Proyecto

Ecuaciones Diferenciales

Ing. Rodrigo Alejandro Gutierrez Arenas

Semestre 2010-II

Instrucciones

El proyecto consiste de dos problemas con varios incisos. Se debe de entregar un reporte detalladode las respuestas de cada pregunta. El formato del reporte es el siguiente: resumen o introduccion(breve, no mas de una cuartilla), desarrollo matematico (hipotesis, modelos matematicos, considera-ciones, etc.), resultados, conclusiones y bibliografıa (el formato de la bibliografıa debe ser revisado,se penalizara aquel trabajo que entregue bibliografıa inexistente o mal presentada). Todas las grafi-cas, tablas y figuras deberan de llevar numeracion ası como una leyenda que indique su contenido,en cuanto a las graficas se debe de nombrar todos los ejes y curvas. Todas las formulas y modelosmatematicos deberan de ir numerados. El reporte se entrega en equipos de 4 personas o menos. Parala evaluacion final del proyecto se tomara en cuenta la calificacion del reporte y la calificacion de uninterrogatorio al azar de un miembro del equipo. Dicho interrogatorio se realizara la clase siguientea la entrega del reporte. En caso de no encontrarse la persona que se elija para el interrogatoriose nombrara otro miembro del equipo (la persona que no se encuentre presente tendra cero en elproyecto). Existen tres revisiones previas a la entrega final del reporte escrito, dichas revisiones sonobligatorias.

Advertencia: Todos los proyectos copiados seran penalizados severamente.

Fechas de entrega

12 de febrero de 2010: Presentacion del proyecto por parte del profesor y formacion de equipos.10 de marzo de 2010: Primera entrega del reporte del proyecto (Avances del Primer Problema y

del Segundo Problema).9 de abril de 2010: Segunda entrega del reporte del proyecto (Primer Problema y avances del

Segundo Problema).12 de mayo de 2010: Tercera entrega del reporte del proyecto (Primer y Segundo Problemas).26 de mayo de 2010: Entrega final del reporte del proyecto (Todo el proyecto).28 de mayo de 2010: Interrogatorio final y fin del curso (Todo el proyecto).

Notas

El proyecto cuenta el 50 % de la calificacion final.Todas las entregas son obligatorias. Al no presentar una entrega, pierden el derecho de presentar

las siguientes y por consecuencia el interrogatorio.Se presentan ejemplos del formato requerido en la pagina del curso:http://dcb.fi-c.unam.mx/users/rodrigoga

1

Ecuaciones Diferenciales: Proyecto 2

Problema 1

Ecuaciones diferenciales en coordenadas polares

El objetivo de esta parte del proyecto es transformar ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO)en coordenadas rectangulares a EDO equivalentes en coordenadas polares.

La EDO de primer orden en terminos de las variables en coordenadas rectangulares x y y seescribe como:

dy

dx= f (x, y) . (1)

La ecuacion anterior (1) puede ser transformada a coordenadas polares r y θ mediante las re-laciones mostradas en la figura 1. Las coordenadas polares son utiles en el caso de encontrarse concurvas solucion de tipo elıpticas o espirales.

Suponga que y = g (x) es una solucion de 1; en coordenadas polares dicha relacion se convierteen:

r sin θ = g (r cos θ) , (2)

la expresion anterior, define, implıcitamente, que r es una funcion de θ. Derivando la expresion 2con respecto a θ y utilizando la regla de cadena se tiene

dr

dθsin θ + r cos θ =

dg

dx

dx

dθ

dr

dθsin θ + r cos θ =

dg

dx

(dr

dθcos θ − r sin θ

)dr

dθsin θ + r cos θ = f (x, y)

(dr

dθcos θ − r sin θ

)dr

dθsin θ + r cos θ = f (r cos θ, r sin θ)

(dr

dθcos θ − r sin θ

). (3)

La ecuacion 3 es una EDO de primer orden con variables r y θ que es equivalente a 1. De primeravista la ecuacion 3 puede ser mas complicada que la ecuacion 1, sin embargo para ciertas funcionespuede ser mas sencilla, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1 Aplicando la expresion 3 a la EDO

dy

dx=y − xy + x

(4)

se tienedr

dθsin θ + r cos θ =

r sin θ − r cos θ

r sin θ + r cos θ

(dr

dθcos θ − r sin θ

)(5)

y simplificando resulta:dr

dθ= −r, (6)

resolviendo la ecuacion anterior, mediante separacion de variables:

dr

r= −dθ

ln r = −θ + c

r = ce−θ (7)

donde c es una constante no negativa. Regresando la expresion anterior a coordenadas cartesianas:(x2 + y2

) 12 = ce− arctan( yx )

cuya grafica se observa en la figura 2.

Ecuaciones Diferenciales: Proyecto 3

Figura 1: Coordenadas polares y rectangulares.

Para el caso de un sistema de EDO se sigue un procedimiento similar. Suponemos que (x (t) , y (t))resuelven el sistema autonomo

x′ = f (x, y)

y′ = g (x, y) . (8)

Entonces el punto (x (t) , y (t)) en la orbita de la ecuacion anterior puede ser representado en coorde-nadas polares (r (t) , θ (t)), donde x (t) = r (t) cos θ (t) y y (t) = r (t) sin θ (t). Derivando las relacionesanteriores con respecto a t, utilizando la regla de la cadena y resolviendo para r′ y θ′ se tiene elsistema equivalente

r′ = cos θf (r cos θ, r sin θ) + cos θg (r cos θ, r sin θ)

θ′ =1

r[− sin θf (r cos θ, r sin θ) + cos θg (r cos θ, r sin θ)] . (9)

Trayectorias ortogonales

Los sistemas coordenados en dos dimensiones mas utilizados son los sistemas coordenados or-togonales. Los sistemas mas conocidos son el sistema de coordenadas Cartesiano (rectangular) y elsistema de coordenadas polares. Ambos tienen la propiedad de que al establecer una variable igual auna constante, produce una familia de curvas (en ocasiones, rectas) que resultan perpendicular a lafamilia obtenida al definir la otra variable igual a una constante. En el sistema de coordenadas rec-tangular las rectas perpendiculares son ejemplos de trayectorias ortogonales (e.g. : y = 3 y x = 2).Esta situacion tambien puede ocurrir para rectas no horizontales ni verticales o para familias decurvas.

Las trayectorias ortogonales se explican a partir de las siguientes definiciones:

Definicion 2 Se dice que una familia de curvas esta parametrizada por λ si la familia esta dadapor una relacion f (x, y, λ) = 0, donde λ es un parametro que puede tomar distintos valores.

Definicion 3 Supongamos una familia de curvas dada por f (x, y, λ) = 0. Las trayectorias ortogo-nales a f son una familia de curvas, g (x, y, γ), que intersectan a f en angulos rectos en todos suspuntos.

Al hacer uso de la definicion 2, es necesario recordar que si dos curvas se intersectan en angulosrectos, es decir, son ortogonales, sus tangentes en el punto de interseccion son perpendiculares.

Ecuaciones Diferenciales: Proyecto 4

Figura 2: Curvas solucion del ejemplo 1.

Ejemplo 4 El sistema de coordenadas polares.Se considera primero la familia de rectas que cruzan el origen parametrizadas por su pendiente,

λ,y = λx. (10)

Aquı λ es un parametro que da la pendiente de una recta particular. Se sabe que esta familia derectas y la familia de cırculos, centrada en (0, 0), forman el sistema de coordenadas polares y queestas dos familias son ortogonales. Dicha afirmacion se puede comprobar de la siguiente forma, enprimer termino se resuelve 10 para λ, resultando

λ =y

x(11)

para x 6= 0. Derivando 11 con respecto a x, se tiene (regla de la cadena)

0 =1

x2

(xdy

dx− y)

oy′ =

y

x. (12)

La expresion 12 es la ecuacion diferencial para la familia de curvas 10, ademas cabe mencionarque es independiente del parametro λ y que para cada punto (x, y), la pendiente de la recta tangentede cualquier miembro de la familia de curvas es y/x.

Ahora, dos rectas son ortogonales si el producto de sus pendientes, m1 y m2 es igual a −1,i.e. : m1m2 = −1. De este modo, se sabe que si la pendiente de la recta tangente a una curva es m1,entonces la pendiente de la recta tangente a la curva ortogonal a ella sera m2 = −1/m1.

Como consecuencia la pendiente de las rectas tangentes a las curvas ortogonales de 10 sera

y′ = −xy

(13)

para y 6= 0. La expresion 13 es la ecuacion diferencial para la familia de curvas ortogonal a 10. Laecuacion 13 es una ecuacion diferencial de primer orden con variable independiente x y variabledependiente y. Separando las variables e integrando∫

ydy = −∫xdx

y2

2= −x

2

2+ γ, (14)

donde γ es una constante arbitraria. Finalmente se puede concluir que la ecuacion 14 es la familiade curvas ortogonal a la familia de rectas denotada por 10. Esto se ilustra en la figura 3.

Ecuaciones Diferenciales: Proyecto 5

Figura 3: Trayectorias ortogonales y = λx y x2 + y2 = 2γ.

Fluidos (Actividades)

Las lıneas de flujo para un fluido no comprimible e irrotacional en la region delimitada por dosrectas perpendiculares, suponga el eje x positivo y el eje y positivo, estan dadas por la familia dehiperbolas

xy = b. (15)

La situacion anterior representa el flujo dentro de una esquina recta. Las trayectorias ortogonalesa las lıneas de flujo son las lıneas de potencial de velocidad constante.

1. Demuestre que las lıneas de velocidad constante tambien son hiperbolas.

El flujo dentro de una cuna bidimensional de angulo α : 0◦ ≤ α ≤ 90◦, tiene lıneas de flujo encoordenadas polares, dadas por

rπα sin

(θπ

d

)= λ, (16)

donde d es una constante de escala y λ es un parametro.

2. Obtenga el potencial de velocidades asociado para esta situacion. Grafique.

3. Ahora haga que α = π2 y compare con los resultados del ejercicio 1.

Problema 2

Un oscilador no lineal

Un circuito RLC en serie, es aquel que contiene una fuente de voltaje que produce E (t) Volts,una resistencia de R Ohms, un inductor de L Henrys y un capacitor de C Farads. Dicho circuito semuestra en la figura 4.

Para proposito de este problema, se asume que la fuente de voltaje es una baterıa, i.e., E (t) esconstante. Cabe mencionar que el circuito tiene un interruptor (que no se muestra en la figura 4)que determina cuando las mediciones comienzan. Cuando el interruptor es cerrado, la corriente I (t),medida en Amperes, comienza a fluir. Dicha corriente, tambien es la tasa de cambio de la cargaelectrica, Q (t), medida en Coulombs, en el capacitor. De acuerdo a la ley de Kirchhoff de voltaje,la corriente del circuito esta modelada por la ecuacion

LdI

dt+RI +

1

cQ = E. (17)

Ecuaciones Diferenciales: Proyecto 6

Figura 4: Circuito RLC.

Si se deriva la ecuacion 17, se tienen una ecuacion diferencial lineal de segundo orden y decoeficientes constantes para la corriente electrica:

Ld2I

dt2+R

dI

dt+

1

CI = 0. (18)

La ecuacion 18 es una ecuacion diferencial homogenea que representa a un oscilador armonicoamortiguado. Considerando que

V = V (t) =Q (t)

C(19)

representa la caıda de voltaje del capacitor, la ecuacion 17 se puede representar como un sistema deecuaciones diferenciales de primer orden:(

dIdtdVdt

)=

(−RL − 1

L1C 0

)(IV

)+

(EL0

). (20)

Ahora se considera un circuito diferente, utilizado en los receptores de radio en la de decada de1920 y analizado por Balthazar van der Pol. Este circuito es una malla RLC, pero con reemplazando elresistor pasivo, R, por un elemento activo. Dicho elemento activo, es un semiconductor, en especıficoun diodo de tunel o un diodo Gunn. El circuito en cuestion se muestra en la figura 5. A diferenciade una resistencia pasiva, que disipa energıa, un semiconductor opera como si estuviese inyectandoenergıa al circuito a bajas corrientes, pero absorbiendo energıa a altas corrientes. El intercambioentra la absorcion e inyeccion de energıa resulta en una oscilacion periodica de voltajes y corrientes.

Si suponemos que una fuente de voltaje se conecta al circuito como se muestra en la figura 5, y elcircuito es energizado, entonces al tiempo t = 0, la fuente externa esta apagada, es decir, E (t) = 0.La caıda de voltaje en el semiconductor, en lugar de ser una funcion lineal de I (t), es la funcion nolineal

I(I2 − a

), (21)

donde a es un parametro positivo. Note que la funcion es negativa para valores pequenos (peropositivos) de I y positivo para valores grandes. Ademas, dado que la corriente puede fluir en ambasdirecciones del circuito, todos los cambios de signo de la expresion cubica 20.

Por conveniencia, se asumira que las unidades son tales que L y C son igual a 1. En particular,esto significa que la caıda de voltaje del capacitor es V = Q y la corriente es I = dv/dt. Tomandoen cuenta las consideraciones anteriores la ecuacion 17 presenta la siguiente forma:

dI

dt+ I

(I2 − a

)+ V = 0. (22)

La expresion 22 es un ecuacion diferencial no lineal y es conocida como la ecuacion de van derPol.

Ecuaciones Diferenciales: Proyecto 7

Figura 5: Circuito RLC modificado con una resistencia activa (semiconductor).

1. Escriba la ecuacion 22 y la relacion entre I y V , como un sistema de ecuaciones diferencialesde primer orden no lineal para variables dependientes V e I, y variable independiente t. Estesistema es conocido como el sistema de van der Pol.

Nota: Ver sistema 20.

2. Encuentre el unico punto de equilibrio del sistema. Ahora, dicho punto, ¿es estable o inestable?

3. Dependiendo del valor de a, ¿cuales son los posibles comportamientos del espacio fase cercade la solucion de equilibrio?

4. Considere a = 0,5. Grafique suficientes orbitas para obtener un espacio fase completo.

5. Describa el comportamiento a largo plazo del sistema para a = 0,5.

Nota: Se debe observar algo que no es posible en un sistema lineal. Este fenomeno es conocidocomo ciclo lımite (limit cycle).

6. Grafique las curvas solucion, I (t) y V (t), con respecto al tiempo.

7. Repita los pasos 4, 5 y 6 para a = 1,0, 1,5, 2,0, 2,5. Describa que cambia en la solucion conformea incrementa.

8. ¿Que se puede concluir acerca del punto de equilibrio del sistema de van der Pol?

9. ¿Que se puede concluir acerca de las soluciones con valores iniciales grandes tanto para lacorriente como para el voltaje?

10. ¿Que sucede con las soluciones que se encuentran en equilibrio?

11. ¿Como cambia el ciclo lımite conforme cambia el parametro a?

12. Para valores grandes de a, el ciclo lımite tiene una forma distintiva. Describa las consecuenciasde dicha forma en terminos de la corriente y el voltaje del circuito.