ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE CHIMBORAZO

COMPUTACIÓN II

Tema : Raíces de ecuacionesIntegrantes : Jácome Alexander Lesano Stalin López Jenny

RAÍCES DE ECUACIONES

La raíz de una ecuación es aquel valor de la variable independiente que hace que el resultado de la ecuación sea cero o por lo menos se acerque a cero con una cierto grado de aproximación deseado (error máximo permitido).

Una de los usos más importares en la aplicación de los métodos numéricos es el de hallar las raíces de ecuaciones o también llamados ceros de las funciones

MÉTODO GRÁFICO Lo esencial de este método es poder construir un modelo gráfico de la

ecuación y luego por inspección estimar una aproximación a la raíz, el mayor inconveniente es poca precisión y exactitud

Para ello es necesario definir un intervalo para construir la gráfica y usamos los comandos de graficación aprendidos en Matlab.

EJEMPLO: Tenemos las funciones f(x)=sen(3x)+cos(x) ; y g(x)=e^x –(x-2) Definimos el intervalo: Para la primera ecuación tenemos el intervalo de

-pi a pi; y la segunda gráfica el intervalo serán los reales.

Representación de las funciones gráficamente

MÉTODO DE BISECCIÓN (CORTE BINARIO)

Es un tipo de búsqueda incremental en el que el intervalo se divide siempre a la mitad. Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio. La posición de la raíz se determina situándola en el punto medio del sub intervalo dentro del cual ocurre un cambio de signo, el proceso se repite hasta obtener una mejor aproximación.

Consideraciones: Se considera un intervalo (Xi , Xs) en el que se garantice que la función tiene raíz. Tomamos el punto de bisección Xr como aproximación de la raíz buscada. Se identifica luego en el cuál de los dos intervalos está la raíz. El proceso se repite n veces hasta que el punto de bisección Xr, coincide prácticamente con el valor exacto de la raíz.

EJEMPLO:

Elegir los valores iniciales Xa y Xb, de tal forma de que la función cambie de signo:

La primera aproximación a la raíz se determina con la fórmula del punto medio de esta forma:

Realizar las siguientes evaluaciones para determinar el intervalo de la raíz:

Si f(Xa)f(Xb) < 0, entonces la solución o raíz está entre Xa y Xpm, y Xb pasa a ser el punto medio (Xpm).

Si f(Xa)f(Xb) > 0, entonces la solución o raíz está fuera del intervalo entre Xa y el punto medio, y Xa pasa a ser el punto medio (Xpm).

Si f(Xa)f(Xb) = 0 o Error = | Xpm – Xpm – 1 | < Tolerancia

Donde Xpm es el punto medio de la iteración actual y Xpm – 1 es el punto medio de la iteración anterior.

Al cumplirse esta condición, la raíz o solución es el último punto medio que se obtuvo. Para el error relativo porcentual se tiene la siguiente fórmula

MÉTODO DE LA REGLA FALSA DEFINICIÓN: Es un método iterativo que a diferencia del método de la bisección, este

se basa en una visualización gráfica que consiste en unir f(a0) y f(b0) con una línea recta, la intersección de esta recta con el eje de coordenadas X representa una mejor aproximación de la raíz que por el método de la bisección, aunque no siempre es así.

Para aplicar el método se debe tener en cuenta: Si se tiene dos puntos (a, f(a)) y(b, f(b)) y se traza la recta que une a estos dos puntos, se puede observar que un punto esta por debajo del eje x y otro por encima de este, y un punto intermedio (Xm,0), con este punto intermedio se puede comparar los límites y obtener un nuevo intervalo Si  f(A) y f(B)<0, entonces la raíz se encuentra al lado izquierdo del intervalo. Si  f(A) y f(B)>0, entonces la raíz se encuentra al lado derecho del intervalo. Para hallar la intersección de la recta con el eje X usamos la siguiente fórmula:

El método de Regla Falsa converge más rápidamente que el de bisección porque al permanecer uno de sus valores iniciales fijo el número de cálculos se reduce mientras que el otro valor inicial converge hacia la raíz.  Xm= a - ((f(a)*(b - a))/(f(b) - f(a)))

EJEMPLO: Hallar la raíz positiva de : DESARROLLO EN MATLAB

MÉTODO MULLEREste es un método para encontrar las raíces de ecuaciones polinominales de la forma general: Son coeficientes constantes. Estos cumplen con las siguientes reglas:

Para la ecuación de orden n, hay n raíces reales o complejas. Se debe notar que esas raíces no son necesariamente distintas.

Si n es impar, hay al menos una raíz real. Si las raíces complejas existen, existe un par conjugado.AntecedentesLos polinomios tienen muchas aplicaciones en ciencia e ingeniería, como es el caso de su utilización en ajuste de curvas. Sin embargo, se considera que una de las aplicaciones más interesantes y potentes es en los sistemas dinámicos, particularmente en los lineales. 

Ejemplo: Evaluar la aproximación de la raíz x^3-x-1=0 en el intervalo dado.

1. disp('dado fx,x0,x1,x2,N,d1,d2'); 2. ('criterio de parada '); 3. x0=input('x0= '); 4. x1=input('x1= '); 5. x2=input('x2= '); 6. N=input('numero de iteraciones n='); 7. disp('n r'); 8. h1=x1-x0; 9. h2=x2-x1; 10. d1=((f(x1)-f(x0))/h1); % evaluas en f, pero aun no haz definido f, (error) 11. d2=(f(x2)-f(x1))/h2; 12. a=(d2-d1)/(h2+h1); 13. b=a*h1+d1; 14. c=fx2; % fx2 de donde lo obtienes, 15. n=0; 16. whileN>0 % entre whille y N tiene que haber un espacio 17. d=-b+sqrt(b*b-4*a*c)/2*a; 18. d=r; % asignas a d el valor de r, pero donde hallas r? (ERROR) 19. fprintf('%3.0f 10.8f\n',n,c); 20. n=n+1; 21. if n==N 22. break

MÉTODO DEL PUNTO FIJOEl método del punto fijo es un método iterativo que permite resolver sistemas de ecuaciones no necesariamente lineales. En particular se puede utilizar para determinar raíces de una función de la forma f (x), siempre y cuando se cumplan los criterios de convergencia.Algoritmo para iteración de punto fijo 1. Se ubica la raíz de f ( x ) {\displaystyle f(x)} f(x) analizando la gráfica. 2. Se despeja de manera: x=g(x)x = g ( x ) {\displaystyle x=g(x)} x=g(x)dxvsdfv 3. Obtenemos x=g(x)x = g ( x ) {\displaystyle x=g(x)} x=g(x)dxvsdfv de x = g ( x )

{\displaystyle x=g(x)} su derivada g’(x)g ′ ( x ) {\displaystyle g\prime (x)} . 4. Resolviendo la desigualdad -1 ≤ g’(x)g ′ ( x ) {\displaystyle g\prime (x)} ≤ 1

obtenemos el rango de valores en los cuales está el punto fijo llamado R. 5. Con R buscamos la raíz en g ( x ) {\displaystyle g(x)} g(x), es decir g ( R ) = R {\

displaystyle g(R)=R} g(R)=R haciendo iteración de las operaciones.

Ejemplo: Calcule el punto fijo aproximado de una función

ALGORITMO DESARROLLADO EN MATLABglobal funfprintf('Método del punto fijo:\n');fun=input('Ingrese la función:\n','s');x0=input('Ingrese el punto inicial:\n');n=input('Ingrese el número de iteraciones:\n');it=0;fprintf(' it x0 x1 x0-x1');while(it<n)it=it+1;x=x0;x1=eval(fun);fprintf('\n%3.0f%15.10f%15.10f%15.10f\n',it,x0,x1,abs(x1-x0));x0=x1;endfprintf('\n el punto fijo aproximado es=%10.6f\n',x1);clfhold onezplot('x');ezplot funlegend('y=x','fun')hold off

Método de Newton Raphson primer y segundo orden

El método de Newton Raphson se va aproximando al valor cercano a cero por medio de tangentes. función derivada

El método converge de manera cuadrática si la csiguientes condiciones se satisfacen: La primera deriva es diferente de cero para todo valor de x dentro de un intervalo. El valor inicial está lo suficientemente cerca de la raíz.

Ejemplo: Calcular las raíces de una función es decir donde se hace 0.1. function [ X ] = NRM( F,x0,e ) 2. i = 1; 3. Ea = e; 4. z(1) = x0; 5. syms x; 6. df = strcat('diff(',F,')'); 7. ddf = strcat('diff(',F,',2)'); 8. df = eval(df); 9. ddf = eval(ddf); 10. while Ea >= e 11. x = z(i); 12. X(i,1) = i; 13. X(i,2) = x; 14. f = eval(F); 15. ff = eval(df); 16. fff = eval(ddf); 17. z(i+1) = x -((f * ff)/(ff^2 - (f*fff))); 18. if i > 1 19. Ea = abs((z(i) - z(i-1))/z(i))*100; 20. X(i,3) = Ea; 21. if Ea < e 22. break; 23. end 24. else 25. X(i,3) = 100; 26. end 27. i = i + 1; 28. end 29. end

Bibliografía:

https://sites.google.com/site/pn20111/home/metodos-cerrados/3-2-metodo-regla-falsa

http://solrive.com/blog/newton-raphson-modificado-en-matlab-codigo/