“CONOZCAMOS NUESTRO UNIVERSO”: CARACTERIZACION Y CONSTRUCCIÓN DE LA ELIPSE A PARTIR DE SITUACIONES PROBLEMA

ESMERALDA ROCIO BOCANEGRA 316 252 39 41 esmeraldina_rbv@yahoo.com

JOSE VICENTE VELASQUEZ 315 512 65 24 josevelasquezm@hotmail.com

JORGE CALDERON 418 88 00 jorgewilliamcalderon@hotmail.com

CLAUDIA CECILIA GONZALEZ 312 869 50 26 clauceci7002@gmail.com

PROGRAMA DE COMPETENCIAS 10º Y 11º

INSTITUCIONES EDUCATIVAS: VICENTE BORRERO COSTA

SECRETARIA DE EDUCACION MUNICIPALUNIVERSIDAD DEL VALLE

INSTITUTO DE EDUCACION Y PEDAGOGIAAREA DE EDUCACION Y MATEMATICA

Santiago de Cali2010

INTRODUCCIÓN

Una herramienta metodológica que permite el trabajo colaborativo y la participación activa de los estudiantes es el aprendizaje basado en situaciones didácticas, las cuales bien realizadas por el docente, le permite a los estudiantes la comprensión de los conceptos junto con un análisis crítico y serio de lo aprendido.

TITULO

“CONOZCAMOS NUESTRO UNIVERSO”Caracterización Y Construcción De La Elipse A Partir De Situaciones Problema

1. PROBLEMA

1.1. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA

“El modelo de estudiantes receptores, pasivos y repetidores de frases bien elaboradas, ha ido reevaluándose con el transcurso de los años, para dar paso a planteamientos educativos donde el centro de atención es el estudiante, no como elemento vacío que debe ser colmado de conceptos, sino como un sujeto activo que debe apropiarse del conocimiento, sobre la base de una reflexión crítica de lo que aprenda.” y que “El docente ya no es el trasmisor de saberes ni el cuantificador de resultados, sino el orientador y dinamizador de procesos continuos e integrales.”1

Es necesario realizar un análisis a las prácticas pedagógicas utilizadas, repensar y cuestionar la pedagogía tradicional. Utilizar nuevas metodologías que tengan en cuenta al estudiante como parte de una comunidad y un contexto determinado, con conocimientos previos y con capacidad de análisis e investigación. Es necesario buscar y recorrer caminos que permitan que el conocimiento de la matemática sea significativo para el estudiante, reconociéndola como un conjunto de lenguajes y un proceso no acabado, con historia propia.

Al observar a los estudiantes se puede vislumbrar como ellos no encuentran relación entre lo que viven a diario con las temáticas que en general se trabajan en la clase de matemática, las clases no le ofrecen el aliciente por aprender y se carece en general de un interés por el estudio. El tema de las cónicas no escapa a este fenómeno pues por la limitación del tiempo su enseñanza se limita a la grafica y expresión de la ecuación correspondiente, desligada totalmente de su historia y aplicaciones. Los ejercicios que se realizan son repetitivos y no fomentan el análisis y el desarrollo de pensamiento matemático.

1Beltrán Beltrán, Luís Pompilio y otros, Matemáticas con Tecnología Aplicada. Prentice Hall de Colombia, Bogotá, 1999

1.2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

¿Cómo lograr que los estudiantes del grado decimo de nuestras instituciones educativas construyan, caractericen y planteen la ecuación correspondiente a la elipse, a partir de situaciones problemas e identifiquen los elementos que la conforman?

2. JUSTIFICACIÓN

La geometría como las matemáticas han jugado un papel importante en la consolidación de muchos saberes, sin embargo dentro del pensum académico parece tener una pérdida progresiva de su posición formativa central en la enseñanza de las matemáticas. Este decaimiento ha sido tanto cualitativo como cuantitativo. Síntomas de esta reducción se encuentran por ejemplo, en las recientes encuestas nacionales e internacionales sobre el conocimiento matemático de los estudiantes.

Con frecuencia la geometría es totalmente ignorada en ellas, o solamente se incluyen muy pocos ítems de geometría. En último caso, las preguntas tienden a ser confinadas a algunos "hechos" elementales sobre figuras simples y sus propiedades, y se reporta un desempeño relativamente pobre.

La brecha entre la concepción de la geometría como un área de investigación y como una materia a ser enseñada en las escuelas parece estar incrementándose; pero no parece encontrarse consenso en cómo superar esta brecha, ni aún si pudiera (o debiera) ser superada a través de la introducción de más tópicos avanzados en los grados inferiores del currículo escolar.

En el caso de la geometría analítica, la enseñanza se limita tanto en el tiempo dedicado a su enseñanza como en la metodología empleada reducida a la mecanización de procesos algebraicos.

Es importante recordar que los estudiantes en la educación básica y media deben alcanzar competencias matemáticas para llegar a resultados que le permitan comunicarse y hacer interpretaciones que les relacionando la matemática con situaciones cotidianas. Es así , que los docentes deben estar en constante cambio y actualización ,dejando atrás las prácticas tradicionales y enfocándose hacia nuevos estilos y métodos; al respecto el CNTM(Consejo nacional de profesores de matemáticas) escribe que los maestros deberían tener en cuenta las mejores prácticas para la enseñanza como por ejemplo ofrecer experiencias que estimulen la curiosidad de los estudiantes y adquieran confianza en la investigación ,la solución de problemas y en el aprendizaje entre otras.

Atendiendo a estas necesidades se hace ineludible la búsqueda de nuevas herramientas pedagógicas que lleguen al estudiante, lo motiven y que al mismo tiempo logre el desarrollo de pensamiento matemático. Es aquí donde la didáctica y las tics desempeñan un rol muy importante en la aprehensión y modificación del conocimiento. Las computadoras pueden ser usadas para obtener un entendimiento más profundo de las estructuras geométricas gracias al software específicamente diseñado para fines didácticos. Los ejemplos incluyen la posibilidad de simular las construcciones tradicionales con regla y compás, o la posibilidad de mover los elementos básicos de una configuración sobre la pantalla mientras se mantienen fijas las relaciones geométricas existentes, lo cual puede conducir a una presentación dinámica de objetos geométricos y favorecer la identificación de sus invariantes.

3. OBJETIVOS

3.1. Objetivo General:

Proporcionar herramientas que permitan al estudiante caracterizar y construir la elipse, dando solución a las .diferentes situaciones problemas que se le propongan.

3.2. Objetivos Específicos:

Utilizar la lúdica como estrategia practica en la construcción de la elipse y a partir de allí identificar los elementos que la componen.

Generar pensamiento matemático relativo a la construcción, representación de la elipse en el plano cartesiano a través de diferentes registros de representación, mediante el diseño, análisis y puesta en escena de una secuencia didáctica en diferentes contextos.

Potencializar el pensamiento variacional y su relación con otros pensamientos por medio del estudio de la elipse

Incentivar en el estudiante la formulación y resolución de situaciones problemas que involucren el concepto de la elipse, a través de diferentes representaciones.

Propiciar aprendizajes más significativos en nuestros estudiantes a través del fortalecimiento de los diferentes procesos de pensamiento (Razonamiento, Planteamiento y resolución de problemas, Modelación y Comunicación) y el trabajo por competencias.

Utilizar las tics como herramienta motivacional y practica en la construcción de la elipse y su análisis geométrico y algebraico

4. MARCO REFERENCIA

4.1. EL DISEÑO DE LA SECUENCIA DIDÁCTICA

La enseñanza de la matemática hoy en día requiere nuevas herramientas que permitan al estudiante la adquisición de conocimientos de una forma diferente a la tradicional, donde él sea parte activa del proceso enseñanza – aprendizaje.

Las situaciones didácticas brindan al docente y al estudiante una forma diferente de ver la matemática; favorecen el intercambio de conocimientos y el desarrollo de competencias básicas como la interpretativa, argumentativa y propositiva. Ellas enfrentan al estudiante a la acción, formulación y validación en la apropiación del conocimiento2.

Las situaciones que presentamos tienen la estructura de la dialéctica herramienta/objeto propuesta por Regine Douady, cuyo funcionamiento esta, a grandes rasgos, conformado por tres etapas:

“La primera etapa consiste en la utilización de un objeto conocido como herramienta explicita para introducir un procedimiento de resolución del problema o al menos una parte del problema. Dicho de otra forma, se moviliza lo antiguo para resolver al menos parcialmente el problema.

En la segunda etapa, el alumno encuentra dificultades para resolver completamente su problema. El alumno es conducido a buscar otros medios mejor adaptados a su situación. Esta etapa es una etapa de aprendizaje y es esencialmente en ella que las concepciones y representaciones del alumno evolucionan.

En la tercera etapa ciertos elementos son formulados e identificados” 3 y en nuestro caso nos permiten evaluar el nivel de conocimiento adquirido hasta el momento por el estudiante.

Es así como por medio de estas situaciones deseamos despertar en el estudiante el interés por la matemática, específicamente el estudio de la elipse, mostrando su utilidad y proyectándola fuera del aula. Teniendo presente que “El docente debe ser parte activa del desarrollo, implementación y evaluación del currículo, su papel debe ser el de propiciar una atmósfera cooperativa que conduzca a una mayor autonomía de los alumnos frente al conocimiento. Deberá crear situaciones problemáticas que permitan al estudiante explorar problemas, construir estructuras, plantear preguntas y reflexionar sobre modelos, estimular 2 BROUSSEAU, G. La théorisation des phénomenes d´enseignement des mathématiques. Thése, Université de Bordeaux, 1986.3 DOUADY, R. Jeux de Cadres et Dialectique outil-object, dans l´endeignement des mathématiques. Une realization dans tout le curses primaire. Thése d´Etat, Université Paris VII, 1984

representaciones informales y múltiples y, al mismo tiempo, propiciar gradualmente la adquisición de niveles superiores de formalización y abstracción, diseñar además situaciones que generen conflicto cognitivo” 4.

5. DISEÑO METODOLOGICOEl proyecto de intervención se aplicara en la Institución Educativa Vicente Borrero Costa. Se realizaran tres situaciones

didácticas con el objetivo de conceptuar la elipse de forma que los estudiantes la construyan y caractericen claramente dando solución a situaciones problemas que las

involucren.Cada situación consta de una serie de actividades las cuales se desarrollarán en forma grupal (grupos de 4 estudiantes) para discutir las diferentes posibles

soluciones y llegar a una única solución enriquecida por el aporte de cada uno de los integrantes del grupo.Al finalizar la aplicación de las diferentes situaciones se realizará

la evaluación y se anotarán las conclusiones, teniendo en cuenta las dificultades, interrogantes y los resultados presentados por los estudiantes. En todas las situaciones

estará presente el docente como orientador, guía y moderador, aclarando aquellos interrogantes que se presenten.PROPUESTA

5.1. SECUENCIA DIDACTICA

SECCION CONICA

“Haciendo nuevas preguntas llegaremos a tener nuevos conocimientos”

Situación 1

Materiales:Plastilina,CartulinaBisturí

4 Nuevos Lineamientos Curriculares. MEN.

Hoja de papel cuadriculadoMolde

Procedimiento:Con la plastilina elaborar un cono, y con ayuda del molde construir un cono circular recto. Una vez armados los conos, realizar los siguientes los siguientes cortes, utilizando el bisturí:

a. Horizontal, paralelo a la base del conob. Vertical, paralelo al eje vertical del cono. c. Diagonal al eje horizontal del conod. Diagonal , paralelo a uno de los lados del cono

Observa las figuras obtenidas, en la superficie plana, al realizar cada uno de los cortesRepresenta en una hoja las figuras obtenidas.

Todas estas curvas son llamadas cónicas y se estudian en la geometría analítica, siendo útiles para el análisis de las órbitas de los planetas, la trayectoria de los proyectiles y el cálculo de áreas.

Situación 2

Elaboración de una elipse a través del plegado de papel en dos etapas.

1. Plegado del papel

Recorte un círculo de papel de cualquier radio e indique el centro del mismo.Marque en el interior de dicho circulo un punto P que sea distinto de su centro O. Doble el círculo de manera que la circunferencia pase por el punto P. Como se indica en la figura.

Realice varios dobleces, haciendo siempre coincidir puntos de la circunferencia con el punto P, hacer esto en varias direcciones.

2. Una vez realizados estos dobleces:a. Que observas? Discute con tus compañerosb. Qué figura se obtiene?, delinéala.c. Qué función cumplen los puntos O y P

Los dobleces realizados parecen delimitar una elipse cuyos focos son a simple vista los puntos O y P, el centro del circulo, y el punto fijado en su interior, respectivamente.

Esto se muestra en la siguiente figura.

La figura así formada recibe el nombre del ELIPSESituación 3

Sobre una hoja de papel cuadriculado ubica los puntos F1 y F2, separados una distancia d.

F1 F2

En un lugar cualquiera ubica el punto P a cierta distancia de los puntos F1 y F2

P

F1 F2

Con ayuda de un cordon mide la distancia F1 P (dis(F1P))y únela con la de F2 P. Manteniendo fija esta longitud ubica los extremos del cordel en los puntos F1 y F2, tensiona el cordel con la punta del lápiz (como se muestra en la figura) en P y manteniéndola siempre tensa desliza el lápiz y dibuja cuantos puntos creas convenientes.

d

Mediante un trazo suave une los puntos. La figura así formada recibe el nombre del ELIPSE, obsérvala y responde:

1. ¿Cómo se obtuvieron cada uno de los puntos que forman la elipse?

2. Plantea una relación entre dis(F1P), dis(F2,P) y la longitud del cordón.

3. Si escogiéramos otro punto de la elipse Q, ¿Qué relación habría entre la longitud del cordón y la dis(F1Q) y dis(F2,Q)?

4. Socializa tus respuestas con tus compañeros. Une mediante una recta los focos (puntos F1 y F2), y prolonga sus extremos hasta tocar puntos de la figura, llamaremos a dichos puntos vértices y los denotaremos así: V1 y V2. Traza la mediatriz a la recta V1V2 y denota al punto medio como O.A partir de estos trazos representa los ejes coordenados.Determina las coordenadas de los puntos V ,V, F ,F ,O ,Q ,P

5. Calcula las distancias (dis(V1,F1) y dis(V2,F2).6. Compara las distancias dis(V1,F1) y dis(V2,F2). ¿Qué relación hay entre ellas?.7. Calcula la distancia dis (V1, V2) y comparala con la longitud del cordón ¿Qué

relación existe entre ellas?8. Que podemos decir de la dis(P,F1) + dis(P,F2)?9. Que podemos decir de la dis(V1,F1) + dis(V1,F2)?10. Que podemos decir de la dis(V1,F1) + dis(F2, V2)?11. Que podemos decir de la dis(Q,F1) + dis(Q,F2)?12. Que conclusión puedes determinar para todo punto P (x, y ) de la elipse?

Q

Situación 4

¿QUE ES LA ELIPSE?La elipse es una curva cerrada y plana, cuyos puntos constituye un lugar geométrico que tienen la propiedad de que la suma de distancias de cada uno de sus puntos, a otros dos fijos, F1 y F2 llamados focos es constante e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje mayor.

Dibujemos en el plano cartesiano la elipse y ubiquemos los siguientes puntos

Analiza el gráfico y

responde:

1. ¿Cuáles son las coordenadas de los focos y de los vértices?2. ¿Cuál es la distancia entre los focos?3. ¿Cuál es la distancia entre los vértices?4. ¿A que es igual la suma: dis (V1, F1) + dis (V1, F2)?5. Compara la distancia entre los vértices con la suma de las distancias entre V1 a cada

uno de los focos (dis(V1, V2) y dis (V1, F1) + dis (V1, F2)). ¿Cómo son?

Al realizar el punto anterior pudiste comprobar que:dis (V1, V2) = dis (V1, F1) + dis (V1, F2) = 2 a

1. Que puedes decir de las dis(F1, P1) + dis (F2, P1) . Compárala con la comprobación anterior.

2. Teniendo en cuenta el resultado anterior, qué relación encuentras entre a, b y cPor lo tanto, la suma de las distancias de un vértice a cada uno de los focos es igual a 2a. Y como un vértice es un punto de la elipse, cualquier punto P de la elipse también debe cumplir la misma condición. Es decir

Para todo punto P de la elipse se cumple que dis (P, F1) + dis (P, F2) = 2 a

3. Utilizando las coordenadas de los puntos y el método para hallar distancia entre dos puntos, halla la expresión para la distancia dis(P, F1) y dis(P, F2). Encuentra su suma.

P =(x, y)

Situación 5

Al realizar la anterior actividad podemos constatar que al realizar la suma de dis(P, F1) y dis(P, F2), se obtiene:

La cual es la ecuación de la elipse con centro (0,0) y focos (0, -c) y (0,c).

¿Cuál es la ecuación de la elipse de la figura?Sustituyendo en ella la x y la y por las coordenadas de Q, ¿qué ocurre?Desplaza el punto Q y observa los cambios.Desliza el punto P y observa qué ocurre al sustituir sus coordenadas en la ecuación de la elipse.¿Cuáles son las coordenadas de los vértices A, A', B y B' y de los focos F y F' de la elipse?¿Cuánto miden los semiejes a=OA y b=OB y la semidistancia focal c=OF? ¿Qué relación hay entre estas tres medidas?Mueve los puntos A y B y observa los cambios. ¿Cuál es la ecuación de la elipse de semiejes a y b?

¿Qué ocurre si b>a? ¿Y si b=a? Mueve los puntos O, A y B hasta visualizar la elipse de ecuación (x+2)²/16 + (y-3)² /25 = 1 Visualiza ahora la de ecuación x² + 9y² =9

Situación 6

1. Para las siguientes ecuaciones de la elipse determinar sin necesidad de realizar la grafica correspondiente lo siguiente:

Si es vertical u horizontal.Las coordenadas del centro.Los valores de a, b, y c.La excentricidad.Las coordenadas de los vértices, de los focos y de los extremos del eje menor.

a) (X – 3) 2 + (Y + 4) 2 = 1 b) (X + 5) 2 + (Y – 1) 2 = 1 16 4 9 49

2. Hacer la grafica de las siguientes elipses a partir de sus ecuaciones:

a) X 2 + Y 2 = 1 b) (Y – 2) 2 + (X – 1) 2 = 1 25 16 36 25

3.Deducir el vértice, los focos, y las ecuaciones de las elipses a partir de sus gráficas:

a) Y b) Y

V1 (0,2) X=3

X (1,0) (3,-2) X

V1 (7,-4) Y= - 4

Evaluación para acreditar la percepción del tema de la elipse.

1. Cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a la ecuación de la elipse: a). X2/a2 – Y2/b2 = 1 b). X2/a2 = Y2/b2 c). X2/a2 – Y2/b2 = -1 d). X2/a2 + Y2/b2 = 1 e). X2+Y2=1.

2. Conteste falso o verdadero a las siguientes preguntas.

a).Una elipse es un ovalob). La parábola, hipérbola, y elipse son cónicas.c).La órbita de cada planeta es una elipse con el sol en uno de sus focos. d).La elipse es un lugar geométrico.e).Todo ovalo es una elipse.

3. A continuación se presentan una serie de palabras que están relacionadas. Debes comprobar que relación existe entre ambas, y escribir la palabra que corresponda.

a). Eje mayor - Vértices…………Recta.b). Ángulos - Lados …………Cónicas.c). Pendiente - Punto …………Elipse.d). Parábola - Hipérbola……….Líneas.e). Perpendicular - Paralelas…..Triángulos.

4. En cada serie hay una palabra que no tiene nada que ver con las otras tres, pon mucha atención y subraya la correcta.a).casa….edificio….chalet….foco.b).vértice….agua….fuego….aire.c). numero….excentricidad….calculo….algebra-d). moto….carro….elipse….bicicleta.e). profesor….clase….eje mayor….alumno.

5. Coloca los números en las intersecciones de estas elipses de manera que la suma de los seis números de cada elipse sea igual a 24.

0-1-2-3-4-5-6-7-8.

6. En las siguientes ecuaciones, falta una parte para hacerlas verdaderas, termina la ecuación con ayuda de la grafica.a). X2/52 + Y2/ = 1.

b). 25X2+4y2=100. Terminar la ecuacion y hacer la grafica.c).Si la ecuación de la elipse es: X2/a2+ Y2/b2=1. ¿Cómo quedaría expresada la ecuación si a=21/2 y b=31/2.d).Cuando la ecuación de la elipse es igual a la ecuación de la circunferencia?e). Haga una grafica de la elipse y señale sus partes.