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ELECTROSTÁTICA

CAMPO ELÉCTRICO Y POTENCIAL1

Dos cilindros concéntricos cuyos radios son r1 = 5 mm y r2 = 25 mm, tienen un voltaje de 0 y V0 vol-tios respectivamente, siendo E = –8.32.103 volts/m. en dirección radial, en r = 15 mm.

Encontrar el valor de V0 y la densidad de carga en la capa más externa.

El dispositivo es un condensador cilíndrico, aunque el enun-ciado no lo denomina con este nombre.

Se supone que entre las dos armaduras del condensador seestablece una diferencia de potencial por medio de una bateríaque produce un paso de electrones libres desde el cilindro exte-rior hacia el cilindro interior, como indica la figura.

Una vez cargado el condensador, cesa el paso de electrones, ysobre la superficie lateral del cilindro exterior de radio r2, quedadepositada una carga positiva que, debido a la simetría del dis-positivo, queda repartida uniformente con una cierta densidadlineal de carga +λ.

Puesto que los electrones libres que han salido del cilindroexterior van a parar al cilindro interior, quedará depositadasobre su superficie lateral de radio r1, una cantidad de carganegativa igual en valor numérico que la que ha quedado deposi-tada sobre la superficie lateral del cilindro exterior de radio r2.

Por tanto, estará repartida con una densidad lineal de carga–λ.

Sobre la superficie lateral de radio r3 del cilindro exterior noqueda depositada ninguna carga.

r1

r2

r3L

V

2−V

1= − E

r1

r2∫ dr

Nos interesa calcular la integral anterior siguiendo una linea de fuerza del campo desde r2 hasta r1, porque deeste modo el ángulo formado por E y dr a lo largo del recorrido es constantemente de 0º, y como la integraldefinida cambia de sigo si se cambia el orden de sus límites, resulta

V

1−V

2= E

r2

r1∫ dr= Edr cos 0

r2

r1∫ = Edrr2

r1∫

El módulo del campo eléctrico no puede salir fuera de la inte-gral porque no sabemos si es constante.

Para calcular su valor basta considerar una superficie cilín-drica cerrada, de radio r, tal que r1 < r < r2, y de longitud L,concéntrica con los cilindros, y calcular el flujo del campo eléc-trico a través de dicha superficie,

r1

r2

r3

r

L

da1

da2

y aplicar después el teorema de Gauss.La superficie gaussiana S, a la que está extendida la integral

del flujo, es la superficie total del cilindro de radio r, que, evi-dentemente, está formada por las superficies de las bases S1 y S2y por la superfice lateral SL.

S = S1 +S2 + SL

Φ = E

da

S∫

daL

Como consecuencia, se crea un campo eléctrico cuyas líneas de fuerza están dirigidas radialmente, debidoa la simetría de la figura, desde las cargas positivas hacia las cagas negativas, o lo que es igual, desde los pun-tos de mayor potencial hacia los de menor potencial.

Por esta razón, el valor del campo eléctrico en un punto situado a una distancia del eje, r = 15 mm., esde

E = –8.32.103 volts/mdonde el signo negativo es debido a que las distancias se miden desde el eje, y el campo tiene el sentido decre-ciente de r.

Entre el campo eléctrico y la diferencia de potencial existe la relación

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ELECTROSTÁTICA

CAMPO ELÉCTRICO Y POTENCIAL2

Eda

S∫ = E

1da

1 +S1

∫ E

2da

2 +S2

∫ E

Lda

L

SL

∫

Estas superficies no se encuentran en las mismas condiciones físicas respecto del campo eléctrico.De modo que, como la integral definida tiene propiedad aditiva respecto del dominio de integración, se

puede descomponer en la suma:

donde E1, E2 y EL representan los campos electrostáticos existentes en puntos de las bases S1, S2 y en lasuperficie lateral SL, y da1, da2 y daL, vectores normales a elementos de área de las mencionadas superficies,respectivamente.

Debido a la simetría axial del condensador y, puesto que se considera despreciable la dispersión de las líne-as de fuerza del campo, los vectores que representan cualquier elemento de área de las bases S1 y S2, talescomo da1 y da2, son ortogonales a los vectores campo en dichos elementos. Y el vector que representa a cual-quier elemento de área daL de la superficie lateral, es de igual dirección y de sentido contrario que el vectorcampo existente en dicho elemento. Por consiguiente, la expresión del flujo a través de la superficie S es:

Φ = E

da

S∫ = E

1da

1 +S1

∫ E

2da

2 +S2

∫ E

Lda

L

SL

∫ = E1da

1cos90º+

S1

∫ E2da

2cos90º+

S2

∫ ELda

LSL

∫ cos180º= − ELda

LSL

∫

y debido a la simetría axial del sistema, el módulo EL del campo en todos los puntos de la superficie lateralgaussiana es constante, por consiguiente:

Φ = − E

Lda

LSL

∫ = −EL

daL

SL

∫ = −EL2πrL

Y por otra parte, según el teorema de Guaus, el flujo Φ a través de la superficie S, es,

Φ =

1ε

0

Σqi= −

1ε

0

λL

Igualando los segundos miembros de las expresiones anteriores del flujo, simplificando y despejando EL

E

L=

λ

2πε0r

sustituyendo ahora EL en la expresión de la diferencia de potencial

V

1−V

2= Edr

r2

r1∫ =λ

2πε0r

drr2

r1∫ =λ

2πε0

drrr2

r1∫ =λ

2πε0

lnr

r2

r1=

λ

2πε0

lnr1− lnr

2

=

λ

2πε0

lnr1

r2

= −λ

2πε0

lnr2

r1

y sustituyendo, V1 = 0, V2 = Vo, r1 = 5.10-3 m, r2 = 25.10-3 m., se obtiene

V

0=

λ

2πε0

ln 5

Por otra parte, dividiendo miembro a miembro las expresiones obtenidas del campo EL, y del potencial V0

EV

0

=

λ

2πε0r

λ

2πε0

ln 5=

1r

ln 5

De donde,

V

0=Er ln 5

y como para r = 15.10–3 m, es E = 8.32.103 volts/m., sustituyendo se obtiene,

V0 = 8.32.103.15.10–3.ln 5 = 200,857 volts. ≈ 200 volts.

Para calcular λ, basta despejar de la expresión del campo

E

L=

λ

2πε0r

λ = 2πε

0rE

L

de donde

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CAMPO ELÉCTRICO Y POTENCIAL3

y sustituyendo nuevamente, para r = 15.10–3 m, y E = 8.32.103 volts/m., se obtiene,

λ = 6,933.10–6 coul/m ≈ 7.10–6 coul/m.