Razones de Cambio en las Ciencias Naturales y Sociales

FsicaLA VELOCIDADConsideremos un objeto que se mueve el lnea recta (a este movimiento se le llama movimiento rectilneo).Seleccionemos un punto de la recta y representmoslo con la letra O. Supongamos ahora que si el objeto se mueve a la derecha de O el desplazamiento ser positivo y que si se mueve a la izquierda de O el desplazamiento ser negativo.Sea la funcin f que determina la distancia dirigida de la partcula desde O en cualquier momento determinado.Sea s centmetros (cm), o cualquier otra unidad de longitud, la distancia de la partcula desde O a los t segundos (s), o cualquier otra unidad de tiempo. Entonces f es la funcin definida por

lo cual da la distancia dirigida del punto O a la partcula en un instante determinado.Supongamos

Entonces cuando , ; por lo tanto, la partcula est a la izquierda del punto O.Cuando ; as la partcula est a la derecha del punto O en .

Entre el momento en que y , la partcula se desplaza desde el punto donde hasta el punto donde ; as, en el intervalo de 2s, el cambio en la distancia dirigida desde 0 es de .La velocidad promedio de la partcula es la razn del cambio en la distancia dirigida desde un punto fijo al cambio en el tiempo.As, la velocidad promedio de la partcula, en centmetros por segundo, desde hasta es de . De a , el cambio en la distancia dirigida de la partcula, desde 0, es de , y as la velocidad media o promedio de la partcula, en centmetros por segundo, en este intervalo de 2 s es .En este ejemplo es obvio que la velocidad promedio de la partcula no es constante; y la velocidad media no proporciona una informacin especfica acerca del movimiento de la partcula en cualquier instante determinado.Supongamos que un automvil recorre y este recorrido lo hace en decimos que la velocidad media para recorrer esa distancia es de . Sin embargo, a partir de esta informacin no podemos determinar la lectura del velocmetro del automvil en ningn tiempo particular dentro del lapso de .La lectura del velocmetro, en un momento especfico, se conoce como velocidad instantnea (o simplemente velocidad).Hagamos un anlisis para entender este trmino:Hagamos que la ecuacin: , a (centmetros que hay en la distancia dirigida de la partcula, desde el punto O). como una funcin de t( la cantidad de segundos en tiempo). Cuando . El cambio en la distancia dirigida desde 0 es en el intervalo de tiempo , y la velocidad promedio de la partcula en ese intervalo esta dada por:

O, como y , la velocidad promedio se calcula as: (2)Ahora bien, cuando ms corto sea el intervalo de a , tanto ms se acercar la velocidad promedio a lo que intuitivamente pensaramos como la velocidad instantnea en .Por ejemplo, si la lectura del velocmetro de un auto al pasar por el punto , es de , y si un punto est por ejemplo, a , se aproxima a ya que la variacin de la velocidad del coche, a lo largo de este corto espacio, es probablemente ligera. Ahora, si la distancia desde hasta fuera acortada a , la velocidad promedio del auto en este intervalo estara an ms prxima a la indicacin del velocmetro cuando pasa por .Podemos continuar este proceso, y la lectura del velocmetro en puede considerarse como el lmite de la velocidad media entre y cuando se aproxima a . Es decir, la velocidad instantnea se puede definir como el lmite del cociente (2) cuando se aproxima a , suponiendo que el limite existe. Este lmite constituye la derivada de la funcin en . Tenemos entonces la siguiente definicin:Si es una funcin definida por la ecuacin:

y una partcula se desplaza a lo largo de una lnea recta, tal que es el nmero de unidades en la distancia dirigida de la partcula, desde un punto fijo en la recta, a las unidades de tiempo, entonces la velocidad instantnea de la partcula, en el instante , es unidades de velocidad, dondeLa velocidad instantnea puede ser positiva o negativa, dependiendo de si la partcula se desplaza a lo largo de la recta en sentido positivo o negativo. Cuando la velocidad instantnea es cero, la partcula esta en reposo.La velocidad es un nmero no negativo. Los trminos velocidad y velocidad instantnea se confunden frecuentemente. El trmino velocidad, a secas, indica nicamente la rapidez con la cual se desplaza la partcula, en tanto que la velocidad instantnea implica la direccin y el sentido del movimiento.El concepto de velocidad, en el movimiento rectilneo, corresponde al concepto ms general de intensidad de cambio instantnea. Por ejemplo, si una partcula se desplaza a lo largo de un alnea recta, de acuerdo con la ecuacin , la velocidad de la partcula, a las unidades de tiempo, se expresa por la derivada de con respecto a . Como la velocidad puede interpretarse como una tasa de variacin de la distancia por unidad de cambio en el tiempo, la derivada de con respecto a es la intensidad (o razn) de cambio de por unidad de .En forma anloga, si una cantidad es funcin de una cantidad . El anlisis es anlogo al de la pendiente de una recta tangente a una grfica y la velocidad instantnea de una partcula que se desplaza a lo largo de una recta.Si la relacin funcional entre y est dada pory si cambia del valor a , entonces cambia de a As, el cambio en , que podemos expresar por es cuando el cambio en es . La intensidad media de cambio de por unidad de variacin en , cuando cambia de a , es entonces(3)Si el lmite de este cociente existe cuando , este lmite es lo que intuitivamente se considera como la razn instantnea de cambio de por unidad de cambio de en . En consecuencia, tenemos la siguiente definicin.Si , la intensidad de cambio instantnea de por unidad de cambio de en es o, forma equivalente, la derivada de con respecto a en si sta existe ah.Entonces, si multiplicamos por (el cambio en ) tenemos el cambio que ocurrira en si el punto fuera a moverse a lo largo de la recta tangente en de la grfica de . Ver figura.T

El promedio de la intensidad de cambio de por unidad de cambio en est dado por la fraccin en la ecuacin (3), y si esto se multiplica por en cuando el punto se mueve a lo largo de la grfica.Ejemplo 1: Una partcula se desplaza a lo largo de una recta horizontal de acuerdo con la ecuacin: . Determinar los intervalos de tiempo cuando la partcula se desplace a la derecha y cuando lo haga a la izquierda. Tambin determine el instante en que cambia de sentido el movimiento.Solucin:La velocidad instantnea es cero cuando y . Por lo tanto, la partcula est en reposo en estos dos momentos. La partcula se desplaza a la derecha cuando es positiva, y a la izquierda cuando es negativa. Determinamos el signo de para diferentes intervalos de y los resultados se dan a continuacin:Conclusin-- es positiva, y la partcula se mueve hacia la derecha.0- es cero, y cambia el sentido de su movimiento (de der. a iz.)+- es negativa, y la partcula se mueve hacia la izquierda.+0 es cero, y cambia el sentido de su movimiento (de iz. a der.)++ es positiva, y la partcula se mueve hacia la derecha.

Ejemplo 2: Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba, desde el suelo, con una velocidad inicial de . Si el sentido positivo de la distancia, desde el punto de partida, es hacia arriba, la ecuacin de movimiento es . Si es el tiempo, en segundos, que ha transcurrido desde el momento de lanzar la pelota, y en la distancia de la pelota, en metros, desde el punto de partida a los segundos, hallar: a) la velocidad instantnea de la pelota al trmino de 1s; b) la velocidad instantnea de la misma al trmino de 3s; c) cuntos segundos tarda la pelota en alcanzar el punto ms alto?; d) qu altura mxima alcanzar la pelota?; e) la rapidez de la misma al trmino de 1 y 3 s; f)cuntos segundos tarda la pelota en llegar al suelo?; g) la velocidad instantnea de la pelota cuando llega al suelo. Solucin: es la velocidad instantnea de la pelota, en metros por segundo, a los segundos.a. ; as, al trmino de 1s la pelota esta subiendo con una velocidad instantnea de .b. ; as, al trmino de 3s la pelota est cayendo con una velocidad instantnea de .c. La pelota alcanza su punto ms alto cuando el sentido del movimiento cambia, es decir cuando . Haciendo obtenemos . Por consiguiente, .d. Cuando ; por tanto, la pelota alcanza su punto ms alto de sobre el punto de partida.e. es la rapidez del objeto (en metros por segundo a los segundos. y .f. La pelota llegar al suelo cuando . Haciendo tenemos , de lo cual obtenemos y . Consecuentemente, la pelota llegar al suelo en 4s.g. ; cuando la pelota llega al suelo, su velocidad instantnea es de BiologaSea el nmero de individuos de una poblacin de animales o plantas en el tiempo . El cambio del tamao de la poblacin entre los tiempos y es , de modo que la rapidez de crecimiento promedio durante el periodo esRapidez de crecimiento promedio La rapidez instantnea de crecimiento se obtiene a partir de esta rapidez promedio al hacer que el periodo tienda a 0:Rapidez de crecimiento En trminos estrictos, esto no es muy exacto porque la grfica real de una funcin de poblacin sera una funcin escaln que es discontinua siempre que ocurre un nacimiento o una muerte y, por lo tanto, no es derivable. Sin embargo, para una poblacin grande de animales o plantas, es posible reemplazar la grfica con una curva de aproximacin como en la siguiente figura.Ejemplo 1: Consideremos una poblacin de bacterias en un medio nutritivo homogneo. Supongamos que, por medio de la toma de muestras de la poblacin de ciertos intervalos, se determina que esa poblacin se duplica cada hora. Si la poblacin inicial es y el tiempo se mide en horas, en consecuencia.y en general,La funcin de la poblacin es , de la cual: , por eso, la rapidez de crecimiento de la poblacin de bacterias, en el tiempo , es

Por ejemplo, suponga que inicia con una poblacin inicial . En consecuencia, la rapidez de crecimiento despus de 4 horas es

Esto significa que, despus de 4 horas, la poblacin de baterias crece en una cantidad de casi 1109 bacterias por hora.Ejemplo 2: Cuando considera el flujo de la sangre por un vaso sanguneo, como una vena o una arteria, puede tomar la forma de un vaso como el de un tubo cilndrico con radio y longitud , como se ve en la figura.Debido a la friccin en las paredes del tubo, la velocidad de la sangre es mxima a lo largo del eje central del propio tubo y decrece conforme aumenta la distancia al eje, hasta que se vuelve 0 en la pared. La relacin entre y al eje, est dada por la ley del flujo laminar descubierta por el fsico francs Jean-Louis-Marie Poiseuille en 1840. En sta se afirma que (1)Donde es la viscosidad de la sangre y es la diferencia en la presin entre los extremos del tubo. Si y son constantes, en tal caso es funcin de , con dominio .La razn de cambio promedio de la velocidad, al moverse de hacia afuera, hasta es

y si hace que , obtiene el gradiente de velocidad, es decir, la razn de cambio instantnea de la velocidad con respecto a :

Al aplicar la ecuacin (1) obtiene

Para una de las arterias humanas ms pequeas, puede tomar =0.027, , lo cual da

En la sangre fluye a una rapidez de

y el gradiente de velocidad en ese punto es

Para tener una idea de lo que esto significa, cambie las unidades de centmetros a micrmetros (. Por lo tanto el radio de la arteria es de , la cual disminuye hasta a una distancia de . El hecho de que significa que cuando , la velocidad disminuye en una cantidad de casi por cada micrmetro que se aleja del centro.

QumicaREACCIONES QUIMICASEl resultado de una reaccin qumica en la formacin de una o ms sustancias (llamadas productos) a partir de uno o ms materiales (reactivos). Por ejemplo, la ecuacin

Indica que dos molculas de hidrgeno y una de oxgeno forman dos molculas de agua.Consideremos la reaccin

donde y son los reactivos y es el producto. La concentracin de un reactivo es el nmero de moles por l itro y se denota con . La concentracin vara durante una reaccin, de modo que son funciones del tiempo . La velocidad de reaccin del producto en un intervalo de tiempo es

Pero los qumicos tienen ms inters en la velocidad instantnea de reaccin, la cual se obtiene tomando el lmite de la velocidad promedio de reaccin conforme el intervalo tiende a 0:

Como la concentracin del producto aumenta a medida que la reaccin avanza, la derivada ser positiva, y as la velocidad de reaccin de es positiva. Sin embargo, las concentraciones de los reactivos disminuyen durante la reaccin; por eso, para que las velocidades de reaccin de y sean nmeros positivos, ponga signos negativos delante de las derivadas y . Dado que y disminuyen con la misma rapidez que [C]crece, tiene

De modo ms general, resulta que para una reaccin de la forma

tiene

La velocidad de reaccin se puede determinar a partir de datos y con metodos grficos. En algunos casos existen frmulas explcitas para las concentraciones como funciones del tiempo, que permiten calcular la velocidad de reaccin.EconomaCOSTOS MARGINALES Y COSTOS TOTALESCosto MarginalLa variacin de una cantidad con respecto a otra se describe por un concepto medio o promedio, o por un concepto marginal.El concepto promedio expresa la variacin de una cantidad sobre un intervalo especfico de valores de una segunda cantidad, mientras que el concepto marginal es el cambio instantneo en la primera cantidad que resulta de un cambio unitario muy pequeo en la segunda cantidad.Para definir el concepto marginal con precisin, utilizamos el concepto de lmite, el cual nos lleva a la derivada.Supngase que es el valor del costo total de la produccin de mercanca. La funcin se denomina funcin del costo total. En condiciones normales, y son positivas. Como representa el nmero de unidades de cirta mercanca, suele ser un entero no negativo. Sin embargo para aplicar el clculo suponemos que es un nmero real no negativo lo cual nos da los requisitos de continuidad para la funcin .El costo promedio de produccin de cada unidad de una mercanca se obtiene al dividir el costo total entre el nmero de unidades producidas. Representado por el valor del costo medio tenemos

y recibe el nombre de funcin del costo promedio.Ahora, supongamos que el nmero de unidades de cierta produccin es y que sta cambia en . Entonces el cambio en el costo total est definido por , y el cambio promedio en el costo total con respecto al cambio en el nmero de unidades producidas est dado por (1)

Los economistas emplean el trmino costo marginal para el lmite del cociente en (1) cuando tiende a cero, con la condicin de que exista dicho lmite. Este lmite, al ser la derivada de en , nos da la siguiente definicinSi es el valor o importe del costo total de la produccin de unidades de cierta mercanca, entonces el costo marginal, cuando , est dado por si existe. La funcin recibe el nombre de funcin del costo marginal.

Ejemplo 1: Suponiendo que es el nmero de dlares en el costo total de la manufactura de juguetes, y a) La funcin del costo marginal es y b) El costo marginal cuando est dado por y Por lo tanto, la razn de cambio del costo total, cuando se fabrican 50 juguetes, es de $6 dlares por juguete.c) El nmero de dlares en el costo de la manufactura del juguete quincuagsimo primero es y Notemos que las respuestas en (b) y (c) difieren en 0.02. Esta discrepancia se produce porque el costo marginal es la razn de cambio instantnea de con respecto a un cambio unitario en . De aqu, es el nmero aproximado de dlares en el costo de la produccin de juguetes quincuagsimo primero.Observemos que el clculo de , en el ejemplo, es ms simple que el clculo de . Por lo general, resulta ms fcil calcular un valor de la funcin de costo marginal que calcular dos valores de la funcin del costo total.Por esta razn los economistas suelen aproximar el costo de la produccin de una unidad ms, empleando la funcin de costo marginal. Especficamente, dlares representa el costo aproximado de la -sima unidad despus de que se han producido unidades.Ejemplo 2: Consideremos una funcin lineal del costo total.

Observemos que representa el costo indirecto. El costo mafinal est dado por . Si es la funcin del costo promedio,yLa curva del costo total es un segmento rectilneo e el primer cuadrante cuya pendiente es , y es la interseccin con el eje . La curva del costo promedio es una rama de una hiprbola equiltera en el primer cuadrante que tiene como asntota horizontal la recta . Como siempre es negativa, la funcin del costo promedio siempre es decreciente, y cuando crece, el valor de se acerca ms y ms a . El concepto del costo promedio que tiende a una constante suele presentarse en condiciones de produccin en gran escala, donde el nmero de unidades producidas es muy grande.