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PROYECTO INTEGRADOR DE INGENIERIA

MECANICA

DESARROLLO DE UN TOMOGRAFO DEIMPEDANCIA ELECTRICA CON CAPACIDAD DE

PROCESAMIENTO EN TIEMPO REAL

Ignacio Martın Ferreiro

Dr. Damian DellavaleDirector

Mgtr. Pablo CappagliCo-director

Junio de 2015

Laboratorio de Bajas Temperaturas – Centro Atomico Bariloche

Instituto BalseiroUniversidad Nacional de Cuyo

Comision Nacional de Energıa AtomicaArgentina

A mi familia.

Indice de contenidos

Indice de contenidos v

Indice de figuras ix

Indice de tablas xiii

Resumen xv

Abstract xvii

1. Introduccion 1

1.1. Organizacion de los contenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Fundamentos teoricos 5

2.1. Potencial electrico en el dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.1. Analisis dimensional. Rango de validez de las hipotesis . . . . . 8

2.2. Condiciones de borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3. Solucion del problema directo: Metodo de elementos finitos . . . . . . 13

2.3.1. Submatrices del sistema de elementos finitos . . . . . . . . . . . 16

2.3.2. Vectores del sistema de elementos de elementos finitos . . . . . . 17

2.4. Problema inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4.1. Calculo del Jacobiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5. Regularizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5.1. Analisis del espectro del Jacobiano . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.5.2. Regularizacion de Tikhonov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.5.3. Descomposicion en valores singulares truncada (metodo de subes-

pacio) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.6. Calibracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.7. Implicancias de usar un dominio bidimensional . . . . . . . . . . . . . . 24

3. Arreglos experimentales 25

3.1. Sistema de EIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

v

vi Indice de contenidos

3.1.1. Configuracion del conmutador . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2. Medicion de la impedancia de contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4. Implementacion de los algoritmos 31

4.1. Modelado de la geometrıa y mallado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2. Generacion de una grilla bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.3. Calibracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.4. Estimulacion y medicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.5. Calculo de las tensiones y el Jacobiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.6. Resolucion del problema inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.7. Rutina principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.8. Paralelizacion en tarjetas graficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5. Calculo analıtico del potencial electrico en un dominio sencillo 41

5.1. Solucion general del Laplaciano en coordenadas cilındricas . . . . . . . 41

5.2. Solucion particular en el dominio de interes Ω . . . . . . . . . . . . . . 43

5.3. Aplicacion de las condiciones de borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.3.1. Condiciones de Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.3.2. Condiciones del modelo de electrodo completo . . . . . . . . . . 47

6. Resultados numericos 51

6.1. Descripcion del modelo usado en las simulaciones . . . . . . . . . . . . 52

6.2. Comparacion de los metodos de regularizacion . . . . . . . . . . . . . 54

6.3. Reconstruccion en 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.4. Reconstruccion con distintos valores de semilla . . . . . . . . . . . . . . 63

6.5. Reconstruccion con varios niveles de ruido . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.6. Aceleracion en tarjetas graficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7. Resultados experimentales 71

7.1. Medicion de impedancias de contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

7.2. Calibracion de la impedancia de contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

7.3. Mediciones y reconstruccion de imagenes usando la tecnica de EIT . . 74

7.3.1. Evaluacion del efecto de la estimulacion en la reconstruccion . . 74

7.4. Reconstrucciones usando un sistema con 16 electrodos . . . . . . . . . . 77

7.5. Reconstrucciones obtenidas en forma “diferencial” . . . . . . . . . . . 80

8. Conclusiones 81

A. Otras reconstrucciones con el sistema de 8 electrodos 83

B. Imagenes obtenidas en forma diferencial 87

Indice de contenidos vii

Bibliografıa 89

Agradecimientos 91

Indice de figuras

1.1. Diagrama de bloques de la tecnica de EIT . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1. Esquema de una tomografıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2. Soporte de wn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3. Representacion matricial de las ecs. (2.58) y (2.61) . . . . . . . . . . . . 16

3.1. Fotografıa del sistema de EIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2. Esquema del sistema de EIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3. Configuracion del conmutador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.4. Esquema del montaje para la medicion de impedancias de contacto . . 28

4.1. Diagrama de bloques del procesamiento para la tecnica de EIT . . . . . 31

4.2. Subsistema para geometrıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.3. Mallado de elementos finitos en 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.4. Mallado de elementos finitos en 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.5. Subsistema para calibracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.6. Subsistema para estimulacion y medicion . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.7. Subsistema para el calculo de las tensiones y el Jacobiano . . . . . . . . 36

4.8. Subsistema para la resolucion del problema inverso . . . . . . . . . . . 37

5.1. Esquema del dominio con condiciones de Neumann . . . . . . . . . . . 45

5.2. Grafica de las equipotenciales de la solucion con condiciones de Neumann 46

5.3. Esquema del dominio con condiciones del modelo de electrodo completo 48

5.4. Grafica de las equipotenciales de la solucion con condiciones de Neumann 49

6.1. Imagen de conductividad simulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.2. Esquema de los patrones de estimulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.3. Reconstruccion sin regularizar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.4. Grafica del espectro de J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.5. Reconstruccion usando regularizacion de Tikhonov con β1 = 0, 01 y

β2 = 0, 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6.6. Error en la reconstruccion de la fig. 6.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

ix

x Indice de figuras

6.7. Histograma de valores de conductividad fuera de la perturbacion de la

fig. 6.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.8. Reconstruccion usando regularizacion de Tikhonov con β1 = 10−4 y

β2 = 0, 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.9. Corte de la imagenes reconstruidas (recta y = 1cm) . . . . . . . . . . . 61

6.10. Corte de la imagenes reconstruidas (recta x = 1cm) . . . . . . . . . . . 62

6.11. Reconstrucciones con mediciones simuladas en dominio 2D . . . . . . . 62

6.12. Reconstrucciones con mediciones simuladas en dominio 3D . . . . . . . 63

6.13. Reconstrucciones usando σ0 = 3mScm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.14. Reconstrucciones con ruido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.15. Tiempo de construccion de la matriz del sistema . . . . . . . . . . . . . 66

6.16. Tiempo de calculo neto de la matriz del sistema en GPU . . . . . . . . 66

6.17. Tiempo de transferencia de datos para la matriz del sistema . . . . . . 67

6.18. Tiempo consumido por la resolucion del problema inverso . . . . . . . . 68

6.19. Tiempo de calculo neto de la resolucion del problema inverso en GPU . 69

6.20. Tiempo de transferencia de datos para la resolucion del problema inverso 69

7.1. Dispositivos para la medicion de la impedancia de contacto . . . . . . . 71

7.2. Resultados de la calibracion en funcion del nivel de solucion acuosa de

NaCl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7.3. Reconstrucciones en un recipiente con solucion acuosa de NaCl . . . . . 75

7.4. Reconstrucciones en un recipiente con solucion acuosa de NaCl y un

cilindro de aluminio en el centro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76


cilindro de aluminio apartado del centro, entre dos electrodos . . . . . . 77


cilindro de aluminio apartado del centro, frente a un electrodo . . . . . 78

7.7. Reconstruccion en el recipiente con solucion acuosa de NaCl, usando 16

electrodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7.8. Reconstruccion con un cilindro de aluminio (16 el.) . . . . . . . . . . . 79

7.9. Reconstruccion con un cilindro de cobre (16 el.) . . . . . . . . . . . . . 79

7.10. Reconstruccion con un cilindro de acrılico (16 el.) . . . . . . . . . . . . 80

7.11. Reconstruccion con diversos objetos (16 el.) . . . . . . . . . . . . . . . 80

A.1. Reconstruccion con un cilindro de cobre en el centro del recipiente . . . 83

A.2. Reconstruccion con un cilindro de cobre apartado del centro, entre dos

electrodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

A.3. Reconstruccion con un cilindro de acrılico en el centro del recipiente . . 84

A.4. Reconstruccion con un cilindro de acrılico apartado del centro del reci-

piente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Indice de figuras xi

A.5. Reconstruccion con un cilindro de plastico entre dos electrodos . . . . . 84

A.6. Reconstruccion con un cilindro de plastico frente a un electrodo . . . . 85

A.7. Reconstruccion con diversos objetos I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

A.8. Reconstruccion con diversos objetos II . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

B.1. Reconstruccion en forma diferencial de la imagen 7.5 . . . . . . . . . . 87

B.2. Reconstruccion en forma diferencial de la imagen A.2 . . . . . . . . . . 87

B.3. Reconstruccion en forma diferencial de la imagen A.8 . . . . . . . . . . 88




Indice de tablas

2.1. Lımites para la validez de la ec. (2.16) asociados a las propiedades del

medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

6.1. Resultados usando distintos metodos de regularizacion . . . . . . . . . 60

6.2. Iteraciones hasta la convergencia para distintas semillas . . . . . . . . . 64

6.3. Caracterısticas de las CPUs y GPUs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7.1. Medicion de impedancias de contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

7.2. Calibracion de impedancias de contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

xiii

Resumen

La tomografıa de impedancia electrica (EIT: Electrical Impedance Tomography) es

un metodo que permite obtener imagenes de la distribucion espacial de conductividad

y/o permitividad electrica en el interior de un cuerpo fısico a partir de mediciones

electricas realizadas sobre electrodos ubicados en su superficie exterior. Esta tecnica

tiene aplicaciones en campos tan diversos como la prospeccion geologica, el monitoreo

de procesos industriales y la medicina.

Un sistema de EIT o tomografo de impedancia electrica esta constituido por un

modulo de adquisicion y pre-procesamiento de las senales provenientes de los electrodos.

Luego, esos datos pre-procesados se envıan a traves de una interfaz de comunicacion

a una unidad de procesamiento (PC) encargada de ejecutar los algoritmos para la

reconstruccion de la imagen de conductividad electrica.

El algoritmo de reconstruccion consiste, fundamentalmente, en la resolucion numeri-

ca de un problema inverso conocido como “problema de Calderon”, en honor al ma-

tematico argentino que lo formulo por primera vez.

En el presente trabajo se aborda la formulacion matematica de los fenomenos fısicos

asociados a esta tecnica y se implementan los algoritmos de reconstruccion. Ademas,

se desarrolla un sistema de EIT con instrumental de laboratorio para la realizacion de

experimentos. Se logro, ası, la reconstruccion de imagenes de conductividad a partir de

datos experimentales y datos simulados. El analisis de estos resultados permitio evaluar

el desempeno de los algoritmos de reconstruccion e identificar los modulos del arreglo

experimental que resultan crıticos respecto del tiempo de respuesta de un sistema de

EIT.

Finalmente, y en base a los resultados obtenidos, se proponen mejoras orientadas

al desarrollo de un sistema capaz de reconstruir imagenes en tiempo real, de acuerdo

a la dinamica del sistema fısico sobre el que se utilice.

Palabras clave: TOMOGRAFIA DE IMPEDANCIA ELECTRICA, PROBLEMA

INVERSO

xv

Abstract

Electrical Impedance Tomography (EIT) is an imaging technique used to obtain the

spatial distribution of the electrical conductivity or permittivity of a body by taking

measurements in its outer surface. This technique finds applications in a wide variety

of fields, such as geological prospection, industrial process monitoring and medicine.

An EIT system consists of the hardware used to take the electrical measurements

in the boundary of the body, and the reconstruction software, which uses the measure-

ments to infer the conductivity (or permittivity) distribution.

The reconstruction software consists, mainly, in the numerical resolution of “Calderon’s

inverse problem”, named after Alberto Calderon, the Argentine mathematician who

formulated it.

In this work, the mathematical description of the physical phenomena involved in

the application of the technique is formulated. The algorithms implemented in order

to achieve the reconstruction are described, and a prototypical EIT system is built

for making experiments. Image reconstruction with both measured and synthetic data

allows for the characterization of the implemented EIT system, and also of some general

aspects of the technique.

Lastly, improvements are suggested towards the development of a system which has

the capability of reconstructing images in real-time.

Keywords: ELECTRICAL IMPEDANCE TOMOGRAPHY, INVERSE PROBLEM

xvii

Capıtulo 1

Introduccion

La tomografıa de impedancia electrica (EIT, por las siglas de Electrical Impedance

Tomography) es un metodo para obtener imagenes de la distribucion espacial de con-

ductividad y/o permitividad electrica en el interior de un cuerpo fısico (denominado

“dominio” de aquı en adelante). En general, se adhieren electrodos a la superficie exte-

rior del dominio para estimularlo electricamente y/o para medir la respuesta asociada a

dicho estımulo. La estimulacion puede consistir en la inyeccion de corriente a traves de

los electrodos (en cuyo caso se miden las diferencias de potencial entre los mismos) o en

la imposicion de diferencias de potencial entre los electrodos (para medir la corriente

que circula a traves de ellos). La tecnica de EIT se basa en que los cambios o contrastes

de conductividad en el interior del dominio alteran los caminos a traves de los cuales

circula la corriente. Esto resulta a su vez en cambios en las diferencias de potencial

medidas entre los electrodos, las cuales son utilizadas para inferir la distribucion de

conductividad.

El problema matematico asociado a la tomografıa de impedancia electrica fue ori-

ginalmente definido y tratado por el ingeniero y matematico argentino Alberto Pedro

Calderon mientras trabajaba en la empresa petrolera estatal YPF (Yacimientos Pe-

trolıferos Fiscales), como un posible metodo de prospeccion geologica. Su trabajo fue

publicado, en 1980, en un seminario de analisis numerico de la Sociedade Brasileira de

Matematica [1, 2].

Las tecnicas de tomografıa que utilizan campos electromagneticos pueden clasificar-

se en dos grandes grupos: las de “campo blando” y las de “campo duro”. Esta clasifica-

cion se basa en la trayectoria que siguen los campos dentro del dominio. En la tecnica

de tomografıa computarizada convencional se utilizan haces de rayos X colimados que

atraviesan el dominio en lınea recta hasta un detector. La imagen se reconstruye en

base a la atenuacion sufrida por el haz, que depende del medio material que atraviesa.

La magnitud de la atenuacion de cada uno de los haces sera causada exclusivamente

por la pequena porcion del dominio que atraviesa. Se dice, entonces, que la tomografıa

1

2 Introduccion

computarizada convencional es de “campo duro”. En este sentido, se dice tambien que

es “local”, ya que la propiedad de interes (por ejemplo, la atenuacion) de cada pıxel

o voxel de la imagen se reconstruye a partir de un subconjunto de las mediciones. En

cambio, en la tecnica de EIT, la corriente inyectada en el dominio se distribuye segun

las propiedades electricas del medio material que lo conforma (es de “campo suave”),

por lo que en principio se considera que todos los pıxeles o voxeles de la imagen afectan

a las mediciones (no es “local”). Esto hace que la obtencion de imagenes presente mas

dificultades y que la resolucion espacial de las mismas sea pobre (en terminos relativos).

[3, p. 1-2]

La tecnica de EIT tiene aplicaciones en los campos de la geofısica y la medicina,

en el monitoreo y control de procesos industriales y en ensayos no destructivos. A

pesar de que la resolucion espacial que se obtiene actualmente es menor a la que se

puede obtener con otros metodos que utilizan radiacion o la obtencion de imagenes por

resonancia magnetica, la tecnica de EIT es mas segura y no invasiva (ya que no utiliza

radiacion ionizante), barata, portable y facil de configurar y utilizar en comparacion

con los metodos de obtencion de imagenes antes mencionados. [3, p. 3-4]

Figura 1.1: Diagrama de bloques de la tecnica de EIT que muestra los subsistemas y suinteraccion

En la figura (1.1) se muestra un diagrama de bloques donde se representan los

componentes de un sistema para la realizacion de la tecnica de EIT y las principales

interacciones entre dichos subsistemas. Como se menciono anteriormente, es necesario

adherir electrodos al dominio cuya distribucion de conductividad se desea inferir. A

traves de los electrodos se aplican diferentes patrones de estimulacion y la medicion de

las respuestas usando algun hardware de adquisicion y preprocesamiento (por ejemplo,

una fuente de corriente y un voltımetro) comandado por una unidad de procesamiento

(por ejemplo, una PC). Las mediciones de las respuestas ante los distintos estımulos se

utilizan en el software de reconstruccion. Es necesario que el usuario ingrese algunos

1.1 Organizacion de los contenidos 3

datos de entrada adicionales al software de reconstruccion, como por ejemplo la geo-

metrıa del dominio. Como resultado, el software de reconstruccion devuelve al usuario

una imagen de la distribucion espacial de conductividad del interior dominio.

1.1. Organizacion de los contenidos

En este capıtulo se presentaron los objetivos generales de la tecnica de EIT y los

pasos a seguir para conseguirlos.

En el capıtulo 2 se propondra la formulacion matematica de un modelo que permita

predecir las tensiones medidas en los electrodos al estimular con corrientes un dominio

arbitrario (lo que se conoce como “problema directo”). Para ello es necesario derivar

las ecuaciones que gobiernan el potencial electrico en el interior del dominio y utilizar

las condiciones de borde apropiadas para calcularlo. Una vez obtenidas estas ecuacio-

nes, se aplicara el metodo de elementos finitos para obtener una solucion numerica del

problema directo. Por ultimo, se explicara como el calculo de las tensiones en los elec-

trodos ante un estımulo conocido se utiliza para inferir la distribucion de conductividad

(“problema inverso”).

En el capıtulo 3 se presentan los montajes de los experimentos realizados.

En el capıtulo 4 se presentan los algoritmos que se implementaron para llevar a

cabo el procesamiento de informacion necesario para la tecnica de EIT.

En el capıtulo 5 se presentan algunos resultados analıticos correspondientes a la

resolucion del problema directo en un dominio sencillo.

En el capıtulo 6 se presentan resultados de la utilizacion de los algoritmos de re-

construccion con datos sinteticos, obtenidos con simulaciones.

En el capıtulo 7 se presentan los resultados de aplicar la tecnica de EIT usando el

sistema a escala de laboratorio descripto en el capıtulo 3 y los algoritmos de recons-

truccion implementados.

Capıtulo 2

Fundamentos teoricos

Figura 2.1: Esquema de un dominio arbitrario Ω de cuya distribucion de conductividad sedesea obtener una imagen

En la figura (2.1) se muestra un esquema de un dominio Ω de cuya distribucion

de conductividad electrica σ(x) se desea obtener una imagen. Tiene varios electrodos

conectados a su superficie exterior ∂Ω, los cuales permiten estimularlo con corrientes

Il y medir su respuesta en tension Vl (donde l es un numero que caracteriza a cada

electrodo).

Para la descripcion matematica del problema de EIT es necesario modelar la geo-

metrıa del dominio. Tambien deben encontrarse ecuaciones que permitan predecir la

respuesta en tension para cualquier estımulo dado, asumiendo que la distribucion es-

pacial de conductividad es conocida. Luego, para reconstruir una imagen de la con-

ductividad se debe desarrollar un algoritmo que permita obtener la distribucion de

conductividad en el dominio mediante la comparacion de las mediciones de las respues-

tas ante un estımulo con las predichas por la descripcion matematica del modelo.

5

6 Fundamentos teoricos

2.1. Potencial electrico en el dominio

Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones que describen por

completo los fenomenos electromagneticos en el interior de un dominio [4, 5].

∇× E = −∂B

∂t(2.1)

∇×H = J +∂D

∂t(2.2)

∇ ·D = ρ (2.3)

∇ ·B = 0 (2.4)

E es el campo electrico, B la densidad de flujo magnetico, t el tiempo, H la intensidad de

campo magnetico, J la densidad de corriente electrica, D la densidad de flujo electrico

y ρ la densidad de carga electrica. Asumiendo que en el interior del dominio no hay

fuentes de densidad de corriente electrica valen las relaciones constitutivas

D = εE (2.5)

B = µH (2.6)

J = σE (2.7)

donde ε, µ y σ y se llaman permitividad electrica, permeabilidad magnetica y conduc-

tividad electrica respectivamente. Si el medio material del dominio es lineal, ε, µ y σ

no dependen de E ni de H. Si el medio es isotropo ε, µ y σ son escalares. En resumen,

bajo estas hipotesis, ε, µ y σ son escalares que pueden depender de la posicion o el

tiempo. Reemplazando la ecuacion (2.6) en la (2.1)

∇× E = −∂(µH)

∂t(2.8)

Si se considera que el medio material del que esta hecho el dominio no es ferromagnetico

y µ ≈ 0 resulta una buena aproximacion (en la subseccion 2.1.1 se discute esta hipotesis

con mas profundidad), se deduce, de la ecuacion (2.8), que

∇× E = 0 (2.9)

2.1 Potencial electrico en el dominio 7

Debido a que el rotor del gradiente de cualquier campo C2 (i. e., sus derivadas segundas

son continuas) es 0, se define a menos de una constante aditiva el potencial electrico u

E = −∇u (2.10)

haciendo que la ecuacion (2.9) se cumpla identicamente. Por otro lado, reemplazando

la ecuacion (2.6) en la (2.4)

∇ · (µH) = 0 (2.11)

se obtiene que al considerar µ ≈ 0, la ecuacion (2.11) se cumple identicamente. Reem-

plazando la relacion constitutiva (2.5) en la ecuacion (2.3)

∇ · (εE) = ρ (2.12)

Reemplazando las relaciones constitutivas (2.7) y (2.5) y tomando divergencia en ambos

miembros de la ecuacion (2.2)

∇ · (∇×H) = ∇ ·(σE +

∂(εE)

∂t

)= 0 (2.13)

puesto que la divergencia del rotor de cualquier campo C2 es 0. Suponiendo que la dis-

tribucion de permitividad electrica ε no varıa en el tiempo y que la variacion temporal

del campo electrico es armonica con frecuencia angular ω

∇ · (σE + jωεE) = 0 (2.14)

Esta ultima ecuacion, expresada en terminos del potencial electrico usando la ecuacion

(2.10), resulta

∇ · (γ∇u) = 0 (2.15)

donde γ = σ + jωε es la conductividad compleja y j =√−1. Esta ecuacion describe

cuantitativamente el potencial electrico en el interior del dominio [6, Seccion 1.2]. Si el

dominio es estimulado con frecuencias bajas (ω ≈ 0) resulta una buena aproximacion

trabajar con la ecuacion para el caso en que u es real

∇ · (σ∇u) = 0 (2.16)

La hipotesis ω ≈ 0 se trata con mas profundidad en la subseccion 2.1.1.


2.1.1. Analisis dimensional. Rango de validez de las hipotesis

Se consideran las ecuaciones de Maxwell ((2.1) a (2.4)) junto con las relaciones

constitutivas ((2.5) a (2.7)). Por simplicidad se considera que σ, ε, y µ no dependen de

la posicion (es decir que los medios son homogeneos) y que no varıan en el tiempo. Se

propone expresar

B = ∇×A (2.17)

donde A es el llamado “potencial vector” [4, p. 180]. Dado que la divergencia del

rotor de cualquier campo vectorial C2 es 0, la ecuacion (2.4) se cumple identicamente.

Reemplazando (2.17) en (2.1) se obtiene

∇× E = − ∂

∂t(∇×A) = −∇× ∂A

∂t(2.18)

∇×(

E +∂A

∂t

)= 0 (2.19)

Luego, se define el gradiente del potencial electrico u (se define u a menos de una

constante aditiva) haciendo

−∇u = E +∂A

∂t(2.20)

Ası, tanto la ecuacion (2.19) como la (2.1) se verifican identicamente, ya que el rotor

del gradiente de un campo C2 es siempre igual a 0. Para definir A a menos de una

constante aditiva puede definirse su divergencia a traves de la “condicion de Lorenz”

[4, p. 240]

∇ ·A = −µσu− µε∂u∂t

(2.21)

Para obtener una ecuacion para el potencial electrico se reemplaza la ecuacion (2.5)

en la (2.3)

∇ · E =ρ

ε(2.22)

En esta ultima ecuacion se reemplaza la (2.20)

∇ ·(−∇u− ∂A

∂t

)= −∇2u− ∂(∇ ·A)

∂t=ρ

ε(2.23)

y aplicando la definicion de la ecuacion (2.21)

−∇2u+∂(µσu+ µε∂u

∂t)

∂t=ρ

ε(2.24)

2.1 Potencial electrico en el dominio 9

∇2u+−µσ∂u∂t− µε∂

2u

∂t2= −ρ

ε(2.25)

Se adimensionaliza la ecuacion usando una distancia caracterıstica Lc, una frecuen-

cia angular caracterıstica ωc y un potencial caracterıstico uc. Se definen el laplaciano

adimensionalizado,

∇2∗ =∇2

L2c

(2.26)

el tiempo adimensionalizado

t∗ = ωct (2.27)

y el potencial adimensionalizado

u∗ =u

uc(2.28)

Aplicando estas definiciones a la ecuacion (2.25) y multiplicando por L2c

uc

∇2∗u∗ − µσωcL2c

∂u∗

∂t∗− µεω2

cL2c

∂2u∗

∂t∗2= −ρL

2c

εuc(2.29)

Para un medio homogeneo, la ecuacion diferencial para el potencial electrico adi-

mensionalizado que se deriva a partir de la ecuacion (2.16) es

∇2∗u∗ = 0 (2.30)

Se propone evaluar las condiciones que deben cumplir los parametros adimensionales

de la ecuacion (2.29) para ver el rango de validez de la ecuacion (2.30).

Para que el segundo termino del primer miembro de la ecuacion (2.29) sea des-

preciable frente al primero debe cumplirse que

µσωcL2c 1 (2.31)

Esto puede verse como un lımite para el valor de µ respecto de los demas parame-

tros y puede relacionarse con la hipotesis µ ≈ 0

µ 1

σωcL2c

(2.32)

Para que el tercer termino del primer miembro de la ecuacion (2.29) sea despre-

ciable frente al segundo debe cumplirse que

µεω2cL

2c

µσωcL2c

=εωcσ 1 (2.33)

Si se cumple la ecuacion (2.32), el tercer termino del primer miembro de la ecua-


cion (2.29) tambien sera despreciable frente al primero. Esto puede verse como

una limitacion para la frecuencia angular ω respecto de los demas parametros

ωc σ

ε(2.34)

Siguiendo un razonamiento similar, para despreciar la densidad de carga debe

cumplirse que

ρ εucL2c

(2.35)

Se evaluan los resultados de este analisis para identificar los lımites a la validez de la

ecuacion 2.16 para un ejemplo, que sera de utilidad para analisis posteriores. Supongase

que se tiene una solucion con 3g de cloruro de sodio por litro (cuya concentracion molar

es c = 0, 05moll

). Su conductividad electrica σ es del orden de 5mScm

(ver seccion 7.1). Su

permitividad electrica ε se calcula segun el procedimiento propuesto en [7, p. 19].

ε = ε0(εw + 2δc) (2.36)

donde ε0 = 8, 85 × 10−12 Fm

es la permitividad electrica del vacıo, εw = 78, 3 es la

permitividad electrica relativa del agua y δ un coeficiente que, para el cloruro de sodio,

vale 5, 5 lmol

. Luego,

ε ≈ 7× 10−10F

m(2.37)

Para que el potencial electrico verifique la ecuacion 2.16, la frecuencia electrica ω

debera cumplir la ecuacion 2.34

ω σ

ε≈ 700MHz (2.38)

Asumiendo que la solucion no es ferromagnetica, su permeabilidad magnetica sera del

orden de la del vacıo (µ ≈ µ0 = 4π×10−7 NA2 ). Para que valga la ecuacion 2.16, tambien

debe cumplirse que (ecuacion 2.32)

L2cω

1

σµ≈ 1, 6× 106m2Hz (2.39)

Suponiendo que la longitud caracterıstica del dominio es Lc = 0, 15m, la frecuencia

tiene una limitacion mas restrictiva que la dada por la ecuacion 2.38

ω 70MHz (2.40)

En la tabla 2.1 se muestran las propiedades electromagneticas (σ, ε, µ) de distintos

medios materiales de interes, junto con las relaciones que establecen limitaciones para

2.2 Condiciones de borde 11

ωc y Lc.

Material σ[Sm

]εε0

[Fm

]µµ0

[NA2

]σε

[Hz] 1µσ

[m2Hz]

Agua desionizada 10−6 80 1 103 1012

Agua de mar 5 80 1 109 106

Sodio lıquido* 107 1 1 1014 0, 1

Acero inox. (γ) ** Idem sodio lıquido

Acero inox. (α) ** 107 1 103 1014 10−4

*“Database of thermophysical properties of liquid metal coolants for GEN-IV”.

**Catalogo UGITECH “El magnetismo y el acero inoxidable”.

Tabla 2.1: Propiedades electricas de algunos materiales y las relaciones que establecen lımitessobre ωc y Lc (valores aproximados) para la validez de la ec. (2.16).

Para el ejemplo del sodio lıquido (tercera fila de la tabla 2.1) se obtuvo que, en

dominios con una dimension caracterıstica Lc > 2,5m, el rango de validez de la ec.

(2.32) se encuentra, aproximadamente, en frecuencias inferiores a 1mHz. Frecuencias

de trabajo tan bajas como estas, imponen una fuerte restriccion al tiempo de respuesta

de un sistema EIT destinado a caracterizar este tipo de medios de alta conductividad

electrica. En esos casos, se puede considerar el uso de corriente continua (DC), teniendo

en cuenta los problemas asociados al fenomeno de electrolisis que ello conlleva. Es

importante destacar que el analisis recien descripto resulta de interes en aplicaciones

de un sistema EIT en la nueva generacion de reactores nucleares (GEN-IV), algunos

de los cuales son refrigerados por un metal lıquido como el sodio.

2.2. Condiciones de borde

Las condiciones de borde mas simples para resolver el problema de valor de contorno

en un dominio arbitrario Ω son las de Dirichlet y las de Neumann.

La condicion de Dirichlet determina el potencial en la frontera del dominio

u|∂Ω = u0(x) (2.41)

donde en general u0 es una funcion que depende de la posicion. En particular, si el

electrodo se considera un conductor perfecto y la conduccion en la interfaz entre el

electrodo y el medio tiene resistencia nula, la condicion de borde a utilizar en la zona

de los electrodos serıa

u|El= Vl, con l = 0, ..., L− 1 (2.42)

donde El indica la porcion de la frontera del dominio que corresponde a la interfaz

entre el dominio y el electrodo l, L es el numero de electrodos y Vl es la tension a la


que se encuentra el electrodo l respecto a cierta referencia (recordar que el potencial

electrico esta definido a menos de una constante aditiva).

La condicion de Neumann determina la derivada del potencial en la frontera en di-

reccion normal a la misma. Para problemas de electromagnetismo, se define la densidad

de corriente j a traves de una superficie S en ausencia de fuentes internas como

j = σ∂u

∂n

∣∣∣∣S

(2.43)

donde n indica el versor normal a la superficie S. Puede establecerse una condicion de

Neumann en la frontera del dominio Ω determinando la densidad de corriente a traves

de la misma. En particular, en la porcion ∂N de la frontera, donde no hay electrodos

conectados, el flujo de corriente es nulo. En consecuencia,

σ∂u

∂n

∣∣∣∣∂N

= 0 (2.44)

En general, los resultados de modelar los electrodos con la condicion de Dirichlet,

no se condice con los resultados experimentales. Esto se debe a que en la ecuacion 2.42

no se tiene en cuenta un efecto electroquımico que se produce en la interfaz entre los

electrodos y el dominio. El efecto en cuestion resulta en la formacion de una fina capa

altamente resistiva, que se modela como una “impedancia de contacto” zl asociada a

la interfaz [8]. La impedancia de contacto se mide en Ωcm2 y su valor depende, en

general, de las caracterısticas del electrodo y del medio material del dominio y de la

corriente que circula a traves de los electrodos. La condicion de borde en las porciones

El de la frontera del dominio, donde se halla conectado un electrodo l, considerando

el denominado “modelo de electrodo completo” [6, Seccion 1.3] (que tiene en cuenta la

impedancia de contacto) son

u+ zlσ∂u

∂n

∣∣∣∣El

= Vl (2.45)

donde Vl es la tension a la que se encuentra el electrodo l respecto de cierta referencia,

y El indica que la derivada se evalua en direccion normal a la interfaz entre el electrodo

l y el dominio Ω.

En el caso en que la estimulacion se hace mediante corrientes electricas Il a traves

de los electrodos, las tensiones Vl son desconocidas. Por definicion, la corriente neta Il

a traves del electrodo l es

Il =

∫El

j dS =

∫El

σ∂u

∂ndS (2.46)

donde El indica que la integral se efectua sobre la interfaz entre el electrodo l y el

dominio Ω. Como el sistema se considera en estado estacionario, no se acumula carga

2.3 Solucion del problema directo: Metodo de elementos finitos 13

en el dominio. Por conservacion de la carga,

L−1∑l=0

Il = 0 (2.47)

Reemplazando σ ∂u∂n

en la ecuacion (2.46) con la expresion (2.45), se obtiene un conjunto

de ecuaciones que relacionan Il con u y Vl para cada electrodo l.

Il =

∫El

1

zl(Vl − u) dS (2.48)

2.3. Solucion del problema directo: Metodo de ele-

mentos finitos

En las subsecciones anteriores se dedujeron las ecuaciones que gobiernan los fenome-

nos fısicos involucrados en la tecnica de EIT. Usando el modelo de electrodo completo

se llega al problema de valor de frontera que consiste en hallar el potencial electrico u

en el dominio Ω que verifique

∇ · (σ∇u) = 0 en el interior de Ω (2.49)

σ∂u

∂n

∣∣∣∣∂N

= 0 en ∂N (2.50)

u+ zlσ∂u

∂n

∣∣∣∣El

= Vl en El para l = 0, ..., (L− 1) (2.51)

La resolucion numerica del problema se implemento mediante el metodo de ele-

mentos finitos [9]. En primer lugar, se plantea la formulacion debil del problema, que

consiste en hallar u perteneciente al espacio de funciones Φ tal que∫Ω

∇ · (σ∇u)v dΩ = 0 para toda funcion de prueba v ∈ Φ en Ω (2.52)

junto con las condiciones dadas por las ecuaciones (2.50) y (2.51). Integrando la ecua-

cion (2.52) por partes se obtiene∫Ω

σ∇u∇v dΩ−∫∂Ω

σ∂u

∂nv dS = 0 (2.53)

Reemplazando σ ∂u∂n

en esta ultima ecuacion por las expresiones (2.50) y (2.51), se

obtiene ∫Ω

σ∇u∇v dΩ−L−1∑l=0

∫El

1

zl(Vl − u)v dS = 0 (2.54)


donde El indica que la integral se realiza sobre el area del electrodo l. Luego, se pro-

pone discretizar el dominio en elementos finitos. En este trabajo se han utilizado ele-

mentos llamados “sımplices” en todos los casos. Estos son triangulos en los dominios

bidimensionales y tetraedros en los dominios tridimensionales. Los sımplices tienen la

caracterıstica de quedar definidos por D + 1 vertices, donde D es la dimension del

dominio. Los vertices que forman los sımplices son a la vez los “nodos” de la malla de

elementos finitos. La frontera del dominio Ω queda formada por elementos (“elementos

de la frontera”) que son segmentos si el dominio es bidimensional y triangulos si el

dominio es tridimensional. Los elementos de la frontera estan definidos por D nodos. A

continuacion, deben proponerse “funciones de forma” para aproximar la conductividad

σ y el potencial electrico u. En este trabajo, al igual que en [6, Seccion 1.8], se han

utilizado en todos los casos funciones de forma constantes por elemento para aproximar

la conductividad

σ(x) =K−1∑k=0

σkχk(x) (2.55)

donde σk es la conductividad (constante) del elemento k, K es el numero de elementos

y χk(x) es la funcion definida en Ω que vale 1 en el elemento k y 0 en todo el resto

del dominio. Esta discretizacion permite que la distribucion de conductividad pueda

expresarse a traves de un vector σ de conductividades de los elementos . Para aproxi-

mar la distribucion espacial del potencial electrico se han utilizado funciones lineales

continuas por elemento

u(x) =N−1∑n=0

unwn(x) (2.56)

donde un es el potencial electrico en el nodo n, N es el numero de nodos y wn(x) es la

funcion lineal a trozos definida en Ω que vale 1 en el nodo n y 0 en todo el resto de los

nodos del dominio. En la figura 2.2 se presenta un esquema del soporte de la funcion

wn. Notar que dicha funcion se anula en todo el dominio con excepcion de los elementos

que comparten el nodo n. Al proponer esta aproximacion, se restringe la pertenencia

de u al espacio de funciones W generado por las diferentes wn(x). Luego, la ecuacion

(2.54) debe verificarse para toda v perteneciente a W . Para ello, basta que la ecuacion

(2.54) se cumpla para cada una de las wn(x) (notar que hay tantas wn como nodos

en la discretizacion). Se reemplazan las aproximaciones (2.55) y (2.56) en la ecuacion

(2.54) y se obtiene una ecuacion para cada una de las funciones base wi(x)

∫Ω

K−1∑k=0

σkχk(x) · ∇

(N−1∑j=0

ujwj(x)

)· ∇wi(x) dΩ−

−L−1∑l=0

∫El

1

zl

(Vl −

N−1∑j=0

ujwj(x)

)· wi(x) dS = 0

(2.57)


nodo n

Figura 2.2: Esquema del soporte de las funcion de forma wn para la aproximacion del potencialelectrico en el interior de Ω, representado como un dominio bidimensional [10].

N−1∑j=0

uj

K−1∑k=0

σk

∫ξk

∇wj(x)∇wi(x) dΩ+N−1∑j=0

uj

L−1∑l=0

∫El

1

zlwj(x)wi(x) dS−

−L−1∑l=0

Vl

∫El

1

zlwi(x) dS =0 para i = 0, ..., N − 1

(2.58)

donde ξk indica que la integral se realiza sobre el elemento k. Cabe aclarar que, en

general, los electrodos El estan formados por mas de un elemento de la frontera. Ası,

si el electrodo l esta formado por Q elementos de la frontera, se tiene que para una

funcion f cualquiera ∫El

f(x) dS =

Q−1∑q=0

∫ηq

f(x) dS (2.59)

donde ηq indica que integral se realiza sobre el elemento de la frontera q perteneciente

al electrodo l. Por simplicidad en la notacion, esta descomposicion se deja implıcita.

Si los Vl son conocidos (excitacion con tension) queda planteado un sistema de N

ecuaciones con los N potenciales en los nodos uj como incognitas. Si el dominio es

estimulado con corrientes Il, se reemplaza la aproximacion (2.56) en la ecuacion (2.48)

para cada electrodo l.

∫El

1

zl

(Vl −

N−1∑j=0

ujwj(x)

)dS = Il (2.60)

Vl

∫El

1

zldS −

N−1∑j=0

uj

∫El

1

zlwj(x) dS = Il para l = 0, ..., L− 1 (2.61)

Hallar las tensiones Vl en los electrodos dadas las corrientes Il a traves de los mismos, la


geometrıa del dominio Ω y la distribucion de conductividad σ se denomina “problema

directo” [6, Seccion 1.5]. Ası se obtienen L ecuaciones mas, que junto con las ecuaciones

(2.58) conforman un sistema de N+L ecuaciones para los N potenciales uj en los nodos

y las L tensiones Vl en los electrodos. A dicho sistema de ecuaciones lineales se le puede

dar la forma matricial Aζ = b, donde A es la matriz de coeficientes del vector columna

de incognitas ζ, denominada “matriz del sistema de elementos finitos” y b es el vector

columna de terminos independientes. En la figura (2.3) se presenta esquematicamente

el sistema lineal Aζ = b dividido en submatrices generadas por los distintos terminos

de las ecuaciones (2.58) y (2.61). Cada una de las submatrices y de los vectores cuya

nomenclatura se introduce en la figura (2.3) se describe en las siguientes subsecciones.

=B=AM+AZ

AWT

AW

AD

0

I

N L 1

N

L

u

V

1

Figura 2.3: Representacion matricial del sistema lineal correspondiente a las ecuaciones (2.58)y (2.61) dividido en submatrices

2.3.1. Submatrices del sistema de elementos finitos

AM corresponde al primer termino de las ecuaciones (2.58), de forma que

AM(i,j) =K−1∑k=0

σk

∫ξk

∇wj(x)∇wi(x) dΩ (2.62)

Es una matriz cuadrada de N ×N . Notar que∫ξk∇wj(x)∇wi(x) dΩ se anula si

j o i no son un numero de nodo perteneciente al elemento k [10].

Esta matriz depende unicamente de la geometrıa y la discretizacion del dominio

y de la distribucion de conductividad. AM es la unica submatriz que depende de

la distribucion de conductividad.

AZ corresponde al segundo termino de las ecuaciones (2.58)

AZ(i,j) =L−1∑l=0

∫El

1

zlwj(x)wi(x) dS (2.63)


Es una matriz de N ×N . Notar que∫El

1zlwj(x)wi(x) dS se anula si j o i no son

un numero de nodo perteneciente a alguno de los elementos de la frontera, que

su vez pertenezca al electrodo l. Para calcular dichas integrales se hace una des-

composicion como la que se muestra en la ecuacion (2.59). Dicha descomposicion

se repite en el calculo de las demas integrales sobre los electrodos.

La submatriz B = AM + AZ multiplica a la subdivision u del vector ζ.

AW corresponde al tercer termino de las ecuaciones (2.58)

AW (i,l) =

∫El

1

zlwi(x) dS (2.64)

Es una matriz de N × L. La submatriz AW multiplica a la subdivision V del

vector ζ.

ATW corresponde al segundo termino de las ecuaciones (2.61) y es la matriz trans-

puesta de AW . Multiplica a la subdivision u del vector ζ.

AD corresponde al primer termino de las ecuaciones (2.61).

AD(l,l) =

∫El

1

zldS (2.65)

Es una matriz diagonal de L× L. Multiplica a la subdivision V del vector ζ.

La submatriz AD, ası como AZ y AW dependen de la geometrıa y de la impedancia

de contacto de la interfaz electrodo-dominio.

2.3.2. Vectores del sistema de elementos de elementos finitos

u es el vector de potenciales en los nodos.

V es el vector de tensiones en los electrodos. Es, como se menciono anteriormente,

la solucion del problema directo.

0 es el vector nulo.

I es el vector de corrientes en los electrodos, que es conocido, puesto que es el

estımulo que se realiza sobre el dominio.

Dado que el potencial electrico se define a menos de una constante aditiva, para

resolver el problema directo es necesario establecer una referencia. Para ello se define el

“0” del potencial en uno de los electrodos. En consecuencia, hablar de “el potencial en

cierto punto” es equivalente a hacer referencia a la diferencia de potencial entre dicho


punto y el electrodo de referencia. Esta condicion debe ser impuesta al sistema Aζ = b

para obtener una solucion unica. Para hacer que el electrodo ref sea la referencia del

potencial electrico se anula el Vref y se elimina la ecuacion para l = ref del conjunto

de ecuaciones (2.61). Esto es equivalente a eliminar la fila y la columna ref del sistema

Aζ = b.

Conociendo el vector de potenciales electricos en los nodos u puede hacerse un

grafico aproximado de las lıneas equipotenciales. El vector de tensiones en los electrodos

V es, como se explico anteriormente, la solucion del problema directo.

2.4. Problema inverso

El problema inverso consiste en hallar la distribucion de conductividad σ(x), co-

nociendo la geometrıa y los vectores de tensiones medidas Vmed y de corrientes de

excitacion I. Notese que, por su definicion, el problema inverso es la formulacion ma-

tematica del objetivo de la tecnica de EIT. Los triangulos o tetraedros de conductividad

constante en los que se discretizo el dominio conformaran los pıxeles o voxeles (res-

pectivamente) de la imagen a obtener. Se propone implementar un metodo numerico

de resolucion basado en el algoritmo o metodo de Gauss-Newton [11] dentro de la

formulacion de elementos finitos, el cual se desarrolla a continuacion.

La iteracion m-esima del algoritmo de Gauss-Newton se deriva a partir de la apro-

ximacion a primer orden

J(σm−1)(σm − σm−1) = Vmed −V (2.66)

que establece una relacion de recurrencia, donde σm representa el vector de conductivi-

dades correspondiente a la iteracion m-esima y J(σm−1) es la “matriz de sensibilidad”

o Jacobiano evaluada en σm−1.

J(σm−1) =∂V

∂σ(σm−1) con Jlk =

∂Vl∂σk

(2.67)

Puede verse que la componente lk del Jacobiano representa la variacion en la tension

en el electrodo l producida por una variacion de la conductividad del elemento k.

Conociendo J(σm−1) se actualiza el vector de conductividades de los elementos segun

σm = σm−1 +[J(σm−1)

]†(Vmed −V) (2.68)

donde [J(σm−1)]†

es la pseudoinversa de Moore-Penrose de J(σm−1). Si se produce

la convergencia del metodo, las tensiones V calculadas con el modelo propuesto y el

vector de conductividades σm para un vector de estimulacion I se van acercando cada

2.4 Problema inverso 19

vez mas a las tensiones medidas Vmed.

Para el calculo de V y de J con un vector de conductividades σm dado, se parte

de las ecuaciones (2.58) y (2.61) en su forma matricial con el electrodo de referencia

ref elegido. Si bien no se hace explıcito por simplicidad en la notacion, la eleccion del

electrodo de referencia implica hacer Vref = 0 y eliminar la columna ref de AW , la fila

ref de I y la columna y la fila ref de AD. Cabe aclarar que, al definir la referencia del

potencial de esta manera, la solucion del problema depende de que electrodo se tome

como referencia.

(AM + AZ)u + AWV = 0 (2.69)

ATWu + ADV = I (2.70)

De la ecuacion (2.69) se despeja u

u = (AM + AZ)−1(−AWV) = B−1(−AWV) (2.71)

Luego se reemplaza en la ecuacion (2.70) y se despeja V, obteniendo ası la solucion del

problema directo

V = ZI (2.72)

con la matriz de impedancia Z

Z = [ATWB−1(−AW ) + AD]−1 (2.73)

que depende del vector de conductividades σm, de las impedancias de contacto zl, de

la geometrıa y del electrodo de referencia ref , pero es independiente del vector de

corrientes de excitacion I. Se define tambien la matriz de conductancias

Y = Z−1 = ATWB−1(−AW ) + AD (2.74)

2.4.1. Calculo del Jacobiano

El Jacobiano puede calcularse derivando la expresion (2.72)

∂V

∂σ=∂Z

∂σI (2.75)

Aplicando la propiedad

∂Z

∂σ= −Z∂(Z−1)

∂σZ = −Z∂Y

∂σZ (2.76)


y sabiendo que la unica submatriz que depende de la conductividad es AM

∂Y

∂σ= ATW

∂(B−1)

∂σ(−AW ) = ATW (−B−1∂B

∂σB−1)(−AW ) = ATWB

−1∂AM∂σ

B−1AW

(2.77)

Derivando la definicion de AM se tiene que(∂AM∂σ

)ijk

=

∫ξk

∇wj(x)∇wi(x) dΩ (2.78)

Reemplazando la ecuacion (2.77) en la (2.76)

∂Z

∂σ= −ZATWB−1∂AM

∂σB−1AWZ (2.79)

y por ultimo la (2.79) en la (2.75) se obtiene una expresion para el calculo del Jacobiano,

que es una matriz de (L−1)×K debido a que por definicion, la tension en el electrodo

de referencia no varıa.

J =∂V

∂σ= −ZATWB−1∂AM

∂σB−1AWZI =− ZATWB−1∂AM

∂σB−1AWV (2.80)

Si se realiza mas de una estimulacion (es decir que se aplica mas de un vector o

patron de estimulacion I) se puede repetir este procedimiento para calcular las tensio-

nes en los electrodos y el Jacobiano correspondientes a cada uno de los patrones de

estimulacion. Apilando los Jacobianos y las tensiones calculadas y tomando las filas

apropiadas segun las mediciones que se realicen se mantiene la validez de la ecuacion

(2.68) para formar un sistema de tantas ecuaciones como mediciones. Dicho de otra

manera, se obtiene un Jacobiano de M × K elementos y un vector de tensiones de

M×1, donde M es la cantidad de mediciones adquiridas. Cabe aclarar que, en general,

M < K.

Otro metodo para calcular el Jacobiano que no requiere de la definicion de un

electrodo de referencia y es, por lo tanto, mas general, se presenta en [12, Seccion 4.3].

Este metodo es el que sigue el software EIDORS (Electrical Impedance Tomography

and Diffuse Optical Tomography Reconstruction Software) [13].

2.5. Regularizacion

El problema de hallar un nuevo vector de conductividades para la iteracion m del

metodo de Gauss-Newton, dado por la ecuacion (2.68), consiste fundamentalmente en

invertir el Jacobiano. Dicho problema es equivalente a hallar ∆σ = (σm − σm−1) tal

que la funcion objetivo

Ψ(∆σ) = ‖J∆σ −∆V‖2 (2.81)

2.5 Regularizacion 21

sea mınima, donde ‖·‖ es la norma euclıdea y ∆V = Vmed −V.

Se puede demostrar que dicho problema esta mal condicionado si la precision en la

medicion no es infinita [6, Seccion 1.4]. Esta caracterıstica del problema inverso en su

version discreta (proveniente de la formulacion en elementos finitos) tiene su origen en

que el problema inverso esta “mal definido” o “mal propuesto”. La causa de esto es que,

si bien la solucion del problema existe (se asume que los medios materiales tienen una

conductividad definida), y que puede demostrarse que bajo ciertas hipotesis es unica

[6, Secciones 1.1 y 1.2], la misma no depende en forma continua de las condiciones de

borde. La propuesta para paliar este inconveniente y posibilitar la obtencion de una

solucion numerica es regularizar el problema.

La regularizacion consiste en el agregado de informacion conocida a priori sobre

la distribucion de conductividad, acotando ası el conjunto de posibles soluciones. En

sistemas lineales, dicha informacion puede introducirse en forma de “penalidades” que

favorezcan a soluciones que tengan ciertas caracterısticas, como norma acotada o sua-

vidad (regularizacion de Tikhonov); o bien agregando restricciones para que la solucion

pertenezca a cierto subespacio del espacio de soluciones (metodos de subespacios). Tam-

bien pueden implementarse metodos mixtos, (los cuales combinan estas dos formas de

regularizacion) y de otros tipos[14].

2.5.1. Analisis del espectro del Jacobiano

El analisis del espectro de J da varias pautas de como es la solucion que se obtiene

sin regularizar y de como utilizar la regularizacion para incorporar informacion conocida

a priori sobre la distribucion de conductividad de una forma efectiva. Sea

J = USV T (2.82)

la descomposicion en valores singulares de J . U es una matriz unitaria (ortogonal en

el caso real) de M ×M cuyas columnas µi son los vectores singulares a izquierda, S

es una matriz diagonal de M ×K cuyos elementos no nulos son los valores singulares

(λ1, ..., λM) ordenados de mayor a menor y V es una matriz unitaria de K ×K cuyas

columnas vi son los vectores singulares a derecha. Aunque es imposible de demostrar en

general, los valores singulares mas pequenos estan asociados a vectores singulares mas

oscilatorios [14, Seccion 2.2]. Esto implica que los valores singulares mas grandes estan

asociados a vectores singulares mas suaves. A su vez, los vectores singulares asociados

a valores singulares pequenos se traducen en vectores solucion cuya norma euclıdea es

muy grande.

En resumen, los vectores singulares asociados a valores singulares pequenos hacen

que la solucion sea mas oscilatoria y aumenta el valor de su norma; mientras que los


vectores singulares asociados a valores singulares mas grandes aportan a la solucion

componentes mas suaves pero de menor norma euclıdea. Como consecuencia de esto, si

se desean obtener soluciones suaves y de norma acotada, el objetivo de la regularizacion

sera filtrar los vectores singulares asociados a valores singulares pequenos.

2.5.2. Regularizacion de Tikhonov

Un metodo para obtener una solucion de norma mas acotada que la obtenida en

el caso sin regularizacion consiste en agregar un termino de penalidad para el valor de

∆σ en la funcion objetivo de la ecuacion (2.81), de forma que la nueva funcion objetivo

sea

Ψn(∆σ) = ‖J∆σ −∆V‖2 + β1 ‖∆σ‖2 (2.83)

donde β1 permite ponderar la penalidad.

Tambien es posible favorecer las soluciones mas suaves agregando un termino de

penalidad para las soluciones mas oscilatorias, por ejemplo aquellas cuyos valores de

conductividad de los elementos adyacentes sean muy diferentes. Para construir dicho

termino de penalidad se define la matriz W tal que

Wij =

1 si el elemento i < j es adyacente al elemento j

−1 si el elemento j > i es adyacente al elemento i

0 en otro caso

(2.84)

Ası, el termino ‖Wσm‖2 es la suma cuadratica de las diferencias entre valores de con-

ductividad de elementos adyacentes en la iteracion m. La nueva funcion objetivo que

penaliza tanto soluciones de norma muy grande como aquellas muy oscilatorias es

Ψt(∆σ) = ‖J∆σ −∆V‖2 + β1 ‖∆σ‖2 + β2 ‖Wσm‖2 (2.85)

La solucion regularizada para la iteracion m del metodo de Gauss-Newton es el σm

que minimiza Ψt. Para obtener el mınimo de la funcion objetivo Ψt respecto de ∆σ se

reemplaza σm = (σm−1 + ∆σ) y se anula la derivada de la expresion (2.85).

1

2

∂Ψt

∂(∆σ)= JTJ∆σ − JT∆V + β1I∆σ + β2W

TW (∆σ + σm−1) = 0 (2.86)

En consecuencia, el ∆σ para la iteracion m, que es el que minimiza Ψt resulta

∆σ = (JTJ + β1I + β2WTW )−1(JT∆V − β2W

TWσm−1) (2.87)

2.6 Calibracion 23

2.5.3. Descomposicion en valores singulares truncada (metodo

de subespacio)

Aplicando la descomposicion en valores singulares del Jacobiano dada por la ecua-

cion (2.82) a la iteracion m del metodo de Gauss-Newton de la ecuacion (2.68) se

obtiene

∆σ =M−1∑i=0

µTi ∆V

λivi (2.88)

Como se menciona en la subseccion 2.5.1, las componentes asociadas a valores singulares

pequenos son indeseables si se quiere una solucion ∆σ de norma pequena y suave. Por

esto, se propone regularizar desechando las componentes asociadas a valores singulares

menores a cierto umbral. Un criterio consiste en definir la relacion e = λhλ0

entre el menor

valor singular a conservar λh y el mayor valor singular λ0. Ası, la solucion regularizada

resulta

∆σ =h∑i=0

µTi ∆V

λivi (2.89)

2.6. Calibracion

Uno de los parametros del modelo propuesto es la impedancia de contacto entre

los electrodos y el medio material que compone el dominio. A modo de calibracion,

se propone realizar un ajuste de las impedancias de contacto supuestas uniformes,

constantes e iguales para todos los electrodos. Para ello se supone que el dominio posee

una conductividad uniforme. El valor de conductividad tambien es ajustado.

El procedimiento a seguir es similar al del problema inverso. Se estimula el dominio

con corrientes y se mide la respuesta. Luego se comparan las tensiones medidas con

las tensiones que se calculan a partir de la resolucion del problema directo (seccion

2.3) con valores semilla para la conductividad y las impedancias de contacto (σ0 y z0

respectivamente). Dicha comparacion permite obtener una nueva estimacion para la

conductividad y las impedancias de contacto. Se itera siguiendo el mismo procedimien-

to, que se describe en detalle a continuacion, hasta que se satisface algun criterio de

convergencia.

Para hacer los calculos correspondientes a la iteracion m+ 1 de este procedimiento,

se resuelve el problema directo para para tres duplas de valores de conductividad e

impedancias de contacto, a saber:

(σm, zm)

(σm + δσ, zm)

(σm, zm + δz)


donde δσ y δz son perturbaciones aplicadas al valor de conductividad y de impedancia

de contacto. De esta manera, se obtienen las tensiones calculadas ante la aplicacion de

cierto estımulo, para cada una de las duplas (σ, z). Se propone aproximar las sensibili-

dades S de los valores de tension en los electrodos ante cambios en σ y z como

Smσ =V(σm + δσ, zm)−V(σm, zm)

δσ(2.90)

Smz =V(σm, zm + δz)−V(σm, zm)

δz(2.91)

Luego se propone hallar los (σm+1, zm+1) que minimicen la diferencia entre las tensiones

medidas Vmed y las calculadas en la iteracion m + 1, aproximandolas a primer orden

con las sensibilidades obtenidas numericamente

∥∥Vmed −[V(σm, zm) + Smσ (σm+1 − σm) + Smz (zm+1 − zm)

]∥∥2(2.92)

Se itera hasta que se satisfacen en forma simultanea los criterios de convergencia

(σm+1 − σm) < tolσ y (zm+1 − zm) < tolz (2.93)

para ciertas tolerancias tolσ y tolz.

2.7. Implicancias de usar un dominio bidimensional

Tanto el problema directo como el inverso pueden resolverse en un dominio bidi-

mensional. Las ventajas de hacer esto en el caso en que solo se desea obtener una

imagen de un plano de la distribucion de conductividad del dominio son claras: los

elementos quedan definidos por una coordenada menos que en el caso tridimensional y

en la resolucion numerica solo se consideran nodos pertenecientes al plano de la ima-

gen reconstruida. Esto permite, usando el mismo de numero de nodos, obtener una

discretizacion mas fina en el plano de interes; o bien, para la misma discretizacion en

el plano de interes, tener que trabajar con una cantidad de nodos menor (y matrices

de menor dimension).

Sin embargo, el hecho de proponer una geometrıa bidimensional lleva implıcita la

proposicion de que tanto el interior del dominio como los electrodos en su frontera

y las condiciones de borde son simetricas respecto del eje de la dimension que no se

considera. Si esta hipotesis no se verifica se introducira un error en la reconstruccion

de conductividad cuya evaluacion analıtica es, al menos, difıcil de obtener.

Capıtulo 3

Arreglos experimentales

En este capıtulo se presenta, en primer lugar, el sistema de EIT que se construyo.

A continuacion, se explican los experimentos realizados para la evaluacion del modelo

propuesto. Dichas explicaciones abarcan la descripcion de los instrumentos de medicion

utilizados, los dispositivos bajo prueba, los metodos y las consideraciones realizadas

para la obtencion de los resultados que se presentan en el capıtulo 7.

3.1. Sistema de EIT

Figura 3.1: Fotografıa del sistema experimental de EIT construido, donde se pueden observarel recipiente de acrılico que contiene el cuerpo bajo estudio con los electrodos adheridos y elsistema de estimulacion y medicion.

En la figura 3.1 se presenta una fotografıa del sistema de EIT construido para la

realizacion de experimentos en el laboratorio. Consiste en un recipiente cilındrico de

acrılico transparente con ocho electrodos adheridos y del instrumental utilizado para la

25

26 Arreglos experimentales

estimulacion y la medicion de tension en los electrodos. El recipiente tiene un diametro

exterior de 15cm y 12cm de alto. Su espesor de pared es de 3mm. Los electrodos

(KendallTMArboTMmodelo H99SG, [15]) son circulares, de 1cm de diametro y tienen

un recubrimiento de Ag/AgCl.

Figura 3.2: Esquema del sistema experimental de EIT construido

En la figura 3.2 se presenta un esquema del sistema donde se indica la funcion de

cada uno de los instrumentos. El instrumental consta de un generador de ondas Agilent

33220A, un multımetro HP3478A usado como voltımetro, otro multımetro HP34401A

usado como amperımetro y un conmutador HP3488A. Se utilizo una excitacion alterna

(AC) para evitar la ocurrencia de electrolisis.

La estimulacion electrica del contenido del recipiente (i. e., del dominio) se realiza

con el generador de ondas, a traves de los electrodos. La magnitud de la estimulacion,

es decir, la intensidad de corriente inyectada al dominio, se mide con el amperımetro

conectado en serie con el generador de ondas. Esta informacion se transmite a una

computadora (unidad de procesamiento) a traves de la interfaz GPIB (General Purpose

Interface Bus). La medicion de tension se realiza con el voltımetro y se transmite, al

igual que la medicion de corriente, a traves de la interfaz GPIB.

El circuito de estimulacion y el de medicion, ası como todos los electrodos, estan

conectados a los bornes del conmutador. Esto se debe a que el conmutador, controlado

por la computadora a traves de la interfaz GPIB, es usado para conectar los elec-

trodos que se desean estimular y los electrodos cuya diferencia de potencial se desea

medir con el circuito de estimulacion y el de medicion (respectivamente). Para ello,

el conmutador posee en su interior un conjunto de contactos mecanicos o llaves ac-

cionables electricamente. Estos contactos pueden adquirir diferentes configuraciones a

3.1 Sistema de EIT 27

traves de “modulos” intercambiables. La configuracion utilizada para el control de la

estimulacion y la medicion sobre los electrodos se presenta a continuacion.

3.1.1. Configuracion del conmutador

Para el control de la estimulacion y la medicion sobre al menos ocho electrodos se

usan dos modulos: uno del tipo “matriz de conmutacion” de 4× 4 (HP44473A) y uno

del tipo “rele de propositos generales” (HP44471A) conectados como se muestra en el

esquema de la figura 3.3.

C0 C1 C2 C3

R0

R1

R2

R3

H

L

H

L

H

L

H

L

H L H L H L H L

Matriz 4x4 (HP 44473A)

E0

E1

E2

E3

E4

E5

E6

E7

LL L L L L L L

HH H H H H H H

CH

0

CH

7

RPG (HP 44471A)

Figura 3.3: Esquema de la configuracion del conmutador y las conexiones utilizadas para elcontrol de la estimulacion y la medicion sobre al menos ocho electrodos

El modulo del tipo rele de propositos generales (RPG) posee diez llaves indepen-

dientes (aunque solo se utilizaron ocho: las numeradas del 0 al 7). Estas llaves, al

cerrarse o abrirse, permiten habilitar o impedir la conduccion a traves de diez canales

(o channels CH) entre dos terminales: uno de baja (L) y uno de alta (H). La tarjeta

del tipo matriz de conmutacion permite controlar 16 pares de llaves de forma tal que se

28 Arreglos experimentales

puede conectar cualquier combinacion de cuatro filas (R0 a R3) con cuatro columnas

(C0 a C3). Cada una de las filas, ası como cada una de las columnas de la matriz, posee

dos terminales (H y L). Como se muestra en la figura 3.3, a los ocho terminales de las

filas de la matriz se conectan los ocho electrodos, mientras que a los ocho terminales de

las columnas se conectan los terminales L de los ocho canales del rele. A los terminales

H del rele se conectan el circuito de excitacion y el de medicion. Con esta configuracion,

cerrando las llaves apropiadas comandandolas vıa GPIB a traves de la computadora,

se puede establecer una corriente o medir la tension entre cualquier par de electrodos.

3.2. Medicion de la impedancia de contacto

Para la medicion de la impedancia de contacto zl entre un medio lıquido de con-

ductividad conocida y un electrodo se utilizo el montaje experimental presentado es-

quematicamente en la figura 3.4.

Figura 3.4: Esquema del montaje experimental utilizado para la medicion de la impedanciade contacto zl entre los electrodos y un medio lıquido de conductividad electrica σ conocida

La muestra confeccionada, cuya impedancia fue medida durante el experimento,

consta de un cilindro hueco de plastico de diametro interior D y longitud L, consi-

derado aislante, con dos electrodos adheridos que ofician de tapas. Al cilindro se le

perforo un orificio en su superficie lateral con el objetivo de poder llenarlo del lıquido

de conductividad conocida σ.

El analizador de impedancias utilizado (HP 4192A) permite medir a cuatro puntas

la impedancia (resistencia y reactancia) de una muestra en el rango de frecuencias

5Hz− 13MHz. La componente reactiva de la impedancia no se tuvo en cuenta en este

analisis.

3.2 Medicion de la impedancia de contacto 29

La medicion de conductividad de lıquidos se realizo con un conductımetro de mano

Hanna modelo HI98130.

Se propone que la resistencia total Rtot de la muestra esta conformada por dos

componentes: la debida a cada una de las resistencias de contacto asociadas a las

interfaces electrodo/lıquido Rl y la asociada al fluido Rf .

Rtot = 2Rl +Rf (3.1)

Conociendo la conductividad del fluido y las dimensiones, se calcula

Rf =4L

σπD2(3.2)

La resistencia asociada a las impedancias de contacto (que por simplicidad se siguen

notando zl) es

Rl =4zlπD2

(3.3)

Reemplazando las ecuaciones (3.2) y (3.3) en la (3.1) se obtiene

Rtot = 2

(4zlπD2

)+

4L

σπD2(3.4)

De esta ultima ecuacion se despeja el valor de impedancia de contacto

zl =1

2

(πD2Rtot

4− L

σ

)(3.5)

La medicion de la resistencia de contacto con este metodo se realizo con el objetivo

de compararla con el valor obtenido con la calibracion (el metodo de ajuste descripto

en la seccion 2.6).

Capıtulo 4

Implementacion de los algoritmos

En la figura 4.1 se muestra un diagrama que representa el flujo de informacion y

las etapas de procesamiento destinadas a reconstruir una imagen de la distribucion

espacial de conductividad electrica del dominio. Dicho diagrama pretende resumir el

procedimiento global, el cual se explica parte por parte en las secciones del presente

capıtulo.

Figura 4.1: Diagrama de bloques que muestra los flujos de informacion y los algoritmos usadospara procesarla. Las referencias muestran las categorıas en las que se dividen los bloques. En estecapıtulo se explican las rutinas que llevan a la obtencion de la imagen de conductividad.

31

32 Implementacion de los algoritmos

Figura 4.2: Subsistema que forma parte del diagrama de bloques de la figura 4.1. Su objetivoes la generacion de los archivos que contienen la informacion de la geometrıa con la que se modelael dominio en el que se resuelve el problema inverso

4.1. Modelado de la geometrıa y mallado

En la figura 4.2 se muestra la parte del diagrama de bloques global (fig. 4.1) que se

encarga de generar los archivos con la informacion geometrica del dominio, necesaria

para la resolucion del problema inverso. Para el modelado de la geometrıa del dominio

y su discretizacion en elementos finitos (o mallado) se utilizo el programa Gmsh. Dicho

programa es un generador de mallas de elementos finitos con un motor de CAD y un

post-procesador [16]. La geometrıa se puede generar parametricamente mediante una

interfaz grafica o a traves de un script. Luego, permite generar un mallado y exportar

tres archivos de datos con formato de matriz:

“coordinates.dat”, cuyas filas contienen las coordenadas cartesianas de cada uno

de los nodos.

“elements.dat” cuyas filas contienen los nodos que definen los elementos de la

malla.

“border.dat” cuyas filas contienen los nodos que definen los elementos de la fron-

tera de la malla.

Para este trabajo se programaron scripts en Gmsh que permiten, recibiendo como

datos de entrada los parametros geometricos por parte del usuario (bloque 1 de la fig.

4.2), generar la geometrıa de un tanque cilındrico con electrodos circulares; o bien,

un dominio circular con electrodos en forma de arco de circunferencia. En las figuras

4.3 y 4.4 se muestran imagenes de los mallados generados (uno en 2D y otro en 3D,

respectivamente).

El procesamiento realizado por Gmsh se representa con el bloque 2 y los archivos

de datos generados forman parte del bloque 4 de la figura 4.2, respectivamente.

Para completar el subsistema de la figura 4.2 se programaron funciones en Python

(version 2.7). Python es un lenguaje de programacion interpretado y multiparadigma.

Como se puede ver en la figura 4.1, este lenguaje fue usado para la programacion de

4.2 Generacion de una grilla bidimensional 33

Figura 4.3: Mallado bidimensional generado con Gmsh de un cırculo con ocho electrodos conforma de arco de circunferencia

diversas rutinas de procesamiento. El bloque 3 de la figura 4.2 representa funciones

que, recibiendo como datos de entrada la informacion geometrica correspondiente a

los electrodos (cantidad, posiciones y forma), generan una lista de vectores (uno por

cada electrodo) cuyas componentes son los numeros de elementos de la frontera que

pertenecen a cada electrodo. Una vez obtenida la lista, se guarda en un archivo de

datos.

Los archivos de datos cuya generacion se describe en esta seccion reunen toda la

informacion geometrica necesaria para la resolucion del problema inverso.

4.2. Generacion de una grilla bidimensional

Para graficar una imagen de un corte plano de la conductividad del dominio es nece-

sario generar una grilla. El grillado consiste en la subdivision de un area en cuadrıculas

o casilleros rectangulares. La biblioteca pylab de Python posee rutinas que permiten

hacer graficas en 2D recibiendo como argumentos la grilla y el valor, en cada uno de

los casilleros, de la funcion a graficar (en este caso el valor de conductividad).

Si el dominio en el que se resuelve el problema inverso es tridimensional, se debe

obtener la interseccion del plano que se desea presentar con los elementos finitos te-

traedricos; mientras que si es bidimensional, es natural que se grafique la conductividad

en todo el dominio. En ambos casos, una vez que se sabe el corte que se va a graficar,

se debe buscar a que elemento finito corresponde cada casillero de la grilla generada.

Con ese objetivo, se programaron rutinas en Python que reciben como argumento los

archivos geometricos generados previamente. Estas rutinas crean un nuevo archivo de


Figura 4.4: Mallado tridimensional generado con Gmsh de un cilindro con ocho electrodoscirculares con centro en un mismo plano

datos que contiene la informacion de la grilla generada y asocia cada cuadrıcula de la

grilla al elemento finito al que pertenece. Este procedimiento esta representado por los

bloques ubicados en el extremo derecho de la figura 4.1.

4.3. Calibracion

Figura 4.5: Subsistema que forma parte del diagrama de bloques de la figura 4.1. Su objetivoes la implementacion del algoritmo de calibracion presentado en la seccion 2.6

En la figura 4.5 se muestra el subsistema correspondiente a la calibracion, cuya

formulacion matematica se presento en la seccion 2.6. Para implementar el algoritmo

de calibracion se programaron dos rutinas en Python.

La primera rutina tiene como funcion estimular el dominio segun los parametros

pasados por el usuario y tomar las mediciones de tension. El usuario debe ingresar

las direcciones GPIB de los instrumentos, ası como la ubicacion de los modulos en los

espacios o slots del conmutador. Para realizar la estimulacion (inyeccion de corriente) y

las mediciones (de tension) se debe tener en cuenta que la configuracion de instrumentos

y las conexiones utilizadas son las presentadas en la seccion 3.1. La rutina de Python que

4.4 Estimulacion y medicion 35

se encarga de realizar las mediciones para la calibracion debe recibir como argumentos

los instrumentos definidos como objetos de PyVISA. Esta ultima es una biblioteca

que permite controlar instrumentos desde una computadora mediante varias interfaces

(entre ellas la GPIB).

La segunda rutina de Python recibe como argumentos las mediciones de tension

(obtenidas como respuesta ante la inyeccion de corrientes con la rutina explicada en el

parrafo anterior) y los archivos de la geometrıa del dominio. Tambien, aunque no se

indique en el diagrama de bloques, debe recibir como argumentos los valores de semilla

para la conductividad del medio y para la impedancia de contacto. Siguiendo los calcu-

los propuestos en la seccion 2.6, se obtienen valores estimados para la conductividad

del medio homogeneo σ0 y para la impedancia de contacto zl.

4.4. Estimulacion y medicion

Figura 4.6: Subsistema que forma parte del diagrama de bloques de la figura 4.1. Consiste enel control de los instrumentos mediante una computadora a partir de los parametros configuradospor el usuario, con el fin de estimular el dominio y tomar las mediciones de la respuesta antedicho estımulo.

En la figura 4.6 se muestra el subsistema correspondiente a la estimulacion del

dominio con corrientes y la medicion de tension electrica en los electrodos para cada

vector de corrientes de estimulacion (tambien llamados “patrones de estimulacion”). El

usuario debe ingresar la informacion que determina cuantos patrones de estimulacion se

realizaran y por que electrodos se inyectara corriente en cada patron. Tambien se debe

indicar la modalidad de medicion, ya que en general, la tension puede medirse usando un

electrodo como referencia fijo para cada patron de estimulacion, o en forma diferencial,

variando el electrodo de referencia en cada medicion. Debido a que la manera en que se

implemento el calculo del Jacobiano no permite reconstruir con mediciones de tension

efectuadas en forma diferencial, solo debe especificarse que electrodo se ha de usar

como referencia para cada conjunto de mediciones correspondiente a un patron de


estimulacion. Con esta informacion como argumento, una rutina de Python controla

los instrumentos para efectuar la estimulacion y la medicion teniendo en cuenta la

configuracion presentada en la seccion 3.1. Dado que se estimula el dominio con un

generador de ondas que mantiene el valor RMS de tension constante a su salida, se debe

medir la corriente para cada patron de estimulacion. La informacion de la magnitud

de la intensidad de corriente inyectada es necesaria para el calculo de las tensiones

Vcalc (problema directo) y del Jacobiano (ver fig. 4.1). Por otro lado, las mediciones de

tension Vmed se usan, junto con el Jacobiano, para calcular la solucion del problema

inverso.

4.5. Calculo de las tensiones y el Jacobiano

Figura 4.7: Subsistema que forma parte del diagrama de bloques de la figura 4.1. Su objetivoes el calculo de las tensiones electricas y del Jacobiano

En la figura 4.7 se muestra el subsistema del diagrama de bloques (fig. 4.1) que tiene

como objetivo el calculo del Jacobiano J y de las tensiones en los electrodos Vcalc para

un conjunto de patrones de estimulacion SP dado. En otras palabras, SP denota el

conjunto de vectores de corrientes en los electrodos I.

Con este objetivo, se programo una rutina de Python que sigue el procedimiento

descripto en la subseccion 2.4.1. Dicha rutina recibe como argumentos los patrones de

estimulacion, los archivos de la geometrıa y los valores de impedancia de contacto zl.

Para el calculo del Jacobiano usa una semilla de conductividad σ0 que puede ser la

obtenida con el procedimiento de calibracion.

4.6 Resolucion del problema inverso 37

Figura 4.8: Subsistema que forma parte del diagrama de bloques de la figura 4.1. Su objetivoes el calculo del problema inverso (reconstruccion) con alguno de los metodos de regularizacionpropuestos en la seccion 2.5 y la representacion grafica de los resultados

4.6. Resolucion del problema inverso

En la figura 4.8 se muestra el subsistema del diagrama de bloques (fig. 4.1) que

tiene como objetivo el calculo del problema inverso y el grafico de una imagen 2D

de conductividad en el dominio. Se programaron rutinas de Python que siguen los

procedimientos descriptos en la seccion 2.5. Dichas rutinas dependen de la modalidad

de regularizacion elegida por el usuario, ası como de los parametros de regularizacion

ingresados. La resolucion del problema inverso consiste en el calculo de un vector de

conductividades σ, cuyas componentes se corresponden con la conductividad de los

elementos finitos.

Otra rutina de Python, recibiendo como argumentos la grilla bidimensional gene-

rada previamente (seccion 4.2) y el vector de conductividades σ, se encarga de asociar

la conductividad de los elementos a cada uno de ellos y de generar una grafica de la

conductividad en la grilla.

4.7. Rutina principal

Se programo una “rutina principal” en Python que integra las subrutinas descriptas

en las secciones 4.3, 4.4, 4.5 y 4.6 y que, en consecuencia, se utiliza para hacer todo

el procesamiento de la informacion (datos de entrada del usuario, mediciones) para la

tecnica de EIT.

Los datos de entrada deben ser ingresados manualmente por el usuario dentro del

codigo de la misma rutina. Una vez hecho esto, se puede correr el programa. En primer

lugar se efectua el procedimiento de calibracion (seccion 4.3), para lo cual se comunica

al usuario que, de ser posible, conecte los electrodos a un medio homogeneo de conduc-

tividad similar a la del dominio del que se desea obtener una imagen. La calibracion

comienza luego de que el usuario ingresa una tecla. Una vez terminada la calibracion,

se pide al usuario que conecte los electrodos al dominio, y que cuando finalice apriete

una tecla nuevamente. En ese momento, se comienzan a efectuar las estimulaciones y


mediciones (seccion 4.5) de acuerdo a los datos de entrada. Una vez obtenido el primer

conjunto de datos medidos, el programa los procesa usando las subrutinas descriptas

en las secciones 4.5 y 4.6. Simultaneamente, se toma el segundo conjunto de medi-

ciones. Para poder tomar el conjunto de mediciones (m + 1) mientras se reconstruye

una imagen con los datos de la medicion m, se utilizo la biblioteca multiprocessing de

Python. Dicha biblioteca facilita la creacion de y la interaccion entre distintos procesos

(computacionales) dentro de un mismo programa. La medicion (m + 1) y la recons-

truccion m conforman dos procesos distintos, que pueden correr en forma simultanea,

cada uno en un nucleo de una CPU (Central Processing Unit). La rutina lleva a cabo

sucesivas mediciones y reconstrucciones hasta que el usuario ingresa una tecla. Para

que el programa sea capaz de leer el ingreso de la tecla por parte del usuario mientras

ejecuta los procesos asociados a la medicion y a la estimulacion, fue necesario crear un

hilo o thread dentro de la rutina principal. Se empleo, para ello, la biblioteca threading

de Python.

4.8. Paralelizacion en tarjetas graficas

El procesamiento paralelo de datos se ha convertido en el estandar para la compu-

tacion de alto rendimiento, donde una gran cantidad de algoritmos pueden ser a me-

nudo acelerados mediante la distribucion de los calculos sobre muchos procesos que se

ejecutan simultaneamente. Las tarjetas graficas (GPU: Graphics Processing Units) fue-

ron originalmente disenadas para acelerar la produccion de graficos por computadora,

emergiendo luego como una plataforma versatil para ejecutar calculos en paralelo en

forma masiva [17].

El lenguaje de programacion CUDA (Compute Unified Device Architecture) creado

por NVidia, es una extension del lenguaje C, que permite escribir el codigo que se

ejecutara en la GPU en C estandar [18]. El lenguaje CUDA permite crear funciones,

conocidas como kernels, las cuales se lanzan en forma paralela sobre las unidades de

calculo de la GPU, llamadas threads. Es importante notar, desde el punto de vista del

programa, que cada thread se ejecuta en forma separada de los demas threads. Cada

thread actua como una unidad de calculo independiente, con sus propias variables y

con sus propios accesos a memoria y pueden ejecutarse en arreglos unidimensionales,

bidimensionales o tridimensionales.

La memoria que ofrece la arquitectura de las placas graficas, es independiente de la

memoria de la CPU y, para poder procesar datos, estos deben ser primero transferidos

desde la CPU hacia la GPU. Dependiendo de la cantidad de datos, la transferencia de

los mismos entre la CPU y la GPU, puede llegar a ser una limitante en la aceleracion

de algoritmos.

Existen bibliotecas para Python que permiten ejecutar kernels desde un script. Para

4.8 Paralelizacion en tarjetas graficas 39

este trabajo, se utilizo la biblioteca PyCuda. A su vez, existen interfaces de PyCuda

que permiten definir variables y operar las mismas en alto nivel, de forma equivalente

a Python, evitando la necesidad de escribir kernels en CUDA-C. Para este proposito,

se utilizo la biblioteca scikits.cuda.

Dos procesos fueron acelerados con el uso de la GPU:

La construccion de la matriz del sistema lineal obtenido por el metodo de ele-

mentos finitos, tal como se describe en la subseccion 2.3.1.

La resolucion del problema inverso mediante la implementacion de la ecuacion

(2.87) para la obtencion de la distribucion de conductividades en forma iterativa

y usando la regularizacion de Tikhonov.

La construccion de la matriz del sistema se realizo utilizando kernels mediante Py-

Cuda. Para el calculo de cada componente (i, j) de la submatriz AM , se uso un kernel

que utiliza un arreglo unidimensional de threads en una cantidad igual o mayor que

la cantidad de elementos K del mallado. Por lo cual, la sumatoria sobre elementos

descripta en la ecuacion 2.62 es realizada en paralelo, donde cada thread se encarga de

calcular las integrales para cada elemento k del mallado. Luego, las integrales calcula-

das son sumadas a las componentes (i, j) correspondientes de la submatriz AM usando

operaciones atomicas [18]. Para la construccion de las submatrices AZ , AW y AD se

uso un kernel que utiliza una arreglo bidimensional de threads, donde la primera dimen-

sion corresponde a la cantidad L de electrodos y la segunda dimension corresponde a la

cantidad de elementos que pertenecen a cada electrodo. Luego, cada thread se encarga

de realizar las integrales sobre el area del electrodo, correspondientes a las ecuaciones

2.63 a 2.65. Al igual que en el caso anterior, las componentes (i, j) de la submatriz

AZ y las componentes (i, l) y (l, l) de las submatrices AW y AD, respectivamente, son

sumadas mediante operaciones atomicas.

Para la resolucion del problema inverso mediante la ecuacion (2.87), se utilizo la bi-

blioteca scikits.cuda, la cual, como se menciono anteriormente, permite operar sobre las

matrices y vectores a alto nivel. A traves de esta biblioteca, se realizaron las multiplica-

ciones matriz-matriz, las multiplicaciones matriz-vector y la transposicion de matrices

requeridas por la ecuacion (2.87). La resolucion del sistema lineal de ecuaciones fue

implementada mediante la biblioteca cusolver, tambien provista por scikits.cuda.

Capıtulo 5

Calculo analıtico del potencial

electrico en un dominio sencillo

Se propone resolver analıticamente el problema de hallar la distribucion espacial

del potencial electrico en el dominio bidimensional Ω mostrado en la figura 5.1. El

mismo es un cırculo de radio r2 con una perturbacion circular concentrica de radio r1

en la conductividad electrica. La irregularidad tiene una conductividad σ1 y el resto

tiene una conductividad σ2. En coordenadas cartesianas, x = (x, y), donde x es la

coordenada horizontal e y la coordenada vertical. En coordenadas polares, x = (r, θ),

donde r =√x2 + y2 y θ = arctan

(yx

). Poniendo el origen del sistema de referencia en

el centro de los cırculos, la conductividad es

σ(x) =

σ1 si 0 ≤ r ≤ r1

σ2 si r1 < r ≤ r2

(5.1)

5.1. Solucion general del Laplaciano en coordena-

das cilındricas

La ecuacion diferencial (2.16) describe el potencial electrico u en Ω. Dado que la

conductividad es constante por partes, el problema se reduce a hallar u1 y u2 tales que∇2u1 = 0 para 0 ≤ r ≤ r1

∇2u2 = 0 para r1 ≤ r ≤ r2

(5.2)

con condiciones de continuidad para el potencial y para el flujo de corriente en la

interfaz donde r = r1

u1(r = r1, θ) = u2(r = r1, θ) (5.3)

41

42 Calculo analıtico del potencial electrico en un dominio sencillo

σ1∂u1

∂r(r = r1, θ) = σ2

∂u2

∂r(r = r1, θ) (5.4)

En primer lugar se busca una solucion general para la ecuacion (5.2) que en coor-

denadas cilındricas y multiplicando por r2 es

r2∂2u

∂r2+ r

∂u

∂r+∂2u

∂θ2= 0 (5.5)

Se propone resolver el problema por separacion de variables, es decir, se propone una

solucion u(r, θ) = R(r) · Θ(θ). Reemplazando en la ecuacion (5.5) y dividiendo por Θ

se obtiene

r2R′′ + rR′ +RΘ′′

Θ= 0 (5.6)

Se ve quer2R′′ + rR′

R(r) = −Θ′′

Θ(θ) = λ (5.7)

donde λ es un escalar independiente de r y de θ.

La ecuacion que describe la parte angular Θ(θ) de u(r, θ) es

Θ′′

Θ(θ) = −λ (5.8)

Puede verificarse que las soluciones particulares son de la forma Θ(θ) = cos(√λθ) y

Θ(θ) = sin(√λθ). La condicion de periodicidad de la variable angular θ en el dominio

Ω impone que

cos(√λθ) = cos[

√λ(θ + 2π)]

sin(√λθ) = sin[

√λ(θ + 2π)]

(5.9)

Para que esto se cumpla debe verificarse que

√λ = n, con n = 1, 2, ...,∞ (5.10)

por lo que la solucion general de la parte angular de u(r, θ) es

Θ(θ) = A0 +∞∑n=1

[A′n cos(nθ) +B′n sin(nθ)] (5.11)

La ecuacion que describe la parte radial R(r) de u(r, θ) es

r2R′′ + rR′ − n2R = 0 (5.12)

Se propone una solucion de la forma

5.2 Solucion particular en el dominio de interes Ω 43

R(r) = rc (5.13)

Se deriva esta expresion dos veces respecto de r

R′(r) = crc−1 (5.14)

R′′(r) = c(c− 1)rc−2 (5.15)

y se reemplazan las ecuaciones (5.13), (5.14) y (5.15) en la (5.12)

rc[c(c− 1) + c− n2] = 0 (5.16)

Dado que esta ecuacion debe cumplirse para todo r dentro del dominio, c(c−1)+c−n2

debe anularse. Luego, los valores de c que conforman la solucion de la parte radial de

u(r, θ) (ec. 5.13) son los que verifican

c = ±n (5.17)

La solucion general de la parte radial de u(r, θ) resulta

R(r) = C ′rn +D′r−n (5.18)

Se reemplazan R(r) (ec. 5.18) y Θ(θ) (ec. 5.11) en la expresion u(r, θ) = R(r) ·Θ(θ)

para obtener la solucion general del Laplaciano en coordenadas cilındricas. Unificando

los coeficientes queda:

u(r, θ) = A′′0 +∞∑n=1

[A′′nr

n + C ′′nr−n] cos(nθ) + [B′′nr

n +D′′nr−n] sin(nθ

(5.19)

5.2. Solucion particular en el dominio de interes Ω

El potencial electrico en el dominio Ω puede describirse con las funciones u1 y u2

que cumplen:

La ecuacion diferencial en derivadas parciales (5.2). Esto implica que u1 y u2

estan dados por la ec. (5.19)

u1(r, θ) = A0 +∞∑n=1

[Anrn +Gnr

−n] cos(nθ) + [Bnrn +Hnr

−n] sin(nθ) (5.20)


u2(r, θ) = C0 +∞∑n=1

[Cnrn + Enr

−n] cos(nθ) + [Dnrn + Fnr

−n] sin(nθ) (5.21)

u1 es acotada en r = 0. Esto impone que Gn = Hn = 0 para todo n.

u1(r, θ) = A0 +∞∑n=1

rn[An cos(nθ) +Bn sin(nθ)] (5.22)

La condicion de continuidad (ecuacion (5.3)). Reemplazando las ecuaciones (5.21)

y (5.22) y evaluando en r = r1 se obtiene

A0 +∞∑n=1

r1[An cos(nθ) +Bn sin(nθ)] =

=C0 +∞∑n=1

[Cnrn1 + Enr

−n1 ] cos(nθ) + [Dnr

n1 + Fnr

−n1 ] sin(nθ)

(5.23)

De esta ultima ecuacion se obtiene una relacion entre los coeficientes

A0 = C0

An = Cn + r−2n1 En

Bn = Dn + r−2n1 Fn

(5.24)

La condicion de continuidad (ecuacion (5.4)). Derivando u (ecuacion 5.19) en

direccion normal al cırculo de radio r1 se obtiene

∂u

∂r(r, θ) =

∞∑n=1

n[A′′nrn−1 − C ′′nr−n−1] cos(nθ)+

+ n[B′′nrn−1n−D′′nr−n−1] sin(nθ)

(5.25)

Evaluando la derivada (ec. 5.25) para u1 (ec. 5.22) y u2 (ec. 5.21) en r1 y reem-

plazando en la ecuacion (5.4) se obtiene

σ1

∞∑n=1

nrn−11 [An cos(nθ) +Bn sin(nθ)] =

=σ2

∞∑n=1

n[Cnrn−11 − Enr−n−1

1 ] cos(nθ) + n[Dnrn−11 − Fnr−n−1

1 ] sin(nθ)

(5.26)

De esta ultima ecuacion se obtiene otra relacion entre los coeficientes

σ1An = σ2(Cn − Enr−2n1 )

σ1Bn = σ2(Dn − Fnr−2n1 )

(5.27)

5.3 Aplicacion de las condiciones de borde 45

Estas relaciones permiten expresar u1 y u2 en terminos de los coeficientes Cn y

Dn.

u1(r, θ) = C0 +∞∑n=1

(1 +

σ2 − σ1

σ2 + σ1

)rn[Cn cos(nθ) +Dn sin(nθ)] (5.28)

u2(r, θ) = C0 +∞∑n=1

Cn

[rn +

(σ2 − σ1

σ2 + σ1

)r2n

1

rn

]cos(nθ)+

+Dn

[rn +

(σ2 − σ1

σ2 + σ1

)r2n

1

rn

]sin(nθ)

(5.29)

Esta solucion se presenta en [19, Seccion 3.2].

5.3. Aplicacion de las condiciones de borde

x

y

r1

r2

2

1

J0

J0

Ω

Figura 5.1: Esquema del dominio bidimensional donde se calcula analıticamente la distribucionespacial del potencial electrico con las condiciones de borde de Neumann propuestas

En la porcion de la frontera del dominio donde no hay electrodos se aplica la condi-

cion de borde dada por la ecuacion (2.44), dado que se considera que no circula corriente

a traves de dichas zonas. En la porcion de la frontera que se supone en contacto con

electrodos se propone aplicar dos tipos de condiciones de borde distintas. En primer

lugar, en la subseccion 5.3.1, se propone modelar a los electrodos con una condicion

de Neumann, estableciendo el flujo de corriente a traves de los mismos. Luego, en la

subseccion 5.3.2 se propone aplicar el modelo de electrodo completo para el caso en las

tensiones en los electrodos son conocidas.


Las condiciones de borde permiten calcular los coeficientes Cn yDn de las ecuaciones

(5.28) y (5.29).

5.3.1. Condiciones de Neumann

Figura 5.2: Grafica de las lıneas equipotenciales obtenidas con la condicion de borde de Neu-mann esquematizada en la figura 5.1

Se considera que se inyecta una densidad de corriente constante J0 (conocida) a

traves el arco de circunferencia perteneciente a la frontera del dominio, determinado

por(r = r2,−π

8< θ < −π

4

)y se extrae la misma densidad de corriente J0 a traves de(

r = r2,π8< θ < π

4

). En el resto del contorno del dominio la densidad de corriente es

nula. Ademas, para definir completamente la solucion, un punto de la frontera debe

definirse como referencia (es decir, se hace el potencial electrico igual a cero en un

punto). Se “pone a tierra” el punto (r = r2, θ = 0). Matematicamente, esta condicion

de borde puede expresarse como

σ2∂u2∂r

(r = r2, θ) = g(θ) =

J0 para π

8< θ < π

4

−J0 para − π8< θ < −π

4

0 para todo otro θ

u2(r = r2, θ = 0) = 0

(5.30)

Para aplicar las condiciones de borde, se calcula el desarrollo en serie de Fourier de

g(θ)


g(θ) =∞∑m=1

4J0

πm

[sin

(3mπ

16

)sin(mπ

16

)]sin(mθ) (5.31)

Esta funcion g(θ), por la condicion de borde de la ecuacion (5.30), es igual a

σ2∂u2

∂r(r = r2, θ) = σ2

∞∑n=1

nCn

[rn−1

2 +

(σ2 − σ1

σ2 + σ1

)r2n

1

rn+12

]cos(nθ)+

+ nDn

[rn−1

2 +

(σ2 − σ1

σ2 + σ1

)r2n

1

rn+12

]sin(nθ)

(5.32)

De aquı se puede obtener una expresion para los coeficientes, que resultan

Cn = 0 para todo n = 0, ...,∞ (5.33)

Dn =4J0

σ2πn2sin

(3nπ

16

)sin(nπ

16

)[rn−1

2 +

(σ2 − σ1

σ2 + σ1

)r2n

1

rn+12

]−1

(5.34)

Reemplazando las ecuaciones (5.33) y (5.34) para los coeficientes en las ecuaciones

(5.28) y (5.29) se obtiene la solucion particular del problema propuesto. Para evaluar

numericamente la solucion obtenida se toma un numero finito N de terminos de la serie

de Fourier. En la figura 5.2 se presenta un grafico de las curvas de nivel de potencial

electrico en el dominio Ω para N = 500 y para los parametros del problema (es decir

las conductividades σ1 y σ2, los radios r1 y r2 y la densidad de corriente J0) con los

valores mostrados en la misma figura.

5.3.2. Condiciones del modelo de electrodo completo

Se busca resolver el problema con la condicion de borde de electrodo completo en

el mismo dominio Ω pero esta vez con ocho electrodos conectados en su frontera como

se muestra en la figura 5.3. El potencial electrico en Ω verifica las ecuaciones (5.28)

y (5.29), ya que el interior del dominio coincide con el tratado en la subseccion ante-

rior. La condicion de borde en la porcion de la frontera en contacto con los electrodos

esta dada por la ecuacion (2.45), mientras que donde no hay electrodos conectados el

flujo de corriente en direccion normal a la frontera es nulo y se verifica la ecuacion

(2.44). Las tensiones en los electrodos Vl y sus impedancias de contacto zl se supo-

nen conocidas. En particular, las tensiones Vl utilizadas se obtuvieron resolviendo el

problema directo mediante el metodo de elementos finitos en el dominio propuesto,

inyectando una corriente I a traves del electrodo 0 y −I a traves del electrodo 1. Se

propone evaluar la condicion de borde reemplazando u2 y ∂u2∂r

en la frontera ∂Ω para

(2N + 1) valores distintos y equiespaciados de 0 ≤ θ < 2π y truncando las series en

n = N . Esto permite obtener un sistema lineal de (2N+1) ecuaciones cuyas incognitas


x

y

r1

r2

2

1

V0

V1

V2

V3

V4

V5V6

V7

Figura 5.3: Esquema del dominio bidimensional donde se calcula analıticamente la distribucionespacial del potencial electrico con las condiciones de borde del modelo de electrodo completo.En la frontera se observa la posicion de los electrodos y la numeracion elegida.

son C0 y los primeros N coeficientes Cn y Dn de la solucion u2.

En la figura 5.4 se presenta un grafico de las curvas de nivel de potencial electrico

en el dominio Ω para N = 500 y para los parametros del problema (es decir las

conductividades σ1 y σ2, los radios r1 y r2) con los valores mostrados en la figura. Su

asumio que zl = 2. El vector de tensiones V usado, cuya componente k es la tension

medida en el electrodo k respecto del electrodo 1 fue

V =(11, 9938; 0; 5, 8774; 5, 9913; 6, 0374; 6, 0748; 6, 1212; 6, 2360)


Figura 5.4: Grafica de las lıneas equipotenciales obtenidas con la condicion de borde del modelode electrodo completo esquematizada en la figura 5.3

Capıtulo 6

Resultados numericos

Los resultados numericos fueron obtenidos con los algoritmos de reconstruccion

programados reemplazando la toma de mediciones por la simulacion de las mismas

(ver figura 4.1). La simulacion de un conjunto de mediciones puede realizarse mediante

la resolucion del problema directo con un modelo definido por el usuario. El modelo

para la resolucion del problema directo esta constituido por:

el dominio geometrico considerado y su discretizacion en elementos finitos,

la definicion de la cantidad y el tamano de los electrodos y sus posiciones en la

frontera del dominio,

la distribucion de conductividad en el dominio,

el valor de la impedancia de contacto entre los electrodos y el dominio, y

el conjunto de patrones de corriente de estimulacion.

Asumiendo que todos los parametros que definen el modelo se conocen con total

certeza y, dado que en la formulacion matematica del problema directo y el proble-

ma inverso se considera que el potencial electrico es descripto por las mismas ecua-

ciones, uno podrıa apresuradamente concluir que al resolver el problema inverso con

mediciones simuladas se obtendra una reconstruccion perfecta de la distribucion de

conductividad. Sin embargo, como se explico en la seccion 2.5, el problema inverso

esta mal condicionado. A causa de esto, es necesario usar un metodo de regularizacion

que considere informacion conocida a priori sobre la distribucion espacial de conduc-

tividad para obtener una reconstruccion representativa. Como consecuencia, la imagen

de conductividad obtenida no solo no coincidira con la simulada, si no que ademas de-

pendera del metodo de regularizacion utilizado. Sin embargo, reconstruir una imagen

con mediciones generadas en forma sintetica, asumiendo que todos los parametros que

definen el modelo se conocen con total certeza, permite comparar los distintos metodos

51

52 Resultados numericos

de reconstruccion, ya que en ese caso, las inexactitudes en la imagen de conductivi-

dad, se deben unicamente a los efectos del proceso de reconstruccion. La comparacion

de los distintos metodos permitira, bajo algun criterio, adoptar uno de ellos para su

utilizacion posterior.

Una vez caracterizadas las inexactitudes introducidas por el proceso de reconstruc-

cion, se pueden evaluar aquellas debidas a las aproximaciones realizadas en el modelado

del problema inverso. El procedimiento seguido para realizar dicha evaluacion consis-

tio en la simulacion de mediciones resolviendo el problema directo (con un modelo

dado), para luego, con las mediciones simuladas, resolver el problema inverso introdu-

ciendo un error en el modelado (asociado a una aproximacion, por ejemplo, conside-

rando que las hipotesis de dominio bidimensional son validas) o en las mediciones (por

ejemplo, ruido en la tension).

6.1. Descripcion del modelo usado en las simulacio-

nes

Para las simulaciones realizadas en este capıtulo se utilizo siempre un mismo modelo

para la resolucion del problema directo, de manera que los resultados obtenidos sean

comparables entre sı. El dominio se modelo como un cilindro de largo L0 = 4cm y

radio R0 = 7, 26cm con una fila de 8 electrodos circulares de radio r = 0, 5cm ubicada

a una altura H0 = 2cm respecto de la base. Esta geometrıa representa la porcion que

se halla 2cm por encima y por debajo del centro de los electrodos del recipiente que se

utilizo para aplicar la tecnica de EIT presentado en la seccion 3.1. El origen del sistema

de referencias cartesiano se ubica en el centro de la base del cilindro, y el eje z coincide

con el eje del cilindro. La discretizacion del dominio en elementos finitos se presenta

en la figura 4.4. La misma consta de 2977 nodos y 11638 elementos tetraedricos.

La distribucion de conductividad simulada corresponde en forma aproximada a la

de un fluido de conductividad electrica uniforme σf = 5, 5mScm

con una perturbacion

cubica de 2cm de arista, de conductividad σp = 3σf con centro en las coordenadas

c = (1, 1, 2)cm.

En la figura 6.1 se presenta un grafico de la seccion circular central (z = 2cm) del

cilindro, correspondiente al plano que contiene al centro de los electrodos. Las imagenes

de conductividad presentadas en todo este capıtulo corresponden a la misma seccion

circular del dominio. Para generar la distribucion espacial de conductividad del domi-

nio se implemento una rutina en Python que permite simular un medio homogeneo

con perturbaciones de formas geometricas simples (cubo, esfera, etc) de conductividad

electrica diferente a la del medio. El aspecto escalonado de la distribucion de con-

ductividad se debe a que se asigna un valor de conductividad constante por elemento

6.1 Descripcion del modelo usado en las simulaciones 53

Figura 6.1: Imagen de la seccion circular z = 2cm correspondiente a la distribucion de con-ductividad simulada

proporcional a la cantidad de nodos del elemento que esten dentro de las perturbacio-

nes. Por ejemplo, en el caso del fluido con una perturbacion cubica descripto en esta

seccion, la conductividad de un elemento es:

σf si ningun nodo del elemento se halla dentro de la perturbacion

3σf+σp4

si solo un nodo del elemento se halla dentro de la perturbacion

σf+σp2

si dos nodos del elemento se hallan dentro de la perturbacion

σf+3σp4

si tres nodos del elemento se hallan dentro de la perturbacion

σp si los cuatro nodos del elemento se hallan dentro de la perturbacion

El valor de la impedancia de contacto utilizado en todos los electrodos fue de

zl = 12Ωcm2. Se utilizo un conjunto de ocho patrones de estimulacion “adyacente”

con el mismo nivel de corriente I = 10mA. El nombre proviene del hecho de que en los

distintos patrones de estimulacion, los electrodos activos son adyacentes. En resumen,

en el patron de estimulacion j la intensidad de corriente neta a traves de los electrodos j

y j+1 fue 10mA y −10mA respectivamente, y 0 a traves de los demas electrodos, donde

j es un ındice cıclico que va de 0 a 7. Como semilla para la reconstruccion se utilizo σ0 =

6mScm

. Se simularon las mediciones de tension sobre los ocho electrodos, durante la

inyeccion de cada uno de los patrones de estimulacion. Durante la estimulacion con el

patron j, la medicion de tension se realizo usando el electrodo j + 4 como referencia.

De esta manera, se obtiene un total de 64 mediciones, 8 de las cuales son nulas, ya


que corresponden a la medicion en el electrodo de referencia respecto de sı mismo. En

los experimentos, si bien se usaron dos patrones de estimulacion distintos (adyacente y

opuesto), se tomo el mismo criterio para la eleccion del electrodo de referencia. En la

figura 6.2 se muestra un esquema de los patrones de estimulacion usados con la eleccion

del electrodo de referencia para la medicion de tension.

V0

V1

V2

V3

V4=0

V5

V6

V7

V0

V1

V2

V3

V4

V6

V7V5=0

Patrón de estimulación adyacente

Patrón de estimulación opuesto

V0

V1

V2

V3

V4=0

V5

V6

V7

líneas decorriente

j=0

j=0

V0

V1

V2

V3

V4

V5=0

V6

V7

j=1

j=1

Figura 6.2: Esquema de los primeros dos (j = 0 y j = 1) patrones de estimulacion usados conla eleccion del electrodo de referencia para la medicion de tension. Se muestran las configuraciones“adyacente” y “opuesta”, usadas en el trabajo.

6.2. Comparacion de los metodos de regularizacion

En esta seccion se analizan los resultados de la reconstruccion de una imagen de

conductividad usando diferentes metodos de regularizacion. La medicion de tension se

simulo siguiendo el procedimiento descripto en la seccion 6.1. Las imagenes se pro-

cesaron para evaluar algunos indicadores destinados a caracterizar su calidad. Dicho

procesamiento consiste en un analisis de los valores de conductividad de los casilleros de

la grilla utilizada para generar las imagenes (ver seccion 4.2) Los indicadores calculados

a partir de la reconstruccion son:

6.2 Comparacion de los metodos de regularizacion 55

Tamano de la perturbacion reconstruida

Valor maximo de la conductividad electrica

Valor mınimo de la conductividad electrica

Numero de artefactos presentes en la imagen

Tamano de los artefactos

Valor medio y desvıo estandar de la muestra de los valores de conductividad en

los casilleros que no se consideran parte de la perturbacion.

Tiempo de calculo

Se presenta el analisis detallado para una de las reconstrucciones y posteriormente se

incluye una tabla que resume los resultados del analisis para las demas reconstrucciones

simuladas.

Figura 6.3: Imagen de la seccion circular de conductividad reconstruida sin regularizar con lasmediciones simuladas con el modelo descripto en la seccion 6.1

Para ilustrar la necesidad de regularizar el problema de la (pseudo) inversion del

Jacobiano en la resolucion del problema inverso, en la figura 6.3 se presenta una imagen

de la distribucion de conductividad obtenida con un paso del metodo de Gauss-Newton

sin regularizar. Puede observarse el comportamiento esperado de la solucion explicado

en la seccion 2.5.1, es decir, una distribucion de conductividad con una norma euclıdea

mucho mayor a la simulada (comparar con fig. 6.1) y muy oscilatoria. En la figura 6.4 se

incluye una grafica del espectro del Jacobiano calculado para la resolucion del problema


Figura 6.4: Grafica de los valores singulares del Jacobiano (espectro) ordenados de menor amayor.

inverso. Los primeros 28 valores singulares son al menos 11 ordenes de magnitud mayo-

res que los posteriores. Se recuerda que los valores singulares mayores estan asociados

a las componentes de la solucion menos oscilatorias, de menor norma euclıdea.

En la figura 6.5 se presenta una imagen de la reconstruccion de conductividad

para el modelo simulado, haciendo una sola iteracion del metodo de Gauss-Newton y

usando el metodo de regularizacion de Tikhonov (ver subseccion 2.5.2) con β1 = 0, 01

y β2 = 0, 01.

Con el fin de evaluar el desempeno de los metodos de reconstruccion se parte de

la premisa de que el campo de conductividad que se desea reconstruir es conocido,

por lo que se puede evaluar el error de la reconstruccion punto a punto restando la

distribucion de conductividad simulada a la reconstruida. En la figura 6.6 se presenta

una imagen de la distribucion espacial del error en la reconstruccion de conductividad.

En primer lugar, se hace una inspeccion visual de la imagen de conductividad simu-

lada (figura 6.1) y la reconstruida (figura 6.5) para compararlas. A simple vista, puede

apreciarse que en la reconstruccion hay un contraste de conductividad en la zona donde

se simulo la perturbacion, caracterizado por una concentracion de casilleros con una

conductividad mayor que los demas. Observando las barras de colores de ambas figuras,

se aprecia que la conductividad de la perturbacion simulada llega a ser 16, 5mScm

, mien-

tras que en la reconstruccion dicha conductividad no supera los 6, 4mScm

. Es decir, que en

la imagen reconstruida, la conductividad de lo que se puede considerar la perturbacion,

es significativamente menor a la simulada. Este fenomeno se observo tambien en las

demas reconstrucciones de conductividad efectuadas con otros metodos de regulariza-

cion. Este efecto se atribuye a que la “atenuacion” de los contrastes de conductividad


perturbación

artefactos

Figura 6.5: Imagen de la seccion circular de conductividad reconstruida obtenida con unaiteracion del metodo de Gauss-Newton y regularizacion de Tikhonov con β1 = 0, 01 y β2 = 0, 01usando mediciones simuladas para la distribucion de conductividad presentada en la fig. 6.1

es una caracterıstica intrınseca de los metodos de regularizacion utilizados, los cuales

actuan como un filtro pasabajos sobre la distribucion espacial de conductividad (el

metodo de Tikhonov penaliza las soluciones mas oscilatorias, mientras que la TSVD

directamente desecha las componentes de la solucion asociadas a grandes fluctuacio-

nes espaciales de la conductividad). El filtrado produce que la reconstruccion de las

perturbaciones presenten bordes menos definidos espacialmente ademas de alterar los

valores absolutos de la conductividad electrica.

Se desarrollo un criterio para evaluar mas formalmente (en comparacion con una

inspeccion visual) la deteccion de un contraste de conductividad en la zona de la per-

turbacion. Esto fue posible debido a que se conocen la conductividad del medio y la

posicion y la conductividad de la perturbacion. En primer lugar se debe establecer

un umbral σu+ , para considerar que los casilleros de la grilla que tengan un valor de

conductividad mayor a σu+ sean considerados la perturbacion reconstruida. Luego, se

buscan los valores de conductividad de los casilleros mas proximos al centro de la per-

turbacion y si su valor esta por encima del umbral, se considera que forman parte de

la misma. En la figura 6.5, la curva cerrada de color blanco alrededor de la pertur-

bacion indica los lımites de la misma, para el σu+ utilizado. En todos los analisis de

resultados numericos se utilizo un valor de σu+ = σf + δu, donde δu =σf10

. Contando

los casilleros que pertenecen al contraste y sabiendo que cada casillero tiene un area de

1mm2 puede determinarse el tamano de la perturbacion reconstruida. Que el tamano

de la perturbacion reconstruida S se aproxime lo mas posible al de la perturbacion

simulada se considera una caracterıstica positiva de la reconstruccion. Ademas, el he-


Figura 6.6: Imagen de la distribucion espacial del error de la reconstruccion reconstruidaobtenida con una iteracion del metodo de Gauss-Newton y regularizacion de Tikhonov con β1 =0, 01 y β2 = 0, 01

cho de que la conductividad de la perturbacion reconstruida sea mayor, implica que la

imagen tolerara la definicion de umbrales mas alejados de la conductividad del medio.

Asumiendo que el valor de conductividad maxima σmax en la grilla corresponde

siempre a la perturbacion reconstruida (esto no serıa razonable si no se hubiera simula-

do unicamente una perturbacion de conductividad mayor a la del medio), se considera

que un σmax mayor aporta a la calidad de la imagen. En la imagen de la figura 6.5,

S = 9, 85cm2 y σmax = 6, 39mScm

.

Por otra parte, se definio otro criterio de umbralizacion similar al anteriormente

descripto, para cuantificar la aparicion de “artefactos” en la imagen. Un artefacto es

un contraste en la imagen producido por una causa que no es la existencia de un objeto

de conductividad diferente a la del medio que se halla a su alrededor. La aparicion de

artefactos puede deberse al metodo de regularizacion y a errores en las mediciones o en

el modelado. El criterio de umbralizacion implementado consiste en categorizar como

artefacto a todo contraste que, sin formar parte de la perturbacion reconstruida, tenga

una conductividad mayor a σu+ o menor a σu− = σf − δu. La ausencia de artefactos en

la reconstruccion es una caracterıstica positiva. En la figura 6.5, se observa la deteccion

de dos artefactos (cantidad de artefactos detectados Nart = 2), cuya conductividad

es menor a σu− , encerrados por una curva de color blanco. El tamano aproximado de

los artefactos es de Sart = 1cm2. Cabe aclarar que los resultados cuantitativos de este

analisis dependen fuertemente de la definicion de los valores umbrales y de parametros

del modelo como la distribucion de conductividad simulada, por lo que su utilidad se

limita a analisis comparativos donde estos factores se mantienen constantes. El valor


mınimo de conductividad σmın es otro parametro que caracteriza la reconstruccion,

ya que si esta muy apartado de σf (que es el mınimo de la conductividad simulada) es

factible que haya un artefacto de conductividad menor a σu− .

Tambien se calculo el promedio m(σf ) y el desvıo estandar std(σf ) de los valores

de conductividad de los casilleros de la grilla que no pertenecen a la perturba-

cion. Una mejor aproximacion de m(σf ) a σf se considera una caracterıstica deseable

del sistema de reconstruccion. El desvıo estandar de la muestra de valores de conducti-

vidad en los casilleros de la grilla que se hallan fuera de la perturbacion reconstruida se

considera una medida de su dispersion. Si una imagen presenta oscilaciones espaciales

de gran amplitud en conductividad, std(σf ) sera mayor que en el caso en que la imagen

tenga un valor mas uniforme de conductividad fuera de la perturbacion (como es el

caso de la distribucion de conductividad simulada). En lınea con este analisis, en la

figura 6.7 se presenta el histograma de los valores de conductividad de los casilleros

que no pertenecen a la perturbacion, para la reconstruccion de la imagen 6.5.

Figura 6.7: Histograma de los valores de conductividad de los casilleros que no pertenecen ala perturbacion de la fig. 6.5

Otro parametro considerado de interes para la evaluacion de los algoritmos es el

tiempo de reconstruccion trec, que integra el tiempo invertido en el calculo de

Jacobianos (se calcula uno por cada iteracion en el metodo de Gauss) y en la resolucion

del problema inverso.

En la tabla 6.1 se presentan en forma resumida los indicadores que permiten evaluar

el desempeno de distintos metodos de reconstruccion, obtenidos segun los criterios que

se describieron en esta seccion.


Metodo de regularizacionσmax[mScm

] σmın[mScm

] S [cm2] Nart

Sart

[cm2]

m(σf )[mScm

] std(σf )[mScm

] trec [s]

Imagen simulada 16, 5 5, 5 7, 58 − − 5, 5 0 N/D

TSVD con e = 10−3 7, 50 4, 32 15, 46 10 2 5, 43 0, 37 25

TSVD con e = 10−2 6, 75 4, 28 13, 97 10 1 5, 48 0, 35 25

TSVD con e = 10−2 * 6, 68 4, 46 12, 52 4 1 5, 53 0, 32 50

TSVD con e = 10−2 ** 6, 68 4, 46 12, 52 4 1 5, 53 0, 32 75

TSVD con e = 3× 10−2 No se detecta la perturbacion

Tikh. con β1 = 10−4 y β2 = 10−4 7, 12 4, 64 15, 54 6 2 5, 42 0, 32 25

Tikh. con β1 = 10−2 y β2 = 10−4 6, 49 4, 58 9, 92 8 1 5, 51 0, 31 25

Tikh. con β1 = 10−2 y β2 = 10−2 6, 39 4, 84 9, 85 2 1 5, 50 0, 28 25

Tikh. con β1 = 10−4 y β2 = 10−2 6, 79 5, 24 14, 33 − − 5, 47 0, 17 25

Tikh. con β1 = 10−4 y β2 = 0, 1 6, 42 5, 33 11, 98 − − 5, 50 0, 17 25

Tikh. con β1 = 10−4 y β2 = 0, 1* 6, 38 5, 39 11, 76 − − 5, 54 0, 16 50

Tikh. con β1 = 10−4 y β2 = 0, 1** 6, 38 5, 39 11, 76 − − 5, 54 0, 16 75

Tikh. con β1 = 10−4 y β2 = 0, 5 6, 15 5, 35 5, 59 − − 5, 54 0, 17 25

Se utilizo una iteracion del metodo de Gauss-Newton a excepcion de los casos indicados:

*dos iteraciones

**tres iteraciones

Tabla 6.1: Resumen de los resultados del analisis de las imagenes obtenidas con distintosmetodos de regularizacion.

Se observa que en ninguno de los casos analizados la conductividad maxima σmax

supera los 7, 50mScm

. En todos los casos salvo en el ultimo, el tamano de la perturbacion

reconstruida es mayor al de la simulada. Estos hechos son consecuencia de la suaviza-

cion de los contrastes de conductividad asociada a los metodos de regularizacion. El

ultimo caso es una excepcion, que se debe a que σmax esta tan proximo al valor umbral

que son pocos los casilleros que superan σu+ . La conductividad mınima σmın es, en los

casos cuyos resultados se resumen en las ultimas cinco filas de la tabla 6.1, lo suficien-

temente proxima a σf como para que no se detecten artefactos en la imagen, mientras

que la perturbacion reconstruida posee una conductividad lo suficientemente grande

como para ser detectada con el criterio de umbralizacion propuesto. Por otro lado, se

observa que el tiempo de reconstruccion es directamente proporcional a la cantidad de

iteraciones de Gauss-Newton realizadas.

De aquı en adelante, se utilizara el metodo de regularizacion de Tikhonov con β1 =

10−4 y β2 = 0, 1 a menos que se indique lo contrario. Las imagenes de la distribucion de

conductividad reconstruidas con dicho metodo para las primeras tres iteraciones m del

metodo de Gauss-Newton se presentan en la figura 6.8. Se observa que el tamano de la

perturbacion reconstruida es el mas proximo al simulado, comparandolo con el obtenido

con otros metodos que no presentan artefactos en la reconstruccion. Ademas, el valor

de m(σf ) se considera aceptable por su proximidad a σf y el hecho de que std(σf )

sea pequeno en comparacion con las demas imagenes obtenidas con otros metodos de

regularizacion indica que fuera de la deteccion de la perturbacion la conductividad


m=1

Figura 6.8: Imagenes de las seccion circulares de conductividad reconstruidas con las primerastres iteraciones m del metodo de Gauss-Newton y regularizacion de Tikhonov con β1 = 10−4 yβ2 = 0, 1 usando mediciones simuladas para la distribucion de conductividad presentada en lafig. 6.1

reconstruida es menos oscilatoria. El tiempo de calculo para una iteracion del metodo

de Gauss-Newton es similar al de los demas metodos y a partir de la segunda iteracion

las imagenes son lo suficientemente similares como para no producir cambios en el

calculo de los indicadores tabulados. Esta ultima condicion se adopto como criterio de

convergencia del metodo.

Figura 6.9: Graficas de las curvas correspondientes a los cortes con la recta y = 1cm de lasimagenes reconstruidas usando distintos metodos de regularizacion. Tambien se incluye el graficode la conductividad simulada (notar que la conductividad de la perturbacion supera la escala deeste grafico)

La figura 6.9 muestra los cortes de las imagenes de conductividad obtenidas con

distintos metodos de regularizacion correspondientes a la recta y = 1cm superpuestos

con el grafico de conductividad simulada. La figura 6.10 es analoga a la 6.9, con la

diferencia de que los graficos corresponden a la recta x = 1cm. Estas graficas son,

junto con los parametros de la tabla 6.1, una herramienta util para la comparacion de

los metodos de reconstruccion.


Figura 6.10: Graficas de las curvas correspondientes a los cortes con la recta x = 1cm de lasimagenes reconstruidas usando distintos metodos de regularizacion. Tambien se incluye el graficode la conductividad simulada (notar que la conductividad de la perturbacion supera la escala deeste grafico)

6.3. Reconstruccion en 2D

En la seccion 2.7 se discutio la posibilidad de implementar la reconstruccion consi-

derando que se cumple la condicion de simetrıa axial del dominio y de las condiciones

de borde. En el dominio simulado en la seccion anterior, dicha condicion no se cumple

dado que los electrodos son finitos y, en particular, sus dimensiones son mucho meno-

res que otras dimensiones del problema, como el radio y la longitud del dominio. Se

propone evaluar el desempeno de un algoritmo de reconstruccion que solo considere la

seccion circular central del cilindro (es decir un dominio bidimensional que coincide con

el plano medio donde se hallan los electrodos) en esas condiciones. Para ello es necesa-

rio simular las mediciones en el dominio tridimensional original, como se describe en la

seccion 6.1, y luego implementar la reconstruccion con un algoritmo que solo considere

la seccion circular central del cilindro. La discretizacion del dominio bidimensional se

presenta en la fig. 4.3.

m=1

Figura 6.11: Imagenes de la distribucion de conductividad reconstruidas en un dominio bidi-mensional con mediciones simuladas en el mismo dominio para sucesivas iteraciones del metodode Gauss-Newton

En primer lugar, se evaluo el algoritmo de reconstruccion bidimensional con medi-

ciones simuladas en el mismo dominio bidimensional. Las imagenes de la distribucion

6.4 Reconstruccion con distintos valores de semilla 63

espacial de conductividad reconstruidas con el metodo de regularizacion seleccionado

en la seccion 6.2 (Tikhonov con β1 = 10−4 y β2 = 0, 1) para distinta cantidad de ite-

raciones del metodo de Gauss-Newton se presentan en la figura 6.11. Dado que no se

notan diferencias entre las imagenes obtenidas con dos y con tres iteraciones, se asume

que el metodo converge. Se observa la deteccion de la perturbacion simulada, incluso

con un σmax mayor a los obtenidos en la seccion anterior. Se asume, luego, que el meto-

do de reconstruccion funciona aceptablemente si se cumplen las condiciones discutidas

en la seccion 2.7.

m=1

Figura 6.12: Imagenes de la distribucion de conductividad reconstruidas en un dominio bidi-mensional con mediciones simuladas en un dominio tridimensional para sucesivas iteraciones delmetodo de Gauss-Newton

La imagen obtenida usando un algoritmo de reconstruccion en 2D con mediciones

simuladas en el dominio tridimensional se presenta en la figura 6.12. Como puede

verse, la perturbacion no es detectada. El procedimiento se repitio probando distintos

metodos de regularizacion e incluso modificando la semilla de conductividad obteniendo

resultados tan poco satisfactorios como los presentados. Se asume que la causa de

que la reconstruccion sea defectuosa son los errores de modelado introducidos por la

hipotesis de simetrıa axial, debido a que la reconstruccion con mediciones simuladas

en un dominio bidimensional tuvo resultados aceptables.

6.4. Reconstruccion con distintos valores de semilla

En la seccion 6.2 se analizaron las reconstrucciones de conductividad obtenidas

con diversos metodos de regularizacion manteniendo iguales los parametros ingresados

como datos de entrada. En esta seccion, usando el mismo dominio y ya habiendo

adoptado el metodo de regularizacion de Tikhonov con β1 = 10−4 y β2 = 0, 1, se evalua

el efecto que tiene el ingreso como dato de entrada distintos valores de conductividad


como semilla. Previamente, se observo que para el dominio modelado, con σ0 = 6mScm

,

el metodo de reconstruccion produce la convergencia a una solucion.

En la figura 6.13 se presenta la reconstruccion para tres sucesivas iteraciones m

usando σ0 = 3mScm

. Se observa (ver escala de la barra de colores) que la imagen de

conductividad electrica converge hacia el resultado presentado en la fig. 6.8.

m=1 m=2 m=3

Figura 6.13: Imagenes de la distribucion de conductividad reconstruidas usando una semillade conductividad de 3mS

cm para sucesivas iteraciones del metodo de Gauss-Newton

Semilla σ0[mScm

]0, 1 1 3 6 10 20

mconv > 10 6 3 2 3 > 10

Tabla 6.2: Iteraciones necesarias para llegar a la convergencia mconv usando el metodo deGauss-Newton para distintos valores de semilla de conductividad σ0

Se observo que para otros valores de conductividad semilla, se llego a m > 10

sin que se produzca la convergencia. Podrıa suceder que para ciertos valores de σ0 la

convergencia no se produzca. En la tabla 6.2 se presentan la cantidad de iteraciones

necesarias para llegar a la convergencia mconv para algunos valores de semilla distintos.

En los casos en que la convergencia se produjo, se observo un conjunto de elemen-

tos de conductividad mayor a la del resto que bajo algun criterio de umbralizacion

podrıan considerarse la deteccion de la perturbacion desde la primera iteracion de

Gauss-Newton, de manera similar a lo observado en la figura 6.13.

6.5. Reconstruccion con varios niveles de ruido

En la figura 6.14 se presentan tres reconstrucciones de conductividad obtenidas

agregando ruido de distribucion normal en los valores RMS de las tensiones simuladas

en los electrodos, con media 0 y distintos valores en el desvıo estandar std. A menor

desvıo estandar, la probabilidad de obtener niveles de ruido mas altos es menor. El

modelo para resolver el problema directo y el inverso es el presentado en la seccion

6.1. Las reconstruccion se hizo con una iteracion del metodo de Gauss-Newton, con

σ0 = 6mScm

.

6.6 Aceleracion en tarjetas graficas 65

std=10mV std=1mV std=0,1mV

Figura 6.14: Imagenes de la distribucion de conductividad reconstruidas simulando ruido dedistribucion normal con media 0 y desvıo estandar std en la tension

Para las mediciones de tension simuladas con ruido de desviacion estandar de 10mV

y 1mV (aproximadamente el 0, 5 % y 0, 05 %, respectivamente, de la diferencia de po-

tencial entre electrodos activos) se observa que la perturbacion reconstruida se deforma

notoriamente y se producen oscilaciones indeseadas (comparando con la figura 6.8, co-

rrespondiente a la simulacion sin ruido). La reconstruccion usando un desvıo estandar

de 0, 1mV en la simulacion de ruido no presenta diferencias apreciables con la simula-

cion sin ruido.

6.6. Aceleracion en tarjetas graficas

Como se describio en la seccion 4.8, se paralelizo la construccion de la matriz del

sistema lineal (ecs. (2.62) a (2.65)) usando kernels escritos en CUDA-C. Si bien la

construccion de esta matriz no es la parte del algoritmo cuya ejecucion resulte mas

crıtica en cuanto a tiempo de ejecucion, es una parte importante de la resolucion del

problema inverso, ya que de esta se obtiene el vector de tensiones calculado Vcalc y

el Jacobiano J del sistema. Una rapida construccion de esta matriz, es el primer paso

hacia un algoritmo de reconstruccion en tiempo real.

CPU 1 Intel Core i7-4790 CPU @ 3.60GHz RAM: 16GB - Windows 7 (64 bits)

CPU 2 Intel Core i7-4771 CPU @ 3.50GHz RAM: 8GB - Windows 7 (64 bits)

GPU 1 NVidia GeForce GTX 760 , 1152 CUDA Cores, Memory: 2048MB

GPU 2 NVidia GeForce GTX 780 Ti, 2880 CUDA Cores, Memory: 3072MB

Tabla 6.3: Caracterısticas de la CPU y GPU utilizadas

Para este analisis se utilizaron dos PC, cada una con sus respectivas CPU y GPU

que conforman el sistema de procesamiento. Es importante notar, que no se puede

abstraer a la GPU de la CPU a la cual esta asociada, ya que, un codigo tıpico se ejecu-

tara parcialmente, tanto en CPU como en GPU, lo cual implica la transferencia de datos

entre las memorias de ambas componentes. La tabla 6.3 muestra las caracterısticas de

la CPUs y GPUs utilizadas.


Figura 6.15: Tiempo necesario para la construccion de la matriz del sistema en CPU y enGPU. El tiempo en GPU incluye la tranferencia de memoria.

La figura 6.15 muestra el tiempo de ejecucion, en cada CPU y GPU, de la cons-

truccion de la matriz del sistema lineal en funcion de la cantidad de elementos del

mallado. Se analizaron los casos para mallados de 5591, 12053, 23478, 32997, 38702 y

49396 elementos. Mientras que, tanto el tiempo de ejecucion en CPU y el tiempo de

ejecucion en GPU, aumentan con la cantidad de elementos del mallado, este aumento

no es proporcional, lo que provoca que las aceleraciones de aproximadamente 70×, ob-

tenidas para los mallados de pocos elementos, caigan a alrededor de 10× para los de

mayor cantidad.

Figura 6.16: Tiempo utilizado solamente en el calculo de la matriz del sistema en las GPUs,en funcion de la cantidad de elementos del mallado.


Figura 6.17: Tiempo utilizado solamente en transferencia de datos (bidireccional, entre lasCPUs y las GPUs) para la matriz del sistema, en funcion de la cantidad de elementos del mallado.

En la figura 6.15 tambien puede notarse que los desempenos de CPU 1 y GPU 1 son

ligeramente mejores que los de la CPU 2 y GPU 2. Esto es consistente para la compa-

racion entre CPUs, ya que la CPU 1 posee una mayor frecuencia de reloj que la CPU

2. En cuanto a la comparacion entre GPUs, se observa una aparente contradiccion, ya

que aquella que posee una menor cantidad de nucleos de ejecucion (CUDA Cores) es

la que presenta menor tiempo de ejecucion, contrariamente a lo esperado. Esto puede

explicarse en que el tiempo de ejecucion en GPU reportado, incluye la transferencia

de datos entre la memoria de la CPU y la memoria de la GPU. Como se menciono en

la seccion 4.8, este tiempo puede ser considerable, dependiendo de la cantidad de da-

tos a ser transferidos. Para analizar este efecto, se midio el tiempo de ejecucion del

algoritmo en la GPU, registrandose por separado el tiempo de transferencia de datos

y el tiempo neto de calculo. La figura 6.16 muestra el tiempo utilizado solamente en

procesos de calculo durante la ejecucion en GPU, mientras que la figura 6.17 muestra

el tiempo ocupado en transferencia de memoria. Como puede apreciarse, el tiempo de

transferencia de memoria es dos ordenes de magnitud mayor al tiempo de calculo neto,

siendo, en todos los casos, mayor al 90 % del tiempo total reportado en la figura 6.15.

Luego, en este caso, la ejecucion en GPU se ve limitada por la transferencia de datos

a memoria, mas que por la complejidad de los calculos.

En la figura 6.18 se presenta una grafica del tiempo utilizado en el calculo del

problema inverso con regularizacion de Tikhonov, segun se explica en la seccion 4.8

para mallados con distinto numero de elementos (2543, 5591, 8035 y 12053). El mallado

de 12053 elementos solo pudo ser procesado en la GPU 2, ya que la GPU 1 no poseıa la

cantidad de memoria suficiente para procesarlo. Las aceleraciones observadas en este


Figura 6.18: Tiempo utilizado para la resolucion de la ec. (2.87) en funcion de la cantidadde elementos del mallado. Esto incluye transposicion, sumas y multiplicaciones de matrices y laresolucion del sistema lineal presentes en la misma.

caso, fueron de entre 2× y 5× para los mallados de menor cantidad de elementos y

de hasta 12× para el mallado de mayor cantidad de elementos. A diferencia del caso

anterior, la GPU 2 presenta un mejor desempeno que la GPU 1, siendo este resultado

consistente con la cantidad de unidades de procesamiento que poseen. Esto se debe a

que en este caso, como se observa en las figuras 6.19 y 6.20, el proceso esta dominado

por el tiempo de calculo. Dicho tiempo, es un orden de magnitud mayor que el de

transferencia para todos los mallados. En un analisis mas detallado, se observo que

mas del 80 % del tiempo de calculo neto en GPU del problema inverso fue consumido

por la operacion de resolucion del sistema lineal (inversion matricial en la ec. (2.87)).

Luego, en este caso, la ejecucion en GPU se ve limitada por la complejidad de los

calculos mas que por la transferencia de datos a memoria.


Figura 6.19: Tiempo utilizado solamente en procesos de calculo para la resolucion del problemainverso en las GPUs, en funcion de la cantidad de elementos del mallado

Figura 6.20: Tiempo utilizado solamente en transferencia de datos (bidireccional, entre lasCPUs y las GPUs) para la resolucion del problema inverso, en funcion de la cantidad de elementosdel mallado.

Capıtulo 7

Resultados experimentales

En este capıtulo se presentan los resultados obtenidos experimentalmente con los

metodos y dispositivos presentados y descriptos en el capıtulo 3.

7.1. Medicion de impedancias de contacto

Figura 7.1: Dispositivos construidos para la medicion de la impedancia de contacto. En la fig.3.4 se presenta un esquema de los mismos.

La medicion de impedancias de contacto se realizo siguiendo el metodo presentado

en la seccion 3.2. Se utilizo una solucion de agua desionizada con aproximadamente 3g

de cloruro de sodio (NaCl) por litro, cuya conductividad electrica resulto de (5, 3 ±0, 4)mS

cm. Esta misma solucion fue utilizada en todos los experimentos cuyos resultados se

presentan en este capıtulo. Se fabricaron los dos dispositivos presentados en la fotografıa

de la fig. 7.1 para contener la solucion: uno con electrodos de Ag/AgCl y otro con

electrodos de aluminio (Al).

En la tabla 7.1 se presentan los datos medidos en forma directa y el valor de

resistencia de contacto zl resultante. La reactancia medida no fue tenida en cuenta

para realizar los analisis. La frecuencia f utilizada en la medicion se indica en la tabla.

71

72 Resultados experimentales

Electrodo @f D[mm] L[mm] σ[mScm

]Rtot[Ω] zl[Ωcm

2]

Ag/AgCl @123Hz 9, 3± 0, 1 9, 2± 0, 2 5, 3± 0, 4 280± 5 9± 7

Al @123Hz 9, 2± 0, 1 7, 9± 0, 6 5, 3± 0, 4 930± 50 230± 20

Ag/AgCl @5kHz 9, 3± 0, 1 9, 2± 0, 2 5, 3± 0, 4 290± 10 12± 8

Al @5kHz 9, 2± 0, 1 7, 9± 0, 6 5, 3± 0, 4 250± 10 9± 7

Tabla 7.1: Resultados de las mediciones directas sobre los dispositivos experimentales de lafig. 7.1 y obtencion de la impedancia de contacto siguiendo el metodo presentado en la seccion3.2

Se observa que a 123Hz la resistencia de contacto de los electrodos de aluminio

con la solucion es notablemente mayor que la de los electrodos de Ag/AgCl. A fre-

cuencias mas altas, la resistencia de contacto del aluminio disminuye, mientras que

no se aprecio variacion significativa en la impedancia de contacto de los electrodos de

Ag/AgCl.

7.2. Calibracion de la impedancia de contacto

Utilizando el procedimiento de calibracion descripto en la seccion 2.6, se obtuvie-

ron los valores de la conductividad del fluido σcal y de las resistencias de contacto zl

con los electrodos de Ag/AgCl. Se midieron las tensiones en los ocho electrodos del

sistema de EIT presentado en la seccion 3.1, resultantes de la inyeccion de corriente a

traves de los pares de electrodos activos indicados en la tabla 7.2, donde tambien se

presentan los resultados. Se utilizo una frecuencia de 123Hz y un nivel de corriente de

aproximadamente 13mA.

Electrodos activos 0− 1 0− 1 2− 6 3− 4 2− 5 4− 7 3− 5

σcal[mScm

]11, 18 11, 18 11, 23 11, 15 11, 29 11, 26 11, 28

zl [Ωcm2] 33, 79 33, 77 35, 10 33, 24 34, 04 34, 40 33, 77

Tabla 7.2: Resultados obtenidos con el metodo de calibracion presentado en la seccion 2.6, esti-mulando los pares de electrodos indicados en la primera fila de la tabla. Se utilizo una frecuenciaelectrica de 123Hz.

Al aumentar la frecuencia a 5kHz, la impedancia de contacto obtenida con este

metodo resulto de alrededor de 32Ωcm2, lo cual representa una disminucion del 4 %.

La variacion de la conductividad del medio medida a 5kHz respecto de la medida a

123Hz resulto despreciable frente a las variaciones medidas al usar distintos electrodos

activos.

Se observa que la conductividad calibrada es mayor que el doble de la medida

directamente. El valor de calibracion de la impedancia de contacto tambien supera el

valor medido, presentado en la seccion 7.1. El modelo geometrico propuesto, que fue el

7.2 Calibracion de la impedancia de contacto 73

Conductividad

Imp. de contacto

Figura 7.2: Grafica de los resultados de la calibracion (σcal y zl) para distintos niveles H desolucion un un recipiente con 16 electrodos ubicados a 3cm de la base. La geometrıa cilındricadel dominio fue modelada con un error en la altura, que es la principal causa de las diferenciasentre los valores de σcal obtenidos con la calibracion y la conductividad de la solucion medida enforma directa.

mismo que se utilizo para obtener los resultados numericos, se describe en la seccion

6.1. Si bien en la realidad la solucion acuosa de NaCl ocupaba el interior del recipiente

hasta una altura de aproximadamente 9cm desde la base, en el modelo del dominio se

considero solo la porcion ubicada entre los 2cm por encima y por debajo del centro

de los electrodos. Modelar una region geometrica mas pequena permite obtener una

discretizacion mas fina usando el mismo numero de elementos finitos. Sin embargo, al

no considerar una parte del dominio que en realidad existe, se introduce un error de

modelado que afecta la calibracion (o la reconstruccion, si fuera el caso). En la figura

7.2 se muestra como varıan los resultados de la calibracion obtenidos con un modelo

geometrico “reducido” al variar el nivel real H de la solucion acuosa en un recipiente

con 16 electrodos ubicados a 3cm de la base. Notar que si el nivel real de la solucion en

el recipiente es mayor al considerado en el modelo, σcal sera mayor a la conductividad

real de la solucion para equiparar las resistencias del sistema real y el modelado.

En corridas de calibracion donde se modelo el dominio completo, se obtuvieron

valores de σcal dentro del intervalo de incerteza de la medicion directa (σ = (5, 3 ±0, 4)mS

cm).


7.3. Mediciones y reconstruccion de imagenes usan-

do la tecnica de EIT

En esta seccion se presentan varias imagenes resultantes de la reconstruccion em-

pleando el sistema de EIT presentado en la seccion 3.1, con una fila de ocho electrodos.

Se lleno el recipiente hasta una altura de aproximadamente 9cm con la misma solucion

acuosa de NaCl sobre la que se efectuo la calibracion cuyos resultados se presentan

en la tabla 7.2. Para la reconstruccion se utilizo una iteracion del metodo de Gauss-

Newton con el metodo de regularizacion de Tikhonov con β1 = 10−4 y β2 = 0, 1 (ver

seccion 2.5). Se configuro el generador de ondas de forma tal que la corriente de estimu-

lacion sea de aproximadamente 13mA. En estas condiciones, la diferencia de potencial

entre electrodos activos es de alrededor de 2V , mientras que entre dos electrodos pa-

sivos la diferencia de potencial es del orden de las decenas de mV . La estimulacion se

realizo usando ocho patrones distintos. La medicion de la respuesta ante la aplicacion

de cierto patron de estimulacion se realizo usando un electrodo como referencia. Para

cada patron de estimulacion se tomo como referencia el electrodo ubicado en la posicion

diametralmente opuesta al electrodo conectado a la salida del generador de ondas. El

tiempo que tomo el proceso de realizar las sucesivas estimulaciones y las mediciones

fue de aproximadamente 90s. El tiempo de computo de la reconstruccion del mapa

de conductividad una vez tomadas las mediciones es el reportado en la tabla 6.1 para

algoritmos que usan una sola iteracion de Gauss-Newton.

Se observo que el tiempo que toma la adquisicion de datos se debe, fundamental-

mente, a los tiempos de establecimiento de las mediciones de tension y corriente. Se

infiere que, cuando se realiza la conmutacion y los valores medidos por los multımetros

cambian, se produce un transitorio de aproximadamente un segundo de duracion que

demora el trigger automatico de los instrumentos.

7.3.1. Evaluacion del efecto de la estimulacion en la recons-

truccion

En esta seccion se comparan la imagenes reconstruidas de la distribucion espacial

de conductividad del recipiente lleno con la solucion y con un objeto de conductividad

diferente. Se usan los patrones de estimulacion adyacente y opuesto (llamados segun las

posiciones relativas de los electrodos activos, ver fig. 6.2) y distintas frecuencias electri-

cas. La comparacion se hace en base a la inspeccion visual de las reconstrucciones,

evaluando cualitativamente los indicadores relacionados con la deteccion de los con-

trastes de conductividad que fueron introducidas en la seccion 6.2 para la comparacion

de resultados numericos.

En la figura 7.3 se presentan las reconstrucciones obtenidas con el recipiente lleno

7.3 Mediciones y reconstruccion de imagenes usando la tecnica de EIT 75

Adyacente OpuestoPatrón de estimulación

Figura 7.3: El cuadro muestra dos reconstrucciones de la conductividad de la seccion circu-lar del dominio que contiene al centro de los electrodos. El dominio, es decir, el contenido delrecipiente, es en este caso una solucion acuosa de NaCl. Las reconstrucciones fueron obtenidasusando los patrones de estimulacion indicados.

de solucion acuosa de NaCl usando los patrones de estimulacion adyacente y opuesto y

una frecuencia de 123Hz. Las reconstrucciones de conductividad usando frecuencias de

1023Hz y 5kHz no presentaron diferencias significativas respecto de las presentadas.

En la reconstruccion usando el patron de estimulacion adyacente se puede observar la

aparicion de un artefacto en el centro del recipiente. Para que un objeto sea detec-

tado debe producir un cambio en la conductividad mayor que la diferencia entre la

conductividad del artefacto y la conductividad del lıquido.

En la figura 7.4 se presentan imagenes de la reconstruccion con un cilindro de alu-

minio colocado en el centro del recipiente lleno de solucion. En la parte superior de la

figura se muestra una fotografıa del recipiente y su contenido. Debajo de la fotografıa se

presenta un cuadro con imagenes de la conductividad de la seccion circular correspon-

diente al plano que contiene al centro de los electrodos. Cada imagen fue reconstruida

usando una combinacion distinta de patrones de estimulacion y frecuencia, indicada en

las entradas del cuadro. Se observa que a frecuencias mas bajas, el cilindro de aluminio

es detectado como un objeto de conductividad menor a la del medio, mientras que

para frecuencias mas altas se lo detecta como un objeto de conductividad mayor. Este

fenomeno es consistente con el hecho de que el aluminio presenta una impedancia de

contacto con la solucion acuosa de NaCl que disminuye con la frecuencia (ver seccion

7.1). La reconstruccion usando el patron de estimulacion adyacente y una frecuencia

de 5kHz, parece ser, en primera instancia, la que mas se aproxima al contenido del

recipiente, ya que en todos los casos restantes, el tamano de la deteccion parece ser

mucho mayor al del objeto real. Sin embargo, se nota que esta reconstruccion resulta

muy similar a la obtenida usando el mismo patron de estimulacion con el recipiente

lleno de solucion acuosa de NaCl y sin el cilindro de aluminio.

La figura 7.5 es analoga a la 7.4, pero con el cilindro de aluminio ubicado mas cerca

de la pared del recipiente. En las imagenes se observa que el tamano de la deteccion


Adyacente

Opuesto

123 1023 5k

Frecuencia [Hz]

Patrón de estimulación

Adyacente

Opuesto

123 1023 5k

Frecuencia [Hz]


Figura 7.4: El cuadro muestra diversas reconstrucciones de la conductividad de la seccioncircular del dominio que contiene al centro de los electrodos. En la parte superior se presentauna fotografıa que permite ver el contenido del recipiente (dominio). Las reconstrucciones fueronobtenidas usando distintas combinaciones de patron y de frecuencia de estimulacion.

se aproxima mas al del cilindro que en las reconstrucciones de la figura 7.4. Se observa

que la reconstruccion usando un patron de estimulacion adyacente y una frecuencia de

5kHz es el unico que presenta la deteccion en una posicion notablemente distinta a la

del cilindro de aluminio. Por otro lado, en las reconstrucciones realizadas con un patron

de estimulacion adyacente, la deteccion aparenta estar deformada. Puede notarse que

el artefacto que aparece en el centro del recipiente en la figura 7.3 parece mantenerse

presente en la 7.5 y ser la causa de dicha deformacion. En todos los casos, haciendo el

esfuerzo de observar los graficos teniendo en cuenta que cada uno tiene una escala de

conductividad distinta, puede notarse que la conductividad del medio es muy proxima

a la obtenida en la calibracion (≈ 11mScm

, ver seccion 7.2).

En la parte superior de la figura 7.6 se presenta una fotografıa del recipiente, esta

vez con el cilindro de aluminio colocado frente a un electrodo. Debajo de la fotografıa

se presentan las reconstrucciones obtenidas usando una frecuencia de 123Hz y los

patrones de estimulacion adyacente y opuesto. Se observa que la reconstruccion usando

el patron de estimulacion adyacente se presenta levemente mas deformada a la vez que

7.4 Reconstrucciones usando un sistema con 16 electrodos 77

Adyacente

Opuesto

123 1023 5k

Frecuencia [Hz]


Figura 7.5: ıdem fig. 7.4, con el cilindro en una ubicacion distinta.

el cilindro es detectado con un contraste mayor que en la reconstruccion usando el

patron de medicion opuesto. Nuevamente, puede verse que el artefacto que se presenta

en la reconstruccion (fig. 7.3) de la conductividad del recipiente lleno de solucion acuosa

de NaCl parece interferir en la reconstruccion.

En el apendice A se presentan mas figuras con reconstrucciones de la conductividad

del recipiente lleno de la solucion y con otros objetos, a saber:

un cilindro de cobre de aproximadamente el mismo tamano que el de aluminio,

que presenta una conductividad mayor a la del fluido aun a bajas frecuencias

un cilindro de acrılico de mayor tamano que el de aluminio

un cilindro de plastico, de tamano menor.

7.4. Reconstrucciones usando un sistema con 16

electrodos

En esta seccion se presentan las reconstrucciones obtenidas aplicando la tecnica de

EIT sobre un recipiente con una fila de 16 electrodos de dimensiones identicas al usado


Adyacente OpuestoPatrón de estimulación

Figura 7.6: Reconstrucciones en el recipiente con solucion acuosa de NaCl y el cilindro dealuminio ubicado frente a un electrodo, como se muestra en la fotografıa. Las reconstruccionesfueron obtenidas usando los patrones de estimulacion indicados y una frecuencia electrica de123Hz.

en la seccion 7.3. La fila de electrodos se halla a 3cm de altura. Para los experimentos,

se lleno el recipiente con solucion acuosa de NaCl, con σ = (5, 3 ± 0, 4)mScm

, hasta

un nivel de aproximadamente 7cm. Para controlar la medicion y la estimulacion, se

duplicaron los componentes de la configuracion del conmutador presentada en la seccion

3.1.1. En todas las reconstrucciones se utilizo el patron de estimulacion adyacente con

una frecuencia de 123Hz. Los valores de los demas parametros del modelo y de los

algoritmos de reconstruccion se establecieron en los valores establecidos en la seccion

7.3.

Figura 7.7: Reconstruccion en el recipiente con solucion acuosa de NaCl, usando el sistemacon 16 electrodos de la fotografıa

En la figura 7.7 se muestra una fotografıa del recipiente lleno de solucion acuosa de

7.4 Reconstrucciones usando un sistema con 16 electrodos 79

NaCl. A la derecha de dicha fotografıa se muestra la reconstruccion de la conductividad

de la seccion circular del dominio perteneciente al plano que contiene a los centros de

los electrodos. Los resultados de la calibracion fueron σcal = 8mScm

y zl = 17,3Ωcm2. Se

observa que los artefactos presentes en la reconstruccion de la figura 7.7 son de mayor

magnitud que los de la reconstruccion obtenida con 8 electrodos y usando el patron de

estimulacion adyacente de la fig. 7.3.

Figura 7.8: Reconstruccion de la conductividad y fotografıa del recipiente con solucion acuosade NaCl y un cilindro de aluminio, usando el sistema con 16 electrodos

Figura 7.9: Reconstruccion de la conductividad y fotografıa del recipiente con solucion acuosade NaCl y un cilindro de cobre, usando el sistema con 16 electrodos

En la figura 7.8 se presenta la fotografıa del recipiente con el cilindro de aluminio,

junto con la reconstruccion obtenida. A pesar de que los artefactos observados en la

figura 7.7 parecen mantenerse, el cilindro es detectado. En la reconstruccion presentada

en la figura 7.9, no ocurre lo mismo. La deteccion del cilindro de cobre no puede

observarse debido a que el contraste de conductividad es menor que los artefactos

presentes.

En la figura 7.10 se presenta la reconstruccion con un cilindro de acrılico y en la

7.11 con un conjunto de objetos, que pueden observarse en la fotografıa.


Figura 7.10: Reconstruccion de la conductividad y fotografıa del recipiente con solucion acuosade NaCl y un cilindro de acrılico, usando el sistema con 16 electrodos

Figura 7.11: Reconstruccion de la conductividad y fotografıa del recipiente con solucion acuosade NaCl y los objetos mostrados en la fotografıa, usando el sistema con 16 electrodos

7.5. Reconstrucciones obtenidas en forma “diferen-

cial”

En los analisis de los resultados experimentales, se observo que las imagenes obte-

nidas con los mismos patrones de estimulacion presentan artefactos similares indepen-

dientemente del contenido del recipiente. Este hecho posibilita que, al restar los valores

de conductividad de la grilla (ver seccion 4.2) de dos imagenes obtenidas con el mismo

patron de estimulacion, se obtenga una imagen de conductividad “diferencial” donde

dichos artefactos presentan un menor contraste. La obtencion de imagenes en forma

diferencial se utiliza habitualmente en aplicaciones medicas de la tecnica de EIT para

monitorear los cambios en el tiempo de la distribucion de conductividad en alguna

parte del cuerpo y se conoce como functional EIT [6, seccion 3.2].

Se propone, en este caso, obtener imagenes diferenciales de la conductividad de

recipiente con la solucion acuosa de NaCl y uno o mas objetos en su interior respecto de

la del recipiente con solucion acuosa de NaCl unicamente. Estos resultados se presentan

en el apendice B. En general, se observa que, de esta manera, el contraste producido por

la presencia de objetos de distinta conductividad se hace mayor y el de los artefactos

disminuye. En consecuencia, la calidad de las imagenes aumenta considerablemente.

Capıtulo 8

Conclusiones

Se implemento un sistema de EIT que permite inferir contrastes de conductividad

en el interior de un recipiente mediante mediciones en su superficie exterior. Para ello:

Se estudiaron los contenidos teoricos para el modelado de los problemas asociados

a la tecnica de EIT y su resolucion analıtica y numerica.

Se programaron algoritmos de reconstruccion iterativos, usando los metodos de

regularizacion de Tikhonov y de descomposicion en valores singulares truncada.

Se propuso y se implemento un metodo que, mediante simulaciones numericas

(seccion 6.2), permite evaluar comparativamente los algoritmos de reconstruccion.

Se propuso e implemento un metodo que permite evaluar cualitativamente el

efecto de errores de modelado en las imagenes reconstruidas (secciones 6.3 a 6.5).

Se monto un sistema experimental comandado por computadora para reconstruir

imagenes con mediciones reales.

En la realizacion de experimentos y en los resultados:

Se identificaron los componentes que son crıticos a la hora de desarrollar un

sistema que permita tomar mediciones lo suficientemente exactas y rapidas para

reconstruir imagenes en tiempo real (es decir, capaz de resolver la dinamica del

sistema fısico observado)

Se observo que la obtencion de imagenes en forma “diferencial” permite disminuir

el efecto de los artefactos en las imagenes

En base a los experimentos, se encontro que el tiempo de respuesta del sistema

de EIT prototipo, implementado con instrumental de laboratorio, queda determinado,

principalmente, por la conmutacion de la excitacion y la medicion a traves de los

distintos electrodos. Otras opciones para implementar el hardware de estimulacion,

adquisicion y preprocesamiento que cumplirıan su funcion en forma mas rapida serıan:

81

82 Conclusiones

Una placa de adquisicion con tantas entradas y salidas analogicas como elec-

trodos. Se pueden utilizar etapas adaptadoras de impedancia (buffers) para las

entradas destinadas a medir tension y conversores tension-corriente para la esti-

mulacion.

Usar un FPGA con tantos DACs como electrodos para realizar la estimulacion

y ADCs+buffers para las mediciones de tension. En la FPGA se pueden imple-

mentar modulos lock-in que permitan medir amplitudes y fases de las respuestas

en tension obtenidas al estimular el volumen con distintas frecuencias en forma

simultanea.

Por otra parte, se identificaron las operaciones crıticas, en cuanto a tiempo de

calculo, de los algoritmos de reconstruccion utilizados.

Productos y operaciones de inversion de matrices en el Jacobiano.

Inversion de la matriz para resolver el problema inverso con regularizacion de

Tikhonov.

Para mejorar esto, se propone:

Usar el metodo descripto en [12, Seccion 4.3] para el calculo del Jacobiano

Implementar otros metodos de regularizacion [14]

Implementacion de subrutinas en GPU. Los resultados de la seccion 6.6 muestran

que es posible acelerar el algoritmo de reconstruccion utilizando herramientas

para el procesamiento paralelo, y no se ha llegado a explotar este recurso en

todas aquellas operaciones que pueden ser aceleradas (por ejemplo, en el calculo

del Jacobiano).

Los resultados obtenidos en este trabajo son relevantes y necesarios en el marco del

desarrollo de la tecnica de EIT para aplicaciones especıficas que son de interes de la

Comision Nacional de Energıa Atomica, como la geoprospeccion en la minerıa de uranio,

el monitoreo del flujo de dos fases (por ejemplo en Boiling Water Reactors), el control

de las posiciones de objetos dentro de los recipientes a presion de la nueva generacion

de reactores nucleares (GEN-IV) y la medicina. En el campo de la medicina, la tecnica

de EIT encuentra aplicacion en la deteccion de tumores mamarios, el monitoreo del

ciclo respiratorio y la monitoreo de la actividad cerebral, entre otras.

Apendice A

Otras reconstrucciones con el

sistema de 8 electrodos

En este apendice se presentan imagenes de la distribucion de conductividad del

recipiente con solucion salina y distintos objetos que producen contrastes, utilizando

el sistema de EIT con ocho electrodos (ver seccion 7.3), una frecuencia electrica de

123Hz y el patron de estimulacion adyacente.

Figura A.1: Reconstruccion con un cilindro de cobre en el centro del recipiente

Figura A.2: Reconstruccion con un cilindro de cobre apartado del centro, entre dos electrodos

83

84 Otras reconstrucciones con el sistema de 8 electrodos

Figura A.3: Reconstruccion con un cilindro de acrılico en el centro del recipiente

Figura A.4: Reconstruccion con un cilindro de acrılico apartado del centro del recipiente

Figura A.5: Reconstruccion con un cilindro de plastico entre dos electrodos

85

Figura A.6: Reconstruccion con un cilindro de plastico frente a un electrodo

Figura A.7: Reconstruccion con diversos objetos I

Figura A.8: Reconstruccion con diversos objetos II

Apendice B

Imagenes obtenidas en forma

diferencial

En este apendice se presentan imagenes de reconstrucciones diferenciales de con-

ductividad (ver seccion 7.5). Estas imagenes se obtienen restando las grilla de conduc-

tividad reconstruida en el recipiente con objetos que producen algun contraste con la

grilla obtenida con el medio de conductividad uniforme.

Figura B.1: Reconstruccion en forma diferencial de la imagen 7.5 con f = 123Hz y patron deestimulacion adyacente

Figura B.2: Reconstruccion en forma diferencial de la imagen A.2

87

88 Imagenes obtenidas en forma diferencial

Figura B.3: Reconstruccion en forma diferencial de la imagen A.8

Figura B.4: Reconstruccion en forma diferencial de la imagen 7.8



Bibliografıa

[1] Calderon, A. P. On an inverse boundary value problem. En: Seminar on Nume-

rical Analysis and its Applications to Continuum Physics, pags. 65–73. Sociedade

Brasileira de Matematica, 1980. 1

[2] Uhlmann, G. Electrical impedance tomography and calderon’s problem. Inverse

Problems, 25, 2009. 1

[3] Polydorides, N. Image Reconstruction Algorithms for Soft-Field Tomography.

Tesis Doctoral, UMIST, 2002. 2

[4] Jackson, J. D. Classical electrodynamics. 3a edon. Wiley, 1999. 6, 8

[5] Silvester, P. P., Ferrari, R. L. Finite elements for electrical engineers. 3a edon.

Press Syndicate of the University of Cambridge, 1996. 6

[6] Holder, D. S. (ed.) ELECTRICAL IMPEDANCE TOMOGRAPHY. Methods,

History and Applications. Institute of Physics Publishing, 2005. 7, 12, 14, 16, 21,

80

[7] Robinson, R. A., Stokes, R. H. Electrolyte solutions. 2a edon. Dover Books on

Chemistry Series, 2012. 10

[8] Cheney, M., Isaacson, D., Newell, J. C. Electrical impedance tomography. SIAM

Review, 41 (1), 85–101, 1999. 12

[9] Johnson, C. Numerical Solution of Partial Differential Equations by the Finite

Element Method. Cambridge U. Press, 1987. 13

[10] Jochen Alberty, C. C., Funken, S. A. Remarks around 50 lines of matlab: short

finite element implementation. Numerical Algorithms, 20, 117–137, 1999. 15, 16

[11] Kima, B. S., Khambampatib, A. K., Jangc, Y. J., Kimd, K. Y., Kime, S. Image

reconstruction using voltage-current system in electrical impedance tomography.

Nuclear Engineering and Design, 278, 134–140, 2014. 18

89

90 Bibliografıa

[12] Borsic, A. Regularisation Methods for Imaging from Electrical Measurements.

Tesis Doctoral, School of Engineering. Oxford Brookes University, 2002. 20, 82

[13] Adler, A., Lionheart, W. R. B. Uses and abuses of eidors: An extensible software

base for eit. Physiol. Meas., 27, S25–S42, 2006. 20

[14] Haber, E. Numerical Strategies for the Solution of Inverse Problems. Tesis Doc-

toral, University of British Columbia, 1997. 21, 82

[15] Rahal, M., Khor, J. M., Demosthenous, A., Tizzard, A., Bayford, R. A comparison

study of electrodes for neonate electrical impedance tomography. Physiol. Meas.,

30 (6), S73–84, 2009. 26

[16] Geuzaine, C., Remacle, J.-F. Gmsh: a three-dimensional finite element mesh ge-

nerator with built-in pre- and post-processing facilities. International Journal for

Numerical Methods in Engineering, 79, 1309–1331, 2009. 32

[17] Kirk, D. B., Hwu, W.-m. W. Programming Massively Parallel Processors: A

Hands-on Approach. 1a edon. San Francisco, CA, USA: Morgan Kaufmann Pu-

blishers Inc., 2010. 38

[18] NVIDIA Corporation. NVIDIA CUDA C Programming Guide. 2010. Version 3.2.

38, 39

[19] Seagar, A. Probing with low frequency electric currents. Tesis Doctoral, University

of Canterbury, 1983. 45

Agradecimientos

Se agradece de corazon a aquellas personas que colaboraron directamente con este

humilde proyecto.

A Enzo Dari, por todo el apoyo en lo relacionado con la formulacion de elementos

finitos.

A Santi Hansen, del taller de BT, por su predisposicion y buen trabajo en el meca-

nizado de los recipientes.

A Flavio Colavecchia, por el tiempo y la paciencia invertidos en poner a andar

CUDA y companıa.

A los chicos del Laboratorio de Quımica Analıtica del CAB, por la ayuda con las

mediciones de conductividad. Ellos son Ana Bohe de Nassini, Fabiola Alvarez, David

Quinteros y Agustın Tamietti.

A aquellos y aquellas que sin querer, queriendome, me hicieron quien soy. Gracias

por cuidarme. Gracias por ser.

Son mis pies y la cabeza que me hace seguir cuando hay que caminar. Son el sendero,

los paisajes y la companıa. Son mis ojos y mis manos. Son el Sol. Son la vertiente y el

viento a favor. Son la razon para llegar. Son el mate caliente, el abrazo y las estrellas.

Son los besos y el descanso. Son la razon para volver y para seguir caminando. Los

amo.

91

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