INSTITUCION DE EDUCACION SUPERIOR: Universidad Tecnica de Babahoyo U.T.B. SEDE: BabahoyoBLOQUE CURRICULAR: 3 MODULO: Introduccióna la Comunicación Científica ASIGNATURA : Matemática para Ciencias e Ingeniería PARALELO: 1 AREA DEL CONOCIMIENTO: INGENIERIA Y CIENCIAS CARRRAS: INGENIERIA EN SISTEMASD O C E N T E : Ing. Jhonny Antonio Concha Ramirez MES : Enero DIA : Sabado 5TIEMPO CLASE: 1 HORA Presencial TRABAJO AUTONOMO: 1 HORA

PROTOCOLO DE PLAN DE CLASETEMA Razonamiento con PredicadosPROPOSITO

Reconocer la estructura de un razonamiento y establecer su validez empleando tablas de verdad y leyes de algebra de proposiciones . Utilizando predicados y cuantificadores.

CONCEPTOS DESARROLLADOS

SABER: Definiciones de:

Proposiciones Razonamiento Validez de un razonamiento Predicados Cuantificadores Razonamiento utilizando predicados.

INDICADORES DE LOGRO ( es lo que el estudiante deben haber logrado al finalizar el tema) Reconoce el valor de verdad de una proposición. Reconoce cuando utilizar un predicado en vez una proposición. Utiliza adecuadamente los cuantificadores en los razonamientos planteados Maneja las simbologías utilizadas para la resolución del problema planteado de forma correcta Puede utilizar e interpretar muy bien notación simbólica Determina la validez de un razonamiento, con la utilización de los predicados y los cuantificadores.

SABER HACER: (nota la cantidad de saberes y de logros debe ser la misma) Realiza análisis de razonamiento para saber su validez. Representa razonamiento empleando cuantificadores y predicados. Realizar operaciones con cuantificadores dado un conjunto referencial Representar gráficamente un razonamiento. Dada una expresión en lenguaje común, reconocer si es un predicado, identificar su variable y sugerir

un conjunto referencial, y determinar su conjunto de verdad.

SER: Habilidades del buen vivirDesarrolla su capacidad para emplear los conocimientos adquiridos en la resolución de problemas que se presentan a su alrededor. Para esto:Tiene gusto por la matemática Trabaja con honestidad y puntualidad Trabaja en equipo Ejercita el pensamiento crítico Es diligente y cuidadoso en el trabajo

ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS

ACTIVIDADESMEDIOS DIDÁCTICOS Y RECURSOS EDUCATIVOS

EVALUACION BIBLIOGRAFIAT I P O S TIEMPO

CONTEXTUALIZACIÓNSon actividades que realizará el docente en el aula tomando en cuenta la experiencia de los estudiantes en el diario vivir.

Daremos un ejercicio introductorio de la vida diaria, para poder tener una introducción a lo que vamos hacer, en este caso entrar a razonamientos con predicados. (ejercicio planteado en la clase demostrativa)

10 min AulaPizarra LiquidaMarcadoresProyectorComputadora

FORMAS DE EVALUACIÓN

Diagnostica: Opinion de los estudiantes.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

Reconoce los operadores básicos empleados en un razonamiento y que sirven para realizar la operaciones, empleando el simbolismo lógico.

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA, ICM - ESPOL, Segunda edición, Ecuador, 2007

Clase de capacitacion en la Espol dada por master Margarita Martinez

ACTIVIDADES DE CONCEPTUALIZACIÓNSon actividades que el aprendiente debe realizar para lograr comprender y aplicar

20 minAulaPizarra LiquidaMarcadores

Procesual: Desarrollo de ejercicios en la pizarra.

Comprende las conceptos planteados en clase y

el tema visto.

Explicar los diferentes conceptos que se tienen que aprender, y con los cuales se va a trabajar para poder comprender la clase, la cual será reforzada con ejemplos.Lectura del texto guía, paginas 29,30,41,42, 53,54

ProyectorComputadoraDiapositivas

propone ejemploshttp://www2.uca.es/matematicas/Docencia/ESI/1711051/Apuntes/Leccion3.pdf

http://www.econ.uba.ar/www/departamentos/humanidades/plan97/logica/Legris/apuntes/APC-LL.pdf

ACTIVIDADES DE CREACIÓN, ELABORACIÓN, APLICACIÓN O EXPERIMENTACIÓN ( Dependiendo del área y de la temática)

Planteamos ejercicios en clase que serán resueltos por los aprendientes, utilizando los conocimientos anteriormente estudiado.Realizar talleres propuesto en clase y que están en la presentación digital

20 minAulaPizarra LiquidaMarcadoresProyectorComputadora

Procesual: Desarrollo de ejercicios en la pizarra.

Identificación de los casos, y sabe cuándo utilizar las proposiciones y los predicados.

ACTIVIDADES DE REFUERZO (retroalimentación)Son actividades que realizan los aprendientes que permiten mejorar el nivel de dominio del tema

Resolver ejercicios del texto guía :

Ejercicio 69 al 80 de la página 89 a 93

10 minAulaPizarra LiquidaMarcadoresProyectorComputadora

Resuelve correctamente ejercicios del texto guía

Realiza los ejercicios y problemas planteados

TRABAJO AUTONOMOSon actividade que el aprendiente debe realizar para consolidar el tema tratado y está sujeto a control del docente ( portafolio , bitácora, . . .)

Desarrollo de ejercicios en casa: Investigar en internet. Resolver problemas utilizando

razonamiento con predicados.

60 min Tareas para la casa, ejercicios sacado de internet, libro guía página 89. Y del portafolio.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN Investigaciones hecha en la web, internet.

Presenta resúmenes de la investigación.Presenta ejercicios en casa aplicando razonamiento con predicados.Pregunta sobre cuestiones no interpretadas Revisión y constatación de la resolución de problemas de su portafolio.

C O N T E X T U A L I Z A C I Ó N: (10 minutos)

Podemos comenzar exponiendo un ejemplo de la vida real de razonamiento, para que el aprendiente pueda darse cuenta a loa que vamos a ver en el transcurso de la clase.

Un avión cubrió la distancia que separa a la Ciudad de Quito y Guayaquil una hora y 20 minutos, sin embargo al volar de regreso recorrió esta distancia en 80 minutos. ¿Cómo se explica esto?R/ Aquí no es necesario aclarar nada, darse cuenta que las dos situaciones representan el mismo tiempo, solo que una está expresada en horas y minutos y la otra en minutos, o sea, una hora y veinte minutos es lo mismo que ochenta minutos.

Lo que el alumno dirá son cosas como que no es lo mismo, que es diferente y demás.

Está en el profesor que dicta la clase explicar, usando operadores lógicos matemáticos, que lo que se dice es lo mismo.

Como lo haremos:

La distancia que cubre Quito-Guayaquil es de 1 hora y 20 minutos:

a: 1 hora que será igual a 60 minutos.b: 20 minutosc: 80 minutosUtilizando operadores matemáticos sabemos que esto será la suma de “a y b”, lo que dará los 80 minutos. Por lo tanto el razonamiento aquí explicado seria valido ya que su antecedente es igual a su consecuente.

Suma (a y b) es igual a c. Dicho de otra manera: (a ᴧ b) → c

SÍMBOLOSLÓGICOS

PARACONSTANTES

LÓGICAS:

CONECTIVAS:negación: ¬

conjunción: ∧disyunción: ∨condicional: →

bicondicional: ↔CUANTIFICADORES:

universal: ∀xexistencial: ∃x

PARAVARIABLES DE INDIVIDUO: x, y, z, etc.

SÍMBOLOSDESCRIPTIVOS

PARAPREDICADOS: P, Q, R, S, T, etc.

PARACONSTANTES DE INDIVIDUO: a, b, c, etc.

PARÉNTESIS: (, )PROPOSICIONES: a: hoy es lunesPREDICADOS: p(x): x es lunes

A C T I V I D A D E S D E C O N C E P T U A L I Z A C I Ó N (20 minutos)

Hay que primero conocer el concepto de cada tema a ser tratado.

Proposicion: Una proposicion es una unidad semantica que, o solo es verdadera o solo es falsa.Representación de una proposición:

a: 5 es un numero primo, es una proposición en la cual su valor de verdad es verdadero (1).b: 2+2= 5, es una proposición pero su valor de verdad es falsa (0).

Valor de verdad:El valor de verdad de una proposición es la cualidad de veracidad que describe adecuadamente la proposición. Este puede ser verdadero o falso.

Razonamiento: Son proposiciones compuestas que pueden ser representadas por la conjunción de proposiciones denominadas premisas o hipótesis, la condicional como operador lógico principal; y, una proposición final denominada conclusión.Las premisas o hipótesis corresponden al antecedente de la implicación, mientras que la conclusión es su consecuente.

[H1 ᴧ H2 ᴧ H3….ᴧ Hn] → Hn

Conjunción de hipótesis

ANTECEDENTE

CondicionalOPERADOR

LOGICO

ConclusiónCONSECUENTE

Validez de un razonamiento: Un razonamiento es válido cuando la forma proposicional que representa su estructura lógica es tautológica. Si dicha forma proposicional es una contradicción o contingencia, entonces el razonamiento no es válido, en cuyo caso se denominara falacia.

Cuantificadores: cantidad de elementos del referencial que satisface o no el predicado. Utilizaremos 2 cuantificadores el universal (∀) y el existencial (∃).

Cuantificador Símbolo expresiones en castellanoUniversal ∀x todo, cualquiera, cada uno, todos los, los,

etc.Existencial ∃x existe, hay al menos uno, algún, algunos, etc.

Ejemplo Composición de cuantificadoresEn un enunciado puede aparecer más de un cuantificador. Un caso típico, en un contexto que trata de seres humanos, es:(1) Todos aman a alguien.En este enunciado figuran dos palabras que expresan cuantificación, de carácter universal la primera y de índole existencial la segunda, así que debe interpretarse del siguiente modo:(1a) Para todo x (del dominio), existe un y (del dominio), tal que x ama a y,Usando los símbolos lógicos respectivos, se puede representar este enunciado como(1b) ∀x ∃y ( x ama a y )

La situación aquí descripta es la siguiente: imagínese el dominio como un conjunto. Se dice de cualquiera que se tome de ese conjunto, que para ese cualquiera hay al menos un elemento del conjunto (puede ser él mismo, puede ser otro, o muchos otros) tal que aquel (el cualquiera, cada uno) ama a este (alguno).

Un ejemplo adicional, referido a un dominio mucho más general es:(2) Algo es causa de todo

que debe entenderse como

(2a) Existe un x (del dominio) tal que, para todo y (del dominio), x es causa de y.

Usando los símbolos para cuantificadores, el enunciado se reescribe así:(2b) ∃x ∀y (x es causa de y)

Se advierte que en ambos ejemplos se usan diferentes variables. Cada variableestá ligada a un cuantificador distinto, y es para evitar confusiones que se emplean diferentes letras para las variables de individuo. Esto es lo que se llama “cuantificación múltiple”.

*Si empleamos los símbolos para cuantificadores, el razonamiento: Todos aman a alguien. Por lo tanto Laura ama a alguien. Se representa así∀x ∃y ( x ama a y ) → ∃y ( Laura ama a y )

Nótese las diferencias con la formulación en castellano, sobre todo en el orden de las palabras

Resumen de las condiciones de verdad para los cuantificadores

(∀x) Un enunciado “∀x Px” es verdadero si y sólo si al reemplazar “x” en “Px” por cualquier constante de individuo se obtiene un enunciado verdadero (es decir, “Pa”, “Pb”, “Pc”, “Pd”, etc. son todos enunciados verdaderos).

(∃x) Un enunciado “∃x Px” es verdadero si y sólo si al reemplazar “x” en “Px” por alguna constante de individuo se obtiene un enunciado verdadero (es decir, al menos uno de los enunciados “Pa”, “Pb”, “Pc”, “Pd”, etc. será verdadero).

Predicado: Proposición abierta, se está dando o hablando en general. Son expresiones en términos de una variable que al ser remplazadas por los elementos de un conjunto referencial, se convierten en proposiciones, Si x representa a cualquier elemento de Re, entonces la expresión p(x) se definirá como predicado.

La notación para los predicados será: p(x), q(x), r(x), etc.

Ejemplo: Todos aman a alguien.R(x, y): x ama a yb: Laura.

Dado el razonamiento: Todos aman a alguien. Por lo tanto Laura ama a alguien. Se representa así∀x ∃y R(x, y) → ∃y R(x, y)

También lo podemos ver de otra manera:

H1: Todos aman a alguien. ∀x ∃y R(x, y)C: Por lo tanto Laura ama a alguien. ∃y R(b, y)

ACTIVIDADES D E CREACIÓN, ELABORACIÓN, APLICACIÓN O EXPERIMENTACIÓN (20 minutos)

Se harán actividades de fortalecimiento del conocimiento.

Se hará ver que utilizando proposiciones no nos da el razonamiento valido, y que se debe de utilizar mejor predicados para su validez.

Ejemplo:

Resolver el siguiente razonamiento:

Todos los hombres son mortales. Sócrates es hombre. Por lo tanto, Sócrates es mortal.

Si para este razonamiento utilizamos proposiciones nos daremos cuenta que no podemos hallar su validez.

UTILIZANDO PROPOSICIONESProposiciones simples: Hipótesis:

a: todos los hombres son mortales.b: Sócrates es hombre. c: Sócrates es mortal.

H1: aH2: bC: c

Esto nos da: a ᴧ b → c, esto no es válido pero no debe ser tomado así como proposiciones sino que aquí se debe de utilizar los predicados, para saber su validez, además que nos damos cuenta que el razonamiento empieza con la palabra “TODOS”, lo que nos hace ver que tenemos utilizar los cuantificadores en este caso el universal.

UTILIZANDO PREDICADOS Y CUANTIFICADORESPredicados: Hipótesis: Todo p es q ≡ ∀x (p(x) → q(x))

Re: {seres vivos}h(x): x es hombrem(x): x es mortal.

b: Sócrates

H1: ∀x (h(x) → m(x))H2: h(x)C: m(x)

[H1 ᴧ H2 ᴧ H3….ᴧ Hn]→ Hn

[(p → q) ᴧ p ] → q ≡ ∀x [(p(x) → q(x)) ᴧ p(x)] → q(x)H1: ∀x (h(Sócrates) → m(Sócrates))H2: h(Sócrates)C: m(Sócrates)

Por predicado, se puede ver que este razonamiento es válido. También se ha aplicado las leyes de la implicación Modus ponendo ponens. Y como es tautológico el razonamiento es valido.

Consideremos, por ejemplo, el universo de todos los triángulos del plano. En un libro podemos leer la siguiente definición: “Si un triángulo tiene sus tres lados iguales, entonces es equilátero” y en otro texto, leemos “Si un triángulo es equilátero, entonces tiene sus tres lados iguales” En ambos casos se están utilizando proposiciones cuantificadas con el cuantificador universal. En efecto, Sean:

p(x): x tiene tres lados iguales.q(x): x es un triángulo equilátero.

Entonces en notación simbólica el primer libro dice:

∀x [p(x) → q(x)]

y el segundo

∀x [q(x) →p(x)]

Pues bien, observemos que una de ellas es la reciproca de la otra y si tenemos en cuenta que una proposici´on y su rec´ıproca no son, en general, l´ogicamente equivalentes ¿cuál de las dos definiciones es la correcta?

La respuesta es que ambas lo son, en el sentido de que los dos libros utilizan el condicional como un bicondicional, o sea:

∀x [p(x) ↔ q(x)]

Es decir, los dos están diciendo que:

“Un triángulo es equilátero si, y solo si tiene sus tres lados iguales”

Concluyendo: En las definiciones, y únicamente en las definiciones, un condicional puede leerse e interpretarse correctamente como un bicondicional.

A C T I V I D A D E S D E R E F U E R Z O (20 minutos)

Resolver ejercicios dados en su portafolio. Ejercicio 69 al 80 de la página 89 a 93

T R A B A J O A U T Ó N O M O (60 minutos)

Investigar en internet, razonamientos con predicados. Resolver problemas con razonamientos, dado en su portafolio.

EJERCICIOS PLANTEADOS PARA ACTIVIDADES DE REFUERZO (Portafolio)

a) Ninguna estrella de televisión es contador público titulado; todos los contadores titulados son personas con buen sentido comercial, de donde se sigue que ninguna estrella de televisión tiene buen sentido comercial.

b) Todos los ejecutivos de empresas privadas son activos oponentes del aumento a los impuestos, porque todos los oponentes activos del aumento a los impuestos son miembros de la cámara de comercio y todos los miembros de la cámara de comercio son ejecutivos de empresas privadas.

EJERCICIOS PLANTEADOS PARA QUE SEAN TRABAJADO EN CASA. (Trabajo autónomo)(Portafolio)

1. Todas las cabeceras de partido tienen adjudicada al menos una oficina de correos. Por consiguiente, Hay al menos una oficina de correos que tiene adjudicada Puán, si Puán es cabecera de partido.2. Todos los alumnos de Informática estudian Matemática Discreta. Florinda es alumna de Informática. Por lo tanto, Florinda estudia matemática Discreta.3. El número a no es múltiplo de 2. Si un número es par, entonces es divisible por 2. Si un número es divisible por 2, entonces es múltiplo de 2. Por lo tanto, el número a no es par.4. Cuál de los siguientes enunciados es una proposición y cual es un predicado:

Laura canta. X+2=5 a(x): x es amor

5. unir con líneas el enunciado con su traducción utilizando su cuantificador correspondiente:

Enunciado Cuantificador

Ninguna fábrica contamina todos los ríos ∀x ( Px → ( ∃y Qxy ∧ ∃z Rxz) )

Todo ciudadano elige diputados y senadores ∃x ( Px ∧ ∀y ( Ry → Qxy) ).

Hay fábricas que contaminan todos los ríos ∀z ( Pz → ¬∀y ( Ry →Qzy) )