Hacia una redefinición de la cultura matemática en el salón de clases: argumentando la

inexistencia de soluciones

Verónica Castillo & Catherina Martínez

En el presente ensayo se pretende dar a conocer nuestra apreciación acerca del artículo Hacia

una redefinición de la cultura matemática en el salón de clases: argumentando la inexistencia

de soluciones tomado de la Revista Educación Matemática (2004), así como la descripción de

la experiencia con algunos estudiantes del nivel de educación primaria de menores de la

provincia de Huaral y Lima, respecto a la presentación de un problema que involucra aspectos

de la Geometría y la necesidad del razonamiento y justificación que dan los niños cuando no

hayan solución a los problemas planteados.

Es importante destacar que la actividad planteada a los estudiantes ha sido inspirada en los

problemas sin solución presentados por Olaizola y Santos (2004), autores del artículo

mencionado anteriormente. Asimismo, el problema que planteamos se ve motivado por

actividades extramatemáticas que requieren de la justificación en los procedimientos, de

modo que se responda a los objetivos de desarrollar el razonamiento matemático de los

estudiantes.

Es relevante manifestar que toda la actividad propuesta por los investigadores se vio

respaldada al considerar que el aprendizaje de las matemáticas requiere de procesos

cognitivos individuales que permiten la interacción con la comunidad de aprendizaje, a lo

Yackel y Cobb (1996, citado en Olaizola y Santos, 2004) denominan microcultura del aula, la

cual tiene tres categorías: normas sociales, normas sociomatemáticas y prácticas matemáticas

en el aula. Estas tres categorías giran en torno a la argumentación basada, principalmente, en

la acción comunicativa de cada estudiante para dar cuenta de la validez de sus procesos.

En este sentido, la argumentación en la práctica matemática cobra mayor importancia, pues

como lo señalan diversos autores como Fischbein (1982), Brousseau (1986) y Chazan (1993),

la enseñanza de las matemáticas se centra en el valor dela verdad que le dan los docentes,

mientras que los estudiantes tienden a aceptarlo; la interacción social no forma parte de las

matemáticas; y, la tolerancia para aceptar las argumentaciones son individuales.

Por su parte, Balacheff (1999, citado en Olaizola y Santos, 2004) distingue entre (a)

argumentación, (b) prueba y (c) demostración: así se tiene que:

(a) La argumentación responde al interés del sujeto por convencer al auditorio del valor

de la verdad de sus procesos, pudiendo no recurrir al entorno estrictamente

matemático.

(b) La prueba exige explicaciones reconocidas y aceptadas, por la cual el discurso que

asegura la validez de los procedimientos es aceptada por la comunidad que lo propone

y aplica.

(c) La demostración es estrictamente matemática y se da a partir del uso de códigos y

axiomas.

Estos tres procesos no se excluyen, se relacionan y le dan al estudiante las herramientas para

desarrollar sus procesos matemáticos: “Existe una relación compleja y constituida en el

sentido de cada una de ellas: la argumentación se constituye en obstáculo epistemológico

para el aprendizaje de la demostración y, más generalmente de la prueba en matemáticas”

(Balacheff, 1999, citado en Olaizola y Santos, 2004).

Respecto de la investigación referida en el artículo, diremos que los autores buscaron saber

cómo los estudiantes interpretan y argumentan diversos problemas planteados, en los que

tienen que contradecir o negar la pregunta inicial. Los temas que se trabajaron con los

estudiantes fueron en base a patrones numéricos, construcciones geométricas, teselaciones, y

Aritmética y con los resultados de la investigación se mostró que los alumnos respondieron de

forma diferente a la promoción de la aceptación y valoración de esta práctica matemática

frente a los problemas sin solución. En un primer momento tuvieron dificultades para

reconocer la importancia de un problema de este tipo, sus argumentos se quedaban en “no se

puede, ya lo intentamos”, otros discutían para justificar por qué no se podía hallar una

solución. Esta actividad también permitió, al docente, promover la atención y reflexión en los

procedimientos de los estudiantes, de modo que no resuelvan los ejercicios de manera

mecánica. Finalmente, se propuso a los estudiantes crear problemas sin solución.

A continuación presentamos los problemas que trabajaron los estudiantes referidos en la

investigación de Olaizabal y Santos (2004), los cuales, como mencionamos anteriormente, se

centran en patrones numéricos, construcciones geométricas, teselaciones y aritmética.

Para resolver estos problemas los estudiantes tienden a recurrir a los algoritmos, sin prestar

mayor detalle a los requerimientos del problema; también se observó que hay estudiantes que

buscan ir más allá del “no se puede” y se preguntan ¿por qué no se puede?, esto es

fundamental para desarrollar el pensamiento matemático y la habilidad de argumentación.

En base a lo leído en el artículo y la necesidad de promover el pensamiento matemático y las

habilidades de argumentación de las respuestas, hemos propuesto una actividad sin solución

dirigida a estudiantes de 6to grado de primaria de menores. Cabe resaltar que aunque fue

propuesta para este grado, nos encontramos en la situación de contar con niños más corta

edad, quienes aportaron significativamente al desarrollo de nuestra puesta en escena.

En el siguiente apartado presentamos la actividad desarrollada.

Actividad: “Panaderos en apuros”

Objetivos:

- Desarrollar el sentido geométrico a través de una secuencia de actividades que

favorezcan las habilidades de medición y repartición de longitudes.

- Estimular y desarrollar el razonamiento inductivo.

- Estimular y desarrollar el planteamiento de conjeturas, demostraciones y

justificaciones.

Justificación: Consideramos que tanto el trabajo de investigación referido en el artículo

mencionado como la puesta en práctica de la actividad que describiremos a continuación,

responden al principio de organización de los aprendizajes, como uno de los principios

fundamentales de la educación matemática en nuestro país. Dicho principio busca establecer

los conocimientos de los estudiantes y la integración de los mismos en diversos procesos

pedagógicos como el desarrollo del pensamiento matemático y el razonamiento lógico desde

los primeros grados, en busca de estudiantes competentes en el área, quienes demostrarán sus

habilidades matemáticas al hacer uso adecuado de los conocimientos adquiridos en

situaciones problemáticas que se les presenten, las mismas que les permitirán construir sus

aprendizajes, desarrollar el razonamiento matemático y la demostración e incrementar su

capacidad de comunicación al explicar los procesos seguidos para obtener resultados.

En el desarrollo de las capacidades del área de Matemática, requeridas para cada actividad, se

explicitan los procesos transversales de Razonamiento y argumentación, Comunicación

matemática y Resolución de problemas, siendo este último el corazón para hacer matemáticas,

a partir del cual se formulan las competencias del área en los tres niveles. Por tal motivo

proponemos desarrollar el razonamiento matemático y argumentación por parte de los

estudiantes que participan en nuestro trabajo iniciando con una situación problemática

significativa. Hemos incluido para el logro de este fin, el aspecto lúdico y el uso de material

manipulativo como base para alcanzar el nivel abstracto del pensamiento.

Además, manifestamos que la actividad requiere, por parte de los estudiantes, la construcción

de un razonamiento ordenado y sistemático que les permita abordar la situación planteada,

hacer conjeturas, explicar los procedimientos y justificarlos, de modo que se cumpla la

comunicación de los resultados obtenidos. Tal como lo establece el Diseño Curricular

Nacional (2009)

El desarrollo de estos procesos exige que los docentes planteen situaciones que

constituyan desafíos para cada estudiante, promoviéndolos a observar,

organizar datos, analizar, formular hipótesis, reflexionar, experimentar

empleando diversos procedimientos, verificar y explicar las estrategias

utilizadas al resolver un problema; es decir, valorar tanto los procesos

matemáticos como los resultados obtenidos. (p.187)

Respecto a lo trabajado en el curso Razonamiento y justificación, este trabajo se orienta a

estimular el desarrollo del razonamiento inductivo mediante el planteamiento de conjeturas y

las justificaciones que hacen los niños de primaria. Esperamos que los estudiantes pongan en

práctica sus habilidades para la resolución de la situación planteada, así como la

generalización respecto a la repartición: “De una figura de forma rectangular, se pueden

obtener piezas pequeñas de forma cuadrangular, rectangular y triangular, cuyas medidas sean

los divisores de la figura mayor y sin que sobre espacio”. Además, esperamos que argumenten

que, “de ninguna manera, se podrán obtener piezas redondas de la pieza rectangular, sin que

sobre espacio, debido a que el círculo no tiene vértices”.

Situación: “Usamos moldes para hacer galletas”

En la panadería de don Pepe, el encargado está preparando galletas y ha solicitado a sus

cuatro sobrinos que le ayuden a cortar la masa utilizando moldes en forma de cuadrado,

círculo, rectángulo y triángulo, tal como se observa en la siguiente figura:

La masa para hacer galletas de chocolate tiene las siguientes medidas de sus lados:

Se entrega una masa para cada niño.

Los moldes para cortar las galletas tienen las siguientes medidas de sus lados y del

diámetro en el caso del molde circular.

5 cm. 5 cm. 5 cm. 5 cm.

5 cm. 5 cm. 10 cm.

Cada niño elegirá un molde para cortar la masa sin dejar sobrantes.

Además, no podrá volver a amasarla ni estirarla, ni compartir su molde.

1. De forma individual, conteste: ¿Será posible que todos los niños corten la masa

de modo que cumplan con las condiciones dadas? ¿Por qué?

2. En pareja, contesten la siguiente pregunta: ¿Qué condición tendría que variarse

para que se puedan cortar galletas sin que sobre masa?

Sujetos con quienes se aplicó la actividad: La actividad propuesta se trabajó con estudiantes

de 7 a 11 años, edades que corresponden al segundo, tercero, cuarto, quinto y sexto grado de

primaria, de diversas instituciones, 4 estatales y 2 particular, ubicadas en el distrito de Huaral,

provincia de Huaral y de Lima Metropolitana. Se convocó, previamente, a un grupo de dos

niños de quinto y sexto grado, quienes respondieron al llamado y convocaron a otros niños de

la zona, haciendo un total de diez niños entusiastas.

Con ellos se desarrolló la actividad propuesta. A modo de presentación de las respuestas de

los niños, denominamos a los participantes tal como sigue:

A1: niño de segundo grado de la I.E.P. “John F. Kennedy”

20 cm.

A2: niña de tercer grado de la I.E.P. “María Reina”

A3: niño de cuarto grado de la I.E.E. “La Huaquilla” N°20406

A4: niño de quinto grado de la I.E.E. “Andrés de los Reyes” N° 20409

A5: niño de quinto grado de la I.E.E. “Virgen de Fátima” N° 20402

A6: niña de sexto grado de la I.E.E. “Virgo Potens”

A7: niña de sexto grado de la I.E.E. “Virgo Potens”

A8: niña de sexto grado de la I.E.E. “Virgo Potens”

A9: niño de sexto grado de la I.E.E. “Andrés de los Reyes” N° 20409

A10: niño de sexto grado de la I.E.P. “John F. Kennedy”

Iniciamos el desarrollo de la actividad formulando la siguiente interrogante:

Profesora: ¿niños les agrada las clases de matemáticas?

Ellos respondieron con un sí, no tan efusivo, luego dijeron:

A5: un poco no.

Docente: ¿Por qué?

A9: Porque sumamos, restamos y eso ya lo sabemos.

Frente a esta respuesta manifestamos a los estudiantes que el día de hoy, realizaríamos una

actividad matemática, pero jugando a los panaderos.

Niños: Yeeeee,(en señal de alegría).

En primer lugar acercamos las matemáticas de acuerdo a la realidad de los estudiantes, al

narrar el trabajo importante que realizan los panaderos, para preparar los panes y postres para

nuestro consumo. Los estudiantes opinaron de manera voluntaria acerca de los panaderos y

sus actividades, al responder las preguntas formuladas por la docente.

Luego con la colaboración de dos madres de familia pasamos a mostrar a los niños la

preparación de la masa para galletas. Ellos miraban atentamente y tomaban notas de los

ingredientes y pasos a seguir para la preparación de la masa para las galletas.

Luego de visualizar la preparación de la masa, se presentó la actividad a realizar. Se hizo

notar las semejanzas de la actividad con lo narrado y visualizado de manera presencial en la

preparación de la masa de las galletas.

La docente leyó la actividad con los niños, luego dio las indicaciones pertinentes para el

desarrollo de las preguntas de la ficha de aplicación, para que los estudiantes realicen y

registren los procedimientos en la búsqueda de soluciones y la respuesta final.

INDICACIONES

Los sobrinos que ayudarán al panadero, recibirán una masa de forma rectangular que

tiene como medida de longitud de su base 23 cm. y de altura 20 cm.

Los niños participantes de la actividad elegirán un molde para cada sobrino, el mismo

que debe ser diferente, con ellos representarán las galletas en la masa.

Las galletas que ellos representarán deben ser la mayor cantidad posible que se pueda

obtener de la masa, sin que sobre ningún trozo, ni volver amasar o estirar la masa

sobrantes para obtener más galletas.

No pueden sobreponer el molde encima de otra galleta ya formada (traslape).

EJECUCIÓN DE LA ACTIVIDAD

1. Se propone a los estudiantes el uso de material didáctico, como apoyo. Ellos

aceptaron y recibieron los siguientes materiales: un rectángulo de cartulina (23 x 20

cm.) que representaba la masa de las galletas y cuatro moldes de cartulina de forma

rectangular, cuadrada, triangular y circular que representaban a los cortadores de

galletas o moldes.

Los niños dialogan y aclaran a sus compañeros el requerimiento

Niños: ¿Qué debemos responder?……… ¿Cuánto sobra?

La docente precisa que se tratará de sacar la mayor cantidad de galletas y usando un molde

por vez para toda la masa, sin que sobre y sin superponer los moldes, respetando la medida de

los moldes. No se puede usar dos moldes en una misma masa, solo uno.

Y una vez que han finalizado la repartición deben dibujar y responder en la ficha de trabajo la

solución obtenida.

Los niños empiezan a representar, en la hoja de papel bond (masa), las galletas. Usan el

primer molde elegido.

Docente: Si han elegido el molde rectangular ¿Se podrá?

Niños: Sí, sí, sí se puede…

Se le menciona las medidas de los moldes y la medida de la masa.

A5: no sobra masa, no alcanza de manera exacta.

A1: Sí, sí, sí, sí se puede.

A5: más abajo te va a sobrar. Te va alcanzar para 8 y te va a sobrar masa.

Se observa que los niños van dialogando.

Los niños tratan que la masa alcance y sobreponen los moldes tratan de cortar medias galletas.

Las docentes le recuerdan las indicaciones, que deben respetar las medidas de las galletas, que

no deben sobreponer los moldes y que no sobre masa.

A5: solo van a salir 8, porque en el primer trazado solo me ha salido 4 y si lo multiplico por

dos me saldrán ocho y me sobrará masa.

Se le recuerda que no deben desperdiciar masa y que no se puede volver a amasar.

A10: Nos ha sobrado 16 centímetros.

Docente: ¿Se puede o no se puede? Represéntelo, ahora, dibujando en la hoja de manera que

se aprecie lo que ustedes dicen. Ahora díganme ¿Por qué sobra masa?

Niños: Porque la masa de los moldes son muy grandes.

La docente les pide que dibujen las reparticiones realizadas por los cuatro niños y escriban las

respuestas diciendo si fue posible, o no, repartir las galletas sin que sobre masa.

Docente: ¿Cómo puedo representar ahora con otro molde?

A2: ¿Puedo hacerlo al revés?

Docente: Me parece buena idea. ¿Se podrá repartir con el molde cuadrado de manera que no

sobre masa?

Niños: ¡sí!

A8: Te va a sobrar 6 centímetros.

A10: El cuadrado no se puede.

A6: Yo multipliqué porque acá era 23,20, 23, 20. (Refiriéndose al papel bond que representa

la masa de las galletas).

A5: Me va a sobrar 6 centímetros

Docente: ¿Cuánto te va a sobrar? Lo que estás diciendo lo vas a escribir.

A5: 16 cuadrados te van a salir.

Los niños trataban que alcancen las galletas en la masa, para lograr este fin sobreponían los

moldes. Se veían preocupados por tratar de hacer alcanzar. Intentaron cortar la cartulina, para

que encaje de manera exacta en la masa. Se le recordó que la cartulina representaba los

moldes de acero y que ellos no lo podían cortar.

Los niños continuaron repartiendo la masa con los molde de forma de triángulo, ellos no

dibujaron todos los triángulos, se dieron cuenta que cada triangulo era la mitad de un

cuadrado y dijo que tampoco era posible repartir de tal manera que no sobre masa, pues si con

el molde cuadrado le había sobrado masa, también les sobraría con el molde de forma

triangular.

Luego de dibujar y responder que no era posible obtener galletas de forma cuadrada,

rectangular y triangular, sin que sobre masa.

Pasaron a repartir con el molde circular, los niños dibujaron unos pocos círculos y otros niños

solo hicieron marcas y manifestaron que no era posible repartir con los círculos, de tal manera

que no sobre masa.

Los niños continúan dialogando. Se ven sorprendidos y angustiados porque no pueden dar una

respuesta afirmativa y la docente estimula a los niños felicitando su trabajo y participaciones

realizadas hasta el momento.

Los niños representan las cuatro reparticiones realizadas en la masa y las respuestas halladas.

Ellos concluyeron, preocupados, que no se pudo repartir con ninguno de los moldes y miran a

la docente interrogantes, pues no pueden dar una respuesta afirmativa.

Ante la preocupación y el desaliento de ellos se le formuló la segunda pregunta:

¿Qué condición tendría que variarse para que se puedan cortar galletas sin que sobre

masa?

Ellos mostraron alegría, ahora tenían la oportunidad de modificar algo y hallar la solución al

problema planteado.

Ellos dialogaron y un grupo de ellos respondieron que agregarían dos centímetros de masa.

Una niña dijo que usaría otro molde, con una nueva medida y sería posible hallar galletas con

los moldes de forma rectangular, cuadrada y triangular.

Docente: ¿Y con el molde circular?

A4: Con el molde circular no se podrá de ninguna manera.

A continuación mostramos las respuestas dadas por tres niños de 6to grado.

CONCLUSIONES:

Esta actividad nos permitió visualizar los conocimientos previos que tenían los niños como el

saber multiplicar, reconocer un rectángulo, reconocer la presencia o ausencia de vértices en

los moldes y cómo manejaron estas definiciones para hallar la solución al problema

planteado.

Los niños tenían la necesidad de dar una respuesta al problema planteado, les costó reconocer

que existen problemas que no tienen solución.

Los estudiantes argumentaron la validez de sus procedimientos con ayuda de gráficos y

palabras sencillas.

Consideramos que es importante trabajar desde los primeros grados el razonamiento y la

justificación. Es pertinente incluir en nuestras sesiones de clases situaciones que no tengan

solución, para dar oportunidad a los niños que justifique e interioricen que hay problemas que

no tienen solución, pues contribuye a desarrollar su razonamiento matemático, capacidad de

comunicación y justificación, que se debe incrementar con actividades de mayor complejidad,

según sean los ritmos de aprendizajes y grados de estudio.

SUGERENCIAS:

Brindar oportunidad a los estudiantes de participar en la elaboración de la masa y

recorte de la misma.

Usar moldes de figuras no convexas.

Permitir a los estudiantes que elaboren problemas para sus compañeros, con solución y

sin solución, para que se habitúen desde pequeños a argumentar sus procedimientos y

puntos de vista.

Incluir, en nuestras sesiones de enseñanza y aprendizaje, de manera permanente, la

justificación y comunicación de los procedimientos efectuados durante el desarrollo de

las actividades.

REFERENCIAS

De Olaizola, I. Santos, L. (2004). Hacia una redefinición de la cultura matemática en el salón de

clases: argumentando la inexistencia de soluciones. Educación Matemática. 16 (1). pp. 5-27.

Grupo Santillana México.

Perú, Ministerio de Educación del Perú (2008). Diseño Curricular Nacional. Lima. Recuperado

de: http://ebr.minedu.gob.pe/pdfs/dcn2009final.pdf