1.La geometría del espacio euclidiano 2.Funciones vectoriales 3.Diferenciación 4.Integrales...

1. La geometría del espacio euclidiano

2. Funciones vectoriales

3. Diferenciación

4. Integrales múltiples

5. Integrales de línea

6. Integrales de superficie

7. Los teoremas integrales

1. La geometría del espacio euclidiano

1.1 Sistemas de coordenadas tridimensionales

1.2 Vectores

1.3 Operaciones elementales de los vectores

1.4 El producto escalar

1.5 El producto vectorial

1.6 Las ecuaciones de las líneas y de los planos

1.7 Superficies cilíndricas y superficies cuadráticas

Son los números que usamos

para contar

y para ordenar.

1,2,3,...N=

Son los números naturales,

unidos a los negativos de

los números naturales

y el cero.

..., 3, 2, 1,0,1,2,3,... Z=

Son aquellos que se pueden expresar

como el cociente de dos números

enteros , con el denominador

distinto de 0.

, y 0

ab

b

aa b b

b

Q= Z

Los números reales es el conjunto de todos los números:

los positivos, los negativos y el cero.

- Los números reales incluyen a todos los enteros.

- Los números reales incluyen a todos los números racionales,

es decir, aquellos que se pueden poner como el cociente de

dos números enteros.

- También incluyen a los números irracionales, como , 2,

que no pueden ser escrito

ecomo el cociente de dos números

enteros

22 2

2

2

2 2 2 2 2 2

2

Suponemos que 2 donde

y están reducidos a su mínima

expresión (no tiene factores comunes).

2 2 2

es par es par 2

4 4 2 2

es par es par

es par y es par

¡¡

p

q

p q

p pp q

q q

p p p r

p r r q q r

q q

p q

¡Contradicción!!!

Todos los números reales pueden ser escritos como

un número decimal.

Los números decimales pueden:

Terminar

Repetirse indefinidamente

Continuar para siempre


un número decimal.

Los números decimales pueden terminar.

Ejemplos:

-5

20.4

53

0.754


un número decimal.

Los números decimales pueden repetirse

indefinidamente

Ejemplos:

10.333333333333...

30.2121212121212121...

Todos los números reales pueden ser escritos como un número decimal.

Los números decimales pueden continuar para siempre.

Ejemplos:

=3.1415926535897932384626433832795028841

971693993751058209749445923078

16406286208

998628034825342117068...

2.7182818284590452353602874713526624977

57247093699959574966967627724076630353547

594571382178525166427...

2=1.414213562373095048801688724209698078

5696718753769480731

e

76679737990732478462107

038850387534327641573...

Ley de tricotomía

Para cualesquiera dos elementos y en una y

solamente una de las siguientes relaciones se verifica:

, ,

Ley transitiva

Si y , entonces

Si , entonces, para todo

a b R

a b a b a b

a b b c a c

a b c

,

Si y 0 , entonces

R a c b c

a b c ac bc

El valor absoluto ó modulo es el “valor ó magnitud” de un número, independientemente de su signo.Si tenemos un número real x su valor absoluto se escribe │x│.

• El valor absoluto de 7 es 7• El valor absoluto de –π es π• El valor absoluto de -3 es 3

El numero real -20 y el 20, tienen el mismo valor absoluto, 20

Si es un número real distinto de cero, entonces

o o es positivo.

Aquél de los dos que es positivo es llamado

valor absoluto de .

El valor absoluto de un número real ,

denotado por , se define por

a

a a

a

a

a

la regla

si 0

y

si 0

a a a

a a a

En la recta real, el valor absoluto de un número es su distancia al 0 (al origen)

0x

Valor absoluto

Intervalo abierto ,

Es el conjunto de todos los números reales ,

tales que .

Es decir,

,

Nota: El intervalo abierto no incluye "los extremos",

de ahí su nombre

a b

x

a x b

a b x R a x b

a b

Intervalo cerrado ,


tales que .

Es decir,

,

Nota: El intervalo cerrado incluye "los extremos",

de ahí su nombre

a b

x

a x b

a b x R a x b

a b

Intervalo abierto-cerrado ( , ]


tales que .

Es decir,

( , ]

Nota: El intervalo cerrado no incluye el extremo

izquierdo y sí incluye el derecho

a b

x

a x b

a b x R a x b

a b

Intervalo abierto-cerrado [ , )


tales que .

Es decir,

[ , )

Nota: El intervalo cerrado incluye el extremo

izquierdo y no incluye el derecho

a b

x

a x b

a b x R a x b

a b

,

[ , )

,

( , ]

,

a x R x a

a x R x a

a x R x a

a x R x a

x R

Denotaremos como

ˆˆ ˆ, ,

los vectores unitarios a lo largo de los ejes

, ,

Así un punto estará representado por el

vector

ˆˆ ˆ

i j k

X Y Z

P

r xi yj zk

X

Y

Z

i

j

k

ˆ ˆLos vectores 0

ˆˆbase cartesianos 0

ˆ ˆson ortogonales entre si 0

ˆ ˆLos vectores 1

base

i j

j k

k i

i i

ˆ ˆ cartesianos 1

ˆ ˆson unitarios 1

j j

k k

Los vectores base cartesianos constituyen,

además, una base "der

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

h ":

ˆ

ec a

i k

k

k i

j i

j

j

X

Y

Z

i

j

k

Los vectores base cartesianos constituyen,

además, una base "derecha"

Trivialmente se cumple también,

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ0 0 0

:

ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

i j k

j k i

i i j j k k

k i j

X

Y

Z

i

j

k

x

y

z

, ,P x y z

ˆˆ ˆr xi yj zk

r

1 2 3 1 2 3ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆSi y a a i a j a k b b i b j b k

1 1 2 2 3 3ˆˆ ˆ1) a b a b i a b j a b k

1 1 2 2 3 32) a b a b a b a b

2 2 21 2 33) a a a a

1 2 3 1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆSi y

4)

ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆ

a a i a j a k b b i b j b k

i j k

a b a a a

b b b

a b a b i a b a b j a b a b k

cos , sin

0 , 0 2

x r

y

x r y r

r

2 2 , =arctan

0 , 0 2

r x

y

yr x y

x

r

cos 0

sin 0 2

x

y

z z z

cos sin

0 0 2

x

y

z z

x y z z

z

sin cos sin sin cos

0 0 0 2

x r

y

z

x r y r z r

r

En este curso un

ESCALAR

será cualquier número real

En este curso un ESCALAR será cualquier número real

Ejemplos de cantidades escalares:• La temperatura• La corriente eléctrica• La presión• El volumen• La cantidad de carga• La masa• La energía

1 2 3

Es un conjunto ordenado de cantidades:

, ,

Los vectores son los elementos del

espacio euclidiano n

n

a a a

R

1 2 3

En este curso usaremos la definición más limitada

Es un conjunto ordenado de cantidades:

, ,

Son

y tradicional de un "objeto" que posee

magnitu

los elementos d

d, dirección y se

e

do

nti

n

n

a a a

R

A los vectores los representaremos por

flechas en el espacio.

Pensaremos en el vector como la flecha misma

1 2 3

-La posición de un objeto en movimiento

-Una fuerza

-El momento angular

-El campo electromagnético

Un vector es una cantidad que tienemagnitud, dirección y sentido.Es un ente con 3 componentes:

, ,a a a

El valor absoluto o magnitud de un

vector es su longitud, su tamaño.

Si el vector es , su magnitud se

representa como

ó

A

A A

Aquel cuya magnitud ó valor absoluto es 1

es unitario si 1

A los vectores unitarios los denotaremos

con un acento circunflejo ó "gorrito":

ˆ

a a

a

Aquel cuya magnitud ó valor absoluto es 0

es cero si 0

Lo denotaremos como 0

a a

a

b

a b

1) Es conmutativa:

2) Es asociativa:

Así que podemos poner

a b b a

a b c a b c

a b c

Se define

donde tiene la misma magnitud que ,

y la misma dirección, pero sentido inverso.

a b a b

b b

a

b

a b

a

b

a b

a b

El producto del escalar por el vector es

Es un vector cuya longitud es ,

tiene la misma dirección que ,

y el sentido es el de si >0

y el inverso que si 0

a

a

a

a

a

a

a a

Si llamamos al ángulo que hacen

los vectores y ,

se define el producto escalar

(interno ó punto) como

cos cos

a b

a b a b ab

a

b

Lo podemos ver como

cos cos

Es la proyección de uno de los dos en el otro,

por la magnitud de ese otro

a b a b b a

a

b

cos cos

Es la proyección de uno de los dos en el otro,

por la magnitud de ese otro

a b a b b a

a

b

a

cos cosp

p aa

p

1) Si 1, entonces cos que es la

proyección de en la dirección de

a a b b

b a

2 2



2) Si entonces =0 cos 1 y se tiene

a a b b

b a

a b a a a a

2 2




3) El producto escalar es conmutativo

a a b b

b a

a b a a a a

a b b a

2 2




3) El producto escalar es conmutativo

4) El producto

a a b b

b a

a b a a a a

a b b a

escalar es distributivo respecto a la suma

a b c a b a c

Si el producto escalar, cos ,

de dos vectores es cero, entonces

1) Al menos uno de los dos es cero

ó

2) Los vectores son perpendiculares (ortogonales),

es decir, 90 / 2 ó

Si dos vecto

3 / 2

r

70

a b a b

es son ortogonales, entonces su

producto escalar es cero

a b

a b

sina b a b

Si llamamos al ángulo que hacen los vectores

y ,

se define el producto vectorial o cruz, de la siguiente manera:

a b

1) sina b a b

2) Su dirección es perpendicular al plano formado

por los vectores y a b

3) El sentido del vector está definido por el avance

de un tornillo que va de a (por la regla de la

mano derecha)

a b

a b

a b

sina b a b

a b

a b

sin es el área

de este paralelogramo

a b a b

1) El producto vectorial NO ES CONMUTATIVO:

2) El producto vectorial es distributivo respecto

a la suma

3) Para todo vector 0

a b c a b a c

a a

a b b a

Si el producto vectorial de dos vectores

sin

es cero, entonces

1) Al menos uno de los dos es cero

ó

2) Los vectores son paralelos

es de

Si dos vectores son paralelos, entonce

cir, 0 0 ó 18

s su

0

a b a b

producto vectorial es cero

x 1 , y 1x 2 , y 2

X

Y 2 11 1

2 1

( )y y

y y x xx x

Es el ángulo que la recta hace con la parte positiva del eje X

X

Y

m ta n

x1 , y1

X

Y

y y 1 m x x 1m ta n

X

Y

y m x b

m ta n

b

0

donde

, y son números reales.

ax by c

a b c

4 3 2 1 1 2

2

1

1

2

3

2 3 4 0x y

0P ta t

RL

0

Las ecuación

se llama ecuación vectorial

de la recta.

P P ta

0P ta t

RL

0 1, 1,1 2, 1, 2P a

0

1, 1,1 2, 1, 2

P ta t

t t

R

R

L

L

Ecuaciones paramétricas:

1 2

1

1 2

x t

y t

z t

0 1, 1,1 2, 1, 2

1, 1,1 2, 1, 2

P a

t t

RL

1, 1,1 2, 1, 2t t RL

De la segunda despejamos ,

1

y sustituimos en las otras dos

1 2 1 1 2

1 2 1 3 2

t

t y

x y y

z y y

1 2 1 1 2x t y t z t

2 1 0

2 3 0

x y

y z

1 2 1 1 2

1 2 3 2

x t y t z t

x y z y

0

Las ecuación


de la recta.

P P ta

0P P ta

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

, , , , ( , , )

; ;

; ;

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z x y z t a a a

x x ta y y ta z z ta

x x y y z zt t t

a a a

x x y y z z

a a a

0 0 00

x y z

x x y y z zP P ta

a a a

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

;

;

0 ; 0

x y x z

y y x x z z x x

y x y x z x z x

x x y y x x z z

a a a a

a x a x a y a y a x a x a z a z

a x a y a x a y a x a z a x a z

0

0 0 0

0 0 0 00 ; 0

x y z

y x y x z x z x

P P ta

x x y y z z

a a a

a x a y a x a y a x a z a x a z

0

El plano está definido por la

ecuación vectorial

ˆ 0n P P ��

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

0 0 0

Como

ˆˆ ˆ

y si

ˆˆ ˆˆ

tenemos

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ

donde

P P x x i y y j z z k

n Ai Bj Ck

n P P Ai Bj Ck x x i y y j z z k

A x x B y y C z z

Ax By Cz D

D Ax By Cz

��

��

La ecuación del plano es

Toda ecuación de estas es

un plano

Ax By Cz D

0

La ecuación


del plano.

P P ua vb

0P P ua vb

0 0 0 1 2 3 1 2 3

0 1 1

0 2 2

0 3 3

, , , , , , , ,x y z x y z s a a a t b b b

x x ua vb

y y ua vb

z z ua vb

0

Consideremos el plano

,

Cualquier vector no nulo ortogonal

a ambos, y , es un vector

normal a .

P ua vb u v

a b

RP=

P

0Consideremos el plano ,

Cualquier vector no nulo ortogonal a ambos,

y , es un vector normal a .

P ua vb u v

a b

RP=

P

Por lo tanto, es un vector normal,

o simplemente una normal, al plano .

Además, toda normal a es paralela

a .

a b

a b

P.

P

0

0

0

ˆSi es una normal al plano

,

entonces

ˆ 0

y es el único plano que pasa

ˆpor con normal .

n

P ua vb u v

P n P P

P n

RP=

P=

P

0 0

0

ˆPara todo vector distinto de cero

ˆy todo punto , 0,

es una ecuación vectorial de un plano

ˆque pasa por y que tiene a

como normal.

n

P n P P

P n

Toda ecuación vectorial

ˆ

ˆcon 0

es la ecuación de un plano,

ˆque tiene a como normal.

n P d

n

n

ˆ ˆToda ecuación vectorial con 0 es la

ˆecuación de un plano, que tiene a como normal.

n P d n

n

ˆSea , , 0 y , , , entonces

ˆ

se escribe como

n a b c P x y z

n P d

ax by cz d

El conjunto

, ,

ˆes un plano con normal , , , y

se llama ecuación del plano .

x y z ax by cz d

n a b c

ax by cz d

P

P

Encontrar la ecuación del plano

que es perpendicular a la linea

3 5, 7 2 , 8

y que pasa por el punto

(1, 1,2)

x t y t z t

Encontrar la ecuación del plano que es perpendicular a la linea

3 5, 7 2 , 8

y que pasa por el punto (1, 1,2)

x t y t z t

50

51 0

1 5

X

50

5

Y

0

2

4

6

8

Z


3 5, 7 2 , 8 y que pasa por el punto (1, 1,2)x t y t z t

3 5, 7 2 , 8

5,7,8 3, 2, 1

Así que el vector normal al

plano es

ˆ 3, 2, 1

x t y t z t

x t

n


3 5, 7 2 , 8 y que pasa por el punto (1, 1,2)x t y t z t

La ecuación es

3, 2, 1 ( , , ) (1, 1,2)

3, 2, 1 ( 1, 1, 2

3 3

)

2 0

x y z

x y z

x y z

ˆ 3, 2, 1n

3 2 3x y z

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