PROPORCIONALIDAD

SESIÓN 8 PROPORCIONALIDAD

El tema de proporcionalidad permite establecer la relación entre dos magnitudes medibles. Así, en el ámbito laboral las magnitudes éxito y trabajo revelan una relación de proporcionalidad; o en el caso de un automóvil el tiempo que emplea en cubrir una distancia específica varía según la velocidad. En los ejemplos señalados podemos observar que dos magnitudes se están comparando; de manera que los valores de uno de ellos depende de los valores que se le asigne al otro. Esta relación entre magnitudes puede ser directa o inversa proporcional.

Contenido Capacidad Proporcionalidad: magnitudes y

reparto proporcional. Resuelve problemas de

proporcionalidad.

Conceptos Previos.-

Magnitud: Es todo aquello que tenga la propiedad de ser medido, es decir que puede ser expresado en forma cuantitativa.

Tomemos como ejemplo a Bill Gates. Existen personas que miden su éxito respecto a cuánto se acercan a la fortuna de Gates. Si creas una empresa, ¿cuánto genera está comparado con la de él?

El éxito es alcanzar el máximo nivel de desarrollo personal, en base a un deseo o anhelo. A mayor desarrollo, mayor alcance del deseo, por lógica a mayor alcance del deseo, mayor éxito. El éxito por ende es absolutamente personal.

Magnitudes Proporcionales: son las comparaciones que se establecen entre los valores que adoptan un grupo de magnitudes mayor o igual a 2; teniendo una relación que por naturaleza puede ser:

a) Magnitudes Directamente Proporcionales (D.P.)

Son aquellas que aumentan o disminuyen manteniendo la misma constante de proporcionalidad (k)

Ejemplo 01:Si un kilogramo de azúcar cuesta S/. 3,00; entonces dos kilogramos tendrá un doble costo.

Magnitudes Valores correspondientesCosto 3,00 6,00 7,50 12,00Peso (kg) 1 2 2,5 4

CostoPeso

=31=6

2=7,5

2,5=12

4=3 = k=cons tan te de proporcionalidad

En general:

Si A es D.P. con B, entonces AB

=k (k : cons tan te de proporcionalidad )

b) Magnitudes Inversamente Proporcionales (I.P.)

Son aquellas que sufren una variación opuesta, es decir, si una de ellas aumenta la otra disminuye.

Ejemplo 02:Si un automóvil se desplaza constantemente a 80 km/h demora 2 horas en llegar a su destino, si se desplaza a 40km/h demorará la mitad del tiempo anterior. Por lo tanto:

Magnitudes Valores correspondientesVelocidad 80 40 20 10Tiempo 2 4 8 16

(Velocidad ) x (Tiempo)=80 x 2=40 x 4=20 x 8=10 x 16= 160 = k=cons tan te de proporcionalidad

En general:

Si A es I.P. con B, entonces A x B=k (k : cons tan te de proporcionalidad )

Propiedades de las Magnitudes Proporcionales.-

1) “Si dos cantidades son inversamente proporcionales entre sí entonces una de esas cantidades es directamente proporcional a la inversa de la otra cantidad”.

A es I . P . con B ⇒ A es D . P . con1B

2) “Si dos cantidades son directa o inversamente proporcionales entonces todas las potencias de dichas cantidades también serán directa o inversamente proporcionales”.

A es D .P . con B ⇒ An es D . P . con Bn

A es I . P . con B ⇒ An es I . P . con Bn

donde : n ∈Z

c) Proporcionalidad compuesta: es aquella en la cual, se relaciona más de dos magnitudes:La capacidad de un condensador es directamente proporcional a su longitud “L” e inversamente proporcional a su sección “A”. ¿Qué sucede con la capacidad, si “L” se hace la tercera parte y “A” se hace la sexta parte?

Del enunciado:Capacidad x Sección

Longitud=k

Reemplazando se tiene:

C x AL

=C1 x

A6

L3

C x AL

=C1 x 3 A

6 LReduciendo :2C =C1

La nueva capacidad es el doble de la anterior

Reparto Proporcional: se clasifican de la siguiente manera:

Re parto Simple {DirectoInverso

Re parto Compuesto

a) Reparto Simple Directo: Las partes deben ser directamente proporcionales a los números dados; es decir, los cocientes deben permanecer constantes.

Ejemplo 04:Repartir 28 lapiceros de colores a dos grupos, que sean proporcionales a 3 y 4. ¿Cuántos lapiceros reciben cada grupo?

Sean los grupos: A y B

Se tiene: A+B = 28A3

=B4=K

Despejando cada parte:

A3

=k ⇒ A=3k

B4

=k⇒ B=4k

La suma de los grupos es:A+B=28

3k+4k=287k=28k=4

Por lo tanto cada grupo recibe: A=3k= 3(4 )=12 lapicerosB=4k = 4( 4 )= 16 lapiceros

Ejemplo 05:

Repartir 154 en partes directamente proporcionales a

23

;14

;15

;16 .

Cuando los números proporcionales son fracciones, es conveniente que los números proporcionales sean enteros, entonces para ello es necesario hallar el MCM de los denominadores

Sean las partes: A, B, C y D

MCM (3, 4, 5 y 6)= 60

Partes

154 {A :

23

x60=40k

B :14

x60=15k

C :15

x60=12k

D :16

x 60=10 k

Se tiene: A+B+C+D=154

40 k+15k+12k+10k=15477 k=154

k=2

Las partes son:A=40k=40 (2)=80B=15k=15(2 )=30C=12k=12(2 )=24D=10 k=10(2 )=20

b) Reparto Simple Inverso: se establece cuando cada parte es inversamente proporcional con cada índice de inversión (índice de las magnitudes inversamente proporcionales).

En este caso se invierten los números dados y se reparte el número que se quiere dividir en partes que son directamente proporcionales a los índices de inversión de los números ya inversos.

Ejemplo 06: La empresa de embutidos “Otto Kurt” debe repartir un bono de productividad a sus tres mejores trabajadores que asciende a S/. 18 525, en proporción inversa a las insistencias incurridas por cada uno de ellos en el año, ¿Cuánto le corresponderá a cada uno, de acuerdo a los siguientes información?

Empleados FaltasAlberto 12Beatriz 6Carlota 9

Se extrae la tercera parte a las inasistencias quedando:Empleados Inasistencias I .P . D .P . MCM (4 , 2 , 3 )=12

A 414

x 12=3k

B 212

x12=6k

C 313

x12=4k

Se tiene: A+B+C=18525

3k+6 k+4 k=1852513k=18525

k=1425¿

¿

Por lo tanto cada empleado recibe: A=3k=3 (1425)=4275B=6 k=6 (1425)=8550C=4 k=4 (1425 )=5700

Ejemplo 07: Repartir 236 en partes inversamente proporcionales a 5; 6 y 8.

Sean las partes: A, B y C

Partes I . P . D . P . MCM (5 , 6 , 8 )=120

A 515

x120=24 k

B 616

x 120=20 k

C 818

x 120=15 k

Se tiene: A+B+C=236

24 k+20k+15k=23659k=236

k=4¿

¿

Por lo tanto cada parte es: A=24k=24( 4 )=96B=20k=20( 4 )=80C=15k=15(4 )=60

c) Reparto Compuesto: es aquel donde una cantidad es dividida en partes que son directamente proporcionales a otras cantidades (índices de proporcionalidad) y, a su vez pueden ser directas o inversamente proporcionales a otras cantidades (índices de inversión).

Ejemplo 08

Una empresa, formada por tres socios, obtuvo una utilidad de S/. 223 300, ¿Cuánto le corresponderá a cada socio si el reparto se efectúa directamente proporcional, tanto a los capitales aportados, como al tiempo en que lo aportaron? Considera los siguientes datos:

Socio Capital Aportado (S/.) Tiempo (meses)Antonio 900 000 6

Beto 1 200 000 4Carmen 600 000 12

Los índices del reparto lo constituyen los Capitales Aportados y el tiempo en que lo aportaron; se eliminan los ceros, se extrae la tercera parte a los capitales y la mitad al tiempo en que lo aportaron:

Socio Capital Aportado

(S/.), se elimina 105Tiempo (meses)

Antonio 9=3x3 6=3x2Beto 12=4x3 4=2x2

Carmen 6=2x3 12=6x2

Quedando de la siguiente manera:

Socios Capital D .P . Tiempo D .P . Cap x TiempA 3 3 ¿9kB 4 2 ¿8kC 2 6 ¿12k

Se tiene:A+B+C=223 300

9k+8k+12k=223 30029k=223 300

k=7 700¿

¿

Cada socio recibe:

Antonio=9k=9(7 700 )=69 300 ¿} Beto=8k=8 (7 700)=61 600¿ }¿¿223 300¿Ejemplo 09:Se va a repartir una beca de S/. 18 260 entre tres estudiantes de la EAP de Educación de la UCV, de manera que lo que le corresponda a cada uno sea inversamente proporcional, tanto a sus edades, como a sus inasistencias en el semestre académico 2012 – 1.

Estudiantes Edad InasistenciasAlonso 28 12Betina 18 4

Cristina 16 6

Se simplifican los datos extrayendo mitad de las edades y de las inasistencias:Estudiantes Edad Inasistencias

Alonso 28=14x2 12=6x2Betina 18=9x2 4=2x2

Cristina 16=8x2 6=3x2

Se multiplican los índices entre sí, cada uno por su correlativo, al producto se le extrae la sexta parte y al resultado se le aplica el inverso:

Estud . Edad I .P . Inasist I . P . Ed x Inasis I . P . D . P . MCM (14 , 3 , 4 )=84

A 14 6 84=14 x6 141

14x84=6 k

B 9 2 18=3 x 6 313

x84=28 k

C 8 3 24=4 x 6 414

x 84=21k

Se tiene:A+B+C=18 260

6k+28k+21k=18 26055k=18 260

k=332¿

¿

Cada estudiante de la EAP de Educación recibe:

Alonso=6k=6(332)=1 992¿ } Betina=28k=28(332)=9 296 ¿}¿¿18 260¿Ejemplo 10:

La empresa textil “Alpaca” va a gratificar por fiestas patrias a tres de sus empleados con S/. 25 110. El reparto será directamente proporcional a sus sueldos e inversamente proporcional a sus inasistencias durante el año. Considera la siguiente información:

Empleados Sueldos InasistenciasAlmendra 1 500 6Braulio 1 800 8Carolina 1 200 4

Se eliminan ceros, se extrae tercera parte a los sueldos y mitad a las inasistencias:

Empleados Sueldos InasistenciasAlmendra 15=5x3 6=3x2Braulio 18=6x3 8=4x2Carolina 12=4x3 4=2x2

Se convierte al inverso las inasistencias y se multiplican las dos series de datos, cada número por su correlativo:

Empl . Sueldo D .P . Inasist I .P . Inasis D .P . Sueldo D . P . x Inas . D . P D .P . MCM (3 , 2, 1 )=6

A 5 313

53

53

x 6=10k

B 6 414

64

32

x 6=9k

C 4 212

42

2 x 6=12k

Se tiene:

A+B+C=25 11010k+9k+12k=25 11031k=25 110

k=810¿

¿

Cada empleado recibirá de gratificación:

Almendra=10k=10(810 )=8 100 ¿} Braulio=9k=9(810 )=7 290 ¿ }¿¿25 110¿

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 8

Instrucción: determine la solución de los siguientes problemas aplicando las propiedades de la

proporcionalidad.

1. Tres alumnos de la Escuela de Negocios Internacionales formaron una empresa para exportar espárragos con un capital de S/. 12 000, donde dos de los alumnos aportaron S/. 4 000 y S/. 5 000, en tanto que el tercero el resto. Si en el primer trimestre obtuvieron una ganancia de S/. 13 200. ¿Qué cantidad de la ganancia le corresponde a cada uno de ellos, si se acordó sea proporcional al capital invertido?

PLANTEAMIENTO Y DESARROLLO

RESPUESTA:

2. El Área de Recursos Humanos de la UCV otorga un bono de reconocimiento a los docentes de la

universidad. Si el monto a repartir es S/. 16 600, siendo el criterio proporcionalmente al tiempo de

servicio.

¿Cuánto le corresponde a cada docente?

Profesor Tiempo de servicio (meses)Omar Franco 25

Carolina Herrera 23Braulio Suárez 20María Pineda 15


RESPUESTA:

3. En los juegos olímpicos se distribuyó un total de $ 1 184 000 en premios entre los tres países que obtuvieron el mayor número de medallas en forma proporcional, se sabe que La República Popular de

China obtuvo 45 medallas, Estados Unidos de América 36 medallas e Gran Bretaña 30 medallas. ¿Cuál es el monto que le corresponde a cada uno de los países?


RESPUESTA:

4. Tres estudiantes menores de edad compran un boleto de la Tinka cuyo precio es de S/. 4, uno de ellos aportó S/. 1,20; el segundo 1,50 y el tercero el resto, la gloriosa fortuna fue que obtuvieron el premio mayor de S/. 1 184 000, ¿cuánto le corresponde a cada uno de ellos si el acuerdo es que sea proporcional a lo aportado para la compra del boleto?


RESPUESTA:

5. La empresa “Ganancia redonda” obtuvo beneficios de S/. 40 000, el cual será repartido entre tres departamentos proporcionalmente al número de trabajadores que poseen, que son 10, 12 y 18 trabajadores. ¿Cuánto recibirá cada uno de los departamentos?


RESPUESTA:

6. Tres agricultores alquilan una segadora por S/. 139 500. Si tienen 12, 18, y 24 hectáreas respectivamente, ¿cuánto ha de pagar cada uno sabiendo que es proporcional al área del terreno que poseen?


RESPUESTA:

7. Cuatro obreros han cobrado S/. 67 200 por su trabajo. Sabiendo que el primero ha realizado los

28 del

trabajo, el segundo

13 , el tercero

27 y el cuarto el resto. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?


RESPUESTA:

8. Una fuente cuenta con cuatro grifos de la misma capacidad de salida de agua que han arrojado un total de 140 m3. El primero ha estado abierto 1 hora y 20 minutos; el segundo, 90 minutos; el tercero, 1 hora y 15 minutos, y el cuarto, 105 minutos. ¿Cuántos litros ha arrojado cada grifo?


RESPUESTA:

9. Tres estudiantes de la EAP de Administración de la UCV Lima Norte, desarrollan su tesis con un costo

total de S/. 13 690. El número de páginas de la tesis del primer estudiante es los

35 del tercero, y la del

segundo los

72 del primero. Si el costo total se reparte en forma proporcional al número de páginas de

las tesis. ¿Cuánto pagó cada uno de los estudiantes?


RESPUESTA:

10. La EAP de Ingeniería otorga a tres estudiantes un bono de ayuda estudiantil para elaborar sus proyectos, en forma proporcional al tiempo dedicado al desarrollo de sus proyectos que son: 16, 17 y 21 meses respectivamente y se observa que los dos alumnos con menor tiempo juntos reciben S/. 4 059. ¿Cuánto asciende el bono al tercer estudiante?


RESPUESTA:

11. Las regalías obtenidas por una AFP asciende a S/. 16 632, monto que será distribuido entre sus cinco gerentes en función a su puntualidad.

EMPLEADO INASISTENCIASPamela Rivera 6Daniela Huamán 3Gerardo Paredes 5Josefina Reátegui 2Martín Solís 1

¿Cuánto le corresponde a cada uno de ellos?


RESPUESTA:

12. La notaría “Tu voluntad se respeta” informó que un padre dispuso antes de fallecer repartir su fortuna de

S/.5 780 000 entre sus tres hijos de forma inversamente proporcional a sus edades que son: 4, 6 y 18

años. ¿Cuánto le corresponde a cada uno de ellos?


RESPUESTA:

13. En las olimpiadas de Londres se destinó $ 587 000 para los tres primeros puestos de la maratón 10 km en categoría varones, que ha de repartirse proporcionalmente según los tiempos empleados: 26, 28 y 30 minutos respectivamente. Calcular el monto que le corresponde a cada atleta.


RESPUESTA:

14. Un padre señaló en su testamento que repartiría su dinero proporcionalmente entre sus tres hijos; cuyas

edades son de 10, 12 y 14 años respectivamente. Además condicionó que el menor reciba el monto

mayor, si el hijo mayor recibió S/. 4 200. ¿Cuál fue la suma repartida?


RESPUESTA:

15. Los municipios de Chosica, Santa Eulalia y Huarochiri, deciden construir en común un canal de riego cuyo importe es de 91 millones de nuevos soles. y deciden que cada uno pague en razón directa al número hectáreas de regadío que poseen. Si las hectáreas de regadío previstas son 3 000, 4 000 y 6 000 hectáreas respectivamente. ¿Cuánto debe pagar cada municipio?


RESPUESTA:

16. Un billete de lotería resulta premiado con un cuarto de millón de nuevos soles y es cobrado proporcionalmente a lo aportado por dos personas, correspondiendo S/. 150 000 a una y S/. 100 000 a la otra. Si el billete costó S/. 50 ¿cuánto aportó cada una?


RESPUESTA:

17. La empresa “Viaje sin retorno” desea repartir S/. 1 242 entre sus tres choferes. El reparto será directamente proporcional a los años trabajados que son 12, 15 y 9 respectivamente; e inversamente proporcional a las multas de tránsito que recibieron en el año son 3, 5 y 2 respectivamente. ¿Cuánto dinero recibirá cada chofer?


RESPUESTA:

18. Tres alumnos de la Escuela de Enfermería de la UCV Lima realizan sus prácticas pre-profesionales en la Clínica Internacional. Si se reparten S/. 1 200 en forma directamente proporcional al número de pacientes atendidos e inversamente proporcionales al número de observaciones que han recibido por el docente encargado. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?

ALUMNO Pacientes Atendidos Cantidad de ObservacionesJulia Sosa 24 2Wilfredo Canales 39 3Leonor Tamayo 25 5


RESPUESTA:

19. La empresa “Buena Ventura” obtuvo una utilidad de S/. 119 000, que será distribuido entre sus tres socios en proporción al capital invertido, así como también al tiempo que dichos capitales permanecieron en la empresa. ¿Cuánto corresponde a cada socio sabiendo que los capitales y el tiempo fueron los siguientes?

Socio Capital (S/.) Tiempo (meses)Alberto 100 000 12Benito 120 000 10Cecilia 125 000 8


RESPUESTA:

20. Una persona deja una herencia de S/. 10 080 a su esposa, la cual está embarazada; bajo la siguiente clausula. “Si nace varón recibirá los 2/3 de la madre. Si nace mujer, se repartirá de modo tal que la hija obtenga 5/4 de la madre”. Si llegado el alumbramiento nacen mellizos: un varón y una mujer ¿Cuánto le corresponde a cada uno de ellos si se respeta la voluntad de la persona?


RESPUESTA:

21. El estudio jurídico “El ultimo juicio” reparte una gratificación de S/. 5 850 entre sus 3 secretarias, en forma proporcional al número de hojas redactadas y en forma inversamente proporcional al números de minutos de tardanzas acumulados en un mes, de acuerdo con la información del cuadro adjunto.

Secretaria N° de hojas redactadas N° de minutos de tardanzas

A 180 60B 240 150C 200 160

Calcule la diferencia entre las gratificaciones obtenidas por la más y la menos beneficiada.PLANTEAMIENTO Y DESARROLLO

RESPUESTA:

22. Juan, Carmen y Rodrigo compran un minivan “CHERY” en $13 100; Juan aportó $ 3 500 y Carmen el triple de Rodrigo. Si al poco tiempo la minivan colisionó y tienen que venderlo en $ 10 480, determine cuanto perdió Carmen.


RESPUESTA:

23. Se ha comprado dos automóviles usados por un total de $ 13 600 y se pagó en razón directa a la velocidad máxima que pueden desarrollar, que es 120 y 140 km/h, y en razón inversa a su tiempo de uso que es de 3 y 5 años, respectivamente ¿Cuánto se ha pagado por cada uno de los autos?


RESPUESTA:

24. El estudio contable “Alliott Group” decide repartir a sus tres mejores contadores la suma total de S/. 9 600 directamente proporcional a las auditorías realizadas de 12, 16 y 20 e inversamente proporcional a los reclamos de los clientes de 6, 12 y 18 respectivamente. ¿Cuánto recibió cada uno de ellos?


RESPUESTA:

PROBLEMAS PROPUESTOS 8

1. Se quiere repartir utilidades de la empresa “Shock Electronics” de S/. 24 000 entre tres trabajadores proporcionalmente a los años que laboran en la empresa, que son 10, 12 y 18 años. ¿Cuánto recibirá cada uno?

2. En la Región Huanca tres agricultores alquilan una segadora por S/. 7 650 debiendo pagar en forma directamente proporcional al área del terreno que poseen. Si tienen 6, 9 y 12 hectáreas respectivamente, ¿cuánto debe pagar cada uno?

3. En el mundial de atletismo en Corea del Sur en la competencia de 10 000 metros destinan $ 352 200 para los tres primeros lugares, que ha de repartirse proporcionalmente según los mejores tiempos empleados. Estos tiempos han sido de 26, 28 y 30 minutos. Hallar el premio que le corresponde a cada atleta.

4. En una campaña de reciclaje de teléfonos celulares, Yolanda lleva 7 celulares, Mireya 11 y Santiago 12. Si a cambio reciben un total de S/. 1 200, ¿cuánto le corresponde a cada uno si se reparten proporcionalmente?

5. En 160 kg. de sulfato de cobre hay 64 kg. de cobre, 32 de azufre y el resto de oxígeno. ¿Qué cantidad de cada producto químico hay en 300 kg. de sulfato de cobre?

6. La empresa de embutidos “Cerditos light” debe repartir un bono de productividad que asciende a S/. 18 525 a sus tres mejores trabajadores, en proporción inversa a las faltas incurridas por cada uno de ellos en el año, ¿Cuánto le corresponderá a cada uno de ellos, de acuerdo a la siguiente información?

Empleados Faltas

A 12

B 6

C 9

7. Se han repartido pasajes gratis para el tren eléctrico “Metro de Lima” entre tres empleados de una empresa del parque industrial de Villa El Salvador de forma proporcional a las inasistencias realizadas en su trabajo. Juan tiene 20 inasistencias y le corresponde 16 pasajes.a) ¿Cuántos pasajes le corresponde a Carlota, que tiene 40 inasistencias?

b) ¿Cuántos inasistencias tiene Ramón, si recibe 64 pasajes gratis?

8. Luego de una inversión empresarial inicialmente se disponía que se repartiese las ganancias entre sus tres socios del siguiente modo: Antonio recibirá S/. 180 000, Pedro S/. 221 000 y Juan S/. 257 000. Pero antes de la repartición deciden realizar una nueva inversión que resultó infructuoso por lo que las ganancias se redujeron a S/.394 800. ¿Cuánto le corresponde a cada uno de ellos para que se conserve la proporcionalidad del reparto?

9. Los resultados de la nota final del curso de Lógico Matemático muestran que: los alumnos aprobados y desaprobados están en relación de 7 a 3. Los que no aprobaron tuvieron un examen de recuperación donde los aprobados y desaprobados fueron entre si como 3 es a 2. Si al final 6 estudiantes desaprobaron. ¿Cuántos estudiantes aprobaron en total el curso de Lógico Matemático?

10. En una reunión informativa a los padres de familia de la UCV antes de distribuir las separatas, el número de hombres era los 7/5 del número de mujeres, luego de distribuir las separatas se retiraron 3 parejas de esposos y 2 mujeres, por lo cual los hombres eran los 9/5 de las mujeres. ¿Cuántas personas asistieron a dicha reunión?

11. El señor Tudela dejó una herencia de $ 2 547 600 a sus 5 hijos con las siguientes condiciones:

a) El 25% de su fortuna se repartiría en proporción inversa a las edades de sus hijos.b) El 50% se entregaría en proporción directa a las inversiones que tengan ellos al momento del

deceso.c) Del 25% restante se repartirá el 60% a las mujeres y el 40% a los hombres por partes iguales.

En el momento de la muerte del Sr. Tudela la situación fue la siguiente:

Hijos Edades Inversiones($)

Carlos 35 200,000

Ernesto 28 350,000

Braulio 26 140,000

Laura 24 400,000

Mariana 20 100,000

¿Cuánto le corresponde a cada uno?

12. En una asamblea estudiantil de la UCV Lima Norte de 2 970 estudiantes se presentó una moción, de asistir los días sábados para rendir evaluaciones. En una primera votación por cada 4 votos a favor había 5 en contra. Pedida la reconsideración se obtuvo que por cada 8 votos a favor había 3 en contra. ¿Cuántos estudiantes cambiaron de opinión? No hubo abstenciones.

PROPORCIONALIDAD

Documents

Transcript of PROPORCIONALIDAD