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INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR VIDA NUEVA

Algebra

CONTENIDO:

1. Polinomios2. Ecuaciones de primer grado3. Sistema de ecuaciones4. Ecuaciones de 2 grado y sistemas de ecuaciones5. Ecuaciones exponenciales y logartmicas6. Inecuaciones

POLINOMIOS

Expresiones algebraicasTrabajar en lgebra consiste en manejar relaciones numricas en las que una o ms cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incgnitas o indeterminadas y se representan por letras.Una expresin algebraica es una combinacin de letras y nmeros ligadas por los signos de las operaciones: adicin, sustraccin, multiplicacin, divisin y potenciacin.Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar reas y volmenes.Longitud de la circunferencia: 2r, donde r es el radio de la circunferencia.rea del cuadrado: S = l2, donde l es el lado del cuadrado.Volumen del cubo: V = a3, donde a es la arista del cubo.

Expresiones algebraicas comunesEl doble o duplo de un nmero:2xEl triple de un nmero:3xEl cudruplo de un nmero:4xLa mitad de un nmero:x/2Un tercio de un nmero:x/3Un cuarto de un nmero:x/4Un nmero es proporcional a 2, 3, 4...:2x, 3x, 4x...Un nmero al cuadrado:xUn nmero al cubo:xUn nmero par:2xUn nmero impar:2x + 1Dos nmeros consecutivos:x y x + 1Dos nmeros consecutivos pares:2x y 2x + 2Dos nmeros consecutivos impares:2x + 1 y 2x + 3Descomponer 24 en dos partes:x y 24 xLa suma de dos nmeros es 24:x y 24 xLa diferencia de dos nmeros es 24:x y 24 + xEl producto de dos nmeros es 24:x y 24/xEl cociente de dos nmeros es 24:x y 24 x

MonomiosUn monomio es una expresin algebraica en la que las nicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural.2x2y3zPartes de un monomio

CoeficienteEl coeficiente del monomio es el nmero que aparece multiplicando a las variables.Parte literalLa parte literal est constituida por las letras y sus exponentes.GradoEl grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables.El grado de 2x2y3z es: 2 + 3 + 1 = 6Monomios semejantesDos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.2x2y3z es semejante a 5x2y3z

Operaciones con monomios1. Suma de monomios

Slo podemos sumar monomios semejantes.La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.axn+ bxn= (a + b)xn

Ejemplo2x2y3z + 3x2y3z = (2 + 3)x2y3z = 5x2y3zSi los monomios no son semejantes, al sumarlos, se obtiene un polinomio.

Ejemplo:2x2y3+ 3x2y3z

2. Producto de un nmero por un monomio

El producto de un nmero por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente del monomio por el nmero.

Ejemplo:5 (2x2y3z) = 10x2y3z

3. Multiplicacin de monomios

La multiplicacin de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tengan la misma base, es decir, sumando los exponentes.axn bxm= (a b)xn + m

Ejemplo:(5x2y3z) (2y2z2) = (2 5) x2y3+2z1+2= 10x2y5z3

4. Divisin de monomiosSlo se pueden dividir monomios cuando:Tienen la misma parte literalEl grado del dividendo es mayor o igual que el del divisorLa divisin de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tengan la misma base, es decir, restando los exponentes.axn: bxm= (a : b)xn mEjemplo:Si el grado del divisor es mayor, obtenemos unafraccin algebraica.Ejemplo:5. Potencia de un monomioPara realizar la potencia de un monomio se eleva, cada elemento de este, al exponente que indique la potencia.(axn)m= am xn mEjemplos:(2x3)3= 23 (x3)3= 8x9(3x2)3= (3)3 (x2)3= 27x6

PolinomiosUn polinomio es una expresin algebraica de la forma:P(x) = anxn+ an 1xn 1+ an 2xn 2+ ... + a1x1+ a0Siendo:an, an1... a1, aonmeros, llamados coeficientesn un nmero naturalx la variable o indeterminadaanes el coeficiente principalaoes el trmino independienteGrado de un PolinomioEl grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.

Tipos de polinomios

1.Polinomio nuloEs aquel polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos.P(x) = 0x2+ 0x + 02.Polinomio homogneoEs aquel polinomio en el que todos sus trminos o monomios son del mismo grado.P(x) = 2x2+ 3xy3.Polinomio heterogneoEs aquel polinomio en el que no todos sus trminos no son del mismo grado.P(x) = 2x3+ 3x2 34.Polinomio completoEs aquel polinomio que tiene todos los trminos desde el trmino independiente hasta el trmino de mayor grado.P(x) = 2x3+ 3x2+ 5x 35.Polinomio incompletoEs aquel polinomio que no tiene todos los trminos desde el trmino independiente hasta el trmino de mayor grado.P(x) = 2x3+ 5x 3

6. Polinomio ordenadoUn polinomio est ordenado si los monomios que lo forman estn escritos de mayor a menor grado.P(x) = 2x3+ 5x 37. Polinomios igualesDos polinomios son iguales si verifican:Los dos polinomios tienen el mismo grado.Los coeficientes de los trminos del mismo grado son iguales.P(x) = 2x3+ 5x 3Q(x) = 5x 3 + 2x38. Polinomios semejantesDos polinomios son semejantes si verifican que tienen la misma parte literal.P(x) = 2x3+ 5x 3Q(x) = 3x3+ 7x 2Valor numrico de un polinomioEs el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un nmero cualquiera.P(x) = 2x3+ 5x 3 ; x = 1P(1) = 2 13+ 5 1 3 = 2 + 5 3 = 4

Suma y resta de polinomiosPara sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los trminos del mismo grado.P(x) = 2x3+ 5x 3 Q(x) = 4x 3x2+ 2x31. Ordenamos los polinomios, si no lo estn.

Q(x) = 2x3 3x2+ 4xP(x) + Q(x) = (2x3+ 5x 3) + (2x3 3x2+ 4x)2 .Agrupamos los monomios del mismo grado.

P(x) + Q(x) = 2x3+ 2x3 3 x2+ 5x + 4x 33. Sumamos los monomios semejantes.

P(x) + Q(x)= 2x3+ 2x3 3 x2+ 5x + 4x 3

Tambin podemos sumar polinomios escribiendo uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar.P(x) = 7x4+ 4x2+ 7x + 2 Q(x) = 6x3+ 8x +3

Resta de polinomiosLa resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.P(x) Q(x) = (2x3+ 5x 3) (2x3 3x2+ 4x)P(x) Q(x) = 2x3+ 5x 3 2x3+ 3x2 4xP(x) Q(x) = 2x3 2x3+ 3x2+ 5x 4x 3P(x) Q(x) =3x2+ x 3

Multiplicacin de polinomios1. Multiplicacin de un nmero por un polinomioEs otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el nmero y dejando las mismas partes literales.Ejemplo3 (2x3 3x2+ 4x 2) = 6x3 9x2+ 12x 62. Multiplicacin de un monomio por un polinomioSe multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.Ejemplo:3x2 (2x3 3x2+ 4x 2) == 6x5 9x4+ 12x3 6x2

3. Multiplicacin de polinomiosEste tipo de operaciones se puede llevar a cabo de dos formas distintas.Mira la demostracin con el siguiente ejemplo:

P(x) = 2x2 3 Q(x) = 2x3 3x2+ 4x

OPCIN 11. Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del segundo polinomio.P(x) Q(x) = (2x2 3) (2x3 3x2+ 4x) == 4x5 6x4+ 8x3 6x3+ 9x2 12x =2. Se suman los monomios del mismo grado.= 4x5 6x4+ 2x3+ 9x2 12x3. Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.Grado del polinomio = Grado de P(x) + Grado de Q(x) = 2 + 3 =5

OPCIN 2

Divisin de polinomiosPara explicar la divisin de polinomios nos valdremos de un ejemplo prctico:P(x) = x5+ 2x3 x 8 Q(x) =x2 2x + 1P(x) : Q(x)A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomiono es completodejamoshuecosen los lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.x5: x2= x3Multiplicamos cada trmino del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:

Volvemos adividirel primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

Procedemos igual que antes.

Volvemos a hacer las mismas operaciones.

Regla de RuffiniPara explicar los pasos a aplicar en laregla de Ruffinivamos a tomar de ejemplo la divisin:(x4 3x2+ 2 ) : (x 3)1. Si el polinomio no es completo, lo completamos aadiendo los trminos que faltan con ceros.2. Colocamos los coeficientes del dividendo en una lnea.3. Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del trmino independendiente del divisor.4. Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.

5. Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente trmino.

6. Sumamos los dos coeficientes.

7. Repetimos el proceso anterior.

Volvemos a repetir el proceso.

Volvemos a repetir.

8. El ltimo nmero obtenido,56, es el resto.9. El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido.

x3+ 3 x2+ 6x +18

Identidades NotablesBinomio al cuadrado(a + b)2= a2+ 2 a b + b2(a b)2= a2 2 a b + b2Ejemplos1.(x + 3)2= x2+ 2 x 3 + 32= x2+ 6 x + 92.(2x 3)2= (2x)2 2 2x 3 + 32= 4x2 12 x + 9

Suma por diferencia(a + b) (a b) = a2 b2Ejemplo1.(2x + 5) (2x - 5) = (2x)2 52= 4x2 252.(2x + y) (2x y) = (2x)2 (y)2= 4x4 y6

Binomio al cubo(a + b)3= a3+ 3 a2 b + 3 a b2+ b3(a b)3= a3 3 a2 b + 3 a b2 b3Ejemplos1. (x + 3)3== x3+ 3 x2 3 + 3 x 32+ 33== x3+ 9x2+ 27x + 272. (2x3)3== (2x)3 3 (2x)2 3 + 3 2x 32 33== 8x3 36x2+ 54x 27Trinomio al cuadrado(a + b + c)2= a2+ b2+ c2+ 2 a b + 2 a c + 2 b cEjemplo1. (x2 x + 1)2== (x2)2+ (x)2+ 12+ 2x2(x) + 2 x21 + 2(x)1== x4+ x2+ 1 2x3+ 2x2 2x== x4 2x3+ 3x2 2x + 1

Suma de cubosa3+ b3= (a + b) (a2 ab + b2)Ejemplo8x3+ 27 == (2x + 3) (4x2 6x + 9)

Diferencia de cubosa3 b3= (a b) (a2+ ab + b2)Ejemplos8x3 27 == (2x 3) (4x2+ 6x + 9)

Races de un polinomio

Son los valores que anulan el polinomio.Ejemplo

Calcular las races del polinomio:P(x) = x2 5x + 6P(2) = 22 5 2 + 6 = 4 10 + 6 = 0P(3) = 32 5 3 + 6 = 9 15 + 6 = 0x = 2 y x = 3 son races o ceros del polinomio: P(x) = x2 5x + 6, porqueP(2) = 0 y P(3) = 0.

Factorizacin de un polinomioSacar factor comnConsiste en aplicar la propiedad distributiva:a b + a c + a d = a (b + c + d)EjemplosDescomponer en factores sacando factor comn y hallar las races1.x3+ x2=x2(x + 1)La races son:x = 0yx = 12.2x4+ 4x2=2x2(x2+ 2)Slo tiene una raz x = 0; ya que el polinomio, x2+ 2, no tiene ningn valor que lo anule; debido a que al estar la x al cuadrado siempre dar un nmero positivo, por tanto es irreducible.3.x2 ax bx + ab =x (x a) b (x a) = (x a) (x b)La races sonx = ayx = b.

Diferencia de cuadradosUna diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia.a2 b2= (a + b) (a b)EjemplosDescomponer en factores y hallar las races1.x2 4 =(x + 2) (x 2)Las races sonx = 2yx = 22.x4 16 = (x2+ 4) (x2 4) == (x + 2) (x 2) (x2+ 4)Las races sonx = 2yx = 2

Trinomio cuadrado perfectoUn trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado.a2 2 a b + b2= (a b)2EjemplosDescomponer en factores y hallar las races1.

La raz esx = 3, y se dice que es unaraz doble.2.

La raz esx = 2.

Fracciones AlgebraicasUna fraccin algebraica es el cociente de dos polinomiosy se representa por:

P(x) es el numerador.Q(x) es el denominador.

Simplificacin de fracciones algebraicasPara simplificar una fraccin algebraica se divide el numerador y el denominador de la fraccin por un polinomio que sea factor comn de ambos.Ejemplo

Suma y Resta de Fracciones AlgebraicasCon el mismo denominadorEjemploSumar las fracciones algebraicas:

Suma de fracciones algebraicas con distinto denominador

Multiplicacin de fracciones algebraicas

Multiplicar las fracciones algebraicas:

Divisin de fracciones algebraicas

Dividir las fracciones algebraicas:

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

IgualdadUnaigualdadse compone de dos expresiones unidas por el signo igual.2x + 3 = 5x 2Unaigualdadpuede ser:Falsa:Ejemplo2x + 1 = 2 (x + 1) 2x + 1 = 2x + 2 12.CiertaEjemplo2x + 2 = 2 (x + 1) 2x + 2 = 2x + 2 2 = 2

IdentidadUna identidad es una igualdad que es cierta para cualquier valor de las letras.Ejemplo2x + 2 = 2 (x + 1)2x + 2 = 2x + 22 = 2EcuacinUna ecuacin es una igualdad que se cumple para algunos valores de las letras.x + 1 = 2 x = 1Losmiembrosde una ecuacin soncada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del signo igual.Lostrminos son los sumandos que forman los miembros.

Lasincgnitas son las letras que aparecen en la ecuacin.Lassolucionesson losvalores que deben tomar las letras para que la igualdad sea cierta.2x 3 = 3x + 2x = 52 (5) 3 = 3 (5) + 2 10 3 = 15 + 213 = 13Elgradode una ecuacin es elmayor de los grados de los monomios que forman sus miembros.

Tipos de ecuaciones segn su grado

Ecuacin de primer grado.

5x + 3 = 2x +1

Ecuacin de segundo grado.5x + 3 = 2x2+ x

Ecuacin de tercer grado.

5x3+ 3 = 2x +x2

Ecuacin de cuarto grado.

5x3+ 3 = 2x4+1

Tipos de ecuaciones plinomicas1. Ecuaciones de primer grado o linealesSon del tipoax + b = 0, con a 0, cualquier otra ecuacin en la que al operar, trasponer trminos y simplificar adoptan esa expresin.(x + 1)2= x2- 2x2+ 2x + 1 = x2- 22x + 1 = -22x + 3 = 02. Ecuaciones de segundo grado o cuadrticasSon ecuaciones del tipoax2+ bx + c = 0, con a 0.Ecuaciones de segundo grado incompletasax2= 0ax2+ b = 0ax2+ bx = 0

3. Ecuaciones de tercer grado

Son ecuaciones del tipoax3+ bx2+ cx + d = 0, con a 0.

4. Ecuaciones de cuarto grado

Son ecuaciones del tipoax4+ bx3+ cx2+ dx + e = 0, con a 0.Ecuaciones bicuadradasSon ecuaciones de cuarto grado que no tiene trminos de grado impar.ax4+ bx2+ c = 0, con a 0.

5. Ecuaciones de grado n

En general, las ecuaciones de grado n son de la forma:a1xn+ a2xn-1+ a3xn-2+ ...+ a0= 0

ECUACIONES NO POLINOMICAS1. Ecuaciones exponencialesSon ecuaciones en la que la incgnita aparece en el exponente.

2. Ecuaciones logartmicasSon ecuaciones en la que la incgnita aparece afectada por un logaritmo.

3. Ecuaciones trigonomtricasSon las ecuaciones en las que la incgnita est afectada por una funcin trigonomtrica. Como stas son peridicas, habr por lo general infinitas soluciones.

Ecuaciones Equivalentes

Criterios de equivalencia de ecuacionesSi a los dos miembros de una ecuacin se les suma o se les resta una misma cantidad, la ecuacin es equivalente a la dada.

x + 3 = 2x + 3 3 = 2 3x = 5

2.Si a los dos miembros de una ecuacin se les multiplica o se les divide una misma cantidad, la ecuacin es equivalente a la dada.5x + 10 = 15(5x + 10) : 5 = 15 : 5x + 2 = 3x + 2 2= 3 2x = 1

Pasos para resolver ecuaciones

1Quitar parntesis.2Quitar denominadores.3Agrupar los trminos enxen un miembro y los trminos independientes en el otro.4Reducir los trminos semejantes.5Despejar la incgnita.

SISTEMA DE ECUACIONES

Sistema de ecuaciones con dos incgnitasDos ecuaciones con dos incgnitas forman un sistema, cuando lo que pretendemos de ellas es encontrar su solucin comn.

La solucin de un sistema es un par de nmeros x1,y1, tales que reemplazando x por x1e y por y1, se satisfacen a la vez ambas ecuaciones.

Mtodo de sustitucin1.Se despeja una incgnita en una de las ecuaciones.2.Se sustituye la expresin de esta incgnita en la otra ecuacin, obteniendo un ecuacin con una sola incgnita.3.Se resuelve la ecuacin.4.El valor obtenido se sustituye en la ecuacin en la que apareca la incgnita despejada.5.Los dos valores obtenidos constituyen la solucin del sistema.EJEMPLO

1.Despejamosuna de las incgnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incgnita que tenga el coeficiente ms bajo.

2.Sustituimosen la otra ecuacin la variable x, por el valor anterior:

3.Resolvemos la ecuacinobtenida:

4.Sustituimos el valorobtenido en la variable despejada.

5.Solucin

Mtodo de igualacin1.Se despeja la misma incgnita en ambas ecuaciones.2.Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuacin con una incgnita.3.Se resuelve la ecuacin.4.El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que apareca despejada la otra incgnita.5.Los dos valores obtenidos constituyen la solucin del sistema.EJEMPLO

1. Despejamos, por ejemplo, la incgnitaxde la primera y segunda ecuacin:

2. Igualamosambas expresiones:

3. Resolvemosla ecuacin:

4.Sustituimosel valor dey, en una de las dosexpresionesen las que tenemosdespejada la x:

5Solucin:

Mtodo de Reduccin1.Se preparan las dos ecuaciones, multiplicndolas por los nmeros que convenga.2.La restamos, y desaparece una de las incgnitas.3.Se resuelve la ecuacin resultante.4.El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.5.Los dos valores obtenidos constituyen la solucin del sistema.EJEMPLO

Lo ms fcil es suprimir la y, de este modo no tendramos que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso.

Restamos y resolvemos la ecuacin:

Sustituimos el valor de y en la segunda ecuacin inicial.

Solucin:

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Una ecuacin de segundo grado es toda expresin de la forma:ax2+ bx +c = 0 con a 0.Se resuelve mediante la siguiente frmula:

Una ecuacin de segundo grado es toda expresin de la forma:ax2+ bx +c = 0 con a 0.

Se resuelve mediante la siguiente frmula:

Ecuaciones RacionalesPara resolver ecuaciones racionales se multiplican ambos miembros de la ecuacin por el mnimo comn mltiplo de los denominadores.

Comprobamos la solucin:

La ecuacin no tiene solucin porque para x = 1 se anulan los denominadores.

GRACIAS