Radio de Convergencia Ejemplos

Escuela de Ingenieros de Bilbao Departamento Matemática Aplicada

SERIES POTENCIALES 1.- Hallar el campo de convergencia de la serie potencial:

( )xn

n

n

+

=

∞

∑ 32

1

Realizando el cambio de variable, 3x y+ = , tenemos la serie: 21

n

n

yn

∞

=∑

Campo de convergencia:

1

221

2

2

( ) ( 1)lim lim lim | | | |( ) ( 1)

n

nnn n n

n

yf y nn y y

yf y nn

+

+

→∞ →∞ →∞

+= = =+

Si | | , la serie es absolutamente convergente. Luego 1 Si ( 1,1)y y< ⇒ ∈ − 1R = es el radio de convergencia de la serie.

Por tanto, la serie converge cuando | 3 | 1 4 2 ( 4, 2x x x )+ < ⇒ − < < − ⇒ ∈ − −

En los extremos:

a) . La serie es en ese punto: 4x = − 21

( 1)n

n n

∞

=

−∑ . La serie formada por los valores

absolutos de sus términos es: 21

1n n

∞

=∑ , que, por comparación con la armónica es

convergente. Por lo tanto, en es absolutamente convergente. 4x = −

2x = − . La serie en ese punto es: 21

1n n

∞

=∑ , que es convergente. b)

Por lo tanto, el cvampo de convergencia es [ 4, 2]− −

Solución: [-4,-2]

2.- Hallar el radio de convergencia de la serie:

xn

n

n2

1=

∞

∑

1

221

2

2

( ) ( 1)lim lim lim | | | |( ) ( 1)

n

nnn n n

n

xf y nn x x

xf y nn

+

+

→∞ →∞ →∞

+= =+

=

15


Si | la serie converge. Por lo tanto, el radio de convergencia es 1. | 1 ( 1,1)x x< ⇒ ∈ −

Nota. En este caso no es necesario hallar si converge en los extremos del intervalo porque no nos lo piden.

Solución: R = 1

3.- Hallar el radio y campo de convergencia de la serie:

nn

xnn

n 2 2 11

1 ⋅ −⋅ −

=

∞

∑ ( )( )

11

1

1 ( 1)( ) 1 2 1 | 1|2 (2 1)lim lim lim | 1|

( ) 2 2 1 2( 1)2 (2 1)

nn

n

n n nnnn

n xf x n n xn xnf x n nx

n

++

+

→∞ →∞ →∞

+−

+ − −+= =+−

−

− =

Si | 1| 1 | 1| 2 ( 1,3)2

x x x−< ⇒ − < ⇒ ∈ − la serie es absolutamente convergente.

En los extremos, tendremos:

a) En . La serie en este punto es: 3x =1 1

22 (2 1) 2 1

nn

n n

nn n

∞ ∞

= =

⋅ =n

⋅ − −∑ ∑ que no converge

porque su término general no tiende a cero, que es la condición necesaria de convergencia..

b) En . La serie es en este punto: 1x = −1 1

( 1)( 2)2 (2 1) 2 1

nn

nn n

n nn n

∞ ∞

= =

−⋅ − =

⋅ − −∑ ∑ , que tampoco

converge porque su término general, en valor absoluto no tiende a cero y no se cumple la condición necesaria de convergencia.

Por lo tanto, el campo de convergencia de la serie será: (-1,3)

Solución: R = 2, C. C. : (-1,3)

4.- Hallar el radio y campo de convergencia de la serie:

…… ++++++++++ −− nnn xxxxxxxx 212225432 33331

Solución: R = 1, C. C. : (-1,1)

2 3 4 5 2 2 2 1 2 2 3 4 5

0

1 3 3 3 3 (1 3 )(1 )

(1 3 )

n n n

n

n

x x x x x x x x x x x x x

x x

− −

∞

=

+ + + + + + + + + + = + + + + + + =

= + ∑

… …

r x

…

Pero ésta última serie es geométrica de razón = , que converge si | | 1 1 1 ( 1,1)x x x< ⇒ − < < ⇒ ∈ − 5.- Hallar el radio y campo de convergencia de las series:

16


a) xn

n

nn 4 2

1 ⋅=

∞

∑ Solución: R = 4, C.C.: [-4,4]

1

21 21

2

2

( ) | |4 ( 1)lim lim lim | |( ) 4( 1) 4

4

n

nn

nn n nn

n

xf x n xn x

xf x nn

+

++

→∞ →∞ →∞

+= =+

=

Si | | 1 | | 4 ( 4,4) 44x x x R< ⇒ < ⇒ ∈ − ⇒ = la serie es absolutamente convergente.


a) En la serie es: 4x = 21 1

44

n

nn nn n

∞ ∞

= =

=⋅∑ ∑ 2

1 que es una serie armónica de y

por lo tanto, convergente.

2 1a = >

b) En , la serie es: 4x = − 21 1

( 4) ( 1)4

n n

nn nn n

∞ ∞

= =

−=

⋅∑ ∑ 2

− . La serie en valor absoluto es: 21

1n n

∞

=∑

que es convergente. Por lo tanto, campo de convergencia de la serie es : [-4,4]

b) xn

n

nn

−

=

∞

⋅∑1

1 4 Solución: R = 4, C.C.: [-4,4)

11

1

( ) | |4 ( 1)lim lim lim | |( ) 4( 1) 4

4

n

nn

nn n nn

n

xf x n xn x

xf x nn

++

−→∞ →∞ →∞

+= =+

=

Si | | 1 | | 4 ( 4,4) 44x x x R< ⇒ < ⇒ ∈ − ⇒ = la serie es absolutamente convergente.


a) En . La serie es: 4x =1

1 1

4 1 14 4 4

n

nn n nn n

−∞ ∞

= =

= =⋅∑ ∑ ∑

1

1n

∞

=

que es una serie armónica de

y por lo tanto, diverge. 1a =

b) En , la serie es: 4x = −1 1

1 1

( 4) 1 ( 1)4 4

n n

nn nn n

− −∞ ∞

= =

− −=

⋅∑ ∑ . La serie en valor absoluto es:

1

1n n

∞

=∑ que es divergente. Pero es alternada y cumple las dos condiciones del teorema

de Leibnitz y por lo tanto, es condicionalmente convergente. El campo de convergencia de la serie es : [-4,4)

17


6.- Obtener la suma de la serie potencial (para aquellos valores que la hagan convergente:

x x x xn

n

+ + + +−

+−5 9 4 3

5 9 4 3… …

Solución: S x xx

x x( ) ( , )=+−FHGIKJ + ∀ ∈ −

14

11

12

11L arctg

En primer lugar, vamos a estudiar el campo de convergencia de esta serie:

4 1

4 44 3

4 34 1lim lim4 1

4 3

n

nn n

xnn x x

x nn

+

−→∞ →∞

−+ = =+

−

. Si la serie es

absolutamente convergente. En los extremos tendremos:

4| | 1 | | 1 ( 1,1)x x x< ⇒ < ⇒ ∈ −

a) 1x = . La serie es: 1

14 3n n

∞

= −∑ . Pero 14 3 4n n−

∼ 1 y ésta última tiene el mismo carácter

que la armónica, es decir, divergente.

b) En , la serie es: 1x = −4 3

1

( 1)4 3

n

n n

−∞

=

−−∑ , que es una serie que tiene todos sustérminmos

negativos y por lo tanto, tiene el mismo carácter que la anterior. Por lo tanto, también en la serie no converge. 1x = −

En resumen, el campo de convergencia de la serie es: ( 1,1)− Para obtener su suma, vamos a derivarla término a término:

4 8 4 41 nx x x −+ + + + +… … Esta serie tiene el mismo radio de convergencia que la anterior y por lo tanto, tiene suma finita al menos en ( . 1,1)−Es sencillo sumarla porque es una serie geométrica de razón 4x . Su suma será, además, derivada de la suma:

4

1( )1

S xx

′ =−

Entonces, 4( ) ( )1

dxS x S x dxx

′= =−∫ ∫

Para resolver esta integral, descomponemos en factores:

4

11 1 1 1 2

A B Cx Dx x x x

+= + +

− + − +; Igualando coeficientes, se obtiene:

1 1; 0;4 2

A B C D= = = =

Por lo tanto:

18


4 2

1 1 1( ) ( )1 4 1 4 1 2 1

dx dx dx dxS x S x dxx x x x

′= = = + + =− + − +∫ ∫ ∫ ∫ ∫

1 1 1|1 | |1 | arctan4 4 2

L x L x x= + − − + + k

Pero 1 1 1(0) 1 1 arctan 0 0 04 4 2

S L L k k= − + + = ⇒ =

Por lo tanto: 41 1 1 1 1( ) arctan 0 arctan , ( 1,1)4 1 2 1 2

x xS x L x L x xx x

+ += + + = + ∀ ∈

− −−

7.- Estudiar la convergencia y hallar la suma de las series:

a) xn

n

n=

∞

∑1

Solución: S x x x( ) [ , )= ∀ ∈ −-L(1- ) 11

b) Soluciónn xn

n

⋅ −

=

∞

∑ 1

1

: S xx

x( )( )

( , )=−

∀ ∈ −1

1112

a)

1

1( ) 1lim lim lim | | | |( ) 1

n

nnn n n

n

xf x nn x x

xf x nn

+

+

→∞ →∞ →∞

+= = =+

Si | | 1 ( 1,1) 1x R< ⇒∀∈ − ⇒ = la

serie es absolutamente convergente. En los extremos tendremos:

a.1) En 1x = la serie es: 1n∑ que es la armónica y por lo tanto, divergente.

a.2) En , la serie es: 1x = − ( 1)n

n−∑ . La serie formada por los valores absolutos de

los términos de la serie es 1n∑ , que ya hemos visto que es divergente. Por lo tanto, no

es absolutamente convergente. Pero es alternada y cumple las dos condiciones del teorema de Leibnitz, ya que su término general en valor absoluto es una sucesión que tiende a cero y es decreciente. Por lo tanto, en este punto es condicionalmente convergente.

En resumen, el campo de convergencia de esta serie es [ 1,1)−

a.3) Esta serie tiene, en este intervalo [ 1,1)− una suma finita:

2 3

... ... ( )2 3

nx x xx S xn

+ + + + + = Y se cumplirá que, en ( 1,1)− ,

2 3 1 11 ... ... ( ) ( ) ( ) ( )1 1

n dxx x x x S x S x S x S x dxx x

− ′ ′ ′+ + + + + + = ⇒ = ⇒ = = =− −∫ ∫

|1 |L x= − − +(0) 0 1S L= = − +

k Para determinar el valor de k, sumamos la serie en el punto :

0x =0 ( ) |1 | [ 1,1)k k k S x L x x= ⇒ = ⇒ == − − ∀ ∈ −

19


b) 11

( ) ( 1)lim lim | |( )

nn

nn nn

f x n x xf x n x+

−→∞ →∞

+ ⋅= =

⋅. Si | | 1 ( 1,1) 1x R< ⇒∀∈ − ⇒ = la serie es

absolutamente convergente. En los extremos tendremos:

a.1) En 1x = la serie es: cuyo término general no cumple la condición necesaria de convergencia y por lo tanto diverge.

n∑

a.2) En , la serie es: . La serie formada por los valores absolutos no cumple la condición necesaria de convergencia y por lo tanto, no converge.

1x = − 1( 1)n n−−∑

En resumen, el campo de convergencia de esta serie es ( 1,1)−

a.3) Esta serie tiene, en este intervalo ( 1,1)− una suma finita: 2 3 11 2 3 4 ... ... ( ) ( 1,1)nx x x nx S x x−+ + + + + + = ∀ ∈ −

(. La integral de la serie es la

serie de las integrales en el campo mde convergencia 1,1)− y podremos escribir:

2 3 ... ... ( ) ( 1,1) ( )1

n xk x x x x S x dx x k S x dxx

+ + + + + + = ∀ ∈ − ⇒ + =−∫ ∫

Derivando término a término, obtenemos:

2 2

1 ( 1) 1( ) ( ) ( 1,1)(1 ) (1 )x x S x S x x

x x− − −

= ⇒ = ∀ ∈ −− −

8.- Hallar la suma de la serie:

S x x x xn

xn

( ) /= + + +−

+ =−3 7 4 1

3 7 4 11 2… … para

En primer lugar debemos hallar el campo de convergencia de la serie: 4 3

4 14 41

4 11 1

( ) 4 14 3( ) lim lim lim | | | |4 1 ( ) 4 3

4 1

n

nn

n nn n nn n n

xf xx nnf x x

xn f x nn

+

−∞ ∞+

−→∞ →∞ →∞= =

−+= ⇒ = = =− +

−

∑ ∑ x

Si la serie es absolutamente convergente. En los extremos tendremos:

4| | 1 | | 1 ( 1,1) 1x x R< ⇒ < ∀∈ − ⇒ =

a.1) 1x = La serie es: 14 1n −∑ que tiene el mismo carácter que la armónica y por lo

tanto, diverge.

a.2) . La serie es: 1x = − 14 1n−−∑ , que es negativa y tendrá el mismo carácter que la

anterior, es decir, divergente.

En resumen, la serie converge en ( 1,1)− . En todos los puntos de este intervalo tendrá suma finita.

20


21

a.3) Para sumarla en el punto 12

x = , la sumaremos en primer lugar en un punto

cualquiera del intervalo y posteriormente lo particularizaremos para ese punto pedido.

3 7 4 1

( ) ( 1,1)3 7 4 1

nx x x S x xn

−

+ + + + = ∀ − ⇒−

… …

2 22 6 10 4 4

4 4( ) ... ... ( ) ( )1 1

n x xS x x x x x S x dx S x dxx x

−′ ′= + + + + + = ⇒ = =− −∫ ∫

Para resolver esta integral, descomponemos en factores:

2

41 1 1 1 2

x A B Cx Dx x x x

+= + +

− + − +; Igualando coeficientes, se obtiene:

1 1; 0;4 2

A B C D= = = = −

Por lo tanto:

4 2

1 1 1( )1 4 1 4 1 2 1

dx dx dx dxS xx x x x

= = + −− + − +∫ ∫ ∫ ∫ =

1 1 1|1 | |1 | arctan4 4 2

L x L x x= + − − − + k

Pero 1 1 1(0) 1 1 arctan 0 0 04 4 2

S L L k k= − − + = ⇒ =

Por lo tanto: 1 1 1( ) arctan ( 1,1)4 1 2

xS x L x xx

+= − ∀ ∈ −

−

Entonces,

111 1 1 1 1 12 arctan 3 arctan12 4 2 2 4 212

S L L+⎛ ⎞ = − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠ −

12

Solución: S( / )1 2 14

12

= L3- arctg 12

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