Proyecto terminal I: Calibración de las disposiciones de...

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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANA

AZCAPOTZALCO

8 de Septiembre de 2010

Proyecto terminal I: Calibración

de las disposiciones de las NTC-

2004 relativas a deflexiones en

losas. Desarrollo: Israel Villalón García.

Asesor: Dr. Oscar Manuel González Cuevas.

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INDICE.

Introducción 2

Desarrollo del método 6

Presentación de ejemplos y análisis de la aplicación del método 9

Desarrollo practico de los problemas propuestos 19

Sinopsis 32

Observaciones 33

Conclusiones 34

Formulario concentrado 35

Notación 36

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Introducción

Definición de deflexión.

Deflexión: deformación que presenta un elemento estructural en dirección perpendicular

a su eje longitudinal .En análisis estructural se considera a las deflexiones, como la res-

puesta estructural a una acción de cargas aplicadas.

Limites en las deflexiones.

En la actualidad se tiene acero y concreto de alta resistencia, esta es una de las tantas ra-

zones de que a la hora de diseñar se permite tener miembros más esbeltos y estructuras

flexibles en los cuales son significativas las deflexiones. Además el cálculo de las deflexio-

nes también es importante para la estimación de las rigideces de elementos estructurales,

como en las losas.

En el cálculo de las deflexiones deben establecerse criterios sobre límites aceptables. La

limitación de las deflexiones es importante, desde dos puntos de vista. En primer lugar, las

deflexiones excesivas de un miembro pueden producir daños en otros miembros estructu-

rales o, con mayor frecuencia, en los elementos no estructurales, como muros divisorios,

o acarrear problemas, como acumulación de agua en azoteas. Los valores de las deflexio-

nes permisibles dependen de varios factores, tales como el tipo de elementos no estructu-

rales, tipo de conexión entre el miembro estructural con otros elementos, estructurales o

no, y claro, el método de construcción utilizado. En segundo lugar, la respuesta del usua-

rio ante las deflexiones de los miembros. Las deflexiones excesivas no son toleradas por

los usuarios de una estructura, porque produce una sensación de inseguridad, y por razo-

nes de estética.

Tales límites se establecen en las Normas Técnicas Complementarias Sobre Criterios y Ac-

ciones para el Diseño Estructural de las Edificaciones (NTC-SCAPDEE-04).

A continuación se habla de los desplazamientos verticales, que se presentan en las NYC-

SCAPDEE-04, en el capítulo 4 (ESTADOS LÍMITE DE SERVICIO), apartado 4.1 (desplazamien-

to). También se menciona lo que establecen las NTC-EC-04 6.3.3.5 sobre peralte mínimo

Desplazamientos

En las edificaciones comunes sujetas a acciones permanentes o variables, la revisión de

estado límite de desplazamientos se cumplirá si se verifica que no exceden lo siguiente:

Un desplazamiento vertical en el centro de vigas y losas en el que se incluyen los

efectos a largo plazo, igual al claro entre 240 más 5mm; además, en miembros en los cua-

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les sus desplazamientos afecten a elementos no estructurales, como muros de mampos-

tería, que no sean capaces de soportar desplazamientos apreciables, se considera como

estado limite a un desplazamiento vertical, medido después de colocar los elementos no

estructurales, igual al claro entre 480 más 3mm.

Peralte mínimo.

6.3.3.5 NTC-EC-04. Podrá omitirse el cálculo de deflexiones si el peralte efectivo no es me-

nor que el perímetro del tablero entre 250 para el concreto clase 1 y 170 para el concreto

clase 2. En este cálculo, la longitud de lados discontinuos se incrementará 50 por ciento si

los apoyos de la losa no son monolíticos con ella, y 25 por ciento cuando lo sean.

Calculo de las deflexiones

Se hace necesario también calcular las deflexiones de miembros estructurales bajo cargas

y condiciones ambientales conocidas, pero a la fecha solo se ha estudiado de manera de-

terminística, mientras que en la realidad el problema es de naturaleza probabilística, ya

que las deflexiones medidas en ensayes de vigas teóricamente iguales presentan una gran

dispersión, inclusive cuando se ensayan en el laboratorio. Por consiguiente, el cálculo de

deflexiones debería abracar no solo el valor medio esperado de las deflexiones de varias

vigas, sino también la determinación de la probabilidad de obtener una deflexión dada,

dentro de un cierto intervalo de valores; sean hecho pocos estudios de este tipo.

El problema de calcular las deflexiones de miembros estructurales reales es aún más difícil

que el de estimar las deflexiones de vigas ensayadas en laboratorios. Los siguientes son

algunos de los factores más importantes que lo complican. El comportamiento del concre-

to en función del tiempo y, por consiguiente, en cualquier enfoque riguroso debe tenerse

en cuenta la historia de la carga del miembro investigado. En la práctica, esto no es posi-

ble generalmente, ya que las condiciones de carga son muy variables, tanto en magnitud

como en el tiempo de aplicación. También son difíciles de predecir las variaciones de

humedad y temperatura con el tiempo, las cuales tienen influencia sobre deflexiones a

largo plazo. No es fácil calcular los efectos de interacción del miembro considerado con

otros elementos estructurales y no estructurales. La distribución aleatoria de las grietas a

lo largo del miembro producen variaciones en los momentos de inercia que deben consi-

derarse en el cálculo de las deflexiones. Aún más, no resulta práctico tomar en cuenta las

variaciones reales del momento de inercia debidas a cambios en la cantidad del acero de

una sección a otra.

Existe una gran diferencia en el cálculo de deflexiones entre vigas y losas, ya que para las

primeras existen más estudios y diversos métodos con los cuales se puede estimar la de-

flexión, los más conocidos son

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Método de trabajo real: Este método utiliza el principio de conservación de energ-

ía, que genera al trabajo externo, el cual debe ser igual al trabajo interno de de-

formación producto de los esfuerzos causados por las cargas.

Método de trabajo virtual: Este método es el más general y más usado en la prácti-

ca. Se puede aplicar a cualquier tipo de estructura, permite calcular las deflexiones

y rotaciones sin aumentar mucho la labor numérica, y también se puede obtener

con su aplicación las deformaciones causadas por efectos de cambios de tempera-

tura o defectos de la construcción. Se llama trabajo virtual porque se fundamenta,

en la aplicación a la estructura de una carga virtual, o sea, inexistente en realidad,

y en el cálculo desarrollado por esta carga virtual. Este método como el anterior

pertenecen a los llamados métodos energéticos, porque están basados en sus

principios.

Método de doble integración: Este método permite ver la ecuación de la curvatura

de la viga, la cual resulta del análisis de la ecuación diferencial de la línea elástica

de una viga a flexión pura. La primera integración de la ecuación da la pendiente

de la línea elástica en cualquier punto, la segunda integración se obtiene la ecua-

ción de la línea elástica misma.

Método área-momento: Este método también se conoce como teorema de Mohr,

este método establece que la rotación o cambio de pendiente entre dos secciones

cualesquiera de una viga elástica es igual al área del diagrama de momentos

flexionantes entre esas dos secciones dividida entre EI. También establece que la

distancia entre un punto de la curva elástica y tangente trazada por otro punto, es

igual al momento de primer orden del área del diagrama M/EI respecto al primer

punto.

Método de viga conjugada: Este método consiste en cambiar el problema de en-

contrar, las pendientes y deflexiones causadas en una viga por un sistema de car-

gas aplicadas, tiene la ventaja de que no necesita conoce r previamente un punto

tangente cero, por lo que se puede saber directamente la pendiente y deflexión en

cualquier punto de la línea elástica.

Todos los métodos anteriores son adecuados para el análisis de la deflexión en vigas, pero

el análisis en una losa es más difícil que el caso de vigas, debido a que las losas son ele-

mentos altamente hiperestáticos y hay que resolver ecuaciones demasiado complejas, ya

que se tienen ecuaciones de 4° orden, y estas ecuaciones no toman en cuenta factores

que afectan en el análisis.

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En la actualidad el tema de la deflexión en losas se ha estudiado poco, existen pocos

métodos para calcular estas deflexiones, el presente proyecto presenta uno de estos

métodos, llamado “Prediction of Deflection of Two-Way Floor Systems”, en el cual se es-

tablecen ecuaciones de compatibilidad y equilibrio, en donde con una serie de ecuaciones

empíricas y una sencilla sección geométrica se determina la deflexión δ en el centro del

claro de una losa con respecto a sus extremos. En este método la losa se divide en franjas,

una van de columna a columna, y otras, del centro del claro de una viga al centro del claro

de la viga opuesta. La deflexión en el centro de un panel se obtiene como la suma de los

valores- δ para las franjas de la columna y del centro del panel. Este método toma en

cuenta factores que afectan en la deflexión, como el modulo de elasticidad del concreto a

la hora de la carga, el coeficiente de flujo plástico, el coeficiente de contracción libre, y la

fuerza de tensión del concreto en flexión.

Desarrollo del método.

Resumen del método

Todo el método se resume en el seguimiento de 6 pasos sencillos, los cuales se mencionan

a continuación.

1. Decidir las franjas que se van a analizar usando el valor de los momentos conoci-

dos, asi como Ec(to)1 e Ig para calcular las curvaturas en tres secciones de cada fran-

ja por la Ec.102 Calcular la deflexión básica δbasica para cada franja con la Ec.1.

2. Para la sección en el centro del claro de cada franja, determine los coeficientes de

curvatura ks1, kφ1 y kcs1 para una sección no agrietada usando Ec.11, 12 y 19. Usar

kcs1 y Ec.18 para determinar la curvatura por contracción (Δψ)cs y sustituir el valor

en la Ec.22 o 23 para obtener la deflexión debida a la contracción δcs1. Para cada

franja, determine la deflexión en medio del claro con respecto a los extremos to-

mando en cuenta la presencia del acero y la contracción, pero agrietada, por la

Ec.26

3. Para el centro del claro de la franja con mayor As, calcular la tensión debida a la

contracción en la fibra inferior (Δσ)cs por la Ec.15. deducir el valor para fct para ob-

tener fct reducido después calcular el momento de agrietamiento. Una reducción adi-

cional en fct podrá adoptarse si la contracción produce esfuerzos de tensión axial,

cuando la losa es monolítica y con columnas rígidas. Sustituir fct reducido en Ec.13 pa-

ra determinar el momento de agrietamiento Mr.

1 Todos los símbolos se encuentran definidos en la hoja de “Notación”, pagina 36 y 37. 2 Todas las formulas se encuentran en la parte de “formulario concentrado”, pagina 35.

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4. Si el momento de flexión M en el centro de cada franja es menor a Mr, entonces no

ocurre el agrietamiento; y δ= δ1; la interpolación entre los estados no agrietado y

totalmente agrietado no es requerida y el paso 5 ya no es necesario.

5. Si en el centro del claro de una de las franja sucede que M>Mr, entonces se tienen

que calcular los coeficientes de curvatura ks2, kφ2 y kcs2 para aplicar Ec.11, 12 y 19.

Calcular (Δψ)cs por Ec.18 y sustituir en Ec.22 o 23 para obtener δcs2. determinar la

deflexión en el centro de la franja respecto a los extremos tomando en cuenta la

presencia de refuerzo, fluencia, contracción y asumiendo un agrietamiento total,

Ec.27. Interpolar el coeficiente ζ usando Ec.25. Interpolar entre los estados no

agrietado y totalmente agrietado usando la Ec.24. Estos δ-values son requeridos

para el paso final.

6. Sumar los δ-values para la columna y centro de las franjas obtenidos en la Ec.2 o 3

para obtener la deflexión en el tiempo t en el centro del panel.

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El siguiente es un diagrama de flujo que puede facilitar aún más el desarrollo y entendimiento del

método.

Comienzo

Datos: dimensiones de la sección y las franjas, As y A’s para las secciones en medio

del claro, M-valores, Es, Ec(to), fct, φ, χ, Ecs, β1 y β2.

δbasic por EQS.10 y 1

Ks1, kФ1 y kcs1 para la sección en el centro del claro por:

EQS. 11,12 y 19. -δ1 por la EQ.26

Reducir fct para deducir (Δσ)cs en medio de la sección

EQ.15. reducir fct aun más si la tensión axial es posible.

Calcula Mr por EQ.13 usando fct reducido.

¿Agrietado?

Mr≤M

δ= δ1

Para franjas agrietadas determine:

Ks2, kФ2 y kcs2 para la sección en el

centro del claro por: EQS. 11,12 y

19. Y δ2 por la EQ.27

Determine ζ por EQ.25 y δ por la EQ.24

Deflexión total por la ecuación 2 o 3.

Terminado

NO SI

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PRESENTACIÓN DE EJEMPLOS Y ANALISIS DE LA APLICACIÓN DEL METODO:

“Prediction of Deflection of Two-Way Floor Systems”.

Con este método se analizarán 10 casos, en los que se fue variando las dimensiones de la

losa, las dimensiones de la viga, el grueso de la losa, la carga viva. Para los casos en los que

la losa se agrieta se cambio, además de los datos anteriores, el modulo de elasticidad, f’c y

el tipo de concreto.

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Ejemplo 1. Se tiene una losa con dimensiones de 5m X 4m,con un grueso de losa 12 cm, se

considera una carga viva de W= 400kg/m2,impermeabilizante= 40 kg/m2, peso propio=

288 kg/m2, firme= 100 kg/m2,f’c= 250kg/cm2 y fy= 4200kg/cm2, considerar un colado mo-

nolítico con concreto clase 1, y que esta soportado por muros de mampostería, Se revisa si

el peralte cumple con el peralte mínimo establecido en parte 6.3.3.5 NTC-EC04 y con la

deflexión permisible. Se tiene la siguiente tabla de comparación:

Peralte mínimo (cm) 6.3.3.5 NTC-EC04. Peralte efectivo de la losa (cm)

Condición

10cm Cumple

Deflexión permisible NTC-SCAPDEE Deflexión por método

Ó

1.156cm Cumple

Solo analizamos el resultado referente a la deflexión permisible por el reglamento de

construcciones del Distrito federal, con la que se obtuvo con el método ““Prediction of

Deflection of Two-Way Floor Systems”, teniendo como resultado que la losa cumple con el

requisito de deflexión, por tanto son correctos los cálculos de los valores para el diseño de

esta losa, tomando en cuenta que estamos en el primer caso que presenta el reglamento

referente a la deflexión.

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Ejemplo 2. Para el segundo ejemplo se redujo solamente el grueso de la losa, dejando

como datos los del ejemplo1. Entonces se tiene una losa con dimensiones de 5m X 4m,con

un grueso de losa 10 cm, se considera una carga viva de W= 400kg/m2,impermeabilizante=

40 kg/m2, peso propio= 288 kg/m2, firme= 100 kg/m2,f’c= 250kg/cm2 y fy= 4200kg/cm2,

considerar un colado monolítico con concreto clase 1, y que esta soportado por muros de

mampostería, Se revisa si el peralte cumple con el peralte mínimo establecido en parte

6.3.3.5 NTC-EC04 y con la deflexión permisible. Se tiene la siguiente tabla de comparación:


Condición

8cm No cumple

Deflexión permisible NTC-SCAPDEE. Deflexión por método

Ó

1.423cm Cumple

Con la reducción del grueso de la losa, y dejando los datos los datos restantes que se tie-

nen en ejemplo 1, la deflexión en la losa solo se incrementa 0.267cm, con tal incremento

se sigue cumpliendo con la deflexión permisible establecida en las NTC-SCAPDEE, por tan-

to si se quisiera economizar en el diseño de la losa, pues sería una buena solución reducir

el grueso, para este caso particular, ya que el valor que arroja en método en cuanto a la

deflexión es permisible teniendo aún como tolerancia 1cm aproximadamente. Lo anterior

es válido solo si no se afectan a elementos no estructurales para nuestro caso en el centro

de la losa, porque si no es así entonces no se cumple con la deflexión; pero aquí entra en

cuenta el criterio del ingeniero, ya que analizando el resultado es muy poco con lo que no

se cumple y si se toma en cuenta que se tienen factores de seguridad a la hora de diseñar,

podría entonces optarse por llevar a cabo el diseño.

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Ejemplo 3. Para este ejemplo se toma como dimensiones 6m X 5m, para la losa, además

se tienen una carga viva de W= 400kg/m2, impermeabilizante= 40 kg/m2, peso propio=


nolítico con concreto clase 1, y que esta soportado por muros de mampostería. También

se propuso una viga perimetral de diferentes dimensiones que la del problema 1 y 2, tales

dimensiones se especifican en la hoja de cálculo correspondiente al ejemplo. Se revisa si el

peralte cumple con el peralte mínimo establecido en parte 6.3.3.5 NTC-EC04 y con la de-

flexión permisible. Se tiene la siguiente tabla de comparación:


Condición

10cm Cumple


Ó

1.68cm Cumple

Para el ejemplo 3 se cambian las dimensiones referentes a la losa y se propone de igual

manera dimensiones distintas para la viga, por lo que cambia el valor del peralte mínimo

(Peralte mínimo 6.3.3.5 NTC-EC04.) pero se tiene un grueso de losa que es igual al valor

que se establece, y aún con esto se tiene una deflexión correcta comparándola con el va-

lor de deflexión permisible (NTC-SCAPDEE.)

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Ejemplo 4. En este ejemplo solo modificaremos el grueso de losa a 14cm, quedando una

losa de 6m X 5m, además se tienen una carga viva de W= 400kg/m2, impermeabilizante=

40 kg/m2, peso propio= 288 kg/m2, firme= 100 kg/m2,f’c= 250kg/cm2 y fy= 4200kg/cm2,

considerar un colado monolítico con concreto clase 1, y que esta soportado por muros de

mampostería. También se propuso una viga perimetral de diferentes dimensiones que la

del problema 1 y 2, tales dimensiones se especifican en la hoja de cálculo correspondiente

al ejemplo. Se revisa si el peralte cumple con el peralte mínimo establecido en parte

6.3.3.5 NTC-EC04 y con la deflexión permisible. Se tiene la siguiente tabla de comparación:


Condición

12cm Cumple


Ó

1.41cm Cumple

En el cual se aumenta el espesor de la losa se aprecia que la deflexión se reduce en 2mm

aproximadamente, por lo que no es una reducción considerable, si se piensa que el costo

por el volumen de concreto que utiliza en el aumento del espesor si es bastante, por tanto

si se desea reducir la deflexión habría que proponer otra solución más económica y efi-

ciente.

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Ejemplo 5. Para este ejemplo trabajaremos con los mismos datos del ejemplo 1, solo que

ahora cambiaremos la carga viva por la que establece n las NTC-SCPADEE de W=

250kg/m2, además, impermeabilizante= 40 kg/m2, peso propio= 288 kg/m2, firme= 100

kg/m2,f’c= 250kg/cm2 y fy= 4200kg/cm2, considerar un colado monolítico con concreto

clase 1, y que esta soportado por muros de mampostería. También se propuso una viga

perimetral de dimensiones iguales a las del problema 1, tales dimensiones se especifican

en la hoja de cálculo correspondiente al ejemplo. Se revisa si el peralte cumple con el pe-

ralte mínimo establecido en parte 6.3.3.5 NTC-EC-04 y con la deflexión permisible. Se tie-

ne la siguiente tabla de comparación:


Condición

10cm Cumple


Ó

0.938cm Cumple

En este ejemplo se utiliza la carga viva que consideran las NTC-SCAPDEE, en lo que refiere

a la deflexión que se obtuvo con el método “Prediction of Deflection of Two-Way Floor

Systems” y comparada con la deflexión permisible (NTC-SCAPDEE) se tiene un resultado

bueno, ya que con los resultados obtenidos en el ejemplo 1 sobre el diseño de la losa, se

tiene una reducción de 2.2m en la deflexión.

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Ejemplo 6. Este ejemplo es muy similar al ejemplo 2, solo se modifica la carga viva siendo

esta wv=250kg/m2 la que consideran las NTC-SCAPDEE, impermeabilizante= 40 kg/m2, pe-

so propio= 288 kg/m2, firme= 100 kg/m2,f’c= 250kg/cm2 y fy= 4200kg/cm2, considerar un

colado monolítico con concreto clase 1, y que esta soportado por muros de mampostería.

También se propuso una viga perimetral de dimensiones iguales a las del problema 1,

tales dimensiones se especifican en la hoja de cálculo correspondiente al ejemplo. Se revi-

sa si el peralte cumple con el peralte mínimo establecido en parte 6.3.3.5 NTC-EC-04 y con

la deflexión permisible. Se tiene la siguiente tabla de comparación:


Condición

8cm No cumple


Ó

1.309cm Cumple

Una vez más estamos en el caso que no se cumple con lo que es el peralte mínimo que

establecen las NTC-EC-04 en la parte 6.3.3.5, de nuevo se toma el criterio que se tiene

como ingeniero, así como la experiencia para aceptar el diseño, ya que aunque no cumple

con el anterior, en lo que se refiere a le deflexión permisible se tiene para esta una tole-

rancia grande comparada con la que considera en las NTC-SCAPDEE, por lo cual, podría ser

un buen diseño.

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Ejemplo 7. Este ejemplo es similar al ejemplo 3, solo se modifica la carga viva la cual tiene

un valor de wv=250kg/m2, una losa con dimensiones de 5m X 6m, grueso de losa 12cm,

impermeabilizante= 40 kg/m2, peso propio= 288 kg/m2, firme= 100 kg/m2,f’c= 250kg/cm2

y fy= 4200kg/cm2, considerar un colado monolítico con concreto clase 1, y que esta sopor-

tado por muros de mampostería. También se propuso una viga perimetral similar a la del

problema 3, las dimensiones se especifican en la hoja de cálculo correspondiente al

ejemplo. Se revisa si el peralte cumple con el peralte mínimo establecido en parte 6.3.3.5

NTC-EC04 y con la deflexión permisible. Se tiene la siguiente tabla de comparación:


Condición

10cm Cumple


Ó

1.523cm Cumple

En el ejemplo solo se modifico la carga viva que se estaba utilizando en el ejemplo 3, el

resultado es que la deflexión se reduce en 1.57mm por lo que no es apreciable, por tanto

si se desea reducir más los resultados en la deflexión habría que considerar otra solución.

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Ejemplo 8. Es una combinación entre los datos del ejemplo4 y el ejemplo7, del ejemplo

cuatro se tiene el mismo grueso de losa 14cm, y del ejemplo 8 se tiene la misma carga viva

wv= 250 kg/m2,los demás datos son iguales para los 3 ejemplo, losa de5m X 6m, imper-

meabilizante= 40 kg/m2, peso propio= 288 kg/m2, firme= 100 kg/m2,f’c= 250kg/cm2 y fy=

4200kg/cm2, considerar un colado monolítico con concreto clase 1, y que esta soportado

por muros de mampostería. También se propuso una viga perimetral similar a la del pro-

blema anterior, las dimensiones se especifican en la hoja de cálculo correspondiente al

ejemplo. Se revisa si el peralte cumple con el peralte mínimo establecido en parte 6.3.3.5

NTC-EC04 y con la deflexión permisible. Se tiene la siguiente tabla de comparación:


Condición

12cm Cumple


Ó

1.28cm Cumple

El problema cumple con una buena tolerancia la deflexión permisible, por lo tanto la com-

paración es entre los problemas de datos similares (ejemplo 4 y 7), entre el ejemplo 4 y 8

la diferencia en la deflexión es de 1.3mm siendo menor la del ejemplo 8, entre el ejem-

plo7 y 8 hay una diferencia de 2.4mm siendo menor la del ejemplo 8, por lo anterior podr-

ía decirse que es mejor aumentar el espesor de la losa si lo que se quiere es tener una

menor deflexión.

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En ninguno de los casos anteriores se agrieto la losa por lo cual se proponen datos de ma-

nera que la losa se agriete para tener un problema dentro de los ejemplos, en el cual se

hallan seguido todos recomendaciones hechas por el método, “Prediction of Deflection of

Two-Way Floor Systems”, para cuando se tiene agrietamiento en la losa.

Problema 2a. Para este problema se tiene una losa de 5.5m x 5.5m, grueso de losa10cm,

se considera una carga viva de W= 400kg/m2,impermeabilizante= 40 kg/m2, peso propio=


nolítico con concreto clase 2, y esta soportado por muros de mampostería, Se revisa si el

peralte cumple con el peralte mínimo establecido en parte 6.3.3.5 NTC-EC04 y con la de-

flexión permisible. Se tiene la siguiente tabla de comparación:


Condición

10cm Cumple


Ó

5.5cm No Cumple

Este ejemplo no se cumple con la deflexión permisible, pero solo es ilustrativo para lograr

que la losa se agriete, para ello se cambiaron las dimensiones de la losa, f’c y el tipo de

concreto, todo ello esta ejemplificado en la hoja de cálculo correspondiente al ejemplo 2a.

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DESRROLLO PRÁCTICO DE LOS PROBLEMAS PROPUESTOS.

Para mayor claridad y entendimiento del método, a continuación se presentan dos casos resueltos de ma-

nera completa. Los cuales se realizaron en una hoja de cálculo (Excel), en el primer caso no se producen agrie-

tamientos por lo que se omiten algunos pasos. En el segundo caso se presenta agrietamiento en la losa, se tiene en-

tonces que seguir todos los pasos que propone el método.

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Imagen y tabla del ejemplo 1 en donde no se presenta agrietamiento. Datos, dimensiones y tipo de sección

que se obtienen para la aplicación del método.

Dimensiones y datos para un caso en el que no se produce agrietamiento.

25cm

A 5m D

F

R

A

N

J F R A N J A 4 m

A 2 100cm

1

B C

400 kg/m²

2647 Kg/m

1200 Kg/m

480 Kg/m

W Total p/ viga 4999 Kg/m

250 kg/cm²

200 kg/cm²

170 kg/cm²

4200 kg/cm²

4 mts.

5 mts.

12 cm

10 cm

221359.4 kg/cm²

73786.5

2.5

0.8

-0.0003

31.6 kg/cm²

2040000 kg/cm²

Resistencia (fc")

Calculos y datos de las NTC

Ec(t0) =

Resistencia (fc*)

Contracción εcs=

Fza. tensión concreto fct=

Modulo de elasticidad Es =

Ēc (ajustado por la edad) =

cte. flujo plástico φ =

cte. de envejecimiento x=

Grueso de la losa =

Peralte efectivo =

DATOS DEL PROBLEMA.

Carga viva (Wv)

Resistencia (fc')

Fluenia del acero (fy)

Lado corto a1

Lado largo a2

Cemento tipo I

Carga de bajada

Peso de muro

peso propio de viga

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Tablas de cálculos de los momentos de inercia, momentos actuantes y dimensiones de las franjas a analizar.

longitud (L) 4 m

M1 -7271 kg-m b = 25 cm

M2 4999 kg-m d = 45 cm

M3 -7271 kg-m h = 50 cm

ρ = 0.006439 n = 9.2

As = 7.24 cm² ŋ1 = 27.6

be = 125 cm

yb1 = 24.0 cm yb2 = 22.2 cm

yc1 = 1.0 cm yc2 = 2.8 cm

Ac = 1243 cm² Δy = 1.7 cm

Ig = 260417 cm⁴ ^

n = 9.2 Δ

ŋ1 = 28

I = 261634 cm⁴

Ī = 269398 cm⁴

Yc = 22.2 cm

Ac = 1243 cm²

Δy = 1.7 cm

Ic = 269952 cm⁴

Momentos de inercia.

FRANJA 1

longitud (L) 5 m

M1 -52197 kg-cm b = 100 cm

M2 18547 kg-cm d = 10 cm

M3 -29411 kg-cm h = 12 cm

ρ = 0.006439 n = 9.2

As = 7.24 cm² ŋ1 = 27.6

be = 125 cm

yb1 = 5.8 cm yb2 = 5.4 cm

yc1 = 0.2 cm yc2 = 0.6 cm

Ac = 1193 cm² Δy = 0.4 cm

Ig = 14400 cm⁴ ^

n = 9.2

ŋ1 = 28

I = 14573 cm⁴

Ī = 15079 cm⁴

Yc = 1.4 cm

Ac = 290 cm²

Δy = 4 cm

Ic = 14793 cm⁴

En los extremos

FRANJA 2

22

Una vez determinados los momentos actuantes, la cantidad de acero en la sección, y teniendo la propiedades del concreto y del acero, se calcula el momento de inercia de la sección gruesa Ig sin considerar el acero. Con este resultado se puede ahora aplicar la ecuación Ec.10 y obtener las curvaturas ψ, tanto en los extremos como en el centro del panel. En la siguiente tabla se muestran las curvaturas y las deflexiones instantáneas. Después es necesario hacer el cálculo de δbasic la cual se puede calcular usando la Ec.1

-1.26E-05

8.67E-06 δCD= 1.02E-01 cm

-1.26E-05

-1.64E-05

5.82E-06 δAB= 8.49E-02 cm

-9.23E-06

ψ1 =

ψ2 =

ψ3 =

Paso 1

Franja 1

ψ1 =

ψ2 =

Franja 2

ψ3 =

Factores (K) en el centro del claro

Ks1 = 0.9953 Kφ1 = 0.988929 Kcs1 = 4.616378

cmˉ¹

cm

Deflexion debida a la contracción


Ks1 = 0.9881 Kφ1 = 1.025046 Kcs1 = 0.110028

cmˉ¹

cm


FRANJA 2

Paso 2

FRANJA 1

(Δψ)cs = 3.07759E-05

δcs = 0.430861987

(Δψ)cs = 3.30085E-06

δcs = 0.072206107

Franja 1 δ1 = 0.785073 cm

Franja 2 δ1 = 0.370926 cm

Deflexion total= 1.155998 cm

23

Ahora para poder continuar con los cálculos es necesario calcular primero los coeficientes k. Para ello haremos uso de los esquemas presentados y con ayuda de ellos poder determinar yc, I, donde la primera es la coordena-da del nuevo eje neutro y el segundo es el momento de inercia respecto al último eje calculado. Con este valor podremos obtener el primer valor de los valores k, que es ks1, este también se puede calcular con la Ec.11. Continuando con los cálculos se necesita obtener la sección transformada ajustada por la edad, para lo cual es necesario obtener el modulo de elasticidad ajustado por la edad con la Ec.7. Ahora se debe de calcular el nuevo

eje neutro y determinar los momentos de inercia Ī, Ic, yc, Ac, y con los resultados aplicar las Ec.12 y 19, para poder obtener los valores de kφ y kcs. Aplicando las Ec.18 y 23 obtenemos, respectivamente, el incremento de curvatura estáticamente determinada producida por la contracción y la deflexión producida por este incremen-to de curvatura en una viga continua. Con la Ec.26 calcularemos la δ1 para cada una de las franjas, y la deflexión total en el centro de la losa será la suma de cada δ1 obtenidos en las franjas.

24

Para continuar con los cálculos ocupamos la sección representativa de cada franja. El módulo de elasticidad ajustado

por la edad para estas secciones se calcula con la Ec.7 y sus demás propiedades son las que aparecen en la tabla.

Calculamos la tensión en la fibra inferior debida a la contracción con la Ec.15

Ahora es importante calcular el momento que produce el agrietamiento, para lo cual se hace uso del último resulta-

do y se aplica la Ec.13, este momento se compara únicamente con el momento del centro del claro, M2, de cada

franja, para saber si la sección se agrieta o no, y saber si se tiene que continuar con los pasos restantes.

Franja 1 Franja 2

Ēc = 73786.5 kg/cm² Ēc = 73786.5 kg/cm²

Ac = 1245.7 cm² Ac = 1195.7 cm²

Ā = 1363.5 cm² Ā = 1313.5 cm²

yc = 22.2 cm yc = 5.4 cm

(Δσ)cs = kg/cm² (Δσ)cs = kg/cm²

fct reducido = kg/cm² fct reducido = kg/cm²

Mr = 216547.3 kg-cm/cm Mr = 67958.2296 kg-cm/cm

52

Tensión en la fibra inferior debida a la contracción Tensión en la fibra inferior debida a la contracción

3

28

Momento de flexión que produce agrietamiento

Paso 3

21

Momento de flexión que produce agrietamiento

M = 4999 < Mr = 216547

No hay agrietamiento

M = 18547 < Mr = 67958


Paso 4

Franja 1

Franja 2

25

El paso 5 y 6 no se hace necesario si la losa no se agrieta.

Franja 1

Franja 1

Ks2 = 0 Kφ2 = 0 Kcs2 = 0

(Δψ)cs = 0.00 cmˉ¹

δcs2 = 0.000 cm

δ2 = 0.00 cm

Interpolando los coeficientes:

β1 = 1 ó 0.5 = 0.00 "Elige un valor para β1"


ζ = 1.00

La deflexión en el centro de la Franja 1 con respecto de

sus extremos es:

δAB = 0.00 cm

Franja 2

Franja 2

Ks2 = 0 Kφ2 = 0 Kcs2 = 0

(Δψ)cs = 0.00 cmˉ¹

δcs2 = 0.000 cm

δ2 = 0.00 cm




ζ = 1.00


sus extremos es:

δAB = 0.00 cm

No se ocupa adecuar por agrietamiento

de la franaja 1 es

Asumiendo agrietamiento completo, la deflexión en el centro


de la franaja 2 es


Paso 5

26

En el siguiente caso se analiza una losa en la cual se produce agrietamiento. A continuación se muestra una tabla e ima-

gen de datos y dimensiones, y situación en la que se agrietaría la losa.

25cm

A 5.5m D

F

R

A

N

J F R A N J A 5.5 m 100cm

A 2

1

B C

400 kg/m²

2647 Kg/m

1200 Kg/m

480 Kg/m

W Total p/ viga 4999 Kg/m

200 kg/cm²

160 kg/cm²

136 kg/cm²

4200 kg/cm²

5.5 mts.

5.5 mts.

10 cm

8 cm

170208.2 kg/cm²

56736.1

2.5

0.8

-0.0003

31.6 kg/cm²

2040000 kg/cm²

Resistencia (fc')

Resistencia (fc*)

Resistencia (fc")

Fluenia del acero (fy)

Lado corto a1

Lado largo a2

DATOS DEL PROBLEMA.

Cemento tipo I

Carga viva (Wv)

Carga de bajada

Peso de muro

peso propio de viga

cte. de envejecimiento x=

Contracción εcs=

Fza. tensión concreto fct=

Modulo de elasticidad Es =

Calculos y datos de las NTC

Grueso de la losa =

Peralte efectivo =

Ec(t0) =

Ēc (ajustado por la edad) =

cte. flujo plástico φ =

27

Tablas de cálculos de los momentos de inercia, momentos actuantes y dimensiones de las franjas a analizar.

longitud (L) 4 m

M1 -7271 kg-m b = 25 cm

M2 4999 kg-m d = 45 cm

M3 -7271 kg-m h = 50 cm

ρ = 0.006439 n = 12.0

As = 7.20 cm² ŋ1 = 36.0

be = 125 cm

yb1 = 23.7 cm yb2 = 21.6 cm

yc1 = 1.3 cm yc2 = 3.4 cm

Ac = 1243 cm² Δy = 2.1 cm

Ig = 260417 cm⁴ ^

n = 12.0 Δ

ŋ1 = 36

I = 262390 cm⁴

Ī = 274247 cm⁴

Yc = 21.6 cm

Ac = 1243 cm²

Δy = 2.1 cm

Ic = 275135 cm⁴

FRANJA 1

Momentos de inercia.

longitud (L) 5 m

M1 -98685 kg-cm b = 100 cm

M2 49084 kg-cm d = 8 cm

M3 -55604 kg-cm h = 10 cm

ρ = 0.006439 n = 12.0

As = 7.24 cm² ŋ1 = 36.0

be = 125 cm

yb1 = 4.8 cm yb2 = 4.4 cm

yc1 = 0.2 cm yc2 = 0.6 cm

Ac = 993 cm² Δy = 0.4 cm

Ig = 8333 cm⁴ ^

n = 12.0

ŋ1 = 36

I = 8457 cm⁴

Ī = 8816 cm⁴

Yc = 1.4 cm

Ac = 290 cm²

Δy = 4 cm

Ic = 8717 cm⁴

FRANJA 2

En los extremos

28

Una vez determinados los momentos actuantes, la cantidad de acero en la sección, y teniendo la propiedades del con-

creto y del acero, se calcula el momento de inercia de la sección gruesa Ig sin considerar el acero. Con este resultado se

puede ahora aplicar la ecuación Ec.10 y obtener las curvaturas ψ, tanto en los extremos como en el centro del panel. En

la siguiente tabla se muestran las curvaturas y las deflexiones instantáneas. Después es necesario hacer el cálculo de

δbasic la cual se puede calcular usando la Ec.1.

-1.64E-05

1.13E-05 δCD= 1.33E-01 cm

-1.64E-05

-6.96E-05

3.46E-05 δAB= 6.18E-01 cm

-3.92E-05

ψ1 =

ψ2 =

ψ3 =

Franja 2

ψ1 =

ψ2 =

Paso 1

Franja 1

ψ3 =


Ks1 = 0.9925 Kφ1 = 0.982846 Kcs1 = 4.398382

cmˉ¹

cm



Ks1 = 0.9854 Kφ1 = 1.0703 Kcs1 = 0.163061

cmˉ¹

cm


δcs = 0.410515634

FRANJA 2

(Δψ)cs = 6.11479E-06

Paso 2

FRANJA 1

(Δψ)cs = 2.93225E-05

δcs = 0.133761071

Franja 1 δ1 = 0.867835 cm

Franja 2 δ1 = 2.37186 cm

Deflexion total= 3.239695 cm

29

Ahora para poder continuar con los cálculos es necesario calcular primero los coeficientes k. Para ello haremos uso de los esquemas presentados y con ayuda de ellos poder determinar yc, I, donde la primera es la coordenada del nuevo eje neutro y el segundo es el momento de inercia respecto al último eje calculado. Con este valor podremos obtener el pri-mer valor de los valores k, que es ks1, este también se puede calcular con la Ec.11.

Continuando con los cálculos se necesita obtener la sección transformada ajustada por la edad, para lo cual es necesario obtener el modulo de elasticidad ajustado por la edad con la Ec.7. Ahora se debe de calcular el nuevo eje neutro y de-

terminar los momentos de inercia Ī, Ic, yc, Ac, y con los resultados aplicar las Ec.12 y 19, para poder obtener los valores de kφ y kcs. Aplicando las Ec.18 y 23 obtenemos, respectivamente, el incremento de curvatura estáticamente determina-da producida por la contracción y la deflexión producida por este incremento de curvatura en una viga continua. Con la Ec.26 calcularemos la δ1 para cada una de las franjas, y la deflexión total en el centro de la losa será la suma de

cada δ1 obtenidos en las franjas.

30

Para continuar con los cálculos ocupamos la sección representativa de cada franja. El módulo de elasticidad ajustado por

la edad para estas secciones se calcula con la Ec.7 y sus demás propiedades son las que aparecen en la tabla.

Calculamos la tensión en la fibra inferior debida a la contracción con la Ec.15

Ahora es importante calcular el momento que produce el agrietamiento, para lo cual se hace uso del último resultado y

se aplica la Ec.13, este momento se compara únicamente con el momento del centro del claro, M2, de cada franja, para

saber si la sección se agrieta o no, y saber si se tiene que continuar con los pasos restantes.

Franja 1 Franja 2

Ēc = 56736.1 kg/cm² Ēc = 56736.1 kg/cm²

Ac = 1245.7 cm² Ac = 995.7 cm²

Ā = 1398.9 cm² Ā = 1148.9 cm²

yc = 21.6 cm yc = 4.4 cm

(Δσ)cs = kg/cm² (Δσ)cs = kg/cm²

fct reducido = kg/cm² fct reducido = kg/cm²

Mr = 63784.5323 kg-cm/cm Mr = 46389.8338 kg-cm/cm

Paso 3

Tensión en la fibra inferior debida a la contracción Tensión en la fibra inferior debida a la contracción

38 4

6 28

Momento de flexión que produce agrietamiento Momento de flexión que produce agrietamiento

M = 4999 < Mr = 63785


M = 49084 > Mr = 46390

Si hay agrietamiento

Paso 4

Franja 1

Franja 2

31

Paso 5. Cálculo de los nuevos coeficientes k, tabla demostrativa para cuando se produce el agrietamiento con las ECS.11,

12 y 19, solo que considerando la zona de concreto en compresión. A continuación por medio de las Ec.24 y 25 obtene-

mos la interpolación que se menciona para ajustar la deflexión usando la Ec.27. Para el paso 6, que es la deflexión a largo

plazo en el centro de la losa se requiere hacer uso de la Ec.2.

En este caso en el cual se produce agrietamiento la deflexión es mucho mayor que en el caso donde no se genera agrie-

tamiento.

Franja 1

Ks2 = 0 Kφ2 = 0 Kcs2 = 0

(Δψ)cs = 0.00 cmˉ¹

δcs2 = 0.000 cm

δ2 = 0.00 cm




ζ = 1.00


sus extremos es:

δAB = 0.00 cm

Franja 2

Ks2 = 6.99 Kφ2 = 0.17 Kcs2 = 0.85

(Δψ)cs = 3.19E-05 cmˉ¹

δcs2 = 0.498 cm

δ2 = 6.65 cm




ζ = 0.53


sus extremos es:

δEF = 4.63 cm



de la franaja 1 es

Los coeficientes de la Franja 1 son:


de la franaja 2 es

Paso 5

Franja 2

Franja 1

LA DEFLEXION REAL EN EL CENTRO DEL CLARO (D) = 5.50

32

Sinopsis. Se presenta una tabla con un resumen de los resultados obtenidos en el cálculo de las deflexiones y el peralte efectivo obtenido de los 10

ejemplos resueltos, y se compara con los valores que establecen las NTC-SCAPDEE-04, para el peralte mínimo y la deflexión permisible.

Numero de W viva Espesor Peralte Resultado

ejemplo (kg/m2) a1(cm) a2(cm) de losa 0.5+(l/240) 0.3+(l/480)* efectivo Deflexión

1 400 400 500 12 2.17 1.13 10 1.56 Cumple

2 400 400 500 10 2.17 1.13 8 1.42 Cumple

2a 400 550 550 17 2.79 1.45 15 1.34 Cumple

3 400 500 600 12 2.58 1.34 10 1.68 Cumple

4 400 500 600 14 2.58 1.34 12 1.41 Cumple

5 250 400 500 12 2.17 1.13 10 0.93 Cumple

6 250 400 500 10 2.17 1.13 8 1.31 Cumple

7 250 500 600 12 2.58 1.34 10 1.52 Cumple

8 250 500 600 14 2.58 1.34 12 1.28 Cumple

8a 800 500 600 17 2.58 1.34 15 1.61 Cumple

8.1

9.9

9.9

Sinopsis de resultados

Analisis

8.1

8.1

14.6

9.9

9.9

8.1

Deflexión permisible NTC-EC-04Peralte minimo NTC-SCAPDEE

Depende de la clase de concreto

Dimensiones de losa

14.6

33

Observaciones y recomendaciones.

Para si dicha deflexión es pequeña o grande se hizo una comparación, con las deflexiones permisibles especificadas en

las Normas Técnicas Complementarias Sobre Criterios y Acciones para el Diseño Estructural de las Edificaciones (NTC-

SCAPDEE) 20043. Cabe aclarar que en las Normas, sólo se especifican deformaciones verticales para trabes, y no para

losas. En este trabajo se consideró que dichos valores pueden aplicarse también a losas, pues el efecto de las deflexiones

es similar, no igual, en ambos tipos de elementos estructurales.

Se debe tener en cuenta que para la conclusión solo se está tomando en cuenta la deflexión, ya que el objetivo

que se perseguía era mostrar un método sencillo para el cálculo de las deflexiones y comparar los resultados

con los que presenta (NTC-SCAPDEE-2004 ) para calibrarlas. Pero se debe de cumplir con más requerimientos,

estos están establecidos en las mismas.

El método que se utilizo en el desarrollo del proyecto toma en cuenta varios factores que afectan en la de-

flexión de una losa, pero no contempla todos. Hay algunos otros factores que afectan también a la deflexión y

que debe tener presente el lector, como son:

Vibración de los pisos. Es esencialmente, cuestión de rigidez y del periodo de vibración en la cubierta.

El uso de limites d deflexión estática generalmente recomendados asegura una razonable ausencia de

vibración.

Transferencia de soporte al muro cortina y muros divisorios. Las deformaciones causadas por cargas

vivas gravitacionales y viento se deben considerar en el diseño de las juntas entre la estructura y los

muros no estructurales. Se deben usar empaques flexibles, conexiones deslizables, etc., para permitir

movimientos causados por estas cargas, así como a las debidas a la expansión y contracción térmicas.

Método de construcción. El método de construcción regularmente no se toma en cuenta en las de-

flexiones permisibles, y es importante ya que pueden tenerse cargas que generen esfuerzos que no son

tomados en cuenta en el cálculo de la deflexión.

Forma de descimbrar. Este punto en muy importante en las deflexiones, ya que si no se descimbra de

manera correcta se pueden generar sobre esfuerzos de tensión lo que propicia la generación de grie-

tas, y si existen habrá una mayor deflexión en la losa.

3 Explicación en la introducción, pagina 2, “Estados limite”.

34

Conclusiones.

La recomendación de peralte mínimo de las NTC es adecuada para cuando no existen elementos no estructu-

rales, y es demasiado rigurosa para cuando hay elementos no estructurales.

Una posible solución al problema en flexibilizar el valor referente al peralte mínimo que establecen las NTC

para concreto clase 1 y clase 2, a continuación se presenta una propuesta modificada del peralte mínimo (NTC-

EC-04-6.3.3.5):

Podrá omitirse el cálculo de las deflexiones si el peralte efectivo no es menor que el perímetro del ta-

blero entre 270 para concreto clase 1 y 200 para concreto clase 2. En este caso la longitud de lados dis-

continuos se incrementará 50 por ciento si los apoyos de la losa no son monolíticos con ella, y 25 por

ciento cuando lo sean en losas alargadas no es necesario tomar un valor que el que corresponde a un

tablero con a2=2a1.

Con los valores propuestos se tiene la siguiente tabla de resultados para análisis de las deflexiones y peralte

mínimo.

Con la modificación hecha del peralte mínimo, se tiene que para el caso en el que no hay elementos no estruc-

turales sigue cumpliendo en todos los ejemplos resueltos, pero para el caso en el que se afectan elementos no

estructurales no cumple en ninguno de los casos. Por tanto no se recomienda hacer modificaciones a los valo-

res que establecen las NTC-EC-04-6.3.3.5 referente al peralte mínimo.

Debe tener presente, que en este trabajo sólo se ha analizado el problema de las deflexiones verticales, y que

las losas cumplen con otras funciones, como la de servir de diafragmas rígidos, que también se deben de to-

mar en cuenta al establecer peraltes mínimos. Además en losas muy delgadas se tiene que tener en cuenta

otros factores que afectan, algunos ya mencionados4, como son los problemas de vibraciones y de transmi-

sión de sonido.

4 Observaciones, pagina 33.

Numero de W viva Espesor Peralte Resultado

ejemplo (kg/m2) a1(cm) a2(cm) de losa 0.5+(l/240) 0.3+(l/480)* efectivo Deflexión

1 400 400 500 10 2.17 1.13 8 1.7 Cumple

2 400 400 500 10 2.17 1.13 8 1.7 Cumple

2a 400 550 550 14.5 2.79 1.45 12.5 1.71 Cumple

3 400 500 600 11 2.58 1.34 9 2 Cumple

4 400 500 600 11 2.58 1.34 9 2 Cumple

5 250 400 500 9.5 2.17 1.13 7.5 1.3 Cumple

6 250 400 500 9.5 2.17 1.13 7.5 1.3 Cumple

7 250 500 600 11 2.58 1.34 9 1.8 Cumple

8 250 500 600 11 2.58 1.34 9 1.8 Cumple

8a 800 500 600 14.5 2.58 1.34 12.5 2.11 Cumple

Sinopsis de resultados con el peralte modificadoDimensiones de losa Peralte minimo NTC-SCAPDEE Deflexión permisible NTC-EC-04

AnalisisValores propuestos para cada concreto

7.4

7.4

12.4

9.0

9.0

7.4

7.4

9.0

9.0

12.4

35

FORMULARIO CONCENTRADO.

36

NOTACIÓN.

Ac, As, A’s = sección-cruz áreas de concreto y capas de acero

A,I = sección cruz área y momento de inercia alrededor del eje centroidal del área

transformada compuesta de el área efectiva de concreto más el área de acero en

tiempo n

A,I = igual que A e I pero para una sección transformada-ajustada por la edad com-

puesta del área efectiva de concreto más el área de acero en el tiempo n1

b = ancho

c = profundidad de la zona de compresión en la sección totalmente agrietada

d, d’ = distancia entre la fibra de compresión al la capa del concreto de refuerzo

D = deflexión al centro de un panel rectangular

E = modulo de elasticidad

Ec = modulo de elasticidad del concreto ajustado por la edad (Ec.7)

fct = resistencia a la contracción del concreto en flexión (modulo de ruptura)

h = altura de una sección

l =longitud de un miembro

M = valor del momento flector

n, n1 = Es/Ec (to) y Es/Ec1

Mr = valor suficiente del momento flector en el agrietamiento

t = tiempo

y = coordenada que define la localización de una fibra, (y) se mide en dirección

hacia abajo desde la referencia cero en el centroide de la sección ajustada-

transformada por la edad

ε = tensión normal

δ = deflexión en el centro de un miembro con respecto de sus extremos

ζ = coeficiente de interpolación de curvaturas ó deflexión entre los estados de una

sección no agrietada y una totalmente agrietada

k = coeficiente adimensional para el cálculo de la curvatura

37

ρ = relación de refuerzo (As/bd)

σ = tensión normal

φ(t, t0) = coeficiente de fluencia del concreto= relación de fluencia de la tensión ins-

tantánea aplicada en t0 y sostenida hasta el tiempo t

χ(t,t0) = coeficiente de envejecimiento del concreto (generalmente entre 0.6 a 0.9)

ψ = curvatura (longitud-1)

Subíndices

c = concreto

cs = efecto de contracción

Ο = punto de referencia

o = inicial o instantáneo

s = acero

φ = efecto de flujo plástico

1,2 = estados no agrietado y agrietado, respectivamente

38

BIBLIOGRAFÍA

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American Concrete Institute, 1989.

Análisis estructural, GONZÁLES CUEVAS ÓSCAR M., Ed. Limusa, 2005.

Aspectos fundamentales del concreto reforzado, ROBLES FERNÁNDEZ†, GONZÁLES CUEVAS ÓSCAR M., 4ª

edic., Ed. Limusa, México, 2005.

Diseño estructural , ROBLES FERNÁNDEZ†, GONZÁLES CUEVAS ÓSCAR M., MARTÍNEZ R., UAM – Azcapotzalco,

1ª edic., México, 1993.

Prediction of Deflections of Two-Way Floor Systems, AMIN GHALI, ACI Structural Journal, Technical paper, title

No. 86-S53, 1989.

Normas Técnicas Complementarias para el Diseño y Construcción de Estructuras de Concreto, GACETA OFICIAL

DEL DISTRITO FEDERAL, México, 2004.

Proyecto terminal I: Calibración de las disposiciones de...

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