DESCUBRIENDO LOS NÚMEROS COMPLEJOS

Mérida; Noviembre 2013

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE HUMANIDADES Y EDUCACIÓN

ESCUELA DE EDUCACIÓN DEPARTAMENTO DE MEDICIÓN Y EVALUACIÓN

ÁREA: MATEMÁTICA CÁTEDRA: TALLER DE LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA

Integrantes: Br: Peña Lucy CI 17 340 174

Br: Rosales Yadira CI 17 523 480

Prof. Yazmary Rondón

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INTRODUCCIÓN

Descubriendo Los Números Complejos, se trata de una propuesta didáctica

dirigida a estudiantes de Cuarto Año de Educación Media General. Con la

finalidad de llevar una nueva experiencia didáctica al aula de clase, la

propuesta se basa en el modelo Van Hiele, diseñado en 1957 por un

matrimonio holandés (los Van Hiele), el cual se encuentra fundamentado en las

fases de la enseñanza y los niveles de pensamiento de la geometría.

La teoría se encasilla dentro de la didáctica de la matemática y

específicamente en la didáctica de la Geometría, en atención a esta

perspectiva, el aprendizaje de la geometría se construye pasando por niveles

de pensamiento, desde este enfoque, los Van Hiele proponen cinco fases

secuenciales de enseñanza como lo son:

Fase 1: Información.

Fase 2: Orientación dirigida.

Fase 3: Explicitación.

Fase 4: Orientación libre.

Fase 5: Integración.

Apegado a este modelo; se ha desarrollado la propuesta didáctica sobre

Números Complejos, para proponer al docente de matemática estrategias

didácticas que pueda utilizar como modelo para innovar sus propias estrategias

en el aula de clase, específicamente en las clases de geometría. En tal

sentido, con las estrategias que se proponen, se pretende indicar: actividades,

ejercicios y problemas que harán más efectivo el proceso de enseñanza y

aprendizaje de la geometría, en este caso basado en la forma binómica y

trigonométrica (o polar) de los Números Complejos. Por último, es preciso

destacar, que no todos los estudiantes aprenden de la misma manera, sin

embargo, es posible estimular a los estudiantes haciendo uso de diferentes

estrategias durante el proceso de enseñanza, para producir un aprendizaje

sólido y duradero, lo cual debería ser el objetivo de todo docente.

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Objetivo General

Contribuir con el mejoramiento de la enseñanza y aprendizaje de la

geometría mediante una propuesta didáctica, que le permita al docente innovar

en la planificación metodológica de la geometría.

Objetivos Específicos

Examinar el nivel de conocimiento de los estudiantes acerca del tema de

números complejos, por medio de una lluvia de ideas.

Esquematizar la historia de los números desde sus inicios hasta los

números complejos, utilizando como recurso didáctico diapositivas.

Organizar los contenidos geométricos relacionados a los números

complejos.

Diseñar actividades en torno a las fases de enseñanza.

Implementar un recurso didáctico.

Tiempo de Ejecución:

6 horas (tres clases).

Fase I y fase II: 2 horas (una clase).

Fase II y Fase IV: 2 horas (una clase).

Culminación Fase IV y Fase V: 2 horas (una clase).

Fases de Enseñanza

Fase I

Información: En ésta fase se aplicará una lluvia de ideas para determinar

cuáles son los conocimientos previos, que los estudiantes tienen acerca de los

Números Complejos.

Las preguntas a abordar en la lluvia de ideas son:

4

1. ¿Cuáles son los números naturales?

2. ¿Cuál es la diferencia entre números naturales y números enteros?

3. Mencionen un número racional

4. ¿A qué conjunto pertenecen los números: 0,6,-2, .π, , ?

5. ¿Cómo es un número Complejo?

6. ¿Con cuál letra del abecedario se denota el conjunto de los números

complejos?

7. ¿Qué es un par ordenado?

8. ¿Qué significa RxR?

A través de esta de esta dinámica se determinará el camino a seguir y se

harán las aclaraciones pertinentes.

Fase II

Orientación dirigida: Antes de dar inicio al tema de Números Complejos,

se hará un breve repaso sobre los otros conjuntos numéricos, se comenzará

con los números naturales.

Los números naturales se denotan con la letra N, como se observa

N = { 1, 2, 3, … ,} y su representación gráfica:

Los números naturales comprenden el conjunto de los números que se

utilizan para contar y con ellos se puede realizar operaciones de suma y

multiplicación. A medida que transcurrió el tiempo la necesidad de comunicarse

ideas que concernían cantidades era cada vez mas exigentes, por ejemplo; 7 –

7 = 0, 3(pertenencia) – 6(deuda) = -3(deuda); razonamientos como estos se

siguieron durante mucho tiempo, hasta que se introducen los números

negativos y el cero (0) surgiendo de esta manera el conjunto de los números

2 4 3 1 5 6

5

enteros y denota con la letra Z = {, … , -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, … ,} y su

representación grafica:

Con el conjunto de los números enteros la resta era posible y x + 3 = 0

entonces x = - 3. Estos números y las operaciones que se pueden realizar con

ellos, fue todo lo que necesito la humanidad por siglos. Pero, si se está

contando objetos el resultado debe ser por ejemplo: 4 ó 5, el resultado no podía

ser entre 4 y 5. Sin embargo ¿cuántas horas han estudiado los estudiantes?

Puede tener una respuesta: “entre 2 y 3 horas”. En tal sentido, el tiempo es

algo que no se puede contar, sino algo que se mide, cuenta y medición se

maneja de forma diferente. Por tanto, para medir el tiempo o la longitud, los

números deben ser continuos, el espacio entre números enteros debe llenarse

con números intermedios y a estos números intermedios se les llama

“fracciones” o “quebrados”. , , Con estos números surge el

conjunto de los números racionales y se denota por la letra Q. Su

representación gráfica:

También surgen otros números como: , , que no estaban incluidos

en ninguno de los conjuntos anteriores, pues poseen infinitas cifras decimales

no periódicas. A estos números se les llamo números irracionales y con ellos

surge el conjunto de los números I.

-3 -1 -2 -4 0 1 2 3 4

0 3 -1 -2 1 2 -3 -

-

0 1 2 - -

-1 -2 -

6

Ahora bien, los números reales son la unión de los conjuntos de los

números racionales e irracionales (Q U I), se denota con la letra R.

Representación gráfica:

¿De donde surgen los números complejos? Resulta, que existen

ecuaciones que no tienen solución en el conjunto de los números reales, por

ejemplo: x2 + 7 = 0 no tiene solución en R, ya que no existe ningún número

real que elevado al cuadrado de -7. Para solucionar problemas en los que

aparezcan raíces cuadradas de números negativos, es preciso ampliar el

conjunto de los números reales R, construyendo un nuevo conjunto, C.

Representación grafica de un Número Complejo: Antes que nada,

consideremos un sistema de coordenadas cartesiano en donde se tienen dos

ejes perpendiculares que se cortan en el origen. El eje de abscisas que recibe

el nombre de eje real y el eje de ordenadas que recibe el nombre de eje

imaginario.

0 3 -

-2 2 -3 -1 1

-

Q I

R

7

De manera que R sea subconjunto de C y de modo que en ese nuevo

conjunto se conserven las propiedades de las operaciones y todos los números

tengan raíz cuadrada. Para ello se define la unidad imaginaria.

Unidad imaginaria i, es aquel número que elevado al cuadrado da – 1.

Número Complejo en forma binómica: Una expresión de la forma a+bi en

la que a y b son dos números reales cualesquiera e i es la parte unidad

imaginaria, se denomina número complejo, a+bi es la forma binómica del

número complejo. Donde a es la parte real y b es la parte imaginaria. Es decir:

Ejemplo1: Dado el número complejo z = 3 + 2i. Su representación gráfica

viene a ser:

5

Im

1i

2i

1 2 3

3i

4

z= 3 + 2i

Re 0

(a,b) = a(1,0) + b(0,1) por convención se acordó llamar a:

a(1,0) = a

b(0,1) = bi

(a,b) = a + bi

z = a + bi

Observación:

a se representa sobre el eje real,

b se representa sobre el eje imaginario.

Si b=0, el complejo a+bi se identifica con el número real a.

Si a=0, el número complejo a+bi tiene sólo parte imaginaria,

y recibe el nombre de imaginario puro.

Si a=0 y b=0, el complejo a+bi es el complejo 0.

8

Ejemplo2: Dado el número complejo z = -4 (real puro). Representación

gráfica.

Ejemplo3: Dado el número complejo z = 4 (real puro). Representación gráfica.

Ejemplo4: Dado el número complejo z = -4i (imaginario puro).

Representación gráfica.

Ejemplo5: Dado el número complejo z = 4i (imaginario puro). Representación

gráfica.

0

Im

-4

Re

0

Im

Re

4i

0

Im

Re

1 2 3 4

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Número Complejo en forma Trigonométrica o polar: Un número

complejo de la forma Z = a + bi tiene su representación geométrica como un

punto en el plano y también puede ser expresado en un sistema de

coordenadas polares de la siguiente forma:

Cada complejo Z = a + bi se representa por un vector con origen en el

origen de coordenadas 0= (0,0) y extremo en el punto P(a,b) ó z=a+bi. Para

ubicar el punto (a,b) ó z en el plano, las coordenadas a y b (rectangulares) son

sustituidas por las coordenadas r y α (polares). De donde α es el ángulo

medido desde el eje real positivo y r es la distancia desde el origen de

coordenadas hasta el punto (a,b) ó z. De acuerdo a la disposición de los ejes y

el segmento dado, se ha formado un triángulo rectángulo con catetos a y b, e

hipotenusa dada por r. Usando el teorema de Pitágoras, se demuestra que la

longitud del segmento r; veamos

0

Im

Re

4i

ó

a

i

bi Z = a+ bi

Re 0

r

α

α

α

Im Im

a

b (a,b)

Re 0

r

α

α

α

a

b

r = hipotenusa

b = Cateto Opuesto

a = Cateto Adyacente

=

b

a

r

α

α

α

= =

= =

=

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Por Teorema de Pitágoras:

r = es el módulo del número complejo.

La formula = = la podemos escribir como:

=

Ahora despejemos b de =

Primero multiplicamos por a ambos lados de la igualdad

=

De esta forma obtenemos: = b

b =

La formula = = la podemos escribir como:

=

Ahora despejemos a de =

Primero multiplicamos por a ambos lados de la igualdad

=

De esta forma obtenemos: = a

a =

Así obtenemos:

a = r y b = r

Luego;

z = a + bi = r + i*r

z = a + bi = r*( )

z = a + bi = r*cisα (forma abreviada)

La fórmula = la podemos escribir como:

=

Ahora despejemos α de =

Aplicamos a ambos lados de la igualdad la inversa de la

tangente: arc tg ó

(arc tg) = (arc tg)

Así obtenemos: α = arc tg (argumento del número complejo).

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Ejemplo2: Dado el número complejo z = 2 + 2i representar gráficamente y

expresarlo en forma trigonométrica o polar.

Solución:

Primero, hacemos la representación gráfica del número complejo

Sobre el triángulo que se nos forma calculamos r y α

r =

r =

r =

r =

r =

r = 2

Ahora calculamos el argumento del número complejo

α = arc tg

α = arc tg

α = 45º

2

2i Z = 2 + 2i

Re 0

r

α

α

α

Im

2

2

2

2

r

α

α

α

2

2

r

α

α

α

α = ángulo medido desde el eje x

(positivo) = argumento de z

Observación:

12

Finalmente:

z = a + bi = r( ) = r*cisα

z = 2 + 2i = 2 ( ) = 2 *cis45º

Fase III

Explicitación: En esta fase se formarán mesas de trabajo, organizando a

los estudiantes en grupos de 4 ó 5 personas. Se les facilitará a los estudiantes

fichas con palabras claves, para estimularlos a realizar un mapa conceptual de

lo que han aprendido hasta el momento; es decir, utilizando los conocimientos

previos, los estudiantes deberán ser capaces de construir su propio mapa

conceptual, esto permitirá observar si realmente los estudiantes han logrado

consolidar como mínimo, los números que pertenecen a cada conjunto

numérico u/o lo que diferencia a un conjunto numérico de otro. La estrategia a

utilizar también permitirá diagnosticar las dudas que se puedan presentar, en

particular, la estrategia tiene como objetivo asegurar que el paso a la siguiente

fase sea sólido, en otras palabras, que los estudiantes estén claros y seguros

de sus conocimientos, lo cual facilitará la resolución de ejercicios.

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Fase IV:

Orientación libre: En esta fase se continuará con las mesas de trabajo,

anteriormente organizadas, y se procederá a la resolución de los siguientes

ejercicios:

1. ¿Cuáles son las partes real e imaginaria de los siguientes complejos?

7 +

3 + 2i

2. Representar en forma trigonométrica los números:

i

-i

-3

+

4 – 3i

Fase V

Integración: Por último se aplicará un juego didáctico que les va permitir a

los estudiantes integrar los conocimientos que adquirieron durante el

desarrollo de Números Complejos y demostrar lo aprendido. Para tal actividad

se diseñará un rompecabezas.

Descripción del recurso didáctico: Se parte de la idea de elaborar un

hexágono y elaborar seis triángulos dentro del hexágono, a su vez se

elaborarán tres triángulos dentro de cada triángulo.

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Se les indicará a los estudiantes que ubiquen en cada triángulo grande un

conjunto numérico, para ello, deberán colocar los números correspondiente al

conjunto en los triángulos pequeños. Ejemplo:

∏ ℓ

I

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Anexos:

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Resumen

El modelo Van Hiele se enfoca en que el aprendizaje de la Geometría se

logra pasando por unos determinados niveles de pensamiento y conocimiento.

Que no van asociados a la edad y que sólo alcanzado un nivel se puede pasar

al siguiente.

Según los Van Hiele, alcanzar un nivel superior de pensamiento significa,

que con un nuevo orden de pensamiento, una persona es capaz, respecto a

determinadas operaciones, de aplicarlas a nuevos objetos.

Es importante señalar algunas ideas previas al modelo y referidas a los

estudiantes, que basadas en la experiencia del trabajo con ellos y ellas del

modelo Van Hiele, marcan el diseño del modelo. Se puede señalar entre otras

cosas, que en la base del aprendizaje de la Geometría, hay dos elementos

importantes el lenguaje utilizado y el significado de los contenidos. Lo primero

implica que los niveles, y su adquisición, van muy unidos al dominio del

lenguaje adecuado y, lo segundo, que sólo van a asimilar aquello que les es

presentado a nivel de su razonamiento. Si no es así se debe esperar a que lo

alcancen para enseñarles un contenido matemático nuevo. En consecuencia,

no hay un método para alcanzar un nivel nuevo. Sin embargo, mediante

actividades y enseñanzas apropiadas se puede predisponer a los estudiantes

para su adquisición. Los Van Hiele enfatizan en la idea que “el paso de un nivel

a otro depende más de la enseñanza recibida que de la edad o madurez”, es

decir, dan una gran importancia a la organización del proceso de enseñanza-

aprendizaje así como a las actividades diseñadas y los materiales utilizados.

Las fases que postulan en su modelo son cinco y que, a continuación, se

mencionan:

Fase 1: Información.

Fase 2: Orientación dirigida.

Fase 3: Explicitación.

Fase 4: Orientación libre.

Fase 5: Integración.

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Mérida 30 de Octubre del 2013

Clase1:

La primera clase inicio con un breve saludo a los estudiantes, y se les pidió

a los estudiantes que cada uno se presentara y respondiera a la siguiente

pregunta: ¿te gusta la matemática?, la respuesta de todos los estudiantes fue

¡no!, parecía que ninguno quería saber nada de la matemática y si pudieran la

eliminarían del planeta, pero si se les preguntaba las razones o las causas por

lo cual no le gusta la matemática sus respuestas eran muy vanas (vacías),

algunos simplemente respondían porque era complicada, otros porque había

que resolver ejercicios, y si se les preguntaba si preferían leer entonces la

lectura les parecía aburrida. En fin las razones por la cuales no les gusta la

matemática son sólo escusas. Es necesario romper el esquema que los

estudiantes traen programado en su cerebro sobre la matemática, lo cual es

difícil para el docente, pero no imposible.

La clase continuó con la lluvia de ideas, a lo cual los estudiantes no se

mostraron muy animados con las preguntas sin embargo en su mayoría

participaron. Posteriormente se comenzó con el repaso de los conjuntos

numéricos, donde se observó que los estudiantes identifican el conjunto de los

números naturales, los enteros y las letras con las cuales se denotan.

Presentando dificultad en los racionales, debido a que lo veían como un

número entero, para aclararlo se realizó la representación gráfica de los

naturales y los enteros, luego se comenzó hacer ejercicios sobre como realizar

la representación gráfica de un número racional. Para ello se les explico de la

siguiente manera:

Dividiendo la unidad:

Con la práctica sucesiva de algunos quebrados tanto positivos como

negativos, ejemplo: , , los estudiantes lograron comprender la

diferencia entre un quebrado y un número entero, además de ello lo

representaron gráficamente. Para ello se les enseño un ejemplo en la pizarra y

luego se les coloco otros quebrados para que los estudiantes lo realizaran en

clase.

La clase cerro, con la representación gráfica de los números: naturales,

enteros, y racionales.

Observación: Se tenia previsto para la primera clase: la fase I y la fase II, lo

cual no se pudo lograr debido a que fue necesario dedicar tiempo para la

representación gráfica de los quebrados.

a Significa el desplazamiento desde cero.

b Significa el número de divisiones de la unidad.

18

Mérida 01 de Noviembre del 2013

Clase 2:

La segunda clase inicio con un breve repaso sobre la clase anterior, para

luego continuar con el conjunto de los números irracionales y el conjunto de

los números reales, recordándoles que los números naturales (N) están

contenidos en los enteros (Z) y los números enteros están contenidos en los

racionales (Q). En tal sentido, el conjunto de los números reales (R) nace de la

unión del conjunto de los números Racionales y los números Irracionales, en

otras palabras (Q U I), además se realizo la representación gráfica de los

números reales en la recta real, explicándoles que para representar los

números reales se usa un sistema ordenado llamado recta real ó eje x. Su

dirección positiva a la derecha de cero y su dirección negativa a la izquierda de

cero.

Luego, se inició con los números complejos, a manera de un cuento breve

se partió de la ecuación x2 +7 = 0, para explicarles de donde surgen los

números complejos. Se les explico, que tal ecuación no tiene solución en el

conjunto de los números reales, es decir, que al despejar x se obtiene x =

se observa que no existe ningún número real que elevado al cuadrado de .

Aclarándoles, que para solucionar problemas en los que aparezcan raíces de

números negativos, fue preciso ampliar el conjunto de los números reales,

construyendo un nuevo conjunto llamado el conjunto de los números complejos

y se denota con la letra C. Una vez explicado el porque de los números

complejos, se comenzó con la representación gráfica de un número complejo,

para ello se consideró un sistema de coordenadas cartesianas de ejes

perpendiculares que se cortan en el origen, con la diferencia de que en este

nuevo sistema, el eje de las abscisa se identificaría como eje real y el eje de las

ordenadas se identificaría como eje imaginario.

Posteriormente se comenzó con la representación gráfica de un número

complejo en su forma binómica, para ello se utilizó la expresión general a + bi,

la cual se denotó como z = a + bi e identificándoles la parte real, imaginaria y

la unidad imaginaria. Se realizó un ejemplo y su representación gráfica,

además se propusieron ejercicios para que los estudiantes los realizaran en el

aula de clase de forma individual, con la intención de observar si los

estudiantes habían comprendido, descartar posibles dudas y a su vez

inducirlos a la práctica. La clase cerró con la realización de ejercicios, como:

z=-4, z=4, z=-4i, z=4i.

Observaciones:

El despeje de la ecuación x2 +7 = 0 se realizó paso a paso, utilizando

propiedades de potenciación, sin embargo los estudiantes mostraron

debilidad en el proceso, por lo cual fue necesario explicarlo varias veces.

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Surgió un hecho curioso, al designar la expresión a + bi como z = a + bi,

a z lo relacionaron con el conjunto de los números enteros (pensaban

que era el mismo Z), la confusión se aclaró explicándoles, que para

designar un número complejo podemos utilizar cualquier letra del

abecedario siempre y cuando sean diferentes de la parte real y de la

parte imaginaria, ejemplo p = a + bi y la letra Z que utilizamos para

denotar el conjunto de los números enteros siempre va ser la misma y

se escribe en letra mayúscula.

En la segunda clase no se concluyó la fase II.

Mérida 06 de Noviembre del 2013

Clase 3:

La tercera clase inició con un breve repaso de la clase anterior, haciendo

énfasis en la representación gráfica e identificando eje imaginario y eje real.

Para continuar con la representación gráfica de un número complejo en su

forma trigonométrica o polar, primero se les dibujó un triángulo rectángulo con

la finalidad de utilizar el teorema de Pitágoras, se les pidió identificar la

hipotenusa, el cateto adyacente, el cateto opuesto y despejar la hipotenusa,

esta actividad permitió dar paso a las siguientes razones:

posteriormente se les indico que z = a + bi = r ( ) es la forma

trigonométrica o polar de expresar un número complejo. Para explicar con

mayor detalle se propuso un ejercicio donde se pedía representar gráficamente

un número complejo y expresarlo en forma trigonométrica o polar. A medida

que se fue desarrollando el ejercicio se fue explicando paso a paso quien era r,

quien era el ángulo α y como hallarlos. El proceso se dio de una forma muy

pausada tratando de que los estudiantes intervinieran, o nos diesen aviso

cuando no entendieran.

La clase cerró con la aplicación de la fase III. Los estudiantes fueron

organizados por grupos para que realizasen su propio mapa mental de lo

aprendido hasta el momento, allí se pudieron observar logros y fallas, en su

mayoría los estudiantes identificaban los distintos tipos de números, sin

embargo cuando se encontraban con un número complejo (una raíz imaginaria)

y un número irracional (una raíz) dudaban a cual conjunto pertenecían cada

= =

= =

=

20

uno. La aplicación de la estrategia permitió reforzar aquellos estudiantes que

no habían quedado claros o que aun tenían dudas y no las habían manifestado.

Observaciones:

En la tercera clase se concluyó con la fase II y se inicio la fase III.

Se concluyó la fase III.

Para la fase IV se había planificado mesas de trabajo para la resolución

de ejercicios a fin de ejercitar mas a los estudiantes, lo cual no se pudo

ejecutar porque el profesor de la cátedra nos pidió que se realizara un

examen, para ello nos cedió un día mas de clase. Se elaboró un examen

muy sencillo basado en lo que se dio en clase.

Mérida 08 de Noviembre del 2013

Se aplicó el examen de números complejos, el examen se diseño para ser

resuelto en un tiempo estimado de una hora. Una vez que los estudiantes

terminaron el examen, se finalizó con la fase V. La aplicación del juego

didáctico.

Observaciones:

Durante el desarrollo del examen se observaron debilidades en

operaciones básicas, puede deberse a dificultades no resueltas de años

anteriores.

Durante el desarrollo del juego didáctico, se observó que los estudiantes

estaban seguros de cada pieza que armaban. Cada grupo logro armar

su rompecabezas.

Observaciones Generales:

Tres clases no son suficientes para dar todo el tema de números

complejos, sin embargo los profesores pueden abarcar los tópicos mas

importantes del tema (Definición, representación gráfica en forma

binómica y trigonométrica) de esta manera los estudiantes conocerán

otro conjunto numérico aparte de los reales.

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Conclusión

El método de fases de aprendizaje del modelo de Van Hiele permitió el logro

de aprendizaje de conocimientos conceptuales y procedimentales en el área de

la geometría, específicamente en el contenido de números complejos.

El propósito principal de la cátedra de Taller de la Enseñanza de la

Geometría se refiere al mejoramiento de las habilidades y destreza del

estudiante (futuro docente) para comprender y aplicar los conocimientos

geométricos, lo cual es alcanzable con la práctica de la metodología propuesta

en la Teoría de Van Hiele, ya que contribuye a que los individuos puedan

percibir la estructura del conocimiento geométrico, explorar las relaciones entre

la teoría y el método y establecer conclusiones acerca de posibles soluciones a

la situación planteada. Los docentes que decidan usar esta metodología de

enseñanza, deben revisar previamente y en forma exhaustiva las bases y

procedimientos de la Teoría de Van Hiele, puesto que es fundamental la

capacidad didáctica del docente y la previa planificación de actividades

concretas. Todas las actividades que se planifiquen deberán estar enfocadas

en potenciar el razonamiento geométrico del estudiante en el contexto de la

realidad, nacional y sobre todo basado en experiencias significativas.

Bibliografía

Rivero Mendoza, Francisco. (2001). Una Introducción a lo Números

Complejos. (Mérida - Venezuela).

Educación Media. Naturaleza Matemática (Cuarto Año). Gobierno

Bolivariano de Venezuela.