UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL

FACULTAD DE CIENCIAS MATEMTICAS Y FSICAS

CURSO DE NIVELACIN DE CARRERA DE INGENIERA EN

SISTEMAS COMPUTACIONALES

PROYECTO DE MATEMATICAS

SOLUCIONARIO DE IDENTIDADES Y ECUACIONES

TRIGONOMETRICAS

PARALELO: SM04

INTEGRANTES:

Eddie Alfredo Matamoros Cochea

Javier Antonio Cobea Velazques

David Alexander Viteri Rambay

Kevin Gabriel Toala Mosquera

Diego Adrian Vera Pinargote

Sara Isabel Hurtado Lozano

Jose Rodriguez

Profesor: Lic. Juan Carlos Granda

Abril 2014 - Agosto 2014

Guayaquil Ecuador

Misin Ayudar a los futuros estudiantes que ingresen a un pre-universitario y

tengan dificultades en el aprendizaje de la rama matemtica de

Trigonometra, para as facilitar su comprensin y que pueda tener claro los

procedimientos y conceptos bsicos necesarios para poder resolver

cualquier ejercicio que se le presente con respecto a la trigonometra.

Visin Este solucionario de identidades y ecuaciones trigonomtricas ser una

fuerte base para los futuros estudiantes que cursen esta materia ya que

permitir facilitar su aprendizaje e incentivara al estudiante para que as

tambin colabore mejorando este solucionario mejorndolo de forma ms

didctica, para los siguientes estudiantes que lo lleguen a requerir.

FORMULARIO DE IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS

Identidades cociente

Identidades reciprocas

Identidades pitagricas

Identidades de suma y diferencia de

ngulos

Identidades de ngulo doble

Identidades pares o impares

Identidades de ngulo mitad

Identidades de suma a producto

( ) ( ) 2 ( ) cos( )2 2

( ) ( ) 2 ( ) cos( )2 2

cos( ) cos( ) 2 ( ) ( )2 2

cos( ) cos( ) 2cos( ) cos( )2 2

x y x ysen x sen y sen

x y x ysen x sen y sen

x y x yx y sen sen

x y x yx y

Identidades de producto a suma

( )tan( )

cos( )

cos( )cot( )

( )

sen xx

x

xx

sen x

1cot( )

tan( )

1sec( )

cos( )

1csc( )

( )

xx

xx

xsen x

2 2

2 2

2 2

( ) cos ( ) 1

tan ( ) 1 sec ( )

1 cot ( ) csc ( )

sen x x

x x

x x

( ) ( )

cos( ) cos( )

tan( ) tan( )

cot( ) cot( )

sec( ) sec( )

csc( ) csc( )

sen x sen x

x x

x x

x x

x x

x x

cos( ) cos( )cos( ) ( ) ( )

cos( ) cos( )cos( ) ( ) ( )

( ) ( ) cos( ) cos( ) ( )

( ) ( ) cos( ) cos( ) ( )

tan( ) tan( )tan( )

1 tan( ) tan( )

tan( ) tan( )tan( )

1 tan(

x y x y sen x sen y

x y x y sen x sen y

sen x y sen x y x sen y

sen x y sen x y x sen y

x yx y

x y

x yx y

) tan( )x y

2 2

2

2

cos(2 ) cos ( ) ( )

cos(2 ) 1 2 ( )

cos(2 ) 2cos ( ) 1

(2 ) 2 ( )cos( )

x x sen x

x sen x

x x

sen x sen x x

1( )cos( ) [ ( ) ( )]

2

1( ) ( ) [cos( ) cos( )]

2

1cos( )cos( ) [cos( ) cos( )]

2

1cos( ) ( ) [ ( ) ( )]

2

sen x y sen x y sen x y

sen x sen y x y x y

x y x y x y

x sen y sen x y sen x y

1 cos( )cos( / 2)

2

1 cos( )( / 2)

2

xx

xsen x

EJERCICIOS DE IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

Demostrar que cada ecuacin es una identidad.

aa db

c b c

d

1)

( )

1

sen(x)= cos(x)

tan(x)

sen(x)

sen(x)

cos(x)

sen x

sen(x)

cos(x)

sen(x) cos(x)

1 sen(x)

cos(x)

22

2

2

2

2

2

2

2

2

cos2)

cot

cos

cos

cos ( )

1

cos

cos

(x)= sen (x)

(x)

(x)

(x)

sen (x)

x

(x)

sen (x)

(x) 2

2cos

sen (x)

1 (x)

2sen (x)

aa db

c b c

d

( )tan( )

cos( )

sen xx

x

cos( )cot( )

( )

xx

sen x

1sec( )

cos( )

( )tan( )

cos( )

xx

sen xx

x

3)sec( ) ( ) tan

1( )

cos( )

( )

cos( )

tan( )

x sen x = (x)

sen xx

sen x

x

x

( )tan( )

cos( )

sen xx

x

4) tan( )cos( )

( )

cos( )

x x = sen(x)

sen x

x

cos( )x

1

( )sen x

1csc( )

( )

( )tan( )

cos( )

1sec( )

cos( )

xsen x

sen xx

x

xx

5)csc( ) tan( ) sec( )

1

( )

x x x

sen x

( )sen x

cos( )

1

cos( )

sec( )

x

x

x

6) ( )cot( ) cos( )

( )

sen x x x

sen x

cos( )

1 ( )

x

sen x

cos( )x

cos( )cot( )

( )

xx

sen x

Despejamos de la siguiente

identidad cot2(x) para

reemplazarlo en la ecuacin.

2 2 2

2

2

7)cot ( ) ( ) cos ( )

cos ( )

( )

x sen x x

x

sen x

2 ( )sen x

2

1

cos ( )x

22

2

cos ( )cot ( )

( )

xx

sen x

2 2 2

2

2

8) tan ( )cos ( ) ( )

( )

cos ( )

x x sen x

sen x

x

2cos ( )x

2

1

( )sen x

22

2

( )tan ( )

cos ( )

sen xx

x

2 2

2 2

2

9)cos ( )[1 tan ( )] 1

cos ( )[sec ( )]

cos ( )

x x

x x

x

2

1

1 cos ( )x

1

2 2sec ( ) tan ( ) 1x x

2 2 2

2 2

2

2

10)[csc ( ) 1] ( ) cos ( )

cot ( ) ( )

cos ( )

( )

x sen x x

x sen x

x

sen x

2 ( )sen x

2

1

cos ( )x

2 2csc ( ) 1 cot ( )x x

2 2cot ( ) csc ( ) 1x x

Despejamos de la identidad pitagrica

para utilizarlo en demostracin

Despejamos de la identidad pitagrica

para utilizarlo en demostracin

2

2

2

[1 ( )][1 ( )]11) cos( )

cos( )

1 ( ) ( ) ( )

cos( )

1 ( )

cos( )

cos

sen x sen xx

x

sen x sen x sen x

x

sen x

x

( )

cos( )

x

x

cos( )x

2 2( ) cos ( ) 1sen x x

2cos ( )x

2 2cos ( ) 1 ( )x sen x

2

2

2

[1 cos( )][1 cos( )]12) ( )

( )

1 cos( ) cos( ) cos ( )

( )

1 cos ( )

( )

x xsen x

sen x

x x x

sen x

x

sen x

sen

( )

( )

x

sen x

( )sen x

2 2( ) cos ( ) 1sen x x

2 ( )sen x

2 2( ) 1 cos ( )sen x x

( )tan( )

cos( )

sen xx

x

( ) sec( )13) 1

tan( )

1( )

cos( )

( )

cos( )

( )

cos( )

sen x x

x

sen xx

sen x

x

sen x

x

( )

cos( )

sen x

x

1

1sec( )

cos( )x

x

2 2

2

2

14)sec ( ) 3 tan ( ) 2

tan ( ) 1 3

tan ( ) 2

x x

x

x

2 2sec ( ) tan ( ) 1x x

2 2 2 2

2

2

15)se ( ) cos ( ) tan ( ) sec ( )

1 tan ( )

sec ( )

n x x x x

x

x

2 2 2 2

2

2

16)se ( ) cos ( ) cot ( ) csc ( )

1 cot ( )

csc ( )

n x x x x

x

x

2 2

2 2

( ) cos ( ) 1

sec ( ) tan ( ) 1

sen x x

x x

2 2

2 2

( ) cos ( ) 1

csc ( ) 1 cot ( )

sen x x

x x

2 2sec ( ) 1 tan ( )x x

2 2

2 2

17) ( )[csc( ) ( )sec ( )] sec ( )

( )csc( ) ( )sec ( )

( )

sen x x sen x x x

sen x x sen x x

sen x

1

( )sen x 2

2

2

2

2

2

1( )

cos ( )

( )1

cos ( )

1 tan ( )

sec ( )

sen xx

sen x

x

x

x

1csc( )

( )x

sen x

2

2

1 1sec( ) sec ( )

cos( ) cos ( )x x

x x

2 2

1sec( )

cos( )

csc ( ) 1 cot ( )

( )tan( )

cos( )

xx

x x

sen xx

x

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

sec ( )18) tan ( )

1 cot ( )

1

cos ( )

csc ( )

1

cos ( )

1

( )

1 ( )

cos ( ) 1

( )

cos ( )

tan ( )

xx

x

x

x

x

sen x

sen x

x

sen x

x

x

2

2

2

1 ( )19) ( )cos( )

cot( )

cos ( )

cos( )

( )

cos

sen xsen x x

x

x

x

sen x

( ) ( )

1 cos( )

x sen x

x

cos( ) ( )x sen x

2 2

2 2

cos( )cot( )

( )

( ) cos ( ) 1

cos ( ) 1 ( )

xx

sen x

sen x x

x sen x

2

2

2

2

( )20) cos( ) cot( )

sec ( ) 1

( )

tan ( )

( )

( )

cos ( )

( )

sen xx x

x

sen x

x

sen x

sen x

x

sen x

2

2

cos ( )

1

x

sen

2

( )

cos ( )

( )

cos( ) cos( )

1 ( )

cos( ) cot( )

x

x

sen x

x x

sen x

x x

2 2

2 2

tan ( ) 1 sec ( )

tan ( ) sec ( ) 1

cos( )cot( )

( )

x x

x x

xx

sen x

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1 tan ( )21) tan ( )

csc ( )

sec ( )

1

( )

1

cos ( )

1

( )

1 ( )

cos ( ) 1

( )

cos ( )

tan ( )

xx

x

x

sen x

x

sen x

sen x

x

sen x

x

x

2 2

2

2

2

2

22

2

sec ( ) tan ( ) 1

1csc ( )

( )

1sec ( )

cos ( )

( )tan ( )

cos ( )

x x

xsen x

xx

sen xx

x

2 2cos ( ) ( ) 1

1csc( )

( )

1sec

cos( )

x sen x

xsen x

x

2 2

cos( ) ( )22) sec( )csc( )

( ) cos( )

cos ( ) ( )

( ) cos( )

1

( )cos( )

1 1

( ) cos( )

csc( )sec( )

x sen xx x

sen x x

x sen x

sen x x

sen x x

sen x x

x x

2

2

2

2

2

1 123) 2csc ( )

1 cos( ) 1 cos( )

1 cos( ) 1 cos( )

[1 cos( )][1 cos( )]

2

[1 cos ( )]

2

( )

12

( )

2csc ( )

xx x

x x

x x

x

sen x

sen x

x

1csc( )

( )x

sen x

2 2

2

2 2

2

2

2

1 124) 2csc( )

csc( ) cot( ) csc( ) cot( )

csc( ) cot( ) csc( ) cot( )

[csc( ) cot( )][csc( ) cot( )]

2csc( )

csc ( ) cot ( )

2csc( )

1 cos ( )

( ) ( )

2csc( )

1 cos ( )

( )

2csc( )

( )

xx x x x

x x x x

x x x x

x

x x

x

x

sen x sen x

x

x

sen x

x

sen x

2 ( )sen x

2csc( )

1

2csc( )

x

x

1csc( )

( )

cos( )cot( )

( )

xsen x

xx

sen x

2tan( ) csc( )25) sec( )csc ( )( ) tan( )

( ) 1

cos( ) ( )

( )( )

cos( )

( )

x xx x

sen x x

sen x

x sen x

sen xsen x

x

sen x

1

cos( ) ( )x sen x

2

2 2

2

2

2

2

1 cos( )

( ) ( )

1 cos( )

cos( ) ( )

( ) cos ( )

cos( ) ( )

1

cos( )

1 1

cos( ) ( )

sec( )csc ( )

x

sen x sen x

x

x sen x

sen x x

x sen x

x sen

x sen x

x x

2 2

( )tan( )

cos( )

( ) cos ( ) 1

1csc( )

( )

1sec( )

cos( )

sen xx

x

sen x x

xsen x

xx

2 2

2 2

1sec( )

cos( )

( )tan( )

cos( )

cos ( ) ( ) 1

( ) 1 cos ( )

xx

sen xx

x

x sen x

sen x x

sec( ) ( )26) cot( )

( ) cos( )

1

cos( )tan( )

( )

1

1 1tan( )

cos( ) ( )

1tan( )

cos( ) ( )

1 cos( ) ( ) tan( )

cos( ) ( )

( )1 cos( ) ( )

cos( )

cos( ) ( )

1 cos( )

x sen xx

sen x x

xx

sen x

xx sen x

xx sen x

x sen x x

x sen x

sen xx sen x

x

x sen x

x

2 ( )

(cos( )

sen x

x

2

2

)

cos( ) ( )

1 ( )

cos( ) ( )

cos

x sen x

sen x

x sen x

( )

cos( )

x

x ( )

cos( )

( )

cot( )

sen x

x

sen x

x

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1 tan ( )27) tan ( )

csc ( )

sec ( )

1

( )

1

cos ( )

1

( )

1 ( )

cos ( ) 1

( )

cos ( )

tan ( )

xx

x

x

sen x

x

sen x

sen x

x

sen x

x

x

2 2sec ( ) 1 tan ( )

1sec( )

cos( )

1csc( )

( )

( )tan( )

cos( )

x x

xx

xsen x

sen xx

x

2 2

2 2

2 2

28)[sec ( ) 1][csc ( ) 1] 1

[tan ( ) 1 1][cot 1 1]

tan ( ) cot ( )

( )

x x

x

x x

sen x

cos( )x

cos( )x

( )sen x

1

2 2

2 2

tan ( ) 1 sec ( )

1 cot ( ) csc ( )

( )tan( )

cos( )

cos( )cot( )

( )

x x

x x

sen xx

x

xx

sen x

2 2 2

2

2 2

2

2

2

2

2

2

2

2 2

29) tan ( ) sec ( ) 2sec ( ) 1

( ) 1

cos ( ) cos ( )

( ) 1

cos ( )

1 cos ( ) 1

cos ( )

2 cos ( )

cos ( )

2 cos ( )

cos ( ) cos ( )

x x x

sen x

x x

sen x

x

x

x

x

x

x

x x

2

2

2 11

1 cos ( )

2sec ( ) 1

x

x

2 2

2 2

( )tan( )

cos( )

1sec( )

cos( )

( ) cos ( ) 1

( ) 1 cos ( )

sen xx

x

xx

sen x x

sen x x

2 2

( )tan( )

cos( )

cos( )cot( )

( )

( ) cos ( ) 1

sen xx

x

xx

sen x

sen x x

2 2

30)[tan( ) cot( )] ( ) cos( ) 1

( ) cos( )[ ] ( ) cos( )

cos( ) ( )

( ) cos ( )[ ] ( ) cos( )

cos( ) ( )

1[

cos( )

x x sen x x

sen x xsen x x

x sen x

sen x xsen x x

x sen x

x

( )sen x] ( )sen x cos( )x

1

4 4 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

31)cos ( ) ( ) cos ( ) ( )

[cos ( ) ( )][cos ( ) ( )]

1[cos ( ) ( )]

cos ( ) ( )

x sen x x sen x

x sen x x sen x

x sen x

x sen x

4 4 2 2 2 2

2 2

( )( )

( ) cos ( ) 1

a b a b a b

sen x x

Diferencia de cuadrados

2 2

2 2

tan ( ) 1 sec ( )

tan ( ) sec ( ) 1

x x

x x

4 2 4 2

2 2

2 2

2 2

4 2

32) tan ( ) tan ( ) sec ( ) sec ( )

tan ( )[tan ( ) 1]

[sec ( ) 1][sec ( ) 1 1]

[sec ( ) 1]sec ( )

sec ( ) sec ( )

x x x x

x x

x x

x x

x x

2

133) sec( ) tan( )

sec( ) tan( )

1

1 ( )

cos( ) cos( )

1

1 ( )

cos( )

1

11 ( )

cos( )

1 cos( )

1 1 ( )

cos( ) [1 ( )]

[1 ( )] [1 ( )]

cos( )[1 ( )]

[1 ( )]

cos( )

x xx x

sen x

x x

sen x

x

sen x

x

x

sen x

x sen x

sen x sen x

x sen x

sen x

x

2

[1 ( )]

cos

sen x

( )

1 ( )

cos( )

1 ( )

cos( ) cos( )

sec( ) tan( )

x

sen x

x

sen x

x x

x x

Artilugio matemtico Se multiplica toda la expresin

por el denominador con signo

contrario.

2 2

2 2

1sec( )

cos( )

( )tan( )

cos( )

( ) cos ( ) 1

cos ( ) 1 ( )

xx

sen xx

x

sen x x

x sen x

2

2

2

2

2

2

2

1 3cos( ) 1 2cos( ) 3cos ( )34)

1 cos( ) ( )

1 3cos( ) [1 cos( )]

[1 cos( )] [1 cos( )]

[1 3cos( )][1 cos( )]

1 cos( ) cos( ) cos ( )

1 cos( ) 3cos( ) 3cos ( )

1 cos ( )

1 2cos( ) 3cos ( )

( )

y y y

y sen y

y y

y y

y y

y y y

y y y

y

y y

sen y

Artilugio

matemtico

2 2

2 2

( ) cos ( ) 1

( ) 1 cos ( )

sen y y

sen y y

4 2 2 4

2

4 2 2 4

2

4 2 4 4

2

4 4 2

2

2 2 2

2cos ( ) ( ) cos ( ) ( )35) 1

3cos ( ) 1

2cos ( ) [1 cos ( )]cos ( ) ( )

3[1 ( )] 1

2cos ( ) cos ( ) cos ( ) ( )

3 3 ( ) 1

[cos ( ) ( )] cos ( )

2 3 ( )

[cos ( ) ( )][cos ( )

y sen y y sen y

y

y y y sen y

sen y

y y y sen y

sen y

y sen y y

sen y

y sen y y

2 2

2

2 2 2

2

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

( )] cos ( )

2 3 ( )

1[cos ( ) ( )] cos ( )

2(1) 3 ( )

2cos ( ) ( )

2( ( ) cos ( )) 3 ( )

2cos ( ) ( )

2 ( ) 2cos ( ) 3 ( )

2cos ( ) ( )

sen y y

sen y

y sen y y

sen y

y sen y

sen y y sen y

y sen y

sen y y sen y

y sen y

2 22cos ( ) ( )y sen y

1

Diferencia de cuadrados 4 4 2 2 2 2( )( )a b a b a b

2 2

2 2

2 2

( ) cos ( ) 1

( ) 1 cos ( )

cos ( ) 1 ( )

sen y y

sen y y

y sen y

Al multiplicarlo el 2 por el 1 no

se altera la ecuacin y luego el

1 lo reemplazamos por la

identidad pitagrica donde 2 2( ) cos ( ) 1sen y y

3 3

2

2 2

2 2 2

2 2

2 2

( ) ( ) sec( ) ( )36)

2 ( ) 1 tan( ) 1

[ ( ) cos( )][ ( ) ( ) cos( ) cos ( )]

2 ( ) ( ) cos ( )

[ ( ) cos( )][ ( ) ( ) cos( ) cos ( )]

( ) cos ( )

[ ( ) cos( )]

sen x cos x x sen x

sen x x

sen x x sen x sen x x x

sen x sen x x

sen x x sen x sen x x x

sen x x

sen x x

[1 ( ) cos( )]

[ ( ) cos( )]

sen x x

sen x x

[ ( ) cos( )]

1[1 ( ) cos( )]

cos( )1[ ( ) cos( )] 1

1 ( )

[1 ( ) cos( )]

cos( )

[ ( ) cos( )]

cos( )

( ) cos( )1

cos( )

sen x x

sen x x

x

sen x x

cos x

sen x x

x

sen x x

x

sen x x

x

cos( )x

cos( )( )

cos( )

xsen x

x

cos( )x

sec( ) ( )

tan( ) 1

x sen x

x

Artilugio matemtico Dividimos para cos(x)

Al numerador y denominador,

esto no alterara la ecuacin.

Adicin de cubos 3 3 2 2( )( )a b a b a ab b

2 2( ) cos ( ) 1sen x x

Diferencia de cuadrados 2 2 ( )( )a b a b a b

Trinomio de la forma ax2+bx+c

24 ( ) 3 ( ) 1

4 ( ) 1 1 ( )

1 ( ) 1 4 ( )

3 ( )

sen x sen x

sen x sen x

sen x sen x

sen x

2 2

2 2

( ) cos ( ) 1

cos ( ) 1 ( )

sen x x

x sen x

2

2

2

2

2

1 3 ( ) 4 ( ) 1 4 ( )37)

cos ( ) 1 ( )

4 ( ) 3 ( ) 1

1 ( )

[ 4 ( ) 1][ ( ) 1]

sen x sen x sen x

x sen x

sen x sen x

sen x

sen x sen x

[1 ( )][1 ( )]sen x sen x

21 4 ( )

1 ( )

sen x

sen x

1 cos( ) csc( ) cot( )38) 4cot( ) csc( )

1 cos( ) csc( ) cot( )

1 cos( )

1 cos( ) ( ) ( )

1 cos( )1 cos( )

( ) ( )

1 cos( )

1 cos( ) ( )

1 cos( )1 cos( )

( )

1 cos( ) 1 cos( )

1 cos( ) ( )

x x xx x

x x x

x

x sen x sen x

xx

sen x sen x

x

x sen x

xx

sen x

x x

x sen x

( )sen x

2 2

2

2

1 cos( )

1 cos( ) 1 cos( )

1 cos( ) 1 cos( )

[1 cos( )][1 cos( )] [1 cos( )][1 cos( )]

[1 cos( )][1 cos( )]

[1 cos( ) cos( ) cos ( )] [1 cos( ) cos( ) cos ( )]

1 cos( ) cos( ) cos ( )

1 2cos( ) cos ( ) [1 2co

x

x x

x x

x x x x

x x

x x x x x x

x x x

x x

2

2

2 2

2

2

s( ) cos ( )]

1 cos ( )

1 2cos( ) cos ( ) 1 2cos( ) cos ( )

( )

4cos( )

( )

cos( ) 14

( ) ( )

4cot( ) csc( )

x x

x

x x x x

sen x

x

sen x

x

sen x sen x

x x

2 2

2 2

1csc( )

( )

cos( )cot( )

( )

( ) cos ( ) 1

( ) 1 cos ( )

xsen x

xx

sen x

sen x x

sen x x

sec( ) tan( )39) sec( ) tan( )

sec( ) tan( )

1 ( )

cos( ) cos( )

1 ( )

cos( ) cos( )

1 ( )

cos( )

1 ( )

cos( )

1 ( )

cos( )

x xx x

x x

sen x

x x

sen x

x x

sen x

x

sen x

x

sen x

x

cos( )x

2

2

2

2

2

1 ( )

1 ( ) 1 ( )

1 ( ) 1 ( )

[1 ( )]

1 ( ) ( ) ( )

[1 ( )]

1 ( )

[1 ( )]

sen x

sen x sen x

sen x sen x

sen x

sen x sen x sen x

sen x

sen x

sen x

2cos

2

( )x

1 ( )

cos( )

1 ( )

cos( ) cos( )

sec( ) tan( )

sen x

x

sen x

x x

x x

2 2

2 2

( ) cos ( ) 1

cos ( ) 1 ( )

sen x x

x sen x

Artilugio matemtico

2

2 2

40)cos(2 ) 2 1

1 2 ( ) 2 ( )

1

x sen x

sen x sen x

2cos(2 ) 1 2 ( )x sen x

41) (2 )csc( ) 2cos( )

2 ( )

sen x x x

sen x

1cos( )

( )x

sen x

2cos( )x

(2 ) 2 ( )cos( )sen x sen x x

2

(2 )42) tan( )

1 cos(2 )

2 ( ) cos( )

1 2cos ( ) 1

2

sen xx

x

sen x x

x

( ) cos( )sen x x

2 2cos ( )

( )

cos( )

tan( )

x

sen x

x

x

2

(2 ) 2 ( )cos( )

cos(2 ) 2cos ( ) 1

( )tan( )

cos( )

sen x sen x x

x x

sen xx

x

2

2

2

( )44) cos

2 2 2

1 cos( ) 1 cos( )

2 2

[1 cos( )] [1 cos( )]

2 2

1 cos( ) cos( ) cos ( )

4

1 cos ( )

4

x x sen xsen

x x

x x

x x x

x

sen

( )

4

x2

( )

2

sen x

2 2

2 2

1 cos( )( )

2 2

1 cos( )cos( )

2 2

( ) cos ( ) 1

( ) 1 cos ( )

x xsen

x x

sen x x

sen x x

2

2

2

45)[cos ] 1 ( )2 2

1 cos( ) 1 cos( )

2 2

1 cos( )

2

x xsen sen x

x x

x

2

21 cos( ) 1 cos( ) 1 cos( )

22 2 2

x x x

2

2

2

2

1 cos( ) 1 cos( ) 1 cos( ) 1 cos( )2

2 2 2 2

1 cos( ) 1 cos( ) cos( ) cos ( ) 1 cos( )2

2 4 2

1 cos( ) 1 cos ( ) 1 cos( )2

2 4 2

1 cos( )2

2

x x x x

x x x x x

x x x

x sen

( )

4

x2

1 cos( )

2

1 cos( )2

2

x

x

( )

2

sen x 1 cos( )

2

1 cos( ) 2 ( ) 1 cos( )

2

2 2 ( )

2

2

x

x sen x x

sen x

[1 ( )]

2

sen x

1 ( )sen x

2 2

2 2

1 cos( )( )

2 2

1 cos( )cos( )

2 2

( ) cos ( ) 1

( ) 1 cos ( )

x xsen

x x

sen x x

sen x x

Cuadrado de un binomio 2 2 2( ) 2a b a ab b

46)cos(5 )cos(2 ) (5 ) (2 ) cos(3 )

cos(5 2 )

cos(3 )

x x sen x sen x x

x x

x

cos( ) cos( )cos( ) ( ) ( )x y x y sen x sen y

X y x y

4

2

2

2 2 2

2 2 2 2

2 4 2

47)8cos ( ) 3 4cos(2 ) cos(4 )

3 4[2cos ( ) 1] cos(2 2 )

3 8cos ( ) 4 cos(2 )cos(2 ) (2 ) (2 )

3 8cos ( ) 4 cos (2 ) (2 )

8cos ( ) [2cos ( ) 1] [2 ( )cos( )] 1

8cos ( ) [4cos ( ) 4cos ( ) 1]

x x x

x x x

x x x sen x sen x

x x sen x

x x sen x x

x x x

2 2

2 4 2 2 2

2 4 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

4

[4 ( )cos ( )] 1

8cos ( ) 4cos ( ) 4cos ( ) 1 4 ( )cos ( ) 1

4cos ( ) 4cos ( ) 4 ( )cos ( )

4cos ( )[1 cos ( ) ( )]

4cos ( )[cos ( ) cos ( )]

4cos ( )[2cos ( )]

8cos ( )

sen x x

x x x sen x x

x x sen x x

x x sen x

x x x

x x

x

2

2 2

2 2

cos(2 ) 2cos ( ) 1

(2 ) 2 ( )cos( )

( ) cos ( ) 1

cos ( ) 1 ( )

x x

sen x sen x x

sen x x

x sen x

(5 ) (7 )48) tan(6 )

cos(5 ) cos(7 )

2

sen x sen xx

x x

5 7 5 7cos

2 2

x x x xsen

25 7 5 7

cos cos2 2

x x x x

12sen

2

x

12cos

2

x

(6 )

cos(6 )

tan(6 )

sen x

x

x

( ) ( ) 2 ( )cos( )2 2

cos( ) cos( ) 2cos( )cos( )2 2

( )tan( )

cos( )

x y x ysen x sen y sen

x y x yx y

sen xx

x

2 2

2 2

49)cos( )cos( ) cos ( ) ( )

[cos( )cos( ) ( ) ( )][cos( )cos( ) ( ) ( )]

cos ( )cos ( ) cos( )cos( ) ( ) ( )

x y x y x sen y

x y sen x sen y x y sen x sen y

x y x y sen x sen y

( ) ( ) cos( )cos( )sen x sen y x y 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

( ) ( )

cos ( )cos ( ) ( ) ( )

cos ( )[1 ( )] [1 cos ( )] ( )

cos ( ) cos ( ) ( ) [ ( ) ( ) cos ( )]

cos ( ) cos ( ) ( )

sen x sen y

x y sen x sen y

x sen x x sen y

x x sen x sen y sen y x

x x sen x

2 2 2( ) ( ) cos ( )sen y sen y x

2 2cos ( ) ( )x sen y

2 2

2 2

2 2

cos( ) cos( )cos( ) ( ) ( )

cos( ) cos( )cos( ) ( ) ( )

( ) cos ( ) 1

( ) 1 cos ( )

cos ( ) 1 ( )

x y x y sen x sen y

x y x y sen x sen y

sen x x

sen x x

x sen x

2 2 2 2

2

50) ( )cos( ) ( ) cos( ) ( ) cos( )

[ ( ) cos( ) cos( ) ( )][cos( )cos( ) ( ) ( )]

( ) cos( )cos ( ) ( ) ( ) cos( ) cos ( ) ( ) cos( ) cos( ) ( ) ( )

( ) cos( )[1 ( )

sen x y x y sen x x sen y y

sen x y x sen y x y sen x sen y

sen x x y sen x sen y y x sen y y x sen y sen x

sen x x sen y

2 2 2

2 2 2

] [1 cos ( )] ( ) cos( ) [1 ( )] ( ) cos( ) cos( ) ( )[1 cos ( )]

( ) cos( ) ( ) cos( ) ( ) ( ) cos( ) ( ) cos( )cos ( ) ( ) cos( ) ( ) cos( ) ( ) cos( ) ( ) cos( ) ( ) cos

x sen y y sen x sen y y x sen x y

sen x x sen x x sen y sen y y sen y y x sen y y sen y y sen x x sen x x sen x

2

2 2 2 2

2 2

( )

2 ( )cos( ) 2 ( )cos( ) ( ) cos( ) ( ) ( ) cos( )cos ( ) ( ) cos( ) ( ) cos( ) ( ) cos ( )

2 ( )cos( ) 2 ( )cos( ) ( ) cos( )[ ( ) cos ( )

y

sen x x sen y y sen x x sen y sen y y x sen y y sen x x sen x y

sen x x sen y y sen x x sen y y

2 2] ( ) cos( )[ cos ( ) ( )sen y y x sen x ]

2 ( )cos( ) 2 ( )cos( ) ( ) cos( ) ( ) cos( )

( ) cos( ) ( ) cos( )

sen x x sen y y sen x x sen y y

sen x x sen y y

2 2

2 2

2 2

( ) ( ) cos( ) cos( ) ( )

( ) ( ) cos( ) cos( ) ( )

( ) cos ( ) 1

( ) 1 cos ( )

cos ( ) 1 ( )

sen x y sen x y x sen y

sen x y sen x y x sen y

sen x x

sen x x

x sen x

1

1

Grficas y tringulos para resolver ecuaciones

trigonomtricas

Tan(x)

Cos(x)

Sen(x)

Para el diseo de las grficas

trigonomtricas y las respectivas

comprobaciones de los ejercicios

se utiliz el software informtico

Wolfram Mathematica.

ECUACIONES TRIGONOMTRICAS

Encontrar la solucin de las siguientes ecuaciones trigonomtricas.

Tenemos que utilizar la grfica del Sen(x) para as poder ver cuando 1 toca en el eje de las X.

Como se puede ver claramente en la grfica cuando en X es /2 entonces esta toca en el eje de

las Y en 1, por lo tanto /2 es la respuesta desde el rango de 0 a 2.

En este ejercicio se utiliz el tringulo rectngulo de

60 y 30 para encontrar con cul de los dos ngulos el

Cos(x)=1/2.

Encontrando que el Cos(60)=1/2, pero hay que tomar

en cuenta que el ejercicio nos pide los valores de x

desde 0 a 2, y si nos ubicamos en el plano cartesiano

en el primer cuadrante todos los ngulos son positivos

por lo tanto 60(/3) es parte de la respuesta y en el cuarto cuadrante solo los cosenos son

positivos entonces realizamos la diferencia para encontrar el ngulo el cual tambin ser parte

de la respuesta en este caso 300(5/3).

NOTA: Los ngulos siempre se ponen con respecto al eje X.

1) ( ) 1 0

( ) 1

sen x

sen x

[0,2 ]

2

[0,2 ]2)2cos( ) 1 0

1cos( )

2

x

x

cos( )adyacente

xhipotenusa

1cos(60 )

25

,3 3

Observemos que en la grfica el cos(x) es igual a 1 solo

cuando en el eje de las x toca en 0 y en 2.

[0,2 ]3)cos( ) 1 0

cos( ) 1

x

x

0, 2

4) tan( ) 1 0

tan( ) 1

4

x

x

0,2

tan(45 ) 1

2

2

2

2

5)2 ( ) 1 0

2 ( ) 1

1( )

2

sen x

sen x

sen x

sen

1( )

2

1( )

2

4

x

sen x

Si utilizamos el tringulo de 45 nos

daremos cuenta que la Tan(45) es igual a

uno, por lo tanto 45 en el rango de [0,/2]

es la respuesta para la ecuacin

trigonomtrica.

0,2

1(45 )

2sen

Utilizando el triangulo de 45 nos damos

cuenta que el sen(45) es igual a 1

2

Y ese es el nico valor para la ecuacin

puesto que el ejercicio solo nos pide los

valores en el rango de [0,/2].

2

2

2

2

2

2

6)3cot ( ) 1 0

3cot ( ) 1

1cot ( )

3

1 1

tan ( ) 3

3 tan ( )

tan

x

x

x

x

x

2 ( )x 3

tan( ) 3

4,

3 3

x

0,2

tan( )

tan(60 ) 3

opuestox

adyacente

Primero utilizamos el tringulo de 60 y 30 para identificar

donde la tan(x) es igual a 3 , encontrando que el ngulo de 60 cumple con la ecuacin, hay que tener en cuenta que el

ejercicio pide las respuestas desde el rango de [0,2],

utilizando el plano cartesiano vemos que en dos cuadrantes

tenemos que el sen(60) es igual 3 .

60180 3

180 60 240

4240

180 3

240

2

2

2

22

7)4cos ( ) 3 0

4cos ( ) 3

3cos ( )

4

3cos ( )

4

3cos( )

2

5 7 11, , ,

6 6 6 6

x

x

x

x

x

0,2

30180 6

180 30 150

5150

180 6

180 30 210

7210

180 6

360 30 330

11330

180 6

30

30 30

30

3cos(30 )

2

Cuando hay una raz en una ecuacin

trigonomtrica siempre hay que tomar los

ngulos negativos y positivos en el plano

cartesiano y sacar la diferencia de los angulos.

0,2

2

2

2

2

8)cot ( ) 3 0

13

tan ( )

1tan ( )

3

1tan ( )

3

1tan( )

3

6

x

x

x

x

x

1tan(30 )

3

30180 6

2

2

2

2

2

9)sec ( ) 1 0

11 0

cos ( )

11

cos ( )

1 cos ( )

cos ( ) 1

cos( ) 1

0, , 2

x

x

x

x

x

x

En este ejercicio una vez despejada la ecuacin

trigonomtrica vemos cuando se cumple que el cos(x) = es

igual a + o 1 viendo simplemente en la grfica del cos(x).

[0,2 ]

2

2

2

2

2

2

10)csc ( ) 2 0

12 0

( )

12

( )

1 2 ( )

( )2

1( )

2

1( )

2

3,

4 4

x

sen x

sen x

sen x

sen x

sen x

sen x

0,

1(45)

2sen

45180 4

180 45 135

3135

180 4

Utilizando el tringulo de 45 observamos sen(x) es igual a

12 cuando el ngulo es 45, el ejercicio nos pide las

soluciones del rango [0, ] utilizamos el plano cartesiano para

ver si en ese rango hay ms senos positivos o negativos ya que

en el despeje de la ecuacin nos qued ms o menos 12 .

11) ( )cos( ) 0

( ) 0

cos( ) 0

30, , , , 2

2 2

sen x x

sen x

x

Observando en las grficas del seno y del coseno

podemos encontrar rpidamente las soluciones de la

ecuacin trigonomtrica.

Sen(x) cos(x)

12)cos( )cot( ) 0

cos( ) 0

cot( ) 0

cot( ) 0

cos( )0

( )

cos( ) 0[ ( )]

cos( ) 0

3,

2 2

x x

x

x

x

x

sen x

x sen x

x

cos(x)

Tenemos dos ecuaciones de las cuales podemos sacar distintas

soluciones para la ecuacin, pero en este caso todos concluyen

en que el cos(x) es igual 0.

Mediante el uso de la grfica del coseno podemos encontrar

rpidamente las respuestas a este ejercicio.

13) tan( )sec( ) 0

tan( ) 0

sec( ) 0

tan( ) 0

( )0

cos( )

( ) 0[cos( )]

( ) 0

0, , 2

x x

x

x

x

sen x

x

sen x x

sen x

sec( ) 0

10

cos( )

1 0[cos( )]

1 0

x

x

x

Sen(x)

14) ( ) tan( ) 0

( ) 0

tan( ) 0

tan( ) 0

( )0

cos( )

( ) 0[cos( )]

( ) 0

0, , 2

sen x x

sen x

x

x

sen x

x

sen x x

sen x

Sen(x)

3

2

2

2

2

2

2

15)4 ( ) 3 ( ) 0

( )[4 ( ) 3] 0

( ) 0

4 ( ) 3 0

4 ( ) 3 0

4 ( ) 3

3( )

4

3( )

4

3( )

2

0,3

sen x sen x

sen x sen x

sen x

sen x

sen x

sen x

sen x

sen x

sen x

3(60 )

2sen

El ejercicio nos pide encontrar las soluciones

de la ecuacin trigonomtrica en el rango de

[0,/2].

Por lo tanto solo nos piden la respuesta del

primer cuadrante.

0,2

3

2

2

16) tan ( ) tan( ) 0

tan( )[tan ( ) 1] 0

tan( ) 0

tan ( ) 1 0

tan( ) 0

( )0

cos( )

( ) 0

0,4

x x

x x

x

x

x

sen x

x

sen x

2

2

2

tan ( ) 1 0

tan ( ) 1

tan ( ) 1

tan( ) 1

x

x

x

x

0,2

tan(45 ) 1

45180 4

Sen(x)

Solo se tom en cuenta en la grfica del sen(x) el valor

de 0 ya que solo nos pide en el ejercicio encontrar las

soluciones en el rango [0,/2] y por lo tanto ese es el

nico punto en ese rango donde el seno vale 0.

2

2

2

2

2

17)2 ( ) cos( ) 1 0

2[1 cos ( )] cos( ) 1 0

2 2cos ( ) cos( ) 1 0

1 2cos ( ) cos( ) 0

2cos ( ) cos( ) 1 0

2cos( ) 1 1cos( )

1cos( ) 1 2cos( )

1cos( )

[2cos( ) 1][cos( ) 1] 0

2cos( ) 1 0

cos( ) 1 0

2

sen x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x

x x

x

x

cos( ) 1 0

1cos( )

2

5, ,

3 3

x

x

cos( ) 1 0

cos( ) 1

x

x

Cos(x)

1cos(60 )

2

60180 3

360 60 300

5300

180 3

2

2

2

2

18)cos(2 ) 4cos 3 0

2cos ( ) 1 4cos( ) 3 0

2cos ( ) 4cos( ) 2 0

2[cos ( ) 2cos( ) 1] 0

cos ( ) 2cos( ) 1 0

cos( ) 1 cos( )

cos( ) 1 cos( )

2cos( )

[cos( ) 1][cos( ) 1] 0

cos( ) 1 0

cos( ) 1

0, 2

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x

x x

x

x

2

2 2 2

2 2 2

2

2

19)cos(2 ) cos ( )

cos ( ) ( ) cos ( )

cos ( ) cos ( ) ( )

0 ( )

( ) 0

( ) 0

0, , 2

x x

x sen x x

x x sen x

sen x

sen x

sen x

20)cot 2 36

13

tan 2 30

13

tan(2 ) tan(30 )

1 tan(2 ) tan(30 )

1 tan(2 ) tan(30 )3 0

tan(2 ) tan(30 )

1 tan(2 ) tan(30 ) 3 [tan(2 ) tan(30 )]0

tan(2 ) tan(30 )

1 tan(2 ) tan(30 ) 3 [tan(2 ) tan(30 )]

x

x

x

x

x

x

x x

x

x x

2

0[tan(2 ) tan(30 )]

3 31 tan(2 ) 3 tan(2 ) 3 0

3 3

3 tan(2 ) ( 3 )1 3 tan(2 ) 0

3 3

3 tan(2 ) 31 3 tan(2 ) 0

3 3

3 tan(2 )1 3 tan(2 ) 1 0

3

3 tan(2 )3 tan(2 ) 0

3

3 tan(2 ) 3 tan(2 )0

3

4 3 tan(2 ) 0(3)

0tan(2 )

4 3

tan(2 ) 0

x

x x

xx

xx

xx

xx

x x

x

x

x

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