Curso: Métodos numéricos

Clase: 002813

Título del proyecto:

‘Velocidad de Caudal de agua mediante

métodos numéricas’

Nº de equipo de Trabajo:

Rodriguez Cepeda, Sandra

Sanchez Leiva, Leticia

Murga Alayo, Kevin

Fecha de sustentación: Semana 15

INTRODUCCION

La construcción civil abarca todo lo material que un hombre es capaz de

generar, partiendo de la utilización y transformación de materia prima (los

recursos naturales). Esta parte ingenieril, abarca muchas áreas, entre tantas el

desarrollo urbanístico, diseño y ejecución de vías de transporte como

autopistas, avenidas, entre otras aplicaciones como diseño de paso de agua.

El agua es un material líquido, variante y de mucha importancia para diferentes

aplicaciones de la vida humana, es así que en la mecánica de fluidos se

estudia el comportamiento de este fluido. Por ello antes de cualquier obra

ingenieril que abarque la utilización del agua es necesario saber cómo se la

encuentra y para el caso de obras para el trasporte de agua es necesario saber

cómo se comporta con su exterior que lo acoge, así es que encontramos la

aplicación en el presente informe, hallar la velocidad del paso de un

determinado caudal de agua.

Para el desarrollo del problema se usara un sistema matemático desarrollado

por métodos numéricos que simplifiquen su cálculo.

JUSTIFICACIÓN

Como parte del curso de Métodos Numéricos se deben estudiar diferentes

técnicas para formular problemas matemáticos. Una forma práctica para que el

estudiante aprenda es mediante la investigación; es por eso que en este curso

se fomenta esta práctica y el grupo se divide en subgrupos entre los cuales se

distribuyen diferentes temas.

METODOLOGÍA

Para realizar este trabajo se requiere investigar el tema en libros y en Internet,

asimismo, se requiere aprender a utilizar la herramienta Matlab.

Para aplicar este método a problemas cotidianos es necesario realizar un

trabajo de investigación y entrevistas a personas que laboran en diferentes

empresas y que han requerido utilizar este tipo de métodos para resolver sus

problemas.

INDICE

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA________________________________________________________5

OBJETIVOS____________________________________________________________________________________5

MARCO TEÓRICO_____________________________________________________________________________6

Integración Numérica__________________________________________________________________6

MÉTODO NUMÉRICO: REGLA DE SIMPSON___________________________________________________6

CAUDAL_________________________________________________________________________________13

MODELO MATEMÁTICO:___________________________________________________________________15

MÉTODOS DE SOLUCIÓN___________________________________________________________________15

ALGORITMO COMPUTACIONAL:__________________________________________________________16

Resultados O CONCLUSIONES:____________________________________________________________16

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Y/O LINKOGRAFIA:_________________________________16

ANEXOS_______________________________________________________________________________________16

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

¿De qué manera se calcularía la velocidad de un caudal de agua determinado,

haciendo uso del método numérico de integración numérica?

OBJETIVOS

Los ingenieros encuentran con frecuencia el problema de integrar funciones

que están definidas en forma tabular o en forma gráfica y no como funciones

explícitas. Se pueden utilizar métodos gráficos, pero los métodos numéricos

son mucho más precisos.

El objetivo de este proyecto es investigar sobre el método numérico “la Regla

de Simpson y de trapecio” buscar la forma de aplicarlo a problemas cotidianos

con los que se enfrentan los ingenieros.

Objetivo Principal:

Determinar la velocidad de un caudal de agua determinado, haciendo

uso del método numérico de integración numérica.

MARCO TEÓRICO

Integración Numérica

La integración numérica consiste en encontrar una buena aproximación al área

bajo la curva que representa una función f(x), que ha sido determinada a partir

de datos experimentales o a partir de una expresión matemática.

Las fórmulas de cuadratura de Newton-Cotes son los procedimientos más

comunes de integración numérica; se basan en la estrategia de reemplazar una

función complicada o datos tabulados con una función aproximada que sea

fácil de integrar.

MÉTODO NUMÉRICO: REGLA DE SIMPSON

Una forma de obtener una aproximación adecuada de una integral es usar

polinomios de grado superior para unir los puntos y aproximar la función real.

El método de Simpson, a diferencia de la Regla trapezoidal, intenta no incurrir

en un mayor número de subdivisiones; se trata de ajustar una curva de orden

superior en lugar de una línea recta como en la Regla Trapezoidal.

Sea una función f(x), si entre f(a) y f( b) existe un tercer punto, entonces será

posible ajustar por ellos una parábola, en la misma forma, si existe dos puntos

entre f (a) y f( b), entonces por esos cuatro puntos se podrá ajustar una curva

de grado tres, y así sucesivamente.

En la figura 1, se muestra la función que es una parábola que aproxima

a la función real. En este caso se calcula el área o la integral bajo la parábola

que une los tres puntos. Note que hay tres puntos y dos segmentos, por lo que

se verá más adelante que esta integral se resuelve con regla de Simpson 1/3.

Por lo tanto las fórmulas que resultan de tomar integrales bajo estos polinomios

se conocen como regla de Simpson.

Descripción de la gráfica de la regla de Simpson 1/3.

Se muestra la función que describe una ecuación cúbica que aproxima a la

función real. En este caso se calcula el área o la integral bajo la cúbica que une

los cuatro puntos. Note que hay cuatro puntos y tres segmentos, por lo que se

verá más adelante que esta integral se resuelve con regla de Simpson 3/8.

Descripción de la gráfica de la regla de Simpson 3/8

1. Regla de Simpson 1/3

Esta regla resulta cuando se utiliza una interpolación polinomial de segundo

orden:

I=∫a

b

f ( x ) dx=¿∫a

b

f 2 ( x )dx¿

La función f 2 , es la interpolación polinomial de segundo orden. Esto se logra

con el polinomio de Lagrange de segundo grado. Sea c= (a+b)/2.

La función f2 es un polinomio de LaGrange de Segundo grado. Sea c= (a+b)/2.

p2 (x )=(x−c )(x−b)(a−c )(a−b)

f (a )+( x−a)(x−b)(c−a)(c−b)

f (c)+( x−a)(x−c )(b−a)(b−c)

f (b)=L1 ( x ) f (a )+L2 (x ) f (c )+L3 ( x ) f (b)

Sustituyendo en la ecuación de la integral, se obtiene:

I (f )=∫a

b

p2 ( x ) dx=¿∫a

b

[L1 ( x ) f (a )+L2 (x ) f (c )+L3 ( x ) f (b ) ] dx¿

f (a)∫a

b

L1 ( x )dx+ f (c )∫a

b

L2 ( x )dx+ f (b)∫a

b

L3 ( x )dx

A continuación haremos todo el análisis matemático para obtener el valor de la

ecuación que es conocida como la regla de Simpson.

Tome en cuenta que h = (b-a)/2 y c =(a+b)/2 para la demostración.

Para b hacemos la siguiente sustitución:

h= (b−a )2

⇒b=2h+a

La expresión (a−c ) (a−b ) la sustituimos de la siguiente forma.

h=b−a2

⇒a−b=−2h

(a−b ) (a−c )=−2h (a−c )(a−b ) (a−c )=−2h (b−2h−c )

(a−b ) (a−c )=−2h (b−2h−a+b2 )

(a−b ) (a−c )=−2h (b−a2

−2h)(a−b ) (a−c )=−2h (h−2h )(a−b ) (a−c )=−h2

Y obteneos lo siguiente

∫a

b

L1 ( x )dx=∫a

b ( x−c)(x−b)(a−c)(a−b)❑

dx= 12h2

∫a

ba+2h

( x−c)(x−b)dx

Usando la expresión: u = x-a, para el cambio de variable:

( x−c )=u+a−c

( x−c )=u+a−a+b2

( x−c )=u+a−b2

( x−c )=u−h

( x−b )=u+a−b

( x−b )=u−2⋅b−a2

( x−b )=u−2⋅h

En donde se obtiene:

¿ 12h2

∫0

2h

(u−h ) (u−2h ) du=h3

En forma similar se obtiene que

∫a

b

L2 ( x )dx= 4h3

,∫a

b

L3 (x )dx=h3,

Tenemos pues que

I (f )≈ h3[ f (a )+4 f ( a+b

2 )+ f (b )]

La ecuación anterior se conoce como la regla de Simpson 1/3. La

especificación 1/3 se origina del hecho que h está dividida en tres intervalos.

Recordando que la expresión h = (b-a)/2, podemos expresar la ecuación

anterior de la siguiente manera.

I≃( b−a)f (a )+4 f ( a+b

2 )+ f (b )

6 (1.1)

Además se puede determinar que la ecuación anterior tiene un error asociado

de:

Et=−190

⋅h5 f (4)(ζ )

La expresión anterior se puede expresar también así:

Et=−(b−a )5

2880f (4)(ζ )

(1.2)

El término f4 ( ζ ) lo podemos aproximar al promedio de la cuarta derivada.

i(4 ) (ζ )=∫a

b

i(4) ( λ )dλ

b−a (1.3)

El error asociado a la regla de Simpson nos indica que este método es más

exacto que otros métodos de integración como la regla del trapecio. Vemos que

el error es proporcional a la cuarta derivada, por lo tanto el coeficiente del

tercer grado se hace cero en la interpolación polinomial. Por lo tanto, para

ecuaciones de tercer grado se obtienen ecuaciones exactas aunque se

aproxime con una parábola. Así, el método de Simpson es muy relevante.

De las ecuaciones (1.1) y (1.2). La integral es igual a:

I≃( b−a)f (a )+4 f (a+b

2 )+ f (b )

6−

(b−a )5

2880⋅h5 f (4) (ζ )

(1.4)

2. Regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple.

La aplicación múltiple utiliza la misma idea que la regla de Simpson con

la diferencia que se divide el intervalo de integración en muchos segmentos o

sub-intervalos, como se observa en la figura 3. Es decir en lugar de 2

segmentos se hace para n segmentos donde n es de la forma 2k.

Por lo tanto tomamos h = (b-a)/n.

-

Figura 3 Se toman n segmentos

Por lo tanto, aplicando la regla de Simpson a cada sub-intervalo se obtiene.

I=∫x0

x2

f ( x )dx+∫x2

x4

f ( x )dx+ .. .+ ∫xn−1

xn

f ( x )dx

Utilizando la fórmula (1.1) a cada integral se obtiene:

I≃(b−a)f (x0 )+4 f (x1 )+f (x2 )6

+(b−a)f (x2 )+4 f (x3 )+f (x 4 )6

+. ..+(b−a )f ( xn−2 )+4 f (xn−1 )+f (xn )

6

Sacando a factor común (b-a) y agrupando términos obtenemos.

I≃( b−a)f (x0)+4 ∑

i=1,3,5 .. .

n−1

f ( fxi )+2 ∑j=2,4,6. ..

n−2

f [ x j ]+ f (xn)

3n (1.5)

La ecuación anterior es la regla de Simpson 1/3 generalizada a un número par

de segmentos e impar de puntos.

El error en este caso es de:

Ea=−(b−a )5

180n4f (4 )

(1.6)

3. Regla de Simpson 3/8

A continuación se describe la regla de integración de Simpson 3/8 para la

“integración cerrada”, es decir, para cuando los valores de la función en los

extremos de los límites de integración son conocidos.

Además de aplicar la regla trapezoidal con segmentación más fina, otra forma

de obtener una estimación más exacta de una integral es con el uso de

polinomios de orden superior para conectar los puntos (en lugar de utilizar

líneas para conectarlos).

Las reglas de Simpson son las fórmulas que resultan al tomar las integrales

bajo los polinomios que conectan a los puntos.

La derivación de la Regla de los Tres Octavos de Simpson es similar a la regla

de un tercio, excepto que se determina el área bajo una parábola de tercer

grado que conecta 4 puntos sobre una curva dada. La forma general de la

parábola de tercer grado es:

Y=A X2+b X2+cX+d

Figura 4 Descripción de la gráfica de la regla de Simpson 3/8

En la derivación, las constantes se determinan requiriendo que la parábola pase a

través de los cuatro puntos indicados sobre la curva mostrada en la fig. 4. El intervalo

de integración es de - 3∆ X /2 a 3∆ X /2 lo que produce:

A3 fajas= ∫−3∆ X2

3∆ X2

a X2+b X2+cX+d ¿dx=3 ∆ X8

(Y I+Y I+1+Y I+2+Y I+3)¿

que es la regla de los tres octavos de Simpson.

La regla de Simpson de 3/8 tiene un error por truncamiento de:

ET=−380

f IV (δ )(∆ X )5

Por lo tanto es algo más exacta que la regla de 1/3.

La regla de Simpson de 1/3 es, en general, el método de preferencia ya que

alcanza exactitud de tercer orden con tres puntos en vez de los cuatro puntos

necesarios para la versión de 3/8. No obstante la regla de 3/8 tiene utilidad en

las aplicaciones de segmentos múltiples cuando el número de fajas es impar.

CAUDAL

El estudio del movimiento de los fluidos se puede realizar a través de la

dinámica como también de la energía que estos tienen en su movimiento.

Una forma de estudiar el movimiento es fijar la atención en una zona del

espacio, en un punto en un instante t, en el se especifica la densidad, la

velocidad y la presión del fluido. En ese punto se examina lo que sucede con el

fluido que pasa por él.

Al movimiento de un fluido se le llama “flujo” y dependiendo de las

características de este se les puede clasificar en:

1. Flujo viscoso y no viscoso: los flujos viscosos son aquellos que

presentan resistencia al avance. Todos los fluidos reales son

viscosos.

2. Flujo incompresible y compresible: Los flujos incompresibles son

aquellos en que la densidad (ρ = Masa/Volumen) prácticamente

permanece constante.

3. Flujo laminar y turbulento: en el flujo laminar, el fluido se desplaza

en láminas o capas paralelas. En el turbulento las partículas se

mueven siguiendo trayectorias muy irregulares.

4. Flujo permanente: si las propiedades como la densidad, la

velocidad, la presión no cambian en el tiempo en un punto del

espacio, entonces se dice que el flujo es permanente, pudiendo

cambiar de un punto a otro.

La ecuación de continuidad

La figura 1.1 representa una tubería por la que circula líquido de densidad

constante ρ. Sean A1 y A2 las áreas de las secciones transversales en dos

puntos diferentes del tubo. Designemos por v1 la velocidad del fluido en A1 y

por v2 la del fluido en A2. En el intervalo de tiempo ∆t, un elemento de fluido

recorre una distancia v∆t. Entonces, la masa del fluido ∆m1 es

aproximadamente,

∆m1 = ρA1v1∆t

Es decir, el flujo de masa ó caudal másico, ∆m1t / ∆t es aproximadamente

ρA1v1. Debemos tomar ∆t suficientemente pequeño para que en este intervalo

de tiempo ni v ni A cambien apreciablemente en la distancia que recorre el

fluido. En el límite, cuando ∆t 0, obtenemos las definiciones precisas:

Flujo de masa en A1 = ρA1v1 [kg/s]

Flujo de masa en A2 = ρA2v2 [kg/s]

Ya que ningún fluido puede salir por las paredes del tubo y puesto que no hay

“fuentes” ni “sumideros” en los que se pueda crear o destruir fluido en el tubo,

la masa que cruza cada sección del tubo por unidad de tiempo debe ser la

misma.

ρA1v1 = ρA2v2

Es decir,

ρAv = cte.

Este resultado expresa la ley de la conservación de la masa en la dinámica

de los fluidos.

Si el fluido es incompresible, la última ecuación toma la forma más sencilla

A1v1 = A2v2 [l/s]

Es decir

Av = cte.

El producto Av da el flujo de volumen ó caudal volumétrico.

MODELO MATEMÁTICO:

MÉTODOS DE SOLUCIÓN

Q= VolTiempo

[ m3

s]

Q: Caudal

Vol: Volumen

Datos

TIEMPO [s] PRIMERA

PRUEBA

SEGUNDA

PRUEBA

TERCERA

PRUEBA

PROMEDIO [m3]

0 0 0 0 0

5 1* 10-3 0.7*10-3 0.9* 10-3 0.8667*10-3

10 1.5*10-3 1.1* 10-3 1.4*10-3 1.3333*10-3

15 2* 10-3 2*10-3 1.9*10-3 1.9667*10-3

20 2.5*10-3 2.4*10-3 2.4*10-3 2.433*10-3

25 3.2*10-3 3*10-3 3.2*10-3 3.133*10-3

30 3.7*10-3 3.6*10-3 3.6*10-3 3.633*10-3

TEMPO (s)Q [m

3

s]

0

5 1.7334*10-4

10 1.3333*10-4

15 1.3111*10-4

20 1.2165*10-4

25 1.2532*10-4

30 1.211*10-4

Q=Vel∗Area[ m3

s]

De acuerdo con la Tabla 1. El área de una tubería con un diámetro de 1’’ es de 5.6

cm2 ≈5.6∗10−4

TIEMPO [s]Q [m

3

s] VELOCIDAD [

ms ]

0 0 0

5 1.7334*10-4 0.30954

10 1.3333*10-4 0.23809

15 1.3111*10-4 0.23413

20 1.2165*10-4 0.21723

25 1.2532*10-4 0.22379

30 1.211*10-4 0.21625

|

0 5 10 15 20 25 30 350

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0

0.30954

0.23809 0.234130.21723 0.22379 0.21625

f(x) = − 0.0486992460522582 ln(x) + 0.371617508505678

TIEMPO [s]

VE

LOCI

DA

D [

m/s

]

REGLA DEL TRAPECIO

h=b−a

h=5−0=5

- I=h∗[ f (a )+ f (b )]2

I=h∗[ f (0 )+ f (5 )]2

I=5∗[0+0.30954]2

I=0.77385

- I=h∗[ f (a )+ f (b )]2

I=h∗[ f (5 )+ f (10 )]2

I=5∗[0.30954+0.23809]2

I=1.36908

- I=h∗[ f (a )+ f (b )]2

I=h∗[ f (10 )+ f (15 )]2

I= 5∗[0.23809+0.23413]2

I=1.18055

- I=h∗[ f (a )+ f (b )]2

I=h∗[ f (15 )+ f (20 )]2

I= 5∗[0.23413+0.21723]2

I=1.1284

- I=h∗[ f (a )+ f (b )]2

I=h∗[ f (20 )+ f (25 )]2

I=5∗[0.21723+0.22379]2

I=1.10255

- I=h∗[ f (a )+ f (b )]2

I=h∗[ f (25 )+ f (30 )]2

I= 5∗[0.22379+0.21625]2

I=1.1001

∑ (1.001+1.10255+1.1284+1.18055+1.36908+0.77385 )=6.65453

REGLA DEL TRAPECIO COMPUESTO

- I=h∗¿¿

I=h∗¿¿

I=5∗[0+2 (0.30954+0.23809+0.23413+0.21723+0.22379 )+0.21625]2

I=6.6545

REGLA DE SIMPSON COMPUESTA

- I=h∗¿¿

I=h∗¿¿

I=5∗¿¿

I=6.63253

ALGORITMO COMPUTACIONAL:

function y=f(x)

y=0;

end

function y=fu(z)

y=0.30954;

end

function y=fun(x)

y=0.23809;

end

function y=func(x)

y=0.23413;

end

function y=funci(x)

y=0.21723;

end

function y=funcio(x)

y=0.22379;

end

function y=funcion(x)

y=0.21625;

end

function Inte=tra(f,fu,fun,func,funci,funcio,funcion,a,b)

h=b-a;

Inte=((h/2)*(feval(f,a)+feval(fu,b)))+((h/2)*(feval(fu,a)

+feval(fun,b)))+((h/2)*(feval(fun,a)+feval(func,b)))+((h/

2)*(feval(func,a)+feval(funci,b)))+((h/2)*(feval(funci,a)

+feval(funcio,b)))+((h/2)*(feval(funcio,a)+feval(funcion,b)))

end

Resultados O CONCLUSIONES:

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Y/O LINKOGRAFIA:

ANEXOS

http://www.ing.unlp.edu.ar/electrotecnia/procesos/apuntes/Medicion_de_Caudal.pdf