMP[7]=0.00357; AMP[8]=0.00357; AMP[9]=0.00357; AMP[10]=0.00357; AMP[11]=0.00357; AMP[12]=0.00357; AMP[13]=0.00357; AMP[14]=0.00357; /*--------------omplo angles (k)--------------------- */ cangr=3.1415926/180; ANG[1]=2*cangr; ANG[2]=7*cangr; ANG[3]=9*cangr; ANG[4]=9*cangr; ANG[5]=9*cangr; ANG[6]=18*cangr; ANG[7]=18*cangr; ANG[8]=18*cangr; ANG[9]=18*cangr; ANG[10]=18*cangr; ANG[11]=18*cangr; ANG[12]=18*cangr; ANG[13]=18*cangr; /* ----------omplo altures (i) ---------------------*/ ALT[0]= 0.001; ALT[1]= 0.001; ALT[2]= 0.001; ALT[3]= 0.001; ALT[4]= 0.001; ALT[5]= 0.001; ALT[6]= 0.001; ALT[7]= 0.001; ALT[8]= 0.001; ALT[9]= 0.001; ALT[10]= 0.001; ALT[11]= 0.001;
Projecte final de carrera
ALT[12]= 0.001; ALT[13]= 0.001; ALT[14]= 0.001; ALT[15]= 0.001; ALT[16]= 0.001; ALT[17]= 0.001; ALT[18]= 0.001; ALT[19]= 0.001; ALT[20]= 0.001; ALT[21]= 0.001; ALT[22]= 0.001; ALT[23]= 0.001; ALT[24]= 0.001; ALT[25]= 0.001; ALT[26]= 0.001; ALT[27]= 0.001; ALT[28]= 0.001; ALT[29]= 0.001; ALT[30]= 0.001; ALT[31]= 0.001; ALT[32]= 0.001; /*-----------Omplo temperatures-perifŠriques----------- -------------i inicialitzo temperatures internes-----*/ for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[32][n][o]=Tsup; TV[0][n][o]=Tinf; } } acum2=0; for(b=1;b<=31;b++) { acum2=acum2+ALT[b]; } acum2=acum2+(ALT[0]+ALT[32])/2; for(m=1;m<=31;m++) { acum1=ALT[0]/2; for(b=1;b<=m-1;b++) { acum1=acum1+ALT[b]; } acum1=acum1+ALT[b]/2; for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[m][n][o]=Tinf+(Tsup-Tinf)*(acum1/acum2); } } } /*------------------comencen les iteracions---------------*/ difer=1; t=0; while(difer != 0) { t=t+1; difer=0; printf("%d ",t); m=32;
Projecte final de carrera
for(n=8;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { Tant=TV[m][n][o]; calcula(m,n,o,AMP,ALT,ANG,TV); if(fabs(TV[m][n][o]-Tant)>difer) { difer=fabs(TV[m][n][o]-Tant); } } } for(m=31;m>=1;m=m-1) { for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { Tant=TV[m][n][o]; calcula(m,n,o,AMP,ALT,ANG,TV); if(fabs(TV[m][n][o]-Tant)>difer) { difer=fabs(TV[m][n][o]-Tant); } } } } m=0; for(n=8;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { Tant=TV[m][n][o]; calcula(m,n,o,AMP,ALT,ANG,TV); if(fabs(TV[m][n][o]-Tant)>difer) { difer=fabs(TV[m][n][o]-Tant); } } } printf("%f \n",difer); } f1=fopen("a:si812","w"); clrscr(); for(t=29;t>=1;t=t-1) { P1=0; P2=0; P4=0; m=t; for(n=1;n<=7;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { P1=P1+(1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])))*(TV[t+1][n][o]-TV[t][n][o]); } } for(n=1;n<=7;n++)
Projecte final de carrera
{ for(o=1;o<=13;o++) { P4=P4+(1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])))*(TV[t-1][n][o]-TV[t][n][o]); } } n=7; for(m=t;m<=t;m++) { for(o=1;o<=13;o++) { P2=P2+(1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])))*(TV[m][8][o]-TV[m][7][o]); } } fprintf(f1,"nivell %d \n pot superior %f\n pot inferior %f\n potencia lateral %f \n potencia total %f\n\n",t,P1,P4,P2,P1+P4+P2); } /*--------------------------------------------------------- --------------------comprovacions-------------------------- ---------------------------------------------------------*/ fclose(f1); /*--------------------------------------------------------*/ free(TV); } float conduct(int i,int j,int k) { float condaux,CONDA,CONDB,CONDS,CONDF,CONDP; /*-------------- variables---------------------------------- CONDA = conductivitat pe‡a superior CONDB = conductivitat pe‡a inferior CONDS = conductivitat interf¡cie CONDF = conductivitat del forat CONDP = conductivitat de la pols ----------------------------------------------------------*/ CONDA=30; CONDB=10; CONDS=0.3; CONDF=0.3; CONDP=0.1; /*--------------------------------------------------------- -----aquesta subrutina assigna un valor de la conductivitat -----depenen de la situaci¢ del node----------------------- ---------------------------------------------------------*/ if(j<=7) { if(i>16) { condaux=CONDA;
Projecte final de carrera
} if(i<16) { condaux=CONDB; } } if (i==4 || i==12 || i==20 || i==28) { if (k==1) { condaux=CONDF; } } if (i==16) { condaux=CONDS; } if(j>7) { condaux=CONDP; } return condaux; } float sumamp(int j,double AMP[]) { int s; float sum; /*------------ Aquesta subrutina em dona la distancia fins----- al radi exterior d'un node a partir de l'eix-----------------------*/ sum=0; for(s=1;s<=j;s++) { sum=sum+AMP[s]; } return sum; } void calcula(int m,int n,int o,double *AMP,double *ALT,double *ANG,float ***TV) { double Ki1,Ki2,Ki3,Ki4,Ki5,Ki6; Ki1=1; Ki2=1; Ki3=1; Ki4=1; Ki5=1; Ki6=1; if(m !=0 && m!=32 && o==1 && n!=1 && n!=14) { Ki4=0; } if(m !=0 && m!=32 && o==1 && n==1) { Ki1=0; Ki4=0; } if(m !=0 && m!=32 && o==1 && n==14) { Ki3=0; Ki4=0; }
Projecte final de carrera
if(m !=0 && m!=32 && o==13 && n==1) { Ki1=0; Ki2=0; } if(m !=0 && m!=32 && o==13 && n==14) { Ki3=0; Ki2=0; } if(m !=0 && m!=32 && o==13 && n!=1 && n!=14) { Ki2=0; } if(m!=0 && m!=32 && o!=1 && o!=13 && n==1) { Ki1=0; } if(m !=0 && m!=32 && o!=1 && o!=13 && n==14) { Ki3=0; } /* ------------------------ 2 part---------------------- */ if(m==32 && o!=1 && o!=13 && n!=14 && n!=1) { Ki6=0; } if(m==32 && o==1 && n!=1 && n!=14) { Ki4=0; Ki6=0; } if(m==32 && o==1 && n==14) { Ki3=0; Ki4=0; Ki6=0; } if(m==32 && o==1 && n==1) { Ki1=0; Ki4=0; Ki6=0; } if(m==32 && o==13 && n==14) { Ki3=0; Ki2=0; Ki6=0; } if(m==32 && o==13 && n==1) { Ki1=0; Ki2=0; Ki6=0; }
Projecte final de carrera
if(m==32 && o==13 && n!=1 && n!=14) { Ki2=0; Ki6=0; } if(m==32 && o!=1 && o!=13 && n==14) { Ki3=0; Ki6=0; } if(m==32 && o!=1 && o!=13 && n==1) { Ki1=0; Ki6=0; } /*----------------- 3 part --------------------------*/ if(m==0 && o!=1 && o!=13 && n!=14 && n!=1) { Ki5=0; } if(m==0 && o==1 && n!=1 && n!=14) { Ki4=0; Ki5=0; } if(m==0 && o==1 && n==14) { Ki3=0; Ki4=0; Ki5=0; } if(m==0 && o==1 && n==1) { Ki1=0; Ki4=0; Ki5=0; } if(m==0 && o==13 && n==14) { Ki3=0; Ki2=0; Ki5=0; } if(m==0 && o==13 && n==1) { Ki1=0; Ki2=0; Ki5=0; } if(m==0 && o==13 && n!=1 && n!=14) { Ki2=0; Ki5=0; } if(m==0 && o!=1 && o!=13 && n==14)
Projecte final de carrera
{ Ki3=0; Ki5=0; } if(m==0 && o!=1 && o!=13 && n==1) { Ki1=0; Ki5=0; } /*------------------------------------------------*/ if(Ki1==1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); } if(Ki2==1) { Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); } if(Ki3==1) { Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); } if(Ki4==1) { Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); } if(Ki5==1) { Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); } if(Ki6==1) { Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); } TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n-1][o]+Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki2+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); }
Projecte final de carrera
•Resultats : nivell 29 pot superior 7,440492 pot inferior -7,428580 potencia lateral -0,011568 potencia total 0,000343 nivell 28 pot superior 7,428580 pot inferior -7,416713 potencia lateral -0,011435 potencia total 0,000433 nivell 27 pot superior 7,416713 pot inferior -7,404710 potencia lateral -0,011535 potencia total 0,000468 nivell 26 pot superior 7,404710 pot inferior -7,392416 potencia lateral -0,011803 potencia total 0,000491 nivell 25 pot superior 7,392416 pot inferior -7,379853 potencia lateral -0,012274 potencia total 0,000289 nivell 24 pot superior 7,379853 pot inferior -7,366485 potencia lateral -0,012995 potencia total 0,000373 nivell 23 pot superior 7,366485 pot inferior -7,351979 potencia lateral -0,014045 potencia total 0,000462 nivell 22 pot superior 7,351979 pot inferior -7,336162 potencia lateral -0,015544 potencia total 0,000273 nivell 21 pot superior 7,336162 pot inferior -7,317968 potencia lateral -0,017681 potencia total 0,000513 nivell 20 pot superior 7,317968 pot inferior -7,296774 potencia lateral -0,020668 potencia total 0,000526 nivell 19 pot superior 7,296774 pot inferior -7,271184 potencia lateral -0,025150 potencia total 0,000440
Projecte final de carrera
nivell 18 pot superior 7,271184 pot inferior -7,239004 potencia lateral -0,031699 potencia total 0,000481 nivell 17 pot superior 7,239004 pot inferior -7,197248 potencia lateral -0,041496 potencia total 0,000260 nivell 16 pot superior 7,197248 pot inferior -7,194574 potencia lateral -0,002674 potencia total 0,000001 nivell 15 pot superior 7,194574 pot inferior -7,229475 potencia lateral 0,034971 potencia total 0,000070 nivell 14 pot superior 7,229475 pot inferior -7,255982 potencia lateral 0,026678 potencia total 0,000170 nivell 13 pot superior 7,255982 pot inferior -7,277123 potencia lateral 0,021281 potencia total 0,000139 nivell 12 pot superior 7,277123 pot inferior -7,294756 potencia lateral 0,017769 potencia total 0,000137 nivell 11 pot superior 7,294756 pot inferior -7,310166 potencia lateral 0,015585 potencia total 0,000175 nivell 10 pot superior 7,310166 pot inferior -7,324166 potencia lateral 0,014127 potencia total 0,000126 nivell 9 pot superior 7,324166 pot inferior -7,337254 potencia lateral 0,013249 potencia total 0,000162 nivell 8 pot superior 7,337254 pot inferior -7,349879 potencia lateral 0,012792 potencia total 0,000166 nivell 7 pot superior 7,349879 pot inferior -7,362410
Projecte final de carrera
potencia lateral 0,012656 potencia total 0,000125 nivell 6 pot superior 7,362410 pot inferior -7,375031 potencia lateral 0,012784 potencia total 0,000163 nivell 5 pot superior 7,375031 pot inferior -7,388017 potencia lateral 0,013154 potencia total 0,000168 nivell 4 pot superior 7,388017 pot inferior -7,401721 potencia lateral 0,013793 potencia total 0,000090 nivell 3 pot superior 7,401721 pot inferior -7,416391 potencia lateral 0,014790 potencia total 0,000120 nivell 2 pot superior 7,416391 pot inferior -7,432313 potencia lateral 0,016046 potencia total 0,000124 nivell 1 pot superior 7,432313 pot inferior -7,450006 potencia lateral 0,017784 potencia total 0,000091
ANNEX 6.RESULTATS En aquest annex es presenta la precissió que s’aconsegueix en cada model de conductivímetre per a diferets valors de les variables principals (conductivitat de la pols, conductivitats de les peces, diámetres ...). La precissió s’expresa com :
En el cas de tenir el cas teòric de flux perfectament axial, s’otindria un valor de l’expressió anterior igual a 100. ARXIUS DE RESULTATS DE SIMUL
Nom PROGRAM Tsup Tinf CONDA CONDB CONDS CONDF CONDP AMP[1] AMP[2] AMP[3] AMP[4] AMP[5] AMP[6] AMP[7] AMP[8] AMP[9] AMP[10] AMP[11] AMP[12] AMP[13] AMP[14] Precisió nº
ARX__
1 SIMUL50 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,52887 1 2 SIMUL50 400 360 30 10 0,3 0,3 0,2 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 97,19619 2 3 SIMUL50 400 360 30 10 0,3 0,3 0,4 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 94,71233 3 4 SIMUL50 400 360 30 10 0,3 0,3 1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 88,54094 4 5 SIMUL50 400 360 30 10 0,3 0,3 4 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 71,90351 5 6 SIMUL50 400 360 10 30 0,3 0,3 4 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 71,90351 6 7 SIMUL50 400 360 10 30 0,3 0,3 1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 88,54094 7 8 SIMUL50 400 360 10 30 0,3 0,3 0,4 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 94,71233 8 9 SIMUL50 400 360 10 30 0,3 0,3 0,2 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 97,19619 9
10 SIMUL50 400 360 10 30 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,52887 10 11 SIMUL50 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0029 0,00285 0,0029 0,0029 0,0029 0,0029 0,0029 0,0043 0,0043 0,00428 0,00428 0,00428 0,00428 0,00428 98,1105 11 12 SIMUL50 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0021 0,00214 0,0021 0,0021 0,0021 0,0021 0,0021 0,005 0,005 0,005 0,005 0,005 0,005 0,005 97,32399 12 13 SIMUL50 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0014 0,00142 0,0014 0,0014 0,0014 0,0014 0,0014 0,0057 0,0057 0,00571 0,00571 0,00571 0,00571 0,00571 95,47029 13 14 SIMUL50 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0007 0,00071 0,0007 0,0007 0,0007 0,0007 0,0007 0,0064 0,0064 0,00642 0,00642 0,00642 0,00642 0,00642 88,99225 14 15 SIMUL50 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0004 0,00035 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0068 0,0068 0,00678 0,00678 0,00678 0,00678 0,00678 75,61144 15
100
)()(
412
2028
∗−−
ACONDBCOND
TTTT
16 SIMUL50 400 360 30 10 0,2 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,52781 16 17 SIMUL50 400 360 30 10 0,05 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,50187 17 18 SIMUL50 400 360 30 10 1 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,52959 18 19 SIMUL50 400 360 30 10 2 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,52701 19 20 SIMUL51 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 20 21 SIMUL51 400 360 30 10 0,3 0,3 0,2 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 21 22 SIMUL51 400 360 30 10 0,3 0,3 0,01 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 22 23 SIMUL51 400 360 30 10 0,3 0,3 0,4 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 23 24 SIMUL51 400 360 30 10 0,3 0,3 0,001 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 24 25 SIMUL50 400 360 20 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,88985 25 26 SIMUL50 400 360 10 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 99,97982 26 27 SIMUL50 400 360 5 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 97,88462 27 28 SIMUL50 400 360 1 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 84,26427 28 29 SIMUL50 400 360 100 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 97,97068 29 30 SIMUL50 400 360 50 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,21729 30 31 SIMUL50 400 395 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,17209 31 32 SIMUL50 400 380 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,46559 32 33 SIMUL50 400 370 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,50521 33 34 SIMUL50 400 340 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,54392 34 35 SIMUL50 400 300 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,55463 35 36 SIMUL50 400 250 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,56251 36 37 SIMUL50 400 360 10 30 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,52887 37 38 SIMUL50 400 360 10 50 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,21729 38 39 SIMUL50 400 360 10 100 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 97,97068 39 40 SIMUL50 400 360 10 20 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,88985 40 41 SIMUL61 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 84,05477 41 42 SIMUL61 400 360 30 10 0,3 0,3 0,2 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 71,64802 42 43 SIMUL61 400 360 30 10 0,3 0,3 0,4 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 53,63336 43 44 SIMUL61 400 360 30 10 0,3 0,3 1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 25,12667 44 45 SIMUL61 400 360 30 10 0,3 0,3 4 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 45 46 SIMUL61 400 360 10 30 0,3 0,3 4 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 46 47 SIMUL61 400 360 10 30 0,3 0,3 1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 NEG 47 48 SIMUL61 400 360 10 30 0,3 0,3 0,4 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 222,9428 48 49 SIMUL61 400 360 10 30 0,3 0,3 0,2 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 143,215 49 50 SIMUL61 400 360 10 30 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 118,7796 50 51 SIMUL61 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0029 0,00285 0,0029 0,0029 0,0029 0,0029 0,0029 0,0043 0,0043 0,00428 0,00428 0,00428 0,00428 0,00428 71,8945 51 52 SIMUL61 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0021 0,00214 0,0021 0,0021 0,0021 0,0021 0,0021 0,005 0,005 0,005 0,005 0,005 0,005 0,005 67,77055 52 53 SIMUL61 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0014 0,00142 0,0014 0,0014 0,0014 0,0014 0,0014 0,0057 0,0057 0,00571 0,00571 0,00571 0,00571 0,00571 48,85959 53 54 SIMUL61 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0007 0,00071 0,0007 0,0007 0,0007 0,0007 0,0007 0,0064 0,0064 0,00642 0,00642 0,00642 0,00642 0,00642 12,44626 54 55 SIMUL61 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0004 0,00035 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0068 0,0068 0,00678 0,00678 0,00678 0,00678 0,00678 55 56 SIMUL61 400 360 30 10 0,2 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 83,60315 56 57 SIMUL61 400 360 30 10 0,05 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 79,62152 57 58 SIMUL61 400 360 30 10 1 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 84,70051 58 59 SIMUL61 400 360 30 10 2 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 84,83938 59 60 SIMUL62 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 60 61 SIMUL62 400 360 30 10 0,3 0,3 0,2 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 61 62 SIMUL62 400 360 30 10 0,3 0,3 0,01 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 62 63 SIMUL62 400 360 30 10 0,3 0,3 0,4 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 63
64 SIMUL62 400 360 30 10 0,3 0,3 0,001 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 64 65 SIMUL61 400 360 20 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 82,444 65 66 SIMUL61 400 360 10 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 77,61729 66 67 SIMUL61 400 360 5 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 147,0726 67 68 SIMUL61 400 360 1 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 NEG 68 69 SIMUL61 400 360 100 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 86,3565 69 70 SIMUL61 400 360 50 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 85,35744 70 71 SIMUL61 400 395 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 29,33476 71 72 SIMUL61 400 380 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 71,18754 72 73 SIMUL61 400 370 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 79,43768 73 74 SIMUL61 400 340 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 89,06396 74 75 SIMUL61 400 300 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 93,38349 75 76 SIMUL61 400 250 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 95,65687 76 77 SIMUL61 400 360 10 30 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 118,7796 77 78 SIMUL61 400 360 10 50 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 116,7464 78 79 SIMUL61 400 360 10 100 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 115,18 79 80 SIMUL61 400 360 10 20 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 121,305 80 81 SIMUL70 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,47116 81 82 SIMUL70 400 360 30 10 0,3 0,3 0,2 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 97,08506 82 83 SIMUL70 400 360 30 10 0,3 0,3 0,4 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 94,52722 83 84 SIMUL70 400 360 30 10 0,3 0,3 1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 88,22993 84 85 SIMUL70 400 360 30 10 0,3 0,3 4 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 71,71327 85 86 SIMUL70 400 360 10 30 0,3 0,3 4 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 71,71327 86 87 SIMUL70 400 360 10 30 0,3 0,3 1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 88,22993 87 88 SIMUL70 400 360 10 30 0,3 0,3 0,4 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 94,52722 88 89 SIMUL70 400 360 10 30 0,3 0,3 0,2 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 97,98506 89 90 SIMUL70 400 360 10 30 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,47116 90 91 SIMUL70 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0029 0,00285 0,0029 0,0029 0,0029 0,0029 0,0029 0,0043 0,0043 0,00428 0,00428 0,00428 0,00428 0,00428 98,01237 91 92 SIMUL70 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0021 0,00214 0,0021 0,0021 0,0021 0,0021 0,0021 0,005 0,005 0,005 0,005 0,005 0,005 0,005 97,16113 92 93 SIMUL70 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0014 0,00142 0,0014 0,0014 0,0014 0,0014 0,0014 0,0057 0,0057 0,00571 0,00571 0,00571 0,00571 0,00571 95,19336 93 94 SIMUL70 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0007 0,00071 0,0007 0,0007 0,0007 0,0007 0,0007 0,0064 0,0064 0,00642 0,00642 0,00642 0,00642 0,00642 88,53514 94 95 SIMUL70 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0004 0,00035 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0068 0,0068 0,00678 0,00678 0,00678 0,00678 0,00678 95 96 SIMUL70 400 360 30 10 0,2 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,47147 96 97 SIMUL70 400 360 30 10 0,05 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,44578 97 98 SIMUL70 400 360 30 10 1 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,47108 98 99 SIMUL70 400 360 30 10 2 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,46762 99
100 SIMUL71 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 100 101 SIMUL71 400 360 30 10 0,3 0,3 0,2 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 101 102 SIMUL71 400 360 30 10 0,3 0,3 0,01 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 102 103 SIMUL71 400 360 30 10 0,3 0,3 0,4 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 103 104 SIMUL71 400 360 30 10 0,3 0,3 0,001 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 104 105 SIMUL70 400 360 20 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,84846 105 106 SIMUL70 400 360 10 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 99,97787 106 107 SIMUL70 400 360 5 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 97,80736 107 108 SIMUL70 400 360 1 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 83,81236 108 109 SIMUL70 400 360 100 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 97,89321 109 110 SIMUL70 400 360 50 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,1505 110 111 SIMUL70 400 395 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,47116 111
112 SIMUL70 400 380 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,41063 112 113 SIMUL70 400 370 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,44794 113 114 SIMUL70 400 340 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,485 114 115 SIMUL70 400 300 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,49645 115 116 SIMUL70 400 250 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,50498 116 117 SIMUL70 400 360 10 30 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,47116 117 118 SIMUL70 400 360 10 50 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,1505 118 119 SIMUL70 400 360 10 100 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 97,89321 119 120 SIMUL70 400 360 10 20 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,84846 120 121 SIMUL80 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 99,43961 121 122 SIMUL80 400 360 30 10 0,3 0,3 0,2 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,9472 122 123 SIMUL80 400 360 30 10 0,3 0,3 0,4 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,00421 123 124 SIMUL80 400 360 30 10 0,3 0,3 1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 95,4433 124 125 SIMUL80 400 360 30 10 0,3 0,3 4 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 86,69147 125 126 SIMUL80 400 360 10 30 0,3 0,3 4 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 86,69147 126 127 SIMUL80 400 360 10 30 0,3 0,3 1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 95,4433 127 128 SIMUL80 400 360 10 30 0,3 0,3 0,4 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,00421 128 129 SIMUL80 400 360 10 30 0,3 0,3 0,2 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,9472 129 130 SIMUL80 400 360 10 30 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 99,43961 130 131 SIMUL80 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0029 0,00285 0,0029 0,0029 0,0029 0,0029 0,0029 0,0043 0,0043 0,00428 0,00428 0,00428 0,00428 0,00428 99,19754 131 132 SIMUL80 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0021 0,00214 0,0021 0,0021 0,0021 0,0021 0,0021 0,005 0,005 0,005 0,005 0,005 0,005 0,005 98,7855 132 133 SIMUL80 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0014 0,00142 0,0014 0,0014 0,0014 0,0014 0,0014 0,0057 0,0057 0,00571 0,00571 0,00571 0,00571 0,00571 97,83875 133 134 SIMUL80 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0007 0,00071 0,0007 0,0007 0,0007 0,0007 0,0007 0,0064 0,0064 0,00642 0,00642 0,00642 0,00642 0,00642 94,44785 134 135 SIMUL80 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0004 0,00035 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0068 0,0068 0,00678 0,00678 0,00678 0,00678 0,00678 135 136 SIMUL80 400 360 30 10 0,2 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 99,43721 136 137 SIMUL80 400 360 30 10 0,05 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 99,41673 137 138 SIMUL80 400 360 30 10 1 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 99,43219 138 139 SIMUL80 400 360 30 10 2 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 99,43155 139 140 SIMUL81 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 140 141 SIMUL81 400 360 30 10 0,3 0,3 0,2 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 141 142 SIMUL81 400 360 30 10 0,3 0,3 0,01 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 142 143 SIMUL81 400 360 30 10 0,3 0,3 0,4 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 143 144 SIMUL81 400 360 30 10 0,3 0,3 0,001 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 144 145 SIMUL80 400 360 20 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 99,57132 145 146 SIMUL80 400 360 10 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 99,99003 146 147 SIMUL80 400 360 5 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 99,19898 147 148 SIMUL80 400 360 1 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 93,66766 148 149 SIMUL80 400 360 100 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 99,18986 149 150 SIMUL80 400 360 50 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 99,31259 150 151 SIMUL80 400 395 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 99,10269 151 152 SIMUL80 400 380 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 99,3752 152 153 SIMUL80 400 370 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 99,41783 153 154 SIMUL80 400 340 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 99,45059 154 155 SIMUL80 400 300 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 99,46528 155 156 SIMUL80 400 250 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 99,47228 156 157 SIMUL80 400 360 10 30 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 99,43961 157 158 SIMUL80 400 360 10 50 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 99,31259 158 159 SIMUL80 400 360 10 100 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 99,18986 159
160 SIMUL80 400 360 10 20 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 99,57132 160
Projecte final de carrera
ANNEX 7. Importància de la concucció convecció i radiació en les interficies.
Aquest annex pretèn valorar a grans trets quina és la importància que té cadascuna d’aquestes
transferencies energètiques (conducció, convecció i radiació) en les interfícies entre dues peces.
Es prendrà el següent model com a referencia :
•Potència transmesa per conducció gasosa :
Substituint valors representatius :
•Potència transmesa per convecció gasosa :
On substituint valors representatius :
0,1 mm=0,0001 m
700 K 695 K
Q
xT
AQ
∆∆
= .λ
2400001,02.02,0 m
Wm
KmK
WAQ
==
ThAQ
∆= .
2022.20 2 == K
KmW
AQ
Projecte final de carrera
•Potència transmesa per radiació :
Substituint valors orientatius :
•Potència transmesa per conducció sòlida:
Substituint valors representatius :
Tenint en compte el percentatge d’ àrees que realment travessa cada tipus de transferència :
W.m-2 % de superficie W
Conducció gasosa 400 99 396
Convecció 20 99 19.8
Radiació 8 1 8
Conducció sòlida 40000 1 400
111).(
21
42
41
−+
−=
εε
σ TTAQ
2
448
16411,0
11,0
1)698700.(10.67,5
mW
AQ
=−+
−=
−
xT
AQ
∆∆
= .λ
240000001,02.20 m
Wm
KmK
WAQ
==
Projecte final de carrera
ANNEX 8. TIPOLOGIES D’AILLAMENTS. Els paràmetres utilitzats per a la comparació dels diversos models han estat : D1 =0.05 m D2= 0.1 m D3= 0.12 m D4= 0.14 m D5= 0.16 m D6= 0.18 m D7= 0.20 m D8=0.30 m λaill = 0.02 Wm-1K-1 T1= 773 K Tinf=293 K Sigma=5.7E-8 haire=1 Wm-2K-1 ealum=0.15 evidr=0,95 Les equacions emprades en cada model han estat : CAS I: E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 CAS II: E1 E23 E9 E45 E10 E67 E7 E8 CAS III: E1 E2 E9 E4 E10 E6 E7 E8 CAS IV: E1 E27 E7 E8 CAS V: E1 E30 E7 E8 CAS VII: E1 E25 E10 E6 E7 E8 CAS VIII: E32(sense aillaments)
Projecte final de carrera
On cadascuna d’elles té la següent expressió desenvolupada : •E1 •E2 •E3 •E4 •E5 •E6 •E7 •E8 •E23
)1(11)(
21
42
41
a
a
DD
TTLq
ε
πσε
−+
−=
)1(11)(
32
43
42
a
a
DD
TTLq
ε
πσε
−+
−=
3
4
43 )(2
DDLn
TTLq aill −
=πλ
)1(11)(
54
45
44
a
a
DD
TTLq
ε
πσε
−+
−=
5
6
65 )(2
DDLn
TTLq aill −
=πλ
)1(11)(
76
47
46
a
a
DD
TTLq
ε
πσε
−+
−=
)11(1)(
8
7
48
477
−+
−=
va DD
TTDLq
εε
πσ
)()( inf884
inf4
88 TTDhTTDLq
v −+−= πσπε
2
3
32 )(2
DDLn
TTLq aill −
=πλ
Projecte final de carrera
•E9
•E45
•E10
•E67
•E27 •E30
•E25
•E32
)1(11)(
43
44
43
a
a
DD
TTLq
ε
πσε
−+
−=
4
5
54 )(2
DDLn
TTLq aill −
=πλ
)1(11)(
65
46
45
a
a
DD
TTLq
ε
πσε
−+
−=
6
7
76 )(2
DDLn
TTLq aill −
=πλ
)1(11)(
72
47
42
a
a
DD
TTLq
ε
πσε
−+
−=
2
7
72 )(2
DDLn
TTLq aill −
=πλ
2
5
52 )(2
DDLn
TTLq aill −
=πλ
)()( inf184
inf4
18 TTDhTTDLq
v −+−= πσπε
Projecte final de carrera
Els sistemes d’equacions no lineals de fins a 8 equacions han estat resolts mitjançant un programa iteratiu amb la calculadora HP 48 S, els resultats obtinguts han estat els següents :
CAS1 CAS2 CAS3 CAS4 CAS5 CAS7 CAS8
T1 773 773 773 773 773 773 773T2 724,2 728,7 711,3 622 732,8 735,3T3 689,6 626,8 665T4 595,5 584,1 616,6T5 547,6 509,5 562,9 508,6T6 475,7 443,04 498 452,7T7 389,8 384,11 404,5 465,8 378,5 375,1T8 305 304 307,7 321,3 303,1 302,6Tinf 293 293 293 293 293 293 293Potència(W/m) 76,72 70,28 94,66 193 64,24 60,61 224
rati 0,3425 0,31375 0,42259 0,861607 0,286786 0,27058 1
Projecte final de carrera
Potència dissipada per radiació amb plaques a diferents distàncies (cas 3). CAS III: E1 E2 E9 E4 E10 E6 E7 E8 T1= 773 K Tinf=293 K Sigma=5.7E-8 Wm-2K-4 haire=1 Wm-2K-1 ealum=0.15 evidr=0,95
D8=0.30 m separació cada 0,5 mm 0,001 potència(W/m)D1 =0.05 m 72,53D2= 0.1 m D3 0,101T1= 773 K D4 0,102Tinf=293 K D5 0,103Sigma=5.7E-8 D6 0,104haire=1 Wm-2K-1 D7 0,105ealum=0.15evidr=0,95 separació cada 1mm 0,002 potència(W/m)
73,97D3 0,102D4 0,104D5 0,106D6 0,108D7 0,11
separació cada 2 mm 0,004 potència(W/m)76,7
D3 0,104D4 0,108D5 0,112D6 0,116D7 0,12
separacio cada 4 mm 0,008 potència(W/m)81,8
D3 0,108D4 0,116D5 0,124D6 0,132D7 0,14
separacio cada 8 mm 0,016 potència(W/m)90,7
D3 0,116D4 0,132D5 0,148D6 0,164D7 0,18
Projecte final de carrera
Gràfica de les dades anteriors :
Excel :conductivimetres aïllament
70
75
80
85
90
95
0 2 4 6 8 10distància entre làmines [m m]
potè
ncia
per
duda
[w/m
]
Projecte final de carrera
ANNEX 9. CONDUCTIVITATS DE DIVERSOS MATERIALS.
A continuació es presenten les conductivitats tèrmiques vs. temperatura d’ alguns dels
material emprats a laboratori .
Thermal conductity of Pyrex 7740(W/mK)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
-200 -100 0 100 200 300 400 500 600
Temperature(C)
Thermal conductity of Pyroceram 9606 (W/mk)
2,5
3
3,5
4
4,5
5
5,5
6
-400 -200 0 200 400 600 800 1000 1200
Temperature(C)
Projecte final de carrera
Thermal conductity of inconel 718 (W/mK)
5
10
15
20
25
30
-200 0 200 400 600 800 1000 1200
Temperature(C)
Thermal conductity Electrolytic Iron (w/mK)
20
30
40
50
60
70
80
90
-200 -100 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Temperature(C)
Projecte final de carrera
10. FULLES DE CONTROL D’EXPERIMENTACIÓ
Es presenten en aquest annex les fulles de control d’experimentació. En elles queden
reflexades les lectures realitzades en els termoparells, la conversió segons taules o
equacions de regressió a lectures de temperatura, i el càlcul del cabals en cada peça. En
l’apartat inferior, hi han els comentaris de cada experiment, i l’objectiu que es pretenia
cercar amb cada prova diferent.
Les experimentacions estan agrupades per muntatges: en cada muntatge es podien
realitzar diverses experimentacions a partir de la introducció en els PID de diferents
gradients tèrmics a les peces. Els muntatges queden reflexats per la primera xifra de
l’experimentació (exp. 5), mentres que cada lectura diferent queda reflexada per la
segona xifra (exp. 5.1, exp. 5.2, etc)...
Projecte final de carrera
11. FOTOGRAFIES