RECURSOS PARA EL ESTUDIO DE CAMPOS VECTORIALES EN UN AULA VIRTUAL

Eje 2 : ¿Qué desafíos se plantean para la enseñanza en los ambientes educativos actuales?

Tipo de Trabajo: Relato de Experiencia.

Autores: Zulma Millán, Laura Oliva, Ivonne Esteybar, Patricia Cuadros

Departamento de Matemática- Facultad de Ingeniería-UNSJ-San Juan-Argentina

Palabras claves: Cálculo- Campos Vectoriales- Aprendizaje Colaborativo- Aula Virtual-

Software. Resumen La educación en plataformas virtuales provoca un cambio en el rol que desempeñan

docentes y alumnos. El estudiante pasa a tener un papel más activo en la construcción de

su aprendizaje. El profesor, desde su rol de tutor virtual, debe favorecer el trabajo integrado,

diseña material educativo mediado y coordina el funcionamiento del aula virtual.

Este trabajo fue dirigido a alumnos de carreras de ingeniería en un curso de Cálculo II. La

metodología utilizada fue, después de asistir a clases teórico-prácticas, los alumnos

ingresan en el aula virtual de la cátedra donde pueden consultar material didáctico

especialmente desarrollado para reforzar el estudio de cada tema.

Es nuestro objetivo mostrar recursos para afianzar conceptos tales como la variación de

campos vectoriales por medio de la elaboración de material educativo para ser incluido en

plataformas virtuales.

Con el uso de estos recursos se puede observar mayor seguridad en los alumnos en el uso

de conceptos tales como divergencia y rotor y su mejor aplicación a cálculos posteriores.

Abstract Education in virtual platforms causes a change in the role played by teachers and students.

Students have a more active role in the construction of their learning. Teachers have a

virtual tutor role. They must promote integrated working, design educational mediated

material and coordinate the operation of the virtual classroom.

This work was aimed at engineering students in a Calculus II course. The methodology used

was, after attending theoretical and practical classes, students enter in the virtual classroom

where they can consult the developed materials to strengthen the study of each topic.

Our objective is to show resource to strengthen concepts such as variation vector field

through the development of educational materials to be included in virtual platforms. Using

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these resources we can see greater security in the students applying concepts such as

divergence and rotor.

Introducción Uno de los conceptos de mayor nivel de dificultad en un curso de Cálculo de Varias

Variables es la diferenciación e integración de campos vectoriales, dado que la

representación de un campo vectorial puede ser complicada en un dominio dado y más aun

su comportamiento en el proceso de integración sobre una curva, una superficie plana o

alabeada.

Los conceptos de divergencia y rotor también son de alto grado de dificultad. Establecer con

claridad la variación de un campo vectorial suele ser bastante complejo sin la ayuda de un

software conveniente para tal fin. La integración de campos gradientes o conservativos es

otro concepto de gran importancia por su vinculación con la física relacionada a la

ingeniería.

La propuesta aquí presentada corresponde a una modalidad presencial, el alumno toma sus

clases teórico-prácticas de manera tradicional. Luego en el aula virtual se introducen

algunos conceptos a través de imágenes y utilizando un software matemático. Para ello en

las sesiones de práctica se les informa de cómo acceder a esta plataforma y de la

disponibilidad de elementos en ella como chat, foros de consulta e información de la cátedra

a la que ellos pueden acceder desde cualquier sitio con un acceso a Internet.

Los materiales incluidos en el aula virtual, permiten apoyar el proceso de aprendizaje ya que

incorporan texto, recursos de video y audio, posibilitando al alumno interactuar con el

material de aprendizaje. Nos brinda la oportunidad de mostrar a todo el grupo de

estudiantes, recursos visuales, como gráficos, que en clase es difícil de compartir por la

corta duración de la misma o por carecer en el aula de recursos tecnológicos tales como

cañón de proyección. El aula virtual flexibiliza los itinerarios personales de aprendizaje ya

que facilita que cada alumno lleve su propio ritmo de aprendizaje ayudándose de sus pares

y del docente como un orientador. [Fernández, 2003], [Cirilo, 2010]. Fortalece las

capacidades de tipo investigativo, la curiosidad intelectual, la creatividad y el análisis crítico

[De Corte, 1990]. El docente es responsable aquí de generar materiales que le permitan al

alumno construir su conocimiento. Se trata de favorecer el diálogo y las interacciones entre

los alumnos y con el docente a través de la plataforma moodle.

Objetivos

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• Proporcionar un soporte para la mejor comprensión de la diferenciación e integración de

campos vectoriales.

• Iniciar a los alumnos en el uso de aprendizaje colaborativo a través de aulas virtuales en la

plataforma moodle.

• Optimizar la comprensión de conceptos teóricos mediante el uso de software científico

dentro de un aula virtual.

• Estimular la investigación en las aplicaciones de los conceptos estudiados implementando

el material elaborado.

Metodología Después de que el alumno asistió a las clases teóricas-prácticas del estudio de campos

vectoriales, dispone en el aula virtual de la cátedra, de una selección de gráficos que

acompañan las definiciones vistas en clase, con los que puede experimentar, observar

desde distintos ángulos para lograr comprender acabadamente el concepto que se le

propone. También dispone de ejercicios secuenciados en una guía práctica, de igual forma

como se desarrolla en el dictado de la asignatura, en el aula virtual. En esta guía el alumno

puede probar algunos comandos de un software utilizado y usar procedimientos elaborados

por el equipo docente, en los que cambia los argumentos de los mismos manejando

distintos campos vectoriales. El material utilizado se pone en práctica a través del proyecto

"Diseño, desarrollo y evaluación de estrategias de retención en el ciclo básico de la Facultad

de Ingeniería" que se desarrolla en el Departamento de Matemática de la Facultad de

Ingeniería de la UNSJ.

Desarrollo En un curso de Cálculo II se introduce al alumno en el estudio de campos vectoriales. Este

concepto resulta de difícil aprehensión ya que en general no es sencillo representar un

campo vectorial. La posibilidad de ofrecer al alumno gráficos que permiten observar el

comportamiento de campos vectoriales tanto en dos como en tres dimensiones nos motivó a

generar un espacio donde ésto fuera posible, fuera del aula tradicional, pues en ella no

contábamos con medios tecnológicos para esto.

La siguiente imagen muestra la portada de un aula virtual de Cálculo II de la Facultad de

Ingeniería

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Los participantes del aula virtual de Cálculo II son docentes de la asignatura y alumnos

inscriptos en la misma.

Para concretar la estrategia didáctica de la nueva propuesta educativa se seleccionaron las

herramientas que nos ofrece Moodle: para la distribución del material, para la comunicación

personal, para consultas para comunicación de información general. Este curso incluye:

Enlace a archivos, que corresponden a los apuntes de la cátedra, prácticos,

horarios de consulta, fechas de parciales, resultados, etc.

Participación en foros, donde al alumno puede proponer un tema de debate

para todos los participantes de este espacio. Los foros son un espacio de

consultas online con el profesor que tiene como ventaja eliminar la repetición

de una consulta, pues las mismas son públicas y cualquier participante del

curso puede ver tanto las preguntas como las respuestas.

Sala de Chat para interactuar con sus pares.

Tareas a realizar, tal como subir una guía de ejercicios resuelta en una fecha

pre-establecida.

Para el dictado de la asignatura se publicó en el aula virtual el material de lectura obligatoria,

consistente en tres unidades temáticas que corresponden a los grandes temas que aborda

la asignatura, como son: La diferenciabilidad de funciones de varias variables, La integración

de campos escalares y vectoriales y finalmente el estudio de Ecuaciones Diferenciales

Ordinarias.

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Se incluyeron también prácticas para cada encuentro presencial. Se agregaron además,

algunos recursos audiovisuales para la observación de ciertas aplicaciones.

Los siguientes ejemplos forman parte del material didáctico, con lo que el alumno trabaja en

el aula virtual. Mostramos aquí una secuencia de actividades destinadas a aclarar ciertos

conceptos referidos a campos vectoriales.

Campos Gradientes. Los campos vectoriales de mayor aplicación en la física son los campos gradientes.

Este puede obtenerse como el campo gradiente de una función escalar. El campo gradiente

surge al calcular el vector gradiente en cada punto de una cierta región.

Sea z f(x,y) una función escalar, existen las derivadas parciales f

x

y

f

y

, entonces el

gradiente de f está definido por x ygrad f(x,y) f x,y i f x,y j .

Una de las propiedades muy utilizadas del vector gradiente de una función, es que éste

apunta en la dirección de máximo crecimiento de la misma [Thomas,1999].

Ejemplo Calcular el gradiente de la función 2 2f(x,y) x 2x y 4y 8 y determinar

algunas curvas de nivel.

Se observa en la figura , que el campo gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

Además se observa que el vector gradiente en cada punto señala la dirección a partir del

punto considerado en el que la función crece más rápidamente.

Estos campos permiten la integración sobre curvas de forma inmediata. Sólo dependen del

punto inicial y final de la trayectoria. Del gráfico se observa que si se integran sobre curvas

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cerradas (las circunferencias allí señaladas) esta integral será cero por cuanto son normales

a estas curvas.

Otros campos vectoriales bidimensionales y tridimensionales. La gráfica de campos vectoriales es difícil de lograr, pero afortunadamente los software

actuales permiten una visualización de los mismos.

Actividad 1: Graficar el campo vectorial F(x,y) ( y,x) e interpretar el resultado obtenido.

Cada punto del plano (x,y) tiene asignado un vector de coordenadas (-y,x), la figura anterior

muestra que los vectores describen circunferencias centradas en el origen de radio

constante. Es un campo similar al campo de velocidad determinado por una rueda que gira

en el origen.

Actividad 2: Graficar el campo vectorial gravitatorio222222

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zyx

)z,y,x(

zyx

mGm)z,y,x(F

En la siguiente figura se muestra una representación del campo gravitatorio, para la misma

se consideró 1 2Gm m 10 .

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Estas representaciones permiten corroborar propiedades elementales como por ejemplo

que el campo vectorial gravitatorio siempre está dirigido hacia el origen de coordenadas. Las

superficies equipotenciales son aquí esferas concéntricas.

La variación de campos vectoriales se estudia con la divergencia y el rotor. Algunas

representaciones gráficas pueden permitir la interpretación de estos conceptos. En muchos

casos a partir de una gráfica de un campo vectorial es posible predecir el comportamiento

de la divergencia y el rotor del mismo, veamos algunos ejemplos al respecto. Estos ejemplos

se le proponen al alumno en el sitio virtual y ellos pueden usando las sentencias propias del

software estudiar otros campos de su interés.

Los recursos gráficos planteados permiten comprender de una manera más accesible

conceptos muy abstractos como son la divergencia y el rotor de un campo vectorial.

Divergencia de un campo vectorial.

Dado el campo vectorial F ( x , y , z ) P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R ( x , y , z ) k . Se define la

divergencia de la función o campo escalar: div F .F [Stewart,2010].

Si el campo representa la velocidad de un fluido en movimiento, la divergencia representa el

flujo neto de un fluido adentro o afuera de una circunferencia. También puede ser

interpretado como el flujo por unidad de volumen.

Si en un punto P la divergencia es cero se dice que el campo es solenoidal. Y el fluido se

dice incompresible.

Si en un punto P la divergencia es positiva se dice que en P hay una "fuente" (se crea fluido

en P).

Si en un punto P la divergencia es negativa se dice que en P hay un "sumidero" (se

consume fluido en P) [Stewart,2010].

Ejemplo 1: Sea F(x,y) 2 j .

Es fácil comprobar que div F .F 0 . Esto se puede comprobar a partir de un gráfico del

campo vectorial y una circunferencia en este gráfico.

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La figura anterior permite observar que las flechas que "entran" en la circunferencia son de

igual en magnitud que las flechas que "salen", esto indica que la cantidad de fluido que

"entra" es la misma cantidad que "sale". En este caso la divergencia es cero.

Ejemplo 2: Sea F(x,y) x i y j

Es fácil comprobar que div F .F 2 . Esto se puede analizar a partir de un gráfico del

campo vectorial y una circunferencia en este gráfico.

Para este campo, la figura muestra que las flechas que "entran" hacia la circunferencia son

más cortas que las que "salen". Esto indica que el flujo neto afuera de la circunferencia es

positivo (es decir, hay más fluido saliendo que entrando). En este caso la divergencia es

positiva.

Ejemplo 3: Sea el campo vectorial de la figura, es fácil observar que en cada punto del

plano hay un sumidero ya que es claro que la divergencia es negativa en este caso.

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La figura evidencia que la magnitud de los vectores que entran en la región señalada es

menor de la que sale, por lo tanto la divergencia es negativa en este caso. Los puntos del

plano son sumideros.

Rotor de un campo vectorial.

Dado el campo vectorial F(x,y,z) P(x,y,z) i Q(x,y,z) j R(x,y,z)k . El rotor de un campo

vectorial F es: rot F F , y se interpreta como trabajo por unidad de área

[Thomas,1999].

Se muestran a modo de ejemplo el análisis gráfico del rotor de tres campos vectoriales para

ver la diferencia en cada caso y comprender este concepto.

.

Ejemplo 1: El campo vectorial F(x,y,z) x i es un campo vectorial para el cual

rot F F 0 . Es un campo irrotacional que se representa en la siguiente figura.

La próxima figura muestra una vista de este campo vectorial para un valor de z constante.

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Claramente se observa , que si esta es una corriente de fluido y los vectores señalan la

distribución de velocidades a lo largo de líneas de corriente, una ruedita sumergida en este

fluido no giraría, sólo sería arrastrada por la misma.

Ejemplo 2: El campo F(x,y,z) y i 2 j es un campo vectorial cuyo

rot F F 0,0, 1 . Su representación corresponde a un campo vectorial que gira

alrededor del eje z en sentido horario. La siguiente figura muestra una vista de este campo

vectorial.

Si se logra una sección de este campo vectorial para un valor de z constante, como en la

próxima figura , se ve claramente allí que si esta es una corriente de fluido y los vectores

señalan la distribución de velocidades a lo largo de líneas de corriente, una ruedita

sumergida en este fluido girará en sentido negativo, es decir a favor de las agujas del reloj.

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Si con el campo de la figura calculamos el trabajo que efectúa este campo para desplazar

un punto material sobre una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y de

radio r recorrida en sentido positivo, podemos a partir de un gráfico estimar el signo de este

cálculo.

Vemos que el campo actúa mayoritariamente en sentido contrario a la curva. Es por ello que

el trabajo será en este caso negativo.

Ejemplo 3: El campo F ( x , y , z ) y i x j es un campo vectorial cuyo

rot F F 0,0,2 . Si se observa una vista de este campo vectorial para un valor de z

constante, se ve claramente allí que si esta es una corriente de fluido y los vectores señalan

la distribución de velocidades a lo largo de líneas de corriente, una ruedita sumergida en

este fluido girará en sentido positivo, es decir en contra de las agujas del reloj como se ve en

la figura.

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Conclusiones La implementación de aulas virtuales en el proceso tradicional de aprendizaje nos ha

permitido facilitar la comunicación con un grupo muy numeroso de alumnos. A veces la no

continuidad de asistencia a clases de algunos alumnos ya sea por problemas personales o

por situaciones laborales, les impide mantenerse en contacto con la cátedra y con los

conceptos desarrollados en clase. El uso de aulas virtuales extiende el tiempo de

aprendizaje pues el alumno se transforma allí en el gestor de su propio aprendizaje.

Favorece la comunicación entre los alumnos pues muchas veces ellos mismos evacúan sus

dudas entre si. Esta modalidad no descarta la forma tradicional de aprendizaje sino que la

complementa. El docente es en estos sitios un orientador y el autor del diseño de material

de estudio acorde a esta modalidad.

Temas de alto nivel de dificultad para ser aprendidos en breves lapsos de tiempo, pueden

ser ampliados en el entorno de aulas virtuales. Estos ambientes complementan la educación

tradicional, permiten el tratamiento de un tema desde muchos puntos de vista con la

incorporación de gráficos y de recursos audiovisuales que son más familiares para los

alumnos. Es posible iniciar al alumno en el uso de un software científico que le servirá en su

carrera profesional.

Bibliografía 1- Cirilo, Marta Inés; Molina, Marta Lía. (2010). El diseño del Aula virtual de Análisis

Matemático en la FACE-UNT buscando la calidad de los procesos de enseñanza y

aprendizaje. Facultad de Ciencias Económicas (FACE). Universidad Nacional de Tucumán.

2- De Corte, E. (1990) Aprender en la universidad con las nuevas tecnologías de la

información: Perspectivas desde la psicología del aprendizaje y de la instrucción.

Comunicación, Lenguaje y Educación, No. 6, España.

3- Fernández, C., Montes de Oca, M. (2003). Aspectos a garantizar en la confección de

cursos virtuales. Departamento de Ciencias de la Computación- Facultad de Matemática y

Computación. Universidad de La Habana. Primer Congreso Virtual Latinoamericano de

Educación a Distancia. LatinEduca2004.com. Cuba.

4- Stewart, J. (2010). Cálculo de varias variables. Conceptos y Contextos. Ed. Cangage–

Learning. 5- Thomas, G. Jr. Y Finney, R.L.(1999). Cálculo de varias variables. Addison Wesley.

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