Publi 05.03.2015
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Un canal trapecial transporta 12 m3/s y posee un talud de 60°. El ancho en el fondo es de 3 m y el tirante de 1,5 m. Si se necesita transportar 20 m3/s, se desea saber ¿Cuántos metros habría que ampliar la base del canal manteniendo el talud? Considerar para concreto antiguo 0,018 y para el nuevo revestimiento 0,014. ¿Qué dimensión tendría la nueva base del canal? Calculamos la pendiente con la ecuación de Manning Q= AR 2/3 S 1/2 /n Q=12 m3/s, z=cot 60°=0.577, solera=3 m, y= 1,5 m. (tirante), n=0,018(rugosidad de concreto antiguo), Radio Hidráulico= 0,8971 m, Perímetro mojado= 6,4636 Haciendo los reemplazos ----> S=0.001604 (pendiente) Área Hidráulica = 5,7983; Espejo del Agua = 4,7310; Número de Froude= 0,5969; Flujo=Subcrítico. Sección del Canal inicial Respuesta Aplicando aproximaciones sucesivas Y=1.5 Ancho Solera Ampliada=3.891 Z=0.577 n=0.014 S=0.001604 Q=20,0017 m3/s Área Hidráulica Final=7,1348 m2 1 Néstor Augusto O.L.
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Un canal trapecial transporta 12 m3/s y posee un talud de 60°. El ancho en el fondo es de 3 m y el tirante de 1,5 m. Si se necesita transportar 20 m3/s, se desea saber ¿Cuántos metros habría que ampliar la base del canal manteniendo el talud? Considerar para concreto antiguo 0,018 y para el nuevo revestimiento 0,014. ¿Qué dimensión tendría la nueva base del canal?
Calculamos la pendiente con la ecuación de Manning
Q= AR2/3S1/2/n
Q=12 m3/s, z=cot 60°=0.577, solera=3 m, y= 1,5 m. (tirante), n=0,018(rugosidad de concreto antiguo),
Radio Hidráulico= 0,8971 m, Perímetro mojado= 6,4636
Haciendo los reemplazos ----> S=0.001604 (pendiente)
Área Hidráulica = 5,7983; Espejo del Agua = 4,7310; Número de Froude= 0,5969; Flujo=Subcrítico.
Sección del Canal inicial
Respuesta
Aplicando aproximaciones sucesivas
Y=1.5
Ancho Solera Ampliada=3.891
Z=0.577
n=0.014
S=0.001604
Q=20,0017 m3/s
Área Hidráulica Final=7,1348 m2
1 Néstor Augusto O.L.
Perímetro mojado=7,35 m
R=0,9701
Froude=0,7945
Tipo de Flujo = Subcrítico
2 Néstor Augusto O.L.
Sección de Máxima Eficiencia Hidráulica
Q =1n∗ (A𝑅𝑅2/3𝑆𝑆1/2)
Canal de sección(A) constante,pendiete(S) y rugosidad(n) ,radio hidráulico variable(R)
===> Q(R) = C*R2/3==>Qmáximo cuando R máximo 𝑅𝑅 = 𝐴𝐴
𝑃𝑃 ; 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝐴𝐴 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ,𝑅𝑅 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠á 𝑚𝑚á𝑥𝑥𝑥𝑥𝑚𝑚𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑃𝑃 𝑚𝑚í𝑐𝑐𝑥𝑥𝑚𝑚𝑐𝑐 (Perímetro mojado mínimo)
Para una sección trapezoidal, tenemos la siguiente geometría
𝑃𝑃 = 𝑐𝑐 + 2𝑐𝑐; 𝑐𝑐 = �𝑥𝑥𝑧𝑧� ∗ �1 + 𝑧𝑧2;
𝑥𝑥𝑧𝑧
= 𝑦𝑦; 𝒄𝒄 = 𝒚𝒚��𝟏𝟏 + 𝒛𝒛𝟐𝟐� => 𝐏𝐏 = 𝐚𝐚 + 𝟐𝟐𝟐𝟐�𝟏𝟏+ 𝐳𝐳𝟐𝟐
𝐴𝐴 = �𝑐𝑐 + 𝐵𝐵
2� ∗ 𝑦𝑦;𝐵𝐵 = 𝑐𝑐 + 2𝑥𝑥; 𝑦𝑦 =
𝑥𝑥𝑧𝑧
;𝒙𝒙 = 𝒛𝒛𝒚𝒚;𝐴𝐴 = 𝑦𝑦(𝑐𝑐 + 𝑥𝑥) => 𝐀𝐀 = 𝟐𝟐(𝐚𝐚 + 𝐳𝐳𝟐𝟐)
𝐴𝐴 = 𝑐𝑐𝑦𝑦 + 𝑧𝑧𝑦𝑦2 => 𝑐𝑐 = 𝐴𝐴𝑦𝑦−1 − 𝑧𝑧𝑦𝑦
𝐏𝐏 = 𝐀𝐀𝟐𝟐−𝟏𝟏 − 𝐳𝐳𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟐𝟐�𝟏𝟏 + 𝐳𝐳𝟐𝟐
Derivando Perímetro mojado (P) respecto al tirante “y” e igualando a cero
−𝐴𝐴𝑦𝑦2
+ 2�1 + 𝑧𝑧2 − 𝑧𝑧 = 0;𝐴𝐴𝑦𝑦2
= 2�1 + 𝑧𝑧2 − 𝑧𝑧;𝐴𝐴 = 𝑦𝑦𝑐𝑐 + 𝑧𝑧𝑦𝑦2, =>𝑦𝑦𝑐𝑐 + 𝑧𝑧𝑦𝑦2
𝑦𝑦2= 𝑦𝑦𝑐𝑐 + 𝑧𝑧𝑦𝑦2
=>𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦2
+ 𝑧𝑧𝑦𝑦2
𝑦𝑦2= 𝑦𝑦
𝑦𝑦+ 𝑧𝑧 = 2√1 + 𝑧𝑧2 − 𝑧𝑧; => 𝑦𝑦
𝑦𝑦= 2√1 + 𝑧𝑧2-2z=> cuando a=2y(√𝟏𝟏 + 𝒛𝒛𝟐𝟐 − 𝒛𝒛) se produce
el Perímetro mojado mínimo.(a,es el valor de la solera).
Para una sección rectagular,z=0=> a=2y
𝑅𝑅 =𝑐𝑐𝑦𝑦
𝑐𝑐 + 2𝑦𝑦=>
2𝑦𝑦 ∗ 𝑦𝑦2𝑦𝑦 + 2𝑦𝑦
=2𝑦𝑦2
4𝑦𝑦=> 𝐑𝐑 =
𝟐𝟐𝟐𝟐
z
1
a
x
3 Néstor Augusto O.L.
Para una seccion trapezoidal
Haciendo 𝑤𝑤 = √1 + 𝑧𝑧2
𝑐𝑐 = 2𝑤𝑤𝑦𝑦 − 2𝑧𝑧𝑦𝑦;
𝑅𝑅 = 𝐴𝐴𝑃𝑃
;𝐴𝐴 = (𝑦𝑦+𝐵𝐵)𝑦𝑦2
= 2𝑤𝑤𝑦𝑦2−2𝑧𝑧𝑦𝑦2+2𝑤𝑤𝑦𝑦2−2𝑧𝑧𝑦𝑦2+2𝑧𝑧𝑦𝑦2
2= 𝒚𝒚𝟐𝟐(𝟐𝟐𝒘𝒘− 𝒛𝒛);𝑃𝑃 = 𝑐𝑐 + 2𝑐𝑐 => 𝑃𝑃 = 2𝑤𝑤𝑦𝑦 − 2𝑧𝑧𝑦𝑦 +2wy=2(2wy-zy)
=>P=2y(2w-z);=> 𝑅𝑅 = 𝑦𝑦2(2𝑤𝑤−𝑧𝑧)2𝑦𝑦(2𝑤𝑤−𝑧𝑧)
= 𝐑𝐑 = 𝟐𝟐𝟐𝟐
Conclusión
Para una sección de máxima eficiencia hidráulica de canal rectangular o trapezoidal ,el radio hidráulico(R) es igual a la mitad del tirante.
Valor del talud “z” en función del ángulo a
cot a=z/1 = z ó z= cot a
4 Néstor Augusto O.L.
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