Prof. Jenner Huamán Callirgos

El origen de la palabra promedio se remonta a la época en

que los viajes que se realizaban por mar implicaban gran

riesgo, ya que era frecuente que los barcos durante una

tormenta tiraran parte de la carga con la finalidad de no

hundirse por el peso.

Se reconoció que aquellos cuyos bienes se sacrificaban

podían reclamar con justicia una indemnización a expensas

de aquellos que no habían sufrido alguna disminución en

sus bienes.

El valor de los bienes sacrificados se pagaba mediante un

acuerdo entre todos los que tenían mercaderías en el mismo

buque.

El daño causado por el mar se conocía como havaria y la

palabra llegó a aplicarse a cada individuo que tenía que

pagar como compensación por el riesgo.

De esta palabra latina se deriva la moderna palabra inglesa

average (promedio)

Luciana es una alumna que se ha propuesto llegar a

ocupar los primeros lugares en rendimiento académico y

para eso estuvo estudiando para dar su último examen

de aritmética, necesita un 18 como mínimo de nota para

poder sacar un promedio de 19 en la libreta que le

permita intentar ascender a ese deseado primer puesto a

nivel de todos los quintos del colegio.

Son 4 notas las que tiene hasta el momento, bien

ganadas por cierto, siendo éstas 20, 17, 20 y 19.

Si se sabe que Luciana al recibir su libreta de notas

obtuvo de promedio final un 17.

¿Cuánto sacó de nota en dicho examen?

PROMEDIOS

PROMEDIO(media)

Dadas las siguientes cantidades:

a1, a2, a3; ……an

Donde:

a1 : menor cantidad

an: mayor cantidad

Se llama promedio(P) a

una cantidad referencial

que se calcula haciendo

ciertas operaciones entre

ellas.

Y se cumple:

𝑎1 ≤ 𝑃 ≤ 𝑎𝑛

Tipos de promedios

Promedio Aritmético o Media

Aritmética(𝑀𝐴)

Dado:

a1, a2, a3; ……an

“n” cantidades

𝑀𝐴 =𝑎1 + 𝑎2+. . . +𝑎𝑛

𝑛=

𝐼𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑚𝑖𝑛𝑢𝑐𝑖ó𝑛𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠

𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠

También:

𝑀𝐴 =𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠

𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠

Nota:

Para determinar la variación que

experimenta el promedio aritmético de

un conjunto de datos sólo es necesario

considerar un incremento o

disminución de los datos.

Variación del

promedio

Ejemplo

Calcule el promedio aritmético de las temperaturas de 5 ciudades y

que son:14º, 13º, 11º, 12º, 15º

Resolución

El promedio de 20 datos es 70 y de otros 30 datos es 40. Calcule el

promedio de los 50 datos.

Resolución

Ejemplo

Al calcular el promedio aritmético de las notas de 20 estudiantes, se

observa que si a 15 de estas notas se le agrega 7 puntos a cada

uno y al resto se le disminuye en 5 puntos a cada uno, el nuevo

promedio sería 17. Calcule el promedio original.

Resolución

Promedio ponderado (Promedio de promedios)

Ejemplo

Aula “A” Aula “B” Aula “Única”

40 30

1815

40 + 30

E

Nº de alumnos

Edad promedio

𝐸 =40𝑥15 + 30𝑥18

40 + 30E = 16,28

Observar que: 15 < E < 18

El promedio ponderado es el promedio aritmético de un conjunto de números

que se repiten bajo una cierta frecuencia, período, peso o ponderación.

Ejemplo

60

5

40

10

60 + 40

E

Volumen(lt)

Precio Unitario(S/.)

𝑃 =Costo total

Volumen total

Promedio ponderado

𝑃 =60x5+40x10

60+40P = 7

Es decir, sea:

Datos: a1; a2; a3; ………; an

Persona: p1; p2; p3; ………; pn

Promedio Ponderado=𝑎1𝑝1 + 𝑎2𝑝2+. . . +𝑎𝑛𝑝𝑛

𝑝1 + 𝑝2+. . . +𝑝𝑛

Ejemplo:

Al finalizar el ciclo un estudiante de la facultad de química, recibe

su record académico que a continuación se indica.

Curso Nº de

créditos

Nota

Matemáticas I 4 11

Química 5 10

Física I 4 12

Redacción 3 15

Calcule el promedio

ponderado.

Resolución

Promedio Geométrico o

Media Geométrica

Es un promedio que permite

promediar índice y tasa de

crecimiento.

𝑀𝐺 = 𝑛 𝑎1𝑥𝑎2𝑥. . . 𝑥𝑎𝑛

(𝑀𝐺)

Ejemplo:

En una comunidad campesina

se ha observado el crecimiento

poblacional de los últimos años

y los datos son:

Año 2011 2012 2013

crecimiento 216 512 1000

Calcule la tasa anual de

crecimiento promedio

Resolución

En general para n datos:

𝑀𝐺 =𝑛𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠

Promedio Armónico o Media

Armónica

Es la inversa del promedio

aritmético de las inversas de los

datos. 𝑀𝐻 =𝑛

1𝑎1

+1𝑎2

+. . . . +1𝑎𝑛

Ejemplo:

Calcule la media armónica de

la edad de tres personas, que

son 15; 30 y 45 años.

En general para n datos:(𝑀𝐻)

Resolución𝑀𝐻 =

𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠

𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠

PROPIEDADES

Para un conjunto de dos o

más datos

Si dichos datos son iguales

𝑀𝐴 = 𝑀𝐺 = 𝑀𝐻 = 𝑑𝑎𝑡𝑜

Si los datos no todos son iguales

𝑀𝐴 > 𝑀𝐺 > 𝑀𝐻

Solo para dos datos (a y b)

𝑀𝐴(𝑎, 𝑏) =𝑎 + 𝑏

2

𝑀𝐺(𝑎, 𝑏) = 𝑎. 𝑏

𝑀𝐻(𝑎, 𝑏) =2𝑎𝑏

a + b

Por lo cual se cumple

𝑀𝐴𝑥𝑀𝐻 = 𝑀𝐺2

El error que se comete al tomar la media aritmética (M.A.), como

media geométrica (M.G.) para dos números (a y b) es :

𝑀𝐴 −𝑀𝐺 =𝑎 − 𝑏 2

)4(𝑀𝐴 +𝑀𝐺error

APLICACIONES

El promedio de A y 10 es 15. El promedio de C y 15 es 10 y el

promedio de 10A, 35B y 15C es 185. Hallar el valor de A + B + C

A) 32 B) 33 C) 29 D) 31 E) 30

Resolución

El mayor promedio de 2 números es 25 si la diferencia de los números

es 12, ¿Cuál es el menor de los números?

A) 20 B) 19 C) 31 D) 40 E) 22

Resolución

Si el promedio armónico de 2 números es 1 y el promedio aritmético es

25. ¿Cuál es su P.G.?

A) 5 B) 6 C) 10 D) 15 E) N.A.

Resolución

El P.A. de 5 números es 12 si uno de ellos es 20. ¿Cuál es el P.A. de

los otros cuatro es?

A) 12 B) 10 C) 8 D) 9 E) N.A.

Resolución

Halle “n” si el promedio geométrico de:

21 . 22 . 23 . 24 … 2n es 64.

A) 8 B) 13 C) 11 D) 10 E) N.A.

Resolución

El promedio geométrico de los números:

es 512. Hallar: n.

A) 17 B) 16 C) 10 D) 18 E) 9

n2; 4; 8;16; ; 2

Resolución

Si la edad promedio e tres hombres es 54 y ninguno de ellos es mayor

que 56. ¿Cuál es la edad mínima que puede tener uno de ellos?

A) 55 B) 54 C) 50 D) 56 E) 52

Resolución

1. El promedio aritmético de cinco números es 32. Si consideramos un

sexto número el promedio aumenta en 3 unidades. Hallar dicho

número.

a) 35 b) 46 c) 48 d) 50 e) 60

2. En la UPC, la nota promedio mínima para aprobar un curso es 13

puntos. Si Edwin obtuvo 12; 09 y 16 puntos en sus primeras

evaluaciones, ¿cuánto deberá obtener como mínimo en su última

evaluación para aprobar, si se sabe que esta tiene peso doble?

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

3. En un grupo de cinco personas, ninguna de ellas es menor de 16

años. Si el promedio de las edades es 18 años, ¿cuál es la máxima

edad que puede tener una de ellas?

a) 20 años b) 26 c) 28 d) 30 e) 36

4. En un salón de 60 alumnos, el promedio de notas en Literatura es

12. Si 20 de ellos tienen un promedio de 18, ¿cuál es el promedio de

los 40 alumnos restantes?

a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 16

5. En una clase de 30 alumnos, el promedio de las estaturas de los

hombres es 1,70 m y el de las mujeres 1,60 m. Si el promedio de

todo el salón es 1,63 m; hallar el número de hombres.

a) 9 b) 10 c) 21 d) 12 e) 15

6. El promedio de 20 números es 18. ¿Cuántos números 13 hay, si al

sacarlos, el promedio aumenta a 19,25?

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

7. La media aritmética de "n" números es 20. Si se elimina el mayor

número, la nueva media aritmética sería 17 y si luego se elimina un

número que es igual a la mitad del mayor, la nueva media aritmética

sería 16. Hallar "n".

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 15

8. El promedio geométrico de tres números es 32 y el promedio

geométrico de otros dos números es 243. Hallar el promedio

geométrico de los cinco números.

a) 6 b) 36 c) 48 d) 72 e) 96

9. El promedio geométrico de los números: 3; 9; 27; …; 3n es 729.

Hallar "n"

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

Aquí me quedé