INTEGRALES DE LÍNEA DE CAMPOS VECTORIALES
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Una de las aplicaciones físicas más importantes de las integrales delínea es hallar el trabajo realizado sobre un objeto que se mueve enun campo de fuerzas. En un subarco pequeño de longitud , el
incremento de trabajo es:
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Donde es un punto en el subarco-ésimo. Por consiguiente, eltrabajo total realizado está dado por la integral siguiente.
Esta integral de línea aparece en otros contextos y es la base dela definición siguiente integral de línea de un campo vectorial.En la definición, obsérvese que:
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DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL EN LÍNEA DE UN CAMPOVECTORIAL
Sea F un campo vectorial continuo definido sobre una curvasuave C dada por, La integral de línea de F sobre C está dadapor:
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EJERCICIO DE APLICACIÓNHallar el trabajo realizado por el campo de fuerzas
Sobre una partícula que se mueve a lo largo de la hélice dadapor
Desde el punto (1, 0, 0) hasta el punto (-1, 0, 3).
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Se sigue que Por tanto, el campo de fuerzas puede expresarsecomo
Para hallar el trabajo realizado por el campo de las fuerzas almoverse la partícula a lo largo de la curva C, se utiliza elhecho de que:
Y se escribe lo siguiente:
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Otra forma normalmente utilizada de las integrales de línea sededuce de la notación de campo vectorial. Si F es un campovectorial de la forma y C está dada por entonces se escribe amenudo como .
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Esta forma diferencial puede extenderse a tres variables. Losparéntesis se omiten a menudo, y se escribe:
EJERCICIO DE APLICACIÓNSea C el círculo de radio dado por
Como se tiene Por tanto, la integral de línea es
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