MODULO 1/ CRCULO PRE UNIVERSITARIO PROF. WILLIAM A. VENTURA MINCHN 1 2 3 n.........P.A.nx x x x+ + + += Promedio:es una cantidad que representa a un conjuntos de datos. Si no todos los datos son iguales su promedio estar comprendido entre el menor y el mayor de los datos. Es decir si tomamos los datos: a1 ; a2 ; a3 ; a4 ; .. ; an-1 ; an Y el promedio de ellos es P, entonces se cumple que: a1< P< an Ejemplo: Cul de las siguientes alternativas no puede se promedio de: 8 ; 10 ; 15 ; 12 ; 19 ; 11 ? a) 13b) 11,5c) 21d) 18e) 16 Resolucin: Delosnmerosquenosdan:8;10;15;12;19y11;observamosqueelmenoresel8yel mayor es el 19, entonces el promedio P debe estar comprendido entre 8 y 19. Por lo tanto de las 5 alternativas (A; B; C; D y E) la nica que no est comprendida entre 8 y 19 es el 21 (alternativa C) ATENCIN: Si todos los datos son iguales, su promedio P ser igual a ellos. Algunos Tipos de Promedios 1.- Promedio Aritmtico o Media Aritmtica (MA) Ejemplo: Calcular la media aritmtica de 5 ; 7 y 12 Solucin: 5 7 12MA 83+ += = MA = 6 2.- Promedio Geomtrico Media Geomtrica (MA) n1 2 3 nP.G. . . .........x x x x=MODULO 1/ CRCULO PRE UNIVERSITARIO PROF. WILLIAM A. VENTURA MINCHN Ejemplo: Calcular la MG de2; 4; 8 Solucin: 3 3 24M.H.1 1 1 7 72 4 8 8= = =| |+ + |\ .

M.H. = 24/7 PROPIEDADES 1. Para dos datos o ms a)Si no todos son iguales MA > MG > MH b)Si todos los datos son iguales MA = MG = MH 2.- Particularmente para 2 nmeros 2b a. A . M+=b a . G . M = b aab 2. H . M+= MediaMediaMedia AritmticaGeomtrica Armnica Adems: 2MG MH MA = ; )2MG2MA ( 42) b a ( = PROBLEMAS RESUELTOS 01.- Calcular la MH de dos nmeros cuya MA es 20 y su MG es diez. a) 3b) 4c) 5d) 8e) 10 Solucin: Sean los dos nmeros a y b Sabemos que: a bMA(a,b) 20 202a b 40 .......(I)MG(a,b) 10 a.b 10ab 100 .........(II)2abIncognita : MH(a,b) .........(III)a b+= =+ == = ==+ Reemplazamos (I) y (II) en (III) MODULO 1/ CRCULO PRE UNIVERSITARIO PROF. WILLIAM A. VENTURA MINCHN 2 100MH(a,b) 540MH(a,b) 5= = = 02.- Hallar el promedio de los siguientes nmeros: 20 veces 40 veces10;10;10;.......;10 ; 30;30;30;.......;30a) 23b) 24c) 26d) 23,3e) 28,3 Solucin: 10(20) 30(40) 200 1200P 23,320 40 60+ += = =+ 03.- Siel promedio de 5 nmeros consecutivos es 20. Calcular el promedio de los 3 nmeros consecutivos siguientes. a) 16b) 24 c) 18 d) 28 e) 20 Solucin: Sean los nmeros consecutivos: a ; a+1 ; a+2 ; a+3 ; a+4 a (a 1) (a 2) (a 3) (a 4)Pr omedio (P)55a 10205100 5a 10a 18+ + + + + + + +=+== += Los tres nmeros consecutivos siguientes son: a+5 ; a+6 ; a+7 (a 5) (a 6) (a 7)Pr omedio (P)33a 18P3P a 6+ + + + +=+=== + Reemplazando a = 18 P = 24 04.- El promedio de 3 nmeros es 20. Si la suma de los dos primeros es 39. Cul es el tercer nmero? a) 21 b) 31 c) 19 d) 26e) 23 Solucin: Sean los nmeros: a ; b ; c (a;b;c)a b cP3+ +=a b c203+ +== a+b+c = 60.. (I) Dato:a+b = 39 . (II) Reemplazando (II) en (I) MODULO 1/ CRCULO PRE UNIVERSITARIO PROF. WILLIAM A. VENTURA MINCHN 2k 3k 4k 5kP414k21421 4k14+ + +===a+b+c = 60 39 + c = 60 c = 21 05.- Hallar x si el promedio geomtrico de los nmeros: 2x; 4x y 8x; es 64 a) 1 b) 2 c) 3d) 4e) 5 Solucin: Tendramos: 3 x x x3 6 x 2x 3x36 6x6 2x64 2 . 4 .82 2 .2 .22 22 2==== Identificando:6 = 2x x = 3 06.-El promedio aritmtico de las edades de 4 hermanos es 21 donde sus edades estn en la relacin de 2; 3; 4; y 5. Calcular la edad del menor ms el mayor. a) 42b) 30 c) 14d) 10 e) 24 Solucin: Sean las edades de los 4 hermanos: 2k ; 3k ; 4k ; 5k Luego: k = 6Piden: 2k + 5k = 7k Respuesta: 42 07.- el siguiente esquema muestra la distribucin de las edades de una clase. Nmero de alumnos4 2 5 6 3 Edad2018 16 14 15 a) 15b) 14 c) 12,65d) 16,25e) 15,6 Solucin: 4(20) 2(18) 5(16) 6(14) 3(15)P4 2 5 6 380 36 80 84 45P20P 16,25+ + + +=+ + + ++ + + +== MODULO 1/ CRCULO PRE UNIVERSITARIO PROF. WILLIAM A. VENTURA MINCHN 08.- La media aritmtica de 6 nmeros es K y la media aritmtica de otros 4 nmeros es K+1.Hallar la media aritmtica de los 10 nmeros. a) 2K + 1b) K+2c) 2K5+d) 5K2+e) 3K - 1 Solucin: Sean los nmeros:a1 ; a2 ; a3 ; a4 ; a5 ; a6 1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6a a a a a ak66k a a a a a a+ + + + += = + + + + + Sean los otros nmeros: b1 ; b2 ; b3 ; b4 1 2 3 41 2 3 41 2 3 4 5 6 1 2 3 4(10 numeros)b b b bk 144(k 1) b b b ba a a a a a b b b bMA10+ + ++ =+ = + + ++ + + + + + + + += Reemplazando en la ltima expresin: (10 numeros)6k 4(k 1)MA10+ +=(10 numeros)5k 2 2MA k5 5+= = + EJERCICIOS 01.- Halle el promedio de los siguientes nmeros : 10 veces 20 veces10;10;10;.......;10 ; 15;15;15;.......;15 Solucin: 02.- Calcular la M.A. de dos nmeros sabiendo que su M.H. es igual a 4 y su M.G. es igual a 8. MODULO 1/ CRCULO PRE UNIVERSITARIO PROF. WILLIAM A. VENTURA MINCHN Solucin: 03.-Sielpromediodetresnmerosconsecutivoses12,calcularelpromediodelostres nmeros consecutivos siguientes. Solucin: 04.-Lasiguientetablamuestraladistribucindelasedadesdeunaclase.Hallelaedad promedio. Nmeros de alumnos 5 2684 Edad12 1314 11 15 Solucin: 05.- La M.A. de 9 nmeros pares consecutivos es 17. Halla la M.G. entre el mayory el menor de dicho nmero. MODULO 1/ CRCULO PRE UNIVERSITARIO PROF. WILLIAM A. VENTURA MINCHN Solucin: PROBLEMAS 01.- El promedio de: 4 ; 5 ; 7 ; 9 ; 10 y aes nueve Hallar a a) 13 b) 17 c) 19d) 20e) 23 02.- La M.A. de 5 nmeros es 4, si la M.A. de 3 de ellos es 2. Hallar la M.A. de los otros dos nmeros. a) 4b) 2c) 3d) 5e) 7 03.- La M.A. de cuatro nmeros pares consecutivos es 6. Hallar la M.A. de los dos menores. a) 3b) 4c) 5d) 6d) 7 04.- Hallar el promedio de los siguientes nmeros: 5 ; 8 ; 11 ; 14 ; ................ ( 12 trminos ) a) 25,1b) 21,5c) 52,2 d) 51,2 e) NA 05.- El promedio geomtrico de 2 nmeros es 12 y su promedio armnico es 4. Hallar su promedio aritmtico. a) 18 b) 20 c) 36d) 32e) 24 06.- El promedio aritmtico de las edades de 3 hermanos es 20, donde sus edades estn en la relacin de 5, 3 y 2. Calcular la edad del menor. a) 30 aosb) 18b) 15 d) 12e) 8

07.- Si:A = M.A.de: 3 y 5 B = M.A.de: 6 y 10 Calcular la M.G. de A y B a) 2\3b) 2\6 c) 4\2d) 4\3e) 8\2 MODULO 1/ CRCULO PRE UNIVERSITARIO PROF. WILLIAM A. VENTURA MINCHN 08.- El promedio de 12 nmeros es 14 si de estos 12 nmeros se anulan el 16 y el 20. Entonces el promedio de los nmeros restantes es: a) 18b) 15 c) 13,2d) 12,3e) 13,4 09.- Si a y b son nmeros enteros y la media aritmtica de los mismos es 6 y la media armnica es 16/6. Hallar la media geomtrica de a y b. a) 16b) 4c) 2d) 8e) 6 10.- La media aritmtica de dos nmeros es 5. Si se triplica el primer nmero y el segundo sedisminuyeen 2 unidades; el nuevo promedio es 8. Calcular la diferencia de dichos nmeros. a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5 11.- El doble de la M.A. de dos nmeros es igual al cuadrado de su M.G. ms 1. Si uno de los nmeros es 120. Cul es el otro? a) 3 b) 1c) 2d) 120e) 119 12.- La media aritmtica de 4 nmeros es 31, si la media aritmtica de los dos primeros es 23. Calcular el promedio de los dos ltimos. a) 78b) 39c) 8 d) 34 e) 49 13.- La M.A. de 3 nmeros de k si aumentamos un cuarto nmero, la M.A. ser k+1. Cul es este cuarto nmero? a) 1b) kc) k+1d) k+3e) k+4 PROBLEMAS 01.- Hallar el promedio: veces " a "b ........; ; b ; b ; b ,veces " b "; a ; ........ ; a ; a ; aa) b aab+b) ab + bac) b aab 2+ d) ab 2b a +e) ab 2abba + 02.- Si:M = M.A.de 4 y 8 N = M.G. de 3 y 27 Calcula la M.H. de M y N a) 2,8 b) 7,2 c) 3,6d) 2,7e) 36

03.- La media aritmtica de a y b es 5, el promedio aritmtico de b y c es 7, y la mediaaritmtica de a y c es 9. Cul es la media aritmtica de a; b y c? a) 21 b) 10,5 c) 7 d) 3e) 6 04.- El promedio de 20 nmeros es 25, si se le agrega un nmero ms el promedio siguesiendo 25. Cul es el nmero? a) 20 b) 25c) 50d) 40e) 80

05.- Hallar el promedio de los siguientes nmeros: 7 ; 10 ; 13 ; 16 ; ........ ; 91 ; 94a) 40 b) 50c) 50,5 d) 55e) 60,5 MODULO 1/ CRCULO PRE UNIVERSITARIO PROF. WILLIAM A. VENTURA MINCHN 06.- Dos nmeros estn en la relacin de 16 y 9. En qu relacin estarn su media aritmtica y su media geomtrica? a) 23/24b) 5/2c) 5/6d) 5/4 e) 16/25 07.- El promedio aritmtico de 50 nmeros es 38, si de los 50 nmeros se anulan el 45 y el 55, entonces el promedio de los restantes es: a) 36 b) 37 c) 36,5d) 37,5e) 37,2 08.- Si la M.A. de dos nmeros es 17 y la M.G. de los mismos es 15. Hallar dichos nmeros es indicar la diferencia de ellos. a) 12 b) 14c) 16d 15e) 18 09.- Sabiendo que la M.A. de dos nmeros es a la M.G. de los mismos como 5 es a 3. Calcular la razn de los nmeros. a) 6 b) 8c) 9d) 10e) 12 10.- El promedio de las edades de 4 hermanos es 30, si ninguno de ellos es mayor de 35 aos. Cul ser la mnima edad que uno de ellos puede tener?. a) 25 b) 20 c) 18d) 15e) 12 11.- La M.H. de dosnmeros es 3 y la M.H. de otros tres nmeros es 2. Hallar la M.H. de los 5 nmeros. a) 30/13 b) 41/7c) 6/13 d) 51/13 e) NA 12.-La M.G. de dos nmeros es 6 y la M.G. de otros dos nmeros es 4. Hallar la M.G. de los 4nmeros. a) 6\2b) 2\6c) 3\3 d) 4\3 e) 4\6 13.- Si el producto de la M.A. y la M.H.de dos nmeros enteros menos el doble de la M.G. es120. Hallar el producto de las cantidades. a) 104 b) 144 c) 125d) 196e) 12 14.- Hallar x, si el promedio geomtrico de los nmeros: 3x , 9x y 27xes729. a) 81b) 2c) 27D) 4E) 6