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Bloque 3

Expresiones algebraicas equivalentes

Desarrollo del pensamiento algebraico

Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

Bloque 3

Expresiones algebraicas equivalentes

Presentación El principal propósito de este bloque es retomar los conocimientos que

adquiriste en el bachillerato sobre equivalencia de expresiones algebraicas y agregar a tu formación como futuro docente la oportunidad de analizar una propuesta didáctica donde la equivalencia de expresiones algebraicas se intro-duce en el contexto de la equivalencia de funciones lineales.

Al abordar el concepto de equivalencia de expresiones algebraicas en el contexto de las funciones con el apoyo de un procesador algebraico, como el que está instalado en la calculadora, se traslada el estudio de ese concepto algebraico al ámbito de los números. Esto representa una ventaja didáctica, porque favorece que los alumnos de educación básica realicen un “tránsito suave” de la aritmética al álgebra al abordar el álgebra en un ámbito que les es familiar.

La propuesta didáctica que se presenta en este bloque de actividades

se apoya en las habilidades que has desarrollado en los bloques anteriores pa-ra reconocer patrones numéricos y para enunciar la regla que los genera me-diante una expresión algebraica.

En este bloque se introduce la vertiente sintáctica del código algebrai-

co, en particular, se aborda lo referente a las reglas para transformar expre-siones algebraicas. En estas actividades las reglas de transformación se redu-cen a una sola, que consiste en considerar que dos expresiones algebraicas son equivalentes si tienen el mismo valor numérico para el mismo valor de la variable involucrada.

La vertiente sintáctica es un complemento indispensable (reglas de

transformación) para los aspectos semánticos del álgebra (significados para las expresiones algebraicas). La vertiente semántica nos permite expresar relacio-nes y generalizaciones mediante el código algebraico, y la vertiente sintáctica nos permite operar con los elementos de ese código (expresiones algebraicas). La investigación reporta que es indispensable que los alumnos dominen ambas vertientes para que sean competentes en el uso del álgebra como herramienta para plantear y resolver problemas; la resolución de problemas se abordará en el último bloque de este libro.

Te invitamos a que realices las actividades de este bloque reflexionando

sobre el tipo de aprendizajes que pueden construir los alumnos de educación básica, las posibles dificultades que ellos puedan encontrar y las estrategias plausibles que puedes crear para preverlas y, en su caso, ayudarles a que las superen.



HOJA DE TRABAJO 23 Expresiones algebraicas equivalentes (1)

Un estudiante construyó un programa que produce esta tabla:

Valor de entrada

Valor de salida

1 4

1.5 6

3 12

5 20

1. Si el valor de entrada es 8, ¿qué valor de salida va a dar la calculadora? __________ ¿Y si el valor de entrada es 10? __________ ¿Si el valor de entrada es 70? __________ 2. ¿Qué operaciones hiciste para obtener tus respuestas? ______________________

________________________________________________________________ 3. ¿Puedes programar tu calculadora para que produzca la tabla del inciso (1)? Escribe el

programa que hiciste en el recuadro.

4. ¿Puedes escribir otro programa que produzca la misma tabla? Escríbelo en el recua-

dro.

5. ¿Puedes construir otros programas distintos que hagan lo mismo? Escríbelos abajo.




1. Un estudiante construyó un programa que produce esta tabla:

Valor de entrada

Valor de sa-lida

2 3 4 6 8 12

10 15

2. ¿Qué valor de salida producirá la calculadora si el valor de entrada es 5? ____________

¿Y si el valor de entrada es 6? ________ ¿Si el valor de entrada es 15? _________

3. ¿Qué operaciones hiciste para obtener tus respuestas? _________________________ __________________________________________________________________

4. ¿Puedes construir un programa que produzca la tabla del inciso (1)? Pruébalo en tu calcu-ladora y si funciona como esperas escríbelo en el recuadro.

5. Una estudiante dice que el programa b+b÷2 produce la tabla del inciso (1). ¿Estás de

acuerdo con ella? __________ Escribe dos ejemplos que justifiquen tu respuesta. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________

6. ¿Puedes escribir otro programa como el que ella hizo y que además produzca los valores que se muestran en la tabla del inciso (1)? Pruébalo en tu calculadora, si funciona como es-peras escríbelo en el recuadro.

7. ¿Puedes construir otros programas que produzcan los mismos valores de la tabla del inciso

(1)? Pruébalos en tu calculadora y si arrojan los resultados que esperas escríbelos en los recuadros.




1. Observa la tabla que se muestra a la derecha.

Valor de entrada

Valor de salida

1 0.25

2 0.5

3 0.75

4 1

6 1.5

2. ¿Puedes programar tu calculadora para que produzca los mismos resultados que la tabla del inciso (1)? Prueba tu programa y si da los valores que esperas escríbelo en el recuadro.

3. Un estudiante dice que el programa (b+b)÷8 produce los valores de la tabla del in-

ciso (1). ¿Estás de acuerdo con él? ___________ Escribe dos ejemplos que justi-fiquen tu respuesta. _________________________________________________ __________________________________________________________________

4. ¿Puedes construir otro programa que produzca los mismos vaores de la tabla del

inciso (1)? Pruébalo en tu calculadora y si funciona como esperas escríbelo en el recuadro.

5. ¿Puedes construir otros programas que produzcan los valores de la tabla 1? Prué-

balos en tu calculadora y escríbelos en los recuadros.




1. Observa los valores que se muestran en la tabla

Valor de entrada

Valor de salida

-1 -0.5

3 1.5

7.4 3.7

17 8.5

21 10.5

2. ¿Cuál va a ser el valor de salida si el valor de entrada es 5? _________________

¿Y si el valor de entrada es 6? ____________ ¿Cuál es el valor de entrada si el valor de salida es 20? ____________________________________________

3. Programa tu calculadora para que produzca los mismos valores que se muestran en

la tabla del inciso (1). Pruébalo en tu calculadora y si funciona como esperas escrí-belo en el recuadro.

4. ¿Puedes escribir otro programa que produzca los mismos valores? Pruébalo en tu

calculadora y escríbelo en el recuadro.

5. Una estudiante dice que el programa (r+r)÷4 produce los valores que se muestran

en la tabla del inciso (1). ¿Estás de acuerdo con ella? _________ ¿Puedes cons-truir otros programas que produzcan los mismos valores? Pruébalos en tu calcula-dora, si funcionan como esperas escríbelos en los cuadros de abajo.




1. Completa la siguiente tabla.

Valor de entrada

Valor de salida

4 6 6 9

10 15 12 16 24 18 22 33

45

1. ¿Qué valor de salida dará el programa si el valor de entrada es 12?

______________ ¿Y si el valor de entrada es 20? _________________ ¿Cuál es el valor de entrada si el valor de salida es 60? ________________________

2. Un estudiante dice que el programa p×3÷2 produce los valores que se muestran en

la tabla del inciso (1). ¿Estás de acuerdo con el él? ___________ Escribe dos ejemplos que justifiquen tu respuesta. ________________________________ _____________________________________________________________

3. Una alumna dice que el programa q+q÷2 también produce los valores de la tabla del inciso (1). ¿Estás de acuerdo con ella? _________ Escribe dos ejemplos que justi-fiquen tu respuesta. ____________________________________________ _____________________________________________________________

1. Construye otro programa que produzca los valores de la tabla (1). Prueba tu programa en tu calculadora y si funciona como esperas escríbelo en el recuadro.

3. ¿Puedes construir otros programas que produzcan los valores de la tabla del inciso (1)? Pruébalos en tu calculadora y si funcionan correctamente escríbelos en los recuadros.



HOJA DE TRABAJO 28 Expresiones algebraicas equivalentes de dos pasos

1. Una estudiante un programa construyó un programa que pro-

duce los vaores que se muestrab en esta tabla.

Valor de entrada

Valor de salida

1 6 3 10 5 14 9 22

10 28 34

2. Completa la tabla.

3. ¿Puedes programar tu calculadora para que produzca la tabla del inciso (1)? Si tu

programa funciona correctamente escríbelo en el recuadro.

3. Construye otro programa que haga lo mismo. Pruébalo en tu calculadora, si funciona co-mo esperas escríbelo en el recuadro.

4. Construye tres programas que produzcan los mismos valores de salida que el programa

3×a+2. Pruébalos en tu calculadora, si funcionan escríbelos en los cuadros de abajo.



HOJA DE TRABAJO 29 Programas equivalentes (1)

Llamaremos programas equivalentes a los programas que producen los mismos valores de salida para los mismos valores de entrada. 1. Construye dos programas que equivalentes al pro-

grama a×1. _______________________________ _______________________________________

2. Un estudiante dice que el programa a×1 es equivalen-

te al programa a. ¿Estás de acuerdo con él? ________ Teclea en tu calculadora los programas a y a×1. Compara los valores que arroja ambos pro-gramas. Escribe tus conclusiones a continuación. __________________________________________ __________________________________________ __________________________________________ __________________________________________ __________________________________________

3. Construye tres programas equivalentes al programa 3×b. Pruébalos en tu calculadora y si producen los mismos resultados escríbelos a continuación. ___________________ ________________________________________________________________

4. De la siguiente lista de programas, identifica los que sean equivalentes al programa b. No debes tener ningún error. Si lo crees necesario usa tu calculadora para compro-bar tus respuestas.

a÷2+a÷2

4×b−4×b

5×c−4×c

b÷b

1×d×1

5. Identifica los programas que sean equivalentes al programa 1.5×a. No debes tener

ningún error. Si lo crees necesario usa tu calculadora para comprobar tus respuestas.

3×a÷2

b×3÷2

6×c÷4

2×b−b÷2

d+0.5×d



HOJA DE TRABAJO 30 Programas equivalentes (2)

1. Construye dos programas distintos que produzcan los valo-

res que se muestran en la tabla de la derecha.

Valor de entrada

Valor de salida

1 1.25

3 3.75

4 5

8 10

10 12.5

16 20

Escribe a continuación los programas que construiste.

2. Construye seis programas distintos que produzcan los resulta-

dos que se muestran en la tabla.

Valor de entrada

Valor de salida

1.2 1 4 1 5 1

12.33 1 28.9 1

Anota a continuación los programas que construiste.



HOJA DE TRABAJO 31 Lectura de expresiones algebraicas equivalentes

1. Analiza el programa 2+3.5 × n.

1. ¿Qué valor de salida va a dar la calculadora si el valor de entrada es 5? ___________

¿Si el valor de entrada es 10? ________ ¿Si el valor de salida es 44? ____________ 2. ¿Puedes hacer otro programa que produzca los mismos valores que 2+3.5 × n? Prueba

tu programa en tu calculadora y si funciona anótalo en el recuadro.

3. Construye otros tres programas que produzcan los mismos resultados que 2+3.5 × n.

Usa tu calculadora para verificar que tus programas funcionen y anótalos en los cua-dros de abajo

3. ¿Puedes construir tres programas distintos que produzcan los mismos valores que el

programa 1.02×Z?. Pruébalos en tu calculadora y anótalos en los cuadros de abajo.



Actividades que se sugieren para el futuro docente

1. ¿Por qué se recomienda enfáticamente que los alumnos de la escuela primaria estudien las operaciones aritméticas en el contexto de la resolución de problemas en situaciones que se le sean familiares? Discute tu respuesta con tus compañe-ros y tu profesor.

2. Discute con tus compañeros el papel que desempeña el valor numérico de una expresión algebraica en la comprensión del concepto de equivalencia entre expre-siones algebraicas. ¿Qué relación hay entre esto y el papel que desempeña el en-torno cotidiano en los problemas aritméticos que se proponen a un alumno de pri-maria?

3. Con base en la experiencia que has vivido al realizar las actividades de este blo-

que, ¿qué significa para ti la letra que se usa en una expresión algebraica? Acom-paña tu respuesta con algunos ejemplos.


que, ¿qué significa para ti una expresión algebraica? Acompaña tu respuesta con algunos ejemplos.


que, ¿para qué crees que sirvan las expresiones algebraicas? Acompaña tu res-puesta con algunos ejemplos.

6. Di si es falsa o verdades la siguiente afirmación: “Para que dos expresiones alge-

braicas sean equivalentes es necesario que contengan a la misma literal”. Ilustra tu respuesta con varios ejemplos.

7. Consulta en distintas fuentes el significado de los siguientes términos:

(i) Polinomio en una variable. (ii) Valor numérico de un polinomio.

8. Redacta un párrafo en el que expliques, utilizando tus propias palabras, qué rela-ción hay entre las actividades que realizaste en este bloque y los términos que se mencionan en el inciso 6.

9. Indaga en las fuentes que consideres pertinente qué se entiende por “simplifica-ción de términos semejantes en una expresión algebraica”. Redacta un párrafo en el que describas qué relación hay entre esa simplificación y las actividades que realizaste en este bloque.

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