Proyectos fin de carrera

Herramienta de visualización de aspectos cohomológicos en imágenes 3D

Computación de Cup-i productos

Introducción

Preliminares:- Considerable desarrollo en los últimos años.- Aplicación en campos tan dispares como el de los Efectos Especiales y

Diagnóstico de Enfermedades.- Base matemática: Topología. Información sobre la estructura y

comportamiento de las imágenes.- Posibilita diversos procesos sobre ellas:

- Clasificación de objetos- Recuento y etiquetado

- Detección y seguimiento de bordes- Rellenado - Adelgazamiento- Segmentación- ...

Introducción

Preliminares:

Aplicación en medicina. - Procesos médicos que obtienen imágenes 3D del cuerpo humano.- Los órganos biológicos varían su forma pero no su topología. Ej: corazón.

Necesidad del estudio matemático de la imagen:- Parámetros topológicos.- Comportamiento y estructura.- Operaciones cohomológicas.

Introducción

Objetivos

- Estudio matemático a mano muy lento y costoso.- Necesidad de herramientas de apoyo.

- Dirigido a los investigadores en topología tridimensional.- Ámbito didáctico.

Introducción

Descripción del proyecto

- Método de visualización de aspectos homológicos y cohomológicos en imágenes 3D.- Implementación de productos cup e i-cup.

Flujo de proceso de imágenes:- Creación de la imagen (complejos simpliciales).- Adelgazamiento topológico.- Cálculo de productos cup.- Visualización de resultados.

Conceptos básicos

Relación entre objetos matemáticos y algebraicos

- Objetos reales y objetos matemáticos: necesidad de un paralelismo.

- El concepto básico de q-símplice:

0 – símplice:

1 – símplice:

2 – símplice:

3 – símplice:

Base Matemática

Relación con las imágenes

- Definición de la imagen mediante q-símplices

- Descomposición de una pirámide en q-símplices

Elementos de la representación

Caras de un q-símplice

El Operador Cara

Simplice compartido

Símplice desnudo

Elementos de la representación (II)

-Complejo Simplicial

- Símplice maximal

- Dimensión del Complejo simplicial

Representación de objetos 3D

Representaciones clásicas

- Por complejos simpliciales.- Por voxeles:

- División del espacio en unidades cúbicas y regulares.- No permite símplices.

- Tetraédrica:- No divide el espacio en unidades rígidas.- Utiliza una serie de tetraedros definidos por el espacio.- Caso particular de la representación por complejos simpliciales.

Representación de objetos 3D

Representaciones clásicas

- Por superficies:- No aporta información sobre el volumen.- Utiliza las superficies que rodean al objeto.- Representación muy habitual.

Representación de objetos 3D

Representación híbrida

Descomposición del voxel en tetraedros

Espacio dividido en unidades iguales y regulares (voxel)

Representación por matriz de

voxeles tetraedrizados

Unidades de dibujo: tetraedros y

sub-símplices de ellos

Representación de objetos 3DNumeración de los vértices del voxel

Representación de objetos 3DEliminación del tetraedro (1,2,4,6)

Representación de objetos 3DEliminación del tetraedro (1,4,5,6)

Representación de objetos 3DEliminación del tetraedro (1,3,4,5)

Representación de objetos 3DEliminación del tetraedro (4,5,6,8)

Representación de objetos 3DEliminación del tetraedro (3,4,5,8)

Representación de objetos 3D

Subdivisión de un voxel. Condiciones de la división:

- Completa: Tetraedros encajan para completar el cubo sin huecos.- Mínima: Menor número de tetraedros. - Normal: Matriz normal.

Intersección de dos tetraedros de la matriz debe ser vacía o un símplice común.

Representación de objetos 3D

Paso a complejo

- Transformación de matriz de voxeles tetraedrizados a representación simplicial.- Conexión con la herramienta de cálculo de operaciones cohomológicas.- Procedimiento:

Por cada voxel, se añaden los símplices que tenga definido al complejo total.

Adelgazamiento topológico

Características

- Se aplica justo después de crear la imagen- Modifica la imagen geométricamente.- Obtiene una versión simplificada al máximo- No altera la topología de la imagen (nº de componentes, agujeros y huecos).- Los resultados cohomológicos no dependen de si la imagen está adelgazada.

Métodos

- Colapsos simpliciales- Tetraedros simples (implementado).

Adelgazamiento topológico

Método por tetraedros simples

- Representación tetraédrica de la imagen de entrada.- Tetraedro simple: Aquel cuya eliminación no altera la topología de la imagen.

Análisis complejo de un tetraedro simple.

Proceso:- Se analizan todos los tetraedros.- Se eliminan aquellos que sean simples.- Múltiples iteraciones.

Adelgazamiento topológico

Adelgazamiento orientado

- Proceso alternativo al adelgazamiento total.- No analiza todos los tetraedros, sólo los vistos en la dirección del adelgazamiento- Infinitas direcciones de adelgazamiento (parametrización)- Implementadas sólo 6 direcciones.- Efecto paso a paso

Adelgazamiento topológico

Adelgazamiento orientado. Direcciones implementadas:

Productos CUP

Equivalencia entre espacios topológicos

- Definición del problema- Homeomorfismos- Invariantes: los grupos de cohomología

¿Qué es un Cociclo?

- Significado topológico

- Estructura

Productos CUP

El producto CUP

- ¿Qué es el producto CUP?

- ¿Qué aporta el producto CUP?

- La implementación algorítmica

Productos CUP

Un ejemplo de distinción de espacios

Paso 1: Identificación de los espacios

Espacio del Toroide (X) Espacio de la Esfera Wedge (Y)

Productos CUP

Producto CUP para el Toro

- Elección de cociclos u y v: representantes de H1(X)

- Ejecución de los productos cup entre u y v:

[u] cup [v]= w representante de H2(X)[u] cup [u]=0[v] cup [v]=0[v] cup [u]= -[w]

Productos CUP

Producto CUP para la esfera Wedge

- Elección de cociclos u y v: representantes de H1(X)

- Ejecución de los productos cup entre u y v:

[u] cup [v]= 0[u] cup [u]=0[v] cup [v]=0[v] cup [u]=0

Morfit

Necesidad de representar en 3D

- Tratamiento de imágenes 3D- Se necesitan rutinas de dibujo en 3 dimensiones.

Opciones:- Desarrollar todas las rutinas (muy costoso)- Conseguir una librería gratuita (opción escogida)

Librería escogida: Morfit:- Librería gratuita de funciones 3D- Completa

Morfit

Mundos

- Unidad espacial de trabajo- Espacio tridimensional sin límite definido- Análogo a un papel para un dibujante.

Sistema de coordenadas

3 ejes cartesianos:- Eje x: transversal.- Eje y: horizontal.- Eje z: vertical.

Morfit

Cámaras

- Captan el mundo desde distintas perspectivas.- Influyen en el renderizado.- Renderizado: Representación 2D de un modelo 3D desde un punto de vista.- El renderizado se realiza desde el punto de vista de una cámara.

Permiten simular movimiento:- Asociación de una cámara a un observador.- Moviendo la cámara por el mundo se simula el movimiento del

observador- Útil para ver la imagen desde todos los puntos de vista.

Morfit

Objetos básicos

- Polígonos.- Todos los modelos Morfit están formados por polígonos.- Problemas al representar los objetos geométricos.

Iluminación

- Aumenta el realismo de la representación- Permite apreciar el volumen de los objetos

Morfit

Dibujo de los símplices

- Deben hacerse usando sólo polígonos.

Vértices

- Modelo ideal: esfera. Necesita muchos polígonos = ineficiencia.

- Modelo escogido: cubo con centro en el vértice.

Morfit

Modelo de un vértice

Morfit

Segmento

- Modelo ideal: cilindro con eje coincidente con el segmento. Mismo problema que la esfera.

- Modelo usado: prisma con eje coincidente con el segmento. Presenta un efecto poco estético: unión de dos

segmentos.

Morfit

Segmento

Solución al efecto poco estético:utilización de prismas afilados.- Parte de un prisma normal.- Se afila desde una cierta distancia de los segmentos.- La unión de segmentos queda más suave.

Morfit

Triángulo

- Constituye un polígono por sí mismo.- Puede ser representado directamente por Morfit.

Tetraedro

- Objeto puramente tridimensional, con volumen- Volumen no representable en Morfit- Se representa mediante su superficie = los tetraedros que forma su borde.

Aplicaciones

EditMat

Cal-CUP

Fin de la presentación

Muchas gracias por su interés