Proyecto de matematicas - Conjunto y sistema de Ecuasiones

CATEDRATICO ING. KAREN LEON GARCIA

MODULO JUNIO – JULIO

UNIVERSIDAD ESTATAL DE MILAGRO

PROYECTO DE

MATEMATICAS

INTEGRANTES:

ABARCA TENESACA TANIA

CASTILLO SILVA LAILIN

GARCIA RAMOS EVELYN

GUALLPA CAJILEMA JENNIFER

SANCHEZ ALVARADO MARIA

INTRODUCCION

Las matemáticas ha sido nuestra base fundamental para el inicio de nuestro proyecto ya que esta tiene mucho que ver en lo que vamos a realizar porque su importancia en la vida cotidiana nos lleva a ver que la necesitamos en todo momento desde lo más mínimo hasta lo más complicado. Es el único medio que tenemos para entender el mundo que nos rodea, además es el soporte de los avances técnicos que están presentes en la vida cotidiana, ya que vivimos en la sociedad del conocimiento y que cada día se requiere más de sus miembros(individuos/personas). Nos ayuda a tener una mejor organización, también a aprender técnicas o formas para así tener ideas, analizar y desarrollar métodos que nos ha servido a la hora de tomar decisiones. Además la empleamos en todas las actividades, tales como cuanto se va gastar de viáticos, implementos (copias, impresiones), también a establecer las problemática y encontrar una adecuada solución sobre las mismas. Las matemáticas son muy importantes, y te ayudan a mejorar la capacidad de razonamiento ya que sus bases son los números los cuales nos permiten realizar operaciones desde las más fáciles como también operaciones complicadas. Nosotros como estudiantes queremos demostrarle lo fácil y maravilloso ,que puede ser este mundo lleno de números, con maneras didácticas y comprensibles le mostraremos que las matemáticas no son tan complicadas como nos lo han hecho creer

Desigualdades

Es una expresión que indican que una cantidad es menor o mayor que otra y

tenemos 4 signos > < ≥ ≤

Tipos de intervalos

Intervalo abierto.- es cuando los signos son mayor y menor se los

representa con ( ) o °.

Intervalo cerrado.- Es cuando los signos son mayor igual y menor igual y

se lo representa [ ] o •.

Intervalo semicerrado.- Es una combinación de ambos.

Solución o también llamado conjunto solución

a) En forma de desigualdad.

b) En forma de intervalo.

×>2 ×<2

×Є(2,+∞) ×Є(-∞,+2)×

c) En forma gráfica

- ∞________i_________+∞

2

NOTA: Los signos +,- siempre se agrupan con el intervalo abierto, es decir ( ) a

ellos jamás se los agrupa con el signo del intervalo cerrado [ ].

Pasos para resolver los ejercicios

Ejercicio n° 1 (2×-3)²+4×²(×-7) < 4(×-2)³

EN FORMA DE DESIGUALDAD

1.- Resolvemos potencias

(4×²-12×+9)+4×²(×-7) < 4(×³-6×²+12×-8)

X>2 X<2

2.- Suprimimos signos de agrupación, en este caso paréntesis, resolviendo las

multiplicaciones.

4×²-12×+9+4×³-28×² < 4×³-6×²+12×-8

3.- Se agrupan todos los términos con la incógnita (×) hacia el lado izquierdo

(antes del signo <) y del lado derecho los números sin incógnita.

4×²-12×+4×³-28×²-4×³+24×²-48× < -32-9

4.- Se procede a reducir los términos semejantes es decir signos iguales se

suman y se pone el mismo signo y signos diferentes se restan y se pone el

signo del número mayor.

-60× < -41

5.- Se aplica artificio matemático -1, en caso de que la incógnita vaya precedido

de un signo negativo y el signo < cambia o sea, pasa a ser >.

(-1) -60× < -41

60×>41

6.- Se despeja la incógnita (×) de lo cual el número que está multiplicando pasa

a dividir.

× > 41/60

EN FORMA DE INTERVALO

El resultado se aplica en forma de intervalo donde:

×Є (41/60, ∞+)

EN FORMA GRAFICA

Finalmente lo graficamos

-∞__________i___________+∞

41/60

Ejercicio n° 2

EN FORMA DE DESILGUALDAD

1.-Empezamos identificando común denominador.

2.- Como regla se eliminan el común denominador quedando la siguiente

desigualdad.

(2×+1)(3×+2) > (2×+5)(3×-1)

3.- Multiplicamos para suprimir los paréntesis y nos queda lo siguiente:

6×²+4×+3×+2 > 6×²-2×+5×-5

4.- Se agrupan todos los términos con la incógnita (×) hacia el lado izquierdo

(antes del signo <) y del lado derecho los números sin incógnita.

6×²+4×+3×-6×²+2×-15× > -5-2

4.- Se procede a reducir los términos semejantes es decir signos iguales se

suman y se pone el mismo signo y signos diferentes se restan y se pone el

signo del número mayor.

-6× > -7

5.- Se aplica artificio matemático -1, en caso de que la incógnita vaya precedido

de un signo negativo y el signo < cambia o sea, pasa a ser >.

(-1) -6× > -7

6× < 7

6.- Se despeja la incógnita (×) de lo cual el número que está multiplicando pasa

a dividir.

× < 7/6

EN FORMA DE INTERVALO

El resultado se aplica en forma de intervalo donde:

×Є (- ∞,7/6)

EN FORMA GRAFICA

Finalmente lo graficamos

-∞__________i___________+∞

7/6

DESIGUALDADES DOBLES

Primero antes de empezar hay que saber que es desigualdad. Desigualdad es

la expresión algebraica que sus dos miembros aparecen ligados por uno de

estos signos:

< menor que

> mayor que

≤ menor o igual que

≥ mayor o igual que

En un principio las desigualdades dobles pueden parecer muy intimidantes

para resolverlas porque existen tres lados de la ecuación pero, si sigues la guía

paso a paso como se la indica, la encontraras menos intimidante y mucho más

fácil de resolver.

A las desigualdades dobles se le realizan dos lecturas: de izquierda a derecha

y de derecha a izquierda.

Ejercicio 1

1. Se empieza por observar e identificar el ejercicio, una vez identificado

que el ejercicio es una desigualdad doble, procedemos a resolverlo.

Recordando que antes de aplicar cualquier proceso matemático hay

que tener el claro qué clase de ejercicio es para aplicar el procedimiento

correcto.

8 ≥ [(2x-5)] – 3 > 1 - x

3

2. Como mencionamos anteriormente se hace dos lecturas y de esa

manera se forma dos desigualdades así:

8 ≥ [(2x-5)] – 3 > 1 – x 3

Primera lectura Segunda lectura

Ocho mayor igual que dos x

menos cinco sobre tres,

menos tres

Dos x menos cinco sobre tres,

menos tres, mayor que uno

menos x.

8 ≥ [(2x-5)] – 3 3

[(2x-5)] – 3 > 1 – x 3

3. Una vez formada las dos desigualdades se procede a resolver la

primera desigualdad, despejando X:

8 ≥ [(2x-5)] - 3 3

3.1. Se resuelve lo que está dentro del paréntesis, es decir en este caso los

paréntesis se van:

8 ≥ [2x-5] - 3 3

3.2. Se desaparecen los corchetes:

8 ≥ 2x-5 - 3 3

3.3. Se busca el común denominador, en este ejercicio el común

denominador es tres y se multiplica para cada uno de los numeradores:

3(8) ≥ 1(2x-5) - 3(3) 3

3.4. El denominador se desaparece:

24 ≥ 2x-5 - 9

3.5. Se pasa el número con la incógnita x a lado izquierdo (antes del igual) y

los enteros sin incógnitas pasan al lado derecho (después del igual),con

el signo cambiado:

- 2x ≥ - 5 - 9 – 24

3.6. Se resuelve la suma, aplicando la ley de signos (signos iguales se

suman y se pone el mismo signo)

- 2x ≥ - 38

3.7. Como el número que esta con la incógnita queda negativo, se aplica el

artificio (-1), que va a multiplicar toda la desigualdad:

(-1) - 2x ≥ -38 (-1)

3.8. En este caso nos queda todo positivo (+) y el signo de “mayor igual

que”, pasa a ser “menor igual que”:

2x ≤ 38

3.9. Luego lo que está multiplicando (2) a la incógnita (x), pasa a dividir:

X ≤ 38 2

3.10. La respuesta de la primera desigualdad es:

x ≤ 19

4. Lugo resolvemos la segunda desigualdad de la misma forma,

despejando la incógnita X:

[(2x-5)] – 3 > 1 - x 3

4.1. Se resuelve lo que está dentro del paréntesis, es decir en este caso los

paréntesis se van:

[2x-5] – 3 > 1 - x 3

4.2. Se desaparecen los corchetes:

2x-5 – 3 > 1 - x 3

4.3. Se busca el común denominador, en este ejercicio el común

denominador es tres y se multiplica para cada uno de los numeradores:

(2x-5) - 3(3) > 3 (1 – x) 3

4.4. El denominador se desaparece:

2x-5 - 9 > 3 – 3x

4.5. Se pasa el número con la incógnita x a lado izquierdo (antes del igual) y

los enteros sin incógnitas pasan al lado derecho (después del igual),

con el signo cambiado:

2x + 3x > 3 + 5 + 9


suman y se pone el mismo signo):

5x > 17

4.7. En este caso nos queda todo positivo y se procede a despejar la

incógnita pasando a lado derecho lo que está multiplicando (5) a la

incógnita (x), pasa a dividir:

X > 17 5

4.8. Y la respuesta de la segunda desigualdad es:

X > 3,4

5. Los resultados que se ha obtenido de las dos desigualdades serán

expresados en intervalos y se las puede escribir de dos formas:

X [ 19, 3.4)

X (−∞, 19] X (3.4,+∞)

6. Por ultimo hacemos la representación gráficamente utilizando los

intervalos para graficar:

o ●

−∞ +∞

3.4 19

Ejercicio 2

1. Se empieza por observar e identificar el ejercicio, una vez identificado que

el ejercicio es una desigualdad doble, procedemos a resolverlo. Recordando

que antes de aplicar cualquier proceso matemático hay que tener el claro

qué clase de ejercicio es para aplicar el procedimiento correcto.

-3 < 7 + 2x ≤ 7 2. Como mencionamos anteriormente se hace dos lecturas y de esa manera

se forma dos desigualdades así:

-3 < 7 + 2x ≤ 7

Primera lectura Segunda lectura

Menos tres es menor que

siete, más dos

Siete más dos x es menor

igual que siete

−3 < 7 + 2x 7 + 2x ≤ 7

3. Una vez formada las dos desigualdades se procede a resolver la primera

desigualdad, despejando X:

− 3 < 7 + 2x

3.1. Se pasa el número con la incógnita x a lado izquierdo (antes del igual)

y los enteros sin incógnitas pasan al lado derecho (después del

igual),con el signo cambiado:

− 2x < 7 + 3


suman y se pone el mismo signo)

- 2x < 10

3.3. Como el número que esta con la incógnita queda negativo, se aplica el

artificio (-1), que va a multiplicar toda la desigualdad:

(-1) - 2x < 10 (-1)

3.4. El signo de “menor que”, pasa a ser “mayor que”:

2x > − 10

3.5. Luego lo que está multiplicando (2) a la incógnita (x), pasa a dividir:

x > − 10 2

3.6. La respuesta de la primera desigualdad es:

x > − 5

4. Luego resolvemos la segunda desigualdad de la misma forma, despejando

la incógnita X:

7 + 2x ≤ 7

4.1. Se deja el número con la incógnita x a lado izquierdo (antes del igual) y

los enteros sin incógnitas pasan al lado derecho (después del igual),

con el signo cambiado:

2x ≤ 7 – 7


suman y se pone el mismo signo):

2x ≤ 0

4.3. En este caso nos queda todo positivo y se procede a despejar la

incógnita pasando a lado derecho lo que está multiplicando (2) a la

incógnita (x), pasa a dividir:

X ≤ 0 2

4.4. Y la respuesta de la segunda desigualdad es:

X ≤ 0

5. Los resultados que se ha obtenido de las dos desigualdades serán

expresados en intervalos y se las pueden expresar de dos maneras:

X ( − 5, 0]

X (−5, +∞) X ( −∞, 0]

6. Por ultimo hacemos la representación gráficamente utilizando los intervalos

para graficar:

o ●

−∞ +∞ −5 0

CONJUNTOS

Definición De Conjunto

Un conjunto es un grupo de elementos u objetos especificados en tal forma que

se puede afirmar con certeza si cualquier objeto dado pertenece o no a la

agrupación. Para denotar a los conjuntos, se usan letras mayúsculas.

Determinación de un Conjunto

Los conjuntos pueden definirse por extensión o por comprensión.

Extensión

Se escriben los elementos que forman parte del conjunto, uno por uno

separados por una coma y entre paréntesis de llaves.

C = {norte, sur, este, oeste}

Comprensión

Decimos que un conjunto es determinado por comprensión, cuando se da una

propiedad que se cumpla en todos los elementos del conjunto y sólo ellos.

C = {x / x es un punto cardinal}

Y se lee de la siguiente manera: “C” es el conjunto de todos los elementos x,

tal que x es uno de los puntos cardinales.

Diagrama de Venn

Diagrama que representa conjuntos y muestra gráficamente donde se

intersecan esos conjuntos. En él, cada conjunto está representado por la región

dentro de una curva cerrada simple. Se nombra así en honor de Venn, un

inglés que primero utilizó este tipo de diagrama.

Tipos de conjuntos

Conjunto Unitario: Es el que tiene un único elemento

Conjunto Vacío: Es el que no posee elementos. También se le llama

conjunto nulo. Generalmente se le representa por los símbolos: vacío ó { }

B = vacío ó B = { } se lee: B es el conjunto vacío ó B es el conjunto nulo

Conjunto Finito: Se llama así al conjunto al cual podemos nombrar

su último elemento

Ejemplo: D = {x/x es día de la semana}

Es finito porque sabemos cuáles son todos los días de la semana.

http://www.google.com.ec/imgres?imgurl&imgrefurl=http://html.rincondelvago.com/conjuntos.html&h=0&w=0&sz=1&tbnid=zuxfItXa2-Ce9M&tbnh=124&tbnw=174&prev=/search?q=conjunto+unitario+ejemplos&tbm=isch&tbo=u&zoom=1&q=conjunto unitario ejemplos&docid=jx3ibsvfFa6yAM&hl=es&ei=_qnsUf-wGvOq4AOezYCIDg&ved=0CAEQsCU

http://www.google.com.ec/url?sa=i&rct=j&q=conjunto vacio ejemplos para ni%C3%B1os&source=images&cd=&cad=rja&docid=jx3ibsvfFa6yAM&tbnid=DStpQ7iN2AEF5M:&ved=0CAUQjRw&url=http://html.rincondelvago.com/conjuntos.html&ei=aarsUdbWIpL_4AOWz4DYBg&bvm=bv.49478099,d.dmg&psig=AFQjCNGkQYuWN8IXP4LlrIgRxpW4oGXiNw&ust=1374550980752601

http://www.google.com.ec/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&docid=CRD-qHB1neEbLM&tbnid=rTFxtHsrj7UpGM:&ved=0CAgQjRwwAA&url=http://ericmat.wordpress.com/capitulos/&ei=v6rsUYDlFZat4APl5YGYBQ&psig=AFQjCNFcJUI9XOIalA1B7kAZWourLaHWEQ&ust=1374551103398532

Conjunto Infinito: Se denomina así, ya que no podemos nombrar su último

elemento.

Un ejemplo de conjunto infinito son las estrellas del cielo. Los conjuntos

infinitos siempre deberán determinarse por comprensión; para el ejemplo:

B = {x/x son las estrellas del universo}

Conjunto Universo: Se llama así al conjunto conformado por los miembros

o elementos de todos los elementos que hacen parte de la caracterización.

Por ejemplo, dados:

A = {1, 3, 5, 7} B = {2, 3, 4} C = { 6, 7, 8, 9}

El conjunto universal o referencial es:

U ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Conjuntos Equivalentes: Son aquellos que tienen igual cardinalidad, es

decir, igual número de elementos.

Los conjuntos T y P son equivalentes porque tienen la misma cardinalidad.

Conjuntos Iguales: Son todos aquellos conjuntos que tienen elementos

iguales. Los elementos de un conjunto también pertenecen al mismo conjunto.

Ejemplo:

D F D = F

T = { , , }

# T = 3

P = { a, b, c } # P = 3

Los conjuntos D y F son iguales porque tienen el mismo elemento. A veces

pueden estar desordenados los elementos cuando son más de uno, en tal

caso, debe recordarse que en un conjunto no importa el orden en que estén los

elementos.

Conjuntos homogéneos: En estos conjuntos los elementos o miembros

que los componen responden al mismo género o tipo. Por ejemplo el conjunto

A que contiene los elementos 1, 5, 3, 7, 6, 8. Aquí todos sus elementos son

números por lo que conforman un conjunto homogéneo.

Conjuntos heterogéneos: estos conjuntos están compuestos por

elementos que corresponden a distintos tipos, géneros o clases, por ejemplo, el

conjunto A es 2, j, perro, azul.

Operaciones con Conjuntos

Unión

La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos de A

con todos los elementos de B sin repetir ninguno y se denota como A∪ B . Esto es:

Intersección La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos de A que también pertenecen a B y se denota como A∩ B. Esto es:

Complemento

El complemento del conjunto A con respecto al conjunto universal U es el conjunto de todos los elementos de U que no están en A y se denota como 'A . Esto es:

U – A

Conjunto universo

Ejemplo:

U=

SE LO REPRESENTACON: A´ o AC

AC =

Diferencia

La diferencia de los conjuntos A y B (en ese orden) es el conjunto de los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B y se denota como A− B . Esto es:

Todos los elementos de A

que no pertenecen a B.

Conjunto cualquiera

1,2,3,4,5,6,7,8,9 Y A= 1,3,5,7,9

2,4,6,8

Diferencia Simétrica

La diferencia simétrica de dos conjuntos es otro conjunto que contiene a todos

los elementos de ambos conjuntos sin tener en cuenta su intersección Sean A

y B dos conjuntos. Se denomina diferencia simétrica entre A y B a:

A=

B=

DIFERENCIA SIMETRICA

2,4,6,8,10

2,4,5,7,9

FUNCIONES LINEALES

Recordemos que una función es una correspondencia entre los elementos de

un conjunto de partida, llamado DOMINIO, y los elementos de un conjunto de

llegada CONDOMINIO, de forma tal que a cada elemento del dominio le

corresponde uno, solo uno, en el condominio.

Definición.-Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los

números reales, cuyo condominio son también todos los números reales, y

cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.

Definición:

f: R R / f(x) = a.x+b donde a y b son números reales, es una función

lineal.

Este último reglón se lee:

F de R en R tal que f de equis es igual a a.x+b.

EJERCICIO 1

y=3x+3

1.-Se reemplaza la x por el valor inicial en la tabla que es 0.

f(x)=3(0)+3

2.-Se multiplica por el número que se ha reemplazado x .

f(x)=0+3

3.-Resolvemos la operación que se ha encontrado.

f(x)=3

4.-Con el mismo ejercicio se reemplaza la x por el valor de 1.

f(x)=3(1)+3

5.-Se multiplica por el número que se ha reemplazado x.

f(x)=3+3


f(x)=6


f(x)=3(2)+3


f(x)=6+3


f(x)=9


f(x)=3(3)+3


f(x)=12

12.-Con el mismo ejercicio se reemplaza la x por el valor de -1.

f(x)=3(-1)+3


f(x)=-3+3


f(x)=0

14.- Con el mismo ejercicio se reemplaza la x por el valor de -2.

f(x)=3(-2)+3


f(x)=-6+3

16.- Resolvemos la operación que se ha encontrado.

f(x)=-3


f(x)=3(-3)+3

17.-Se multiplica por el número que se ha reemplazado x

f(x)=-9+3


f(x)=-6

19.-QUEDARIA ASI:

f(x)=3x+3

f(x)=3(0)+3=0+3=3

f(x)=3(1)+3=3+3=6

f(x)=3(2)+3=6+3=9

f(x)=3(3)+3=9+3=12

f(x)=3(-1)+3=-3+3=0

f(x)=3(-2)+3=-6+3=-3

f(x)=3(-3)+3=-9+3=-6

19.-Se escribe los resultados en la tablas según con su valor.

X Y

0 3

1 6

2 9

3 12

-1 0

-2 -3

-3 -6

20.-Se grafica todos los puntos en el plano cartesiano y trazamos la recta

y

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2 1

-X

x

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

-11

(-)y

EJERCICIO 2

y=-2x+4

1.-Se reemplaza la x por el valor inicial en la tabla que es 0.

f(x)=-2(0)+4


f(x)=0+4


f(x)=4


f(x)=-2(1)+4


f(x)=-2+4


f(x)=2


f(x)=-2(2)+4


f(x)=-4+4


f(x)=0


f(x)=-2(3)+4


f(x)=-6+4


f(x)=-2

12.-Con el mismo ejercicio se reemplaza la x por el valor de -1.

f(x)=-2(-1)+4


f(x)=2+4


f(x)=6


f(x)=-2(-2)+4


f(x)=4+4


f(x)=8


f(x)=-2(-3)+4

17.-Se multiplica por el número que se ha reemplazado x

f(x)=6+4


f(x)=10

19.-QUEDARIA ASI:

y=-2x+4

f(x)=-2(0)+4=4

f(x)=-2(1)+4=-2+4=2

f(x)=-2(2)+4=-4+4=0

f(x)=-2(3)+4=-6+4=-2

f(x)=-2(-1)+4=2+4=6

f(x)=-2(-2)+4=4+4=8

f(x)=-2(-3)+4=6+4=10

20.-Se escribe los resultados en la tablas según con su valor.

X Y

0 4

1 2

2 0

3 -2

-1 6

-2 8

-3 10

20.-Se grafica todos los puntos en el plano cartesiano y trazamos la recta.

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

(-)X

x -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

-11 -12 -13

(-)y

CONCLUSION

Este proyecto se realizó con el fin recordar los temas antes mencionados así

atribuyendo con un granito de arena en la educación básica.

Y ya así con este recordatorio podremos mejorar en las prácticas y ejercicios

que algunas veces nos dan dolores de cabeza

Así reforzando nuestros conocimientos en las matemáticas y cumpliendo con

el compromiso de hacer fácil y didáctico el estudio de esta.

BIBLIOGRAFIA

EL LIBRO ROJO DE LAS MATEMATICAS

AUTOR: Moisés Villena Muñoz

LIBRO MATEMÁTICAS PREVIAS AL CÁLCULO: ANÁLISIS FUNCIONAL Y

GEOMETRÍA ANALÍTICA

Autor: Leithold, Louis.

LIBRO ECUACIONES Y DESIGUALDADES LINEALES EN UNA VARIABLE

Autor: Carolina Rodríguez

LIBRO MATEMATICAS:

Autor: José Sánchez Romero

Director: José Sánchez Romero

Editor: Carlos Cabrera

LIBRO: CONJUNTOS

Autor: National Council of Teachers of Mathematics

Editorial: Editorial Trillas S.A.

LIBRO: EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS RACIONALES (*)

Autor: National Council of Teachers of Mathematics

Editorial: Editorial Trillas S.A.

LIBRO: MATEMATICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACION Y LA

ECONOMÍA

Autor: ARYA, JAGDISH C. y LARDNER, ROBIN W.

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