RECTAS Y ÁNGULOS4. Mediatriz y bisectriz Vídeo. Mediatriz de un segmento Vídeo. Bisectriz de un...

9 Rectas y ángulos

268Unidades didácticas Matemáticas 1.º ESO

En esta unidad, los alumnos tienen que relacionar las construcciones realizadas en la asignatura de Plástica con las propiedades geométricas que tiene cada una de ellas.

La unidad comienza introduciendo el lugar donde van trabajar, el plano, para pasar a definir las rectas. Continúa determinando los ángulos y las relaciones que existen entre ellos.

La última parte se centra en la construcción de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo. En este epígrafe, los alumnos pueden tener problemas a la hora de aplicar las propiedades geométricas de estos elementos pero es un buen momento para introducirlas.

La metodología debe permitir a los alumnos el desarrollo y adquisición de la competencia matemática, y también del resto de competencias clave. Por esta razón, se presentan en la unidad secciones en las que cobra importancia el trabajo de dichas competencias.

Comunicación lingüística (CL) Es la protagonista de la sección Lee y comprende las matemáticas en la que se trabaja la comprensión lectora.

Competencia digital (CD)Se integra a lo largo de la unidad haciendo partícipes a los alumnos de las ventajas que tiene recurrir a los medios informáticos para comprender determinados contenidos relacionados con las rectas y los ángulos.

Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT)Se desarrolla a lo largo de toda la unidad y especialmente en la sección Matemáticas vivas donde, partiendo de una situación cotidiana como es el manejo de la escuadra y el cartabón, los alumnos profundizarán en la construcción de ángulos con estos instrumentos de dibujo.

Competencias sociales y cívicas (CSC)La consideración de distintas implicaciones en el tema de estudio contribuye a su preparación como ciudadanos informados.

Competencia aprender a aprender (CAA)En toda la unidad se considera la necesidad de potenciar en los alumnos su espíritu crítico potenciando el pensamiento creativo. La puesta en común de los distintos trabajos constituye una ocasión para la integración de conocimientos adquiridos por distintas vías, así como para el análisis y la comparación de distintas formas de abordar un mismo objetivo.

Competencia sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (CSIEE)La unidad contiene un gran número de problemas y la resolución de los mismos contribuye a fomentar la autonomía e iniciativa personal, porque se utilizan para planificar estrategias, asumir retos y contribuyen a convivir con la incertidumbre, controlando al mismo tiempo los procesos de toma de decisiones. Se desarrolla especialmente en varias de las últimas actividades de cada sección (Investiga o Desafío).

Competencia conciencia y expresiones culturales (CCEC)Se desarrolla a lo largo de la unidad.

El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de tres semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos, ya que hay que tener en cuenta el tiempo necesario para la exposición de los trabajos.

ObjetivosLos objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son:

❚❚ Definir punto, recta y plano.❚❚ Identificar rectas, semirrectas y segmentos en el plano.❚❚ Identificar las posiciones relativas de dos rectas en el plano.❚❚ Identificar ángulos y conocer sus elementos principales.❚❚ Clasificar ángulos.

RECTAS Y ÁNGULOS9

269

9Rectas y ángulos

Unidades didácticas Matemáticas 1.º ESO

❚❚ Manejar el sistema sexagesimal como sistema de medida de ángulos.❚❚ Reconocer cuándo dos ángulos son complementarios o suplementarios.❚❚ Identificar ángulos opuestos por el vértice.❚❚ Reconocer y dibujar la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo.❚❚ Comprender y resolver problemas en los que es necesario conocer los distintos tipos de rectas y ángulos.❚❚ Realizar una tarea de trabajo cooperativo utilizando rectas y ángulos.

Atención a la diversidadCon el fin de atender los distintos ritmos de aprendizaje de los alumnos, se proponen algunas actividades de refuerzo y de ampliación que podrán utilizarse como alternativa o complemento a las que figuran en el libro del alumno. Se establecen actividades diferenciadas a modo de fichas de trabajo que pueden servir como adaptación curricular para los casos en que fuera necesario.

Material complementarioEn el material complementario Comprende y resuelve problemas se proponen actividades para trabajar la comprensión y la resolución de problemas relacionadas con las rectas y los ángulos.

Por otra parte, el material complementario Practica+ cuenta con un repaso de los contenidos y procedimientos estudiados sobre rectas y ángulos, y se proponen nuevas actividades para repasar y afianzar dichos contenidos.

Además, para ayudar a los alumnos a comprender y practicar conceptos relacionados con rectas y ángulos, pueden acceder a las lecciones 1082, 1089, 1102 y 1109 de la web www.mismates.es.

P R O G R A M A C I Ó N D E L A U N I D A D

Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluablesRelación de

actividades del libro del alumno

Competencias clave

Rectas en el planoPosiciones relativas de dos rectas

1. Identificar y representar elementos básicos de la geometría del plano.

2. Reconocer y representar las posibles posiciones de rectas en el entorno.

1.1. Identifica y representa puntos, rectas, semirrectas y segmentos en el plano.

2.1. Reconoce y representa las posibles posiciones de rectas en el entorno: paralelas, concurrentes y perpendiculares.

1, 2, 32PV1

3-631, 33-35Matemáticas vivas 1, 2, 3PV1

CMCTCLCSCCAACSIEECCEC

Ángulos en el planoClasificación de ángulos

3. Identificar, representar y clasificar ángulos.

4. Expresar con precisión medidas de ángulos, convirtiendo unas unidades en otras cuando las circunstancias lo requieran.

3.1. Observa, identifica, mide con el transportador y representa diferentes ángulos rectos, agudos, obtusos.

4.1. Utiliza el sistema sexagesimal para realizar cálculos y transformaciones con medidas angulares.4.2. Utiliza instrumentos de dibujo y medios tecnológicos para la construcción y exploración de ángulos.

7-914-1636, 37, 41, 42

10-1343 9, 15, 1638-4042Matemáticas vivas 4Trabajo cooperativo

CMCTCLCSCCAA CSIEECCEC

Relaciones entre ángulos y rectas

5. Identificar, representar y clasificar ángulos en distintas posiciones: consecutivos, adyacentes, opuestos por el vértice.

5.1. Observa, identifica, representa y clasifica ángulos en distintas posiciones: consecutivos, adyacentes, opuestos por el vértice, etc. 5.2. Utiliza el sistema sexagesimal para realizar transformaciones con medidas angulares.5.3. Utiliza instrumentos de dibujo y medios tecnológicos para la construcción y exploración de ángulos consecutivos, adyacentes y opuestos por el vértice.

17, 19, 20, 2344-46, 48-51

20-2347, 49-5117, 1846, 47

CMCTCDCLCSCCAA CSIEECCEC

Mediatriz y bisectriz 6. Identificar y representar la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo.

6.1. Identifica la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo.6.2. Utiliza instrumentos de dibujo y medios tecnológicos para la construcción y exploración de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo.

25

24, 26-3052-56

CMCTCDCLCSCCAA CSIEECCEC

MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD

2. Ángulos en el plano • Clasificación de ángulos

¿Qué tienes que saber? • Tipos de rectas • Tipos de ángulos • Relación entre rectas y ángulos • Mediatriz y bisectriz

Matemáticas vivasLa escuadra y el cartabón • Dibujo de diferentes ángulos

utilizando la escuadra y el cartabón

AvanzaÁngulos correspondientes y ángulos alternos

Percepción visualIlusiones ópticas

PARA EL PROFESOR

MATERIAL COMPLEMENTARIO

PARA EL ALUMNO

Actividades de RefuerzoActividades de Ampliación

Propuesta de Evaluación APropuesta de Evaluación B

Presentación de la unidad Ideas previasRepasa lo que sabes

Matemáticas en el día a díaContenido WEB. El sistema sexagesimal

1. Rectas en el plano • Posiciones relativas de dos rectas

Actividades interactivas

Vídeo. Dibujar un ángulo3. Relaciones entre ángulos y rectas

4. Mediatriz y bisectriz Vídeo. Mediatriz de un segmentoVídeo. Bisectriz de un ángulo

MisMates.esLecciones 1082, 1089, 1102 y 1109 de la web mismates.es

Practica+

Adaptación curricular

Comprende y resuelve problemas

9 Rectas y ángulos

Actividades finales

Trabajo cooperativoTarea cuya estrategia es Uno para todos, de Pere Pujolás

Unidades didácticas Matemáticas 1.º ESO270

271

9Rectas y ángulos


Sugerencias didácticas

Comenzamos la unidad observando las líneas paralelas que forman los pasos de cebra de la calles.

Podemos continuar utilizando las calles como introducción de los diferentes conceptos que se van a trabajar en la unidad. Por ejemplo, siempre conocen calles que forman ángulos mayores, menores e iguales a 90º.

Lo mismo ocurre con la mediatriz y la bisectriz. Podemos usar calles o carreteras para trazar nuevas calles o carreteras que cumplan ciertas propiedades geométricas.

Contenido WEB. EL SISTEMA SEXAGESIMAL

En la sección Matemáticas en el día a día se recuerda la aplicación del sistema sexagesimal para medir el tiempo y la amplitud de los ángulos, así como los procedimientos para realizar operaciones en base 60 o pasar de la expresión decimal a la sexagesimal, y viceversa.

Se trata de un recurso que complementa la página de inicio de la unidad con información relativa al tema. Puede utilizarse para motivar a los alumnos antes de comenzar con los contenidos o como ampliación del mismo para aquellos que muestren un interés especial.

181

9 RECTAS Y ÁNGULOS

En el pavimento de las calles existen numerosas líneas rectas y curvas, que nos indican qué dirección hemos de seguir, qué debemos o no debemos hacer...

Una de las señales que pueden verse con más frecuencia pintada en el suelo consiste en una serie de segmentos paralelos que indican que, por esa zona, los peatones tienen prioridad frente a los vehículos a la hora de atravesar ese tramo de calzada.

Pero… ¡ten cuidado y no te confíes! Debes mirar a ambos lados de la calle antes de cruzar.

REPASA LO QUE SABES1. ¿Cuánto mide el ángulo de la figura?

90100110

120

130

140

150

160

170

180

80 7060

50

4030

2010

0

2. Completa estas igualdades en tu cuaderno.

a) 1º = §‘ b) 1’ = §‘’ c) 1º = §‘’

3. Copia y completa.

a) 70’ = §º §’ c) 250’’ = §’ §’’

b) 130’ = §º §’ d) 310’’ = §’ §’’

4. Expresa las siguientes medidas en la unidad indicada.

a) 2º 3’ 45’’ en segundos b) 12º 35’ en minutos

seguir, qué debemos o no debemos hacer...

tramo de calzada.

IDEAS PREVIAS

❚ Medida de ángulos.

❚ Sistema sexagesimal.

❚ Utilización del

transportador de

ángulos.

El sistema sexagesimal, sistema de numeración de base 60, se utiliza para medir el tiempo y los ángulos. En este sistema cada 60 unidades de un orden forman una unidad del orden siguiente.

Matemáticas en el día a día ][ma1e33

Repasa lo que sabesSoluciones de las actividades

1. ¿Cuánto mide el ángulo de la figura?

90100110

120

130

140

150

160

170

180

80 7060

50

4030

2010

0

El ángulo mide 40º.

2. Completa estas igualdades en tu cuaderno.

a) 1º = §’ b) 1’ = §’’ c) 1º = §’’

a) 1º = 60’ b) 1’ = 60’’ c) 1º = 3 600’’

3. Copia y completa.

a) 70’ = §º §’ c) 250’’ = §’ §’’

b) 130’ = §º §’ d) 310’’ = §’ §’’

a) 70’ = 1º 10’ c) 250’’ = 4’ 10’’

b) 130’ = 2º 10’ d) 310’’ = 5’ 10’’

4. Expresa las siguientes medidas en la unidad indicada.

a) 2º 3’ 45’’ en segundos b) 12º 35’ en minutos

a) 2º = 120’ = 7 200’’ b) 12º = 720’

3’ = 180’’ 720’ + 35’ = 755’

7 200’’ + 180’’ + 45’’ = 7 425’’

9 Rectas y ángulos


1. Rectas en el plano

183

9Actividades9 Rectas y ángulos

182

Copia este esquema y dibuja, si se puede, una recta que pase por:a) El punto E.b) Los puntos A y D. c) Los puntos A, B y C.d) Los puntos B, C y E.

Copia este dibujo y marca en él dos rectas, dos semirrectas y dos segmentos.

••

•

Observa este plano y contesta a los apartados:

a) Nombra una calle que sea secante a la calle Mayor.b) ¿Qué calle es paralela a la calle Mayor? ¿Cuál es perpendicular?

Copia este dibujo en tu cuaderno.r

s

t

a) Dibuja una recta paralela a s.b) Dibuja una perpendicular a t. ¿Es paralela a s? ¿Es perpendicular? c) Dibuja una recta secante a r que no sea secante a s.d) Dibuja una recta secante a r, s y t.

Piensa y contesta. Si s y t son dos rectas paralelas:a) ¿Una recta paralela a s es también paralela a t?b) ¿Una recta perpendicular a s es también perpendicular a t?

1

2

3

4

5

1. RECTAS EN EL PLANO

Imagina que una hoja de tu cuaderno no tuviera fin, que se extendiera en todas las direcciones. Se trataría de un plano.

❚ Si doblas esa hoja, la marca que queda al desdoblarla es la representación de una recta que tampoco tiene principio ni fin.

❚ Si doblas ahora la hoja por otro sitio distinto, obtienes otra recta. El lugar donde se cortan las dos rectas es un punto.

Marca dos puntos en una hoja. Después, dóblala de forma que el doblez pase por los dos puntos marcados.

Si intentas a continuación plegar la hoja de otra forma, pero procurando que pase también por los dos puntos, comprobarás que resulta imposible.

Por dos puntos del plano pasa una única recta.

En el plano podemos encontrar los siguientes elementos:

Recta Semirrecta Segmento• •

•Línea sin curvas, sin principio ni final, formada por infinitos puntos.

Cada una de las partes en las que queda dividida una recta al marcar un punto.

Parte de recta delimitada por dos puntos.

Posiciones relativas de dos rectas

Si coges una hoja y haces dos dobleces, las rectas que obtienes pueden ser:

Secantes Paralelas Coincidentes

•

Se cortan en un punto. No se cortan. Son la misma recta.

Si las rectas son secantes y dividen el plano en cuatro regiones iguales, decimos que las rectas son perpendiculares.

Aprenderás a… ● Definir punto, recta y plano.

● Identificar rectas, semirrectas y segmentos en el plano.

● Identificar las posiciones relativas de dos rectas en el plano.

Presta atención

❚ Para representar un plano podemos utilizar una hoja de un cuaderno.

❚ Para representar una recta, podemos utilizar una línea en la que no están marcados los extremos.

Presta atención

•

Estas dos rectas no son paralelas porque, si las prolongamos, se cortan.

90º

•

•

•

•

•

C

E

A

D

B Para nombrar un punto del plano, utilizamos letras mayúsculas: A, B, C…

Lenguaje matemático

Para nombrar una recta del plano utilizamos letras minúsculas: r, s, t…


Investiga

Hay pintores que a lo largo de su trayectoria artística se han caracterizado por el uso de líneas rectas en sus obras. Piet Mondrian es uno de ellos.Investiga su obra y busca en Internet otros pintores que también utilicen las rectas como elemento señalado en sus cuadros.

6

Soluciones de las actividades1 Copia este esquema y dibuja, si se puede, una recta que pase por:

a) El punto E.

b) Los puntos A y D.

c) Los puntos A, B y C.

d) Los puntos B, C y E.

a) Hay infinitas rectas que pasan por el punto E. Por ejemplo, la recta r.

b) Recta s.

c) No existe ninguna recta que pase por estos puntos.

d) Recta t.


Conviene empezar proporcionando a cada alumno un folio y proponiéndole que lo pliegue como se muestra en el epígrafe. De esta forma, cada alumno observa cómo queda determinada una recta con dos puntos.

Si en el folio marcamos un punto y ahora les proponemos que realicen un doblez que pase por ese punto, es posible

que cada alumno lo haga de una forma distinta. De ese modo se puede observar la diferencia entre una recta que pasa por un punto y una recta que pasa por dos puntos.

Se puede seguir utilizando el plegado de papel para construir rectas paralelas, secantes, perpendiculares…

•

•

•

•

•

C

E

A

D

B

•

•

•

•

•

C

E

A

s tr

D

B

273

9Rectas y ángulos


2 Copia este dibujo y marca en él dos rectas, dos semirrectas y dos segmentos.

••

•

3 Observa este plano y contesta a los apartados:

a) Nombra una calle que sea secante a la calle Mayor.

b) ¿Qué calle es paralela a la calle Mayor? ¿Cuál es perpendicular?

a) Hay tres posibles respuestas: calle Rubén Darío, calle Euler o calle Machado.

b) La calle Newton es paralela y la calle Rubén Darío es perpendicular.4 Copia este dibujo en tu cuaderno.

rs

t

a) Dibuja una recta paralela a s.

b) Dibuja una perpendicular a t. ¿Es paralela a s? ¿Es perpendicular?

c) Dibuja una secante a r que no sea secante a s.

d) Dibuja una secante a r, s y t.

a) Existen infinitas rectas paralelas a s. Por ejemplo, la recta u.

b) Existen infinitas rectas perpendiculares a t. Por ejemplo, la recta v.

c) Todas las rectas secantes a r y no a s son paralelas a s. Por ejemplo, la recta u.

d) Existen infinitas rectas secantes a r, s y t. Por ejemplo, la recta x.

r

s

u

t

vx

5 Piensa y contesta. Si s y t son dos rectas paralelas:

a) ¿Una recta paralela a s es también paralela a t? b) ¿Una recta perpendicular a s es también perpendicular a t?

a) Sí, porque es paralela a las dos. b) Sí, porque es perpendicular a las dos.

Investiga6 Hay pintores que a lo largo de su trayectoria artística se han caracterizado por el uso de líneas rectas en sus obras. Piet

Mondrian es uno de ellos. Investiga su obra y busca en Internet otros pintores que también utilicen las rectas como elemento señalado en sus cuadros.

Respuesta abierta, hay numerosas páginas con cuadros de Mondrian.

En el dibujo hay 3 rectas (azul, verde y morada), un segmento en cada recta delimitado por dos puntos rojos y 6 semirrectas. Comprobar que los alumnos marcan dos de estas rectas, dos semirrectas y dos segmentos.

9 Rectas y ángulos


2. Ángulos en el plano

185


184

Relaciona cada ángulo con una medida.a) c)

b) d)

315º 30º 100º 90º

Mide estos ángulos con un transportador y clasifícalos.a) c)

b) d)

Utiliza una regla y un transportador para dibujar estos ángulos.a) 60º b) 135º c) 45º d) 90º

7

8

9

Expresa los siguientes ángulos en la medida indicada.a) 532’ en grados y minutosb) 54 670’’ en minutos y segundos

Expresa en grados, minutos y segundos las siguientes medidas de ángulos.a) 453’’ c) 756’’ b) 56 030’’ d) 90 040’’

Escribe en forma incompleja, pasando a segundos un ángulo que mide:a) 32° 45’ 56’’b) 27° 34’ 45’’c) 43° 25’ 57’’d) 17° 29’ 35’’

Un ángulo mide 452,25’. Expresa este ángulo en grados, minutos y segundos.

Observa y clasifica.a) d)

b) e)

c) f)

Utiliza un reloj analógico para dibujar dos ejemplos de una hora con las manecillas que formen:a) Un ángulo obtuso.b) Un ángulo recto. c) Un ángulo agudo.d) Un ángulo nulo.

10

11

12

13

14

15

2. ÁNGULOS EN EL PLANO

En una hoja de nuestro cuaderno, que representa un plano, dibujamos un punto y trazamos dos semirrectas con origen en ese punto.

La hoja queda dividida en dos regiones que comparten el punto y las dos semirrectas.

❚ Al punto lo llamamos vértice.

❚ A cada semirrecta la denominamos lado.

❚ Cada una de estas dos regiones recibe el nombre de ángulo.

Un ángulo es cada una de las dos regiones en que queda dividido el plano al trazar dos semirrectas que tienen el mismo origen.

Las dos regiones en las que queda dividido el plano pueden ser distintas. Llamamos amplitud a la abertura de cada una de ellas.

Para medir la amplitud de un ángulo utilizamos el grado como unidad de medida. Se representa mediante el símbolo º.

Para expresar unidades más pequeñas que el grado utilizamos el minuto y el segundo. El minuto se representa por el símbolo ’ y el segundo por ’’.

1 grado = 60 minutos (1º = 60’) 1 minuto = 60 segundos (1’ = 60’’)

Clasificación de ángulos

Según su amplitud, un ángulo puede ser:

Nulo Recto Llano

•0º

•

90º •

180º

Sus lados los forman semirrectas coincidentes.

Sus lados son semirrectas perpendiculares.

Sus lados son semirrectas de sentido contrario y tienen el mismo origen.

Comparado con un ángulo recto, un ángulo puede ser:

Agudo Obtuso

• •Amplitud < 90º Amplitud > 90º

Aprenderás a… ● Identificar ángulos y conocer sus elementos principales.

● Clasificar ángulos.

● Manejar el sistema sexagesimal como sistema de medida de ángulos.

La medida de un ángulo está escrita en forma incompleja cuando está expresada con una única unidad de medida.

Si utilizamos más de una unidad diremos que está en forma compleja.


Presta atención

Recuerda cómo tienes que colocar el transportador de ángulos para medir la amplitud de cualquier ángulo.

90100110

120

130

140

150

160

170

180

80 7060

50

4030

2010

0

} Un ángulo mide 4 532’’. Expresa este ángulo en grados, minutos y segundos.

SoluciónDividimos sucesivamente entre 60.

4 5 3 2 6 0 7 5 6 0

3 3 2 7 5 1 5 1

3 2

segundos minutos grados

4 532’’ = 1º 15’ 32’’

EJERCICIO RESUELTO

DESAFÍOCopia la siguiente malla y señala con distinto color los ángulos rectos, agudos y obtusos.

16

Soluciones de las actividades7 Relaciona cada ángulo con una medida.

a) b) c) d)

315º 30º 100º 90º

a) 30º b) 100º c) 315º d) 90º8 Mide estos ángulos con un transportador y clasifícalos.

a) b) c) d)

a) 45º → agudo b) 75º → agudo c) 120º → obtuso d) 300º → obtuso


Antes de comenzar este epígrafe es conveniente recordar a los alumnos la necesidad de disponer de instrumentos de dibujo, al menos de una regla y un transportador de ángulos, para que sean capaces de realizar construcciones geométricas haciendo uso de ellos.

Una vez introducido el concepto de ángulo, conviene recordar por un lado el sistema sexagesimal, realizando algunos ejercicios, y por otro, el uso del transportador de ángulos. Muchos alumnos lo tienen pero no recuerdan cómo debe colocarse para poder medir bien la amplitud del ángulo.

275

9Rectas y ángulos


9 Utiliza una regla y un transportador para dibujar estos ángulos.

a) 60º b) 135º c) 45º d) 90º

Comprobar que los alumnos dibujan los ángulos correctamente.10 Expresa los siguientes ángulos en la medida indicada.

a) 532’ en grados y minutos b) 54 670’’ en minutos y segundos

a) 5 3 2 6 0 → 532’ = 8º 52’ b) 5 4 6 7 0 6 0 → 54 670’’ = 911’ 10’’5 2 8 0 6 7 9 1 1

0 7 01 0

11 Expresa en grados, minutos y segundos las siguientes medidas de ángulos.

a) 453’’ b) 56 030’’ c) 756’’ d) 90 040’’

a) 4 5 3 6 0 → 453’’ = 7’ 33’’ c) 7 5 6 6 0 → 756’’ = 12’ 36’’3 3 7 1 5 6 1 2

3 6

b) 5 6 0 3 0 6 0 9 3 3 6 0 d) 9 0 0 4 0 6 0 1 5 0 0 6 02 0 3 9 3 3 3 3 3 1 5 3 0 0 1 5 0 0 3 0 0 2 5

2 3 0 3 3 0 0 4 0 0 05 0

56 030’’ = 933’ 50’’ = 15º 33’ 50’’ 90 040’’ = 1 500’ 40’’ = 25º 40’’12 Escribe en forma incompleja, pasando a segundos, un ángulo que mide:

a) 32º 45’ 56’’ b) 27º 34’ 45’’ c) 43º 25’ 57’’ d) 17º 29’ 35’’

a) 32 · 3 600 = 115 200 → 32º = 115 200’’ c) 43 · 3 600 = 154 800 → 43º = 154 800’’

45 · 60 = 2 700 → 45’ = 2 700’’ 25 · 60 = 1 500 → 25’ = 1 500’’

115 200 + 2 700 + 56 = 117 956 154 800 + 1 500 + 57 = 156 357

32º 45’ 56’’ = 117 956’’ 43º 25’ 57’’ = 156 357’’

b) 27 · 3 600 = 97 200 → 27º = 97 200’’ d) 17 · 3 600 = 61 200 → 17º = 61 200’’

34 · 60 = 2 040 → 34’ = 2 040’’ 29 · 60 = 1 740 → 29’ = 1 740’’

97 200 + 2 040 + 45 = 99 285 61 200 + 1 740 + 35 = 62 975

27º 34’ 45’’ = 99 285’’ 17º 29’ 35’’= 62 975’’13 Un ángulo mide 452,25’. Expresa este ángulo en grados, minutos y segundos.

452,25’ = 452’ + 0,25’

4 5 2 6 0 → 452’ = 7º 32’ 3 2 7

0,25 · 60 = 15’’

452,25’ = 7º 32’ 15’’14 Observa y clasifica.

a) b) c) d) e) f)

a) Obtuso b) Obtuso c) Agudo d) Recto e) Obtuso f) Obtuso

9 Rectas y ángulos


15 Utiliza un reloj analógico para dibujar dos ejemplos de una hora con las manecillas que formen:

a) Un ángulo obtuso. c) Un ángulo agudo.

b) Un ángulo recto. d) Un ángulo nulo.

a) Comprobar que los alumnos dibujan dos relojes cuyas agujas formen ángulos obtusos.

Respuesta abierta, por ejemplo: las dos menos cuarto y las cuatro menos cinco.

b) Comprobar que los alumnos dibujan dos relojes cuyas agujas formen un ángulo recto.

Respuesta abierta, por ejemplo: las tres en punto y las nueve en punto.

c) Comprobar que los alumnos dibujan dos relojes cuyas agujas formen ángulos agudos.

Respuesta abierta, por ejemplo: la una y cuarto, y las cuatro y media.

d) Comprobar que los alumnos dibujan dos relojes cuyas agujas formen ángulos nulos.

Respuesta abierta, por ejemplo: las doce en punto y las seis y media.

Desafío16 Copia la siguiente malla y señala con distinto color los ángulos rectos, agudos y obtusos.

Rojo → ángulos rectos Verdes → ángulos obtusos Naranjas → ángulos agudos

277

9Rectas y ángulos


3. Relaciones entre ángulos y rectas

187


186

Construye estos ángulos y clasifícalos.a) b)

Dibuja un ángulo de 35º. Después, traza el ángulo complementario y el suplementario.

17

18

Señala en la siguiente figura algunos ángulos complementarios y suplementarios.

rs t u

Observa los ángulos marcados que no tienen medida. ¿Cuánto mide cada uno?

25º

25º

125º

125ºAB

CD

19

20

3. RELACIONES ENTRE ÁNGULOS Y RECTAS

Observa cómo puedes dibujar dos ángulos con el mismo vértice y con un lado en común.

1 Dibuja un punto; este será el vértice.

•

2 Traza una semirrecta a partir del vértice.

•

3 Traza otras dos semirrectas con el mismo origen.

•

Dos ángulos que comparten vértice y tienen un lado en común se llaman ángulos consecutivos.

Podemos colocar siempre dos ángulos de manera que sean consecutivos. Existen dos casos especiales de ángulos consecutivos:

Ángulos complementarios Ángulos suplementarios

Forman un ángulo recto. Forman un ángulo llano.

❚ Dos ángulos son complementarios si suman 90º.

❚ Dos ángulos son suplementarios si suman 180º.

Observa los cuatro ángulos que aparecen cuando se cortan dos rectas. ¿Existe alguna relación entre estos cuatro ángulos?

•

A

B

C

D

1 A y B son suplementarios:

A + B = 180°

2 Como A + B = 180° y B + C = 180° , entonces:

A = C

B y C son también suplementarios:

B + C = 180°Seguimos el mismo razonamiento para A , B y D , y obtenemos que:

B = D

Dos rectas secantes forman cuatro ángulos que comparten vértice. Además, los lados de uno son prolongación de los del otro, dos a dos, y tienen la misma amplitud.

Estos pares de ángulos se llaman opuestos por el vértice.

Aprenderás a… ● Reconocer cuándo dos ángulos son complementarios o suplementarios.

● Identificar ángulos opuestos por el vértice.

Para nombrar un ángulo del plano utilizamos letras mayúsculas, en cursiva y ponemos este símbolo A, B, C…

sobre ellas: A, B, C…


} Utiliza el compás y la regla para dibujar este ángulo en tu cuaderno.

Solución

EJERCICIO RESUELTO

Averigua la medida de los complementarios a estos ángulos.a) 78º 12’ c) 60º 50’ 25’’b) 32º 4’ 59’’ d) 15º 40’’

Calcula los ángulos suplementarios de:a) 128º 12’ 40’’ c) 165º 15’ 38’’b) 50º 14’ 35’’ d) 83º 12’’

21

22

} Un ángulo mide 52º 45’ 15’’. ¿Cuánto mide su complementario?

SoluciónEl ángulo complementario mide 90º − 52º 45’ 15’’. Para poder realizar la resta pasamos un grado a minutos y, después, un minuto a segundos.

1º = 60’ 1’ = 60’’90º 45’ 15’’ 89º 60’ 15’’ − 89º 59’ 60’’52º 45’ 15’’ 52º 45’ 15’’ − 52º 45’ 15’’

− 37º 14’ 45’’

El ángulo complementario mide 37º 14’ 45’’.

EJERCICIO RESUELTO

¿Cuál es la amplitud del ángulo X ?23

Investiga

54º

XXX

ma1e34

Soluciones de las actividades17 Construye estos ángulos y clasifícalos.

a) b)

18 Dibuja un ángulo de 35º. Después, traza el ángulo complemetario y el suplementario.

35º 35º

ángulo complementario ángulo suplementario


Los alumnos no suelen tener muchos problemas con los contenidos de este epígrafe, pero es conveniente trabajar la claridad en las construcciones así como el buen uso de los instrumentos de dibujo.

Puede ser útil recordar como se maneja un compás.

Vídeo. DIBUJAR UN ÁNGULO

En este vídeo se resuelve un ejercicio en el que se pide realizar, paso a paso, una copia exacta de un ángulo dado con regla y compás. Puede utilizarse para explicar este tipo de ejercicios en la pizarra o como recurso para que los alumnos repasen.

a) Comprobar que los alumnos dibujan un ángulo de 30º → agudo

b) Comprobar que los alumnos dibujan un ángulo de 110º → obtuso

9 Rectas y ángulos


19 Señala en la siguiente figura algunos ángulos complementarios y suplementarios.

rs t u

20 Observa los ángulos marcados que no tienen medida. ¿Cuánto mide cada uno?

25º

25º

125º

125ºAB

CD

21 Averigua la medida de los complementarios a estos ángulos.

a) 78º 12’ b) 32º 4’ 59’’ c) 60º 50’ 25’’ d) 15º 40’’

a) 90º = 89º 60’89º 60’

− 78º 12’11º 48’

90º − 78º 12’ = 11º 48’

b) 90º = 89º 59’ 60’’89º 59’ 60’’

− 32º 4’ 59’’57º 55’ 1’’

90º − 32º 4’ 59’’ = 57º 55’ 1’’

22 Calcula los ángulos suplementarios de:

a) 128º 12’ 40’’ b) 50º 14’ 35’’ c) 165º 15’ 38’’ d) 83º 12’’

a) 180º = 179º 59’ 60’’179º 59’ 60’’

− 128º 12’ 40’’ 51º 47’ 20’’

180º − 128º 12’ 40’’ = 51º 47’ 20’’

b) 180º = 179º 59’ 60’’179º 59’ 60’’

− 50º 14’ 35’’129º 45’ 25’’

180º − 50º 14’ 35’’ = 129º 45’ 25’’

Investiga23 ¿Cuál es la amplitud del ángulo X ?

54º

XXX

180 − 54 = 126

126 : 3 = 42

X = 42º

Respuesta abierta.

Comprobar que los alumnos señalan el ángulo complementario formado por las rectas s, t y u, y algunos ángulos que formen un ángulo llano (suplementarios), por ejemplo los formados por las rectas r y s, r y t, r y u.

A = 125º

B = 180º − 125º = 55º

C = 90º − 25º = 65º

D = 25º

c) 90º = 89º 59’ 60’’89º 59’ 60’’

− 60º 50’ 25’’29º 9’ 35’’

90º − 60º 50’ 25’’ = 29º 9’ 35’’

d) 90º = 89º 59’ 60’’89º 59’ 60’’

− 15º 0’ 40’’74º 59’ 20’’

90º − 15º 40’’ = 74º 59’ 20’

c) 180º = 179º 59’ 60’’179º 59’ 60’’

− 165º 15’ 38’’ 14º 44’ 22’’

180º − 165º 15’ 38’’ = 14º 44’ 22’’

d) 180º = 179º 59’ 60’’

179º 59’ 60’’− 83º 0’ 12’’

96º 59’ 48’’ 180º − 83º 12’’ = 96º 59’ 48’’

279

9Rectas y ángulos


4. Mediatriz y bisectriz

189


188

Copia en tu cuaderno los siguientes segmentos y dibuja su mediatriz.a) b) c)

• •

•

•

•

•

Indica cuál de estas rectas puede ser la mediatriz del segmento AB.

• •A

r s t u

B

¿Por qué el resto no lo son?

Dibuja cuatro puntos en tu cuaderno y determina el punto medio de los segmentos AB y CD, que se forman.

Traza en tu cuaderno un segmento de 4 cm de longitud y localiza un punto que se encuentre a 4 cm de los dos extremos del segmento. ¿Es ese el único punto? Compruébalo.

Copia en tu cuaderno los siguientes ángulos y dibuja su bisectriz.a) b) c)

Copia y halla la bisectriz del ángulo que forman las rectas r y s.

r

s

24

25

26

27

28

29

4. MEDIATRIZ Y BISECTRIZ

Clara quiere dividir un segmento en dos partes iguales. Para conseguirlo, traza una recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio.

La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio.

Clara también quiere dividir un ángulo en dos partes iguales. Para conseguirlo, traza la única semirrecta que pasa por el vértice del ángulo y lo divide en dos partes iguales.

La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que tiene su origen en el vértice del ángulo y que lo divide en dos ángulos iguales.

Observa las propiedades que cumplen la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo:

•

•

•

O

B

A

❚ Los puntos de la mediatriz están a la misma distancia de los extremos del segmento.

•

•

•

❚ Los puntos de la bisectriz están a la misma distancia de los dos lados del ángulo.

Aprenderás a… ● Reconocer y dibujar la mediatriz de un segmento.

● Reconocer y dibujar la bisectriz de un ángulo.

DESAFÍO

Tres pueblos quieren unirse para construir un gran depósito de agua que pueda abastecerlos, pero quieren que el depósito esté a la misma distancia de las tres localidades. Haz un esquema de la situación de los pueblos y señala en el dibujo dónde debe construirse el depósito.

30

ma1e35

ma1e36

Soluciones de las actividades24 Copia en tu cuaderno los siguiente segmentos y dibuja su mediatriz.

a) b) c)

• •

•

•

•

•

Comprobar que los alumnos copian los segmentos y trazan la recta perpendicular a cada uno de ellos que pasa por su punto medio.


Es conveniente trabajar dos aspectos de estos conceptos:

❚❚ La construcción geométrica tanto de la mediatriz de un segmento como de la bisectriz de un ángulo.

❚❚ Las propiedades que cumplen los puntos que las forman.

Los alumnos conocen la construcción geométrica ya que lo han trabajado en Plástica. Solo hay que recordar cómo se realiza esta construcción y relacionarla con las propiedades geométricas que cumplen estas rectas.

Vídeo. MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO

En este vídeo se muestra el procedimiento para dibujar paso a paso la mediatriz de un segmento dado con regla y compás. Puede utilizarse para explicar la construcción de este lugar geométrico en la pizarra o como recurso para que los alumnos repasen.

Vídeo. BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

En este vídeo se muestra el procedimiento para dibujar paso a paso la bisectriz de un ángulo dado con regla y compás. Puede utilizarse para explicar la construcción de este lugar geométrico en la pizarra o como recurso para que los alumnos repasen.

9 Rectas y ángulos


25 Indica cuál de estas rectas puede ser la mediatriz del segmento AB.

• •A

r s t u

B

¿Por qué el resto no lo son?

La única recta que puede ser la mediatriz del segmento AB es la recta s.

Las rectas r y t no pueden serlo porque no son perpendiculares al segmento. La recta u tampoco porque no pasa por el punto medio.

26 Dibuja cuatro puntos en tu cuaderno y determina el punto medio de los segmentos AB y CD que se forman.

Comprobar que los alumnos dibujan 4 puntos, los nombran A, B, C y D, trazan los segmentos AB y CD, y hallan el punto medio de estos trazando su mediatriz.

27 Traza en tu cuaderno un segmento de 4 cm de longitud y localiza un punto que se encuentre a 4 cm de los dos extremos del segmento. ¿Es ese el único punto? Compruébalo.

Trazamos circunferencias con radio 4 cm desde los extremos del segmento. Estas se cortan en dos puntos, luego la solución no es única.

28 Copia en tu cuaderno los siguientes ángulos y dibuja su bisectriz.

a) b) c)

Comprobar que los alumnos trazan correctamente la semirrecta que tiene su origen en el vértice del ángulo y lo divide en dos ángulos iguales.

29 Copia y halla la bisectriz del ángulo que forman las rectas r y s.

r

s

Comprobar que los alumnos copian y prolongan las rectas hasta encontrar el vértice del ángulo y, después, dibujan su bisectriz.

Desafío 30 Tres pueblos quieren unirse para construir un gran depósito de agua que pueda

abastecerlos, pero quieren que el depósito esté a la misma distancia de las tres localidades. Haz un esquema de la situación de los pueblos y señala en el dibujo dónde debe construirse el depósito.

Trazamos las mediatrices del triángulo que forman los caminos que unen los pueblos. El punto de corte está a la misma distancia de los tres pueblos.

•

•

•

•

A

B

C

O

•

•

•• 4 cmA B

C

D

281

9Rectas y ángulos



En esta sección se destacan los procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras estudiar esta unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de:

❚❚ Identificar las posiciones relativas de dos rectas en el plano.

❚❚ Clasificar ángulos según su amplitud.

❚❚ Manejar el sistema sexagesimal como sistema de medida de ángulos.

❚❚ Reconocer cuándo dos ángulos son complementarios, suplementarios u opuestos por el vértice.

❚❚ Reconocer y dibujar la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo.

Actividades finalesSoluciones de las actividades31 Copia en tu cuaderno los siguientes puntos y resuelve los apartados.

a) Dibuja tres rectas que pasen por B, pero no por el resto de puntos.

b) Traza una recta que pase por C y D. ¿Puedes dibujar otra recta distinta con esta condición? Explica por qué.

c) Dibuja una recta que pase por A, B y E. ¿Es perpendicular a la recta que pasa por C y D?

Respuesta abierta, por ejemplo:

a) Las rectas verdes.

b) La recta azul. No se puede dibujar otra distinta porque por dos puntos solo pasa una recta.

c) La recta roja. No es perpendicular a ella porque no dividen al plano en cuatro partes iguales.

¿Qué tienes que saber?

190

¿QUÉ9 tienes que saber?

191

Actividades Finales 9

Clasifica estos ángulos:

a) b) c)

Dibujamos los ángulos comparándolos con un ángulo recto y uno llano.

a) Ángulo agudo b) Ángulo obtuso c) Ángulo recto

Tipos de ángulosTen en cuenta

❚ Ángulo nulo: 0º de amplitud.

❚ Ángulo agudo: amplitud menor que 90º.

❚ Ángulo recto: 90º de amplitud.

❚ Ángulo obtuso: amplitud mayor que 90º.

❚ Ángulo llano: 180º de amplitud.

¿Cuánto miden los ángulos A y B ?

25º

A

El ángulo A es complementario del ángulo de 25º. Por tanto: A = 90º − 25º = 65º

El ángulo B y el de 25º son opuestos por el vértice. Por tanto: B = 25º

Relación entre rectas y ángulosTen en cuenta

❚ Dos ángulos son complementarios si forman un ángulo recto.

❚ Dos ángulos son suplementarios si forman un ángulo llano.

❚ Dos ángulos son opuestos por el vértice si tienen el vértice común y los lados de uno son prolongación de los del otro. Tienen la misma amplitud.

Construye la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo.

••A B

•

•

•A D

C

Mediatriz y bisectrizTen en cuenta

❚ La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio.

❚ La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que tiene su origen en el vértice del ángulo y que lo divide en dos ángulos iguales.

Identifica en este dibujo dos rectas paralelas, dos rectas secantes y dos rectas perpendiculares:

r y t son rectas paralelas.

t y u son rectas secantes.

t y s son rectas perpendiculares.

Tipos de rectasTen en cuenta

❚ Dos rectas son paralelas si no se cortan.

❚ Dos rectas son secantes si se cortan.

❚ Dos rectas secantes son perpendiculares si dividen el plano en cuatro partes iguales.

r s

u

t

Rectas en el plano

Copia en tu cuaderno los siguientes puntos y resuelve los apartados.

• •

• •

•

C E

A D

B

a) Dibuja tres rectas que pasen por B, pero no por el resto de puntos.

b) Traza una recta que pase por C y D. ¿Puedes dibujar otra recta distinta con esta condición? Explica por qué.

c) Dibuja una recta que pase por A, B y E. ¿Es perpendicular a la recta que pasa por C y D?

Copia y señala en tu cuaderno dos rectas, dos semirrectas y dos segmentos.

• •

•

•A

B

C

D

s

t

r

u

Indica en este dibujo dos rectas paralelas, dos secantes y dos perpendiculares.

r

s u vt

Dibuja en tu cuaderno estos dos puntos y una recta r que pase por ellos.

• •A B

A partir de ella, dibuja:

a) Una recta secante a r que pase por B.

b) Una recta paralela a r.

c) Una recta perpendicular a r que pase por B y otra perpendicular a r que pase por A. ¿Cómo son estas dos rectas?

31

32

33

34

Localiza calles paralelas y perpendiculares en el siguiente plano. Compara tus respuestas con las de un compañero.

Ángulos en el plano

Copia estas figuras. En cada caso, colorea de azul el ángulo de mayor abertura y de rojo el de menor abertura.

a) c)

b) d)

Mide estos ángulos y ordénalos de menor a mayor amplitud.

a) d)

b) e)

c) f)

Utiliza el transportador de ángulos para dibujar estos ángulos.

a) 20º c) 70º e) 170º

b) 50º d) 100º f) 200º

Dibuja en tu cuaderno un ángulo de 45° y, después, otro ángulo con lados paralelos a él.

35

36

37

38

39

• •

• •

•

C E

A D

B

9 Rectas y ángulos


32 Copia y señala en tu cuaderno dos rectas, dos semirrectas y dos segmentos.

• •

•

•A

B

C

D

s

t

r

u

Comprobar que los alumnos señalan las rectas s y t, las semirrectas r y u, y los segmentos AB y CD.33 Indica en este dibujo dos rectas paralelas, dos secantes y dos perpendiculares.

r

s u vt

❚❚ Rectas paralelas → t y v

❚❚ Rectas secantes → Respuesta abierta, por ejemplo: r y s

❚❚ Rectas perpendiculares → s y u34 Dibuja en tu cuaderno estos dos puntos y una recta r que pase por ellos.

• •A B

A partir de ella, dibuja:

a) Una recta secante a r que pase por B.

b) Una recta paralela a r.

c) Una recta perpendicular a r que pase por B y otra perpendicular a r que pase por A. ¿Cómo son estas dos rectas?

a) Respuesta abierta, por ejemplo: recta s.

b) Respuesta abierta, por ejemplo: recta t.

c) Rectas u y v. Estas dos rectas son paralelas.

• •A Br

v s u

t

283

9Rectas y ángulos


35 Localiza calles paralelas y perpendiculares en el siguiente plano. Compara tus respuestas con las de un compañero.

Paralelas → calle Menor y Avenida Euclides, calle Cervantes y calle Quevedo

Perpendiculares → calle Diofanto con calle Cervantes y calle Quevedo.36 Copia estas figuras. En cada caso, colorea de azul el ángulo de mayor abertura y de rojo el de menor abertura.

a) b) c) d)

a) b) c) d)

37 Mide estos ángulos y ordénalos de menor a mayor amplitud.

a) c) e)

b) d) f)

a) 30º c) 180º e) 120º

b) 90º d) 135º f) 45º

30º < 45º < 90º < 120º < 135º < 180º38 Utiliza el transportador de ángulos para dibujar estos ángulos.

a) 20º b) 50º c) 70º d) 100º e) 170º f) 200º

Comprobar que los alumnos han dibujado los ángulos correctamente.39 Dibuja en tu cuaderno un ángulo de 45° y, después, otro ángulo con lados paralelos a él.

45º

45º

9 Rectas y ángulos


40 El ángulo A mide 50º.

Dibuja en tu cuaderno los siguientes ángulos:

a) Un ángulo mayor que 25º y menor que 50º.

b) Un ángulo menor que 25º.

c) Un ángulo mayor que 50º.

Comprobar que los alumnos copian o dibujan un ángulo de 50º y trazan su bisectriz obteniendo dos ángulos de 25º.

a) Partiendo del ángulo dado, comprobar que los alumnos dibujan un ángulo mayor que el obtenido trazando la bisectriz y menor que el total.

b) Partiendo del ángulo dado, comprobar que los alumnos dibujan un ángulo menor al que han obtenido trazando la bisectriz.

c) Partiendo del ángulo dado, comprobar que los alumnos dibujan un ángulo mayor que este.41 Copia y completa esta tabla.

Amplitud Agudo Obtuso

Respuesta abierta.


39º O O 39º sí no

O sí no 67º sí no

O O sí 145º no sí

157º O O 157º no sí

193

Actividades Finales 9

192

9 Rectas y ángulos

Encuentra, entre estos ángulos, dos parejas de complementarios y de suplementarios. Dibújalos en tu cuaderno.

125º 110º 43º 32º

15º 58º 82º 156º

97º 55º 137º 8º

Observa e indica qué pares de ángulos son opuestos por el vértice.

AB

CD

I J

KL

F

G

H

E

Halla el valor de los ángulos que faltan en las siguientes figuras.

a) d)

72º

A

102º

D

b) e)

58º

B

9º

E

c) f)

123º

C

28º

F

¿Cuánto miden los ángulos desconocidos? Resuelve y explica cómo lo has averiguado.

30º

A

B

C

47

48

49

50

El ángulo A mide 50º.

Dibuja en tu cuaderno los siguientes ángulos:

a) Un ángulo mayor que 25º y menor que 50º.

b) Un ángulo menor que 25º.

c) Un ángulo mayor que 50º.

Copia y completa esta tabla.


39º O O

O sí no

O O sí

157º O O

Antiguamente, la tripulación de los barcos utilizaba banderas para enviarse mensajes. Las banderas se colocaban en distintas posiciones, cada una de las cuales representa una letra. Estos son algunos ejemplos:

Tomando el sentido contrario al de las agujas del reloj, dibuja en tu cuaderno los ángulos que forman las banderas y clasifícalos.

Calcula la medida de los ángulos pedidos.

a) El complementario de 72º 45’ 5’’.

b) El suplementario de 156º 17’.

c) El complementario de 12º 32’’.

d) El suplementario de 3º 59’ 7’’.

e) El suplementario de 23’ 37’’.

f) El suplementario de 179º 59’ 43’’.

40

41

42

43

Indica qué ángulos son opuestos por el vértice y halla el valor de los ángulos que faltan.

20º70º

A B

D

E

F G

HJ

Mediatriz y bisectriz

Traza la mediatriz de estos segmentos.

a) b)

• •

• •

A D

B C

• •

• •

A D

B C

Dibuja en tu cuaderno dos puntos que disten 4 cm el uno del otro.

• •4 cmA B

a) Señala el punto medio del segmento AB que se forma.

b) Localiza un punto que se encuentre a una distancia de 6 centímetros de A y de B.

c) ¿Es el único? Explica por qué.

Dibuja un triángulo en tu cuaderno y las mediatrices de los tres lados.

a) ¿Se cortan las tres mediatrices?

b) Intenta trazar una circunferencia que pase por los tres vértices.

c) ¿Qué observas?

Dibuja la bisectriz de estos ángulos.

a) b)

Traza un triángulo en tu cuaderno y las bisectrices de los tres ángulos.

a) ¿Se cortan la tres bisectrices?

b) Intenta dibujar una circunferencia que toque a los tres lados.

c) ¿Qué observas?

51

52

53

54

55

56

Relaciones entre ángulos y rectas

Indica, en cada caso, qué pares de ángulos son complementarios y cuáles son suplementarios.

a) c)

A

BC

A

BC

b) d)

AB

C

AB

C

Completa esta tabla en tu cuaderno.

Ángulo Complementario Suplementario

52º O O

O 30º O

O O 145º

89º O O

O 80º O

O O 150º

Mide estos pares de ángulos y dibújalos en tu cuaderno como consecutivos. Indica si son complementarios o suplementarios.

a)

b)

c)

44

45

46

285

9Rectas y ángulos


42 Antiguamente, la tripulación de los barcos utilizaba banderas para enviarse mensajes. Las banderas se colocaban en distintas posiciones, cada una de las cuales representa una letra. Estos son algunos ejemplos:

Tomando el sentido contrario al de las agujas del reloj, dibuja en tu cuaderno los ángulos que forman las banderas y clasifícalos.

Obtuso Agudo Obtuso Obtuso Recto Llano43 Calcula la medida de los ángulos pedidos.

a) El complementario de 72º 45’ 5’’. d) El suplementario de 3º 59’ 7’’.

b) El suplementario de 156º 17’. e) El suplementario de 23’ 37’’.

c) El complementario de 12º 32’’. f) El suplementario de 179º 59’ 43’’.

a) 89º 59’ 60’’ d) 179º 59’ 60’’− 72º 45’ 5’’ → 90º − 72º 45’ 5’’ = 17º 14’ 55’’ − 3º 59’ 7’’ → 180º − 3º 59’ 7’’ = 176º 53’’

17º 14’ 55’’ 176º 0’ 53’’b) 179º 60’ e) 179º 59’ 60’’

− 156º 17’ → 180º − 156º 17’ = 23º 43’ − 0º 23’ 37’’ → 180º − 23’ 37’’ = 179º 36’ 23’’ 23º 43’ 179º 36’ 23’’

c) 89º 59’ 60’’ f) 179º 59’ 60’’− 12º 0’ 32’’ → 90º − 12º 32’’ = 77º 59’ 28’’ − 179º 59’ 43’’ → 180º − 179º 59’ 43’’ = 17’’

77º 59’ 28’’ 0º 0’ 17’’44 Indica, en cada caso, qué pares de ángulos son complementarios y cuáles son suplementarios.

a) b) c) d)

A

BC

AB

C

A

BC

AB

C

a) B y C son suplementarios. c) A y B , B y C son suplementarios.

b) A y B son complementarios. d) A y B , B y C son complementarios.45 Completa esta tabla en tu cuaderno.

Ángulo Complementario Suplementario Ángulo Complementario Suplementario

52º O O 52º 38º 128º

O 30º O 60º 30º 120º

O O 145º 35º 55º 145º

89º O O 89º 1º 91º

O 80º O 10º 80º 170º

O O 150º 30º 60º 150º

9 Rectas y ángulos


46 Mide estos pares de ángulos y dibújalos en tu cuaderno como consecutivos. Indica si son complementarios o suplementarios.

a) b) c)

a) 55º y 35º → complementarios b) 45º y 45º → complementarios c) 105º y 75º → suplementarios

35º

55º

45º

45º

75º105º

47 Encuentra, entre estos ángulos, dos parejas de complementarios y de suplementarios. Dibújalos en tu cuaderno.

125º 110º 43º 32º 15º 58º 82º 156º 97º 55º 137º 8º

Ángulos complementarios → 32º y 58º, 82º y 8º

Ángulos suplementarios → 125º y 55º, 43º y 137º48 Observa e indica qué pares de ángulos son opuestos por el vértice.

AB

CD

I J

KL

F

G

H

E

A y C E y G I y K

B y D F y H J y L

49 Halla el valor de los ángulos que faltan en las siguientes figuras.

a) c) e)

72º

A 123º

C

9º

E

b) d) f)

58º

B

102º

D

28º

F

a) A = 90º − 72º = 18º c) C = 180º − 123º = 57º e) E = 90º − 9º = 81º

b) B = 180º − 58º = 122º d) D = 102º f) F = 28º50 ¿Cuánto miden los ángulos desconocidos? Resuelve y explica cómo lo has averiguado.

30º

A

B

C

A y C son suplementarios al ángulo de 30º:A = C = 180º − 30º = 50º

B = 30º porque es el opuesto por el vértice al ángulo de 30º.

287

9Rectas y ángulos


51 Indica qué ángulos son opuestos por el vértice y halla el valor de los ángulos que faltan.

20º70º

A B

D

E

F G

HJ

E y el ángulo de 20º son opuestos por el vértice → E = 20ºG y el ángulo de 70º son opuestos por el vértice → G = 70ºA = 90º F = 90º

B = 90º − 20º = 70º H = 180º − 70º = 110º

D = 180º − 20º = 160º J = 90º − 70º = 20º

52 Traza la mediatriz de estos segmentos.

a) b)

• •

• •

A D

B C

• •

• •

A D

B C

Comprobar que los alumnos trazan la recta perpendicular al segmento que lo divide en dos partes iguales.

53 Dibuja en tu cuaderno dos puntos que disten 4 cm el uno del otro.

a) Señala el punto medio del segmento AB que se forma.

b) Localiza un punto que se encuentre a una distancia de 6 cm de A y de B.

c) ¿Es el único? Explica por qué.

a) Comprobar que los alumnos dibujan dos puntos, A y B, cuya distancia sea 4 cm y señalan el punto medio del segmento: O.

b) Comprobar que los alumnos dibujan una circunferencia con centro A y radio 6 cm. Lo mismo desde el punto B.

c) Hay 2 puntos que se encuentran a 6 cm de A y de B, que son los puntos de corte de las dos circunferencias: C y D.54 Dibuja un triángulo en tu cuaderno y las mediatrices de los tres lados.

a) ¿Se cortan las tres mediatrices?

b) Intenta trazar una circunferencia que pase por los tres vértices.

c) ¿Qué observas?

Comprobar que los alumnos trazan un triángulo y la recta perpendicular a cada lado que pasa por su punto medio.

a) Sí, se cortan.

b) Comprobar que los alumnos trazan una circunferencia cuyo centro sea el punto donde se cortan las tres mediatrices que pase por los vértices del triángulo.

c) El centro de la circunferencia circunscrita es el punto de corte de las mediatrices.55 Dibuja la bisectriz de estos ángulos.

a) b)

Comprobar que los alumnos trazan la semirrecta con origen el vértice del ángulo y que lo divide en dos ángulos iguales.

56 Traza un triángulo en tu cuaderno y las bisectrices de los tres ángulos.

a) ¿Se cortan la tres bisectrices?

b) Intenta dibujar una circunferencia que toque a los tres lados.

c) ¿Qué observas?

Comprobar que los alumnos trazan un triángulo y las bisectrices de los tres ángulos.

a) Sí, se cortan.

b) Comprobar que los alumnos trazan una circunferencia inscrita en el triángulo cuyo centro sea el punto donde se cortan las tres bisectrices.

c) El centro de la circunferencia inscrita es el punto de corte de las bisectrices.

9 Rectas y ángulos


Matemáticas vivas

9 MATEMÁTICAS VIVAS

194 195

9La escuadra y el cartabón

La escuadra y el cartabón son dos herramientas sencillas y útiles a la hora de trazar líneas rectas.

Ambas tienen forma de triángulo en el que uno de sus ángulos mide 90º: la escuadra con dos lados iguales y el cartabón con los tres lados distintos. Apoyando una en la otra, podemos dibujar líneas rectas, perpendiculares o que formen diferentes ángulos.

COMPRENDE

Observa la siguiente construcción.

Al desplazar la escuadra sobre el cartabón, como indica el dibujo y trazar una recta sobre la escuadra, ¿cómo es esta recta con respecto a r?

Observa ahora esta otra construcción.

Al desplazar la escuadra sobre el cartabón, como indica el dibujo y trazar una recta sobre la escuadra, ¿cómo es esta recta con respecto a r?

1

2

RELACIONA

Toma una hoja de papel y dibuja una recta paralela a uno de los lados de la hoja.

a. ¿Cuántas rectas paralelas a esta puedes trazar?

b. ¿Cómo es esta recta con respecto a los otros lados de la hoja de papel?

c. Dibuja dos rectas perpendiculares a la primera que has dibujado. ¿Cómo son entre sí?

3

¿Cómo es esta recta con respecto a los otros lados de la hoja de papel?

UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO

REPRESENTA

PIENSA Y RAZONA

PIENSA Y RAZONA

REFLEXIONA

Los ángulos que forman los lados de la escuadra y el cartabón son los siguientes. Es muy fácil trazar rectas que formen estos ángulos.

Combinando la escuadra y el cartabón, podemos dibujar rectas que formen ángulos cuya amplitud sea la suma del ángulo de cada una de ellas.

Por ejemplo, si colocamos la escuadra y el cartabón de esta forma, obtenemos un ángulo de 75º.

a. ¿Cómo debemos colocar la escuadra y el cartabón para formar un ángulo de 105º?

ARGUMENTA

b. Si utilizamos los ángulos complementarios de la escuadra y el cartabón, aumentamos la variedad de ángulos que podemos formar. Coloca la escuadra y el cartabón sobre una recta para formar ángulos de 120º, 135º y 150º.

MODELIZA

c. También podemos utilizar la escuadra y el cartabón para dibujar ángulos que miden pocos grados. ¿Cómo debemos colocar estas herramientas para trazar un ángulo de 15º?

COMUNICA

4

TRABAJO

COOPERATIVO

Al desplazar la escuadra sobre el cartabón, como indica el dibujo y trazar una recta

La escuadra y el cartabónSugerencias didácticas

En esta sección trabajamos de un modo más concreto las competencias, en particular la competencia matemática. Se presenta una situación cotidiana, el uso de la escuadra y el cartabón para trazar rectas y formar ángulos.

En la resolución de diferentes actividades de comprensión, relación y reflexión, los alumnos desarrollarán algunas de las competencias matemáticas evaluadas por el estudio PISA: Piensa y razona, Utiliza el lenguaje matemático, Representa, Argumenta, Modeliza o Comunica.

Para finalizar la sección, se incluye el apartado Trabajo cooperativo donde se propone una tarea cuya estrategia cooperativa es Uno para todos, de Pere Pujolàs.

Para desarrollar esta tarea, los alumnos realizarán un mural donde expondrán las distintas posiciones que pueden adoptar una escuadra y un cartabón para obtener ángulos cuya amplitud es un múltiplo de 15º.

Soluciones de las actividades

Comprende1 Observa la siguiente construcción.

Al desplazar la escuadra sobre el cartabón, como indica el dibujo, y trazar una recta sobre la escuadra, ¿cómo es esta recta con respecto a r?

Es paralela a la recta r.

289

9Rectas y ángulos


2 Observa ahora esta otra construcción.

Al desplazar la escuadra sobre el cartabón, como indica el dibujo, y trazar una recta sobre la escuadra, ¿cómo es esta recta con respecto a r?

Es perpendicular a la recta r.

Relaciona3 Toma una hoja de papel y dibuja una recta paralela a uno de los lados de la hoja.

a) ¿Cuántas rectas paralelas a esta puedes trazar?

b) ¿Cómo es esta recta con respecto a los otros lados de la hoja de papel?

c) Dibuja dos rectas perpendiculares a la primera que has dibujado. ¿Cómo son entre sí?

a) Infinitas.

b) Es perpendicular.

c) Son paralelas.

Reflexiona4 Los ángulos que forman los lados de la escuadra y el cartabón son los siguientes. Es muy fácil trazar rectas que formen

estos ángulos.

Combinando la escuadra y el cartabón, podemos dibujar rectas que formen ángulos cuya amplitud sea la suma del ángulo de cada una de ellas.

Por ejemplo, si colocamos la escuadra y el cartabón de esta forma, obtenemos un ángulo de 75º.

a) ¿Cómo debemos colocar la escuadra y el cartabón para formar un ángulo de 105º?

a) Debemos hacer coincidir el ángulo de 45º de la escuadra y el de 30º del cartabón.

9 Rectas y ángulos


b) Si utilizamos los ángulos complementarios de la escuadra y el cartabón, aumentamos la variedad de ángulos que podemos formar. Coloca la escuadra y el cartabón sobre una recta para formar ángulos de 120º, 135º y 150º.

c) También podemos utilizar la escuadra y el cartabón para dibujar ángulos que miden pocos grados. ¿Cómo debemos colocar estas herramientas para trazar un ángulo de 15º?

b)

120º 135º 150º

c)

15º

Trabajo cooperativo

Comprobar que los alumnos dibujan en el mural las distintas posiciones de la escuadra y el cartabón para conseguir todos los ángulos.

291

9Rectas y ángulos


196

9 Rectas y ángulos

Cuando dos rectas paralelas son cortadas por otra recta, a la que llamaremos transversal se forman ocho ángulos, como puedes ver en la fi gura.

Los siguientes pares de ángulos son iguales:

Ángulos correspondientes Ángulos alternos internos Ángulos alternos externos

•

•

•

•

•

•

AVANZA Ángulos correspondientes y ángulos alternos

PERCEPCIÓN VISUAL Ilusiones ópticas

Las ilusiones ópticas intentan crear una impresión errónea en la persona que las observa.

Una segunda mirada o comprobación puede hacer que la figura realmente nos sorprenda.

PV1. Comprueba las siguientes afirmaciones.

a) b) c) d)

Los segmentos son

iguales.Las rectas verticales

son paralelas.

Los dos segmentos son iguales.

Las rectas horizontales son paralelas.

A

B

C

E

F

G

H

D

A1. Calcula las medidas de los ángulos que faltan en esta fi gura.

155º

A2. Halla cuánto miden los ángulos que faltan en esta fi gura.

170º

35º


En la sección Avanza de esta unidad se introducen los ángulos que se forman al cortar dos rectas paralelas por otra para completar lo aprendido en la unidad sobre rectas y ángulos.


A1. Calcula las medidas de los ángulos que faltan en esta figura.

155º

A2. Halla cuánto miden los ángulos que faltan en esta figura.

170º

35º

155°25°

25°

25°25°

155°155°

10°

10°

10°

10°

35°35°

35°

170°170°145°

145°

145°

170°

Percepción visual. Ilusiones ópticasSugerencias didácticas

Para finalizar la unidad se trabajan impresiones erróneas al observar figuras planas.


PV1. Comprueba las siguientes afirmaciones.

a) b) c) d)

Los segmentos son

iguales.Las rectas verticales

son paralelas.

Los dos segmentos son iguales.

Las rectas horizontales son paralelas.

Todas las afirmaciones son ciertas.

Avanza. Ángulos correspondientes y ángulos alternos

9 Rectas y ángulos


1. Observa el siguiente dibujo y contesta a estas preguntas.

a) ¿Cuál es la posición de relativa de las rectas s y t?

b) ¿Y la posición relativa de r y s?

c) Clasifica los ángulos A y B .

a) Las rectas s y t son paralelas.

b) Las rectas r y s son perpendiculares.

c) El ángulo A es agudo, y el B , obtuso.

2. Averigua la medida del ángulo complementario y suplementario de un ángulo de 27º.

90º − 27º = 63º → El ángulo complementario mide 63º.

180º − 27º = 153º → El ángulo suplementario mide 153º.

3. Calcula la medida de estos ángulos.

37º

A

B

C

A = 180º − 37º = 143º

B = 37º

C = B = 143º

4. Indica el nombre de las rectas r y s en las siguientes figuras.

•

•

A

AB

r

s

❚❚ r es la bisectriz del ángulo A .

❚❚ s es la mediatriz del segmento AB.

5. Dibuja la mediatriz del siguiente segmento.

• •A B

• •A B

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA A

A

B

r u

s

t

293

9Rectas y ángulos


1. Dibuja dos rectas perpendiculares y la otra sea secante a ellas.

Respuesta abierta, por ejemplo:

s

r

t

2. Averigua la medida de estos ángulos.

a) El complementario de 82º 43’’. b) El suplementario de 34º 23’.

a) 90º = 89º 60’ b) 180º = 179º 60’

3. Calcula el valor de los ángulos marcados.

135º 54’ 37’

AB

CD

ˆ

180º = 179º 59’ 60’’

− 179º 59’ 60’’

− 135º 54’ 37’’

− 44º 5’ 23’

A = C = 44º 5’ 23’’ B = D = 135º 54’ 37’’

4. Comprueba que las tres bisectrices de los tres ángulos de este triángulo se cortan en un solo punto.

A

BC

•

A

BC

O

5. Dibuja las mediatrices de los segmentos AB y BC.

•

•

•

C

B

A

•

•

•

C

B

A

− 89º 60’

− 82º 43’ → 90º − 82º 43’ = 6º 17’

− 6º 17’

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA B

− 179º 60’

− 34º 23’ → 180º − 179º 60’ = 145º 37’

− 145º 37’

RECTAS Y ÁNGULOS4. Mediatriz y bisectriz Vídeo. Mediatriz de un segmento Vídeo. Bisectriz de un...

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