Recta Tangente y Normal
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CÆlculo de Recta Tangente y Normal Problema 1. Calcula la recta tangente a la grÆca de la funcin f (x)= x 3 en el punto x 0 =1. Solucin: Recordad que la frmula es y = f (x 0 )+ f 0 (x 0 )(x x 0 ) Paso 1. Calculamos la derivada de la funcin f (x)= x 3 ! f 0 (x)=3x 2 Paso 2. Calculamos el valor de la funcin y el de la derivada en x 0 =1. f (1) = 1 3 =1 f 0 (1) = 3 1 2 =3 Paso 3. Aplicamos la frmula y = f (x 0 )+ f 0 (x 0 )(x x 0 )= = 1+3(x 1) Simplicando y =1+3(x 1) = 1 + 3x 3=3x 2 GrÆcamente tenemos la siguiente situacin Problema 2. Calcula la recta tangente a la grÆca de la funcin f (x) = cos (x) en el punto x 0 = 4 . Solucin: Recordad que la frmula es y = f (x 0 )+ f 0 (x 0 )(x x 0 ) Paso 1. Calculamos la derivada de la funcin f (x) = cos (x) ! f 0 (x)= sin (x) Paso 2. Calculamos el valor de la funcin y el de la derivada en x 0 =1. f 4 = cos 4 = p 2 2 f 0 4 = sin 4 = p 2 2 1
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Clculo de Recta Tangente y Normal
Problema 1. Calcula la recta tangente a la grca de la funcin f (x) = x3 en el punto x0 = 1.
Solucin: Recordad que la frmula es
y = f (x0) + f0 (x0) (x x0)
Paso 1. Calculamos la derivada de la funcin
f (x) = x3 ! f 0 (x) = 3x2
Paso 2. Calculamos el valor de la funcin y el de la derivada en x0 = 1.
f (1) = 13 = 1
f 0 (1) = 3 12 = 3
Paso 3. Aplicamos la frmula
y = f (x0) + f0 (x0) (x x0) =
= 1 + 3 (x 1)
Simplicandoy = 1 + 3 (x 1) = 1 + 3x 3 = 3x 2
Grcamente tenemos la siguiente situacin0.51.01.52.0-22468
Problema 2. Calcula la recta tangente a la grca de la funcin f (x) = cos (x) en el punto x0 = 4 .
Solucin: Recordad que la frmula es
y = f (x0) + f0 (x0) (x x0)
Paso 1. Calculamos la derivada de la funcin
f (x) = cos (x) ! f 0 (x) = sin (x)
Paso 2. Calculamos el valor de la funcin y el de la derivada en x0 = 1.
f4
= cos
4
=
p2
2
f 04
= sin
4
=
p2
2
1
-
Paso 3. Aplicamos la frmula
y = f (x0) + f0 (x0) (x x0) =
=
p2
2p2
2
x
4
Simplicando
y =
p2
2p2
2
x
4
=
p2
2x+
p2
8+
p2
2=
p2
2x+
( + 4)p2
8
Grcamente tenemos la siguiente situacin0.51.01.50.20.40.60.81.01.2
Problema 3. Calcula la recta normal a la grca de la funcin f (x) = x3 en el punto x0 = 1.
Solucin: La frmula esy = f (x0) 1
f 0 (x0)(x x0)
Paso 1. Calculamos la derivada de la funcin
f (x) = x3 ! f 0 (x) = 3x2
Paso 2. Calculamos el valor de la funcin y el de la derivada en x0 = 1.
f (1) = 13 = 1
f 0 (1) = 3 12 = 3
Paso 3. Aplicamos la frmula
y = f (x0) 1f 0 (x0)
(x x0) =
= 1 13(x 1)
Simplicando
y = 1 13(x 1) = 1
3x+
4
3
Grcamente tenemos la siguiente situacin
2
-
0.60.81.01.2-1.0-0.50.51.01.52.0
Problema 4. Calcula la recta normal a la grca de la funcin f (x) = 4x2 + 2x en el punto x0 = 2.
Solucin: La frmula esy = f (x0) 1
f 0 (x0)(x x0)
Paso 1. Calculamos la derivada de la funcin
f (x) = 4x2 + 2x ! f 0 (x) = 8x+ 2
Paso 2. Calculamos el valor de la funcin y el de la derivada en x0 = 1.
f (2) = 4 22 + 2 2 = 20f 0 (2) = 8 2 + 2 = 18
Paso 3. Aplicamos la frmula
y = f (x0) 1f 0 (x0)
(x x0) =
= 20 118(x 2)
Simplicando
y = 20 118(x 2) = 1
18x+
181
9
3
