PROPOSICIONES APUNTES DE MATE EMY COMPLETO.docx

8/23/2019 PROPOSICIONES APUNTES DE MATE EMY COMPLETO.docx

1/100

UNIVERSIDAD TCNICA DE MACHALAFACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES

CURSO DE NIVELACION

APUNTES DE MATEMTICAS

ALUMNA:

EMILIA JOHANNA GUACHO RIGCHAC

DOCENTE:Ing. SARA CRUZ

CURSO:ADMINISTRACIN E

AO LECTIVO:

2012-2013


2/100

INTRODUCCIN

El presente portafolio de matemticas muestra las distintas fases de un

mtodo de enseanza, aprendizaje y evaluacin que consiste en la aportacin

de realizaciones de diferente personalidad por parte del estudiante a travs de

las cules se pueden calificar sus capacidades en el marco de una disciplina o

materia de estudio. Estas producciones comunican de los procesos personales

seguidos por el estudiante, permitindole a l y a los dems ver sus esfuerzos

y logros, en relacin a los objetivos de aprendizaje y criterios de evaluacin

establecidos previamente.

Todos estos conocimientos y habilidades que se reflejaran mediante este

portafolio fueron desarrollados y adquiridos durante el curso acadmico 2012-

2013 en la asignatura de matemtica del curso de nivelacin en la Facultad de

Ciencias Empresariales de la Universidad Tcnica de Machala (UTMACH).El uso del portafolio es el resultado de una accin proyectada por el docente y

acordada con los estudiantes, con fines de formacin especficos, y con una

clara intencionalidad educativa y permite tambin al estudiante identificar lo que

conoce y sabe, planear sus estrategias de procesamiento de informacin, tener

conciencia acerca del adecuado rendimiento, y evaluar su productividad y su

conveniente funcionamiento cientfico.


3/100

JUSTIFICACIN

En el siguiente Portafolio tiene como objetivo establecer, reconocer y

exteriorizar todos los trabajos ejecutados y de mostrar el resultado del

aprendizaje del estudiante a fin de evaluar su progreso.

El portafolio estudiantil es una mezcla de trabajos del estudiante entre los que

encontramos los diferentes temas, conceptos y ejemplos de las actividades

realizadas por el estudiante dentro del proceso educativo. El portafolio

estudiantil marca la huella de sus experiencias y es objeto de reflexin por

parte del estudiante.

El portafolio como medio alternativo de aprendizaje se relaciona con los

procesos de aprendizaje del estudiante y permite evaluar los conocimientosprevios del mismo. Al alejarse de la evaluacin habitual, permite al estudiante

involucrarse ms con su propio aprendizaje,

Hasta hoy las metodologas utilizadas con relacin a la enseanza de la

matemtica se han centrado principalmente en darle al estudiante una

definicin o una frmula, para luego resolver ejercicios siguiendo patrones de

imitacin, sin que los estudiantes entiendan a veces lo que estn haciendo, y

en general el objetivo es desarrollar la capacidad productora e integradora del

alumno.


4/100

A travs de la matemtica podemos conocer la gran magnitud que

existe al utilizar el conocimiento matemtico para organizar, interpretar

e intervenir en diversas situaciones de la realidad.

Ccomprender e interpretar distintas formas de expresin matemtica e

incorporarlas al lenguaje y a los modos de argumentacin habituales.

Reconocer y plantear situaciones en las que existan problemas

susceptibles de ser formulados en trminos matemticos, utilizar

estrategias para resolverlos y analizar los resultados utilizando los

recursos apropiados.

Desarrollar la capacidad para localizar informacin, para formula

un anlisis y resolver problemas con mayor problema, mediante un

anlisis de lo estudiado, para la compresin del tema.


5/100

Fortalecer el pensamiento abstracto y conocimiento matemtico en los

estudiantes mediante actividades intencionadas, para resolver

situaciones, problema cotidiano y dirigirlas hacia su vida cotidiana.

Explicitar grados intermedios de formalizacin y profundizacin entre los

Conocimientos del alumnado y las caractersticas del conocimiento

matemtico en cuestin de argumentar las habilidades del problema.

Integrar los objetivos y contenidos en actuaciones concretas,

estructuradas como unidades lectivas o unidades didcticas, que sirvan

para el aprendizaje, interpretar e intervenir en diversas situaciones de la

realidad.

Comprender e interpretar distintas formas de expresin matemticas e

incorporarlas al lenguaje y a los modos de argumentacin habituales,

para tener una mejor intuicin .


6/100


7/100

NOMBRE: Emilia GuachoCurso: Administracin

Paralelo: EFecha: 08. 01. 2013Tema: PROPOSICIN

Una proposicin es una unidad semntica que slo es verdadera o slo es

falsa. Las proposiciones se las representan con las primeras letras de

abecedario en minscula.

ORACIONES QUE SON PROPOSICIONES.

Las proposiciones que tienen precisin y no ambigedades. Ejemplo:

a: 5 es un nmero par. (0)

b: Increment el B.D.H. a $50.00 (1)

C: 3467+56= 4624 (0)

d: Machala es capital bananera. (0)

REQUISITO QUE DEBE TENER UNA PROPOSICIN: La proposicin debe establecer su valor de verdad.

VALOR DE VERDAD.

El valor de verdad de una proposicin es la cualidad de veracidad que describe

la misma proposicin y este valor puede ser falso o verdadero.

OPERADORES LGICOSNEGACIN.

El operador lgico de negacin cambia el valor de verdad de una proposicin.

La negacin se representa con los trminos gramaticales no, ni, no es verdad

que, no es cierto que, y se lo representa simblicamente pora.

a a

0 1

1 0


8/100

EJEMPLOS:

a: Tengo un billete de cinco dlares.

a: No tengo un billete de cinco dlares.

b: Quiero hacer el viaje.

b: No quiero hacer el viaje.

e: Maana expondr mi proyecto de aula.

e: Maana no expondr mi proyecto de aula.

d: El Ecuador tiene maravillosos lugares tursticos.

d: El Ecuador no tiene maravillosos lugares tursticos.

CONJUNCIN.

Este operador lgico relaciona dos preposiciones para formar una nueva, en la

cual la proposicin resultante ser verdadera solamente cuando el valor de

verdad de ambas proposiciones es verdadero. La conjuncin se representa con

los trminos gramaticales y, pero, mas, y se lo representa simblicamente

pora b.

a b a b0 0 0

0 1 0

1 1 0

1 1 1

EJEMPLOS:

a: Tengo buenas calificaciones.

b: gano una beca.

a b: Tengo buenas calificaciones y gano una beca. a: Trabajo demasiado.


9/100

b: recibo bajo sueldo.

a b: Trabajo demasiado pero recibo bajo sueldo. a: No estudi para el examen.

b: obtuve buena calificacin.

a b: No estudi para el examen pero obtuve una buena calificacin. a: Ir a la fiesta de Mara.

b: me divertir todo la tarde.

a b: Ir a la fiesta de Mara y me divertir todo la tarde.DISYUNCIN.

Este operador lgico relaciona dos proposiciones para formar una nueva, en la

cual la proposicin resultante ser falsa solamente cuando el valor de verdad

de ambas proposiciones es falso. La disyuncin se representa con los trminos

gramaticales o y se lo representa simblicamente por a b.a b a b0 0 0

0 1 1

1 1 1

1 1 1

EJEMPLOS:

a: Tengo un libro de trigonometra.

b: tengo un libro de algebra.

a b: Tengo un libro de trigonometra o uno de algebra. a: Maana tendr clases de matemtica.

b: tendr el concurso de pintura.

a b: Maana tendr clases de matemtica o el concurso de pintura. a: Melisa comprar las cosas para la fiesta.

b: Melisa junto con Pablo arreglaran el curso .


10/100

a b: Melisa comprar las cosas para la fiesta o Melisa junto con Pabloarreglarn el curso.

a: Guayas es zona arrocera.

b: Quito es la capital de Chimborazo.

a b: Guayas es zona arrocera o Quito es la capital de Chimborazo.DISYUNCIN EXCLUSIVA.

Este operador lgico relaciona dos proposiciones para formar una nueva, en la

cual la proposicin resultante ser verdadera solamente cuando una de ellas

sea verdadera. La disyuncin exclusiva a b se puede expresarse como(a b) (a b)En espaol se representa con los trminos gramaticales o, o slo, o

solamente, o, o.

a b a b0 0 0

0 1 1

1 1 1

1 1 0

EJEMPLOS:

a: Estoy en Quito.

b: Estoy en Guayaquil.

a

b: O estoy en Quito o estoy en Guayaquil.

a: Ir con mi familia de paseo.

b: Ir al cine con mis amigos.

a b: Me ir con mi familia de paseo o ir al cine con mis amigos. a:

b:

a b:


11/100

CONDICIONAL.

Este operador lgico se lo denomina enunciacin hipottica o implicacin. En la

proposicin ab, a es el antecedente, hiptesis o premisa; b es elconsecuente, conclusin o tesis; y la proposicin resultante ser falsa

solamente cuando el valor de verdad del antecedente sea verdadero y el valor

de consecuente sea falso. En espaol, la proposicin a b puede tener lossiguientes trminos gramaticales: si a, entonces b, a slo si b, a solamente

si b, si a,b, entre otras expresiones que denote causa y efecto.

a b a b0 0 1

0 1 1

1 1 0

1 1 1

EJEMPLOS: a: Juan gana el concurso.

b: Juan dona $ 10.000.

a b: Si Juan gana el concurso, dona $10.000. a: Mara viaja a Canad.

b: Mara estudia y aprueba en los exmenes.

a b: Mara viaja a Canad solamente si estudia y aprueba en losexmenes. a:

b:

a b:


12/100

REPRESENTACIONES SIMBLICAS.

Recproca a bInversa a bContrarrecproca b

a

CONDICIONES NECESARIAS

BICONDICIONAL.

Este operador lgico tambin se denomina doble implicacin. La proposicin a

b ser verdadera cuando los valores de verdad de ambas proposicionessean iguales. En espaol puede encontrar con los siguientes trminos

gramaticales: a si y slo si b, a si y solamente si, a implica b y b

implica a, a cuando y slo cuando b.

a b a b0 0 1

0 1 0

1 1 0

1 1 1

EJEMPLOS:

a: Un triangulo es equiltero.

b: Un triangulo es equingulo.

a b: Un triangulo es equiltero si y slo si es equingulo. a:

b:

a b: a:

b:

a b:

a 0 11 0


13/100

APUNTES DE LA CLASE DE MATEMTICAS

Nombre: Emilia Guacho Rigchac

Curso: Contabilidad YAuditora EDocente: ing. Sara cruz

Fecha: 08.01.2013

Captulo 1: lgica matemticas

Lgica simblica v-i-f

F-o-f

Proposiciones: Una proposicin es una unidad semntica que, o slo esverdadera o slo es falsa. Los elementos fundamentales de la lgica sonlas proposiciones. Por ello, las Oraciones que no son falsas ni verdaderas,las que son falsas y verdaderas al Mismo tiempo, o las que demuestranalgn tipo de imprecisin (Carecen de Sentido), no son objeto de estudiode la lgica.Ejemplo a: 5 es un numero par (o) El valor de verdad de una proposicines la cualidad de veracidad que Describe adecuadamente la proposicin.ste puede ser verdadero o falso.

1.1 operadores lgicosNegacin: Sea a una proposicin, la negacin de a, representadasimblicamente

Por a, es una nueva proposicin, cuyo valor de verdad est dado porLa siguiente tabla de verdad:

Ejemplo:a=tengo un billete de cinco dlares.

a: no tengo un billete de cinco dlares

EJEMPLOa: tengo buenas notasb: gano una becaab: tengo buenas notas y gano una becaA: trabajo demasiadoB: recibo bajo sueldo

ab: trabajo demasiado y recibo bajo sueldo


14/100

DISYUNCIN: ab (ab)

A=tengo un libro de trigonometraB=tengo un libro algebraAvb: tengo un libro de trigonometra o tengo unlibro de algebra.

Disyuncin exclusiva: (avb)

Disyuncin exclusiva de proposicina b a b0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

a b c

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

a b avb

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

a b avb

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1


15/100

a b a 0 0 1

0 1 0

1 0 1

1 1 1

Las condiciones necesarias y suficientes.

Este operador lgico tambin sedenomina doble implicacin.

Tabla de verdad de una forma proposicional.Dada la siguiente forma proposicional:

A: [(pq)(rp)]rDebido a la presencia de las 3 variables proposicionales p, q y r, existirnproposiciones posibles en la tabla de verdad de A.

p q r p^q [(pq)(rp)]r r0 0 0 0 1 1 1 00 0 1 0 1 1 1 10 1 0 0 1 1 1 00 1 1 0 1 1 1 11 0 0 0 0 0 1 01 0 1 0 0 1 1 1

1 1 0 1 0 0 0 01 1 1 1 0 1 1 1

Tautologa, Contradiccin, Contingencia

Dada la estructura lgica de una forma proposicional:

Si se tienen solamente proposiciones verdaderas para todos los

Valores de verdad de las variables proposicionales, se dice que es UnaTAUTOLOGA.

Ejemplo:

La forma proposicional tautolgica: p(qp), se puede traducir al

a b a 0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1


16/100

Lenguaje comn como si se tiene p, de cualquier manera q se seguir

Teniendo p.

p q q p 0 0 1 10 1 0 1

1 0 1 1

1 1 1 1

Esta tabla es tautologa porque es verdadera.

Ejemplo Equivalencia Lgica.

La forma proposicional: (pq) (qp), se puede traducir al lenguajeComn como cada vez que se tiene p, se tiene q, y es lgicamente

Equivalente a cuando no se tiene q, entonces no se tiene p.

p q p qp (pq)(qp)0 0 1 1 1 1 1

0 1 1 1 0 1 1

1 0 0 0 1 0 11 1 1 0 0 1 1

Si se tienen solamente proposiciones verdaderas para todos los

Valores de verdad de las variables proposicionales, se dice que es UnaTAUTOLOGIA

NOMBRE: Emilia GuachoCurso: AdministracinParalelo: EFecha: 09. 01. 2013Tema: EJERCICIOS.a: Elizabeth cumple con sus obligaciones.b: Elizabeth aprueba el examen.c: Elizabeth trabaja.d: Elizabeth no se va de vacaciones.

a

[ b

(c

d)] : Elizabeth cumple con sus obligaciones slo si no

aprueba el examen solo si trabaja o se va de vacaciones.


17/100

TABLAS DE VERDAD Y FORMAS PROPOSICIONALES

a: [ (p q) (r p)] r[(p

q)

(r

p)] = x

p q r p q p r p [(pq)(rp)] x r0 0 0 0 1 1 1 0

0 0 1 0 1 1 1 1

0 1 0 0 1 1 1 0

0 1 1 0 1 1 1 1

1 0 0 0 0 0 1 0

1 0 1 0 0 1 1 1

1 1 0 1 0 0 0 0

1 1 1 1 0 1 1 1

IMPLICACIN LGICA

p

(q

p)

p q q p p (q p)0 0 1 1

0 1 0 1

1 0 1 1

1 1 1 1

Tabla de tautologa.- Es cuando todos los valores resultantes dan v, 1.

(p q) (q p)p q p q q p q p (p q)(q p)0 0 1 1 1 1 1

0 1 1 0 0 1 1

1 0 0 1 1 0 1

1 1 1 0 0 1 1


18/100

NOMBRE: Emilia Guacho

Curso: Administracin

Paralelo: EFecha: 11. 01. 2013

Tema: EJERCICIOS EN CLASE:

EJERCICIO EN CLASE:

Siempre que tengo hambre y no tengo tiempo para comer, no me siento bien y

no puedo estudiar.

a: Siempre que tengo hambre.

b: Tengo tiempo para comer.

c: Me siento bien.

d: Puedo estudiar.

a) (b a) (c d)b) (c

d)

(a

b)

c) (c d) (a b)d) (a b) (c d)e) (c d) (a b)SOLUCIN:(a b) (c d) (c d) = (c d)

(a

b) = (a

b)

(c d) (a b)


19/100

Curso: Emilia GuachoParalelo: EFecha: 16. 01. 2012Docente: Ing. Sara Cruz NaranjoTema: CUANTIFICADORES.CUANTIFICADOR UNIVERSAL.Cualquier expresin de la forma: para todo, todo, para cada, cada,constituye en el lenguaje forma un cuantificador universal y se simbolizapor medio de .CUANTIFICADOR EXISTENCIAL.Cualquier expresin de la forma: existe, algn, algunos, por lomenos uno, basta que uno, constituye en el lenguaje formal uncuantificador existencial y se simboliza por medio de .EJEMPLOS:, 2 + 3= 5, 2 + 2= 4

Para todo nmero , se cumple 2

+ 3

= 5

Existe por lo menos un nmero , para lo cual se cumple 2 + 2= 4SUBCONJUNTOS.El conjunto A es subconjunto de B si y solo si los elementos de A estn

contenido en B. Simblicamente, este concepto se representa por:

(AB [(A BCONJUNTO PROPIO: Si A es subconjunto de B, pero B no es subconjuntode A, se dice que A es subconjunto propio de B.A B AB A B

CONJUNTO POTENCIA: Dado el conjunto A, su conjunto de potencia esaquel que esta formado por todos los subconjuntos posibles de A. El

smbolo que se utiliza para este conjunto es P(A).

PA B/B A


20/100

EJEMPLOS:

Si A , +, a, entonces PA , , +, a, , +, , a, +, a, A

A partir de este resultado, las siguientes proposiciones son verdaderas:, + A, + PA PAObserve que N(P(A))= 23= 8.

Dado el conjunto B 1, , , construya PB.N(P(B))= 22 =4

PB , 1, ,, B.RELACIONES ENTRE CONJUNTOS.IGUALDAD ENTRE CONJUNTOS.Dos conjuntos A y B son iguales si y slo si tienen los mismos elementos.

Es decir, ambos conjuntos se contienen mutuamente. Simblicamente se

representa por:

AB AB BA

CONJUNTOS DISJUNTOS E INTERSECANTES.Los conjuntos A y B son DISJUNTOS si y slo si A y B no tienen elementos

en comn. Los conjuntos A y B son intersecantes si y slo si A y B tienen al

menos un elemento comn.

UNIN ENTRE CONJUNTOS.La unin entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por

elementos que los pertenecen al conjunto A o al conjunto B. Se denotapor AB y se define como:AB /( A B

INTERSECCIN ENTRE CONJUNTOS.La interseccin entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado

por los elementos que pertenecen al conjunto A y al conjunto B. Se

denota por A

B y se define como:

AB /( A B


21/100

Re

Re

Re

DIFERENCIA ENTRE CONJUNTOS.La diferencia entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado

por los elementos que pertenecen al conjunto A, pero no pertenecen al

conjunto B. Se denota por AB y se define como:AB= {/( A B

DIFERENCIA SIMTRICA ENTRE CONJUNTOS.La diferencia simtrica entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto

formado por los elementos que pertenecen o al conjunto A o al

conjunto B. Se denota por A B y se define como:A B= {/[( A B B A

A B

A B

A B


22/100

Re

EJERCICIOS EN CLASES: Dado el Re= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} y los conjuntos:

A= {1, 2, 3, 4, 5}B= {2, 4, 6, 8}

C= {1, 3, 6, 7}

Determine:

a) ACb)ABc) ABd)BCe) A

COMPLEMENTACIN ENTRE CONJUNTOS.La complementacin de un conjunto A es un nuevo conjunto formado

por los elementos del referencial que no pertenecen al conjunto A. Se

denota por AC y se define como:

AC= {/( Re B

AC

A


23/100

C C C

C

A B

X

SOLUCIN:AC = {6, 7, 8}

AB= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}AB= {1, 3}BC= {2, 4, 8}A B= {1, 3, 5, 6, 8

Curso: Emilia GuachoParalelo: EFecha: 17. 01. 2012Docente: Ing. Sara Cruz NaranjoTema: PROPIEDADES DE LOS OPERADORES ENTRECONJUNTOS

(A U B) = (B U A) UninX (A U B) (X A) (X B)X (A U B) (X A) (X B) (Unin)X (A U B) (X B) (X A) (Disyuncin)

LEY DE MORGAN

(A U B) = A BX (A U B) (X Re) (X (A U B))

Re


24/100

A B

X

T

N(A U B) = N(A) + N(B) N(A B)Re

N(A) = N(A-B) + N(A B)N(A-B) = N(A) N(A B)

EJEMPLO:

Se hizo una encuesta a 1000 personas acerca del canal de televisin dondepreferan ver programas documentales y se obtuvieron los siguientesresultados:Encuesta a 1000 personas.Teleamazonas: 620Canal Uno: 400Ecuavisa: 590Teleamazonas y Canal Uno: 195Canal Uno y Ecuavisa: 400Teleamazonas y Ecuavisa, pero no Canal Uno: 300N(Re)=1000 Re

N(T)=620N(C)=400N(E)=590N(T C)=195N(C E)=190N(T E)=400N(T E)-N(C)=300

SOLUCIN.N(T E) N(C)=300N(C)= N(T E) 300

N(C)= 400 300N(C)= 100

FRMULA: A U B= N(A) + N(B)N(A B)N(T) U N(C) U N(E) = T U C U ET U C U E = N(T)+N(C)+N(E)N(T C)-N(C E)N(T E)+ N(T E)-N(C)T U C U E = 620+400+590+195+190+400+ 400-300T U C U E = 1610-785+100T U C U E = 1710-785T U C U E = 925

N(T C)= 195-100=95N(C E)= 190-100=90

C

E


25/100

A

C C C

C

C

CC

CC

C

C

C C C

C

C

C

N(T E)= 400-100=300N(T)= 620-(300+100+95)N(T)= 620-495=125

N(C)= 400-(95+90+100)

N(C)=400-285=125

N(E)= 590-(90+300+100)N(E)=590-490=100

Re

DETERMINAR:a) (A U B) (C B )b) (A-B) U (C -B)

Re= {1,2,3,4,5,6,7,8}A= {1,2,3,4,5}B= {2,4,6,8}C= {1,3,6,7}

SOLUCIN.A U B :{1,2,3,4,5,6,8}C :{2,4,5,8}B : {1,3,5,7}C B :{2,4,5,8} {1,3,5,7}(C B ) :{1,2,3,4,6,7,8}(A U B) (C B ) : {1,2,3,4,6,8}

A-B:{1,2,3}C :{2,4,5,8}

(C -B) :{5}(A-B) U (C -B) :{1,3,5}Re

T C

E

B


26/100

C

DETERMINAR A, B Y C SI SE CONOCE.Re={1,2,3,4,5,6}A-B= {1,2,3}A-C= {1,2}

(B-C)-A= {4}C-(A U B)= {5} Re(A U B U C) ={6}

A BSOLUCIN.A= {1,2,3}B= {4}C= {3,5}

NOMBRE: Emilia GuachoCurso: Administracin

Paralelo: EFecha: 22. 01. 2013Tema: EJERCICIOS EN CLASE:Se entrevista a 90 personas: 50 escuchan msica, 20 ven pelculas, 60escuchan msicas o ven pelculas Cuntas personas realizan las dosactividades?N(M)= 50N(P)= 20N(MP)= 60N(Re)= 90

N(MP)= N(M)+N(P)-N(AB)N(AB)= N(M)+N(P)-N(MP)N(AB)= 50+20-60N(AB)= 70-60N(AB)= 10

N(M)= 50-10=40N(P)= 20-10= 10


27/100

PREDICADOS

Son expresiones en trminos de un variable que al ser reemplazadas porelementos de un conjunto referencial, se convierten en proposiciones. Si representa a cualquier elemento de Re, entonces la expresin (

) se definir

como predicado.

Re= {1, 2, 3, 4, 5, 6}(): es impar.(1)= es impar, es una proposicin verdadera.

(): es par.(5)= 5 es par, es una proposicin falsa.

CONJUNTOS DE VERDAD DE UN PREDICADO.

Es el conjunto formado por todos los elementos de Re para los cuales elpredicado se convierte en una proposicin verdadera. Se lo representa con laletra A. Ejemplos:

A()= {1, 2, 3} es verdadero.A()= {2, 4, 6} es verdadero.A()= {7} es falso.A()= {8} es falso.Re= {Quito, Lima, Bogot, Caracas, Santiago}

a) (

):

es capital de Ecuador.

b) (): +2=5A(): Quito es capital de Ecuador.A(): Re= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Determinar el conjunto de verdad del predicado: (): es un numero par.A():{2, 4, 6, 8, 10}

PROPIEDADES:A()= AC()A(()())= A()A()A(()())= A()A().A(()())= A

C

()


28/100

EJERCICIOS EN CLASE:

Re= {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

(): es un nmero primo.(): 5Determinar conjunto A(()()).()= {2, 3, 5, 7}()= {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}A(()())= {2, 3, 5}Sea el conjunto referencial Re= {1, 2, 3, 4..} y los predicados:(): es un nmero impar.(

):

es un nmero par.

Identifique cul de las siguientes proposiciones es falsa:a) A(()())A () es verdadera.b) Re= A()A() es verdadera.c) A()= AC() es verdadera.d) A()-A()= es falsa.e) A(()-())-A() es verdadera

NOMBRE: Emilia Guacho

Curso: Administracin

Paralelo: E

Fecha: 23. 01. 2013

Tema: EJERCICIOS EN CLASE:Dado el conjunto referencial Re= {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}, encontrar:

a) ():


29/100

Hallar el valor de verdad de los siguientes predicados:a) A()b) A(A()())c) A(()())d) A(

(

)

(

))

Solucin:A()= AC()A()={0, 1, 2, 3, 4, 5}A(A()())= A()A()A(A()())={-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}A(()())= AC()A()A(()())={0, 1, 2, 3, 4, 5}A(()())= A(()())A(()())= {0, 1, 2, 3, 4, 5}Dado el conjunto referencial Re= {1, 2, 3, 4, 5}, hallar el valor de verdad de lossiguientes predicados:()= es divisor de 12.()= es primo.

a) [ ()()] Verdadero.b)

[

(

)

(

)] Falso.

c) [()()] Verdadero.Solucin:A()={1, 2, 3, 4}A()={2, 3, 5}A()={5}A()A()= A()A()A()A()= {1, 2, 3, 4, 5}A(

)

A

(

)= A

(

)A

(

)

A()A()= {2, 3}A()A()= AC()A()A()A()= {5}


30/100

NOMBRE: Emilia GuachoCurso: AdministracinParalelo: E

Fecha: 24. 01. 2013Tema: EQUIVALENCIA LGICA

PROPIEDADES CONJUNCIN DISYUNCIN

CONMUTATIVA (p q) (q p) (p q) (q p)ASOCIATIVA [( pq)r][p(qr)] [( pq)r][p(qr)]IDEMPOTENCIA (p

p)p (p

p)p

ABSORCI N (p0)0 (p1)1LEYES DE LOS OPERADORES

0=1

1=0

NEGACIN

(p)= p DOBLE NEGACIN

p(qr)(pq)(pr)p(qr)(pq)(pr)

DISTRIBUTIVAS

(pq)(pq)(pq)(pq) DE MORGAN(pq)1 TERCERO EXCLUIDO(pq)0 CONTRADICCIN(p

q)(q

p) CONTRARRECPROCA

(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)

IMPLICACIN

(pq)[(pq)(qp)](pq)(qp)

EQUIVALENCIA

EJERCICIOS:

(p q)r p r


31/100

(p q)r(p q) r p qTraduzca el siguiente lenguaje:

p q

No quiero ir al estadio ni ver televisin.

p: Quiero ir al estadio.

q: ver televisin

p q (p q)Mi equipo gana el juego de futbol y obtiene los 3 puntos, o pierde y trata de

ganar el prximo juego.

p: Mi equipo gana el juego de futbol.q: Obtiene los 3 puntos.

r: Pierde.

s: Trata de ganar el prximo juego.

(p q)(r s)

NOMBRE: Emilia GuachoCurso: AdministracinParalelo: EFecha: 24. 01. 2013Tema: EJERCICIOS EN CLASE:

Dado Re= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

(): es un nmero par.(): es mayor que 7={}(): es menor que 10(): es un nmero impar.Determinar conjuntos:

a) A()A()b) A()A()c) A()A()d) A(()())e) A[(()())(()())]f) (Re-A())(A()A())


32/100

SOLUCIN:A()= {2, 4, 6}A()= {}A(

)= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

A()= {1, 3, 5}AC()= {0, 1, 3, 5}AC()= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} A()A()= {, 2, 4, 6} A()A()= {1, 3, 5} A()A()= {1, 2, 3, 4, 5, 6} A(

(

)

(

))= AC

(

)

(

)

A(()())= {, 0, 1, 3, 5} A[(()())(()())]= (AC()())(AC()())

AC()()= {0, 1, 3, 5}AC()()= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

A[(()())(()())]= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} ((Re-A())(A()A())= {, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

(Re-A(

))= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

(A()A())= {, 1, 3, 5}

PRODUCTO CARTESIANO.

PAR ORDENADO:Un par ordenado es un conjunto de dos elementos, a y b, que tiene un orden; alelemento a se lo denomina primera componente y al elemento b se lodenomina segunda componente. Se representa simblicamente por: (a, b).

PRODUCTO CARTESIANO:Sean dos conjuntos A y B, no vacos, denominaremos producto cartesianoentre A y B, al conjunto de todos los pares ordenados cuya primeracomponente pertenece al conjunto A, y la segunda al conjunto B.Simblicamente, lo representaremos: como A x B.A B= {(,)/(A)(B)}


33/100

EJEMPLOS:

A= {*, &, #}B= {@, $, }AB= N(A)N(B)

AB= {(*, @), (*, $), (*, ), (&, @), (&, $), (&,), (#, @), (#, &), (#, )}RELACIONES: RAB

R(AB)= 2N(A)N(B)

A= {?, }B= {a,R

R1 A B R A B{} {?, a}

R3 A B R4 A B{, b} {?, b}

R5 A B R6 A B

R7 A B R8 A B

?

a

b

?

a

b

?

a

b

a

b

a

b

?

a

b

a

b

a

b

?

?

?

?


34/100

R9 A B R10 A B

R11 A B R12 A B

R13 A B R14 A B

R15 A B R16 A B

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

?

?

?

?

?

?

?

?


35/100

PROPIEDADES:

N(AB)= N(A)N(B)A(BC)= (AB)(AC)A(B

C)= (AB)

(AC)

A(B-C)= (AB)-(AC)A(BC)= (AB)(AC)

EJERCICIOS EN CLASE:A= {1, 2, 3}B= {a, b}AB= {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}

A= {(a, b)}B= {1, 2}

AB= {1(a, b), 2(a, b)}

A= {2, 4, 5}B= {1, 3, 5}R= {(,)/+ es nmero primo}R= {(2, 1), (2, 3), (2, 5), (4, 1), (4, 3)}

DOMINIO DE UNA RELACIN.Dada una relacin R, construida a partir de los conjuntos A y B, los elementosdel conjunto A que establecen correspondencia constituyen el dominio de larelacin. Se representa simblicamente por: dom R.

dom R= {2, 4}


36/100


37/100

NOMBRE: Emilia Guacho DOCENTE: ING. SARA CRUZ

CURSO: CONTABILIDAD Y AUDITORA FECHA: 30/01/2013

APUNTES

UNIDAD II

Nmeros Reales

Los nmeros reales pueden ser nmeros racionales y nmeros irracionales.Los nmeros racionales tiene nmeros enteros como (enteros positivos, cero,

enteros negativos).

N Z Q R

N=# Naturales

Z=# Enteros

Q=Racionales (P/Q=Q0

R=Reales

I=Irracionales (No Peridicos)

Ejercicios en clase

.11111 .1

=3,14151662...... Son los que no tiene un periodo secuencial. 1,5656565656=1,56 =peridico irracional

= numero irracional

1,2323232323=1,23 =peridico racional

I Q Z

N


38/100

1 1

.

= irracional 3(6-1.333.)+6(1.333.)-16.666=3(6-1.33 )+6(1.33)-16.66 =

(18-3.99)+7.98 -16.66 =2.19 +7.98 -16.66 =94.51

PROPIEDADES

Clausurativa = si solo si

Indica que el resultado de la operacin binaria debe pertenecer al conjunto que

se toma como referencia.

a, b S, a*b SBinaria Conmutativa=

Indica que el orden de los operandos no es importante al realizar la operacin.

a, b S, a*b = b*aBinaria Asociativa=

Indica que se pueden agrupar en diferente forma los elementos de la

operacin.

a, b, c S, a*(b*c) = (a*b)*c

Elemento neutro (n) =

Indica que al realizar la operacin entre cualquier elemento del referencial y

este elemento, o viceversa, no lo modifica al primero.

n S a S, a*n = n*a = aElemento inverso si= i inverso de a


39/100

Indica que al realizar la operacin entre cualquier elemento del referencial y

este elemento, o viceversa, se obtiene el elemento neutro. Esta propiedad slo

deber probarse en caso de existir elemento neutro. Por definicin, toda

operacin binaria cumple con la propiedad de cerradura. Las restantes

propiedades pueden o no cumplirse, segn sea el caso, sin Perjuicio de que la

operacin sea binaria.

a S a S, a*a=a*a = n

OPERACIN BINARIA Y PROPIEDADES.

Ejemplo: Operacin binaria.

Se define S = { , , }, y la operacin * sobre S mostrada en la siguiente

tabla:

*


40/100

Ejemplo: Operacin binaria.

B= {1, 2,3}

* 1 2 3

1 3 2

2 2 3 23 3 2

Resultado=1*3=3

3*3=1

S=Z nmeros enteros

a*b=2ab+b2+a2 Propiedad Clausurativa

b*a=2ba+a2+b2

a*b=b*a

2ab+ b2+a2 = 2ab+ b2+a2 Propiedad Conmutativa

Propiedad Asociativa

a*b=2ba+a2+b2

Neutro inverso (asociativa)

abc (a . (b . c) = (a . b) . c)a*b=2ab+b2+ a2

(2ab+b2+ a2)*C= ( a2+2ab+b2)2+2(2ab+ b2+ a2)(c) +(c)2

(a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4)+ (4abc+2b2c+2a2c+c2)

(2ab+b2+a2)*c=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4+2a2c+2b2c+4abc+c2

a4+4a3b+6a2b2+4ab3+4abc+2a2c+2b2c+c2+b4

a*(b*c)= a*(2bc+c2+b2)

2a(2bc+c

2

+b

2

)+(2bc+c

2

+b

2

)

2

+a

2

(4abc+2ac2+2ab2)+ (b2+4b3c+6b2c2+4bc3+c4)

3

1


41/100

4abc+2ac2+2ab2+b4+4b3c+6b2c2+4bc3+c4+a2

Neutro nico

a * n n * a

2an + n2+a2=0

Ejemplo:

+ 1 + 1 1 + .

NMERO PRIMO

Un nmero entero positivo p > 1 es primo, si y slo si sus nicos factores sonexactamente 1 y p.

El conjunto de los nmeros primos es:

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...}

NMERO COMPUESTO

Un nmero entero positivo n > 1 es compuesto si y slo si no es primo.

MXIMO COMN DIVISOR (M.C.D.))El M.C.D. de un conjunto de nmeros enteros es el mayor entero positivo quees divisor de cada uno de los nmeros del conjunto.

Ejemplo

24-36-48 36 224 2 18 2 22.32

12 2 23.3 9 3

6 2 3 3

3 3 1

1


42/100

48 2

24 2

12 2 24.3

6 2

3 3

1

28-24-8428 2 24 2 84 2

14 2 22.7 12 2 23.3 42 2 22.3.7

7 7 6 2 21 3

1 3 3 7 7

1

112-128-18

112 2 128 2 18 2

56 2 24.7 64 2 9 3 2.32

28 2 32 2 27 3 3

14 2 16 2 1

7 7 8 2

1 4 2

2 2

1


43/100


CURSO: CONTABILIDAD Y AUDITORA FECHA: 05 /02/2013

APUNTES

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Es la combinacin de smbolos (nmeros y letras), a travs de las diferentes

operaciones fundamentales. Los trminos de la expresin algebraica

corresponden a cada una de sus partes, las cuales estn separadas entre s

por los signos + o .

EJEMPLO: OPERACIONES CON FRACCIONES

+ + + + + +

+ + + +

+ + +

+ + +

+


44/100

+

+ + + + + + +

+ x

1 1

1+


45/100



APUNTESPROPIEDADES DE LOS EXPONENTES

Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicacin en que

Se repite un mismo factor un cierto nmero de veces.

. . . n veces

: es la potencia

: es la basen: es el exponenteSi el exponente es fraccionario tenemos una expresin algebraica con

radicales. Esto es . en general, a a . Para simplificar expresiones que poseen exponentes, se deben respetar las

siguientes leyes:

Sean a , :1. . .2.

3. . 4.


46/100

Simplificar la expresin algebraica:

OPERACIONES CON EXPONENTES

x,y= variables independientes

n,m: enteros positivos.

REGLA DE LAS OPERACIONES CON EXPONENTES

(

.

.

.

1

EJERCICIOS EN CLASES


47/100

.

1



APUNTESPRODUCTOS NOTABLES

Los productos notables son multiplicaciones cuyo resultado puede escribirse

directamente, sin hacer paso a paso la multiplicacin. Son como las tablas de

multiplicar del lgebra elemental.

Los principales productos notables son:


48/100

Cuadrado del binomio

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Suma por diferencia

(a + b)(a - b) = a2 - b2

Producto de binomios con un trmino repetido

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b) x + ab

Cubo de un binomio

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b

Cuadrado de un trinomio

(a + b + c) 2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

Productos que desembocan en la suma o diferencia de cubos perfectos

(a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3

(a - b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3

EJERCICIOS EN CLASE

()() ()() ()


49/100

+ + +

+ +

FACTORIZACIN

Factorizar una expresin algebraica consiste en escribirla como el producto

Ms simple de sus factores. Para llevarla a cabo, lo primero que debe hacerse

exponer en evidencia un factor comn, si es que lo hay, y luego analizar si el

factor no comn corresponde al desarrollo de uno o ms de los productos

notables Todas las expresiones correspondientes a los productos notables

pueden ser usadas como expresiones de factorizacin si las leemos de

derecha a izquierda.

A continuacin se ilustra la operatividad de los casos de factorizacin:

Factor comn

ax + ayaz = a(x + y z)

Agrupacin de trminos

ax bx + ab= (ax) (bx ab)= x(x a) b(x a)

= (x a) (x b)

Trinomio cuadrado perfecto

4 12ab + 9= (2a


50/100

Diferencia de cuadrados perfectos

36 + +11 + +11 + 11 ++11+11+1111

Simplificar la expresin algebraica:

1+1

1+1

* * * *

+

+ 1 + + + + + 1 1


51/100



APUNTES

RACIONALIZACIN

Racionalizar el denominador de una fraccin es convertir una fraccin cuyo

denominador es irracional en una fraccin equivalente, cuyo denominador sea

racional. Cuando se racionaliza el denominador irracional de una fraccin,

desaparece todo signo radical del denominador.

Ejemplos.-

Racionalizar la siguiente expresin

1 .( + )( + ) ( + )

+

+

1

Racionalizar el denominador y simplificar la expresin

VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de un nmero x se representa por | x | y es un nmero no

negativo, tal que:


52/100

| x | = x, x 0

x, x < 0

aplicacin del valor absoluto.-

|| = 1

=

R//

+ 11 1 + 1 + + 1 1

R//ECUACIONES

Una ecuacin o igualdad condicional, es aquella que es verdadera slo para

algn o algunos valores de las variables del conjunto referencial que

corresponda.

ECUACIONES LINEALES

Una ecuacin lineal o de primer grado, corresponde al tipo ms simple de

ecuacin, pudiendo ser reducida a un predicado de la forma:

p(x): ax + b = 0 a, b a 0Donde x es la incgnita cuyo valor hay que determinar.

Sea Re = y p(x): determine Ap(x)

+ x 1.


53/100

x x

+ x 1 + x 1 + x 1 x 1 1 R//COMPROBACION

+

+

+ + 1 +

1 1

ECUACIONES CUADRATICAS.-

Una ecuacin cuadrtica o de segundo grado es aquella que puede

representarse con un predicado de la forma:

p(x): + + a,b,c a

Sea Re= R y p(x): + , determine Ap(x) +

+ 1


54/100

+ v 1 x=-6 v x=1. : + p(-6):

+

p(1):1 + 1 1 + En consecuencia Ap(x)= ,

FORMULA GENERAL

16 + a=16

b=24

c=9

11

SUMA ALGEBRAICA DE LAS RACES DE LA ECUACIN CUADRTICA.

La suma de las races de la ecuacin cuadrtica viene dada por la frmula:

+

=


55/100

+ PRODUCTO ALGEBRAICO DE LAS RACES DE LA ECUACIN

CUADRTICA.

El producto de las races de la ecuacin cuadrtica viene dado por la frmula:

+

x . x ( )

x . x + Encontrar el valor de k de la siguiente ecuacin

+ + 1 + 1

+

a=1

b=-8

c= 1

.

a+bx+c


56/100

1 11 1 1 8 3k-3

-3k 1 11

ECUACIONES CON RADICALES

Sea Re = y p(x): + + = + , determine Ap(x).

( + + ) ( + )x+2 + 1 + x + 1 = 2x + 12x + 1 = 04x(x + 1) = 0

(4x = 0) (x + 1 = 0)= = 1

PLANTEO DE ECUACIONES

Lectura y compresin del enunciado del problema: Antes de iniciar la

resolucin de un problema, es necesario que hayamos comprendido bien su

enunciado. Lea cuidadosamente el problema tantas veces como sea necesario,

para aclarar dudas sobre lo que se pide resolver y cmo se relaciona la

informacin dada.

Traduccin del texto del problema al lenguaje matemtico: Exprese en

trminos algebraicos las relaciones enunciadas verbalmente en el problema.

Resolucin de las ecuaciones y anlisis de las soluciones encontradas:

Resuelva la(s) ecuacin(es) y verifique que sus soluciones satisfagan al

problema original. Escriba la respuesta en la forma de un enunciado que

responda a la pregunta que se plante en el problema.


57/100

Elena tiene una canasta con canicas. Le dio la mitad de las canicas

a Jorge y un tercio de las que quedaban en la canasta, se las dio a

Mara. De esta manera, le quedaron 6 canicas a Elena, Cuntascanicas tenia al principio?

a) 18 b) 24 c) 36 d) 30 e) 40

Datos:

X= nmero de canicas

1 x le dio a orge1 1 le dio a aria le quedo a elena

+

+

1 x + 1 + 1 x + 1 + 1 x + +

1 x + + + 1


58/100

1 COMPROBACION

+ + 1 1 + 1 1 1 + 1

+ 1 1 + 1

+ + 1 1 + + 1 1

1 R// Elena tena 18 canicas al principio.

Un consultor cobra $ 25 por hora por sus servicios, mientras que

su asistente gana en una hora el equivalente en dlares a losdel

nmero total de horas trabajadas por el consultor. Si en un trabajo,

en el cual el consultor trabaj 3 horas ms que su asistente, la

cuenta total fue de $ 880, encuentre el nmero de horas trabajadas

por el consultor.

DATOS:

numero de horas del consultor

cobra el consultor

cobra asistenteconsultor + asistente total cuenta es +

+ 1


59/100

+ 11 1+ 1

1 11

+ 111 + 1 11 +

a=1

b=62

c=-2288

1

1 + 1 1 +1 1

1

En un avin viajan 330 pasajeros de tres pases: espaoles,

alemanes y franceses. Hay 30 franceses ms que alemanes y de

espaoles hay el doble que de franceses y alemanes juntos.cuantos hay de cada pas?


60/100

DATOS:

Alemanes:Franceses:

+

Espaoles: + + + + + + + =330

+ + + + +

REEMPLAZO.-

+ + + + + =330

+

+ +

+ +

+ +

INECUACIONES

DESIGUALDAD.-

Una desigualdad es un enunciado que compara dos expresiones matemticas.

Dichas expresiones estn separadas por alguno de los siguientes smbolos: >,


61/100

INECUACIN.-

Una inecuacin es un predicado que incluye una desigualdad condicionada, y

resolverla significa encontrar todos los valores del conjunto referencial para los

cuales el enunciado constituye una proposicin verdadera.

Propiedades.- || || ||

|| : || ,

||

: || , ||

: || ,

CASO 1

CASO 2

CASO 3


62/100

Determine: ||

| |

+

: , +

Determinar de la siguiente expresin:| |

11 v 11 1 1 1 1

1 1 + 1 1 + 1

:/

Determinar de la siguiente expresin:| |

+


63/100

: Determinar de la siguiente expresin:

+

+

v +

+ v + + v +

+ 1 + v 1 +

1 v + 1

1 v + 1 1 v 1

1 v

: / 1 v

PLANTEO DE INECUACIONES

Jenny quiere invertir $ 50000. Ella puede escoger el banco A que

ofrece un inters anual del 8%, o con un mayor riesgo, escoger el

banco B que ofrece un inters anual del 10%. Qu cantidad

mnima deber invertir en el banco B, de modo que reciba una

rentabilidad anual total de al menos $ 4400?DATOS:


64/100

Jenny debe invertir: .Banco A, porcentaje anual 8% mayor riesgo

Banco B, porcentaje anual 10%

Rentabilidad $4400 Banco B

Cantidad que debe invertir Banco B. Cantidad banco A

B1 + A

,1+, ,1+, ,1,

,

,

.R// Jenny debe invertir $20.000 en el banco B para obtener la cantidaddeseada.

UNIVERSIDAD TCNICA MACHALANombres: Emilia Johanna Guacho RigchacCurso: AdministracinParalelo: E

Docente: Ing. Sara Cruz NaranjoFecha: 03 De Marzo Del 2013Tema: FACTORIAL

Sea n un entero no negativo, su factorial se calcula de la siguiente manera:

N!{ 1 , 1 , 1}

A este esquema de definicin se lo denomina recursivo. La recursin es laforma en la cual se especifica un proceso basado en su propio definicin.


65/100

Ejemplo: al encontrar el valor de 6! Se abtiene:

6! = 6.5!

= 6.5.4!

= 6.5.4.3!

= 6.5.4.3.2!

= 6.5.4.3.2.1!

= 6.5.4.3.2.1.0!

=720

Una de las aplicaciones del factorial, la encontramos en el siguiente ejemplo:

nmero es 52!. Puede parecer sorprendente lo extremadamente grande que eseste nmero, alrededor de 8.065817517094 x 1.Esta cifra es mayor que la representada por un 8 seguido de 67 ceros.Comparando ese nmero con otros nmeros enormes, es mayor que elcuadrado del nmero de Avogadro, 6.022 x 1, el nmero de tomos omolculas, etc., que hay en una mol y est en el mismo orden de magnitud que

el nmero de tomos en la Va Lctea.(Combinatoria)

Sean n, m enteros no negativos tales que n m, el smbolo ( ) que se leecombinatoria den elementos tomando m de ellos a la vez, se calcula de lasiguiente manera:( ) Al encontrar el valor de ( ), se obtiene:

1 1 1 1 1.......1 1Propiedades de las combinatorias

1. [( ) 1 ]2. [() 1 ]3. 1 [ ( ) + ( ) ( )]

Demostracin de la tercera propiedad.


66/100

1 + 1 + 1 Principio de la Suma (Aditivo)Supongamos que un evento A se puede realizar de m maneras diferentes, yotro evento B se puede realizar de n maneras diferentes, adems, no esposible que ambos eventos se realicen juntos (A B=, entonces el evento Ao el evento B se realizarn de (m+n) maneras diferentes.Ejemplo: Un repuesto de automvil se vende en 6 locales de Guayaquil y en 8locales de Quito. Si la adquisicin de repuestos puede hacerse en Guayaquil oen Quito. De cuntas formas se puede adquirir el repuesto?

Guayaquil: 6Quito: 8 6+8=14

Un paquete de software tiene 3 opciones de men, si la primera tiene 10subopciones, la segunda tiene 15 subopciones y la tercera tiene 12subopciones, de cuntas maneras diferentes puede elegir el usuario unasubopcin?

Solucin:

Por el principio aditivo, se puede notar que el usuario solamente puede

Elegir una subopcin a la vez:10 maneras + 15 maneras + 12 maneras = 37 maneras.

UNIVERSIDAD TCNICA MACHALANombres: Emilia Johanna Guacho RigchacCurso: AdministracinParalelo: EDocente: Ing. Sara Cruz NaranjoFecha: 04 De Marzo Del 2013TEMA: Principio de la Multiplicacin (Multiplicativo)

Si un eventoA puede ocurrir en forma independiente de m maneras diferentesy otro evento B de n maneras diferentes, entonces el nmero de manerasdistintas en que pueden suceder ambos eventos es m.n.Ejemplo:En un da determinado, nueve amigos: Evelyn, Janeth, Yajaira, Laura,Vernica, Christian, Jimmy, Gabriel, y David, deciden ir a ver una pelcula alcine; al momento de ingresar a la sala, ellos se ponen de acuerdo parasentarse de forma alternada, de tal manera que al lado de una chica siempre

se encuentre un chico. De cuntas formas posibles pueden sentarse estosamigos cumpliendo aquella condicin?


67/100

Solucin:

Si M: representa una chica y H: representa un chico, entonces se ubicaran dela siguiente forma:9 amigos5 mujeres 5!x4!=2.8804 hombres

EJEMPLOS:

Ana y Mara observaron la placa de un carro, donde viajaban dos hombressospechosos de un robo. Al ser interrogadas por la polica, dieron la siguienteinformacin acerca de la placa (que constaba de tres letras seguidas de tres

dgitos): Mara estaba segura de que la segunda letra de la placa era una O ouna Q, y que el ltimo dgito era un 3 o un 8; Ana dijo que la primera letra de laplaca era una G y que la tercera letra era definitivamente una vocal.

Determine la cantidad de placas diferentes que la polica debe verificar.

Solucin:

La placa deber tener una secuencia de caracteres de la forma

X X X 3 LETRAS +3 DIGITOS2 letra: 0 - 1 carcter G 1 posibilidadUltimo digito: 3 o 8 2 carcter 0 - 2 posibilidad1letra: G 3letra a-u 5 posibilidad3letra: vocal 1 numero 10 posibilidad

2 numero 10 posibilidad3numero: 38 2 posibilidad

Letras: 1(5) (2) = 10Nmeros: 10(10) (2)= 200Posibilidades: 2000Permutaciones: orden

Combinacin: contenido

Permutaciones


68/100

Ejemplo: En una carrera participan 10 atletas. De cuntas formas distintaspodrn ser premiados los tres primeros lugares con medalla de oro plata ybronce?

Solucin:

Se busca las diferentes ternas(m =3) que se pueden formar con los 10atletas(n =10).

1 1... Por lo tanto, a los 3 primeros lugares se los puede premiar de 720 formasdistintas.Ejemplo:De cuntas maneras diferentes pueden colocarse cinco libros de historia,cuatro de literatura y seis de matemticas, si los de la misma materia deben

estar juntos?

Solucin:

Los libros de historia pueden permutarse as:

CombinacinUna combinacin es cada uno de los diferentes arreglos que se pueden hacercon parte o todos los elementos de un conjunto dado, Sin considerar el ordenen su ubicacin. El nmero de combinaciones posibles de n objetos tomando mde ellos a la vez, se simboliza como y se calcula as:

, Ejemplo:

Se necesita constituir un grupo mixto de vigilancia formado por 2 hombres y 3mujeres, para lo cual se dispone de 12 oficiales hombres y 8 oficiales mujeres;determine el nmero de grupos diferentes que se pueden formar.

Solucin:Para constituir el grupo de hombres:

Grupos: 2 hombres3 mujeres

1

1 1

1 .1


69/100

Adicionales:Ejemplo: La cantidad de nmeros de 2 digitos que pueden formarse a partir delos dgitos que pueden formarse a partir de los dgitos 1, 2, 3, 4,5.

1

De cuantas maneras pueden 5 personas tomar asiento en un automvil, si 2han de viajar en el asiento delantero, y 3 en el posterior. Dando que personasdeterminadas no han de viajar en el asiento del conductor.

11 13 10-2=8

10-1=9 72

TEOREMA DE UN BINOMIO

Este teorema fue descubierto por Newton y comunicado por primera vez en1676 a Henry Goldemberg, secretario de la Royal Society que favoreca losintercambios de correspondencia entre los cientficos de su poca. Newtonpresenta el enunciado de su teorema y un ejemplo que lo ilustra, y mencionaejemplos conocidos en los cuales se aplica el teorema.

+ n: exponente binomio

i: posicin del trmino en el desarrollo del binomio disminuido en 1a, b: trminos del trinomioTermino no contiene x

cx-

n: 10

a: x b: 1 1 1


70/100

1 1

1

1 1

1

1 1 1 1

UNIVERSIDAD TCNICA DE MACHALA

Nombre: Emilia GuachoCurso: AdministracinParalelo: EDocente: Ing. Sara CruzFecha: 05.03.2013Tema: SucesionesUna sucesin es un conjunto de nmeros reales, los cuales reciben el nombrede trminos. Todas las sucesiones tienen un primer trmino y cada trminotiene un siguiente.F: n

Domf=n

F(n)=

F(n)= F(n)=1,0,1,4,9,16

F(n)= 1 , ,

Ejemplos: =2(an-1-3),

1

Ejemplos:

an= 3an-1


71/100

. . .

1 1 PROGRESIN ARITMTICA

Formula: f(n)= a+(n-1)d

a: primer termino

n: nmeros de trminos

d: diferencia

Ejemplos: encuentre el valor de la siguiente suma: 5+9+13-1o la 2,7, 12, 17,22.

a: 2 f(n)=2+ (13-1)5

n: 13 f (3)=2+(12)5

d=7-2=5 f (3)=62

FORMULA DE LA SUMA:

Sn= +

a: 54 49=5+(n-1)4

d: 9-5= 4 49= 5+4n-4

f: 49 -4n=5-4-49

n= n=12

s(12)= + 1 1

1 + 1 1 1


72/100

ADICIONALES:

ENCONTRAR LO SIGUIENTE: 1, 3, 5, 7..RESULTADOES 3969

a=1

1 + 1

d=3-1=2 + + 3969= n=? 3969=

N=63En el concurso Rueda de la Fortuna hay 12 premios, que en total suman $96000. Si existe una diferencia de $ 1000 entre cada premio sucesivo,determine el premio de menor valor en el concurso.

Solucin:

n=12 96000 + 1 11

96000=

+111

d= 1000 +11.a=? 96000=12a+66.000

-12a= 66.000-96000

+12a=+30.000

. .

Progresiones geomtricas

, 1,,


73/100

1

1 +

1 1

Ejemplo:

1 + 1 + 1 1a=

. r=

EJEMPLO:

En la figura se indica un rbol genealgico que muestra tres generacionesanteriores y un total de 14 antecesores. Si usted tuviera que analizar su historiafamiliar hasta 10 generaciones atrs, cuntos ancestros encontrara?

Madre

Usted

Padre


74/100

SOLUCIN

Madre

Usted

Padre

2 ancestros

4 ancestros

8 ancestros

Se trata de encontrar la suma de los 10 primeros trminos de una progresingeomtrica cuya razn res 2 y cuyo primer trmino a es tambin 2.

p1 ar 1r 1 1 1

Es decir, que se tendran 2046 ancestros.


75/100


76/100



APUNTES

UNIDAD XI

ESTADSTICAS

Numero

CUANTITATIVA Grupo

Senes

Etc

ANLISIS Precisa

CONCLUSIONES Futuro

Objetivos:

Al finalizar esta seccin el lector podr:

* Explicar el rol de la estadstica en la sociedad y su aplicacin en el anlisis deinformacin.

* Distinguir entre estadstica descriptiva y estadstica inferencial.

* Identificar los errores ms comunes cuando se analiza informacinestadstica.

* Definir los trminos estadsticos, los tipos de variables y escalas de medicinfrecuentemente ms empleados.

El mtodo estadstico es el conjunto de los procedimientos que se utilizan

para medir las caractersticas de los datos, para resumir los valores

individuales y para analizarlos, a fin de extraerles el mximo de informacin; es

lo que se conoce como mtodo estadstico.


77/100

Un mtodo estadstico contempla las siguientes seis etapas:

1. Definicin del problema:

2. Recopilacin de la informacin existente.

3. Clasificacin y control de calidad de los datos.

4. Codificacin y digitacin.

5. Anlisis.

6. Presentacin.

Errores estadsticos comunes. Existe la posibilidad de cometer errores al

momento de recopilar los datos que sern procesados, as como durante el

cmputo de los mismos. No obstante, hay otros errores que no tienen que ver

con la digitacin y no son tan fciles de identificar.

Algunos de estos errores son:

Sesgo: Hay que ser completamente objetivo y no tener ideas preconcebidas

antes de comenzar a estudiar un problema, evitando que puedan influir en la

recopilacin y en el anlisis de la informacin.

Datos no comparables: Establecer comparaciones es una de las partes ms

importantes del anlisis estadstico, pero es extremadamente importante que

tales comparaciones se hagan entre datos que se presten a ello.

Proyeccin descuidada de tendencias: La proyeccin simplista de

tendencias pasadas hacia el futuro, es uno de los errores que ms ha

desacreditado el uso del anlisis estadstico.

Muestreo incorrecto: En la mayora de los estudios, la informacin disponible

es tan extensa que se hace necesario inferir a partir de muestras, para derivar

conclusiones acerca de la poblacin a la que pertenece la muestra.

CONCEPTOS BSICOSElemento o ente: Cualquier elemento que aporte informacin sobre la

caracterstica que se estudia. As, si estudiamos la altura de los nios de una

clase, cada alumno es un ente; si estudiamos el precio de la vivienda, cada

vivienda es un ente.

Poblacin: Conjunto o coleccin de los entes de inters. Cada ente presenta

caractersticas determinadas, observables y medibles. Por ejemplo, en el

elemento persona: nombre, edad, gnero, peso, nacionalidad, etc. Por lo tanto,la estadstica se preocupa de estudiar las caractersticas de los elementos


78/100

constituyentes de la poblacin, y estudia las posibles relaciones y las

regularidades que presenta la poblacin a partir de estas caractersticas.

La poblacin se puede clasificar, segn su tamao, en dos tipos:

Poblacin finita: El nmero de elementos es finito. Por ejemplo: la cantidad

de alumnos de una escuela.

Poblacin infinita: El nmero de elementos es infinito o tan grande que

pueden considerarse en cantidad infinita. Por ejemplo: las estrellas de la Va

Lctea.

Muestra: La mayora de los estudios estadsticos, no se realizan sobre la

poblacin por los altos costos en tiempo y dinero, sino sobre un subconjunto o

una parte de ella denominada muestra, partiendo del supuesto de que este

subconjunto presenta el mismo comportamiento y caractersticas de la

poblacin. Por ejemplo, para la poblacin estudiantes de las escuelas de

Guayaquil, una muestra podra ser el conjunto de nios de una escuela en

particular.

Variables cuantitativas: Se expresan por medio de nmeros y pueden ser:

Discretas: Solo se miden por medio de valores puntuales. Por ejemplo:

nmero de materias, cantidad de mdicos en un hospital; y,

Continuas: Pueden tomar cualquier valor intermedio entre dos nmeros,

es decir, intervalos. Por ejemplo: el peso y la estatura de una persona.

Las variables tambin se pueden clasificar en:

Variables unidimensionales: Slo recogen informacin sobre una

caracterstica. Por ejemplo: edad de los alumnos de una clase.

Variables bidimensionales: Recogen informacin sobre dos caractersticas

de la poblacin. Por ejemplo: edad y estatura de los alumnos de una clase.

Variables multidimensionales: Recogen informacin sobre tres o mscaractersticas. Por ejemplo: edad, estatura y peso de los alumnos de una

clase.

Ejemplo Tabla de tipo II

El nmero diario de llamadas telefnicas realizadas en una casa durante 30

das, se encuentra tabulado as:

2 4 1 3 2 5


79/100

Sea la variable el nmero diario de llamadas telefnicas, podemos observar

que el rango de la variable est entre 1 y 5 llamadas, y que el total de datos es

30 llamadas. Por lo tanto, la tabla de frecuencia se estructura siguiendo los

pasos 1 y 2:

1. Ordene los datos en forma decreciente o creciente por cada columna y

realice el conteo:

2. Estructure la tabla de frecuencia relacionando el conteo con un nmero

(frecuencia):

3 1 3 4 1 1

1 5 3 1 2 3

2 1 5 3 4 2

3 4 1 2 5 5

1 1 2 3 3 51 1 2 3 4 51 1 2 3 4 51 2 2 3 4 51 2 3 3 4 5

N dellamadas

frecuencia

1 IIIIIIII2 IIIIII3 IIIIIII4 IIII5 IIIII

N dellamadas

frecuencia

1 8

2 63 74 45 5Total 30


80/100

Ejemplo Tabla de tipo III

La edad de un grupo de 30 personas se encuentra tabulada as:

Sea la variable, la edad de las personas, observamos que los valores estn

dispersos y que el rango de la variable est entre 5 y 55, por lo cual, si se

quiere elaborar una tabla, sta debe ser de intervalos.

Ahora, los pasos que se deben seguir son:

1. Determine el total de datos. En este caso N = 30.

2. Calcule el rango Rde la variable con la expresin R=XmxXmn, en los

cuales estn considerados el valor mximo y mnimo de dicha variable. Para el

ejemplo, R = 55 5 = 50.

3. Determine el nmero de intervalos, entre 10 y 15. En este ejemplo, se

tomarn 13 intervalos.

4. Calcule la amplitud de los intervalos , aproximando al enteroms cercano. Para el ejemplo, .5. Construya la tabla considerando que los intervalos sern siempre cerrados

por la izquierda y abiertos por la derecha [Li 1, Li). Para el primer intervalo

[L1, L2), L1 es el mnimo valor de los datos y L2 es igual a L1 + i. Para el

segundo intervalo [L2, L3), L2 ya se determin en el paso anterior y L3 es igual

a L2 + i. Este procedimiento se sigue realizando para los nuevos intervalos.

Para el ejemplo, la tabla sera:

22 23 44 10 28 40

15 43 38 7 24 31

28 12 5 18 20 47

50 27 14 16 30 26

55 27 42 50 27 36


81/100

Intervalos de

edades

Frecuencia

[5,9) 2

[9,13) 2[13,17) 3

[17,21) 2

[21,25) 3

[25,29) 6

[29,33) 2

[33,37) 1

[37,41) 2[41,45) 3

[45,49) 1

[49,53) 2

[53,57) 1

total 30

Ejemplo

Edad en aos de estudiantes en etapa colegial

16 12 12 11 19 16 17 11 16 9

16 12 13 10 16 17 14 17 16 17

18 13 14 13 13 13 14 17 14 1214 15 14 13 17 10 15 15 12 14

13 10 12 16 12 14


82/100

TABLA DE FRECUENCIA

N=46

Rango=19-9=10

1 .

Intervalos

de la

variable

Marca de

clase

Frec.

Ads.

Frec. abs.

acumulada

Frec.rel Frec.rel.

acumulada

[9,11) 10 4 4 0.09 0.09

[11,13) 12 9 13 0.20 0.29

[13,15) 14 15 28 0.32 0.61[15,17) 16 10 38 0.22 0.83

[17,19) 18 7 45 0.15 0.98

[19,21) 20 1 46 0.02 1.00

Total N=46 1.00

Ejemplo

Notas de los estudiantes de un curso de clculo en la ESPOL

6.45 8.30 7.55 6.00 8.20 6.25 6.00 7.00 6.40 7.45

6.20 6.35 6.55 7.80 6.00 6.45 7.95 6.00 6.15 7.05

7.35 6.35 6.00 6.45 6.60 9.15 6.60 7.60 6.30 7.30

7.40 8.15 6.70 6.25 6.40 6.45 8.30 7.55 6.00 8.20

6.25 6.00 7.00 6.40 7.45 6.20

Edad en aos de

estudiantes

frecuencia

[9,11) 4[11,13) 9

[13,15) 15

[15,17) 10

[17,19) 7

[19,21) 1

total 46


83/100

N=46

Rango=9.15-6.00=3.15

.1 1 .

TABLA DE FRECUENCIA

Intervalosde la

variable

Marca declase

Frec.Ads.

Frec. abs.acumulada

Frec.rel Frec.rel.acumulada

[6.00,8.00) 7 40 40 0.869 0.869

[8.00,10.00) 9 6 46 0.130 1.000

[10.00,12.00) 11 0 46 0 1.00

Total 46 1.00

Ejemplo

Tiempo de espera en minutos de los clientes de un banco de la localidad.

Nota de lo

estudiantes

frecuencia

[6.00,8.00) 40[8.00,10.00) 6

[10.00,12.00) 0

Total 46

40 45 52 33 27 5 11 31 42 51

55 55 60 42 37 35 10 43 54 55

10 22 5 62 74 57 42 43 31 26

29 35 33 41 39 44 54 56 22 15

32 17 26 42 44 45


84/100

N=46

Rango=74-5=69

1 .

TABLA DE FRECUENCIA

Intervalos

de la

variable

Marca de

clase

Frec.

Ads.

Frec. abs.

acumulada

Frec.rel Frec.rel.

acumulada

[5,12) 9 5 5 0.11 0.11

[12,19) 16 2 7 0.04 0.15

[19,26) 23 2 9 0.04 0.19

[26,33) 29 7 16 0.15 0.34

[33,40) 37 6 22 0.13 0.47[40,47) 44 12 34 0.26 0.73

[47,54) 51 2 36 0.04 0.78

[54,61) 58 8 44 0.17 0.95

[61,68) 65 1 45 0.02 0.97

[68,75) 72 1 46 0.02 1.00

total N=46 1.00

Tiempo de

espera

Frecuencia

[5,12) 5

[12,19) 2

[19,26) 2

[26,33) 7

[33,40) 6

[40,47) 12

[47,54) 2

[54,61) 8

[61,68) 1

[68,75) 1

Total 46


85/100

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y NO CENTRAL

Objetivos

Al finalizar esta seccin el lector podr:

* Dada un conjunto de datos, calcular e interpretar medidas de tendencia

central y no central.

Media aritmtica

Se define como el cuociente entre la suma de los valores que toma la variable

(datos) y el total de observaciones: .. ; siendo el total deobservaciones, tambin se puede expresar como

generalmente estadefinicin se ocupa para datos no tabulados.

Ejemplo Media aritmtica para datos no tabulados

o Se tiene el sueldo de cinco empleados de una empresa: $567, $683,

$725, $675, $576.

La media aritmtica es x= .

En este caso, se puede decir que el sueldo promedio que paga la empresa a

sus cinco empleados es de $645.2.

o Si tiene las notas de 3 estudiantes que tienen un rendimiento bajo=N:

5.60, N=6.60, N: 2.30

La medida aritmtica es= ... .o Si tiene 4 deudas como :$65.00,$78.00,$52.00,$10.00

La medida aritmtica es = .... .o si tiene dos telas que cortar T=6.30, T=5.02.

La medida aritmtica es = .. 11.


86/100

EJEMPLO MEDIA ARITMTICA PARA DATOS TABULADOS.

XMC corresponde a la marca de clase del intervalo y se encuentra como la

media aritmtica de los lmites superior e inferior de cada intervalo. Por

ejemplo, la marca de clase para el primer intervalo de la tabla adjunta se

encuentra como:+ Sueldo fi XMC Fi.XMC

[400,450) 10 425 4250

[450,500) 20 475 9500

[500,550) 30 525 15750

[550,600) 40 575 23000

[600,650) 15 625 9375

[650,700) 10 675 6750

[750,800) 5 775 3875

130 72500

La media aritmtica es:

1 + + + + 1 + 1 +1

++1++++1

1

.

MEDIANA (X)

Se define como el valor central de una distribucin que tiene un nmero impar

de datos, una vez ordenados los datos de manera creciente o decreciente. El

dato que representa la mediana divide la distribucin en dos grupos, un 50% de

valores son inferiores y otro 50% son superiores.


87/100

Si el nmero de datos (N) de la distribucin es par, la mediana est dada por el

promedio de los dos datos centrales. La mediana no presenta el problema de

estar influenciada por los valores extremos, pero en cambio no utiliza en su

clculo toda la informacin de la serie de datos (no pondera cada valor por el

nmero de veces que se ha repetido).Si Nes impar, el trmino central es el

dato que ocupa ese lugar:

Ejemplo Mediana.

o Considere los siguientes datos: 2, 4, 5, 9, 10.

Como Nes igual a 5, x =

o considere los siguientes datos: 3, 5, 7, 11,13.

Como N es igual a 7 x=

o considere los siguientes datos: 1, 2,3, 8,9.

Como N es igual a 3 x=

Si Nes par, existen dos datos centrales: X=

Ejemplo Mediana.

Considere los siguientes datos: 2, 4, 5, 9, 10, 12.

Aqu N= 6

X=


88/100


89/100

NOMBRE: Emilia Guacho DOCENTE: ING. SARA CRUZCURSO: CONTABILIDAD Y AUDITORA FECHA: 19/03/2013

APUNTES

UNIDAD IV

SEMIRRECTA

Una semirrecta es la parte de una recta que est a un lado de la misma, desde

un punto fijo llamado extremo y se extiende indefinidamente en una sola

direccin.

NGULO

Es la unin de dos semirrectas que se intersecan en su extremo.

Una de las semirrectas se conoce como el lado inicial del ngulo, mientras que

la otra recibe el nombre de lado terminal o final. El extremo donde se

intersecan las semirrectas se denomina vrtice del ngulo. Se puede designar

a los ngulos, por medio de puntos de las semirrectas o utilizando solamente el

vrtice, si es que no hay confusin. Por ejemplo:

C

B A

ngulo


90/100

La medida de un ngulo se denota porm, representa la abertura entre las dos

semirrectas; y, es una relacin deA en, siendoA el conjunto de los ngulos.

Se acostumbra designar a la medida de los ngulos con letras del alfabeto

griego: , , , , entre otras.

Si se considera una regin del plano con un recorrido desde el lado inicial del

ngulo hasta el lado final, siguiendo el sentido contrario de las manecillas del

reloj, por convencin la medida del ngulo es positiva. Si dicho recorrido se

realiza en sentido de las manecillas del reloj, la medida es negativa.

a) Medida positiva de un ngulo b) Medida negativa de un

ngulo

SIGNOS DE LAS MEDIDAS DE LOS NGULOS.

Un ngulo se encuentra en posicin normal o estndar si su vrtice est

ubicado en el origen del sistema de coordenadas rectangulares y su lado inicial

coincide con el semieje X positivo. Si el lado terminal del ngulo se encuentra

en el segundo cuadrante, se denominar ngulo del segundo cuadrante y

anlogamente para los otros cuadrantes.


91/100

a) ngulo en posicin normal del b) ngulo en posicin normal delcuarto

cuadrante, cuya medida Es

negativa.

segundo cuadrante, cuya medida

es positiva.

SIGNOS DE LAS MEDIDAS DE LOS NGULOS.

UNIDADES ANGULARES

Para la localizacin exacta de una estrella o la posicin de un barco, se utilizan

las unidades de medida ms conocidas, como son los grados sexagesimales,minutos y segundos; tales unidades estn basadas en la divisin en partes

iguales de una circunferencia. Algunas equivalencias importantes son las

siguientes:

360 representan un giro completo alrededor de una circunferencia.

180 representande vuelta alrededor de una circunferencia.

90 representan

de vuelta.

1 representa de vuelta.


92/100

1 representa 60 minutos ().

1 representa 60 segundos ().

Es de observar que para generar un ngulo se puede dar ms de un giro

completo; por ejemplo, si damos dos giros completos se tendran 720; si se

dan 10 giros se tendran 3600. Para propsitos de clculo, los grados son

transformados en radianes, puesto que el radin es mucho ms prctico en las

aplicaciones fsicas. A continuacin, se interpreta el significado de un radin:

Considerando una circunferencia de radio ry centro O, se construye unngulo

de medida cuyo vrtice est ubicado en O, y cuyos lados inicial y terminal

subtienden sobre la circunferencia un arco de longitud igual a r, tenemos que

constituye un radin.

Ejemplos


93/100

NOMBRE: EMILIA GUACHO DOCENTE: ING. SARA CRUZ


APUNTES

Ejemplo: Ubicacin de los ngulos.

Se requiere ubicar un ngulo cuya medida es 410. Si se divide para 360, se

obtiene 1 de cociente y 50 de residuo. Esto quiere decir que el ngulo ha dado

una vuelta completa de 360 y su lado terminal se ha ubicado en 50. Por tanto,

es un ngulo del I Cuadrante.

Clases de ngulos

Coterminales

Son aquellos ngulos que tienen los mismos lados inicial y terminal.

ngulos coterminales.

Sean =y = Graficando se observa que los ngulos son coterminales.

Consecutivos


94/100

Dos ngulos de un mismo plano son consecutivos cuando slo tienen un lado

en comn.

Adyacentes

Dos ngulos son adyacentes cuando son consecutivos y los lados no comunes

son semirrectas en la misma direccin, pero en sentido contrario. La suma de

las medidas de estos ngulos es 180.

Complementarios

Dos ngulos son complementarios cuando la suma de sus medidas constituye

la medida de un ngulo recto: + = 90.


95/100

Suplementarios

Dos angulos son suplementarios cuando la suma de sus medidas constituye la

medida de dos angulos rectos: + = 180o.

Opuestos por el vrtice

Dos ngulos se dicen opuestos por el vrtice cuando los lados de uno de ellos

son semirrectas opuestas a los lados del otro, verificndose que = .

Relacin entre grados sexagesimales y radianes

Ya hemos visto que la longitud de una circunferencia es 2r, y para el caso de

una vuelta completa, hemos indicado que el ngulo mide 360, entonces

podemos definir una equivalencia entre las medidas en grados sexagesimalesy

radianes.

A partir de la igualdad 2... radianes = 360, determinamos que:

180 = .. radianes


96/100

90 = .. radianes

60= radianes

45=

radianes

30 =radaines

Podemos observar estas y otras equivalencias en la siguiente figura:


97/100

Funciones trigonomtricas

Sea P(a,b) un punto sobre la circunferencia de radio unitario y xel ngulo en

posicin estndar que forma el segmento OP, con el semiejeX.

Funcin Seno

La funcin seno est definida por: sen(x) = Es una funcin de R en R.

Funcin Coseno

La funcin coseno est definida por: cos(x) = Es una funcin de Ren R.

Funcin Tangente

Si (a 0), la funcion tangente est definida por: tan(x) =

Es una funcin de R

de R .- {(2n + 1) , n Z } en R.Funcin Cotangente

Si (b 0), la funcin cotangente est definida por: cot(x) = Es una funcin de

R {(n), n } en R.Funcin Secante

Si (a 0), la funcin secante est definida por: sec(x) =Es una funcin de {(2n + 1)n }Z en R .Funcin Cosecante

Si (b 0), la funcin cosecante estdefinida por: csc(x) = Es una funcin de

{(n), n Z } en R .

Ejemplo


98/100


99/100

CONCLUSIONES.

Analizada la influencia de la planificacin de estrategias para la enseanza de

la matemtica planteada inicialmente, se evidencio la necesidad de planificar

estrategias adecuadas para una enseanza de calidad, porque ha quedado

separada de la realidad del sistema educativo, adaptndose en una

problemtica de gran magnitud, por cuanto las herramientas o medios para

motivar al educando en su desarrollo del pensamiento lgico (procesos

mentales para el razonamiento) no conlleva a obtener una informacin clara y

precisa en la forma de decisiones as mismo incorporar valores y desarrollar

actitudes en el alumno.

En este sentido, a partir de la situacin planteada y en funcin de esta

investigacin se concluy dndole respuestas especficas a los objetivos, a fin

de demostrar las respuestas a las interrogantes de investigacin, en este orden

el primero de los objetivos especficos implica explicar la importancia de la

planificacin para la enseanza de la matemtica en la segunda etapa de

educacin bsica permite concluir que en la planificacin va inmersa las

estrategias


100/100

RECOMENDACIONES

Debera haber mayor control en cuanto a los conocimientos que adquieren

los alumnos, pues estos pasan los cursos con muchos vacos y esto se

reflej en las pruebas que se desarrollaron.

Se recomienda a los profesores hacer mayor nfasis en ensear a

identificar ncleos del sujeto y ncleos del predicado, ya que como se vio en

las pruebas aplicadas los estudiantes del dcimo ao de educacin bsica

tienen problemas en reconocerlos.

Se recomienda a los profesores enseen con mayor nfasis ortografa, con

el fin de que los alumnos dominen la misma.

Los alumnos deben tomar en serio las matemticas ya que son muy

importantes en la vida cotidiana.

La variedad y diversidad de los elementos presentados en este portafolio

son coherencia con los problemas que se presenta en nuestras vidas.

PROPOSICIONES APUNTES DE MATE EMY COMPLETO.docx

Documents

Transcript of PROPOSICIONES APUNTES DE MATE EMY COMPLETO.docx