Prueba
14
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
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LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
IDEA INTUITIVA DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
LÍMITE TIENDE A….
Si f(x) se acerca a un valor L conforme x se aproxima a un valor a, podemos
escribir:
Lf(x)limax
Lo leeremos así: “ límite de f(x) cuando x tiende a a es L”
a
L
y=f(x)
Veamos un ejemplo: Sea la función dada por:
2
1)(
3
x
xxf
x f(x)
4
7
2
1)(lim
3
2
x
xxf
x
1,9 1,50231,99 1,7245
1,999 1,74741,99999 1,74997
2 ?2,00001 1,75003
2,001 1,75262,01 1,7757
2,1 2,0149
xx
LÍMITES
Lf(x)
Lf(x)
f(x)lim
limlim
ax
ax
ax
Si L es finito y ambos límites laterales coinciden, se dice que el límite existe y vale
L
a
L
xa+xa-
y=f(x)
Propiedades para el cálculo de límites
n
ax
n
ax
axax
axaxa x
axaxa x
axaxa x
f(x)limf(x)lim )
g(x)limKg(x)Klim )
g(x)lim/f(x)limf(x)/g(x)lim )
g(x)limf(x)limg(x)f(x)lim b)
g(x)limf(x)limg(x)f(x)lim a)
e
d
c
Cálculo de límites• Para el cálculo de límites 1º se sustituye la
variable x por el punto en el que queremos calcular el límite (incluso si es ):– Si da un valor finito ese es el límite– Si el valor es uno de los siguientes:
Diremos que hay una indeterminación que intentaremos resolver con el procedimiento adecuado
,1,,
0
0,
0
k
Ejemplos
aciónindetermin una es 0
0
1
32lim
132lim
12
lim)(lim
232
22
)(
límite el es este 2
9
2
16413lim
2
1
2
2
22
2
2
2
x
xx
xx
xxf
xx
xx
xxf
x
xx
x
x
xx
xa)
Por tanto el límite es 1
b)
c)
EJERCICIO 1
Lim f(x) no existe
x 1
y
x1 5
2
1
¿Qué ocurre con f(x) cerca de
x=1?
EJERCICIO 2
¿Qué ocurre con f(x) cerca de
x=1?
Lim f(x) = L =2
x 1
y
x
1 5
3
2
EJERCICIO 3
¿Qué ocurre con f(x) cerca de
x=1?
Lim f(x) si existe, pero no coincide con f(1)
x 1
x1
y
5
2
1
EJERCICIO 4
Dado el gráfico de f(x) :
3
5
-3
3
-2x
f(x)
3.5
f(x)d)f(x)c)
f(x)b)f(x)a)
limlim
limlim
2x0x
3x3x
Encuentre:
PASOS A SEGUIR PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES
# 1:• Evaluar para saber si se trata de un límite directo o
estamos en presencia de una forma indeterminada
# 2:• INTENTAR desaparecer la indeterminación a través
de operaciones algebraicas: factorización, productos notables, racionalización, sustitución de alguna identidad trigonométrica ...si fuera el caso...
PROBLEMA 1
3xsi,1x1/
3 xsi2,xf(x)dondef(x);4)
2
3
2
3:Rpta;
3x4xx
2xx3)
1:Rpta,x
x1x12)
1/4:Rpta,x
24x1)
2
3x
1/31/3
23
2
1x
0x
0x
lim
lim
lim
lim
3
Evalúe los siguientes límites:
PROBLEMA 2
0x1,x
0x4,2xf(x)f(x);lim5)
x2
x4xlim4)
ba,ax
babxlim3)
x-4
2xlim2)
1-x1x
lim1)
0x
2
4x
22ax
22x
4
1x
Utilice las reglas para calcular límites para determinar:
