REC B2 2Bac CyT - IES La Marinamatemat.ieslamarina.org/ejercpropuestos/2bCNS_T/...niveles primero,...

Matemáticas II . 2º Bachillerato Ciencias y Tecnología - 1 -

MATRICES 1.- Determinar las matrices A y B que verifican el siguiente sistema.

1 2

2 50 1

A B−

− =

2 13

3 0A B

− + =

2.- Demostrar para matrices 2 x 3 que La traspuesta de una suma de matrices es la suma de las traspuestas. (A + B)T = AT + BT . 3.- Comprobar para matrices 2x3 que (xA)T = x AT Siendo x∈R. 4.- Probar A + AT es una matriz simétrica. 5.- Probar que A - AT es una matriz antisimétrica. 6.- Utilizar los resultados anteriores para probar que toda matriz A puede descomponerse en suma de dos matrices: una simétrica y otra antisimétrica. 7.- Definir el producto de matrices y señalar qué condiciones deben cumplir las matrices A y B para poder realizar el producto AB. Si A ∈ M(mxn) , B ∈ M(nxp) y C ∈ M(qxr), ¿qué condiciones deben cumplir p, q y r para que las operaciones que se indican a continuación puedan ser efectuadas y cuáles el orden de la matriz resultante?: a) ACB, b) A(B + C) .

8.- Dadas las matrices: 1 1

4 1A

− =

−

3 1

1 4

1 0

B

= −

estudiar cuáles de los siguientes

productos existen: AB, BA y efectuarlos cuando sea posible. 9.- Probar con un ejemplo que la multiplicación de matrices no es conmutativa en M(2).

10.- Dada la matriz 2 5

2 1A

=

− , hallar los valores de a y b para que se verifique la

ecuación: A2 + aA + bI = O siendo I la matriz identidad y O la matriz nula. 11.- Hallar la expresión general de las matrices A que satisfacen la ecuación: 0 1 0 0 1

0 2 0 0 2A

=

12.- Justificar que para dos matrices, A y B, no son ciertas, en general, las siguientes igualdades:

a) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2


b) (A + B)(A - B) = A2 - B2

13.- Hallar todas las matrices A que conmutan con 0 1

0 2B

=

o sea que verifican la

ecuación A B = B A. 14.- Consideramos un sistema ecológico formado por tres vegetales: trigo (T), romero (R) e hinojo (H), dos animales herbívoros: conejos ( C) y ratones (RA) y tres animales carnívoros: zorros (Z), águilas (A) y gatos monteses (G). Supongamos que las cantidades de vegetales consumidas diariamente por los herbívoros y las cantidades de herbívoros consumidos diariamente por los carnívoros son las que vienen dadas en las siguientes tablas:

T R H C RA

C 1 0.5 2 Z 1 2

RA 2 0 1 A 0.5 3

G 2 1

Hallar las cantidades de cada vegetal que consume, indirectamente, cada uno de los carnívoros cada día. 15.- En una academia de idiomas se imparte inglés y alemán en cuatro niveles y dos modalidades: grupos normales y grupos reducidos. La matriz A

130 160

120 80

210 130

100 60

A

=

expresa el número de personas de cada grupo, donde la primera

columna corresponde a los cursos de inglés, la segunda a los alemán y las filas a los niveles primero, segundo, tercero y cuarto, respectivamente. Las columnas de la matriz

0, 2 0, 25 0,4 0,75

0,8 0,75 0,6 0,25B

=

reflejan el porcentaje de estudiantes, común para ambos

idiomas, que siguen curso reducido -primera fila- y curso normal -segunda fila- para cada uno de los niveles. a) Obtener la matriz que proporciona el número de estudiantes por modalidad e idioma. b) Sabiendo que la academia cobra 18 €. por persona en grupos reducidos y 12€. por persona en grupo normal, halla la cantidad ingresada en cada uno de los idiomas.

16.- Hallar An siendo

1 1 1

1 1 1

1 1 1

A

=

.


17.- Una matriz cuadrada M es ortogonal si cumple que t MM = I siendo I la matriz

unidad. Determinar si la matriz

1 1 0

1 1 1

1 0 1

− −

es ortogonal.

18.- Sea M la matriz

1 1 1

0 1 1

0 0 1

e I la matriz identidad de orden 3x3. Calcula la matriz J

tal que M = J + I. Calcula también las matrices J 2 , J 3 y J 1994. 19.- Si A y B son dos matrices cualesquiera, ¿es correcta la siguiente cadena de igualdades?:

(A + B)(A - B) = A(A - B) + B(A - B) = AA - AB + BA - BB = A2 - AB + BA - B2 = A2 - B2

Justifique la respuesta.

20.- Dada la matriz 0

0

aA

b

=

, ¿qué relación existirá entre a y b para que se verifique

la igualdad: A2 = A. 21.- Explicar por qué no es cierta la regla la suma por la diferencia es igual a la diferencia de cuadrados cuando los elementos son matrices, esto es:

(A + B)(A - B) … A2 - B2 22.- ¿Es conmutativo el producto de matrices?. Si la respuesta es afirmativa demostrarlo, si es negativa poner un ejemplo que lo ponga de manifiesto. Hallar qué

matrices conmutan con la matriz 1 2

0 1

.

23.- Dada la matriz

0 1 2

1 0 2

1 1 3

A

− −

= − −

y siendo I la matriz identidad, determinar, si es

posible, un valor de k para el que la matriz (A - kI)2 sea la matriz nula.

24.- Resolver la siguiente ecuación matricial: 1 1 1 3

3 2 1 2

x x

y y

− =

−

25.- Hallar la matriz X2 + Y2 donde X e Y son dos matrices cuadradas de orden 2,

verificando:

2 05 3

4 15

1 13 2

2 9

X Y

X Y

+ =

−

− + = −

.


26.- Resolver el siguiente sistema dado en forma matricial:

1 1 1 1 0

1 1 1 2 0

3 1 1 0 0

x

y

z

t

− −

− = −

.

27.- Halla las inversas de las siguientes matrices:

a)

3 1 0

1 1 1

2 1 1

A

= −

b)

1 2 0

1 0 1

1 1 2

B

= −

c)

1 0 0

0 3 0

0 0 1

C

=

d)

1 0 1

0 2 2

0 1 1

D

= − −

28.- Calcular el rango de la matriz

2 3 4

1 2

1 2

m

m

m m

−

− − −

según los valores de m.

29.- Resolver la siguiente ecuación:

2 0 5 3 4

1 1 2 1 1

1 1 5 2 1

x

y

z

−

− + = − − − −

.

30.- Considera la matriz

1 2 1

1 0

0 1

A λ

λ

=

a) Halla los valores de λ para los que la matriz A no tiene inversa.

b) Tomando 1λ = , resuelve el sistema, escrito en forma matricial:

0

0

0

x

A y

z

=

.

31.- Si la matriz

a b c

A d e f

g h i

=

tiene determinante n, calcula el valor de los

determinantes de las matrices 6 4 23 29 6 3

d e f d f e f e

B g h i y C a c b c b

a b c g i h i h

+ +

= = + +

+ +

32.- Comprueba que la matriz inversa de

1 0 0

0 0 1

0 1 0

A

=

es ella misma.


33.- Dadas las matrices 1 2 3

2 1 1A

=

,

1 0

2 2

1 1

B

−

= − −

y 1 1

1 0C

− =

. Se pide:

1º.- Obtener C + AB. 2º.- Calcular C -1+ (AB) -1 ; (C + AB) -1.

34.- Definir rango de una matriz y hallar como aplicación el rango de la matriz cos 0

cos 0

0 0 1

sen

sen

α α

α α

−

35.- Calcular la matriz inversa de I – A, siendo I la matriz unitaria de orden 3 y

0 1 0

0 0 1

0 0 0

A

=

36.- Dada la matriz

0 1 0

0 0 1

1 0 0

A

=

, se pide:

a) Demostrar que 4A A= . b) Hallar 25 99 38, , , nA A A A

37.- Una matriz cuadrada A tiene la propiedad de que 2 2A A I= + , donde I es la matriz unidad. a) Demostrar que A admite inversa, y obtenerla en función de A.

b) Dada la matriz 1 1

1 1

mB

m

+ =

− , hallar para qué valores de m se verifica que

2 2B B I= + , y para esos valores escribir la matriz inversa de B.

38.- Sea la matriz

0 0 1

1 0 0

0 1 0

A

=

.

a) Comprueba que A-1 = AT (AT es la matriz traspuesta de A). b) Utilizando el resultado anterior, calcula (AT . A)1998. 39.- Determinar la matriz X que satisface la ecuación 3X+I = A.B - A2, siendo:

1 1 2

2 0 3

3 1 2

A

−

=

,

1 0 2

2 1 1

3 2 1

B

−

= −

e I la matriz unidad de orden 3.


40.- Considerar una matriz A de orden m x n con m ≠n. Razonar si se puede calcular la expresión A AT - AT A, siendo AT la matriz traspuesta de A.


4 2A

=

. Hallar: A2, A3, A -1.

42.- Determinar si es posible, y si no lo es, justificarlo, una matriz B tal que: 3

5A B

⋅ =

43.- Determinar si es posible, y si no lo es, justificarlo, una matriz C tal que: 3

5C A

⋅ =

.

44.- Sea la matriz 1

2 0

yA

=

donde y es un número entero.

I. Determinar los valores de y para los cuales la matriz A tiene inversa. II. Calcula la inversa de A en estos casos. 45.- Una matriz cuadrada M es ortogonal si cumple que M t M = I siendo I la matriz

unidad. Determinar si la matriz siguiente es ortogonal.

1 1 0

1 1 1

1 0 1

A

= − −

46.- Calcular por inducción respecto de n:

1 1 1

0 1 1

0 0 1

n

1 1

1 1

n

47.- Se considera 1 1

0 1A

=

, mostrar que 1

0 1n

nA

=

.


0

aA

b

=

,¿qué relación existirá entre a y b para que se verifique

la igualdad: A2 = A. 49.- Explicar por qué no es cierta la regla la suma por la diferencia es igual a la diferencia de cuadrados cuando los elementos son matrices, esto es:

(A + B)(A - B) ≠ A2 - B2 50.- ¿Es conmutativo el producto de matrices?. Si la respuesta es afirmativa demostrarlo, si es negativa poner un ejemplo que lo ponga de manifiesto. Hallar qué

matrices conmutan con la matriz 1 2

0 1A

=

.


51.- Siendo 1 0

1 1A

=

, calcular A250 + A20.

52.- Dada la matriz

0 1 2

1 0 2

1 1 3

A

− −

= − −

y siendo I la matriz identidad, determinar, si es

posible, un valor de k para el que la matriz (A - kI)2 sea la matriz nula. 53.- Resolver la siguiente ecuación matricial: 1 1 1 3

3 2 1 2

x x

y y

− =

−

54.- Resolver la siguiente ecuación: 2 0 5 3 4

1 1 2 1 1

1 1 5 2 1

x

y

z

−

− + = − − − −

55.- Calcular las matrices A y B de dos filas y tres columnas que satisfacen las siguientes igualdades:

3 2 1

3 1 3A B

+ =

6 0 22 2

2 2 2A B

− − =


1

kA

k

=

, siendo k un número real, razonar para qué valores de k

se verifican las siguientes igualdades: a) A2 = A b) A2 = I c) A2 = 0

57.- Demostrar con las matrices: 1 1

2 1A

− =

− y

1 1

4 1B

=

− que no se cumple la

propiedad conmutativa del producto de matrices. 58.- Comprobar que se cumple la siguiente igualdad: (A + B)2 = A 2 + B 2.

59.- Comprueba que las matrices

2 0 1

0 0 4

0 0 0

A

=

y

0 0 0

0 2 0

0 0 0

B

=

son “divisores de

cero”. 60.- Una fábrica decide distribuir sus excedentes en tres productos alimenticios: A, B y C, a cuatro países africanos P1, P2, P3, P4, según se describe en la matriz


1

21

3

4

200 100 120

110 130 200

220 200 100

150 160 150

A B CP

PM

P

P

=

(cantidades en toneladas). Esta fábrica ha recibido

presupuestos de dos empresas para el transporte de los productos a los países de destino,

como indica la matriz 1 2 3 4

12

2

500 450 375 350

510 400 400 350

P P P PE

ME

=

(euros por tonelada).

Efectúa el producto de las matrices y responde a las cuestiones:

a) ¿Qué representa el elemento a1 1 de la matriz producto?. b) ¿Qué elemento de la matriz producto nos indica lo que cuesta transportar el producto C con la empresa E2? c) Indica qué elementos de la matriz producto te permiten decir cuál es la empresa que más barato transporta el producto B a todos los países.


1 3

2 2

3 1

2 2

A

−

=

. Comprueba que la traspuesta de A coincide,

en este caso, con la inversa de A. 62.- Considerar una matriz A de orden m x n con m ≠ n. a) Razonar si se puede calcular la expresión A At - At A, siendo At la matriz traspuesta de A.

b) Considerar la matriz 1 0 1

2 1 1A

− =

. Resolver por el método de Gauss:

1) El sistema de ecuaciones lineales homogéneo cuya matriz de coeficientes es At A. 2) El sistema de ecuaciones lineales homogéneo cuya matriz de coeficientes es A At.


9 3A

=

− − . Se pide hallar:

1. (A-1)2. 2. (A2)-1.

64.- Sea la matriz, 5 3

3 2A

=

. Hallar la matriz B, tal que 14 16 18

9 10 11A B

⋅ =

65.- Sean las matrices A y B dadas a continuación:


1 2

3 2

aA

a

=

2 2

1 3

a a

B

=

Se pide: I. Hallar el producto A.B. II. Determina el valor o los valores de a para el que no existe inversa de A.B. 66.- Si X e Y son matrices que verifican el sistema

1 42

2 0X Y

+ =

,

1 1

1 0X Y

− − =

I. Hallar X e Y. II. Hallar, si es posible, X-1 e Y-1.

67.- Sea la matriz 1

2 0

yA

=

donde y es un número entero.

I. Determinar los valores de y para los cuales la matriz A tiene inversa. II. Calcular la inversa de A en estos casos.


DETERMI�A�TES 1.- Demostrar, basándose en las propiedades de los determinantes, y sin desarrollarlo,

que el siguiente determinante es nulo.

1 2 3 4

2 3 4 5

3 4 5 6

4 5 6 7

.

2.- Sabiendo que 5 0 3 1

1 1 1

x y z

= . Calcular los siguientes determinantes:

a)

3 3 3

5 0 3

1 1 1

x y z

b) 2 5 2 2 3

1 1 1

x y z

x y z+ + c)

3 3 3

5 0 3

1 1 1

3.- Sabiendo que 1

a b c

d e f

g h i

= y utilizando correctamente las propiedades de los

determinantes, calcula:

a)

3 3 3a d c f b e

d f c

g i h

+ + +

− − − b)

f e d

c b a

i h g

4.- Calcular:

a)

1

1

1

1

a a a

a a a

a a a

a a a

−

−

−

−

b)

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

a

a

a

a

c)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 3

2 3

2 3

2 3

1 log3 log3 log3

1 log30 log30 log30

1 log300 log300 log300

1 log3000 log3000 log3000

d)

1 1 ... 1

2 1 ... 1

1 3 ... 1

.. .. .. ... ..

1 1 ...

n

n

n

n n

e)

1

1

1

1 2 2 2

c a b

a c c

b c a

a b b c c a− − −


5.- Demostrar: ( )2

1 1 1 1

1 2 1 11

1 1 2 1

1 1 1 2

aa

a

a

+= +

+

+

6º.- Probar, sin desarrollar, que

2 9 9

4 6 8

7 4 1

es múltiplo de 13 teniendo en cuenta que 299,

468 y 741 son múltiplos de 13.

7º.- Dada la ecuación 2

1 1 1

1 1 0

1 1

x

x

= . Se pide: a) Hallar una solución sin desarrollar el

determinante. b) Hallar las restantes soluciones. 8.- Sabiendo que a, b y c son distintos de 0, determinar que condiciones deben cumplir

para que

2 3

2 3

2 3

0

a a a

b b b

c c b

≠

9.- Demostrar que el determinante

2 31

1 1 1 1

1 2 3 4

1 4 9 16

x x x

es divisible por 1x − .

10.- Se llama sucesión de Fibonacci a una sucesión numérica del tipo 1, 2, 3, 5, 8, 13,… en la que, a partir del segundo, cada término es igual a la suma de los dos anteriores, es decir, 1 2n n nf f f− −= + . Demostrar que el n-simo término de la sucesión de Fibonacci es

igual al determinante de n-simo orden:

1 1 0 0 .... 0 0

1 1 1 0 .... 0 0

0 1 1 1 .... 0 0

.. .. .. .. .... .. ..

0 0 0 0 .... 1 1

−

−

−

11.- Dadas las matrices: I4 y A =

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

. Calcular:

a) La inversa de I4 - A. b) (I4 - A)

n siendo n>3. c) La inversa de I4 + A. d) (I4 + A)(I4 - A)

-1


12.- Desarrollar, basándose en las propiedades de los determinantes, el siguiente determinante: a b c c

a b c a

b b c a

+

+

+

13.- Calcular los determinantes siguientes:

a)

1

1

1

1

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

+

+

+

+

b)

1 1 0 0

1 0 0 1

0 1 1 0

0 1 0 1

c) 2 2 2

10 10 10

5 5 5a b c

a b c

14.- Resolver las ecuaciones:

a)

1

10

1

1

x x x

x x x

x x x

x x x

−

−=

−

−

b)

1 1 1 1

00

0 0

0 0

x a a

a b

x c

=

15.- Calcular x para que el determinante de la matriz A sea 0.

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 0

x

xA

x

x

=

16.- Hallar el rango de la siguiente matriz, según los valores de los parámetros a, b y c:

a)

0

2 1 1

2 1 0 3

a a

a a

a a

+ − − − +

b)

1 0

0 1 3

1 1

a

a

c)

5 5 5

a b c

b c a c a b

+ + +

d)

0 0

4 6 8 2

2 3 4 1

a a

− − − −

17.- Hallar el valor de m para que la matriz A tenga rango 2:

1 0 2 1

2 1 3 2

4 1 4

A

m

−

= − −

18.- Calcular la inversa, cuando exista, de:

0 1 0

0

0

a b

b a

−


19.- Probar que la matriz tiene inversa y calcularla:

1 0

0 1

0 0 1

m

m

20.- Consideremos la matriz

0 3 4

1 4 5

1 3 4

A

= − − −

. Se pide:

21.- Demuestra que se verifica la igualdad A3 + I = O siendo I la matriz identidad y O la matriz nula. 22.- Justifica que A es inversible y obtén A-1 . 23.- Calcula razonadamente A10 .

24.- Hallar para que valores de m la matriz A tiene inversa:

1 1

2 1

3 1 1

m

A m

= −

. Calcular

su inversa para m = 1.

25.- Hallar los valores de x para los que la matriz A no tiene inversa 1

2 2

xA

x

=

−

26.- Comprobar que la matriz 2 2

1

a aA

a

−=

tiene inversa para cualquier valor de a y

calcular su inversa. 27.- Demostrar que si A y B son matrices invertibles se cumple (A.B)-1 = B-1 A-1 . Suponiendo que A es inversible, ¿se cumple que (A2 )-1 = (A-1)2 ?.

28.- Sea la matriz

2 0 2

0 2 0

0 0

x

A x

x

−

= −

a) Halla los valores de x para los que A tiene inversa. b) Halla la matriz F cuadrada de orden 3 que es solución del siguiente sistema matricial A.Y + B = I , siendo A la matriz anterior para x = 3, I la matriz identidad de orden 3

y

1 0 1

2 0 0

3 1 0

B

−

=

.

29.- Resolver las siguientes ecuaciones matriciales:

a)

5 2 0 0 1 1

0 0 1 1 0 0

3 1 0 1 1 0

X

=

b)

0 1 2 1 2 2 0

1 1 3 1 3 1 0

4 1 5 5 1 4 0

X

− = − − − − −

30.- Resolver el sistema matricial:


7 12 3

3 11

4 83 2

11 10

X Y

X Y

+ =

+ =

31.- Contesta razonadamente las siguientes cuestiones: a) Sean A, B y C matrices cuadradas de orden n ¿Podemos afirmar que si A.B = C.B entonces A = B? b) Sea A una matriz de M(3,4), completa las columnas 3ª y 4ª de forma que resulte una

matriz A de rango 2.

1 2

1/ 2 1

3 6

− − −

c) Demuestra sin desarrollar, explicando en qué propiedades te basas, que el siguiente

determinante es múltiplo de 30.

8 6 2

25 10 0

18 12 3

−

− −

d) Sea A una matriz cuadrada de orden n cuyos elementos son todos iguales a -1. Hallar la matriz B tal que A.B sea una matriz de orden n cuyos elementos sean todos iguales a 1.

32.- Resolver la ecuación 1 0

00 1

1 0

x x x x

x x

x x

x x

= .

33.- Probar que ( )( )( )2 2 2

1 1 1

a b c c a b a c b

a b c

= − − −

34.- Demostrar, sin desarrollar, que los siguientes determinantes son nulos

a)

a b b c c a

b c c a a b

c a a b b c

− − −

− − −

− − −

(indicación: c1+(c2+c3) b)

1 1 1

a b c

b c c a a b+ + +


SISTEMAS DE ECUACIO�ES LI�EALES. MÉTODO DE GAUSS. .- Prueba que si (a, b, c) es una solución de un sistema formado por dos ecuaciones es también solución de la ecuación que resulta de sumarlas. 2.- Inventa un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas con solución entera y busca tres sistemas equivalentes a él. 3.- Determinar a y b para que la ecuación ax = b tenga: a) solución única b) infinitas soluciones c) ninguna solución.

4.- Dado el sistema

2 2 3 1

4 2 3 2 2

3 4 5 0

x y z t

x y z t

x y z t

− + − =

− + + = + − + =

a) Formar un sistema equivalente en el que en dos ecuaciones no figure la incógnita x. b) Lo mismo que no figure y c) Lo mismo que en una ecuación no figure ni x ni z.

5.- Formar un sistema de tres ecuaciones equivalente a 2 1

2 3

x y

x y

+ =

− =.

NNNN Ejemplos resueltos: Resolver, utilizando el método de Gauss, los siguientes sistemas:

a)

2 1

2

2 3 4

x y z

y z

x y z

+ + =

− = − + − =

b)

2 3 4

2 4 6 3

3 1

x y z

x y z

x y z

+ + =

+ + = + − =

SOLUCIÓN: Para resolver por Gauss el sistema a) tomamos, en primer lugar, la matriz ampliada: 1 2 1 1

0 1 1 2

2 3 1 4

− − −

. Procedemos a escalonar la matriz mediante operaciones elementales:

Se realizan las siguientes operaciones sobre la matriz ampliada: 1 2 1 1

0 1 1 2

2 3 1 4

− − −

(-2)F1 + F3

1 2 1 1

0 1 1 2

0 1 1 2

− − −

F2 + F3

1 2 1 1

0 1 1 2

0 0 0 0

− −

Una vez escalonada la matriz, pasamos a discutir el sistema. En el ejemplo el sistema es compatible y, como el número de filas con algún elemento no nulo es 2 y menor que el número de incógnitas, indeterminado.


Se pasa de la matriz al sistema asociado: 2 1

1

x y z

y z

+ + =

− = − y, a continuación pasamos

una de las incógnitas (p.e. z) al segundo miembro. Esta incógnita va a actuar como

parámetro 2 1

1

x y z

y z

+ = −

= − +.

De la segunda ecuación se obtiene el valor de y y sustituyendo en la primera se obtiene x = 3 -2z. Por lo tanto el conjunto solución del sistema será: ( ){ }3 2 , 1, ,S z z z z R= − − ∈ .

Para resolver el apartado b) escribimos la matriz ampliada del sistema: 1 2 3 4

2 4 6 3

3 1 1 1

−

. Para escalonar la matriz realizamos las siguientes operaciones:

-2F1 + F2 ; Permutar las filas 2ª y 3ª y queda la matriz:

1 2 3 4

0 5 10 11

0 0 0 5

− − − −

A la vista de tercera fila se concluye que es un sistema incompatible.

OOOO Ejercicios y Problemas propuestos 1.- Discutir, en función del parámetro m, los siguientes sistemas y resolverlos cuando sea posible. En el caso de los sistemas homogéneos, determinar el valor de m para que tenga solución distinta de la trivial y resolverlo en ese caso

a)

1

1

1

x y mz

x my z

mx y z

+ + =

+ + = + + =

b) El sistema cuya matriz ampliada es:

1 1 1 2

1 1 1

1 1 3 3

4 2 0

m

m

− − −

c)

2 3 2 0

0

8 4 0

m x y z

mx y z

x y z

+ + =

− + = + + =

d)

( )

4 12 4 0

2 13 2 0

2 12 12 0

x y z

x y z

m x y z

+ + =

− + = + − + =

2.- Consideramos los sistemas de ecuaciones lineales:

( )

( )

2 3 2 0

3 0

x y a z

x y a z

+ − + =

− + − =

( )

( ) ( )

1 0

1 1 0

x b z

b x y b b z

+ − =

− + + − =

Obtener los conjuntos soluciones de ambos sistemas y calcular los valores de a y de b que hacen que los sistemas sean equivalentes, es decir, con las mismas soluciones.


3.- Dado el sistema de ecuaciones:

2

3 4

3 2

x y m

mx y

x y

− =

+ = − =

a) Hacer un estudio de él según los diferentes valores del parámetro m. b) Resolver el sistema en los casos en que sea compatible. 4.- Discutir según los valores del parámetro a, y resolver en los casos que proceda el

sistema:

( )

( )

( )

1 0

1 0

1 0

a x y z

x a y z

x y a z

+ + + =

+ + + = + + + =

.

5.- Clasificar el siguiente sistema de ecuaciones, según los valores de a y b. 2 5 2

3 2 1

4

x y az

x y z

x y z b

− + = −

− + = + + =

.

6.- Demostrar que para cualesquiera valores, distintos dos a dos, de m, n y p el sistema:

2 2 2

1

2

3

x y z

mx ny pz

m x n y p z

+ + =

+ + = + + =

, tiene siempre solución única.

7.- Determinar los valores del parámetro t para que el sistema: 2 3

2

1

0

t x t y tz

x t y z

+ + =

+ + =,

tenga solución. 8.- Estudiar, para los diferentes valores del parámetro a, la existencia de soluciones del sistema

- 1

2

1

x y z a

x y az a

x ay z

+ + =

+ + = + + =

y resolverlo cuando sea compatible determinado. 9.- Dado el sistema de ecuaciones lineales

1

1

ax y z

x ay z b

x y az

+ + =

+ + = + + =

a) discutir el sistema en función de a y b b) resolver el sistema para a = b = -2


10.- Dado el sistema

2 1

2 2

3 4

x y z

x y z m

x y mz

+ − = −

− + = − + =

, hallar razonadamente los valores del parámetro m para los cuales el

sistema es compatible. 11.- Considérese el sistema de ecuaciones dependientes del parámetro a:

2

1ax y z

x ay z a

x y az a

+ + =

+ + =

+ + =

a) discutir el sistema según los valores de a. b) Resolver el sistema para a = - 1. 12.- Considérese el siguiente sistema de ecuaciones lineales (en él a, b y c son datos; las incógnitas son x, y, z): ay bx c

cx ay b

bz cy a

+ =

+ = + =

Si a, b y c son no nulos, el sistema tiene solución única. Hallar dicha solución.

13.- a) Discutir según los valores de k, el sistema de ecuaciones:

1

2

0

x y z

x y kz k

x y kz

− + =

+ + = + − =

b) Resolverlo, utilizando la Regla de Cramer, para k = 1. 14.- Discutir según los valores del parámetro y resolver cuando sea posible:

2 2 2 2 2

( 2) 3 0 ; 2 1 ; 2 1

( 1) 1 2 2 12

23 2 1 3 ( 1) 1

2 5 3 1 ; 2 6 2 3

3 ( 1) 0 1

y kz K x y z x y z a

k x y z x y z x y az

k y k x ay zx a y z a

x ay z a x a y z

x y z x y z a

x y a z x y z

+ = + + = + + = − + + = + + = + + =

− = − + + = + + =

− + = − + + + =

− + = + − = + − − = + + =−

15.- Se considera un sistema S de m ecuaciones lineales con n incógnitas, que es compatible determinado. Sea S’ el sistema que resulta de prescindir en S de la última ecuación. Contesta de forma razonada. a) ¿Puede ser incompatible el sistema S’ ? b) ¿Es compatible el sistema S’ ?


c) ¿Ha de ser compatible indeterminado el sistema S’ ?

16.- Dada el sistema homogéneo

0

3 0

2 3 0

x y z

x y

x my z

+ + =

− + = + + =

. Se pide:

a) Determinar para qué valores del parámetro m tiene otras soluciones además de la trivial. b) Hallar, para el valor de m calculado en el apartado a), las soluciones del sistema.

17.- La matriz de los coeficientes de un sistema es

1 2 1

1

1 4 1

a a

a

y la de los términos

independientes:

1

1

2a

.

a) ¿Para qué valores de a el sistema no tiene solución? b) Para cierto valor de a un individuo encontró 2 soluciones del sistema. ¿Cuánto valía a?. ¿Tenía más soluciones el sistema? c) Encuentra un valor de a para el que el sistema tenga una única solución y, para dicho valor, resuélvelo.

18.- Se considera la matriz

1 2 3

1 3 3

2 5

A

a

=

, siendo a un parámetro real.

a) Calcular el rango de A según los valores del parámetro a. b) Discutir si existe la solución del sistema:

0

0

0

x

A y

z

=

según los valores de a. En caso afirmativo, resolverlo.

c) Para a = 6, discutir si existe solución del sistema:

0

1

0

x

A y

z

=

.

19.- Si se sabe que existen números x e y que verifican el sistema:

( )( )

2

2 2

1 3 0

2 1 2 0

1

m x my

mn x ny

x y

− + =

− + = + =

¿qué relación debe existir entre los parámetros m y n?

(Ayuda: obsérvese que la última ecuación no puede tener como solución x = 0, y = 0).


20.- Estudiar el sistema que se expresa a continuación, de tres ecuaciones y dos incógnitas x e y, en función del parámetro a.

2 2

2

(1 ) 7

2 4

x ay

x a y a

ax a y a a

− + =

− + + = + − + = + −

Resolver el sistema para a = 2

21.- Dado el sistema

2

2 4

2

x my z

mx z

x y z

+ + =

+ = + + =

, se pide:

a) Discutir y clasificar el sistema en función de los valores del parámetro m. b) Resolverlos en los casos que sea posible. 22.- a) Discute los siguientes sistemas en función del parámetro. b) Si para algún valor del parámetro es compatible indeterminado, resolverlo en ese caso.

2 33 1

13 3 7 ;

3 52 6

2 3 2

x ay zx y z

x y azx ay z

x ayx y az

ay z

+ + = − + =

− − = + + =

− = + + = + =

23.- Calcula valores de m para que el sistema

( 1) 0

( 1) 3

1

x m y z

m x y z m

y z

+ − − =

− + + = + =

a) Tenga solución

única. Calcúlala para m=0. b) Tenga infinitas soluciones. c) ¿Hay algún valor de m para el que el sistema no tenga solución?. Justifícalo.

24.- Estudia según los valores de a el sistema

2 1

2 0

1

ax y z

x y

ax y z

+ + =

− = + − =

. b) Resuélvelo para a=1. (

25.- Estudia el sistema que se expresa a continuación, de dos ecuaciones y dos

incógnitas x e y, en función del parámetro n 2

3

2

4 20 4

n x ny

n x y n

+ =

− − = − +

26.- Estudia el sistema que se expresa a continuación, de tres ecuaciones y dos

incógnitas x e y, en función del parámetro a:2 2

2

(1 ) 7

2 4

x ay

x a y a

ax a y a a

− + =

− + + = +

− + = + −

27.- Sea el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, x e y, y un parámetro n.


( )

2

2

1

2 1 4

n x ny

n n x y n

− =

− − =

1. Expréselo en forma matricial siendo los elementos de una de las matrices que intervienen las variables. 2. Discútalo según los valores del parámetro. 3. Determine su solución para n = 3.

28.- Se considera el siguiente sistema de dos ecuaciones:

( )

2

2

1

3 2 6 1

n x ny

n n x y n

+ = −

− − = +

1. Estudiar el sistema en función del parámetro n. 2. En aquellos casos que sea posible, resolverlo.

29.- a) Calcula el carácter del sistema de ecuaciones lineales siguiente en función del

parámetro m:

2

3

4

mx y m

s x y m

x y z

+ =

≡ − = − + =

. b) Resuélvelo para m = 0. c) Sustituye la tercera

ecuación de s por otra ecuación de forma que el sistema resultante sea compatible indeterminado para cualquier valor de m.

30.- Dado el sistema:2 2

29 27 36 9

nx n y

nx y n n

+ =− − = − −

a) Discutir el sistema en función de los valores del parámetro n. b) Hallar la solución del sistema para los valores de n en que resulte compatible indeterminado. c) Resolver el sistema para n = 1

31.- Dado el sistema de ecuaciones lineales:

2 4 2

0

2 2

x y az

y z

ax z

− − = −

− = + =

. Se pide:

a) discutir el sistema en función de los valores de a. b) resolver el sistema para el valor a = 2. 32.- Considérese el sistema de ecuaciones dependientes del parámetro a:

2

1ax y z

x ay z a

x y az a

+ + =

+ + =

+ + =

a) discutir el sistema según los valores de a. b) Resolver el sistema para a = - 1.

33.- Dada el sistema homogéneo

0

3 0

2 3 0

x y z

x y

x my z

+ + =

− + = + + =

Se pide:


a) Determinar para qué valores del parámetro m tiene otras soluciones además de la trivial.

b) Hallar, para el valor de m calculado en el apartado a), las soluciones del sistema.

34.- a) Resuelve el sistema 3 2 5

2 3 4

x y zS

x y z

− + =≡

− + =. b) Añade a S una ecuación de la forma

x+y=a y discutir el sistema obtenido según los valores de a. c) Añade una ecuación a S de modo que se obtenga un sistema compatible determinado de solución (2,-1,-3).

35.- El siguiente sistema

1

4 3 2

2 1

3 2 1

x y z

y z

x y

x y z

− + + =

+ =

+ = + + =

es compatible y determinado. Calcula su

solución. b) Considera ahora el sistema

1

4 2

2 1

2 1

x y z

y az

x y

x ay z

− + + =

+ =

+ = + + =

i) ¿es posible encontrar valores

de a para los que el sistema sea incompatible? En caso afirmativo, hállalos. ii) ¿es posible encontrar valores de a para los que el sistema sea compatible indeterminado?. En caso afirmativo, hállalos.

36.- Un especulador adquiere 3 objetos de arte por un precio total de 20 monedas de oro. Vendiéndolos, espera obtener de ellos unas ganancias del 20%, del 50% y del 25%, respectivamente., con lo que su beneficio total sería de 6 monedas de oro. Pero consigue más (cosa que hoy no llama la atención), pues con la venta obtiene de ellos ganancias del 80%, del 90% y del 85% respectivamente, lo que arroja un beneficio total de 17 monedas de oro, ¿cuanto le costó cada objeto? 37.- Una docena de huevos, una bolsa de patatas y una botella de aceite valen 600 ptas. Una docena de huevos y 2 botellas de aceite valen 650 y una bolsa de patatas y una botella de aceite cuestan 350 ptas. Calcula el precio de cada cosa. 38.- Sea un número A un número de cuatro cifras tal que la cifra de las unidades de millar y la cifra de las decenas es la misma. La suma de las cuatro cifras de A es 27. La diferencia entre el número A y el que resulta de invertir el orden de sus cifras es 3546. La suma de las cifras de las unidades y de las centenas de A es un número igual a la cifra de las decenas de A. 1. Plantear un sistema de ecuaciones que permita determinar el número A. 2. Determinar el número A. 39.- Una mujer ha obtenido 4.500 euros de beneficio por invertir un total de 60.000 euros en tres empresas: ALFA, BETA y GAMMA. Se sabe que el dinero invertido en la empresa ALFA fue M veces la suma del invertido en BETA y GAMMA y que los beneficios de la inversión fueron del 5% en ALFA, 10% en BETA y 20% en GAMMA. a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales cuya resolución permita calcular la inversión realizada por la mujer en cada empresa.


b) Prueba que para M>0 el sistema es compatible determinado c) Calcula la solución para M=2

40.- Hallar los coeficientes a, b y c del polinomio 3 2x ax bx c+ + + para que sea divisible por x – 3, tenga resto -6 al dividirlo por x – 1 y resto -4 al dividirlo por x + 1.

41.- Se considera el sistema de ecuaciones lineales:

2

3

4

ax y z

bx y z

x y cz

+ + =

+ + = + + =

donde a, b y c

son los números que se obtienen, respectivamente, como resultado de la primera, segunda y tercera tirada, al lanzar un dado de seis caras al aire. Se lanza tres veces al aire un dado de seis caras. Determinar la probabilidad para que al sustituir en el sistema a, b y c por los valores obtenidos, el sistema resulte compatible determinado. 42.- Resolver la siguiente ecuación:

2 0 5

1 1 -2

-1 1 1

x

y

z

+

-3

1

2

=

4

-1

1

43.- Estudia, según el valor de k, el rango de la matriz A siguiente: 1 1 0

0 1 1

1 0 1

k

A k

+

= + −

. 1) Calcula, si es posible, un valor de k para que el sistema

siguiente sea compatible determinado. Justifica tu respuesta. A.

+

=

1

1

2k

z

y

x

2) Lo mismo pero para que el sistema sea compatible indeterminado. D) Lo mismo para que sea incompatible.

44.- a) Halla el rango de la matriz

2 2 1

3 2 1

1 1

t t

A

t

− −

=

en función del parámetro t.

b) El sistema

2 1 0 1

3 2 1 1

1 1 1 0

x

y

z

=

es compatible indeterminado. Calcula sus soluciones.

c) Modifica algún dato en el sistema anterior de forma que resulte compatible determinado. Justifica tu respuesta.


1 1 1

1 1 0

1 0

M

m

− −

= −

donde m R∈ .

a) Prueba que M es una matriz regular.


b) Para m=-1 considera el sistema de ecuaciones lineales

0

( . ). 0

0

x

M s I y

z

− =

donde

s R∈ e I es la matriz identidad de orden 3. Resuélvelo según los valores del parámetro s c) Para m=-1 obtener los vectores v no nulos que verifican que M-1.v=r.v para algún número real r. Indicación: 3o es necesario calcular M

-1, basta probar que r≠0 y r

-1. v = M . v y utilizar el

apartado anterior.


1 0 1

0 3

4 1

A m

m

−

= −

donde m R∈

a) Determina para que valores de m es A regular (inversible) b) Para m=1 resuelve los 3 sistemas de ecuaciones siguientes: A.u=e1 ; A.v=e2 :

A.w = e3 siendo e1, e2 y e3 las columnas de la matriz unidad I de orden 3. c) Considera la matriz B 3x3 cuyas columnas son los vectores u,v,w anteriores. Razona si B es la matriz inversa de A con m=1

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