Enseñanza de la Geometría en Secundaria. Caracterización de ...
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Propuesta de enseñanza aprendizaje de la geometría de las figuras planas en básica primaria Germán Darío Arboleda González Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales Bogotá, Colombia 2015
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Propuesta de enseñanza aprendizaje de la geometría de las figuras planas
en básica primaria
Germán Darío Arboleda González
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales
Bogotá, Colombia
2015
Propuesta de enseñanza aprendizaje de la geometría de las figuras planas
en básica primaria
Germán Darío Arboleda González
Trabajo de Grado presentado como requisito parcial para optar al título de:
Magister en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales
Directora:
M. Sc. En Matemáticas Martha Cecilia Moreno Penagos
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales
Bogotá, Colombia
2015
“A Dios, que siempre está conmigo, a mi familia, mis amigos y estudiantes”
Agradecimientos
Mi agradecimiento especial a la profesora Martha Cecilia Moreno Penagos y al
profesor José Reinaldo Montañez Puentes, que con su paciencia, profesionalismo y
entrega dedicaron tiempo de su vida para dirigir y orientar este trabajo de grado. A mi
familia por su apoyo incondicional.
III
Resumen
Este trabajo es una propuesta orientada a aportar en el proceso de enseñanza y
aprendizaje de la geometría en el grado Quinto de básica primaria. Es un aporte
didáctico para aplicar y desarrollar en estudiantes entre los 9 y 11 años. Para generar
la propuesta se tuvo en cuenta el contexto histórico de la geometría, los estándares
básicos establecidos para la asignatura en el nivel educativo y la teoría de las figuras
geométricas planas con sus propiedades y demostraciones más relevantes. Se incluye
en la propuesta una unidad didáctica apoyada en el modelo de Van Hiele, con
actividades donde el estudiante, a partir de definiciones dadas, visualiza, identifica,
reconoce, construye, clasifica e infiere por sí mismo las propiedades más relevantes
de las figuras geométricas planas.
Palabras clave: Geometría, figuras planas, triángulos, cuadriláteros, círculos, área,
perímetro, congruencia, semejanza
Abstract
This Project is a proposal to guide the process of teching and learnig of geometry in
Fifth Grade of basic primary. It is a didactic contribution to apply and develop on
student from 9 to 11 years old. To create the proposal the context history of geometry,
the basic standers for the subject in its level, and the theory of plane shapes in their
property and relevant demonstrations were taken into account. The proposal includes
a didactic unit supported in the Van Hiele model, whit activities where the student, from
definitions given, displays, identifies, recognizes, builds, classifies and infers itself the
most relevant propierties of plane geometric figures.
Keywords: Geometry, plane shapes, triangles, quadrilaterals, circles, area, perimeter,
congruence, similarity.
IV
Contenido
Resumen ......................................................................................................................... III
Introducción ..................................................................................................................... 1
1. Marco Histórico: Desde los orígenes a nuestros días .............................................. 5
1.1 Orígenes de la geometría - Egipto ............................................................................ 5
1.2 La geometría en Babilonia ........................................................................................ 7
1.3 La geometría en Grecia ............................................................................................ 8
1.4 La geometría en India ............................................................................................. 12
1.5 De la Edad media a nuestros días .......................................................................... 13
2. Aspectos Disciplinares.............................................................................................. 14
2.1 Nociones preliminares ............................................................................................ 16
2.1.1 El punto ........................................................................................................... 16
2.1.2 Recta ............................................................................................................... 17
2.1.3 Segmento ........................................................................................................ 17
2.1.4 Plano ............................................................................................................... 18
2.2 Medición y Unidades de distancia .......................................................................... 18
2.3 Ángulos .................................................................................................................. 21
2.3.1 Medición .......................................................................................................... 22
2.3.2 Construcción .................................................................................................... 22
2.3.3 Ángulos rectos, perpendicularidad, ángulos congruentes ................................ 24
2.3.4 Bisectriz de un ángulo ...................................................................................... 26
2.3.5 Rectas paralelas .............................................................................................. 26
2.3.6 Ángulos entre rectas paralelas ......................................................................... 27
2.4 Triángulos .............................................................................................................. 28
2.4.1 Congruencia de triángulos ............................................................................... 29
2.4.2 Clasificación de triángulos ............................................................................... 34
2.4.3 Otros teoremas relevantes en los triángulos .................................................... 36
2.4.4 Líneas notables de un triángulo ....................................................................... 37
2.4.5 Semejanza de triángulos .................................................................................. 41
V
2.5 Regiones poligonales ............................................................................................. 42
2.5.1 Generalidades de los polígonos ....................................................................... 42
2.5.2 Clasificación de polígonos ............................................................................... 45
2.5.3 Construcción de polígonos regulares ............................................................... 48
2.5.4 Cuadriláteros ................................................................................................... 50
2.6 Circunferencia y círculo .......................................................................................... 56
2.7 Área de regiones poligonales ................................................................................. 59
2.8 Teorema de Pitágoras ............................................................................................ 63
3. Diseño de la propuesta didáctica ............................................................................. 65
3.1 Marco metodológico ............................................................................................... 66
3.2 Población y nivel educativo .................................................................................... 68
3.3 Temática propuesta ................................................................................................ 68
3.3.1 Objetivos .......................................................................................................... 68
3.3.2 Conocimientos previos ..................................................................................... 69
3.3.3 Prerrequisitos................................................................................................... 69
3.4 Unidad didáctica ..................................................................................................... 69
3.4.1 Introducción ..................................................................................................... 69
3.4.2 Estructuras de las guías de aprendizaje .......................................................... 69
4. Conclusiones y recomendaciones ..........................................................................108
Bibliografía ....................................................................................................................109
1
Introducción
El colegio Corazonista está ubicado en el norte de la ciudad de Bogotá. Actualmente
cuenta con aproximadamente 2000 estudiantes, entre ellos 186 de grado quinto de
primaria, nivel en el cual me desempeño desde hace tres años. Los estudiantes del
colegio pertenecen a familias de estratos altos, su jornada es de única.
En la primaria la geometría no está muy fortalecida debido a que anteriores docentes
omitieron el tema, por lo que la geometría se ha desarrollado a partir del bachillerato.
Para el grado quinto se tiene propuesto el trabajo con la geometría plana y espacial, al
final del grado cada estudiante debe estar en capacidad de reconocer las diferentes
figuras geométricas, junto con su clasificación y propiedades fundamentales. Inicia el
programa con las definiciones básicas, y a partir de allí se introducen diferentes
conceptos acerca de polígonos regulares e irregulares, circunferencias, plano
cartesiano, y geometría espacial. Hasta el momento el desarrollo de los contenidos se
realiza de una forma netamente teórica y es por ello que los estudiantes evidencian
dificultades para describir y clasificar las figuras planas, establecer relaciones entre
ellas y plantear y resolver problemas de aplicación.
Del problema antes descrito surge la siguiente pregunta ¿Qué aspectos se deben
trabajar en una unidad didáctica para que el estudiante del grado quinto comprenda y
aplique los conceptos y relaciones básicas de la geometría elemental?
Para responder a la pregunta propongo diseñar una unidad didáctica en la cual se
indague, profundice y relacione los diferentes conceptos de la geometría elemental
plantear y estrategias que no son tenidas en cuenta en el plan de área de grado
Quinto en el colegio, enfocando el contenido en la clasificación y propiedades de las
figuras planas.
A lo largo de la historia, el desarrollo de la matemática se dio alternamente en
diferentes escuelas alrededor del mundo. Egipto, India, Grecia o Mesopotamia
impulsaron la matemática desde sus necesidades y desarrollos culturales, y
particularmente la geometría encontró una gran cantidad de avances aportados por
2
las culturas anteriores. La construcción de figuras fue desencadenando que los
grandes geómetras por si mismos fueran descubriendo nuevos teoremas que le
otorgaban propiedades importantes y nutrían a la geometría de interrogantes que se
han ido resolviendo a lo largo de los siglos. El intento por deducir teoremas a partir de
los desarrollos que se estaban realizando causó tal impacto, que se realizaron
importantes aproximaciones de la posición y movimiento de las estrellas y planetas, el
tamaño aproximado de la tierra, el cálculo de áreas y longitudes para determinar
extensiones de tierra o la arquitectura. Dentro de la geometría se fueron generando
interrogantes como la duplicación del cubo, la trisección de un ángulo o la cuadratura
del círculo, problemas que fueron trabajados durante siglos tratando de hallar una
solución.
La historia nos ha mostrado por sí misma la importancia de trabajar en la geometría, el
cómo las civilizaciones se vieron avocadas a inferir, abstraer y concluir por si mismos
teoremas y construcciones que les sirvieran para aplicar en su entorno y fue esta el
camino para enriquecer los conocimientos en esta disciplina. Siglos más tarde, en el
año de 1957 se da origen al modelo de Van Hiele, que justamente expone una teoría
de enseñanza y aprendizaje de la geometría por niveles de pensamiento que uno a
uno deben ser recorridos por el estudiante para garantizar un que dicho aprendizaje
sea significativo.
Los niveles de Van Hiele son cinco, se identifican con los números del 0 al 4. Inician
en el nivel 0 que se enfoca en la visualización y reconocimiento de los objetos a
estudiar, pasa por la descripción de objetos, la deducción y demostración de algunos
teoremas, y termina en el nivel 4 con la abstracción y el análisis y comparación de
sistemas axiomáticos. Difícilmente en la primaria se alcanza el nivel 4, pero el modelo
de Van Hiele si ofrece una secuencia que es empleada en las rutad didácticas de este
trabajo para fortalecer la enseñanza de la geometría en los niños, y que concuerda
con el desarrollo histórico que parte de la intuición y se concluye en la formalización.
Los estudiantes del colegio han estado acostumbrados a recibir los contenidos de
forma teórica y poco práctica. Me propongo aplicar actividades que permitan que el
estudiante infiera por sí mismo cada una de las propiedades de las figuras
bidimensionales y tridimensionales. Se pretende que el estudiante infiera por sí mismo
3
por medio de actividades manuales las diferentes propiedades de las figuras
geométricas y deduzcan algunas propiedades importantes a partir de la interacción
con dichos objetos
Esta propuesta es importante dado que el pensamiento geométrico puede fortalecer
los demás pensamientos, entre ellos el pensamiento métrico y variacional.
Específicamente puede constituirse en una herramienta para representar y modelar
problemas de otros dominios, como se expresa en la siguiente cita:
“Por un lado la geometría es considerada como una herramienta para el
entendimiento, tal vez la parte de la matemática más intuitiva, concreta y ligada por la
realidad” (López, O., 2008 15).
Teniendo en cuenta las posibilidades que brinda la geometría para desarrollar
pensamiento matemático, me propongo fortalecer el aprendizaje en matemáticas en el
grado quinto del colegio, y a través de este impulsar el trabajo con la geometría a lo
largo de toda la primaria. La geometría hace parte de la cotidianidad de los
estudiantes, hace parte de nuestro entorno inmediato. Utilizando elementos que los
estudiantes encuentren a su alrededor y la geometría, puede llegarse un poco más
fácil a un nivel de abstracción que les permita desarrollar habilidades en matemáticas
y otras asignaturas. Con la geometría se puede propiciar en los niños actividades para
que relacionen figuras, cantidades, tamaños, tengan una adecuada percepción del
espacio y la fortalezcan su capacidad de abstracción.
A pesar de la importancia que tiene la geometría para la formación matemática de los
estudiantes aún los educadores matemáticos no conocen ampliamente las
investigaciones sobre la didáctica de la geometría como se comenta en la siguiente
cita:
“La escasa difusión de propuestas didácticas para la enseñanza de la geometría y
considerando las diferencias existentes entre los diferentes niveles educativos, se
debe brindar un panorama con los componentes principales en la enseñanza de esta
disciplina” (López, O., 2008 18). Además, la enseñanza de esta disciplina se hace de
una forma tradicional, que se caracteriza principalmente por la clase guiada por el
4
docente, en donde el discurso del profesor es la principal ruta didáctica, y se pretende
que los estudiantes copien y reproduzcan lo que el profesor explica en el tablero.
Teniendo en cuenta lo anterior se pretende crear actividades en las cuales se
estructuren contenidos de la geometría elemental que no son tenidos en cuenta en el
plan de área de grado Quinto en el colegio, enfocando el contenido en la clasificación
y propiedades de los diferentes polígonos geométricos, pero propiciando en los
estudiantes la creatividad y el aprendizaje significativo
Para lograr lo anterior se plantean en el presente trabajo rutas didácticas que
pretenden guiar al estudiante desde su intuición, iniciando desde la visualización o el
reconocimiento de figuras, propiedades o definiciones, motivándolo a pasar por el
análisis, la orientación y clasificación de objetos, lo que permite que los niños por sí
mismos describan propiedades de manera formal, entendiendo así los significados de
las definiciones y e identificando que unas propiedades derivan otras. En esta edad
llegar a una deducción formal y comprender sistemas axiomáticos presenta un grado
de dificultad muy alto, pero sí es posible que los estudiantes traten de acercarse a la
geometría a través de su intuición, lo que permite que los aprendizajes que se
obtengan sean más significativos dado que ellos mismos construyen e identifican las
definiciones y objetos que las representan.
Es fundamental aprovechar la riqueza que da la geometría, su capacidad de
desarrollar en los estudiantes su intuición espacial, la manipulación y experimentación
con objetos que les permiten palpar y deducir propiedades que pueden verse
aplicadas de forma natural y palpable para ellos, además de generar la posibilidad de
cuestionarse y explorar otras posibilidades tratando así de que los niños hagan
conjeturas, sin tener que limitarse a lo que el profesor indica en una exposición o clase
tradicional.
5
1. Marco Histórico: Desde los orígenes a
nuestros días
Es correcto pensar en que, al igual que otras ramas de la matemática, la geometría
también se desarrolló desde los orígenes de la humanidad, debido a que existe la
necesidad de clasificar los objetos que nos rodean de acuerdo a su forma, medirlos y en
algunas áreas como la astronomía explicar fenómenos en el espacio. Si bien tuvo
desarrollo en la civilización Egipcia, es en Grecia donde se formaliza todo el trabajo
descubierto durante siglos.
1.1 Orígenes de la Geometría-Egipto
La palabra Geometría hace alusión a “medir la tierra”, concepto que dio origen a esta
ciencia en el antiguo Egipto. Esta civilización muestra considerables avances en el cálculo
de áreas de las figuras planas y el desarrollo de problemas métricos que incluso llegaron
a involucrar el volumen y superficie de algunos cuerpos sólidos. Los egipcios pretendían
calcular la medida de los campos para la construcción y la siembra, o trazar ángulos
rectos para la construcción de edificaciones. Herodoto sostiene que la geometría surgió
como una necesidad práctica de volver a trazar los límites de la tierra, después de la
inundación anual del Río Nilo se debían trazar nuevos linderos y con base en esos había
que pagar los impuestos.
A continuación un aparte de la consideración del origen de la geometría:
“Aristóteles y recientemente Seidenberg consideran que la geometría tiene un origen
ritual. El primero sostenía que el ocio de la clase sacerdotal había desarrollado la
geometría para construir templos y altares. El segundo encuentra en los trabajos de los
hindúes sobre construcción de altares, una fuente valiosa para sustentar su posición. Los
altares, en los cuales se hacían sacrificios para los dioses tenían diferentes formas,
circulares, cuadrados, y cualesquiera otras dependiendo del ritual. Seidenberg brinda el
6
ejemplo de un altar en forma de halcón compuesto de rectángulos, para el cual se usó el
teorema de Pitágoras” (Sánchez, 2012).
A los geómetras se les llamaba “tensadores de cuerdas” porque las cuerdas y las estacas
se usaron en las construcciones y al reconstruir las fronteras de los terrenos alteradas
por los desbordamientos del Nilo
El desarrollo geométrico en Egipto queda en evidencia en el papiro de Ahmes, que se
estima fue elaborado en 1650 a.C, y contiene 87 problemas matemáticos varios de ellos
relacionados con áreas, volúmenes, proporciones y trigonometría básica. Las
propiedades básicas de las diferentes figuras geométricas empiezan a surgir, aunque aún
sin mayor formalidad, lo que se evidencia por ejemplo en el problema 51 de este papiro,
en donde se pretende calcular el área de un triángulo isósceles, y para ello es importante
ver las características que tiene un triángulo con dos lados iguales que lo diferencian de
los demás triángulos. Uno de los grandes avances en esta época fue la aproximación del
cálculo del área del círculo, aunque no se logra con exactitud.
En los papiros encontrados durante el siglo XIX se evidencia que todos los temas
matemáticos desarrollados en Egipto no tienen otra finalidad que el cálculo numérico, y la
aproximación para la construcción de las diferentes edificaciones de la civilización como
las pirámides o palacios. “La gran pirámide” construida hace más de 20 siglos, es sin
lugar a dudas la prueba de los conocimientos en geometría y astronomía, debido a la
perfección de sus dimensiones y orientación.
Por otro lado el Papiro de Moscú, fue comprado por el egiptólogo ruso Vladímir
Golenishchev en el año 1883 a través de Abd-el Radard, una de las personas que
descubrió el escondite de momias reales de Deir el-Bahari. Consta de 25 problemas
matemáticos incompletos, debido al daño y deterioro del papiro en el tiempo. Llama la
atención que allí se encuentra registrada la manera de calcular el volumen de una
pirámide truncada, y el área de una superficie parecida a un hemisferio circular.
7
1.2 La geometría en Babilonia
En Mesopotamia, ubicada entre los ríos Tigris y Éufrates, existió una civilización cuya
antigüedad se remonta aproximadamente 42 siglos. Los primeros indicios de un sistema
de medidas provienen de ellos. Los babilonios, inventores de la rueda, fueron los primeros
en perfeccionar la agrimensura. Así como en Egipto, los babilonios también tenían un
desarrollo intuitivo de la geometría, conocían las reglas principales para el cálculo de
áreas y volúmenes, median la longitud de la circunferencia como tres veces el diámetro, lo
cual muestra un buen acercamiento al valor del pi. Además, esta civilización logró calcular
el área del triángulo y del trapecio, y multiplicando el área de la base por la altura lograban
encontrar el volumen de prismas rectos y cilindros. Tenían además fórmulas que les
permitían calcular el volumen de un cono o de pirámides truncadas.
Cabe destacar que los babilonios introdujeron el sistema sexagesimal para la medición
del tiempo, dividiendo el día en 24 horas, cada hora en 60 minutos y cada minuto en 60
segundos, lo que ha sobrevivido hasta nuestros días.
El teorema de Pitágoras también ya era conocido, y desarrollaron algunos conceptos
sobre los lados y razones de los triángulos semejantes, aunque no conocían el concepto
de medida de un ángulo. No se sabe por qué razón los babilonios decidieron estudiar la
geometría, los conocimientos que tenían no formaban un sistema. Estos trabajos sirvieron
para el desarrollo en la astronomía de la civilización, pues tenían un registro detallado de
la salida de las estrellas, el movimiento de los planetas, eclipses, lo que tiene relación con
el concepto de ángulo. Suponían que la esfera Celeste giraba alrededor de la tierra y que
el año tiene aproximadamente 360 días; dividieron la circunferencia en 360 partes iguales
obteniendo de esa forma el actual sistema de medida de un ángulo basado en grados.
Algunos problemas del álgebra se relacionaban con problemas geométricos, como por
ejemplo, si se da el área de un rectángulo, y la cantidad en que la longitud supera al
ancho, entonces el área cumple una ecuación cuadrática y aplicarían herramientas
algebraicas para resolverla.
8
1.3 La geometría en Grecia
Los griegos fueron grandes pensadores, a diferencia de la civilización Egipcia, no se
conformaron con la utilidad de la geometría sino que la profundizaron como una rama del
saber, buscando el descubrimiento de la verdad, procurando obtener explicaciones a los
interrogantes particulares de la geometría.
Tales, quien fue uno de los “siete sabios de Grecia”, permaneció en Egipto aprendiendo
de sacerdotes y escribas y con ellos trató de aproximar la altura de la pirámide de Keops,
y trató de predecir un eclipse solar. La Geometría griega considera los objetos y formas
que percibimos en la realidad como objetos ideales que pueden ser trabajados
mentalmente y utilizando herramientas como la regla y el compás, ya no se trataba de un
triángulo en una pirámide particular sino un triángulo cualquiera que puede ser abstraído
por la mente, y a partir de allí manipularlo y estudiarlo con las propiedades y herramientas
construidas en la realidad. Sin embargo, muchos problemas se resistieron a su solución
únicamente por medio de la regla y el compás, entre ellos la duplicación del cubo, la
cuadratura del círculo o la trisección del ángulo. Tales y Pitágoras son dos de los grandes
personajes de la historia que trabajaron en el concepto de número y le dieron la
importancia a la aritmética y la geometría que para la época no tenían clara su distinción.
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A Tales de Mileto se adjudican los siguientes teoremas de la geometría que fueron
demostrados de forma intuitiva, pues no hay evidencia de su construcción:
a. Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.
b. Todo círculo queda dividido en dos partes iguales por su diámetro.
c. Los ángulos de la base en un triángulo isósceles son iguales.
d. Los ángulos opuestos por el vértice en dos rectas que se cortan son iguales.
e. El teorema de congruencia de triángulos: ángulo, lado, ángulo.
Pitágoras y su escuela, los pitagóricos, descubren muchas propiedades de triángulos y
pentágonos a partir de su símbolo, una estrella de cinco puntas, además impulsan a la
geometría hacia el centro de su trabajo, por lo que se profundiza en el concepto de
demostración, y por medio de esta se llega al concepto de verdad en Geometría. El y sus
discípulos demostraron algunas proposiciones, entre ellas la siguiente: “el cuadrado
construido con un lado igual al mayor de los lados de un triángulo rectángulo, tiene un
área igual a la suma de las áreas de los cuadrados cuyos lados son los otros dos lados
del triángulo” lo que conocemos hoy en día como el teorema de Pitágoras.
Lo anterior dio pie para que Eratóstenes pudiese medir la tierra, o la distancia a la luna, y
origino la invención de la palanca a manos de Arquímedes varios años después.
Con los profundos conocimientos que Eratóstenes tenía, diseñó una esfera para realizar
observaciones astronómicas. El gran hallazgo de Eratóstenes tuvo lugar un 21 de junio.
Durante el mediodía de aquel solsticio de verano, el sabio tomó un papiro de la biblioteca
y supo que en Siena un palo no proyectaba su sombra sobre el suelo; movido por su
curiosidad científica, decidió comprobar lo mismo en Alejandría.
Al mediodía de ese 21 de junio se dio cuenta que sí proyectaba sombra. Ante el acertijo
de por qué razón el mismo palo proyectaba sombra en un lugar y no en otro, Eratóstenes
se cuestionó hasta concluir que no podría deberse sino a que la tierra no era plana, sino
que era redonda.
Eratóstenes midió los ángulos que formaban las diferentes sombras proyectadas por los
palos en Siena y Alejandría, respectivamente, llevaron al sabio a deducir que existía una
10
diferencia de unos siete grados. Dedujo que si una circunferencia tiene 360º, la
cincuentava parte de esta sería siete; teniendo en cuenta la distancia que existía entre las
dos ciudades, que era de unos ochocientos kilómetros, dedujo la fórmula encontrando que
la tierra debía medir aproximadamente cuarenta mil kilómetros.
Aunque tendrían que pasar cerca de dos milenios para poder comprobarlo con
instrumentos de alta precisión, el hallazgo de Eratóstenes es un hito en la ciencia hasta
hoy. Además, este geómetra calculó con mucha aproximación la duración del año y
sugirió un calendario, hoy llamado calendario Juliano.
Euclides, matemático y geómetra griego propone un sistema por medio del cual a partir de
algunas definiciones claras intuitivamente se puedan deducir todas las propiedades y
resultados importantes en la geometría. Su obra “Los elementos”, es el compendio de 13
libros en los que se encuentra contenida gran parte de la geometría de la época y que
sirvió como texto para la enseñanza de la geometría por más de 2000 años. Su
importancia se basa en el tipo de razonamiento que maneja, pues todo el contenido
puede ser demostrado o deducido a partir de axiomas, lo que se conoce como el método
axiomático. Toda la geometría allí consignada se organiza a partir de definiciones y cinco
postulados que se puede decir son evidentes y no necesitan ser demostrados.
Los axiomas o nociones comunes enunciadas a continuación, son verdades evidentes en
sí mismas y son válidas en toda ciencia:
a. Las cosas iguales a una misma cosa son también iguales entre sí.
b. Y si se añaden cosas iguales a cosas iguales, los totales son iguales.
c. Y si de dos cosas iguales se quitan cosas iguales, los restos son iguales.
d. Y las cosas que coinciden entre si son iguales entre sí.
e. Y el todo es mayor que la parte.
Los postulados de Euclides son los siguientes:
1. Dados dos puntos se puede trazar una recta que los une.
2. Cualquier segmento puede prolongarse de manera continua en cualquier sentido.
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3. Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier
radio.
4. Todos los ángulos rectos son congruentes.
5. Si una recta, al cortar a otras dos, forma ángulos internos menores a dos ángulos
rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que
están los ángulos menores que dos rectos (ver quinto postulado de Euclides).
En esta obra se incluyen por ejemplo, la demostración del famoso teorema de Pitágoras,
en la cual se utilizan 28 resultados ya demostrados en “los Elementos”
Es importante resaltar que toda la geometría desarrollada por Euclides se muestra
utilizando únicamente regla y compás, por lo que el estudio de las cónicas no se
encuentra allí contenido.
En “Los Elementos” se demuestra por ejemplo que la suma de los ángulos interiores de
un triángulo es 180°, se describen algunas definiciones de recta, segmento, superficie, y
se indica cómo realizar las principales construcciones con regla y compás. Los teoremas y
problemas enunciados en la obra tienen el siguiente esquema:
a. Enunciado general
b. Figura
c. Enunciado particular
d. Construcción
e. Demostración
La estructura anterior es lo que se conoce como método axiomático, en donde se definen
los objetos, se establecen elementos lógicos que uno a uno irán llevando a cabo la
demostración en donde se deducen cada una de las proposiciones existentes.
Lo anterior le da a la geometría un carácter deductivo, en el cual se estudian las
propiedades de las figuras geométricas y sus relaciones, y además utilizando la lógica se
realizan demostraciones que llevan a nuevas verdades. Los astrónomos y agrimensores
empiezan a tomar estos conocimientos y a aplicarlos en otras ciencias, como el arte y la
arquitectura, de donde se origina la trigonometría y la geodesia.
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Pappus, matemático Griego, perfeccionó la geometría superior, teoría de las secciones
cónicas y formuló algunas proposiciones fundamentales en el cálculo infinitesimal y la
geometría proyectiva. Después de Pappus la historia de la geometría no tiene avances
significativos por la destrucción de la Universidad y la incineración de la Biblioteca de
Alejandría. Con esto los geómetras se esparcen alrededor del mundo en donde los
aportes disminuyen y en interés por la geometría y sus avances se pierde, utilizándola
únicamente en el arte y la arquitectura, lo que le dio un retroceso de siglos. La geometría
vuelve a Egipto, que permite su trasmisión a Europa en la época del renacimiento.
1.4 La geometría en India
En la India fue difícil la investigación sobre el origen de la geometría dado que se
acostumbraba en esta civilización el transmitir oralmente los conocimientos. Los hindúes
conocían construcciones como el cuadrado, el círculo, el triángulo, los conos, los cilindros,
entre otras. Sabían calcular áreas empleando conceptos de semejanza y proporción y
podían dividir segmentos en partes iguales o proporcionales utilizando procedimientos
que se acercaban mucho al utilizado por Thales. Emplearon una medida aproximada al
número pi, por lo que calculaban el volumen del cono y la pirámide.
Por excavaciones arqueológicas contemporáneas se descubre el Sulva-Sutra de
Apastamba. Este hallazgo es el principal tratado de la geometría hindú, en el que se
encuentran conocimientos matemáticos empleados en la construcción de altares en forma
de trapecios isósceles, por lo que no es tomado como un tratado matemático, sino como
un conjunto de rituales religiosos. Es interesante en este documento que se emplean
triángulos rectángulos de lados externos a partir de un rectángulo cuyos lados son
proporcionales a 3 y 4.
También llama la atención que uno de los enunciados de este tratado es: “El cuadrado
construido sobre la diagonal de un rectángulo equivale a la suma de los cuadrados
construidos sobre el lado mayor y el lado menor”, lo que es un acercamiento claro al
teorema de Pitágoras.
13
1.5 De la edad Media a nuestros días
Durante la Edad media la geometría no tiene mayores avances, debido a que las escuelas
y universidades enseñan la geometría consignada en “los Elementos”. Lo único que se
trató de profundizar fue en el estudio del quinto postulado de Euclides, llegando a algunas
equivalencias. En el renacimiento el arte impulsa nuevamente la búsqueda de diferentes
propiedades en la geometría para desarrollar elementos que permitan hacer
representaciones o proyecciones, siendo necesario que se desarrollara la geometría
proyectiva con la cual se buscaba descubrir los dibujos en perspectiva de las realidades
que los grandes maestros como Leonardo Da Vinci o Leone Alberti percibían en su
entorno. Desargues en el siglo XVII es el matemático e Ingeniero Francés que
fundamentó los principios de la proyección en el arte, creando así la geometría proyectiva,
elaborando una teoría sobre coordenadas polares, la involución entre otras, por lo que es
considerado uno de los fundadores de la geometría moderna.
En la modernidad, el matemático Descartes plantea otra manera de realizar el estudio de
la geometría, introduciendo un sistema coordenado formado por un par de rectas
perpendiculares y representando cada punto como un par ordenado de números, además
permite representar figuras geométricas a través de ecuaciones. Ya no se utiliza la regla y
el compás, sino que por el contrario se utilizan expresiones numéricas llamadas
coordenadas cartesianas. En adelante se le llama a este método Geometría Analítica. La
importancia de dicha geometría radica en que en vez de relacionar figuras geométricas,
se puede relacionar polinomios de grado uno y dos lo que relaciona directamente la
geometría formal planteada por los griegos, y la estructura de los polinomios trabajada
varios siglos después.
Descartes originalmente trabajaba con coordenadas cuyas componentes positivas debido
a que los números negativos aún no habían sido trabajados a profundidad; con el tiempo
estas coordenadas fueron involucradas y las gráficas elaboradas en el plano fueron
estructuradas tal como se conocen en la actualidad.
En la modernidad, buscando ver si el quinto postulado de Euclides es independiente de
los otros cuatro, aparecen las llamadas Geometrías no Euclidianas, que hasta hoy son
objeto de investigación.
14
2. Aspectos Disciplinares
En el planteamiento de la estructura curricular el MEN propone una educación
matemática que propicie aprendizajes de mayor alcance y más duraderos que los
tradicionales, que no solo se haga énfasis en el aprendizaje de conceptos y
procedimientos sino en procesos de pensamiento aplicables y útiles por lo que plantean
relacionar los contenidos de aprendizaje con la experiencia cotidiana y contextualizar los
problemas ya sea en la misma matemática, con la vida diaria o con otras ciencias.
Para la construcción de la estructura curricular el MEN sugiere considerar tres aspectos
fundamentales:
Los procesos generales: razonamiento, la resolución y planteamiento de
problemas, la comunicación, la modelación y la comparación, elaboración y
ejercitación de procedimientos.
Conocimientos básicos: pensamiento espacial y sistemas geométricos (en
particular para esta propuesta)
El contexto
En los sistemas geométricos se hace énfasis en el desarrollo del pensamiento espacial
considerado como el conjunto de procesos cognitivos mediante los cuales se construyen y
se manipulan las representaciones mentales de los objetos del espacio, las relaciones
entre ellos, sus transformaciones, y sus diversas traducciones a representaciones
materiales.
Particularmente en la educación básica primaria en los niveles primero, segundo y tercero
se trabajan diversas competencias de la geometría que se pueden resumir en los
siguientes estándares:
Diferenciar atributos y propiedades de objetos tridimensionales.
Dibujar y describir cuerpos o figuras tridimensionales en distintas posiciones y
tamaños.
Reconocer nociones de horizontalidad, verticalidad, paralelismo y
perpendicularidad en distintos contextos y su condición relativa con respecto a
diferentes sistemas de referencia.
Representar el espacio circundante para establecer relaciones espaciales.
15
Reconocer y aplicar traslaciones y giros sobre una figura.
Reconocer y valorar simetrías en distintos aspectos del arte y el diseño.
Reconocer congruencia y semejanza entre figuras.
Realizar construcciones y diseños utilizando cuerpos y figuras geométricas
tridimensionales y dibujos o figuras geométricas bidimensionales.
Desarrollar habilidades para relacionar dirección, distancia y posición en el
espacio.
Para cuarto y quinto tenemos los siguientes estándares:
Comparar y clasificar objetos bidimensionales de acuerdo con componentes
(lados, ángulos y vértices) y características.
Comparar y clasificar objetos tridimensionales de acuerdo con componentes
(caras, lados) y propiedades.
Identificar, representar y utilizar ángulos en giros, aberturas, inclinaciones, figuras,
puntas y esquinas en situaciones estáticas y dinámicas.
Utilizar sistemas de coordenadas para especificar localizaciones y describir
relaciones espaciales.
Identificar y justificar relaciones de congruencia y semejanza entre figuras.
Construir y descomponer figuras y sólidos a partir de condiciones dadas.
Conjeturar y verificar los resultados de aplicar transformaciones a figuras en el
plano para construir diseños.
Construir objetos tridimensionales a partir de representaciones bidimensionales y
realizar el proceso contrario en contextos de arte, diseño y arquitectura.
Teniendo en cuenta dichos estándares y las competencias que deben ser desarrolladas
por los estudiantes al finalizar la primaria, esta propuesta tiene como objetivo abordar los
siguientes temas:
1. Nociones básicas
2. Ángulos, construción, medición y clasificación.
3. Rectas paralelas y perpendiculares.
4. Polígonos
16
a. Clasificación según su forma.
b. Clasificación según la medida de los lados y ángulos
c. Construcción de polígonos regulares.
5. Circunferencia y círculo
A continuación veremos algunos conceptos importantes para tener en cuenta.
2.1 Nociones preliminares
Enunciaremos entonces algunos conceptos que se tendrán en cuenta para ser enseñados
y aplicados en la unidad didáctica. Es de anotar que este capítulo se basa en el libro
Geometría Moderna, de Edwin E. Moise, del cual se han tomado definiciones, postulados
y resultados que se consideran básicos para el desarrollo del trabajo. Se considera este
texto por la forma en la que aborda los conceptos básicos de la geometría a partir de la
teoría de conjuntos y los números reales, lo que lo hace un texto un poco más fácil de
abordar, teniendo en cuenta los propósitos del presente trabajo.
Al tratar de ofrecer una definición de un nuevo término, lo hacemos empleando otros
términos que ya se hayan definido con anterioridad. Pero las definiciones no pueden
siempre formularse de esa manera. La primera definición, por ejemplo, no puede
enunciarse así porque no hay términos definidos con anterioridad. Por consiguiente
emplearemos los más sencillos y fundamentales sin intentar definirlos. Estos términos no
definidos serán el punto, la recta y el plano.
A medida que se van presentando axiomas y probando o enunciando teoremas, estos
elementos de la geometría irán adquiriendo sus propiedades, lo cual nos irá ampliando el
entendimiento de ellos. Aunque estos conceptos no los definimos, los representamos y los
podemos asociar por medio de dibujos.
2.1.1 Punto: Según los elementos de Euclides, un punto es aquello que no tiene partes,
es decir, no tiene longitud, ni ancho, ni profundidad, es un objeto práctico que se obtiene
17
por la señal más sutil que imprime una pluma. El punto es una figura geométrica sin
dimensiones que describe una posición en el espacio definido por un sistema de
coordenadas preestablecido, que puede ser un sistema de coordenadas cartesiano, polar,
esférico o cilíndrico entre otros. El punto carece de área.
Representaremos el punto de la siguiente manera, y lo nombraremos con letras
mayúsculas.
En la figura anterior se observan: el punto A, el punto B y el punto C.
2.1.2 Recta: Según Euclides, la línea es una longitud sin anchura, latitud ni profundidad,
es el camino recorrido por un punto móvil conservando una dirección. En la geometría
analítica las rectas pueden ser representadas mediante ecuaciones con dos variables en
el plano cartesiano. Las flechas de los extremos indican que la recta se extiende
indefinidamente en ambas direcciones.
Notación
Las puntas de flecha nos servirán para recordarnos que la recta no termina en los puntos
donde finaliza el dibujo.
2.1.3 Segmento: Se emplea la palabra segmento para una línea como la que se tiene a
continuación:
18
Notaremos este segmento como
Un cordel fino bien estirado es una buena aproximación de segmento. Una cuerda
delgada de piano, tirante, mediante una fuerte tensión, es una aproximación aún mejor; y
así sucesivamente.
2.1.4 Plano: Es un elemento ideal que posee dos dimensiones, según Euclides es una
superficie que tiene longitud y anchura; contiene infinitos puntos y rectas. Podemos
imaginarlo como la extensión del piso del salón o una hoja de cuaderno. Es un objeto
geométrico que no posee volumen, por lo que es bidimensional y se extiende
indefinidamente en todas las direcciones.
2.2 Medición y unidades de distancia
Medir un segmento de recta es compararlo con otro que se toma como unidad.
Existen varios sistemas de unidades para medir segmentos, entre otros el sistema inglés
o sistema métrico decimal. También podemos encontrar muchos instrumentos para medir,
utilizaremos la regla graduada en centímetro y milímetros, que se coloca sobre el
segmento haciendo coincidir el 0 de la regla con uno de los extremos del segmento. El
número en la regla que señala el otro extremo del segmento es su medida. Una vez
elijamos una unidad, para cualquier par de puntos P, Q, existe un número que nos dice
cuál es la distancia que hay entre P y Q. A este número le llamaremos la distancia entre P
y Q. Esto lo veremos más precisamente en el siguiente postulado.
Postulado: A cada par de puntos P y Q cualesquiera les corresponde un número positivo
único. A este número lo definiremos como la distancia entre P y Q e indicamos la
distancia por .
19
Es posible que P=Q, por lo que son el mismo punto y en este caso la distancia es 0. La
distancia se define simplemente con relación a un par de puntos y no depende del orden
en que se consideren los puntos. En consecuencia se tiene que
La distancia entre dos puntos es siempre positiva, por lo que se toma el valor absoluto de
la diferencia de los números que le corresponde a cada punto sobre la regla. Esto se
resume en el siguiente postulado que llamamos el postulado de la regla, porque, en
efecto, nos proporciona una regla infinita que puede colocarse sobre cualquier recta y,
mediante ella, podemos medir la distancia entre dos puntos cualesquiera:
Postulado: Podemos establecer una correspondencia entre dos puntos de una recta y los
números reales de manera que:
1. A cada punto de la recta corresponde exactamente un número real;
2. A cada número real corresponde exactamente un punto de la recta; y
3. La distancia entre dos puntos cualesquiera es el valor absoluto de la diferencia de los
números correspondientes.
El postulado de la regla nos dice que podemos, sobre cualquier recta, fijar un sistema de
coordenadas marcando una escala numérica, lo que puede hacerse de muchas maneras
diferentes, por lo que enunciamos el siguiente postulado:
Postulado: Dados dos puntos P y Q de una recta, se puede escoger que el sistema de
coordenadas de P sea cero y la coordenada de Q sea positiva.
Un punto B se puede encontrar entre A y C, por lo que diremos que B está entre A y C si,
A, B y C son puntos distintos de la misma recta y además
Podemos observar a partir de lo anterior que si A, B y C son tres puntos distintos de la
misma recta, entonces exactamente uno de ellos está entre los otros dos. Tendremos
entonces en cuenta el siguiente postulado:
Dados dos puntos distintos cualesquiera, hay exactamente una recta que los contiene.
20
Es importante que demos una definición formal para la idea intuitiva que ya dimos de
segmento, por lo que lo haremos a continuación:
Para dos puntos cualesquiera A y B, el segmento es el conjunto de los puntos A y B y
de todos los puntos que están entre A y B. Los puntos A y B se llaman extremos de .
Diremos que el número es la longitud del segmento
Otra figura geométrica importante es el rayo o semirrecta que se representa de la
siguiente manera:
Notación n:
El inicio de la semirrecta es el punto A y lo llamamos origen, y a partir de este punto la
semirrecta se extiende en una sola dirección y pasa por el punto B. La definición
matemática es la siguiente:
Definición: Sean A y B dos puntos de una recta L. El Rayo es el conjunto de puntos
que es la unión del segmento y el conjunto de todos los puntos C para los cuales es
cierto que B está entre A y C. El punto A se llama extremo de . Además decimos que
si A está entre B y C en L, entonces los dos rayos y tendrán sentidos opuestos y
los llamaremos rayos opuestos.
Un punto B se llama punto medio del segmento , si B está entre A y C y además
. Además decimos que el punto medio de un segmento biseca al
segmento.
Nótese que todo segmento tiene exactamente un punto medio.
21
2.3 Ángulos
Si dos rayos tienen un mismo origen o extremo, pero no están en la misma recta,
entonces su reunión es un ángulo. Las dos semirrectas las llamamos los lados del ángulo
y el punto de origen de las semirrectas lo llamamos vértice.
Un ángulo se puede denotar de diferentes maneras, a continuación se presentan tres de
ellas
Forma 1:
Se escribe el símbolo < y la letra que indica el vértice. <A
Forma 2: Se escribe el símbolo < y tres letras mayúsculas que indican tres puntos: el
vértice y un punto de cada uno de sus lados. La letra del vértice siempre va en el centro:
<EAD
Forma 3: Se escribe el símbolo < y un número: <1
En la trigonometría, distinguimos entre el <CAB y el <BAC. En el <CAB, es el lado
inicial y es el lado terminal, mientras que en <BAC es al contrario. Ángulos como estos
se llaman orientados.
1
22
2.3.1 Medición
Esto podría ir en las actividades como guía para los niños Así como medimos segmentos
con una regla, medimos ángulos con un transportador. El número de grados de un ángulo
se llama su amplitud o medida. En la medición se debe tener en cuenta el siguiente
procedimiento:
Paso 1. Colocar el transportador de tal manera que su centro coincida con el vértice y el
0° del transportador coincida con un lado del ángulo.
Paso 2. Observar en el transportador el número por donde pasa el otro lado del ángulo.
Este número corresponde a su medida en grados.
2.3.2 Construcción
Para construir ángulos con una medida determinada se usa el transportador y se puede
tener en cuenta el siguiente procedimiento.
Paso 1. Trazar una semirrecta y marcar el punto A como vértice del ángulo.
Paso 2. Colocar el transportador de tal manera que el centro coincida con el punto A y el 0
del transportador coincida con la semirrecta
Paso 3. Marcar un punto donde el transportador indique el ángulo que se desea trazar.
Paso 4. Trazar la semirrecta que une el punto A con el punto que se marcó en el paso
anterior.
23
Debemos tener en cuenta que a cada ángulo <BAC le corresponde un número real entre
0 y 180. Este número dado se llama medida de <BAC y se escribe m<BAC. También es
importante considerar el siguiente postulado:
Postulado: Sea un rayo. Para cada número entre 0 y 180 hay exactamente un rayo
, tal que
Podemos calcular medidas de ángulos por adición y por sustracción, dado que si D está
en el interior de <BAC, admitimos como postulado que .
Definición: Si y son rayos opuestos, y es otro rayo cualquiera, entonces
<MNP y <ONP forman un par lineal.
Diremos que dos ángulos α y β son suplementarios si la suma de sus medidas es igual a
180°. Cada ángulo se denomina el suplemento del otro.
Admitiremos que si dos ángulos forman un par lineal, entonces son suplementarios.
24
2.3.3 Ángulos rectos, perpendicularidad, ángulos congruentes.
Si los ángulos de un par lineal tienen la misma medida, entonces cada uno de ellos se
llama ángulo recto.
De lo anterior podemos concluir las siguientes definiciones:
Un ángulo recto es un ángulo cuya medida es 90°. Además si dos rayos y forman
un ángulo recto, entonces se llaman perpendiculares.
Si la suma de las medidas de los ángulos es 90°, entonces los ángulos se llaman
complementarios, y cada uno se llama el complemento del otro. Un ángulo con medida
menor que 90° se llama agudo. Un ángulo con mayor medida que 90° se llama obtuso.
Dos ángulos con la misma medida se llaman ángulos congruentes. Si <ABC y <DEF son
congruentes escribimos lo que es equivalente a que m<ABC=m<DEF.
Definición: Cuando dos rectas se intersecan, forman cuatro ángulos.
25
En la figura anterior y se llaman ángulos opuestos por el vértice.
Dos ángulos son opuestos por el vértice si sus lados forman dos pares de rayos opuestos.
Teorema: los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.
Demostración: Para la demostración tendremos en cuenta el siguiente gráfico
El ángulo <AOD es un ángulo llano y su amplitud es β+δ
El ángulo <BOC es un ángulo llano y su amplitud es α+δ
Los ángulos <AOD y <BOC son congruentes por ser ángulos llanos, por lo que su
amplitud es la misma, de donde tenemos que:
Por lo que cancelando δ a ambos lados tenemos que α=β, por lo que los ángulos <AOB y
<COD son congruentes.
26
2.3.4 Bisectriz de un ángulo
Si D está en el interior de <BAC, y , entonces biseca al <BAC, y se
llama bisectriz del <BAC.
Teorema: Todo ángulo tiene exactamente una bisectriz, además las bisectrices de los
ángulos opuestos por el vértice están en línea recta.
En el capítulo 2.4 se muestra una manera de construir la bisectriz de un ángulo usando
solamente regla y compás.
2.3.5 Rectas paralelas:
Dos rectas en el espacio pueden estar situadas de tres maneras distintas. En primer lugar
pueden intersectarse en un punto, por lo que deben pertenecer al mismo plano. En
segundo lugar pueden no intersectarse y no pertenecer al mismo plano, por lo que se
llaman rectas albeadas. Finalmente, las rectas pueden ser paralelas.
Dos rectas son paralelas si se encuentran en el mismo plano y no tienen ningún punto en
común, es decir, no se intersectan. Lo denotamos .
Postulado: (Quinto postulado o postulado de las paralelas): Por un punto exterior a una
recta pasa una paralela y solo una a dicha recta.
Se puede probar que dos rectas diferentes paralelas a una tercera, son paralelas entre sí,
además dos rectas diferentes en un plano son paralelas entre sí, si ambas son
perpendiculares a la misma recta.
27
2.3.6 Ángulos entre rectas paralelas:
Una secante a dos rectas que pertenecen al mismo plano, es una recta que las intersecta
en dos puntos diferentes. En el siguiente ejemplo T es la secante e intercepta a y
Los ángulos <1, <2, <7, y <8 los llamaremos ángulos externos, mientras que los ángulos
<3, <4, <5 y <6 los llamaremos ángulos internos.
Por otro lado los ángulos <3 y <6 son alternos pero a su vez son internos, por lo que los
llamaremos alternos internos. Lo mismo sucede con los ángulos <4 y <5.
Los ángulos <1 y <7 son alternos pero a su vez son externos, por lo que los llamaremos
alternos externos. Lo mismo sucede con los ángulos <2 y <8.
Los ángulos <2 y <5 los llamaremos ángulos correspondientes. Lo mismo sucede con las
siguientes parejas de ángulos: <1 y <6, <4 y <8, y <3 y <7
A continuación describimos algunos teoremas para tener en cuenta:
Teorema: Si dos ángulos alternos internos son congruentes entonces las rectas son
paralelas.
El reciproco también se tiene y también se cumple cuando los ángulos congruentes son
los alternos externos.
28
También se puede comprobar que si dos rectas son cortadas por una secante formando
ángulos correspondientes congruentes entre sí, entonces las rectas son paralelas. El
reciproco también se tiene
2.4 Triángulos
Si A, B, C son tres puntos cualesquiera no alineados, entonces la reunión de los
segmentos se llama triángulo, y se simboliza .
Los puntos A, B, C se llaman vértices del triángulo, los segmentos se
denominan lados del triángulo y los ángulos <A, <B, y <C se denominan ángulos del
triángulo. Además sea <BCA un ángulo. Un punto P está en el interior del ángulo si P y B
están del mismo lado de la recta y P y C están del mismo lado de la recta . El
exterior del ángulo <BCA es el conjunto de todos los puntos E que no están en el ángulo y
que tampoco están en su interior.
29
Un punto está en el interior de un triángulo, si está en el interior de cada uno de los
ángulos de los ángulos del triángulo. Un punto está en el exterior de un triángulo, si está
en el plano del triángulo, pero no está en el triángulo o en su interior.
2.4.1 Congruencia de triángulos
Se debe tener en cuenta para esta sección que dos ángulos son congruentes si tienen la
misma medida. Dos segmentos son congruentes, si tienen la misma longitud.
Dos triángulos son congruentes si los tres lados de uno son respectivamente congruentes
con los tres lados del otro y los tres ángulos de uno son respectivamente congruentes con
los tres ángulos del otro. Se puede observar que dos triángulos congruentes tienen la
misma forma y el mismo tamaño. Nos referimos a los elementos que son congruentes en
dos triángulos, como elementos correspondientes.
Si superponemos los elementos correspondientes de dos triángulos congruentes, éstos
coinciden. Definiremos formalmente lo que intuitivamente hemos expuesto:
Definición: Sea una correspondencia entre los vértices de dos triángulos. Si
los pares de lados correspondientes son congruentes, y los pares de ángulos
correspondientes son congruentes, entonces la correspondencia se llama una
congruencia entre los dos triángulos.
Cuando escribimos , queremos decir que la correspondencia es una
congruencia. En las figuras, a veces conviene indicar congruencias entre segmentos y
ángulos del modo siguiente:
30
Un lado de un triángulo se dice estar comprendido por los ángulos cuyos vértices son los
extremos del segmento. Además, un ángulo de un triángulo se dice estar comprendido
por los lados del triángulo que están en los lados del ángulo.
Por ejemplo, en anterior, está comprendido por los ángulos <A y <C, y el < A
está comprendido por los lados y
Para probar que dos triángulos son congruentes no es necesario mostrar la congruencia
de todos sus lados y ángulos. Las condiciones mínimas que deben cumplir dos triángulos
para que sean congruentes se establecen a través de los criterios de congruencia, que
nos permiten probar la congruencia con menos información. Los criterios son los
siguientes:
1. Criterio LAL: Dos triángulos son congruentes si dos de sus lados respectivos son
congruentes y el ángulo comprendido entre ellos también lo es
2. Criterio ALA: Dos triángulos son congruentes si dos de sus ángulos respectivos
son congruentes y el lado entre ellos también lo es.
31
3. Criterio LLL: Dos triángulos son congruentes si los tres lados son congruentes
respectivamente
Se aplicarán los postulados a correspondencias entre dos triángulos diferentes, aunque
se puede establecer la correspondencia de un triángulo consigo mismo, y aun así, los tres
postulados anteriores son válidos. No existe el postulado LLA, pues los triángulos podrían
llegar a tener la misma forma pero no el mismo tamaño, relación entre triángulos a las que
llamamos semejanza.
32
Veremos a continuación una construcción que no habíamos podido realizar en el capitulo
2.2
Para trazar la bisectriz con regla y compás se debe tener en cuenta el siguiente
procedimiento:
1. Trazar el ángulo
2. Trazar con el compás, un arco, tomando como centro el vértice A del ángulo, y
cualquier amplitud, luego marcar los puntos de intersección del arco con los lados
del ángulo B y C
3. Sin cambiar la amplitud del compás, trazar un arco con centro en B y otro con
centro en C de forma que se intercepten, marcar este nuevo punto con D
33
4. Unir el vértice A con el punto D, esta línea es la bisectriz
Podemos ver que la línea trazada anteriormente es la bisectriz en la siguiente
demostración:
En primer lugar observemos que ya que estos dos segmentos son radios del
mismo arco de circunferencia. Además ya que los dos arcos que se trazaron
para encontrar el punto D tienen el mismo radio. Por otro lado teniendo en
cuenta la propiedad reflexiva de la igualdad.
Por las tres afirmaciones anteriores tenemos que los triángulos son congruentes, es decir
. Concluimos de lo anterior que el ángulo A está dividido en dos ángulos
congruentes, ya que por lo que el segmento es la bisectriz del ángulo
A.
34
2.4.2 Clasificación de Triángulos
Los triángulos se pueden clasificar de acuerdo a la longitud de sus lados o por la amplitud
de sus ángulos. Veamos algunos teoremas y definiciones al respecto
Podemos verificar que si dos lados de un triángulo son congruentes, entonces los ángulos
opuestos a estos lados son congruentes. Es decir, en el triángulo Si ,
entonces
Un triángulo con dos lados congruentes se llama Isósceles. En un triángulo isósceles, el
ángulo formado por los lados congruentes se llama ángulo del vértice, los dos ángulos
asociados con la base son ángulos en la base, y el lado opuesto se llama base del
triángulo. En la figura <D es el ángulo del vértice y es la base.
Un triángulo con sus tres lados congruentes se llama equilátero.
Un triángulo es equiángulo si todos sus ángulos son congruentes. Se puede comprobar
que todo triángulo equilátero, es equiángulo y viceversa.
Un triángulo para el cual dos lados cualesquiera no son congruentes se llama escaleno.
35
Un triángulo es obtusángulo si uno de sus ángulos interiores es obtuso
Un triángulo es acutángulo cuando sus tres ángulos interiores son agudos
Un triángulo es rectángulo si tiene un ángulo interior recto. A los dos lados que conforman
el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.
36
2.4.3 Otros teoremas relevantes en los triángulos
Otro teorema que podemos comprobar relaciona la longitud de los lados con la medida de
los ángulos. En un triángulo al lado de mayor longitud se opone el ángulo de mayor
amplitud y recíprocamente. Además la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera
de un triángulo es mayor que la longitud del tercer lado.
Es fácil deducir que ángulos congruentes se oponen lados congruentes
Observa en el siguiente triángulo que los ángulos D y F son congruentes, y sus lados
opuestos f y d también lo son:
Teorema: la suma de los ángulos interiores de cualquier triangulo es 180°
Demostración:
37
1. Observa que los ángulos interiores del triángulo son <P, <Q y <R.
2. La recta sombreada en amarillo que pasa por Q, es paralela al segmento que une
a P con R.
3. Los ángulos <R y <b son alternos internos, por lo que son congruentes.
4. Los ángulos <P y <a son alternos internos, por lo que son congruentes.
5. Los ángulos <a, <Q y <b, forman un ángulo llano, por lo que su amplitud es 180°
6. Por el ítem 5 tenemos que: a+Q+b=180°
7. Utilizando los ítems 3 y 4, reemplazándolos en 6, tenemos que P+Q+R=180°
Por lo tanto la suma de los ángulos interiores del triángulo es 180°
2.4.4 Líneas notables de un triángulo
Una altura de un triángulo es el segmento de recta perpendicular trazado desde un vértice
del triángulo hasta la recta que contiene al lado opuesto.
La palabra altura se utiliza de otras dos maneras. En primer lugar a la longitud de una
altura también se le llama altura, y a una recta que contiene a la altura también se le llama
Base
Altura=h
38
altura. El triple uso de la palabra podría generar confusión, pero generalmente no la
causa, ya que en la mayoría de los cosas el contexto nos aclara el significado.
Las alturas del triángulo se interceptan en un punto llamado ortocentro
39
La mediana es el segmento de recta cuyos extremos son un vértice del triángulo y el punto
medio del lado opuesto. Las medianas de un triángulo se interceptan en un punto llamado
baricentro.
Dado un segmento , la recta perpendicular al segmento en su punto medio, se llama
mediatriz de . Podemos trazar entonces las mediatrices de cada uno de los lados del
triángulo
La mediatriz de un segmento en un plano, es el conjunto de todos los puntos del plano
que equidistan de los extremos del segmento.
40
Las tres mediatrices de un triángulo se intersectan en un punto llamado circuncentro que
es equidistante de los tres vértices del triángulo. Por lo tanto los tres vértices del triángulo
son puntos que pertenecen a la circunferencia circunscrita del triángulo.
Podemos trazar las bisectrices de los tres ángulos interiores del triángulo y se interceptan
en un punto llamado incentro que corresponde al centro de la circunferencia inscrita.
Todo punto de la bisectriz de un ángulo equidista de los lados del ángulo. También se
puede probar que en un triángulo isósceles, la bisectriz del ángulo del vértice es a la vez
la altura, la mediana y la mediatriz de la base.
41
2.4.5 Semejanza de triángulos
Se dice que dos figuras geométricas son semejantes si tienen la misma forma aunque su
tamaño y orientación sea diferente. En el caso de los triángulos, la forma sólo depende de
los ángulos, por lo que para determinar si dos triángulos son semejantes, los ángulos
deben ser congruentes dos a dos.
Definición: supongamos que hay una correspondencia entre los triángulos y
Si los ángulos correspondientes son congruentes y además se satisface que
Entonces decimos que la correspondencia es una semejanza y decimos que los triángulos
son semejantes.
Estudiaremos ahora polígonos de más de tres lados, pero veremos que varias de sus
propiedades se deducirán a partir de algunas de las propiedades que hemos enunciado
para los triángulos
42
2.5 Regiones poligonales
Una región triangular es la reunión de un triángulo y su interior.
Una región poligonal, es una figura plana que se forma al reunir un número finito de
regiones triangulares.
Si una figura puede dividirse en regiones triangulares, ello es posible de muchas maneras.
2.5.1 Generalidades de los polígonos
El lado de un polígono es cada uno de los segmentos que conforman el polígono.
Llamamos vértice a cada uno de los puntos extremos de los lados. Una diagonal es el
segmento que une dos vértices no consecutivos.
43
Teorema: En un polígono de n lados el número de diagonales está dado por la
expresión:
Demostración:
1. Primero observa que un polígono de n lados tiene n vértices.
2. Desde uno de los vértices podemos trazar diagonales, ya que la diagonal no
puede ir a sí mismo ni a los vértices más próximos a él:
3. Pero nosotros podemos observar esto mismo en cualquiera de los n vértices del
polígono, por lo que podemos trazar diagonales.
4. Debemos tener en cuenta que cada diagonal la hemos contado dos veces, una
cuando el vértice es inicial, y otra cuando el vértice es final por lo que dividimos
entre dos para obtener el número de diagonales de un polígono regular.
Ejemplo en un polígono de 7 lados se tiene
Por lo que el polígono de 7 lados tiene 14 diagonales
44
El Perímetro se calcula sumando las longitudes de todos los lados del polígono.
Un ángulo interior es el ángulo formado, internamente al polígono, por dos lados
consecutivos.
Teorema: En un polígono de n lados la suma de los ángulos interiores S está dado por la
ecuación:
Demostración:
En un polígono de n lados podemos dibujar n-3 diagonales, que forman n-2 triángulos
La suma de los ángulos internos de esos triángulos es igual a la suma de los ángulos
internos del polígono de n lados, y como para cada triángulo la suma de los ángulos
internos es de 180°, para los n-2 triángulos que se trazaron la suma es
Ejemplo: En un polígono de 7 lados por ejemplo se tiene que
45
2.5.2 Clasificación de polígonos
Los polígonos se pueden clasificar teniendo en cuenta tres criterios:
1. Según su forma
Un polígono A se llama convexo, si para cada dos puntos P y Q del polígono, todo el
segmento está en el interior del polígono.
Un polígono cóncavo es aquel que no es convexo. Se puede probar Un polígono cóncavo
tiene por lo menos uno de sus ángulos mayores a 180°
46
2. Según la longitud de sus lados y medida de los ángulos
Un polígono es equilátero si todos sus lados son congruentes.
Un polígono es equiángulo si todos sus ángulos son congruentes.
Un polígono es regular si es equilátero y equiángulo.
47
Un polígono es irregular si por lo menos tiene un lado que no es congruente con los otros
lados del polígono
En particular la siguiente tabla muestra algunos resultados relacionados con polígonos
convexos.
Nombre del
polígono
No de Lados Diagonales Suma de los
ángulos
interiores
Gráfico
Triángulo 3 0 180°
Cuadrilátero 4 2 360°
Pentágono 5 5 540°
Hexágono 6 9 720°
Heptágono 7 14 900°
48
Octágono 8 20 1080°
Nonágono 9 27 1260°
Decágono 10 35 1440°
Endecágono 11 44 1620°
Dodecágono 12 54 1800°
2.5.3 Construcción de polígonos regulares
A continuación se ilustra la manera de construir polígonos regulares. Para ello se deben
seguir los pasos dados a continuación:
1. Trazar una circunferencia
2. Dividir el ángulo central que mide 360° en n ángulos congruentes con amplitud
igual a
. Unir el centro con cada uno de los puntos que determinan dichos
ángulos.
3. Unir los puntos sobre la circunferencia
Nota: Teóricamente existen polígonos regulares de cualquier número de lados. Se debe
tener en cuenta que no todos los polígonos se pueden construir físicamente por este
procedimiento, ya que por ejemplo, el polígono de 7 lados requiere que se divida 360°
entre 7 partes iguales, lo que no podremos lograr.
49
Observa el siguiente ejemplo para la construcción de un pentágono regular
1. Trazar una circunferencia
2. Como el pentágono tiene 5 lados, debemos construir 5 ángulos congruentes de
amplitud igual a
.
3. Unir el centro del circulo con los puntos determinados sobre la circunferencia
4. Unir los puntos que se obtienen sobre la circunferencia.
50
2.5.4 Cuadriláteros
Sean A, B, C y D cuatro puntos que pertenecen al mismo plano. Si tres cualesquiera de
ellos no están alineados, y los segmentos , , y se intersectan solamente en
sus extremos, entonces la reunión de los cuatro segmentos se llama cuadrilátero. Los
cuatro segmentos se llaman lados, los puntos A, B, C, y D se llaman vértices. Los ángulos
<DAB, <ABC, <BCD y <CDA se llaman ángulos del cuadrilátero, y pueden indicarse
brevemente por <A, <B, <C y <D.
Los cuadriláteros se clasifican según el paralelismo de sus lados opuestos en:
Los paralelogramos son cuadriláteros cuyos lados opuestos son paralelos, algunas de sus
propiedades son:
Teorema: En un paralelogramo los lados opuestos son congruentes dos a dos.
Teorema: En un paralelogramo los ángulos opuestos son congruentes dos a dos.
El llamado «centro» del paralelogramo se encuentra en el punto en que se bisecan sus
dos diagonales.
A continuación describimos las diferentes clases de paralelogramos:
Si los cuatro ángulos del cuadrilátero son rectos, entonces el cuadrilátero se llama
rectángulo.
Teorema: Las diagonales de un rectángulo son congruentes.
51
Observación: Las diagonales de un rectángulo no necesariamente son perpendiculares
entre sí.
Demostración:
Observa el rectángulo MNOP
Tendremos en cuenta los triángulos MNO y PON
1. Los segmentos y son congruentes.
2. El segmento es común a los dos triángulos
3. El ángulo N y el ángulo O son rectos, por lo que son congruentes
4. Por criterio de congruencia LAL los triángulos MNO y PON son congruentes.
5. Por lo tanto los lados y son congruentes, y estas son las diagonales del
rectángulo
Ahora veamos que no son perpendiculares.
1. Supongamos que las diagonales si son perpendiculares,
2. Los ángulos <MAP y <PAO son rectos, y por lo tanto son congruentes
3. Los segmentos y son congruentes.
4. El segmento es congruente consigo mismo
5. Por el criterio LAL los triángulos MAP y OAP son congruentes
6. Los segmentos y son congruentes
7. Por lo tanto el rectángulo tiene los lados iguales lo que no sólo es cierto en los
cuadrados.
8. Podemos concluir entonces que las diagonales no son perpendiculares.
52
Un Cuadrado es un rectángulo y cuyos lados son congruentes
Teorema: Las diagonales de un cuadrado son congruentes y perpendiculares entre sí.
Demostración: Como el cuadrado es un rectángulo, y ya demostramos que las diagonales
son congruentes en los rectángulos, entonces también lo son en los cuadrados.
Veamos que son perpendiculares:
1. El segmento es congruente con sí mismo.
2. El segmento es congruente con el segmento
3. El segmento es congruente con el segmento por ser lados del cuadrado
4. Por lo tanto los triángulos RUV y TUV son congruentes por criterio LLL.
5. El ángulo <RVU es congruente entonces con el ángulo <UVT
6. Pero los dos ángulos anteriores forman un ángulo llano, por lo que
necesariamente deben ser ángulos rectos.
7. Por lo tanto las diagonales del cuadrado son perpendiculares.
53
Un rombo es un cuadrilátero cuyos lados son congruentes.
Teorema: Las diagonales de un rombo son perpendiculares.
Demostración:
1. El segmento es congruente consigo mismo
2. El segmento es congruente con el segmento
3. El segmento es congruente con el segmento
4. Por lo tanto el triángulo AEB es congruente con el triángulo AED
5. Por lo anterior los ángulos <AEB es congruente con el ángulo <AED. Pero estos
dos ángulos forman un ángulo llano, es decir, ambos deben ser ángulos rectos.
6. Por lo tanto el segmento es perpendicular con el segmento
54
Un Romboide es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son congruentes.
Los Trapecios son los cuadriláteros que tienen solo dos de sus lados son paralelos
Para hallar el área del trapecio, dividiremos la figura de la siguiente manera:
55
El área del primer triángulo es
El área del rectángulo de la mitad es
El área del segundo triángulo es
Al sumar las tres áreas tenemos:
Donde B es la base mayor del trapecio.
Los trapezoides son los cuadriláteros cuyos lados no son paralelos.
56
2.6 Circunferencia y círculo
En términos generales, una circunferencia es la frontera de una región redonda en un
plano, a continuación daremos una definición más formal de esto:
Sea un punto P y r un número positivo. La circunferencia con centro P y radio r es el
conjunto de puntos del plano que están a una distancia r del punto P. El círculo es el
conjunto de puntos que se encuentran en el interior de la circunferencia.
Algunos elementos notables de la circunferencia son los siguientes:
El centro es el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;
Un radio de una circunferencia es un segmento que tiene un extremo en el centro del
círculo, y el otro extremo es cualquier punto de la circunferencia
57
Un diámetro de una circunferencia es un segmento que une dos puntos de la
circunferencia y contiene al centro. El diámetro mide el doble del radio.
Una cuerda de una circunferencia es un segmento cuyos extremos están en la
circunferencia. El diámetro es la cuerda de longitud máxima.
Una secante es una recta que corta a la circunferencia en dos puntos.
58
Una recta tangente es la línea que intercepta a la circunferencia en un sólo punto. Este
punto recibe el nombre de punto de tangencia o punto de contácto.
Un ángulo central de una circunferencia es un ángulo cuyo vértice es el centro de la
circunferencia. En la figura la línea roja es el arco menor y la negra es el arco mayor
. En cada caso, A y B son los extremos del arco. Un arco de circunferencia se denota
con el símbolo sobre las letras de los puntos extremos del arco
59
2.7 Área de regiones poligonales
En este capítulo estudiaremos el área de regiones poligonales y aprenderemos a
calcularlas. Para esto tendremos en cuenta algunos postulados nuevos.
Postulado: A toda región poligonal le corresponde un número positivo único.
El área de una región poligonal es el número que se le asigna según el postulado anterior.
Denotaremos el área como A.
Postulado: Si dos triángulos son congruentes, entonces las regiones triangulares
determinadas por ellos tienen la misma área.
Postulado: Supongamos que la región R es la reunión de dos regiones y .
Supongamos que las dos regiones se intersecan a lo sumo en un número finito de
segmentos y puntos, entonces
El área A de una figura geométrica corresponde a la medida de la superficie que ocupa.
Así como para medir un segmento utilizamos una unidad de medida, para hallar el área
de figuras planas utilizamos como unidad de medida un cuadrado tal que la medida de su
lado sea la unidad de medida de segmentos.
Si u es la unidad de medida de segmentos, la unidad de medida de una figura plana es un
cuadrado de lado u, que llamamos unidad cuadrada o unidad de área como se muestra a
continuación:
60
Unidad de medida de segmentos Unidad de medida de áreas
Para hallar el área de una figura plana que denotamos A, debemos ver cuántas unidades
cuadradas o partes de estas “caben” en la figura. Por ejemplo, en el rectángulo de la
siguiente figura “caben” 15 unidades cuadradas, luego su área es .
Formalizaremos lo anterior utilizando el siguiente postulado:
Postulado: El área de una región cuadrada es el cuadrado de la longitud de su lado.
Si queremos hacer el mismo procedimiento con un triángulo, vemos que es difícil calcular
las porciones de unidad que caben exactamente en el triángulo, como se observa en la
siguiente figura:
61
Por esto, la medida del área de figuras planas se halla de manera indirecta, para lo cual
se miden algunos elementos de la figura y se realizan operaciones aritméticas entre los
valores obtenidos, y por ello diremos que “el área no se mide, sino que se calcula”.
Teorema: El área de un rectángulo es el producto de su base por su altura.
Teorema: Para calcular el área de un triángulo debe multiplicarse la longitud de una de
sus bases, por la longitud de la altura correspondiente y dividirla entre dos.
Teorema: El área de un paralelogramo se obtiene al multiplicar la base por la altura y es
el doble del área de un triángulo formado por cualquiera de sus diagonales y los lados
contiguos de la figura.
Área de polígonos regulares
La apotema de un polígono regular es la menor distancia entre el centro y cualquiera de
sus lados. Es un segmento cuyos extremos son el centro de un polígono regular y el
punto medio de uno cualquiera de sus lados, y es siempre perpendicular a dicho lado.
62
Teorema: El área de un polígono regular se calcula
Donde L es la longitud de cada lado del polígono, n es la cantidad de lados y a es la
apotema.
Demostración: El polígono anterior se puede dividir en 6 triángulos congruentes:
Podemos calcular el área de uno de esos triángulos teniendo en cuenta que el lado del
polígono es la base del triángulo, y la apotema del polígono es la altura del triángulo
el área del triángulo cuya base es L por ser un lado del polígono, y altura a es:
63
Para hallar el área del polígono multiplicamos el área del triángulo por 6
Podemos repetir el proceso anterior para todo polígono regular, para calcular el área de
un polígono regular, debemos conocer la longitud del lado L, el número de lados n, y la
longitud de la apotema a:
2.8 Teorema de Pitágoras
Teorema de Pitágoras: en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la
hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.
Es decir
Demostración: existen cientos de demostraciones de este teorema, a continuación
presentamos una sencilla y comprensible para los niños de básica primaria
Tomaremos un triángulo rectángulo como el siguiente:
Construimos un cuadrado cuyo lado es de longitud A + B. En él ubicamos 4 triángulos
como el anterior de la siguiente forma:
64
Construimos otro cuadrado con medidas A+B pero ahora colocamos los mismos 4
triángulos teniendo en cuenta la siguiente posición:
En las figuras anteriores elimina los 4 triángulos
Observa que, como los cuadros anteriores eran iguales, y les restamos la misma área a
ambos, el área restante debe ser igual, por lo que queda demostrado de forma gráfica el
teorema de Pitágoras.
65
3. Diseño de la propuesta didáctica
El estudio de las formas y de las figuras en nuestro entorno inmediato nos permite
descubrir muchas relaciones y conceptos geométricos, pues la Geometría modela el
espacio que percibimos, es decir, la Geometría es la matemática del espacio. En nuestro
entorno podemos percibir por ejemplo: paredes que pueden relacionarse con el plano en
geometría y nos dan el concepto de perpendicularidad y paralelismo; las ventanas
pueden tener formas diversas cuyos lados son segmentos o curvas, y al realizar
movimientos entre ventanas, puertas, o los muebles de la casa, podemos obtener
diferentes ángulos, o realizar movimientos de translación, rotación o simetrías.
La historia nos ha mostrado que las diferentes civilizaciones justamente desarrollaron la
geometría a partir de la observación del entorno, de los cuestionamientos sobre el
comportamiento de los planetas, la cantidad de terreno que se debería gastar en
determinado cultivos o el tamaño y la forma del planeta tierra. Los griegos fueron una de
las civilizaciones que lograron abstraer estas ideas y organizarlas de forma que las
formas, los teoremas, postulados, y demostraciones se engranaran por medio de la lógica
permitiendo su entendimiento y análisis. Al transcurrir de los siglos se continuó explorando
en los problemas que la geometría había dejado siglos atrás, y las exigencias que la
astronomía, la arquitectura y la misma geometría generaban. En la actualidad se pretende
que los estudiantes sigan un camino similar de exploración de la geometría y lleguen a
sus propias conclusiones.
Según los estándares del Ministerio de Educación Nacional, se espera que los
estudiantes en grado Quinto identifiquen y clasifiquen las figuras geométricas planas
reconociendo algunas de sus propiedades básicas. Para el trabajo en el aula usualmente
se copian y escriben las definiciones de forma que los estudiantes lean un poco la teoría y
posteriormente se realizan dibujos y ejercicios que permitan ejercitar a los estudiantes en
los conceptos enseñados. Si bien es importante explicar la teoría, considero que hay
conceptos que los estudiantes podrían inferir por si mismos por medio de actividades
guiadas por los docentes, otorgando así a los muchachos un aprendizaje más
significativo. Para profundizar y dar sentido a este trabajo se propone incluir actividades
66
didácticas que permitan fortalecer el aprendizaje de los diferentes conceptos. La unidad
didáctica constará de 5 guías divididas por temas de aprendizaje que incluyen objetivos,
listado de conceptos previos a tener en cuenta en el desarrollo de la guía y las actividades
a desarrollar, formulando además preguntas con diferentes grados de dificultad que
permitan al estudiante llegar al concepto o propiedad requerida.
3.1 Marco Metodológico
El modelo de Van Hiele se propone para resolver algunas dificultades que se presentan
en el aprendizaje de las nociones geométricas. Este modelo tiene en cuenta de que el
proceso de aprendizaje se tiene mediante un proceso de evolución que inicia con la etapa
intuitiva inicial en los niños, hasta las formas deductivas en los niveles superiores
escolares. Se proponen entonces cinco etapas de pensamiento descritos a continuación:
Nivel 0: Visualización o reconocimiento. En este nivel los objetos se perciben en su
totalidad como un todo, no diferenciando sus características y propiedades, las
descripciones son visuales y las propiedades se identifican y reconocen asemejándolas a
otros elementos que son familiares para el estudiante. En este nivel se puede aprender el
vocabulario geométrico, identificar figuras y formas y además puede reproducirlas. Por
ejemplo, un estudiante puede reproducir un triángulo, un círculo o un cuadrado, pero no
reconoce que las figuras tienen ángulos o lados opuestos paralelos.
Nivel 1: Análisis. Se perciben propiedades de los objetos geométricos. Pueden describir
objetos a través de sus propiedades (ya no solo visualmente), pero no puede relacionar
las propiedades unas con otras. Pueden comparar figuras, definir y clasificar propiedades,
hacer conjeturas intuitivas sobre la relación entre las diferentes propiedades de la figura,
además de sustentar o refutar conjeturas simples. En este nivel ya se reconocen las
condiciones necesarias. Por ejemplo, el estudiante puede observar que un cuadrado tiene
lados iguales y ángulos iguales. El estudiante identifica una figura por su apariencia, como
un todo, pero no se establecen relaciones entre los elementos que la determinan, es
decir, sabe qué figura es un cuadrado pero no es capaz de explicar que en el caso del
cuadrado los lados son iguales y no es así en el rectángulo.
67
Nivel 2: Orientación y clasificación. Los estudiantes describen los objetos y figuras de
manera formal. Entienden los significados de las definiciones; reconocen como algunas
propiedades derivan de otras; establecen relaciones entre propiedades y sus
consecuencias. Los estudiantes son capaces de seguir demostraciones aunque no las
entienden como un todo, ya que, con su razonamiento lógico solo son capaces de seguir
pasos individuales; determinan las figuras por sus propiedades, por ejemplo, todo
cuadrado es un rectángulo. Aun en este nivel no son capaces de organizar una secuencia
de razonamientos que justifiquen sus observaciones. En este nivel el estudiante ya
reconoce que en un paralelogramo, lados opuestos iguales implican lados opuestos
paralelos. Lados opuestos paralelos implican lados opuestos iguales.
Nivel 3: Deducción formal. En este nivel el pensamiento puede formalizarse, las reglas de
inferencia se explican, se capta la demostración utilizando correctamente la demostración
indirecta y se puede transformar una argumentación en una cadena de fórmulas
simbólicas con transiciones respaldadas por axiomas o teoremas anteriores. En este nivel
un estudiante puede demostrar, por ejemplo, que las diagonales del paralelogramo se
cortan en el punto medio.
Nivel 4: Se trabaja la geometría sin necesidad de objetos geométricos concretos. Se
conoce la existencia de diferentes sistemas axiomáticos y se puede analizar y comparar.
Se acepta una demostración contraria a la intuición y al sentido común si el argumento es
válido.
Las investigaciones de Van Hiele muestran que el paso de un nivel a otro es
independiente de la edad, muchos adultos aún se encuentran en el nivel 0 si no han
tenido experiencias que los inviten a pasar al nivel 1. Un profesor por medio de los
contenidos y métodos de enseñanza puede provocar el paso de un nivel a otro. En este
método cada nivel es recursivo, es decir, se construye sobre el anterior, por lo que el
desarrollo de los conceptos espaciales y geométricos ocurre como una secuencia desde
los planteamientos inductivos y cualitativos, hacia formas de pensamientos cada vez más
deductivas y abstractas.
68
3.2 Población y nivel educativo
La propuesta está diseñada para estudiantes de básica primaria del grado quinto del
colegio Corazonista. Las edades de los estudiantes oscilan entre los 9 y 11 años de edad
la mayoría de ellos de estratos 4 y 5. En cuanto al aspecto académico los estudiantes de
este ciclo siempre han obtenido resultados promedio en las olimpiadas regionales y
evaluaciones institucionales realizadas. Se evidencia debilidad en el pensamiento
espacial y sistemas geométricos, en manipular, relacionar y comprender las diferentes
propiedades geométricas en las figuras planas. Les es difícil desarrollar el pensamiento
visual, en análisis abstracto de las figuras geométricas y deducir algunas propiedades
geométricas importantes en este nivel.
Teniendo en cuenta lo anterior la propuesta didáctica pretende acercar a los estudiantes a
los conceptos y propiedades de las figuras geométricas planas con el objeto de
enriquecer su formación matemática y estructurar las bases necesarias para abordar la
geometría en el bachillerato.
3.3 Temática de la propuesta
Nociones básicas de geometría; construcción, medición y clasificación de ángulos;
clasificación de polígonos según sus diferentes propiedades; Clasificación de triángulos,
cuadriláteros; líneas notables en la circunferencia.
3.3.1 Objetivos
OBJETIVO GENERAL
Diseñar una unidad Didáctica para el quinto grado de primaria del colegio Corazonista que
permita a los estudiantes reconocer, clasificar, describir, e interpretar propiedades de las
figuras planas a través de actividades de manipulación de materiales y construcción de
figuras.
69
OBJETIVOS ESPECIFICOS
1. Identificar los conocimientos previos de los estudiantes del grado quinto sobre las
figuras planas, sus propiedades y relaciones.
2. Determinar aspectos disciplinares, históricos y didácticos relativos a la unidad
didáctica.
3. Seleccionar estrategias, materiales y actividades que permitan a los estudiantes
apropiarse de los conceptos y relaciones geométricas básicas.
4. Estructurar actividades de la unidad didáctica.
3.3.2 Conocimientos previos
Reconocimiento de figuras geométricas planas.
3.3.3 Prerrequisitos
Ninguno
3.4 Unidad didáctica
3.4.1 Introducción
El trabajo que se plantea para los estudiantes, pretende que adquieran los conocimientos
básicos en geometría, comprendiendo las propiedades y clasificación de las figuras
geométricas planas. Se estructura de tal manera que se llegue a las nociones básicas
desarrolladas teniendo en cuenta el reconocimiento, análisis y ordenamiento.
3.4.2 Estructura de las Guías de aprendizaje
Cada guía incluye los objetivos, prerrequisitos y conocimientos previos y una secuencia
de actividades en las cuales se dan las instrucciones pertinentes a desarrollar. Así mismo
se formulan unas preguntas orientadoras que permiten al estudiante obtener conclusiones
y conjeturas relacionadas con los objetivos propuestos.
70
COLEGIO CORAZONISTA
GUIA DE APRENDIZAJE 1
CONSTRUCCIÓN, MEDICIÓN Y CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS
ASIGNATURA: MATEMÁTICAS
1. Objetivos
Identificar ángulos en el entorno
Construir ángulos dada la amplitud
Hallar la medida de un ángulo dado
Clasificar ángulos según su amplitud
2. Conceptos preliminares
Punto y semirrecta
3. Actividades
1.1 Identificación de ángulos
El ángulo está formado por dos semirrectas que parten de un mismo origen. A este punto
de Origen lo llamamos vértice. Observa el siguiente ángulo cuyo vértice es el punto A
Los ángulos puedes encontrarlos a tu alrededor, observa el siguiente dibujo
¿Observas el ángulo que forma la escuadra en la pared?
71
1. Identifica y marca en el dibujo 10 ángulos diferentes
2. Observa en el colegio 10 lugares que forman ángulos, dibújalos en tu cuaderno.
1.2 Construcción de ángulos
A continuación construiremos un ángulo de 60°
1. Traza una semirrecta con inicio en A y marca un punto B en la semirrecta a una
distancia no menor de 8 cm.
72
2. Ubica el centro del transportador en el punto A y el cero en la dirección de la línea
3. Cuenta 60° desde el 0° contrario a las manecillas del reloj, y realiza una marcación con
el lápiz ubicando el punto C. Recuerda que cada línea del transportador es 1° y cada 10°
hay una marcación más larga que te ayudará a contar
2. Traza una semirrecta desde el origen A que pase por el punto C
73
¿Podrías repetir el procedimiento trazando ángulos de 85°, 110° o 170°?
Intentaremos ahora utilizar otras orientaciones de la recta y del transportador
5. Traza una semirrecta como se indica a continuación
6. Ubica el transportador colocando el centro en el punto B y el 0° en la dirección de la
semirrecta
74
7. Desde el cero y en sentido horario cuenta 148° y realiza la marcación utilizando un
punto.
8. Traza la semirrecta que inicia en el punto B y pasa por el punto F
75
¿Podrías construir ángulos de 90°, 47° y 113° utilizando la dirección horaria?
9. Construiremos ahora un ángulo de 215°, para ello utilizaremos un transportador que
mida todos los ángulos hasta 360°. Traza nuevamente una semirrecta inicial.
10. Ubica el centro del transportador en el punto Q y oriéntalo de tal manera que el 0° se
ubique en la dirección de la semirrecta.
76
11. Cuenta desde el 0° hasta que encuentres el ángulo que necesitas, (215°) y marca un
punto en el lugar.
77
12. Traza la semirrecta con origen en Q y que pasa por el punto T
¿Podrías construir otros ángulos con distintas medidas utilizando este procedimiento?
Construye ángulos de 193°, 241°, 278° y 321°
3.3 Medición de ángulos
El procedimiento para medir ángulos con el transportador es el siguiente:
1. Coloca el transportador de tal manera que su centro coincida con el vértice (en el
ejemplo el vértice es el punto B) y el 0° coincida con un lado del ángulo.
2. De las dos escalas que tiene el transportador, utiliza aquella en la que el 0 (cero),
coincide con un lado del ángulo.
78
Observa en el transportador el número por donde pasa el otro lado del ángulo.
En este ejemplo la medida del ángulo <ABC es 135°
3. Encuentra en el dibujo cinco ángulos y mídelos con el transportador
79
4. Coloca la medida de los siguientes ángulos
4.3 Clasificación de ángulos según su amplitud
1. Los ángulos agudos son aquellos cuya amplitud es mayor a 0° y menor a 90°
Con color verde colorea todos los ángulos agudos que encuentres.
80
2. Los siguientes son ángulos rectos
Escribe cual es la amplitud que debe tener un ángulo para ser un ángulo recto.
3. Los ángulos obtusos son aquellos cuya amplitud es mayor a 90° pero menor a 180°.
Traza 5 ángulos obtusos.
4. A partir de la siguiente imagen, escribe lo que es un ángulo llano
5. Los ángulos cóncavos tienen una amplitud mayor a la de un ángulo llano, pero es menor a 360°.
Mide con ayuda del transportador los siguientes ángulos cóncavos
81
2.4 Clasificación de ángulos según su suma
1. Observa las siguientes parejas de ángulos y suma su amplitud
82
2. Las parejas de ángulos anteriores las llamamos ángulos complementarios. Podrías
escribir entonces, ¿Qué son ángulos complementarios?
3. Escribe la medida que falta en los siguientes ángulos complementarios
4. Traza 5 ejemplos más de parejas de ángulos que sean complementarios.
83
5. Observa ahora las siguientes parejas de ángulos suplementarios y escribe la
característica que tú crees que deben cumplir dos ángulos para que sean suplementarios
6. Traza 5 ejemplos de parejas de ángulos que sean ángulos suplementarios
7. Identifica en el siguiente dibujo ángulos complementarios y suplementarios
84
COLEGIO CORAZONISTA
GUIA DE APRENDIZAJE 2
RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES
ASIGNATURA: MATEMÁTICAS
1. Objetivos
Identificar cuando dos rectas son paralelas
Identificar cuando dos rectas son perpendiculares
Explorar propiedades de las rectas paralelas y perpendiculares
2. Conceptos preliminares
Construcción y medición de ángulos
Clasificación de ángulos
3. Actividades
1. Explica, en cada caso, cuáles de las figuras cumplen la definición dada. Para las otras
figuras, diga por qué no se cumple
a. Dos rectas son paralelas si se encuentran en el mismo plano y no tienen ningún punto
en común.
b. Dos rectas son perpendiculares si se interceptan formando un ángulo recto
85
2. Realiza la siguiente construcción:
a. Traza una recta ↔ y ubica un punto C que no pertenezca a la recta
b. Traza la recta que pasa por A y por C.
c. Construye en C un ángulo que tenga la misma medida que el ángulo <CAB.
d. ¿Las rectas ↔ y
↔ son paralelas? ¿Por qué?
e. Mide los ángulos que indica cada figura:
86
Ángulos alternos internos
Ángulos alternos externos
Ángulos opuestos por el vértice
f. Construye otra recta y un punto diferente exterior a ella, repite el procedimiento
g. ¿Qué puedes concluir de los ejercicios anteriores?
87
COLEGIO CORAZONISTA
GUIA DE APRENDIZAJE 3
GENERALIDADES DE POLÍGONOS
ASIGNATURA: MATEMÁTICAS
1. Objetivos
Comprender la definición de polígono y sus componentes.
Reconocer polígonos en el entorno de los estudiantes.
Construir polígonos teniendo en cuenta las propiedades dadas.
2. Conceptos preliminares
Definición de segmento
Ángulo interior de una figura
3. Actividades
1. A continuación se dan algunas figuras geométricas, observa atentamente:
Las siguientes figuras son polígonos
88
Las siguientes figuras no son polígonos
2. Escribe las características que consideras debe tener una figura para ser un
polígono.
{
3. Marca con una X las figuras que son polígonos:
4. Dibuja 5 ejemplos de objetos de tu salón de clase que tengan forma de polígono y
dibuja 4 ejemplos de objetos que no sean polígonos.
5. A los siguientes polígonos los llamamos regulares, mide sus lados y sus ángulos
interiores y escribe una conclusión
89
6. A los siguientes polígonos los llamamos irregulares, mide sus lados y ángulos
interiores y escribe una conclusión
7. De acuerdo a las conclusiones de los puntos anteriores. escribe la definición de
polígono regular y la de polígono irregular.
8. Observa los siguientes polígonos que llamaremos cóncavos, mide sus ángulos
interiores
90
9. Observa los siguientes polígonos que llamaremos convexos, mide sus ángulos
interiores
10. Escribe las características de los polígonos cóncavos, y de los convexos.
11. Una diagonal de un polígono es el segmento que une dos vértices no
consecutivos. Observa los ejemplos:
12. Traza las diagonales de un hexágono, un octágono y un nonágono.
13. Ahora traza un pentágono regular utilizando el siguiente procedimiento:
91
a. Trazar una circunferencia
b. Como el pentágono tiene 5 lados, debemos construir 5 ángulos con la misma
amplitud igual a
.
c. Une el centro del circulo con los puntos determinados sobre la circunferencia
d. Une los puntos que se obtienen sobre la circunferencia.
14. Intenta trazar ahora un octágono regular utilizando el procedimiento anterior.
92
COLEGIO CORAZONISTA
GUIA DE APRENDIZAJE 4
SEMEJANZA Y CONGRUENCIA DE POLÍGONOS
ASIGNATURA: MATEMÁTICAS
1. Objetivos
Comprender la definición de congruencia y semejanza de polígonos.
Reconocer polígonos semejantes y congruentes
Identificar en la cotidianeidad figuras que sean congruentes y semejantes
2. Conceptos preliminares
Medición
Rotación y traslación de figuras
3. Actividades
1. Observa los siguientes ejemplos de parejas de segmentos congruentes
2. Observa los siguientes ejemplos de segmentos que no son congruentes.
93
3. De acuerdo a la observación anterior y las conclusiones que obtuviste escribe la
definición de segmentos congruentes.
4. Compara y observa las siguientes parejas de polígonos congruentes:
5. Compara y observa las siguientes parejas de polígonos que no son congruentes:
94
6. Escribe las características que deben tener dos figuras para ser congruentes
7. Reúnete con tres compañeros y pídeles que construyan dos triángulos en diferentes
posiciones cuyos lados midan 6 cm, 8 cm y 10 cm
8. Recorten sus triángulos.
9. Coloca una figura sobre la otra de forma que trates de hacer que coincidan y responde
a las siguientes preguntas:
¿Cada lado del triángulo es congruente con el lado correspondiente del otro triángulo?
¿Cada ángulo del triángulo es congruente con el ángulo correspondiente del otro
triángulo?
¿Los triángulos anteriores son congruentes?
10. Construiremos ahora triángulos que no son congruentes, pero que sí son semejantes.
Pídele a tus compañeros que tracen un triángulo cuyos ángulos midan 30° 50° y 100°
11. Intercambia con tus compañeros los triángulos que acabaste de hacer y trata de hacer
que coincidan, enuncia luego una propiedad que nos permita identificar cuando dos
triángulos sean semejantes.
12. Colorea con el mismo color las figuras congruentes
95
13 Dibuja un polígono semejante a cada polígono indicado:
14 Dibuja en tu cuaderno 3 ejemplos de figuras que veas en tu casa que son congruentes
y 3 que sean semejantes
96
COLEGIO CORAZONISTA
GUIA DE APRENDIZAJE 5
TRIÁNGULOS
ASIGNATURA: MATEMÁTICAS
1. Objetivos
Clasificar triángulos teniendo en cuenta sus medidas
Identificar las propiedades más importantes en los triángulos
2. Conceptos preliminares
Congruencia de segmentos
Medición de ángulos y lados
3. Actividades
1. Observa los siguientes triángulos equiláteros y mide la longitud de sus lados
97
2. Escribe la definición de triángulo equilátero
3. Los triángulos Isósceles son aquellos que tienen dos lados congruentes. Traza en tu
cuaderno 4 ejemplos
4. La tercera clase de triángulos se llaman escalenos. ¿Podrías escribir su definición?
Realiza 5 ejemplos en tu cuaderno
5. Une el triángulo con su clasificación correspondiente, mide sus lados y sus ángulos y
luego responde:
¿Los triángulos cuyos lados son congruentes, también tienen los ángulos congruentes?
¿Si un triángulo tiene dos lados congruentes entonces también tiene dos ángulos
congruentes?
¿Un triángulo escaleno tiene también sus ángulos diferentes?
Mide los ángulos interiores de cada uno de los triángulos de la ilustración anterior y suma
las medidas. ¿Puedes escribir una conclusión?
6. Los triángulos acutángulos son aquellos cuyos ángulos interiores son agudos. Traza
tres ejemplos
7. Mide los ángulos interiores de los triángulos:
98
Los triángulos verdes son rectángulos, los demás no lo son, ¿Podrías escribir lo que es un
triángulo rectángulo?
8. Los Triángulos obtusángulos son aquellos que tienen un ángulo obtuso, traza tres
ejemplos.
9. Une cada triángulo con su respectiva clasificación
99
10 Los triángulos se pueden clasificar observando sus ángulos o sus lados, trata de
construir los siguientes triángulos teniendo en cuenta ambas clasificaciones:
Traza un triángulo que sea Isósceles y obtusángulo
Traza un triángulo que sea acutángulo y escaleno
Traza un triángulo Isósceles y acutángulo
Traza un triángulo escaleno y obtusángulo
11. ¿Todos los triángulos equiláteros tienen ángulos congruentes?
100
COLEGIO CORAZONISTA
GUIA DE APRENDIZAJE 6
CUADRILÁTEROS
ASIGNATURA: MATEMÁTICAS
1. Objetivos
Clasificar cuadriláteros teniendo en cuenta el concepto de paralelismo
Identificar las propiedades más importantes en los cuadriláteros
2. Conceptos preliminares
Segmentos paralelos y perpendiculares
Medición de ángulos y lados
Diagonales de un cuadrilátero
3. Actividades
A continuación construirás cuadriláteros con una característica en común
1. Construye tres cuadriláteros cuyos ángulos sean rectos y responde:
¿Cada figura tiene sus lados congruentes?
¿Cada figura tiene sus lados paralelos?
¿Cada figura tiene sus diagonales perpendiculares?
¿Se puede construir un cuadrilátero que tenga sus lados y ángulos congruentes? Si es así
constrúyelo
2. Construye tres cuadriláteros de tal forma que cada uno tenga todos sus lados
congruentes
¿Cada figura tiene sus lados opuestos paralelos?
¿Cada figura tiene sus diagonales perpendiculares?
101
3. Construye un cuadrilátero cuyos lados y ángulos sean congruentes ¿Tiene sus
diagonales perpendiculares?
4 Construye tres cuadriláteros cuyos lados opuestos sean paralelos, pero que no tenga un
ángulo recto.
¿Cada figura tiene sus lados congruentes?
¿Cada figura tiene sus diagonales perpendiculares?
5. Veremos la clasificación de todos los cuadriláteros que dibujaste en los puntos
anteriores. Los del punto 1 se denominan rectángulos, los del punto 2 se denominan
rombos, los del punto 3 cuadrados y los del punto 4 romboides.
Escribe las propiedades más importantes que identificaste en cada una de estas figuras
6. ¿Cuál es la característica que tienen los anteriores cuadriláteros en común? Para ello
revisa las respuestas a las preguntas. A estos cuadriláteros los llamamos paralelogramos
7. Encierra los paralelogramos que encuentres en el siguiente gráfico
8. Responde las siguientes preguntas acerca de los paralelogramos:
¿Todo Cuadrado es un rectángulo?
¿ Todo rectángulo es un cuadrado?
¿ Todo cuadrado es un rombo?
¿ Todo rombo es un cuadrado?
¿ Existen rombos que son cuadrados?
¿ Todo rombo es un rectángulo?
¿ Todo rectángulo es un rombo?
102
¿ Existen rectángulos que son rombos?
9. Observa los siguientes trapecios y responde:
¿Los trapecios tienen todos sus lados paralelos? ¿Solo un par de lados?
¿Las diagonales son perpendiculares?
¿Sus lados o ángulos son congruentes?
10. Los trapezoides son cuadriláteros cuyos lados opuestos no son paralelos. Traza tres
ejemplos.
11. Clasifica los siguientes cuadriláteros
103
COLEGIO CORAZONISTA
GUIA DE APRENDIZAJE 7
CIRCUNFERENCIAS
ASIGNATURA: MATEMÁTICAS
1. Objetivos
Identificar las líneas notables en los círculos
Construir circunferencias con determinadas características
2. Conceptos preliminares
Segmentos.
Trazos con compás.
3. Actividades
1. Llamaremos centro al punto C
En los siguientes círculos toma la medida de los segmentos que se encuentran allí y
escribe una conclusión:
104
2. Cada uno de los segmentos anteriores los llamamos radio, enuncia una propiedad que
tengan los radios en una circunferencia
3. Traza una circunferencia cuyo radio sea 6 cm, otra circunferencia cuyo radio sea 8 cm y
otra circunferencia cuyo radio sea 3,5 cm
4. Observa las siguientes circunferencias y escribe lo que tú crees que es el diámetro.
105
5. ¿Puedes escribir una relación que exista entre el radio y el diámetro? ¿Cuál de los dos
es más largo?, ¿Podrías hallar la medida del diámetro a partir del radio? ¿Podrías hallar
la medida del radio a partir del diámetro?
6. Traza circunferencias cuyo diámetro sea 4 cm, 8 cm y 12 cm
7. La cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia, realiza tres dibujos
teniendo en cuenta la definición anterior.
8. Observa las siguientes líneas secantes, ¿En cuántos puntos se interceptan las
secantes con la circunferencia?
106
9. La recta tangente es una línea recta que intercepta a la circunferencia en un solo punto.
Construye 5 ejemplos
10. Observa los siguientes arcos de circunferencia, escribe una conclusión
11. Traza una circunferencia y en ella traza todas las líneas notables que aprendiste
107
12. Identifica en el siguiente gráfico las líneas notables que te piden:
13. Traza en una circunferencia cuyo radio es 3 cm, dos secantes que sean
perpendiculares con color azul, y dos tangentes que sean paralelas con color rojo.
108
4. Conclusiones y recomendaciones
La revisión de los hechos históricos puede enriquecer el trabajo del docente en el
aula, pues en ellos se reconocen elementos que pueden permitir mejorar la
comprensión de los conceptos de la geometría desarrollados.
Es importante que los docentes permitan que los estudiantes traten de desarrollar
las guías de aprendizaje e inferir por sí mismos las propiedades y conceptos que
se desarrollarán en el aula, siendo esta una herramienta didáctica fundamentada
en el modelo de Van Hiele que puede fortalecer la estructura del pensamiento
espacial y sistemas geométricos en los niños de básica primaria.
Para implementar en el aula la propuesta didáctica que se plantea en este trabajo,
los estudiantes deben estar en capacidad de realizar construcciones geométricas
básicas, y saber algunos elementos importantes de la medición.
Es importante desarrollar las guías de aprendizaje propuestas en este trabajo con
el suficiente tiempo y seguimiento a lo largo del año, de forma que los estudiantes
puedan tomarse el tiempo de inferir y deducir los conceptos propuestos, y tengan
el acompañamiento adecuado del docente en el aula.
Es fundamental para la aplicación de las guías didácticas, que el docente no
prepare la clase de geometría de forma magistral en donde se expongan los temas
expuestos en el presente trabajo, debido a que es importante que los estudiantes
apliquen el modelo de Van Hiele, explorando, deduciendo e infiriendo por sí
mismos las propiedades y teoremas que se pretenden enseñar. El aprendizaje es
realmente significativo si los niños construyen por sí mismos sus propias
conclusiones, y en algunos casos es posible que se generen inquietudes acerca
de otros teoremas en la geometría.
109
Bibliografía
[1] Álvarez, C., Emiliano. Elementos de geometría con numerosos ejercicios y geometría
del compás. Segunda edición. Universidad Nacional de Medellín. 2003
[2] Autores Varios. Matemáticas 5. Colombia, Editorial Santillana, 2014
[3] Boyer, Carl B. Historia de la matemática, España, Alianza editorial, 2006
[4] Correa, R., Beatríz y Muñoz, S., Luz Geometría Euclideana. Universidad Nacional de
Colombia- Sede Medellin. 2015
[5] Gutiérrez, A. Jaime, A., (1990). Una propuesta de fundamentación para la enseñanza
de la geometría: El modelo de Van Hiele. Sevilla: Alfar.
[6] López O y García S; La enseñanza de la geometría, Instituto Nacional para la
evaluación en la educación, México, 2008
[7] Ministerio de Educación Nacional, Estándares básicos de competencias en
matemáticas 2006
[8] Ministerio de Educación Nacional, Matemáticas Lineamientos curriculares 1998
[9] Ministerio de Educación Nacional, Orientaciones curriculares para el campo del
pensamiento matemático. 2007
[10] Moise E, Edwin y Floyd. Downs, Jr., Geometría Moderna, Universidad de Harvard,
1964
[11] Morris Kline. El pensamiento matemático desde la antigüedad hasta nuestros días,
Madrid, Alianza editorial, 2002
110
[12] Samper C, Molina O, y Echeverry A, Elementos de geometría, Universidad
Pedagógica Nacional, 2013
[13] Sánchez, Clara H. La historia como recurso didáctico: el caso de los elementos de
Euclides, 2012
