Propiedad Intelectual Cpech PPTCAC040MT21-A15V1 Ecuaciones y sistemas de ecuaciones de primer grado...

Propiedad Intelectual Cpech

PP

TC

AC

040

MT

21

-A15

V1

Ecuaciones y sistemas de ecuaciones de primer grado


ACOMPANtildeAMIENTO ANUALBLOQUE 21


Aprendizajes esperados

bull Resolver ecuaciones de primer grado con una incoacutegnita

bull Determinar el nuacutemero de soluciones de una ecuacioacuten de primer grado con una incoacutegnita

bull Resolucioacuten de problemas cuyo modelamiento involucre ecuaciones de primer grado con una incoacutegnita

bull Resolver sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incoacutegnitas

bull Modelar situaciones mediante sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incoacutegnitas


Contenidos

Ecuaciones de primer grado


Ecuaciones y sistemas

Sistemas de ecuaciones de primer grado


Planteamiento de problemas con ecuaciones y sistemas de ecuaciones de primer grado



Una ecuacioacuten es una igualdad que contiene una o maacutes cantidades

desconocidas llamadas incoacutegnitas o variables

Resolver una ecuacioacuten significa encontrar el(los) valor(es) de la(s)

incoacutegnita(s) que satisface(n) la igualdad

Ecuaciones

1) 2x + 3 = x ndash 8 + 5x

Se llama ecuacioacuten de primer grado a todas aquellas en donde el

exponente de la incoacutegnita es 1

=5x ndash 4

2

2x

3

1 4

+2)

Ejemplos


En la resolucioacuten de una ecuacioacuten se deben considerar las siguientes

propiedades

- Al sumar o restar una misma cantidad a ambos lados de una igualdad eacutesta se mantiene

- Al multiplicar o dividir ambos lados por una misma cantidad (distinta de cero) la igualdad se mantiene

En general para resolver una ecuacioacuten se tiene que despejar la incoacutegnita Para ello deben efectuarse operaciones que permitan eliminar teacuterminos o coeficientes hasta lograr despejarla

Resolucioacuten de ecuaciones


Ejemplo

2(x ndash 2) + 4x = 11 + 3x

2x ndash 4 + 4x = 11 + 3x

2x + 4x ndash 3x = 11 + 4

x = 5

(Distribuyendo)

(Restando 3x y sumando 4)

(Reduciendo teacuterminos semejantes)

3x = 15 (Dividiendo por 3)

x = 3

15

Ecuaciones con coeficientes enteros


Ecuaciones con coeficientes fraccionarios

Generalmente es conveniente dejar la ecuacioacuten con coeficientes enteros multiplicando cada teacutermino de la ecuacioacuten por el mcm de los denominadores

=5x ndash 4

2

2x

3

1 4

+

=(5x ndash 4)

2

2x

3

1 4

+12

12

12

6(5x ndash 4) = 4 2x + 3 130x ndash 24 = 8x + 3

30x ndash 8x = 3 + 24

22x = 27

(Multiplicando por el mcm (2 3 4) = 12)

(Simplificando)

(Distribuyendo y multiplicando)



(Dividiendo por 22)

x = 22

27

6 4 3

Ejemplo


Ecuaciones con coeficientes literales

Ejemplo

px ndash p2 = qx ndash q2 (Restando qx y sumando p2)

(Factorizando por x)

(Dividiendo por (p ndash q) ya que es distinto de cero)(Factorizando la diferencia de cuadrados)

(Simplificando)

px ndash qx = p2 ndash q2

x(p ndash q) = p2 ndash q2

p2 ndash q2

(p ndash q) =x

(p + q) (p ndash q)

(p ndash q) =x

x = p + q

En la ecuacioacuten px ndash p2 = qx ndash q2 con p ne q encontrar x


Equivale a transcribir una expresioacuten verbal a una expresioacuten algebraica

Para esto utilizamos el metalenguaje

Problemas de planteo

Ejemplo

Si x representa un nuacutemero entonces

- El doble de un nuacutemero 2x

5x

x ndash 1

x + 1

x

3 3x

4

- La tercera parte de x

- Los tres cuartos de x

- El quiacutentuplo de x

- El antecesor de x

- El consecutivo o sucesor de x



Sea x el nuacutemero buscado

ldquoEl triple de la diferencia entre un nuacutemero y su mitad equivale al doble del

nuacutemero aumentado en 6 iquestCuaacutel es el nuacutemerordquo

Solucioacuten

Seguacuten el metalenguaje se tienen los siguientes conceptos

bull El doble del nuacutemero aumentado en 6 2x + 6

bull El triple de la diferencia entre un nuacutemero y su mitad

2

3 xx

Se tiene entonces la siguiente ecuacioacuten

= 2x + 6

2

3 xx



(Resolviendo el pareacutentesis)

= 2x + 6 3 x2

(Multiplicando por 2)

3x = 4x + 12

ndash 12 = 4x ndash 3x

ndash 12 = x

(Restando 3x y restando 12)


= 2x + 6

2

3 xx

2

3 x = 2x + 6

Finalmente el nuacutemero es ndash 12


Sistemas de ecuaciones

Para determinar el valor numeacuterico de cada una de ellas debe existir la misma cantidad de ecuaciones que de incoacutegnitas

Es un conjunto de ecuaciones donde hay maacutes de una incoacutegnita

Ejemplo 2x + 3y = 7

x ndash 4y = 2

Graacuteficamente la solucioacuten de un sistema de ecuaciones lineales (o de primer grado) corresponde a la interseccioacuten de las rectas representadas por dichas ecuaciones

Por lo tanto al resolver este tipo de sistema puede ocurrir que tenga

bull una solucioacuten

bull infinitas soluciones

bull ninguna solucioacuten

las rectas se intersectan en un solo punto (x y)

las rectas son coincidentes

las rectas son paralelas


Meacutetodos de resolucioacuten de un sistema con dos incoacutegnitas

bull Igualacioacuten

Consiste en despejar la misma incoacutegnita en ambas ecuaciones del sistema Luego se igualan los resultados

El resultado obtenido se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones despejadas del sistema

Ejemplo

Despejando x en ambas ecuaciones

1) 2x + 3y = 7

2x = 7 ndash 3y

2) x ndash 4y = ndash 2x = ndash 2 + 4y

7 ndash 3y 2

x =

1) 2x + 3y = 7

2) x ndash 4y = ndash 2



Igualando ambas ecuaciones se obtiene

7 ndash 3y = ndash 4 + 8y

7 ndash 3y + 3y = ndash 4 + 8y + 3y

7 = ndash 4 + 11y

7 + 4 = ndash 4 + 11y + 4

11 = 11y

1 = y

(Sumando 3y)

(Sumando 4)

(Dividiendo por 11)

= ndash 2 + 4y7 ndash 3y

2

Reemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema se determina el valor de xReemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema se determina el valor de x




2) x = ndash 2 + 4y

Reemplazando y = 1 en la segunda ecuacioacuten despejada queda

x = ndash 2 + 4middot1

x = ndash 2 + 4

x = 2

Por lo tanto la solucioacuten del sistema es (2 1)

Recuerda que el valor de x nos indica la abscisa y el valor de y nos indica la ordenada del punto de interseccioacutenRecuerda que el valor de x nos indica la abscisa y el valor de y nos indica la ordenada del punto de interseccioacuten




bull Sustitucioacuten

Consiste en despejar una incoacutegnita de una de las ecuaciones del sistema Una vez despejada se reemplaza en la otra ecuacioacuten determinando el valor de la incoacutegnita

El resultado que se obtiene se sustituye en la ecuacioacuten despejada

Ejemplo 1) 2x + 3y = 7


Despejando x en la segunda ecuacioacuten

x = ndash 2 + 4y




Reemplazando x = ndash 2 + 4y en la primera ecuacioacuten resulta

1) 2x + 3y = 7

2middot(ndash 2 + 4y) + 3y = 7

ndash 4 + 8y + 3y = 7

11y = 7 + 4

11y = 11

y = 1

(Distribuyendo)

(Sumando 4)

(Dividiendo por 11)

Como x = ndash 2 + 4y x = ndash 2 + 4middot1

x = 2




Para eliminar x multiplicaremos la segunda ecuacioacuten por ndash 2


bull Reduccioacuten

Consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones por un nuacutemero tal que una de las incoacutegnitas quede con coeficientes opuestos en cada ecuacioacuten Luego se suman ambas ecuaciones de modo que se elimine la incoacutegnita con coeficientes opuestos

Ejemplo

middot (ndash 2)

1) 2x + 3y = 7

2) ndash 2x + 8y = 4(+)

11y = 11

y = 1

1) 2x + 3y = 7





x ndash 4middot1 = ndash 2

x = 2

x = ndash 2 + 4

Reemplazando y = 1 en la segunda ecuacioacuten se obtiene




En un parque hay avestruces y koalas Si entre todos hay 55 cabezas y 170 patas iquestcuaacutentos avestruces y koalas hay

Si a cantidad de avestruces y k cantidad de koalas entonces

Solucioacuten

Como las avestruces tienen 2 patas y los koalas 4 la cantidad total de patas de avestruz seraacute 2a y el total de patas de koala 4k

1) a + k = 55

2) 2a + 4k = 170

Aplicaciones

Como hay la misma cantidad de cabezas que animales



1) a + k = 55

2) 2a + 4k = 170

middot(ndash 2) 1) ndash 2a ndash 2k = ndash 110

2) 2a + 4k = 170

2k = 60

k = 301) a + k = 55

a + 30 = 55

a = 55 ndash 30

a = 25

Por lo tanto hay 25 avestruces y 30 koalas

Con las dos ecuaciones se forma el siguiente sistema

(+)

Sumando ambas ecuaciones

Reemplazando k = 30 en

primera ecuacioacuten



Amplificando por ndash 2



iquestCuaacutel es la alternativa correcta

1 Si 4 91 ndash p = q y 3q = 156 entonces p es igual a

A) ndash 312 B) ndash 211 C) 52D) 211E) 312

Apliquemos nuestros conocimientos


3q = 156 (Despejando q)

q = 156

3

q = 52

(Simplificando)

Entonces

4 91 ndash p = q

4 91 ndash p = 52

364 ndash p = 52

ndash p = 52 ndash 364

ndash p = ndash 312

p = 312

(Reemplazando q)

(Multiplicando)

(Despejando (ndash p))

(Multiplicando por (ndash 1))


Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

E



2 Si 7 ndash 3m = 16 entonces (m ndash m2) es igual a A) ndash 12 B) ndash 9 C) 3 D) 6E) ninguno de los valores anteriores



7 ndash 3m = 16 (Despejando (ndash 3m))

ndash 3m = 16 ndash 7(Resolviendo)

ndash 3m = 9

3m = ndash 9

m = ndash 3

m = ndash 9

3

Entonces

m ndash m2 =

(ndash 3) ndash (ndash 3)2 =

ndash 3 ndash 9 =

ndash 12

(Multiplicando por (ndash 1) ambos lados de la ecuacioacuten)

(Despejando m)

(Simplificando)

(Reemplazando)

(Desarrollando)


Resolucioacuten


A



3 Si la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es A) 68 antildeosB) 35 antildeosC) 33 antildeos D) 13 antildeosE) 11 antildeos



Sea x la edad de la persona entonces la tercera parte de la edad de una persona es 22 antildeos escrito matemaacuteticamente es

(Despejando x)

x = 22 3

x = 66

Por lo tanto la edad de la persona es 66 antildeos

Entonces la mitad de su edad maacutes dos antildeos es

66 2 = 33

33 + 2 =

35 antildeos

1 3

x = 22


Resolucioacuten


B



4 Los valores de x e y en el sistema de ecuaciones son

Respectivamente

A) ndash 1 y 6B) 1 y 6C) 1 y 4D) ndash 1 y 4E) ndash 1 y ndash 4


x + y = 5

2x ndash y = ndash 2


Por lo tanto los valores de x e y son 1 y 4 respectivamente

3x = 3 x = 1


Resolucioacuten

HabilidadAplicacioacuten

C

2) x + y = 5

1) 2x ndash y = ndash 2

Se utilizaraacute el meacutetodo de reduccioacuten para resolver este sistema

(Sumando ambas ecuaciones)

(Dividiendo por 3)

Reemplazando x = 1 en la ecuacioacuten 2)

2) x + y = 5

1 + y = 5 y = 4

(Restando 1)



5 La graacutefica del sistema de ecuaciones se representa a

traveacutes de

A)rectas paralelasB)rectas perpendicularesC)rectas coincidentesD)rectas que se intersectan en un puntoE)no se puede determinar


9x = 3y



Como 0 ne ndash 2 el sistema no tiene solucioacuten Por lo tanto las rectas son paralelas


Resolucioacuten


A

Resolviendo el sistema se tiene

(Dividiendo por 3)

0 = ndash 2

2) 9x = 3y


1) 3x ndash y = ndash 22) 3x ndash y = 0

(Restando ambas ecuaciones)


Prepara tu proacutexima clase

En la proacutexima sesioacuten estudiaremos Inecuaciones de primer grado



ESTE MATERIAL SE ENCUENTRA PROTEGIDO POR EL

REGISTRO DE PROPIEDAD INTELECTUAL

Equipo Editorial Aacuterea Matemaacutetica


Aprendizajes esperados

bull Resolver ecuaciones de primer grado con una incoacutegnita

bull Determinar el nuacutemero de soluciones de una ecuacioacuten de primer grado con una incoacutegnita

bull Resolucioacuten de problemas cuyo modelamiento involucre ecuaciones de primer grado con una incoacutegnita

bull Resolver sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incoacutegnitas

bull Modelar situaciones mediante sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incoacutegnitas


Contenidos













Ecuaciones

1) 2x + 3 = x ndash 8 + 5x



=5x ndash 4

2

2x

3

1 4

+2)

Ejemplos



propiedades






Ejemplo

2(x ndash 2) + 4x = 11 + 3x

2x ndash 4 + 4x = 11 + 3x

2x + 4x ndash 3x = 11 + 4

x = 5

(Distribuyendo)




x = 3

15





=5x ndash 4

2

2x

3

1 4

+

=(5x ndash 4)

2

2x

3

1 4

+12

12

12

6(5x ndash 4) = 4 2x + 3 130x ndash 24 = 8x + 3

30x ndash 8x = 3 + 24

22x = 27


(Simplificando)




(Dividiendo por 22)

x = 22

27

6 4 3

Ejemplo



Ejemplo




(Simplificando)



p2 ndash q2

(p ndash q) =x

(p + q) (p ndash q)

(p ndash q) =x

x = p + q






Ejemplo



5x

x ndash 1

x + 1

x

3 3x

4




- El antecesor de x







Solucioacuten




2

3 xx


= 2x + 6

2

3 xx




= 2x + 6 3 x2


3x = 4x + 12


ndash 12 = x



= 2x + 6

2

3 xx

2

3 x = 2x + 6






Ejemplo 2x + 3y = 7

x ndash 4y = 2














Ejemplo


1) 2x + 3y = 7

2x = 7 ndash 3y


7 ndash 3y 2

x =

1) 2x + 3y = 7







7 = ndash 4 + 11y

7 + 4 = ndash 4 + 11y + 4

11 = 11y

1 = y

(Sumando 3y)

(Sumando 4)

(Dividiendo por 11)


2





2) x = ndash 2 + 4y



x = ndash 2 + 4

x = 2












x = ndash 2 + 4y





1) 2x + 3y = 7


ndash 4 + 8y + 3y = 7

11y = 7 + 4

11y = 11

y = 1

(Distribuyendo)

(Sumando 4)

(Dividiendo por 11)


x = 2






bull Reduccioacuten


Ejemplo

middot (ndash 2)

1) 2x + 3y = 7

2) ndash 2x + 8y = 4(+)

11y = 11

y = 1

1) 2x + 3y = 7






x = 2

x = ndash 2 + 4







Solucioacuten


1) a + k = 55

2) 2a + 4k = 170

Aplicaciones




1) a + k = 55

2) 2a + 4k = 170


2) 2a + 4k = 170

2k = 60

k = 301) a + k = 55

a + 30 = 55

a = 55 ndash 30

a = 25



(+)















q = 156

3

q = 52

(Simplificando)

Entonces

4 91 ndash p = q

4 91 ndash p = 52

364 ndash p = 52


ndash p = ndash 312

p = 312

(Reemplazando q)

(Multiplicando)




Resolucioacuten


E








ndash 3m = 9

3m = ndash 9

m = ndash 3

m = ndash 9

3

Entonces

m ndash m2 =


ndash 3 ndash 9 =

ndash 12


(Despejando m)

(Simplificando)

(Reemplazando)

(Desarrollando)


Resolucioacuten


A







(Despejando x)

x = 22 3

x = 66



66 2 = 33

33 + 2 =

35 antildeos

1 3

x = 22


Resolucioacuten


B




Respectivamente



x + y = 5




3x = 3 x = 1


Resolucioacuten


C

2) x + y = 5




(Dividiendo por 3)


2) x + y = 5

1 + y = 5 y = 4

(Restando 1)




traveacutes de



9x = 3y





Resolucioacuten


A


(Dividiendo por 3)

0 = ndash 2

2) 9x = 3y













Contenidos













Ecuaciones

1) 2x + 3 = x ndash 8 + 5x



=5x ndash 4

2

2x

3

1 4

+2)

Ejemplos



propiedades






Ejemplo

2(x ndash 2) + 4x = 11 + 3x

2x ndash 4 + 4x = 11 + 3x

2x + 4x ndash 3x = 11 + 4

x = 5

(Distribuyendo)




x = 3

15





=5x ndash 4

2

2x

3

1 4

+

=(5x ndash 4)

2

2x

3

1 4

+12

12

12

6(5x ndash 4) = 4 2x + 3 130x ndash 24 = 8x + 3

30x ndash 8x = 3 + 24

22x = 27


(Simplificando)




(Dividiendo por 22)

x = 22

27

6 4 3

Ejemplo



Ejemplo




(Simplificando)



p2 ndash q2

(p ndash q) =x

(p + q) (p ndash q)

(p ndash q) =x

x = p + q






Ejemplo



5x

x ndash 1

x + 1

x

3 3x

4




- El antecesor de x







Solucioacuten




2

3 xx


= 2x + 6

2

3 xx




= 2x + 6 3 x2


3x = 4x + 12


ndash 12 = x



= 2x + 6

2

3 xx

2

3 x = 2x + 6






Ejemplo 2x + 3y = 7

x ndash 4y = 2














Ejemplo


1) 2x + 3y = 7

2x = 7 ndash 3y


7 ndash 3y 2

x =

1) 2x + 3y = 7







7 = ndash 4 + 11y

7 + 4 = ndash 4 + 11y + 4

11 = 11y

1 = y

(Sumando 3y)

(Sumando 4)

(Dividiendo por 11)


2





2) x = ndash 2 + 4y



x = ndash 2 + 4

x = 2












x = ndash 2 + 4y





1) 2x + 3y = 7


ndash 4 + 8y + 3y = 7

11y = 7 + 4

11y = 11

y = 1

(Distribuyendo)

(Sumando 4)

(Dividiendo por 11)


x = 2






bull Reduccioacuten


Ejemplo

middot (ndash 2)

1) 2x + 3y = 7

2) ndash 2x + 8y = 4(+)

11y = 11

y = 1

1) 2x + 3y = 7






x = 2

x = ndash 2 + 4







Solucioacuten


1) a + k = 55

2) 2a + 4k = 170

Aplicaciones




1) a + k = 55

2) 2a + 4k = 170


2) 2a + 4k = 170

2k = 60

k = 301) a + k = 55

a + 30 = 55

a = 55 ndash 30

a = 25



(+)















q = 156

3

q = 52

(Simplificando)

Entonces

4 91 ndash p = q

4 91 ndash p = 52

364 ndash p = 52


ndash p = ndash 312

p = 312

(Reemplazando q)

(Multiplicando)




Resolucioacuten


E








ndash 3m = 9

3m = ndash 9

m = ndash 3

m = ndash 9

3

Entonces

m ndash m2 =


ndash 3 ndash 9 =

ndash 12


(Despejando m)

(Simplificando)

(Reemplazando)

(Desarrollando)


Resolucioacuten


A







(Despejando x)

x = 22 3

x = 66



66 2 = 33

33 + 2 =

35 antildeos

1 3

x = 22


Resolucioacuten


B




Respectivamente



x + y = 5




3x = 3 x = 1


Resolucioacuten


C

2) x + y = 5




(Dividiendo por 3)


2) x + y = 5

1 + y = 5 y = 4

(Restando 1)




traveacutes de



9x = 3y





Resolucioacuten


A


(Dividiendo por 3)

0 = ndash 2

2) 9x = 3y

















Ecuaciones

1) 2x + 3 = x ndash 8 + 5x



=5x ndash 4

2

2x

3

1 4

+2)

Ejemplos



propiedades






Ejemplo

2(x ndash 2) + 4x = 11 + 3x

2x ndash 4 + 4x = 11 + 3x

2x + 4x ndash 3x = 11 + 4

x = 5

(Distribuyendo)




x = 3

15





=5x ndash 4

2

2x

3

1 4

+

=(5x ndash 4)

2

2x

3

1 4

+12

12

12

6(5x ndash 4) = 4 2x + 3 130x ndash 24 = 8x + 3

30x ndash 8x = 3 + 24

22x = 27


(Simplificando)




(Dividiendo por 22)

x = 22

27

6 4 3

Ejemplo



Ejemplo




(Simplificando)



p2 ndash q2

(p ndash q) =x

(p + q) (p ndash q)

(p ndash q) =x

x = p + q






Ejemplo



5x

x ndash 1

x + 1

x

3 3x

4




- El antecesor de x







Solucioacuten




2

3 xx


= 2x + 6

2

3 xx




= 2x + 6 3 x2


3x = 4x + 12


ndash 12 = x



= 2x + 6

2

3 xx

2

3 x = 2x + 6






Ejemplo 2x + 3y = 7

x ndash 4y = 2














Ejemplo


1) 2x + 3y = 7

2x = 7 ndash 3y


7 ndash 3y 2

x =

1) 2x + 3y = 7







7 = ndash 4 + 11y

7 + 4 = ndash 4 + 11y + 4

11 = 11y

1 = y

(Sumando 3y)

(Sumando 4)

(Dividiendo por 11)


2





2) x = ndash 2 + 4y



x = ndash 2 + 4

x = 2












x = ndash 2 + 4y





1) 2x + 3y = 7


ndash 4 + 8y + 3y = 7

11y = 7 + 4

11y = 11

y = 1

(Distribuyendo)

(Sumando 4)

(Dividiendo por 11)


x = 2






bull Reduccioacuten


Ejemplo

middot (ndash 2)

1) 2x + 3y = 7

2) ndash 2x + 8y = 4(+)

11y = 11

y = 1

1) 2x + 3y = 7






x = 2

x = ndash 2 + 4







Solucioacuten


1) a + k = 55

2) 2a + 4k = 170

Aplicaciones




1) a + k = 55

2) 2a + 4k = 170


2) 2a + 4k = 170

2k = 60

k = 301) a + k = 55

a + 30 = 55

a = 55 ndash 30

a = 25



(+)















q = 156

3

q = 52

(Simplificando)

Entonces

4 91 ndash p = q

4 91 ndash p = 52

364 ndash p = 52


ndash p = ndash 312

p = 312

(Reemplazando q)

(Multiplicando)




Resolucioacuten


E








ndash 3m = 9

3m = ndash 9

m = ndash 3

m = ndash 9

3

Entonces

m ndash m2 =


ndash 3 ndash 9 =

ndash 12


(Despejando m)

(Simplificando)

(Reemplazando)

(Desarrollando)


Resolucioacuten


A







(Despejando x)

x = 22 3

x = 66



66 2 = 33

33 + 2 =

35 antildeos

1 3

x = 22


Resolucioacuten


B




Respectivamente



x + y = 5




3x = 3 x = 1


Resolucioacuten


C

2) x + y = 5




(Dividiendo por 3)


2) x + y = 5

1 + y = 5 y = 4

(Restando 1)




traveacutes de



9x = 3y





Resolucioacuten


A


(Dividiendo por 3)

0 = ndash 2

2) 9x = 3y














propiedades






Ejemplo

2(x ndash 2) + 4x = 11 + 3x

2x ndash 4 + 4x = 11 + 3x

2x + 4x ndash 3x = 11 + 4

x = 5

(Distribuyendo)




x = 3

15





=5x ndash 4

2

2x

3

1 4

+

=(5x ndash 4)

2

2x

3

1 4

+12

12

12

6(5x ndash 4) = 4 2x + 3 130x ndash 24 = 8x + 3

30x ndash 8x = 3 + 24

22x = 27


(Simplificando)




(Dividiendo por 22)

x = 22

27

6 4 3

Ejemplo



Ejemplo




(Simplificando)



p2 ndash q2

(p ndash q) =x

(p + q) (p ndash q)

(p ndash q) =x

x = p + q






Ejemplo



5x

x ndash 1

x + 1

x

3 3x

4




- El antecesor de x







Solucioacuten




2

3 xx


= 2x + 6

2

3 xx




= 2x + 6 3 x2


3x = 4x + 12


ndash 12 = x



= 2x + 6

2

3 xx

2

3 x = 2x + 6






Ejemplo 2x + 3y = 7

x ndash 4y = 2














Ejemplo


1) 2x + 3y = 7

2x = 7 ndash 3y


7 ndash 3y 2

x =

1) 2x + 3y = 7







7 = ndash 4 + 11y

7 + 4 = ndash 4 + 11y + 4

11 = 11y

1 = y

(Sumando 3y)

(Sumando 4)

(Dividiendo por 11)


2





2) x = ndash 2 + 4y



x = ndash 2 + 4

x = 2












x = ndash 2 + 4y





1) 2x + 3y = 7


ndash 4 + 8y + 3y = 7

11y = 7 + 4

11y = 11

y = 1

(Distribuyendo)

(Sumando 4)

(Dividiendo por 11)


x = 2






bull Reduccioacuten


Ejemplo

middot (ndash 2)

1) 2x + 3y = 7

2) ndash 2x + 8y = 4(+)

11y = 11

y = 1

1) 2x + 3y = 7






x = 2

x = ndash 2 + 4







Solucioacuten


1) a + k = 55

2) 2a + 4k = 170

Aplicaciones




1) a + k = 55

2) 2a + 4k = 170


2) 2a + 4k = 170

2k = 60

k = 301) a + k = 55

a + 30 = 55

a = 55 ndash 30

a = 25



(+)















q = 156

3

q = 52

(Simplificando)

Entonces

4 91 ndash p = q

4 91 ndash p = 52

364 ndash p = 52


ndash p = ndash 312

p = 312

(Reemplazando q)

(Multiplicando)




Resolucioacuten


E








ndash 3m = 9

3m = ndash 9

m = ndash 3

m = ndash 9

3

Entonces

m ndash m2 =


ndash 3 ndash 9 =

ndash 12


(Despejando m)

(Simplificando)

(Reemplazando)

(Desarrollando)


Resolucioacuten


A







(Despejando x)

x = 22 3

x = 66



66 2 = 33

33 + 2 =

35 antildeos

1 3

x = 22


Resolucioacuten


B




Respectivamente



x + y = 5




3x = 3 x = 1


Resolucioacuten


C

2) x + y = 5




(Dividiendo por 3)


2) x + y = 5

1 + y = 5 y = 4

(Restando 1)




traveacutes de



9x = 3y





Resolucioacuten


A


(Dividiendo por 3)

0 = ndash 2

2) 9x = 3y













Ejemplo

2(x ndash 2) + 4x = 11 + 3x

2x ndash 4 + 4x = 11 + 3x

2x + 4x ndash 3x = 11 + 4

x = 5

(Distribuyendo)




x = 3

15





=5x ndash 4

2

2x

3

1 4

+

=(5x ndash 4)

2

2x

3

1 4

+12

12

12

6(5x ndash 4) = 4 2x + 3 130x ndash 24 = 8x + 3

30x ndash 8x = 3 + 24

22x = 27


(Simplificando)




(Dividiendo por 22)

x = 22

27

6 4 3

Ejemplo



Ejemplo




(Simplificando)



p2 ndash q2

(p ndash q) =x

(p + q) (p ndash q)

(p ndash q) =x

x = p + q






Ejemplo



5x

x ndash 1

x + 1

x

3 3x

4




- El antecesor de x







Solucioacuten




2

3 xx


= 2x + 6

2

3 xx




= 2x + 6 3 x2


3x = 4x + 12


ndash 12 = x



= 2x + 6

2

3 xx

2

3 x = 2x + 6






Ejemplo 2x + 3y = 7

x ndash 4y = 2














Ejemplo


1) 2x + 3y = 7

2x = 7 ndash 3y


7 ndash 3y 2

x =

1) 2x + 3y = 7







7 = ndash 4 + 11y

7 + 4 = ndash 4 + 11y + 4

11 = 11y

1 = y

(Sumando 3y)

(Sumando 4)

(Dividiendo por 11)


2





2) x = ndash 2 + 4y



x = ndash 2 + 4

x = 2












x = ndash 2 + 4y





1) 2x + 3y = 7


ndash 4 + 8y + 3y = 7

11y = 7 + 4

11y = 11

y = 1

(Distribuyendo)

(Sumando 4)

(Dividiendo por 11)


x = 2






bull Reduccioacuten


Ejemplo

middot (ndash 2)

1) 2x + 3y = 7

2) ndash 2x + 8y = 4(+)

11y = 11

y = 1

1) 2x + 3y = 7






x = 2

x = ndash 2 + 4







Solucioacuten


1) a + k = 55

2) 2a + 4k = 170

Aplicaciones




1) a + k = 55

2) 2a + 4k = 170


2) 2a + 4k = 170

2k = 60

k = 301) a + k = 55

a + 30 = 55

a = 55 ndash 30

a = 25



(+)















q = 156

3

q = 52

(Simplificando)

Entonces

4 91 ndash p = q

4 91 ndash p = 52

364 ndash p = 52


ndash p = ndash 312

p = 312

(Reemplazando q)

(Multiplicando)




Resolucioacuten


E








ndash 3m = 9

3m = ndash 9

m = ndash 3

m = ndash 9

3

Entonces

m ndash m2 =


ndash 3 ndash 9 =

ndash 12


(Despejando m)

(Simplificando)

(Reemplazando)

(Desarrollando)


Resolucioacuten


A







(Despejando x)

x = 22 3

x = 66



66 2 = 33

33 + 2 =

35 antildeos

1 3

x = 22


Resolucioacuten


B




Respectivamente



x + y = 5




3x = 3 x = 1


Resolucioacuten


C

2) x + y = 5




(Dividiendo por 3)


2) x + y = 5

1 + y = 5 y = 4

(Restando 1)




traveacutes de



9x = 3y





Resolucioacuten


A


(Dividiendo por 3)

0 = ndash 2

2) 9x = 3y















=5x ndash 4

2

2x

3

1 4

+

=(5x ndash 4)

2

2x

3

1 4

+12

12

12

6(5x ndash 4) = 4 2x + 3 130x ndash 24 = 8x + 3

30x ndash 8x = 3 + 24

22x = 27


(Simplificando)




(Dividiendo por 22)

x = 22

27

6 4 3

Ejemplo



Ejemplo




(Simplificando)



p2 ndash q2

(p ndash q) =x

(p + q) (p ndash q)

(p ndash q) =x

x = p + q






Ejemplo



5x

x ndash 1

x + 1

x

3 3x

4




- El antecesor de x







Solucioacuten




2

3 xx


= 2x + 6

2

3 xx




= 2x + 6 3 x2


3x = 4x + 12


ndash 12 = x



= 2x + 6

2

3 xx

2

3 x = 2x + 6






Ejemplo 2x + 3y = 7

x ndash 4y = 2














Ejemplo


1) 2x + 3y = 7

2x = 7 ndash 3y


7 ndash 3y 2

x =

1) 2x + 3y = 7







7 = ndash 4 + 11y

7 + 4 = ndash 4 + 11y + 4

11 = 11y

1 = y

(Sumando 3y)

(Sumando 4)

(Dividiendo por 11)


2





2) x = ndash 2 + 4y



x = ndash 2 + 4

x = 2












x = ndash 2 + 4y





1) 2x + 3y = 7


ndash 4 + 8y + 3y = 7

11y = 7 + 4

11y = 11

y = 1

(Distribuyendo)

(Sumando 4)

(Dividiendo por 11)


x = 2






bull Reduccioacuten


Ejemplo

middot (ndash 2)

1) 2x + 3y = 7

2) ndash 2x + 8y = 4(+)

11y = 11

y = 1

1) 2x + 3y = 7






x = 2

x = ndash 2 + 4







Solucioacuten


1) a + k = 55

2) 2a + 4k = 170

Aplicaciones




1) a + k = 55

2) 2a + 4k = 170


2) 2a + 4k = 170

2k = 60

k = 301) a + k = 55

a + 30 = 55

a = 55 ndash 30

a = 25



(+)















q = 156

3

q = 52

(Simplificando)

Entonces

4 91 ndash p = q

4 91 ndash p = 52

364 ndash p = 52


ndash p = ndash 312

p = 312

(Reemplazando q)

(Multiplicando)




Resolucioacuten


E








ndash 3m = 9

3m = ndash 9

m = ndash 3

m = ndash 9

3

Entonces

m ndash m2 =


ndash 3 ndash 9 =

ndash 12


(Despejando m)

(Simplificando)

(Reemplazando)

(Desarrollando)


Resolucioacuten


A







(Despejando x)

x = 22 3

x = 66



66 2 = 33

33 + 2 =

35 antildeos

1 3

x = 22


Resolucioacuten


B




Respectivamente



x + y = 5




3x = 3 x = 1


Resolucioacuten


C

2) x + y = 5




(Dividiendo por 3)


2) x + y = 5

1 + y = 5 y = 4

(Restando 1)




traveacutes de



9x = 3y





Resolucioacuten


A


(Dividiendo por 3)

0 = ndash 2

2) 9x = 3y














Ejemplo




(Simplificando)



p2 ndash q2

(p ndash q) =x

(p + q) (p ndash q)

(p ndash q) =x

x = p + q






Ejemplo



5x

x ndash 1

x + 1

x

3 3x

4




- El antecesor de x







Solucioacuten




2

3 xx


= 2x + 6

2

3 xx




= 2x + 6 3 x2


3x = 4x + 12


ndash 12 = x



= 2x + 6

2

3 xx

2

3 x = 2x + 6






Ejemplo 2x + 3y = 7

x ndash 4y = 2














Ejemplo


1) 2x + 3y = 7

2x = 7 ndash 3y


7 ndash 3y 2

x =

1) 2x + 3y = 7







7 = ndash 4 + 11y

7 + 4 = ndash 4 + 11y + 4

11 = 11y

1 = y

(Sumando 3y)

(Sumando 4)

(Dividiendo por 11)


2





2) x = ndash 2 + 4y



x = ndash 2 + 4

x = 2












x = ndash 2 + 4y





1) 2x + 3y = 7


ndash 4 + 8y + 3y = 7

11y = 7 + 4

11y = 11

y = 1

(Distribuyendo)

(Sumando 4)

(Dividiendo por 11)


x = 2






bull Reduccioacuten


Ejemplo

middot (ndash 2)

1) 2x + 3y = 7

2) ndash 2x + 8y = 4(+)

11y = 11

y = 1

1) 2x + 3y = 7






x = 2

x = ndash 2 + 4







Solucioacuten


1) a + k = 55

2) 2a + 4k = 170

Aplicaciones




1) a + k = 55

2) 2a + 4k = 170


2) 2a + 4k = 170

2k = 60

k = 301) a + k = 55

a + 30 = 55

a = 55 ndash 30

a = 25



(+)















q = 156

3

q = 52

(Simplificando)

Entonces

4 91 ndash p = q

4 91 ndash p = 52

364 ndash p = 52


ndash p = ndash 312

p = 312

(Reemplazando q)

(Multiplicando)




Resolucioacuten


E








ndash 3m = 9

3m = ndash 9

m = ndash 3

m = ndash 9

3

Entonces

m ndash m2 =


ndash 3 ndash 9 =

ndash 12


(Despejando m)

(Simplificando)

(Reemplazando)

(Desarrollando)


Resolucioacuten


A







(Despejando x)

x = 22 3

x = 66



66 2 = 33

33 + 2 =

35 antildeos

1 3

x = 22


Resolucioacuten


B




Respectivamente



x + y = 5




3x = 3 x = 1


Resolucioacuten


C

2) x + y = 5




(Dividiendo por 3)


2) x + y = 5

1 + y = 5 y = 4

(Restando 1)




traveacutes de



9x = 3y





Resolucioacuten


A


(Dividiendo por 3)

0 = ndash 2

2) 9x = 3y
















Ejemplo



5x

x ndash 1

x + 1

x

3 3x

4




- El antecesor de x







Solucioacuten




2

3 xx


= 2x + 6

2

3 xx




= 2x + 6 3 x2


3x = 4x + 12


ndash 12 = x



= 2x + 6

2

3 xx

2

3 x = 2x + 6






Ejemplo 2x + 3y = 7

x ndash 4y = 2














Ejemplo


1) 2x + 3y = 7

2x = 7 ndash 3y


7 ndash 3y 2

x =

1) 2x + 3y = 7







7 = ndash 4 + 11y

7 + 4 = ndash 4 + 11y + 4

11 = 11y

1 = y

(Sumando 3y)

(Sumando 4)

(Dividiendo por 11)


2





2) x = ndash 2 + 4y



x = ndash 2 + 4

x = 2












x = ndash 2 + 4y





1) 2x + 3y = 7


ndash 4 + 8y + 3y = 7

11y = 7 + 4

11y = 11

y = 1

(Distribuyendo)

(Sumando 4)

(Dividiendo por 11)


x = 2






bull Reduccioacuten


Ejemplo

middot (ndash 2)

1) 2x + 3y = 7

2) ndash 2x + 8y = 4(+)

11y = 11

y = 1

1) 2x + 3y = 7






x = 2

x = ndash 2 + 4







Solucioacuten


1) a + k = 55

2) 2a + 4k = 170

Aplicaciones




1) a + k = 55

2) 2a + 4k = 170


2) 2a + 4k = 170

2k = 60

k = 301) a + k = 55

a + 30 = 55

a = 55 ndash 30

a = 25



(+)















q = 156

3

q = 52

(Simplificando)

Entonces

4 91 ndash p = q

4 91 ndash p = 52

364 ndash p = 52


ndash p = ndash 312

p = 312

(Reemplazando q)

(Multiplicando)




Resolucioacuten


E








ndash 3m = 9

3m = ndash 9

m = ndash 3

m = ndash 9

3

Entonces

m ndash m2 =


ndash 3 ndash 9 =

ndash 12


(Despejando m)

(Simplificando)

(Reemplazando)

(Desarrollando)


Resolucioacuten


A







(Despejando x)

x = 22 3

x = 66



66 2 = 33

33 + 2 =

35 antildeos

1 3

x = 22


Resolucioacuten


B




Respectivamente



x + y = 5




3x = 3 x = 1


Resolucioacuten


C

2) x + y = 5




(Dividiendo por 3)


2) x + y = 5

1 + y = 5 y = 4

(Restando 1)




traveacutes de



9x = 3y





Resolucioacuten


A


(Dividiendo por 3)

0 = ndash 2

2) 9x = 3y

















Solucioacuten




2

3 xx


= 2x + 6

2

3 xx




= 2x + 6 3 x2


3x = 4x + 12


ndash 12 = x



= 2x + 6

2

3 xx

2

3 x = 2x + 6






Ejemplo 2x + 3y = 7

x ndash 4y = 2














Ejemplo


1) 2x + 3y = 7

2x = 7 ndash 3y


7 ndash 3y 2

x =

1) 2x + 3y = 7







7 = ndash 4 + 11y

7 + 4 = ndash 4 + 11y + 4

11 = 11y

1 = y

(Sumando 3y)

(Sumando 4)

(Dividiendo por 11)


2





2) x = ndash 2 + 4y



x = ndash 2 + 4

x = 2












x = ndash 2 + 4y





1) 2x + 3y = 7


ndash 4 + 8y + 3y = 7

11y = 7 + 4

11y = 11

y = 1

(Distribuyendo)

(Sumando 4)

(Dividiendo por 11)


x = 2






bull Reduccioacuten


Ejemplo

middot (ndash 2)

1) 2x + 3y = 7

2) ndash 2x + 8y = 4(+)

11y = 11

y = 1

1) 2x + 3y = 7






x = 2

x = ndash 2 + 4







Solucioacuten


1) a + k = 55

2) 2a + 4k = 170

Aplicaciones




1) a + k = 55

2) 2a + 4k = 170


2) 2a + 4k = 170

2k = 60

k = 301) a + k = 55

a + 30 = 55

a = 55 ndash 30

a = 25



(+)















q = 156

3

q = 52

(Simplificando)

Entonces

4 91 ndash p = q

4 91 ndash p = 52

364 ndash p = 52


ndash p = ndash 312

p = 312

(Reemplazando q)

(Multiplicando)




Resolucioacuten


E








ndash 3m = 9

3m = ndash 9

m = ndash 3

m = ndash 9

3

Entonces

m ndash m2 =


ndash 3 ndash 9 =

ndash 12


(Despejando m)

(Simplificando)

(Reemplazando)

(Desarrollando)


Resolucioacuten


A







(Despejando x)

x = 22 3

x = 66



66 2 = 33

33 + 2 =

35 antildeos

1 3

x = 22


Resolucioacuten


B




Respectivamente



x + y = 5




3x = 3 x = 1


Resolucioacuten


C

2) x + y = 5




(Dividiendo por 3)


2) x + y = 5

1 + y = 5 y = 4

(Restando 1)




traveacutes de



9x = 3y





Resolucioacuten


A


(Dividiendo por 3)

0 = ndash 2

2) 9x = 3y















= 2x + 6 3 x2


3x = 4x + 12


ndash 12 = x



= 2x + 6

2

3 xx

2

3 x = 2x + 6






Ejemplo 2x + 3y = 7

x ndash 4y = 2














Ejemplo


1) 2x + 3y = 7

2x = 7 ndash 3y


7 ndash 3y 2

x =

1) 2x + 3y = 7







7 = ndash 4 + 11y

7 + 4 = ndash 4 + 11y + 4

11 = 11y

1 = y

(Sumando 3y)

(Sumando 4)

(Dividiendo por 11)


2





2) x = ndash 2 + 4y



x = ndash 2 + 4

x = 2












x = ndash 2 + 4y





1) 2x + 3y = 7


ndash 4 + 8y + 3y = 7

11y = 7 + 4

11y = 11

y = 1

(Distribuyendo)

(Sumando 4)

(Dividiendo por 11)


x = 2






bull Reduccioacuten


Ejemplo

middot (ndash 2)

1) 2x + 3y = 7

2) ndash 2x + 8y = 4(+)

11y = 11

y = 1

1) 2x + 3y = 7






x = 2

x = ndash 2 + 4







Solucioacuten


1) a + k = 55

2) 2a + 4k = 170

Aplicaciones




1) a + k = 55

2) 2a + 4k = 170


2) 2a + 4k = 170

2k = 60

k = 301) a + k = 55

a + 30 = 55

a = 55 ndash 30

a = 25



(+)















q = 156

3

q = 52

(Simplificando)

Entonces

4 91 ndash p = q

4 91 ndash p = 52

364 ndash p = 52


ndash p = ndash 312

p = 312

(Reemplazando q)

(Multiplicando)




Resolucioacuten


E








ndash 3m = 9

3m = ndash 9

m = ndash 3

m = ndash 9

3

Entonces

m ndash m2 =


ndash 3 ndash 9 =

ndash 12


(Despejando m)

(Simplificando)

(Reemplazando)

(Desarrollando)


Resolucioacuten


A







(Despejando x)

x = 22 3

x = 66



66 2 = 33

33 + 2 =

35 antildeos

1 3

x = 22


Resolucioacuten


B




Respectivamente



x + y = 5




3x = 3 x = 1


Resolucioacuten


C

2) x + y = 5




(Dividiendo por 3)


2) x + y = 5

1 + y = 5 y = 4

(Restando 1)




traveacutes de



9x = 3y





Resolucioacuten


A


(Dividiendo por 3)

0 = ndash 2

2) 9x = 3y
















Ejemplo 2x + 3y = 7

x ndash 4y = 2














Ejemplo


1) 2x + 3y = 7

2x = 7 ndash 3y


7 ndash 3y 2

x =

1) 2x + 3y = 7







7 = ndash 4 + 11y

7 + 4 = ndash 4 + 11y + 4

11 = 11y

1 = y

(Sumando 3y)

(Sumando 4)

(Dividiendo por 11)


2





2) x = ndash 2 + 4y



x = ndash 2 + 4

x = 2












x = ndash 2 + 4y





1) 2x + 3y = 7


ndash 4 + 8y + 3y = 7

11y = 7 + 4

11y = 11

y = 1

(Distribuyendo)

(Sumando 4)

(Dividiendo por 11)


x = 2






bull Reduccioacuten


Ejemplo

middot (ndash 2)

1) 2x + 3y = 7

2) ndash 2x + 8y = 4(+)

11y = 11

y = 1

1) 2x + 3y = 7






x = 2

x = ndash 2 + 4







Solucioacuten


1) a + k = 55

2) 2a + 4k = 170

Aplicaciones




1) a + k = 55

2) 2a + 4k = 170


2) 2a + 4k = 170

2k = 60

k = 301) a + k = 55

a + 30 = 55

a = 55 ndash 30

a = 25



(+)















q = 156

3

q = 52

(Simplificando)

Entonces

4 91 ndash p = q

4 91 ndash p = 52

364 ndash p = 52


ndash p = ndash 312

p = 312

(Reemplazando q)

(Multiplicando)




Resolucioacuten


E








ndash 3m = 9

3m = ndash 9

m = ndash 3

m = ndash 9

3

Entonces

m ndash m2 =


ndash 3 ndash 9 =

ndash 12


(Despejando m)

(Simplificando)

(Reemplazando)

(Desarrollando)


Resolucioacuten


A







(Despejando x)

x = 22 3

x = 66



66 2 = 33

33 + 2 =

35 antildeos

1 3

x = 22


Resolucioacuten


B




Respectivamente



x + y = 5




3x = 3 x = 1


Resolucioacuten


C

2) x + y = 5




(Dividiendo por 3)


2) x + y = 5

1 + y = 5 y = 4

(Restando 1)




traveacutes de



9x = 3y





Resolucioacuten


A


(Dividiendo por 3)

0 = ndash 2

2) 9x = 3y

















Ejemplo


1) 2x + 3y = 7

2x = 7 ndash 3y


7 ndash 3y 2

x =

1) 2x + 3y = 7







7 = ndash 4 + 11y

7 + 4 = ndash 4 + 11y + 4

11 = 11y

1 = y

(Sumando 3y)

(Sumando 4)

(Dividiendo por 11)


2





2) x = ndash 2 + 4y



x = ndash 2 + 4

x = 2












x = ndash 2 + 4y





1) 2x + 3y = 7


ndash 4 + 8y + 3y = 7

11y = 7 + 4

11y = 11

y = 1

(Distribuyendo)

(Sumando 4)

(Dividiendo por 11)


x = 2






bull Reduccioacuten


Ejemplo

middot (ndash 2)

1) 2x + 3y = 7

2) ndash 2x + 8y = 4(+)

11y = 11

y = 1

1) 2x + 3y = 7






x = 2

x = ndash 2 + 4







Solucioacuten


1) a + k = 55

2) 2a + 4k = 170

Aplicaciones




1) a + k = 55

2) 2a + 4k = 170


2) 2a + 4k = 170

2k = 60

k = 301) a + k = 55

a + 30 = 55

a = 55 ndash 30

a = 25



(+)















q = 156

3

q = 52

(Simplificando)

Entonces

4 91 ndash p = q

4 91 ndash p = 52

364 ndash p = 52


ndash p = ndash 312

p = 312

(Reemplazando q)

(Multiplicando)




Resolucioacuten


E








ndash 3m = 9

3m = ndash 9

m = ndash 3

m = ndash 9

3

Entonces

m ndash m2 =


ndash 3 ndash 9 =

ndash 12


(Despejando m)

(Simplificando)

(Reemplazando)

(Desarrollando)


Resolucioacuten


A







(Despejando x)

x = 22 3

x = 66



66 2 = 33

33 + 2 =

35 antildeos

1 3

x = 22


Resolucioacuten


B




Respectivamente



x + y = 5




3x = 3 x = 1


Resolucioacuten


C

2) x + y = 5




(Dividiendo por 3)


2) x + y = 5

1 + y = 5 y = 4

(Restando 1)




traveacutes de



9x = 3y





Resolucioacuten


A


(Dividiendo por 3)

0 = ndash 2

2) 9x = 3y
















7 = ndash 4 + 11y

7 + 4 = ndash 4 + 11y + 4

11 = 11y

1 = y

(Sumando 3y)

(Sumando 4)

(Dividiendo por 11)


2





2) x = ndash 2 + 4y



x = ndash 2 + 4

x = 2












x = ndash 2 + 4y





1) 2x + 3y = 7


ndash 4 + 8y + 3y = 7

11y = 7 + 4

11y = 11

y = 1

(Distribuyendo)

(Sumando 4)

(Dividiendo por 11)


x = 2






bull Reduccioacuten


Ejemplo

middot (ndash 2)

1) 2x + 3y = 7

2) ndash 2x + 8y = 4(+)

11y = 11

y = 1

1) 2x + 3y = 7






x = 2

x = ndash 2 + 4







Solucioacuten


1) a + k = 55

2) 2a + 4k = 170

Aplicaciones




1) a + k = 55

2) 2a + 4k = 170


2) 2a + 4k = 170

2k = 60

k = 301) a + k = 55

a + 30 = 55

a = 55 ndash 30

a = 25



(+)















q = 156

3

q = 52

(Simplificando)

Entonces

4 91 ndash p = q

4 91 ndash p = 52

364 ndash p = 52


ndash p = ndash 312

p = 312

(Reemplazando q)

(Multiplicando)




Resolucioacuten


E








ndash 3m = 9

3m = ndash 9

m = ndash 3

m = ndash 9

3

Entonces

m ndash m2 =


ndash 3 ndash 9 =

ndash 12


(Despejando m)

(Simplificando)

(Reemplazando)

(Desarrollando)


Resolucioacuten


A







(Despejando x)

x = 22 3

x = 66



66 2 = 33

33 + 2 =

35 antildeos

1 3

x = 22


Resolucioacuten


B




Respectivamente



x + y = 5




3x = 3 x = 1


Resolucioacuten


C

2) x + y = 5




(Dividiendo por 3)


2) x + y = 5

1 + y = 5 y = 4

(Restando 1)




traveacutes de



9x = 3y





Resolucioacuten


A


(Dividiendo por 3)

0 = ndash 2

2) 9x = 3y













2) x = ndash 2 + 4y



x = ndash 2 + 4

x = 2












x = ndash 2 + 4y





1) 2x + 3y = 7


ndash 4 + 8y + 3y = 7

11y = 7 + 4

11y = 11

y = 1

(Distribuyendo)

(Sumando 4)

(Dividiendo por 11)


x = 2






bull Reduccioacuten


Ejemplo

middot (ndash 2)

1) 2x + 3y = 7

2) ndash 2x + 8y = 4(+)

11y = 11

y = 1

1) 2x + 3y = 7






x = 2

x = ndash 2 + 4







Solucioacuten


1) a + k = 55

2) 2a + 4k = 170

Aplicaciones




1) a + k = 55

2) 2a + 4k = 170


2) 2a + 4k = 170

2k = 60

k = 301) a + k = 55

a + 30 = 55

a = 55 ndash 30

a = 25



(+)















q = 156

3

q = 52

(Simplificando)

Entonces

4 91 ndash p = q

4 91 ndash p = 52

364 ndash p = 52


ndash p = ndash 312

p = 312

(Reemplazando q)

(Multiplicando)




Resolucioacuten


E








ndash 3m = 9

3m = ndash 9

m = ndash 3

m = ndash 9

3

Entonces

m ndash m2 =


ndash 3 ndash 9 =

ndash 12


(Despejando m)

(Simplificando)

(Reemplazando)

(Desarrollando)


Resolucioacuten


A







(Despejando x)

x = 22 3

x = 66



66 2 = 33

33 + 2 =

35 antildeos

1 3

x = 22


Resolucioacuten


B




Respectivamente



x + y = 5




3x = 3 x = 1


Resolucioacuten


C

2) x + y = 5




(Dividiendo por 3)


2) x + y = 5

1 + y = 5 y = 4

(Restando 1)




traveacutes de



9x = 3y





Resolucioacuten


A


(Dividiendo por 3)

0 = ndash 2

2) 9x = 3y




















x = ndash 2 + 4y





1) 2x + 3y = 7


ndash 4 + 8y + 3y = 7

11y = 7 + 4

11y = 11

y = 1

(Distribuyendo)

(Sumando 4)

(Dividiendo por 11)


x = 2






bull Reduccioacuten


Ejemplo

middot (ndash 2)

1) 2x + 3y = 7

2) ndash 2x + 8y = 4(+)

11y = 11

y = 1

1) 2x + 3y = 7






x = 2

x = ndash 2 + 4







Solucioacuten


1) a + k = 55

2) 2a + 4k = 170

Aplicaciones




1) a + k = 55

2) 2a + 4k = 170


2) 2a + 4k = 170

2k = 60

k = 301) a + k = 55

a + 30 = 55

a = 55 ndash 30

a = 25



(+)















q = 156

3

q = 52

(Simplificando)

Entonces

4 91 ndash p = q

4 91 ndash p = 52

364 ndash p = 52


ndash p = ndash 312

p = 312

(Reemplazando q)

(Multiplicando)




Resolucioacuten


E








ndash 3m = 9

3m = ndash 9

m = ndash 3

m = ndash 9

3

Entonces

m ndash m2 =


ndash 3 ndash 9 =

ndash 12


(Despejando m)

(Simplificando)

(Reemplazando)

(Desarrollando)


Resolucioacuten


A







(Despejando x)

x = 22 3

x = 66



66 2 = 33

33 + 2 =

35 antildeos

1 3

x = 22


Resolucioacuten


B




Respectivamente



x + y = 5




3x = 3 x = 1


Resolucioacuten


C

2) x + y = 5




(Dividiendo por 3)


2) x + y = 5

1 + y = 5 y = 4

(Restando 1)




traveacutes de



9x = 3y





Resolucioacuten


A


(Dividiendo por 3)

0 = ndash 2

2) 9x = 3y














1) 2x + 3y = 7


ndash 4 + 8y + 3y = 7

11y = 7 + 4

11y = 11

y = 1

(Distribuyendo)

(Sumando 4)

(Dividiendo por 11)


x = 2






bull Reduccioacuten


Ejemplo

middot (ndash 2)

1) 2x + 3y = 7

2) ndash 2x + 8y = 4(+)

11y = 11

y = 1

1) 2x + 3y = 7






x = 2

x = ndash 2 + 4







Solucioacuten


1) a + k = 55

2) 2a + 4k = 170

Aplicaciones




1) a + k = 55

2) 2a + 4k = 170


2) 2a + 4k = 170

2k = 60

k = 301) a + k = 55

a + 30 = 55

a = 55 ndash 30

a = 25



(+)















q = 156

3

q = 52

(Simplificando)

Entonces

4 91 ndash p = q

4 91 ndash p = 52

364 ndash p = 52


ndash p = ndash 312

p = 312

(Reemplazando q)

(Multiplicando)




Resolucioacuten


E








ndash 3m = 9

3m = ndash 9

m = ndash 3

m = ndash 9

3

Entonces

m ndash m2 =


ndash 3 ndash 9 =

ndash 12


(Despejando m)

(Simplificando)

(Reemplazando)

(Desarrollando)


Resolucioacuten


A







(Despejando x)

x = 22 3

x = 66



66 2 = 33

33 + 2 =

35 antildeos

1 3

x = 22


Resolucioacuten


B




Respectivamente



x + y = 5




3x = 3 x = 1


Resolucioacuten


C

2) x + y = 5




(Dividiendo por 3)


2) x + y = 5

1 + y = 5 y = 4

(Restando 1)




traveacutes de



9x = 3y





Resolucioacuten


A


(Dividiendo por 3)

0 = ndash 2

2) 9x = 3y















bull Reduccioacuten


Ejemplo

middot (ndash 2)

1) 2x + 3y = 7

2) ndash 2x + 8y = 4(+)

11y = 11

y = 1

1) 2x + 3y = 7






x = 2

x = ndash 2 + 4







Solucioacuten


1) a + k = 55

2) 2a + 4k = 170

Aplicaciones




1) a + k = 55

2) 2a + 4k = 170


2) 2a + 4k = 170

2k = 60

k = 301) a + k = 55

a + 30 = 55

a = 55 ndash 30

a = 25



(+)















q = 156

3

q = 52

(Simplificando)

Entonces

4 91 ndash p = q

4 91 ndash p = 52

364 ndash p = 52


ndash p = ndash 312

p = 312

(Reemplazando q)

(Multiplicando)




Resolucioacuten


E








ndash 3m = 9

3m = ndash 9

m = ndash 3

m = ndash 9

3

Entonces

m ndash m2 =


ndash 3 ndash 9 =

ndash 12


(Despejando m)

(Simplificando)

(Reemplazando)

(Desarrollando)


Resolucioacuten


A







(Despejando x)

x = 22 3

x = 66



66 2 = 33

33 + 2 =

35 antildeos

1 3

x = 22


Resolucioacuten


B




Respectivamente



x + y = 5




3x = 3 x = 1


Resolucioacuten


C

2) x + y = 5




(Dividiendo por 3)


2) x + y = 5

1 + y = 5 y = 4

(Restando 1)




traveacutes de



9x = 3y





Resolucioacuten


A


(Dividiendo por 3)

0 = ndash 2

2) 9x = 3y















x = 2

x = ndash 2 + 4







Solucioacuten


1) a + k = 55

2) 2a + 4k = 170

Aplicaciones




1) a + k = 55

2) 2a + 4k = 170


2) 2a + 4k = 170

2k = 60

k = 301) a + k = 55

a + 30 = 55

a = 55 ndash 30

a = 25



(+)















q = 156

3

q = 52

(Simplificando)

Entonces

4 91 ndash p = q

4 91 ndash p = 52

364 ndash p = 52


ndash p = ndash 312

p = 312

(Reemplazando q)

(Multiplicando)




Resolucioacuten


E








ndash 3m = 9

3m = ndash 9

m = ndash 3

m = ndash 9

3

Entonces

m ndash m2 =


ndash 3 ndash 9 =

ndash 12


(Despejando m)

(Simplificando)

(Reemplazando)

(Desarrollando)


Resolucioacuten


A







(Despejando x)

x = 22 3

x = 66



66 2 = 33

33 + 2 =

35 antildeos

1 3

x = 22


Resolucioacuten


B




Respectivamente



x + y = 5




3x = 3 x = 1


Resolucioacuten


C

2) x + y = 5




(Dividiendo por 3)


2) x + y = 5

1 + y = 5 y = 4

(Restando 1)




traveacutes de



9x = 3y





Resolucioacuten


A


(Dividiendo por 3)

0 = ndash 2

2) 9x = 3y















Solucioacuten


1) a + k = 55

2) 2a + 4k = 170

Aplicaciones




1) a + k = 55

2) 2a + 4k = 170


2) 2a + 4k = 170

2k = 60

k = 301) a + k = 55

a + 30 = 55

a = 55 ndash 30

a = 25



(+)















q = 156

3

q = 52

(Simplificando)

Entonces

4 91 ndash p = q

4 91 ndash p = 52

364 ndash p = 52


ndash p = ndash 312

p = 312

(Reemplazando q)

(Multiplicando)




Resolucioacuten


E








ndash 3m = 9

3m = ndash 9

m = ndash 3

m = ndash 9

3

Entonces

m ndash m2 =


ndash 3 ndash 9 =

ndash 12


(Despejando m)

(Simplificando)

(Reemplazando)

(Desarrollando)


Resolucioacuten


A







(Despejando x)

x = 22 3

x = 66



66 2 = 33

33 + 2 =

35 antildeos

1 3

x = 22


Resolucioacuten


B




Respectivamente



x + y = 5




3x = 3 x = 1


Resolucioacuten


C

2) x + y = 5




(Dividiendo por 3)


2) x + y = 5

1 + y = 5 y = 4

(Restando 1)




traveacutes de



9x = 3y





Resolucioacuten


A


(Dividiendo por 3)

0 = ndash 2

2) 9x = 3y













1) a + k = 55

2) 2a + 4k = 170


2) 2a + 4k = 170

2k = 60

k = 301) a + k = 55

a + 30 = 55

a = 55 ndash 30

a = 25



(+)















q = 156

3

q = 52

(Simplificando)

Entonces

4 91 ndash p = q

4 91 ndash p = 52

364 ndash p = 52


ndash p = ndash 312

p = 312

(Reemplazando q)

(Multiplicando)




Resolucioacuten


E








ndash 3m = 9

3m = ndash 9

m = ndash 3

m = ndash 9

3

Entonces

m ndash m2 =


ndash 3 ndash 9 =

ndash 12


(Despejando m)

(Simplificando)

(Reemplazando)

(Desarrollando)


Resolucioacuten


A







(Despejando x)

x = 22 3

x = 66



66 2 = 33

33 + 2 =

35 antildeos

1 3

x = 22


Resolucioacuten


B




Respectivamente



x + y = 5




3x = 3 x = 1


Resolucioacuten


C

2) x + y = 5




(Dividiendo por 3)


2) x + y = 5

1 + y = 5 y = 4

(Restando 1)




traveacutes de



9x = 3y





Resolucioacuten


A


(Dividiendo por 3)

0 = ndash 2

2) 9x = 3y



















q = 156

3

q = 52

(Simplificando)

Entonces

4 91 ndash p = q

4 91 ndash p = 52

364 ndash p = 52


ndash p = ndash 312

p = 312

(Reemplazando q)

(Multiplicando)




Resolucioacuten


E








ndash 3m = 9

3m = ndash 9

m = ndash 3

m = ndash 9

3

Entonces

m ndash m2 =


ndash 3 ndash 9 =

ndash 12


(Despejando m)

(Simplificando)

(Reemplazando)

(Desarrollando)


Resolucioacuten


A







(Despejando x)

x = 22 3

x = 66



66 2 = 33

33 + 2 =

35 antildeos

1 3

x = 22


Resolucioacuten


B




Respectivamente



x + y = 5




3x = 3 x = 1


Resolucioacuten


C

2) x + y = 5




(Dividiendo por 3)


2) x + y = 5

1 + y = 5 y = 4

(Restando 1)




traveacutes de



9x = 3y





Resolucioacuten


A


(Dividiendo por 3)

0 = ndash 2

2) 9x = 3y



















ndash 3m = 9

3m = ndash 9

m = ndash 3

m = ndash 9

3

Entonces

m ndash m2 =


ndash 3 ndash 9 =

ndash 12


(Despejando m)

(Simplificando)

(Reemplazando)

(Desarrollando)


Resolucioacuten


A







(Despejando x)

x = 22 3

x = 66



66 2 = 33

33 + 2 =

35 antildeos

1 3

x = 22


Resolucioacuten


B




Respectivamente



x + y = 5




3x = 3 x = 1


Resolucioacuten


C

2) x + y = 5




(Dividiendo por 3)


2) x + y = 5

1 + y = 5 y = 4

(Restando 1)




traveacutes de



9x = 3y





Resolucioacuten


A


(Dividiendo por 3)

0 = ndash 2

2) 9x = 3y


















(Despejando x)

x = 22 3

x = 66



66 2 = 33

33 + 2 =

35 antildeos

1 3

x = 22


Resolucioacuten


B




Respectivamente



x + y = 5




3x = 3 x = 1


Resolucioacuten


C

2) x + y = 5




(Dividiendo por 3)


2) x + y = 5

1 + y = 5 y = 4

(Restando 1)




traveacutes de



9x = 3y





Resolucioacuten


A


(Dividiendo por 3)

0 = ndash 2

2) 9x = 3y















Respectivamente



x + y = 5




3x = 3 x = 1


Resolucioacuten


C

2) x + y = 5




(Dividiendo por 3)


2) x + y = 5

1 + y = 5 y = 4

(Restando 1)




traveacutes de



9x = 3y





Resolucioacuten


A


(Dividiendo por 3)

0 = ndash 2

2) 9x = 3y














3x = 3 x = 1


Resolucioacuten


C

2) x + y = 5




(Dividiendo por 3)


2) x + y = 5

1 + y = 5 y = 4

(Restando 1)




traveacutes de



9x = 3y





Resolucioacuten


A


(Dividiendo por 3)

0 = ndash 2

2) 9x = 3y















traveacutes de



9x = 3y





Resolucioacuten


A


(Dividiendo por 3)

0 = ndash 2

2) 9x = 3y















Resolucioacuten


A


(Dividiendo por 3)

0 = ndash 2

2) 9x = 3y












Propiedad Intelectual Cpech PPTCAC040MT21-A15V1 Ecuaciones y sistemas de ecuaciones de primer grado...

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