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RAZONAMIENTO LÓGICO

www.ufg.edu.sv

TEMARIO

HEURÍSTICA

RELACIONES NUMÉRICAS

RELACIONES GEOMÉTRICAS

Descripción del Módulo

El módulo se inicia con la Heurística, en donde se abordan algunas técnicas o estrategias para la solución de problemas. Se sigue con las Relaciones numéricas, que conduce hacia la resolución, de manera creativa, de problemas reales, hipotéticos o formales de tipo numérico y algebraico y por último, las Relaciones Geométricas, que contiene actividades para que el estudiante resuelva, de manera creativa, problemas reales, hipotéticos o formales de tipo geométrico.

Objetivo General

El estudiante al final del módulo será capaz de desarrollar un pensamiento formal, lógico y analítico que le permita, identificar estrategias y técnicas para la solución de problemas y además, aplicará su creatividad en la solución de problemas para el desarrollo del razonamiento matemático.

HEURÍSTICA

Objetivos: Identificar diferentes métodos,

estrategias y tipos de razonamiento para resolver problemas matemáticos.

Conocer los pasos a seguir para encaminarse en la solución de un problema con el método de Polya.

Utilizar el razonamiento lógico en la solución de problemas cotidianos.

Principios y Reglas de la heurística

La heurística procede del término griego εὑρίσκειν, que significa encontrar, hallar, descubrir, inventar. Es una rama de la lógica, la filosofía y la psicología que tiene por objetivo estudiar los métodos y las reglas del descubrimiento y la invención.

La popularización del concepto se debe al matemático húngaro George Polya, con su libro Cómo resolverlo (How to solve it). El libro contiene la clase de recetas heurísticas que trataba de enseñar a sus estudiantes de matemáticas.

A través de la heurística los individuos podemos descubrir cosas, inventar otras tantas, resolver problemas mediante la creatividad o el pensamiento lateral, entre otras alternativas.

La Heurística

Como disciplina científica, es aplicable a cualquier ciencia e incluye la elaboración de medios auxiliares, principios, reglas, estrategias y programas que faciliten la búsqueda de vías de solución a problemas; o sea, para resolver tareas de cualquier tipo para las que no se cuente con un procedimiento algorítmico de solución.  

Los Procedimientos Heurísticos

Son formas de trabajo y de pensamiento que apoyan la realización consciente de actividades mentales exigentes. Los Procedimientos Heurísticos como Método Científico pueden dividirse en principios, reglas y estrategias.

El método de Pólya, en la solución heurística de problemas cotidianos

George Pólya nació en Hungría en 1887 y murió en 1985 a la edad de 97 años. Conocido como el Padre de las Estrategias para la Solución de Problemas.

Los cuatro pasos del Método de Pólya:  1.- Entender el problema. 2.- Configurar un plan3.- Ejecutar el plan4.- Probar el resultado

El Método de Cuatro Pasos de Pólya.

Este método está enfocado a la solución de problemas matemáticos, por ello nos parece importante señalar alguna distinción entre "ejercicio" y "problema". Para resolver un ejercicio, uno aplica un procedimiento rutinario que lo lleva a la respuesta. Para resolver un problema, uno hace una pausa, reflexiona y hasta puede ser que ejecute pasos originales que no había ensayado antes para dar la respuesta.

Cuatro pasos:

Paso 1: Entender el Problema. ¿Entiendes todo lo que dice?, ¿Puedes

replantear el problema en tus propias palabras?, ¿Distingues cuáles son los datos?, ¿Sabes a qué quieres llegar?, ¿Hay suficiente información?, ¿Hay información extraña?, ¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes?.

Cuatro pasos:

Paso 2: Configurar un Plan.

Determinar la relación entre los datos y la incógnita.

De no encontrarse una relación inmediata, puede considerar problemas auxiliares.

Obtener finalmente un plan de solución.

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Cuatro pasos:

Paso 3: Ejecutar el Plan. Implementar la o las estrategias que

escogió hasta solucionar completamente el problema o hasta que la misma acción le sugiera tomar un nuevo curso.

Paso 4: Mirar hacia atrás. ¿Es su solución correcta?, ¿Su respuesta

satisface lo establecido en el problema?, ¿Advierte una solución más sencilla?, ¿Puede ver cómo extender su solución a un caso general?

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Sugerencias al resolver problemas.

Acepte el reto de resolver el problema. Reescriba el problema en sus propias palabras. Tómese tiempo para explorar, reflexionar, pensar... Hable consigo mismo. Formule cuantas preguntas crea

necesarias. Si es apropiado, trate el problema con números simples. Muchos problemas requieren de un período de incubación.

Si se siente frustrado, no dude en tomarse un descanso - el subconciente se hará cargo. Después inténtelo de nuevo.

Analice el problema desde varios ángulos. Revise su lista de estrategias para ver si una (o más) le

pueden ayudar a empezar.

Sugerencias al resolver problemas

Muchos problemas se pueden resolver de distintas formas: solo se necesita encontrar una para tener éxito.

No tenga miedo de hacer cambios en las estrategias. Siempre, siempre mire hacia atrás: Trate de establecer

con precisión cuál fue el paso clave en tu solución. Tenga cuidado en dejar su solución escrita con suficiente

claridad de tal modo que pueda entenderla si la lee 10 años después.

Ayudar a que otros desarrollen habilidades en la solución de problemas es una gran ayuda para uno mismo: No les de soluciones; en su lugar provéalos con sugerencias significativas.

¡Disfrúte!. Resolver un problema es una experiencia significativa.

ESTRATEGIAS INTUITIVAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS 

Ciencia e Intuición. Ciencia es un "Conocimiento cierto de las cosas

por sus principios y causas. // Cuerpo de doctrina metódicamente formado y ordenado, que constituye un ramo particular del saber humano«

Intuición es una "Percepción íntima e instantánea de una idea o una verdad, tal como si se tuviera a la vista. // Facultad de comprender las cosas instantáneamente, sin razonamiento".

¿Qué es un problema?

En cualquier ámbito de la vida diaria, se está ante un problema "cuando desde la situación en que se esta se quiere llegar a otra, que se conoce con más o menos claridad, pero se desconoce el camino"

Así, dos condiciones esenciales para que haya un problema son:

Que se acepte como tal (deseo de superación). Que no se resuelva rápidamente por un

procedimiento conocido (necesidad de deliberación).

La resolución del problema

Es el proceso de ataque de ese problema: aceptar el desafío, formular preguntas, clarificar el objetivo, definir y ejecutar el plan de acción y evaluar la solución. Llevará consigo el uso de la heurística, pero no de una manera predecible, porque si la heurística pudiera ser prescrita de antemano, entonces ella se convertiría en algoritmo y el problema en ejercicio.

Estrategias de resolución de problemas: Descripción y ejemplos

Analogía o semejanza Consiste en la búsqueda de semejanzas

(parecidos, relaciones, similitudes) en el “archivo” de la experiencia, con casos, problemas, juegos y otros, que ya se hayan resuelto.

Se puede preguntar:- ¿A qué le recuerda?- ¿Es como aquella otra?

Ejemplo:

Calcular el área lateral del tronco de cono que aparece en la figura

Solución:El área lateral corresponde al siguiente desarrollo

Ejemplo:

Se parece a un trapecio (se está utilizando la analogía). El área del trapecio es igual:

22 )( rRHh

H = lado generatriz del tronco de cono

Luego:

22

2

22rRH

rRArea

¿Será cierto?

¿Será cierto?

Simplificar, Particularizar

Consiste en pasar de la consideración de un conjunto de objetos dado a considerar un conjunto más pequeño (o incluso un solo objeto) contenido en el conjunto dado.

 Particularizar, significa simplificar el

problema haciéndolo más concreto y específico, hasta que sea posible hacer algún progreso.

Ejemplo:

  16 jugadores de tenis participan en un sorteo

para emparejarse entre sí en la primera ronda. ¿De cuántas maneras se pueden hacer los emparejamientos?

Solución:  Como el número de jugadores es elevado, comenzamos

con dos jugadores; claramente hay una sola forma. Si el número de jugadores es 3, tenemos 3 emparejamientos. Si los jugadores son 4, tenemos los siguientes 6 grupos: (1,2); (1,3); (1,4); (2,3); (2,4) y (3,4). Si los jugadores son 6, aparecen 15 grupos (compruébalo)

Organización , Codificación

La organización, en general, consiste en adoptar un enfoque sistemático del problema. Suele ser de gran ayuda enfocar el problema en términos de tres componentes fundamentales: antecedentes (origen y datos), el objetivo y las operaciones que pueden realizarse en el ámbito del problema.

Ejemplo:

Hay varias formas de sumar 10,

mediante números impares y con cuatro sumandos; se tiene: 10 =1+1+1+7; 10 = 1+1+3+5; 10 = 1+3+3+3; entonces, existen tres formas (los cambios de orden en los números no cuentan como nuevas soluciones)

Ejemplo:

Se tiene 3 cajas iguales y 5 guantes de la mano izquierda, todos ellos iguales ¿De cuántas maneras se pueden distribuir en las tres cajas?

  Después de jugar un poco con el problema se

puede llegar a definir un código que nos organice la búsqueda. Así si los guantes se representan por A y las cajas por B, la secuencia BAA BA BAA nos indica que en la 1ª caja hay dos guantes, en la 2ª un guante y en la 3ª dos guantes. Al utilizar este código resulta fácil de manejarlo y así resolver el problema.

Ensayo y Error

  Consiste en realizar los siguientes pasos:1.-Elegir un valor (resultado, operación o propiedad) posible.2.-Llevar a cabo con éste valor las condiciones indicadas por el problema.3.-Probar si se ha alcanzado el objetivo buscado.

Ejemplo:Calcular un número tal que al elevarlo al cuadrado y sumarle el número buscado, se obtiene 132

Solución:

Elegimos un valor: el 10Se lleva a cabo con éste valor las

condiciones del problema 102+10 =110Probar si se ha logrado el objetivo: 110 es

menor de 132

Se vuelve a empezar con otro número: 14; 142+14 =210 ; 210 es mayor de 132 luego será 11, 12 ó 13.

LÓGICA Y RAZONAMIENTO

El término “lógica” procede del griego “logos” que se traduce por palabra, expresión, pensamiento, concepto, discurso, habla, inteligencia, etc. y del término “ica” que significa relacionado “a” o relacionado “con”

 La “Marcha del Pensar” alcanza su forma

más compleja en la tercera forma del pensamiento estudiada por la lógica: EL RAZONAMIENTO

El Razonamiento

El Razonamiento es una operación de la mente que consiste en obtener nuevos conocimientos a partir de los ya adquiridos.

El razonamiento está constituido por varios juicios en donde el último, conclusión, está ligado por un nexo necesario con los primeros, premisas.

Tipos de razonamientos,

Los principales son: RAZONAMIENTO DEDUCTIVO RAZONAMIENTO INDUCTIVO RAZONAMIENTOS ANALOGICOS  Razonamiento Deductivo: Son aquellos que parten de lo

más general o universal hasta llegar a lo más particular o singular. 

Ejemplo:  “Todos los metales se dilatan con el calor” El oro es un metal Luego: El oro se dilata con el calor

Razonamiento Inductivo

Parten de lo más particular para llegar a lo más general. El razonamiento inductivo es el que más se emplea en las ciencias.

Ejemplo:  “El plomo, el oro y la plata.. son

metales”;El plomo, el oro y la plata.. se dilatan.Luego: Los metales se dilatan con el calor

Razonamiento Analógico

La Analógica es empleada frecuentemente en los razonamientos cotidianos. En general, realizar analogía entre dos o más entidades implica destacar uno o más aspectos en los que coinciden.

  Ejemplo:  Cuando se compara a un maestro con otro maestro, un

examen con otro examen.

Con estos ejemplos queda clara la facilidad con la que se pueden cometer errores, y por tanto la importancia de razonar bien, con cuidado, y siempre teniendo en cuenta varias posibilidades a la hora de resolver un problema u obtener una conclusión.

Tema 2: RELACIONES NUMÉRICAS

Objetivos:

Identificar métodos aritméticos y algebraicos aplicables en la solución de problemas matemáticos.

Argumentar que los métodos aritméticos y algebraicos proporcionan elementos de creatividad en la solución de problemas.

Concluir la importancia de resolver en forma creativa problemas aritméticos y algebraicos para el buen desarrollo del razonamiento matemático.

 SERIES Y SUCESIONES

¿Qué es una sucesión?

Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden.

Sucesión Finita o infinita

Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita, si no es una sucesión finita.Ejemplos:

{1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita)

{20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita

Ejemplos

{1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una sucesión finita)

{1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde va doblando cada término

{a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en orden alfabético

  {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna

ceros y unos (sí, siguen un orden, en este caso un orden alternativo)

La regla

Una sucesión sigue una regla que le dice cómo calcular el valor de cada término.

Ejemplo: la sucesión {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada vez:

¡Pero la regla debería ser una fórmula!

  Decir que "empieza por 3 y salta 2 cada vez" no

dice cómo se calcula el: 10º término, 100º término, o n-ésimo término (donde n puede ser cualquier

número positivo que se quiera).

Así que se quiere una fórmula con "n" dentro (donde n será la posición que tiene el término).

Notación

 Para que sea más fácil escribir las reglas, normalmente se hace así:

Entonces se puede escribir la regla para {3, 5, 7, 9, ...} en forma de ecuación, así:Xn = 2n+1 Ahora, si se quiere calcular el 10º término, se puede escribir: X10 = 2 n+1 = 2 × 10 + 1 = 21 ¿Puede calcular el 50º término? ¿Y el 500º?

Tipos de sucesiones

Sucesiones Aritméticas

El ejemplo que se ha usado, {3,5,7,9,...}, es una sucesión aritmética (o progresión aritmética), porque la diferencia entre un término y el siguiente es una constante.

Ejemplos: Dada la sucesión:   1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...

Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos términos. La regla es xn = 3n-2

Dada la sucesión: 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, ...

Esta sucesión tiene una diferencia de 5 entre cada dos términos.

La regla es xn = 5n-2

Sucesiones geométricas

En una sucesión geométrica cada término se calcula multiplicando el anterior por un número fijo.

Ejemplos: 

Dada la sucesión:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...

Esta sucesión tiene un factor 2 entre cada dos términos.

La regla es xn = 2n

Ejemplos

3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, ...

Esta sucesión tiene un factor 3 entre cada dos términos.La regla es xn = 3n

Dada la sucesión:

Dada la sucesión:

4, 2, 1, 0.5, 0.25, ...

Esta sucesión tiene un factor 0.5 (un medio) entre cada dos términos.

La regla es xn = 4 × 2-n  

 Sucesiones especiales

Números triangulares Dada la sucesión:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...

Esta sucesión se genera a partir de una pauta de puntos en un triángulo.

Añadiendo otra fila de puntos y contando el total se encuentra el siguiente número de la sucesión.

Pero es más fácil usar la reglaXn = n(n+1)/2 

Sucesiones Especiales

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ...

  El siguiente número se calcula elevando al cubo su posición. La regla es xn = n3

 

Números cuadrados Dada la sucesión:

El siguiente número se calcula elevando al cuadrado su posición. La regla es Xn = n2

Números cúbicos Dada la sucesión:

Series

"Sucesiones" y "series" pueden parecer la misma cosa; pero en realidad una serie es la suma de una sucesión. 

Sucesión: {1,2,3,4}

Serie: 1+2+3+4 = 10

Las series se suelen escribir con el símbolo Σ que significa "sumar todos":

MÉTODO ARITMÉTICO

Consiste en analizar el contexto de dicho problema para determinar las operaciones que se deben realizar con los datos, de manera sucesiva, hasta obtener el valor de la incógnita.

Ejemplo: En un vagón caben 80 pasajeros. ¿Cuántos pasajeros podrá llevar un tren de 6 vagones?Si el tren lleva 4 vagones completos y en los otros dos viajan 56 pasajeros en uno y 73 en el otro, ¿cuántos viajeros lleva el tren?

Desarrollo del problema

 80 pasajeros x 6 vagones= 480 pasajeros

lleva un tren de 6 vagones.

80 pasajeros x 2 vagones= 160 pasajeros viajan en vagones completos 160 pasajeros (de los vagones completos) + 56 pasajeros + 73 pasajeros= 289 pasajeros lleva el tren en total.

Tipos de Métodos

Método del Cangrejo

Es el método de razonamiento matemático que nos permite encontrar la solución de un problema en forma directa para lo cual se realiza las operaciones inversas de cada caso, empezando desde el final hasta el comienzo.

  Adición ------------------------ Sustracción Sustracción-------------------------Adición Multiplicación---------------------División División------------------------Multiplicación Potenciación ----------------- Radicación Radicación ----------------- Potenciación 

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El método del Cangrejo

Permite encontrar la solución de un problema de "planteo de ecuaciones" de forma rápida (sin necesidad de plantear la ecuación), pero antes de poder aplicar el método correctamente, hay que tener en cuenta lo siguiente:

1. No se conoce la cantidad inicial. 2. Hay varias operaciones sucesivas. 3. Se conoce la cantidad final.

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Ejemplo

A la edad que tiene Rosita se le multiplica por 5, y a este resultado se le agrega 3. Si al dividir esta última suma entre 2 se obtiene 19. ¿Cuál es la edad de Rosita?

Solución: 7 años

Método del Rombo

El Método del Rombo, permite resolver problemas de planteo de ecuaciones, de manera práctica y sencilla; y se aplica cuando en un problema se presentan 2 cantidades totales y 2 cantidades unitarias.

Ejemplo:

En un teatro las entradas de adultos, costaban $5. y la de niños $2 concurrieron 326 espectadores y se recaudaron $1090. ¿Cuántos eran adultos y cuántos niños?

Ejemplo

Solución: 146 y 180   

MÉTODO ALGEBRAICO

Consiste en indicar las operaciones entre las cantidades citadas en el enunciado del problema, sin distinguir entre cantidades conocidas y desconocidas (representando estas últimas por medio de letras), hasta encontrar una nueva cantidad que pueda expresarse de dos maneras diferentes en función de los datos y las incógnitas, lo que permite establecer una relación de igualdad entre esas dos expresiones.

Ejemplo

A un aficionado a los rompecabezas, le preguntaron ¿cuántos años tenía?. La contestación fue compleja:

Tome tres veces los años que tendré dentro de tres años, reste tres veces los años que tenía hace tres años y resultará exactamente los años que tengo ahora.

¿Cuántos años tiene ahora el aficionado?

Respuesta

La solución aritmética es bastante complicada, pero el problema se resuelve con facilidad si se recurre al álgebra y se plantea una ecuación. Se designará con la letra x el número de años buscado. La edad 3 años después se expresará por x+3, y la edad de 3 años antes por x-3.

Se tiene la ecuación:

3 (x+3) - 3 (x-3) = x

Despejando la incógnita, resulta x =18.

Respuesta

El aficionado a los rompecabezas tiene ahora 18 años. Ahora, se comprueba el resultado en la ecuación 3 (x+3) - 3 (x-3) = x:

Dentro de 3 años tendrá 21; hace 3 años tenía sólo 15.La diferencia 3(21) – 3(15) = 63 – 45 = 15, es decir, igual a la edad actual del aficionado a los rompecabezas.

Métodos Algebraicos

Existen diferentes métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales dentro de los cuales se destacan: Método de reducción, método de sustitución y método de igualación.

Método de Reducción

Procedimiento a seguir:Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convengan con su respectivo signo, ya sea positivo o negativo.Sumamos algebraicamente y desaparece una de las incógnitas.Se resuelve la ecuación resultante, despejando la incógnita existente.El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iníciales y se resuelve a fin de determinar la incógnita faltante.Los valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Ejemplo

Resuelva el sistema de ecuaciones3x – 4y = - 6

2x + 4y = 16 

Paso 1:

Se prepara las dos ecuaciones, por lo general lo más idóneo es multiplicar la ecuación 1 por el coeficiente numérico que acompaña a la variable de la ecuación 2, y multiplicar la ecuación 2 por el coeficiente numérico que acompaña a la variable de la ecuación 1 con el signo necesario para lograr la anulación de la variable que se quiere.

Ejemplo

Paso 2: Se efectúa la suma algebraica de ambas ecuaciones.

Paso 3:

Se resuelve la ecuación resultante y se despeja la incógnita.

Paso 4: El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales.3x – 4y = –6, sustituyendo y = 3 queda: 3x – 4(3) = – 6 → 3x = – 6 + 12 → x = 2.

Paso 5: Los valores que constituyen la solución del sistema son: x = 2y = 3

Método de Sustitución

Procedimiento a seguir:

Se despeja una de las incógnitas en una de las ecuaciones. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación,

obteniendo una ecuación con una sola incógnita (esto en el caso de ser un sistema de ecuaciones con dos incógnitas), si el sistema posee más de dos incógnitas se va despejando una incógnita diferente por ecuación y luego se va sustituyendo sucesivamente a fin de que la ecuación final posea una sola incógnita.

Se resuelve la ecuación resultante, despejando la incógnita existente.

El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparece la incógnita despejada.

Los valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Ejemplo

Resolver el sistema de ecuaciones:3x – 4y = - 6

2x + 4y = 16Solución:

Paso 1: Se despeja una de las incógnitas en una

de las dos ecuaciones que conforman el sistema, por lo general tiende a despejarse la incógnita que tenga coeficiente numérico más bajo

Ejemplo

En el caso se decidió despejar de la segunda ecuación (2x + 4y = 16) la variable x, quedando de la siguiente manera:

Paso 2:

Se sustituye en la otra ecuación que conforma el sistema, la variable x por el valor obtenido del paso 1 (x = 8 – 2 y).

3x – 4y = – 6 3(8 – 2y) – 4y = – 624 – 6y – 4y = –6

24 – 10y = –6

Paso 3:

Se resuelve la ecuación obtenida a fin de despejar la incógnita.

Paso 4:  Se sustituye el valor obtenido (Paso 3) en la variable despejada (Paso 1).

x = 8 – 2 y; con y = 3

implica que: x = 8 – 2(3) → x = 8 – 6 → x = 2

Paso 5:

Los valores que constituyen la solución del sistema son: x = 2   y = 3.Se comprueban los resultados en una de las ecuaciones que conforman el sistema y queda:

3x – 4y = –6      →     3(2) – 4 (3) = – 6     

→     6 – 12 = – 6       →      – 6 = – 6  

Método de Igualación

Procedimiento a seguir: Se despeja la misma incógnita en ambas

ecuaciones (en caso de ser un sistema con dos ecuaciones).

Se igualan las expresiones, con lo que se obtiene una ecuación con una incógnita.

Se resuelve la ecuación a fin de conocer la incógnita.

El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones que conforman el sistema, en las que aparecía despejada la otra incógnita.

Los valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Ejemplo

Resolver el sistema de ecuaciones aplicando el Método de Igualación.

3x – 4y = - 6 ecuación 012x + 4y = 16 ecuación 02

Solución:Paso 1: Se despeja la misma incógnita en ambas

ecuaciones, en este caso se despejar la variable x.

Paso1

Paso 2: Se igualan ambas expresiones despejadas (obtenidas en el paso 1).

Paso 3: Se resuelve la ecuación a fin de obtener la incógnita.

Paso 4:

El valor obtenido se sustituye en cual quiera de las ecuaciones despejadas en el paso 1 a fin de conocer la incógnita restante.

Paso 5: Los valores que constituyen la solución del sistema son:

x = 2 y = 3.Se comprueba los resultados en una de las ecuaciones que conforman el sistema y queda:

3x – 4y = –6      →     3(2) – 4 (3) = – 6     

→     6 – 12 = – 6       →      – 6 = – 6

Tema 3: RELACIONES GEOMÉTRICAS

Objetivos:

Identificar estrategias y marcos de referencia, comparando los eventos que generan una proporción en la solución de problemas geométricos.

Conceptualizar diferentes estrategias geométricas para analizar y resolver problemas analíticos matemáticos.

Comprender que un problema determinado puede resolverse de manera proporcional de acuerdo a los datos facilitado

Analizar que los métodos heurísticos geométricos, analíticos, razones así como proporciones, determinan una mejor comprensión de las condiciones del problema y una solución confiable en el campo de las matemáticas.

 MÉTODO GEOMÉTRICO

Método Lógico Geométrico, es una forma estructurada de análisis de problemas de naturaleza geométrica, como su nombre indica. Permite razonar ordenadamente y evaluar un problema geométrico, analizando su determinación y vías de solución.

Formas Geométricas, algunas formas ya están definidas como: triángulo, cuadrado, circunferencia. Las formas geométricas están constituidos por los elementos geométricos que son: el punto, la recta y el plano.

Geometría en la Naturaleza

Algunos ejemplos que muestre esta fascinante relación entre la matemática de la geometría y los procesos naturales.

En el panal conviven miles de abejas, en un espacio realmente reducido. La que reúne más área con un mismo perímetro es el hexágono. Y es precisamente la forma geométrica que emplean las abejas

Los pentágonos

Son formas poligonales con cinco lados. En el caso de ser regular, la longitud de estos es la misma para todos ellos. El pentágono tiene cinco vértices, y en el caso de los regulares se puede diferenciar entre los “convexos” y los estrellados.

En la naturaleza

Se encuentra en diferentes manifestaciones, una de ellas es en la distribución de los pétalos de muchas flores, como en el caso de las “Adelfas”, también conocida como laurel de flor, rosa laurel, baladre o trinitaria, cuya imagen sirve de ilustración.

Los fractales

Son figuras geométricas, muy complejos, a cualquier tamaño. Tienen autosimilitud, es decir, que pueden dividirse en partes que son copias reducidas del total. A diferencia de otras figuras geométricas su dimensión es una fracción.

Muchos objetos naturales, como los helechos, copos de nieve, las costas de los países, rocas, tienen formas parecidas a los fractales

¿En qué se parecen un tornillo, una galaxia y un caracol?

Todos ellos tienen forma de espiral, una figura geométrica por la que la naturaleza y el hombre parecen sentir especial predilección.

El hombre también se aprovecha de sus virtudes y puede observar que se emplean espirales todos los días, ya que están en los sacacorchos, los ventiladores, los discos musicales, los rollos de papel, el cable del teléfono. Seguro que si se fijas encuentras más espirales a tu alrededor.

La geometría

La geometría (del latín geometría, geo tierra y metria medida), es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras geométricas en el plano o el espacio, como son: puntos, rectas, planos, politopos (incluyendo paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, polígonos, poliedros y otros.

Geometría Métrica

La geometría métrica que se aplica en el Espacio Euclídeo se basa en los teoremas de Thales y Pitágoras.

Las nociones sobre la relación entre los ángulos inscritos y central en una circunferencia completan los elementos básicos de aprendizaje para entender la Geometría Métrica.

Geometría Proyectiva

  La geometría proyectiva o “de la falsa posición” es la base

para el futuro estudio de los sistemas de representación, en los que las relaciones perspectivas establecen los modelos de aplicación. Sin embargo, esta geometría también puede ser utilizada para razonamientos abstractos como se aplica la geometría métrica, siendo especialmente útil en el estudio de curvas y superficies como es el caso de las cónicas y las cuádricas.

Geometría recreativa

Muchos juegos se basan en modelos geométricos de gran interés.

Estas siete piezas son resultado de dividir en siete partes un cuadrado, y con ellas se pueden realizar miles de figuras con características diversas, ya sean animales, personas, objetos, figuras abstractas.

MÉTODO ANALÍTICO

La Geometría Analítica al estudio de ciertas líneas y figuras geométricas aplicando técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas.

Fue inventada por René Descartes y por Pierre Fermat, a principios del siglo XVII.

Método Analítico y Sintético

El juicio analítico implica la descomposición del fenómeno, en sus partes constitutivas. Es una operación mental por la que se divide la representación totalizadora de un fenómeno en sus partes. 

El juicio sintético, por lo contrario, consiste en unir sistemáticamente los elementos heterogéneos de un fenómeno con el fin de reencontrar la individualidad de la cosa observada. La síntesis significa la actividad unificante de las partes dispersas de un fenómeno. Sin embargo, la síntesis no es la suma de contenidos parciales de una realidad, la síntesis añade a las partes del fenómeno algo que sólo se puede adquirir en el conjunto, en la singularidad.

Ejemplos de problemas resueltos por el Método Analítico

Método del Paralelogramo

Este método es una alternativa al método del triángulo. En este método, se desplazan los vectores para unir sus "colas". Luego se completa el paralelogramo y el vector resultante será la diagonal trazada desde las "colas" de los vectores a sumar. Este vector tendrá también la "cola" unida a las colas de los otros dos y su "cabeza" estará al final de la diagonal. En la figura 1se ilustra este método.

Ejemplo: Los vectores a y b de la figura 2 tienen magnitudes iguales a 6.0 y 7.0 unidades (u). Si forman un ángulo de 30º, calcular la magnitud y dirección del vector resultante (vector suma) s.

Ejemplo

Solución:Para calcular la resultante s podemos aplicar la ley de cosenos. Para ello tengamos en cuenta que los ángulos ∅ y γ son suplementarios:

Ejemplo

Para calcular la dirección del vector resultante, basta con hallar el valor del ángulo . Para lograr esto podemos utilizar la ley de senos:

Método del Triángulo

En este método, los vectores se deben trasladar (sin cambiarle sus propiedades) de tal forma que la "cabeza" del uno se conecte con la "cola" del otro (el orden no interesa, pues la suma es conmutativa).

El vector resultante se representa por la "flecha" que une la "cola" que queda libre con la "cabeza" que también está libre (es decir se cierra un triángulo con un "choque de cabezas".

En la figura 1 se ilustra el método.

En la figura 1 el vector de color negro es la suma vectorial de los vectores de color rojo y de color azul.

En el caso de la figura 1 las relaciones posibles entre los lados de ese triángulo son las siguientes:

Ejemplo:

Se supone que en dicha figura los vectores sean la magnitud fuerza. Y se asume además que el ángulo entre los vectores sumandos (el rojo y el azul) es igual a 60.0º y que sus módulos son respectivamente 100 dinas (rojo) y 90.0 dinas (azul). Se desea calcular el vector resultante.

Para ello se emplea la relación:

Su dirección sería:

Método de las Componentes Rectangulares

Cuando se va a sumar vectores, se puede optar por descomponerlos en sus componentes rectangulares y luego realizar la suma vectorial de estas. El vector resultante se logrará componiéndolo a partir de las resultantes en las direcciones x e y.

Ejemplo:Sumar los vectores de la figura 1 mediante el método de las componentes rectangulares.

Figura 1.

Ejemplo

Lo primero que se debe hacer es llevarlos a un plano cartesiano para que de esta forma se oriente mejor. Esto se ilustra en la figura 2.

Figura 2Se calcula las componentes rectangulares

A continuación, se realiza las sumas de las componentes en X y de las componentes en Y:

Representa estos dos vectores en el plano cartesiano. Ver figura 3:

Se calcula ahora el módulo de la resultante y su dirección:

Figura 3:

RAZONES Y PROPORCIONES

RAZONES Y PROPORCIONESSe llama razón al cociente indicado de

dos números:

Son razones que como se ve, se tratan de divisiones que están indicadas, sin calcular su resultadoSe llama proporción a la igualdad de dos razones:

La proporción:

RAZONES Y PROPORCIONES

Proporciones y Regla de Tres

Proporcionalidad directa (regla de tres directa):En una proporción en la que se dan el

valor de 3 datos, se pueden calcular el cuarto de un modo muy simple.

Ejemplo:Un vehículo recorre 300 kilómetros con

25 litros de gasolina. ¿Cuántos kilómetros podría recorrer con 200 litros?

Por regla de tres se escriben los datos conocidos:

Solución:

Si la regla de tres es directa, cada pareja de datos, debidamente ordenados, los se puede escribir en forma de dos razones:

Se coloca estas dos razones en forma de proporción:

Solución

Se sabe que en toda proporción el producto de extremos es igual al producto de medios:

300 x 200 = 25 x x

En el caso actual, 25 multiplica a ‘x’, luego, pasará dividiendo

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