Universidad Andrés Bello Prueba de Selección Universitaria - 2004 PRUEBA DE SELECCIÓN UNIVERSITARIA PRUEBA OBLIGATORIA DE MATEMÁTICA Nº 2

CLAVES DE RESPUESTAS CORRECTAS ENSAYO Nº 2

Nº clave Nº clave Nº clave Nº clave Nº clave Nº clave Nº clave 1 E 11 E 21 B 31 E 41 B 51 B 61 B 2 C 12 A 22 D 32 B 42 E 52 B 62 D 3 B 13 D 23 C 33 C 43 D 53 A 63 C 4 D 14 B 24 E 34 D 44 C 54 E 64 D 5 A 15 C 25 D 35 B 45 E 55 C 65 C 6 D 16 E 26 B 36 A 46 A 56 D 66 B 7 A 17 C 27 A 37 E 47 C 57 E 67 A 8 E 18 D 28 C 38 B 48 E 58 A 68 A 9 B 19 B 29 A 39 C 49 D 59 C 69 D 10 C 20 A 30 D 40 A 50 A 60 E 70 E

PSU Matemática – Clave Ensayo Nº2 1

Universidad Andrés Bello Prueba de Selección Universitaria - 2004

Tabla de conversión de Puntaje Corregido (PC) a Puntaje Estándar (PS)

PSU Matemática

PC = Preguntas buenas – Malas/4 PS = Puntaje Estándar: según tabla. PUNTAJE ESTÁNDAR PSU MATEMÁTICA

PC PS PC PS PC PS PC PS -9 122 11 464 31 552 51 627 -8 148 12 470 32 556 52 631 -7 179 13 476 33 559 53 635 -6 209 14 482 34 562 54 639 -5 234 15 487 35 567 55 644 -4 258 16 492 36 570 56 650 -3 279 17 497 37 574 57 655 -2 301 18 502 38 577 58 660 -1 322 19 507 39 581 59 667 0 342 20 511 40 585 60 674 1 361 21 515 41 588 61 680 2 377 22 519 42 592 62 700 3 390 23 524 43 595 63 720 4 403 24 527 44 598 64 739 5 414 25 531 45 602 65 759 6 425 26 534 46 606 66 780 7 433 27 538 47 610 67 798 8 442 28 541 48 614 68 818 9 450 29 545 49 618 69 827 10 457 30 549 50 622 70 840

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Universidad Andrés Bello Prueba de Selección Universitaria - 2004 PRUEBA DE SELECCIÓN UNIVERSITARIA PRUEBA OBLIGATORIA DE MATEMÁTICA Nº 2 Ejercicios Resueltos 11. El área de cierto cuadrado es x . Si el lado aumenta en 1 unidad, entonces la superficie aumenta:

25x102 +−

A) 2(x – 4) B) 11 – 2x C) 2x + 9 D) 9 – 2x E) 2x – 9

Solución:

Área antes del aumento: 25x10x2 +−Área después del aumento: 25)1x(10)1x( 2 ++−+

= x2 + 2x + 1 – 10x – 10 + 25 = x2 – 8x + 16

Diferencia = Área después del aumento – Área antes del aumento: Diferencia = x2 – 8x + 16 – ( x ) 25x102 +− Diferencia = x2 – 8x + 16 – = 2x – 9. 25x10x2 −+

Alternativa correcta: E.

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Universidad Andrés Bello Prueba de Selección Universitaria - 2004

23. 3 a

a=

A) a

B) 3a

C) 3 a

D) 6 a

E) 3 2a Solución: Método 1: transformado todos los términos de la expresión a potencias.

3 a

a =

21

31

a

a

=

21

31

21

)a(

a = 61

21

a

a , que es una división de potencia de igual base:

61

21

a

a = 61

21

a−

= 61

21

a−

= 31

a . Transformando potencia a raíz:

31

a = 3 a

Alternativa correcta: C.

Método 2: trabajando con raíces:

El término a será expresado como 3 3a ;

Entonces, 3 a

a=

3

3 3

a

a .

El cuociente entre raíces cúbicas será expresado como una sola raíz:

3

3 3

a

a = 33

aa = 3 2a = 3 = 2a 3 a

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Universidad Andrés Bello Prueba de Selección Universitaria - 2004 30. Entre dos vendedores, A y B, han vendido un total de 20 plantas para jardín, por un total de $23.200. Por un problema de información, ambos vendieron a precios diferentes. A vendió a $1.250 y B a $1.100 cada planta. ¿Cuántas plantas vendió B?

A) 5 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14

Solución:

Sea: A = número de planta vendidas por el vendedor A. B = número de planta vendidas por el vendedor B. Entonces, planteamos las igualdades siguientes: (1) A + B = 20 (2) 1.250 A + 1.100 B = 23.200 Que es un sistema de ecuaciones. Despejando A en la ecuación (1): A = 20 – B Y la reemplazamos en la ecuación (2): 1.250 · (20 – B) + 1.100 B = 23.200 25.000 – 1.250 B + 1.100 B = 23.200 -150 B = -1.800 B = 1.800/150 = 12, son las plantas vendidas por B. (A vendió 8 plantas)

Alternativa correcta: D.

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Universidad Andrés Bello Prueba de Selección Universitaria - 2004 31. Si 3U = 100, entonces U =

I: 3log

2 II: 3ln

100ln II: 100log 3

Es (son) verdadera (s):

A) Ninguna B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III

Solución:

Se trata de una ecuación exponencial, pues la incógnita U está en el exponente de 3. Análisis de la proposición I: Aplicando logaritmos decimales: 3U = 100 /log log 3U = log 100 En el primer miembro aplicamos propiedad del logaritmo de una potencia, y el segundo miembro tenemos que log 100 = 2. Entonces: U log 3 = 2. Despejando U: U = 2/log 3. Proposición I es verdadera. Análisis de la proposición II: Aplicando logaritmos naturales: 3U = 100 /ln ln 3U = ln 100 En el primer miembro aplicamos propiedad del logaritmo de una potencia. U ln 3 = ln 100. Despejando U: U = ln 100/ln3. Proposición II es verdadera. Análisis de la proposición III:

Aplicando definición de logaritmo: El logaritmo en base b de un número N es el exponente x al cual se eleva la base B para obtener N.

Esto es: log bN = x ⇔ bx = N

Si 3U = 100 ⇒ log 3 100 = U. Proposición III es verdadera.

Alternativa correcta: E.

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Universidad Andrés Bello Prueba de Selección Universitaria - 2004 52. La circunferencia de centro O de la figura 9, tiene diámetro de 20 cm. Si PQ= 4 cm ¿Cuál es el área del triángulo AOB?

Figura 9 Q

O

A

P

B

A) 20cm2 B) 48cm2 C) 40cm2 D) 30cm2 E) 96cm2

x10 10

O

4

1010

QA

P

BSolución:

Trasladamos la información dada a la figura. También trazamos el triángulo AOB cuya área se pide calcular. El área del triángulo es un medio del producto de la base por la altura. Por lo tanto debemos calcular la base AB y la altura x del triángulo en cuestión. Los lados OA y OR del triángulo AOB son radios de circunferencia, por lo tanto valen 10 cm. La altura x = 10 – 4 = 6 cm.

Por teorema de Pitágoras, el cateto QR = 22 610 − = 8 cm. Luego, la base AB del triángulo AOB = 16 cm. Por lo tanto, el área pedida es: 2

1 · 16 · 6 = 40 cm2.

Alternativa correcta: B.

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Universidad Andrés Bello Prueba de Selección Universitaria - 2004 58. En la figura 16, se tienen las urnas A y B con bolitas negras (relleno oscuro) y blancas (sin relleno). El experimento consiste en extraer una bolita al azar de la urna A y, sin mirarla, depositarla en la urna B. Después se extrae al azar una bolita de la urna B. ¿Cuál es la probabilidad de que de la urna B se extraiga una bolita negra?

A) 11/20

Figura 16

BAB) 3/8 C) 7/12 D) 4/7 E) 0,2

Solución:

Se trata de un problema de probabilidad condicional. Sea NA y NB el suceso obtener bolita negra en las urnas A y B respectivamente y BA y BB la de obtener blanca en las respectivas urnas. Extraer bolita negra de la urna B puede ocurrir de dos formas: a) Negra en urna A y Negra en urna B, dado que resultó negra en la A: NA ∩ NB/NA b) Blanca en urna A y negra en urna B, dado que salió blanca en A: BA N∩ B/BA Algebraicamente esto es: [NA ∩ NB/NA] [B∪ A ∩ NB/BA] En probabilidades: p(NA) · p(NB/NA) + p(BA) · p(NB/BA) p(NA) = 2/5 (en A hay 2 negras en un total de 5) p(NB/NA) = 5/8 (en B hay una negra más, proveniente de A y el total ahora es 8) p(BA) = 3/5 (en A hay 3 blancas en un total de 5) p(NB/BA) = 4/8 (en B hay 4 negras y 4 blancas, contando la que previene de A) Entonces: 2/5 · 5/8 + 3/5 · 4/8 = 1/4 + 3/10 = 11/20

Alternativa correcta: A Nota: también es posible resolver este problema a través de un diagrama de árbol.

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