1. PROYECCIN ORTOGONAL.A. PROYECCIN ORTOGONAL DEL PUNTO.Siendo el punto a un punto cualquiera en el espacio, y siendo P un plano arbitrario.Si trazamos una perpendicular que parta desde el punto a y que intersecte con el plano P obtendremos un punto aP que sera el punto de interseccin de la perpendicular con el plano.

Por lo tanto aP es la proyeccin del punto a sobre el plano P.B. PLANOS E PROYECCIN. Son planos sobre los cuales se proyectan los objetos en el espacio, los planos usados con mayor frecuencia son: Plano horizontal de proyeccin (H): La distancia que existe entre un objeto y su proyeccin horizontal se llama cota. Plano frontal de proyeccin (F): La distancia que existe entre un objeto y su proyeccin frontal se llama alejamiento. Plano lateral de proyeccin (plano de perfil) (P): la distancia que existe entre un objeto y su proyeccin lateral se llama apartamiento.

C. DEPURADO.El depurado consiste en llevar la vista espacial de un objeto a una vista en 2 dimensiones para lo cual:Se gira el plano lateral en sentido horario un ngulo de 90 grados alrededor del eje F-P (interseccin del plano lateral y frontal) hasta que coincida con el plano frontal, el mismo procedimiento se realiza con el plano latera para tener los 3 planos como uno solo.

D. RECTA.La recta es la unin de infinitos puntos en el espacio en una misma direccin.

Propiedad Fundamental:Si un punto cualquiera pertenece a una recta dada, sus proyecciones horizontales, frontal y lateral debe encontrarse forzosamente en las respectivas proyecciones de la recta.Esto quiere decir: que si el punto m pertenece a la recta ab debe cumplirse los requisitos siguientes: mH debe encontrarse en la proyeccin aHbH.mF debe encontrarse en la proyeccin aFbF.mP debe encontrarse en la proyeccin aPbP.

Si slo una de estas condiciones no se cumple quiere decir que el punto no pertenece a la recta.Ejemplos: En la recta ab: el punto z pertenece a la recta y el punto w no pertenece a la recta.

a. Rectas paralelas a los planos de proyeccin. Recta frontal: Es la recta paralela al plano horizontal de proyeccin. Todos sus puntos tienen igual cotas. Sus caractersticas en el depurado son las siguientes: Su proyeccin frontal es paralela al eje H-F. Su proyeccin horizontal se ve en verdadera magnitud.

Recta horizontal: Es la recta que es paralela al plano frontal de proyeccin. Todos sus puntos tienen igual alejamientos.Sus caractersticas en el depurado son los siguientes: Su proyeccin horizontal es paralela al eje H-F. Su proyeccin frontal se ve en verdadera magnitud.

Recta de perfil: Es aquella recta paralela al plano lateral de proyeccin. Todos sus puntos tienen igual apartamiento.Sus caractersticas en el depurado son: Sus proyecciones horizontal y frontal son perpendiculares al eje H-F. Su proyeccin lateral o de perfil se ve en verdadera magnitud.

b. Rectas perpendiculares a los planos de proyeccin.

Recta de punta vertical: Se llama as a la recta que es perpendicular al plano horizontal de proyeccin.Sus caractersticas en el depurado son los siguientes: Su proyeccin horizontal es un punto. Su proyeccin frontal es perpendicular al eje H-F

Recta de punta normal:Es la recta perpendicular al plano frontal de proyeccin.Sus caractersticas en el depurado son: Su proyeccin frontal es un punto. Su proyeccin horizontal es perpendicular al eje H-F

Recta de punta lateral:A esta recta tambin se le conoce con el nombre de: Recta paralela al eje H-F; y es que es perpendicular al plano lateral de proyeccin.Sus caractersticas en el depurado son: Sus proyecciones horizontal y frontal son paralelas al eje H-F. Su proyeccin lateral es un punto.

E. EL PLANO a. DETERMINACIN DE UN PLANO. De todas las formas posibles de representar (determinar) un plano, ellas pueden reducirse a las siguientes formas: Por tres puntos no situados en lnea recta: En este caso se ha representado el plano por los puntos m, n y s no situados en lnea recta.

Por dos rectas que se cortan: En este caso hemos representado el plano por las rectas ab y cd que se cortan en el punto t.

Por dos rectas paralelas: Representamos el plano por las dos rectas paralelas que son vz y uw.

Por una figura geomtrica cualquiera y plano: Cualquier figura plana como por ejemplo: un tringulo, un paralelogramo, un crculo, etc. puede representar un plano. Hay que tener en cuenta tambin que un polgono cualquiera plano puede representar a un plano, pero teniendo cuidado, que el darse sus proyecciones, se pueda comprobar fehacientemente que todos sus elementos se hallan coplanares.

1. DEPURADO CLASICO DE UN PLANO:Para efectos de nuestro estudio, representaremos siempre un plano mediante un tringulo cualquiera. Considerando que un plano es ilimitado, hay que tener presente que el tringulo representativo del plano no es nico, pues, el mismo plano se podr representar por infinitos tringulos, segn las necesidades de elementos de estudio.En la figura, estamos representando el plano por el tringulo abc, y que en todos los casos leeremos: El plano abc.

a. Localizacin de una Recta cualquiera en el Plano:El objetivo bsico de este problema, es que: para determinar en forma completa una recta de un plano, primeramente tenemos que darnos una de las proyecciones de dicha recta y encontrar la otra proyeccin de la misma, aplicando las propiedades de rectas que se cortan.Aplicacin: Se da la proyeccin horizontal mHnH de una recta mn contenida en el plano abc. Se pide encontrar la proyeccin frontal mFnF de la misma.

Procedimiento:Anlisis Previo: Como la recta mn se encuentra en el plano abc, quiere decir que deber cortar a dos rectas cualquiera de l. En nuestro caso, la recta mn corta a la recta ab en el punto 1 y la recta ac en el Punto 2. Las proyecciones horizontales de los puntos 1 y 2 se encuentra directamente donde las proyecciones horizontales de las rectas ac y ab cortan a la proyeccin horizontal de la recta mn.En seguida, podemos hallar sencillamente las proyecciones frontales de los puntos 1 y 2, sabiendo que estos deben encontrarse en las proyecciones frontales de las rectas ac y ab. Uniendo las proyecciones frontales de los puntos 1 y 2, queda determinada la proyeccin frontal de la recta mn buscada y cuyos puntos extremos se definen por simples lneas de referencia.Depurado: Donde la proyeccin mHnH corta a las proyecciones horizontales aHcH y aHbH de las rectas, se encuentran 1H y 2H respectivamente. Por la proyeccin 1H una referencia hasta cortar a aFcF en un punto que ser 1F; en forma semejante, por 2H bajamos una referencia hasta cortar a bFaF en el punto 2F. Unimos las proyecciones 1F y 2F que nos va a definir la proyeccin que falta de la recta. Mediante lneas de referencia, determinamos mF y nF.

Nota.- En forma anloga se puede resolver el problema planteado de la siguiente manera: Dado la proyeccin frontal de una recta de un plano, determinar su proyeccin horizontal. La solucin se efecta bajo las mismas consideraciones hechas en el caso anterior.

b. Localizacin de un punto cualquiera en el Plano:Aplicacin: Se da la proyeccin horizontal aH de un punto de un plano mns. Se pide encontrar su proyeccin frontal.

Anlisis previo:Si un punto se encuentra en un plano, entonces forzosamente debe encontrarse en alguna recta de l.Por esta razn, por la proyeccin horizontal del punto, hacemos pasar la proyeccin horizontal de una recta cualquiera y que pertenezca al punto dado.Se encuentra la proyeccin frontal de la recta auxiliar tomada (con el mtodo del problema 3-a).Finalmente, con una referencia determinamos la proyeccin aF buscada que debe encontrarse en la proyeccin frontal de la recta auxiliar.Depurado: Por aH y mH hacemos pasar la proyeccin horizontal de una recta auxiliar y que se encuentre en el plano mns. La proyeccin aHmH tiene que cortar a la recta sHnH en el punto de proyeccin horizontal 1H. Se determina la proyeccin 2F (que se encuentra en sFnF). Determinamos la proyeccin frontal mFlF de la recta auxiliar. Como el punto a se encuentra en la recta auxiliar, con una simple lnea de referencia trazada por aH hasta que la corte, queda determinada la proyeccin buscada aF del punto.Nota.- Con un procedimiento semejante, se puede resolver el problema cuando se da la proyeccin frontal del punto, para hallar su proyeccin horizontal. El alumno puede resolver este ejercicio en base a lo aprendido en el caso anterior.2. VISTAS PARTICULARES DEL PLANO EN EL ESPACIO.Generalmente un plano en el espacio, puede tener una posicin arbitraria o sea que puede presentarse en infinitas formas, pero referidas a los planos de proyeccin, pueden adoptar formas particulares que signifiquen ayuda para su estudio y que puedan favorecer grandemente a la solucin de los numerosos problemas planteados en todos los casos. Segn esto, los planos pueden adoptar las siguientes posiciones o vistas particulares:a. PLANOS PERPENDICULARES A LOS PLANOS DE PROYECCIN (PLANOS DE CANTO):A este tipo de planos, en muchos textos se les conoce con diferentes nombres, tales por ejemplo como: Planos con Vista Lineal, Planos Normales, Planos Inclinados, Planos Auxiliares, etc. Es necesario que el alumno se familiarice con toda la nomenclatura existente para que en cualquier momento, sepa identificarlos.Los planos perpendiculares a los planos de proyeccin, pueden ser los siguientes: PLANO DE CANTO VERTICAL.Es el plano que es perpendicular al plano horizontal de proyeccin.Sus caractersticas en el depurado son las siguientes: Su proyeccin horizontal es una lnea. Cualquier punto, recta o figura que est contenido en este plano, tiene su proyeccin horizontal confundida con la proyeccin horizontal del plano de canto vertical. Sus proyecciones frontal y lateral son arbitrarias.

PLANO DE CANTO NORMAL.Se llama as al punto que es perpendicular al plano frontal de proyeccin.Sus caractersticas en el depurado son: Su Proyeccin Frontal es una lnea. Cualquier punto, recta o figura contenida en este tipo de plano, tiene su proyeccin frontal confundida con al proyeccin frontal del plano. Sus proyecciones horizontal y lateral son arbitrarias.

PLANO DE CANTO LATERAL (paralelo al eje H-F).Es el plano que tiene que ser perpendicular al plano lateral de proyeccin. A este tipo de plano tambin se le conoce con el nombre de plano paralelo al eje H-F.Sus caractersticas en el depurado son: Su proyeccin lateral o de perfil es una lnea. Todas las figuras contenidas en el l, tienen su proyeccin de perfil confundidas con las del plano. Sus proyecciones horizontal y frontal son arbitrarias.

b. PLANOS PARALELOS A LOS PLANOS DE PROYECCIN:Algunos textos los conocen con los nombres de: Planos normales, planos de Vista de Canto, etc.Los planos paralelos a los planos de proyeccin son: PLANO HORIZONTAL.Son los planos Paralelos al Plano horizontal de Proyeccin.Sus caractersticas en el depurado son: Su Proyeccin Frontal es una lnea paralela al eje H-F Su Proyeccin Horizontal se ve en verdadera magnitud. Toda gran figura contenida en este plano, se proyecta en verdadera extensin en proyeccin horizontal. Su proyeccin lateral es una recta paralela al eje H-F

PLANO FRONTAL.Es el plano paralelo al plano frontal de proyeccin.Sus caractersticas en el depurado son: Su Proyeccin Horizontal es una lnea paralela al eje H-F Su Proyeccin Frontal se ve en verdadera magnitud. Toda figura contenida en l, se proyecta en proyeccin frontal en su misma extensin. Su Proyeccin Lateral es una recta perpendicular al eje H-F.

PLANO LATERAL O DE PERFIL.Es el plano Paralelo al plano lateral de proyeccin.Sus caractersticas en el depurado son: Su Proyeccin Horizontal y Frontal se encuentran en una misma lnea perpendicular al eje H-F. Su proyeccin Lateral se ve en verdadera magnitud. Toda figura contenida en ste tipo de plano, se proyecta en su proyeccin lateral en su verdadera extensin o magnitud.

Ejercicios

Sobre una recta ab existe un punto m determinar sus proyecciones.

Decir si el punto c del espacio pertenece al segmento ab, explique sus razones.

El punto c si pertenece a la recta ab ya que sus proyecciones en los tres planos de proyeccin coinciden

Las rectas rs y tu se cortan en el punto n. completar las 3 vistas de ambas rectas.