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ÓPTICA FÍSICA II¿Qué problemas de interés podemos plantearnos acerca de la luz?

Un primer problema esencial relacionado con la luz es explicar cómo vemos, tanto en lo que es la visión directa de los objetos como en la visión indirecta mediante las imágenes que se forman en espejos o mediante diversas lentes y cómo podemos mejorar la calidad de nuestra visión. Concretamente podemos plantearnos preguntas como las siguientes:

¿Qué hace la luz para que podamos ver? Es decir: ¿De dónde sale? ¿Cómo se propaga? ¿A qué velocidad? ¿Qué le ocurre cuando pasa de un medio a otro?

¿Cómo funciona el ojo? ¿Cómo se corrigen algunos defectos de la vista como, por ejemplo, la miopía, la hipermetropía o la vista cansada?

¿Cómo funcionan los espejos y las lentes? ¿Qué aplicaciones tienen?

¿Cómo funcionan algunos instrumentos ópticos (¿lupa, telescopio, etc.?

También podemos tratar de explicar algunos fenómenos como la formación de eclipses, la deformación observada al sumergir parte de un palo alargado en el agua, los espejismos, etc.

Para avanzar en la solución a tales preguntas, no es necesario hacer ninguna hipótesis sobre cuál es la naturaleza de la luz es decir qué es o de qué está hecha. Bastará con que conozcamos cómo se propaga y algunas leyes experimentales como la reflexión y la refracción. Todo ello forma parte de un extenso campo de conocimientos denominado óptica geométrica, que es el tema que vamos a desarrollar a continuación.

1. ¿CÓMO SE PROPAGA LA LUZ?

Existen diversas experiencias cotidianas que conducen a suponer que cuando la luz se propaga en un medio transparente determinado, por ejemplo, aire, vidrio o agua, lo hace de forma rectilínea.

Un fenómeno típico es la formación de zonas de sombra y de penumbra que se pueden recoger situando pantallas detrás de objetos iluminados, tal y como se muestra en las figuras siguientes en las que se ha utilizado un foco puntual y un foco extenso.

Las figuras anteriores se han construido basándose en la propagación rectilínea de la luz. Como puede verse, a la zona de sombra no llega ningún rayo. En la de penumbra solamente llegan algunos rayos procedentes del foco.Los eclipses de Sol y de Luna, se pueden explicar de forma similar a como acabamos de hacer en la formación de sombra y penumbra. Así, por ejemplo, se produce un eclipse total de Luna cuando ésta entra dentro del cono de sombra de la Tierra tal y como se muestra en la figura adjunta (en la que no hemos representado el Sol.

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En este caso es la Luna la que se interpone entre el Sol y la Tierra. El fenómeno se ha representado (no a escala) en la figura siguiente. Como puede comprobarse existirían unas zonas del planeta (sombra) en la que el eclipse sería total mientras que en otras (penumbra) sería parcial y en el resto no se apreciaría.

Una experiencia muy sencilla para constatar la propagación rectilínea de la luz consiste en colocar una serie de cartulinas iguales y opacas con un pequeño agujero en el centro alineadas frente a un foco luminoso como una pequeña bombilla encendida, tal y como se indica en la figura adjunta.

Sólo cuando los tres orificios están alineados es posible ver el foco de luz.

En lo que sigue consideraremos que la luz transporta energía de tal forma que es capaz de impresionar nuestra vista y, de alguna manera, se forman las imágenes de los objetos que la emiten (bien porque son focos luminosos o bien porque la reflejan) en nuestra retina. Para representar la propagación rectilínea de la luz se hace uso de los RAYOS, que son líneas rectas que parten del punto luminoso en todas direcciones (dibujaremos sólo el número de ellos que sea necesario). Cualquier objeto que emite luz se considera como un conjunto de puntos luminosos o focos puntuales.

2. VELOCIDAD DE PROPAGACIÓN DE LA LUZ

La velocidad de la luz es tan grande que los primeros intentos que se hicieron para medirla no dieron ningún resultado. Algunos científicos, como Kepler, pensaban que se propagaba de forma instantánea.

No obstante, en la segunda mitad del siglo XVII se idearon algunos métodos con los que se pudo determinar la velocidad de la luz en el vacío y en distintos medios materiales como agua y vidrio.

En el ANEXO del final, y como curiosidad, describo dos de ellos.

En la actualidad se ha podido medir la velocidad de la luz por distintos métodos mucho más precisos y se acepta como valor de la velocidad de la luz en el vacío el de c = 299.792,5 km/s. En el aire se propaga con una velocidad algo menor. Para simplificar, es habitual (en problemas que no requieren mucha precisión) considerar que la luz se propaga en el vacío y en el aire con una velocidad de 300.000 km/s (o 3·108 m/s).

Así pues, la velocidad de la luz en cualquier medio material es menor que en el vacío. La luz amarilla emitida por las lámparas de sodio se propaga en el agua a 225.000 km/s y en el diamante a 124.481 km/s.

Aunque la velocidad de la luz tiene un valor tan grande, las distancias astronómicas son tan enormes que la luz tarda años o incluso miles de millones de años en llegar de unas estrellas a otras. Es por ello que a menudo, para medir distancias tan grandes se usan unidades como el año luz o distancia que recorre la luz en un año. Así, por ejemplo, la galaxia de la Andrómeda (el objeto más lejano que en una noche clara podemos ver a simple vista) se encuentra de nosotros a más de 2‟3 millones de años luz lo que significa que cuando la observamos la estamos viendo como era hace ese tiempo.

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Nuestra propia galaxia tiene un diámetro de unos 120.000 años luz y la estrella polar se halla a unos 300 años luz.

Las ondas de TV y de radio viajan por el espacio con la misma velocidad que la luz. Un astronauta se encuentra en Marte viendo un partido de fútbol que se juega en la Tierra y en un momento dado ve que su equipo marca un gol. ¿Cuánto tiempo hace que en realidad se produjo dicho gol? (dad el resultado en minutos). En el momento del partido la distancia entre los planetas era de 80.000.000 km. Rdo. 4'4 minutos

3. ÍNDICE DE REFRACCIÓN

Para poder comparar la velocidad de la luz en el vacío y en otro medio dado, se introduce una magnitud denominada índice de refracción (simbolizada por “n”).

El índice de refracción absoluto “n” de un medio transparente determinado expresa el número de veces que la velocidad de la luz en el vacío “c” es mayor que la velocidad de la luz “v” en dicho medio.

Matemáticamente, se define como: n = c/v y siempre resulta un número mayor que 1 (excepto en el vacío que valdrá precisamente 1).

¿Qué significa que el índice de refracción absoluto del agua es 1,333?

De acuerdo con la definición establecida significa que la luz en el vacío se propaga 1,333 veces más rápido que en el agua. En la tabla siguiente se dan los índices de refracción de algunos medios:

4. REFLEXIÓN DE LA LUZ

Se produce cuando un rayo de luz alcanza la superficie de separación con otro medio y no lo atraviesa

sino que retrocede propagándose en el mismo medio.

El comportamiento de un rayo de luz en una reflexión está contemplado en las llamadas leyes de la

reflexión, cuyos enunciados son los siguientes:

El rayo incidente, la normal (N) y el rayo reflejado, están en un mismo plano.

Los ángulos de incidencia ( i ) y de reflexión ( r ) son iguales.

La reflexión de un haz de rayos puede ser especular o dirigida (cuando la luz incide sobre una superficie lisa como, por ejemplo, un espejo o un metal muy pulido) y difusa (cuando la luz incide sobre una superficie que presenta irregularidades).

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En el primer caso, un haz de rayos paralelos (provienen de un punto lo bastante alejado como para poder considerar que llegan paralelos) salen reflejados paralelamente en una misma dirección todos ellos por lo que sólo es posible que entren al ojo (ver el objeto del que provienen) cuando orientemos el ojo en esa dirección (por eso se llama reflexión dirigida), tal y como se indica en la figura adjunta:

La luz reflejada sería apreciada por los observadores A y B pero no por el observador C.

En el segundo caso un haz de rayos paralelos se refleja en todas direcciones. Se trata de la situación más común: muchos objetos cotidianos (cuadros, paredes, muebles ...), personas y animales, producen reflexión difusa y en consecuencia pueden ser vistos desde cualquier punto. En la figura siguiente se ha dibujado (exageradamente) una superficie rugosa y la reflexión difusa que origina.

Las piedras, los árboles, los pájaros, las paredes, etc, no son fuentes primarias de luz, pero, cuando se iluminan (gracias al sol u otro foco luminoso), emiten luz por reflexión difusa en todas direcciones y desde todos sus puntos (sobre los que incide luz) de modo que se convierten en fuentes secundarias de luz y pueden ser vistos desde cualquier posición.

En realidad, los rayos luminosos que llegan a un objeto ordinario (como un lápiz, por ejemplo), no tienen toda la misma dirección (como hemos dibujado en la figura anterior) sino muchas direcciones distintas ya que pueden provenir tanto de algunas fuentes primarias de luz (solar, eléctrica) como de muchas fuentes secundarias (los objetos que le rodean). Por tanto, de cada punto del lápiz salen rayos de luz en muchas direcciones diferentes y sólo un pequeño haz de esos rayos puede penetrar en el ojo de una persona que mira al lápiz. Si la persona cambia de posición seguirá viendo el lápiz, pero los pequeños haces de luz que penetran en sus ojos procedentes de cada punto del lápiz serán ahora otros.

5. REFRACCIÓN DE LA LUZ

La refracción de la luz es el cambio de dirección y de velocidad que experimenta la luz cuando pasa de un medio transparente a otro medio también transparente, pero de distinto índice de refracción. El fenómeno se produce en el instante en que los rayos de luz incidente alcanzan la superficie de separación de ambos medios. Los rayos de luz que se propagan por el segundo medio reciben el nombre de rayos refractados.

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Las leyes de la refracción fueron establecidas de modo teórico y experimental por el matemático W. Snell hacia el año 1620. Son las siguientes:

El rayo incidente, la normal y el rayo refractado están contenidos en un mismo plano.

La relación entre los senos de los ángulos de incidencia y refracción es constante e igual a la relación entre la velocidad de la luz en uno y otro medio respectivamente.

Matemáticamente la segunda ley se puede expresar como:

Teniendo en cuenta que v = c/n obtenemos:

o bien:

Experimentalmente se comprueba que cuando la luz pasa de un medio como el aire a otro como el agua, el rayo refractado se acerca a la normal (y viceversa). Explicar este resultado experimental mediante la ecuación anterior.

Según la ecuación

queda claro que si se cumple n2 n1 se deberá cumplir también que iˆ rˆ, es decir: que el rayo refractado se acerque a la normal (y viceversa).

Un caso especialmente interesante es el fenómeno de la reflexión total. Como acabamos de ver, cuando un rayo de luz pasa de un medio a otro de menor índice de refracción, se aleja de la normal.

Por otra parte, de acuerdo con la ley de Snell de la refracción, si se va aumentando el ángulo de incidencia también aumentará el de refracción, tal y como se observa en la figura siguiente:

El ángulo de incidencia tal que el ángulo de refracción correspondiente valga 90º, se denomina ángulo límite y se simboliza por “L”.

Obtened el valor del ángulo límite L en función de los índices de refracción n1 y n2. ¿Qué ocurrirá cuando el ángulo de incidencia sea mayor que L?

Para conocer el valor del ángulo límite, bastará sustituir en la ley de Snell iˆ = L y rˆ = 90º con lo que:

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Si los rayos incidentes lo hacen con un ángulo de incidencia superior a L, en lugar de refractarse se reflejarán. Este fenómeno se denomina reflexión total.

De acuerdo con lo que hemos visto hasta aquí, consideraremos a la luz como algo que se propaga en línea recta, con una gran velocidad (distinta según el medio) y que experimenta fenómenos de reflexión y refracción cuando pasa de un medio a otro (cumpliendo una serie de leyes). Para representar la luz y su marcha lo hacemos mediante un modelo de rayos luminosos. Los objetos ordinarios reflejan la luz que les llega de forma que de cada uno de sus puntos podemos considerar que salen rayos en todas direcciones.

Como puede verse lo anterior constituye un modelo sobre el comportamiento de la luz, en el que no hemos hecho ninguna hipótesis respecto a qué es la luz. Forma parte del cuerpo de conocimientos de la óptica geométrica y es suficiente, como vamos a ver, para contestar muchas de nuestras preguntas iniciales.

EJERCICIOS RESUELTOS1º) Un haz de luz roja, que se propaga en el vacío, tiene una longitud de onda de 650·10–9 m. Al incidir perpendicularmente sobre la superficie de un medio transparente, la longitud de onda del haz que se propaga en el medio pasa a ser de 500·10–9 m.

a) Calcular el índice de refracción del medio para esa radiación.

b) Notar que un rayo de luz que se propagase en el vacío y cuya longitud de onda fuese de 500 · 10–9 m sería de color verde. ¿Quiere esto decir que la luz que se propaga en el medio transparente pasa a ser de ese color?(Datos: c = 3·108 m/s)

2º) La longitud de onda de luz láser roja de helio-neón en el aire es de 632,8·10–9 m.

1) ¿Cuál es su frecuencia?

2) ¿Cuál es su longitud de onda en un vidrio que posee un índice de refracción de 1,5?

3) ¿Cuál es su velocidad en el vidrio?

3º) Un rayo de luz roja que se propaga por el aire incide sobre un vidrio y forma un ángulo de 30° con la dirección normal a la superficie del vidrio. El índice de refracción del vidrio para la roja es nv = 1,5 y el del aire es na = 1. Calcule el ángulo que forman entre sí el rayo reflejado y el rayo refractado.

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4º) Un rayo de luz viaja desde un medio de índice de refracción 1,2 a otro de índice de refracción 1,6. El rayo incidente forma un ángulo de 37º con la dirección perpendicular a la superficie de separación de los dos medios. ¿Cuánto vale el ángulo de refracción? ¿Hay algún ángulo de incidencia a partir del cual se produzca el fenómeno de la reflexión total?

5º) Un rayo de luz que se propaga por el agua cuyo índice de refracción es n2 = 1,33, llega a su superficie (plana). Si el medio exterior es el aire (n1 = 1),

a) Calcular el ángulo mínimo de incidencia para que se produzca la reflexión total.

b) Para este ángulo de incidencia, calcular el ángulo de refracción si el medio exterior es un vidrio (n3 = 1,5). ¿Podría existir reflexión total en este caso?

c) Determinar lo que vale la velocidad de la luz en el agua y en el vidrio.

Nota: suponemos que las propiedades ópticas del aire son las mismas que las del vacío: c = 300 000 km/s.

Un rayo de luz monocromática incide en una de las caras de una lámina de vidrio, de caras planas y paralelas, con un ángulo de incidencia de 30º. La lámina está situada en el aire, su espesor es de 5 cm y su índice de refracción 1,5.

a) Dibuje el camino seguido por el rayo y calcule el ángulo que forma el rayo que emerge de la lámina con la normal.

b) Calcule la longitud recorrida por el rayo en el interior de la lámina.

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ANEXO En 1675, el astrónomo Olaf Roëmer comprobó que la luz en el vacío no se propaga de forma instantánea, basándose en observaciones astronómicas sobre el periodo de una de las lunas de Júpiter. Dicho periodo se determina midiendo el tiempo que transcurre entre dos eclipses sucesivos de dicha luna. El valor obtenido fue de unas 42,5 horas.

Roëmer hizo la simplificación de suponer que la posición de Júpiter era prácticamente la misma mientras la Tierra describía una órbita completa alrededor del Sol (la órbita de Júpiter tiene un radio mucho mayor que la de la Tierra por lo que éste se traslada en torno al Sol mucho más lentamente que nuestro planeta).

Cuando la Tierra se encontraba en la posición A, Roëmer midió el periodo de la luna (42,5 h) y con este dato calculó cuándo debería comenzar a ocultarse dicha luna en el cono de sombra de Júpiter medio año después (cuando la Tierra se encontrase en la posición C) suponiendo que la luz se propagase de forma instantánea. Al realizar las medidas experimentales, encontró que el eclipse comenzaba 22 minutos más tarde de la hora prevista. Roëmer interpretó este hecho correctamente, afirmando que la luz se propagaba con una velocidad muy grande pero finita, y que el retraso se debía al tiempo empleado por la luz en recorrer una distancia igual al diámetro de la órbita terrestre.

Poco tiempo después, Huygens utilizó los datos obtenidos por Roëmer para hacer el primer cálculo de la velocidad de la luz.

Huygens combinó el valor obtenido por Roëmer de 22 minutos para que la luz reflejada por el satélite de Júpiter recorriese una distancia igual al diámetro de la órbita terrestre, con el valor que él mismo atribuía a dicho diámetro (unos 3·1011 m) ¿Qué valor obtuvo Huygens para la velocidad con que se debía propagar la luz en el vacío?

227.272,7 km/sEl hecho de que la luz se propague a una velocidad tan grande hacía muy difícil que ésta pudiera ser medida directamente en un laboratorio terrestre. Para ello hubo que esperar hasta mediados del siglo XIX, como veremos a continuación.

En 1849 el físico francés Fizeau fue el primero en medir la velocidad de la luz por un método no astronómico. En la figura siguiente hemos representado esquemáticamente (no a escala) una versión simplificada del ingenioso dispositivo que utilizó. En ella, la distancia entre el ojo y la rueda es despreciable frente a la distancia L entre la rueda y el espejo.

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La luz procedente del foco F se hace incidir sobre el espejo semiplateado E (se llama así porque su capa reflectora es tan delgada que sólo refleja la mitad de la luz que le llega y transmite la otra mitad). La luz reflejada por el espejo se mueve a tan gran velocidad que puede pasar por un hueco de la rueda dentada, reflejarse en el espejo de la derecha y regresar por el mismo camino (y el mismo hueco) hacia el espejo semitransparente que transmitirá de nuevo la mitad de ella, la cual entrará al ojo del observador formándose en la retina de éste una imagen de la bombilla emisora. El tiempo empleado en ir al espejo desde la rueda dentada y volver a ella vendrá dado por:

En el experimento original la distancia L (entre la rueda dentada y el espejo de la derecha) fue de algo más de 8,5 km. Midiendo el tiempo t se podría determinar el valor de c, sin más que despejar de la expresión anterior y sustituir los datos correspondientes.

Para medir el tiempo que tarda la luz en ir y regresar, se recurrió a hacer girar la rueda dentada cada vez más deprisa hasta conseguir que la porción de luz que regresa del espejo de la derecha se encuentre con un diente en lugar de con el mismo agujero por donde pasó. En ese caso la luz reflejada que regresa no llegará al observador.

Así pues, el experimento consistió en ir aumentando la velocidad w de la rueda dentada hasta conseguir que la imagen de la fuente que ve el observador desaparezca.

Al utilizar el dispositivo que acabamos de comentar, en una de las experiencias se comprobó que la rapidez angular mínima a la que desparecía la imagen de la fuente luminosa era de 12,6 vueltas/s. Sabiendo que el ángulo entre el centro de un hueco y el de un diente era de 0,25 º y la distancia L entre la rueda y el espejo de 8630 m, calculad el valor de c que se obtuvo.

El tiempo que tarda el centro de un hueco en ser ocupado por el centro de un diente vendrá dado por:

Dicho tiempo debe ser el mismo que el empleado por la porción de luz que pasó por el agujero en ir al espejo de la derecha y regresar para tropezar con el diente, es decir: