Lecci on 4. CAMPOS VECTORIALES DIFERENCIABLES · 4. Campos vectoriales diferenciables 59 Matriz...

Matematicas III (GIC y GITI, curso 2015–2016)

Leccion 4. CAMPOS VECTORIALES DIFERENCIABLES

1. CAMPOS VECTORIALES DIFERENCIABLES

Los campos vectoriales son funciones de una o mas variables cuyas imagenes son vectores bidi-mensionales o tridimensionales y tienen una extraordinaria importancia en la construccion de losmodelos matematicos de problemas de la fısica, el electromagnetismo o la mecanica de fluidos.

Campos vectoriales. Un campo vectorial bidimensional es una funcion F:U ⊂ R2 → R2. Si para

cada (x, y) ∈ U , el dominio de definicion de F, escribimos F(x, y) en terminos de sus coordenadas

F(x, y) =(F1(x, y), F2(x, y)

)= F1(x, y)ı+ F2(x, y)ȷ,

vemos que F viene dado por los campos escalares F1, F2:U → R que se llaman componentes de F.

En la figura vemos una representacion de campo vectorial que nos da la velocidad del vientomediante una flecha en cada punto (tomado de la Agencia Estatal de Meteorologıa).

Mapa de vientos.

Un campo vectorial tridimensional es una funcion F:U ⊂ R3 → R3. Ahora, si para (x, y, z) ∈ U

escribimos F(x, y, z) en terminos de sus coordenadas

F(x, y, z) =(F1(x, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z)

)= F1(x, y, z)ı+ F2(x, y, z)ȷ+ F3(x, y, z)k,

vemos que el campo vectorial F viene dado por tres campos escalares F1, F2, F3:U → R que, como

en el caso anterior, se llaman componentes de F.

Con caracter general, un campo vectorial es una funcion F:U ⊂ Rm → Rn de m variables in-dependientes cuyos valores son vectores n-dimensionales; en este caso, un campo tiene n funcionescomponentes cada una de las cuales es un campo escalar que depende de m variables. Para estecaso general sera valido casi todo lo que se diga en lo que queda de leccion, donde nos centraremos,esencialmente, en el caso tridimensional m = n = 3. En particular, casi todo lo que digamos setraslada a campos bidimensionales (m = n = 2) sin mas que suprimir la tercera coordenada.

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58 Matematicas III (GIC y GITI, 2015–2016)

Ejemplos de campos vectoriales. (1) Las curvas parametrizadas, que son las imagenes decampos que dependen de una variable t y tienen valores en R3, o sea

r: t ∈ I ⊂ R → r(t) = x(t)ı+ y(t)ȷ+ z(t)k ∈ R3.

Sus componentes son las expresiones de las coordenadas cartesianas como funciones del parametro.

(2) Si f es un campo escalar diferenciable, entonces su diferencial es un campo vectorial ya que acada punto (x, y) le asigna el vector diferencial Df(x, y).

(3) Un ejemplo de interes es cuando el campo vectorial representa un cambio de variables. Ası,un cambio de variables bidimensional x = x(u, v) e y = y(u, v) puede escribirse como el campo

F(u, v) =(x(u, v), y(u, v)

). Analogamente, si el cambio de variables es tridimensional, entonces

podemos verlo como el campo vectorial F(u, v, w) =(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)

).

(4) Para cada punto (x, y, z) ∈ R3, sean r su vector de posicion y r su distancia al origen, o sea,

r = x ı + y ȷ + z k y r = ∥r∥ =√x2 + y2 + z2. Entonces, la ley de la gravedad de Newton nos

dice que la fuerza de atraccion que ejerce la Tierra sobre una masa m situada en el punto (x, y, z)

puede describirse como el campo vectorial dado por F = −GMm

r2u, donde u = r/r es el vector

unitario en la direccion del radio vector, G es la constante de gravitacion universal y M es la masade la Tierra. Una observacion importante es que este campo puede escribirse como un gradiente;

de hecho, para el campo escalar f = GMm/r se tiene que F = ∇f .

(5) Se ha estudiado en la asignatura de “Matematicas II” que si y(t) es una solucion de la ecuaciony′ = f(t, y), entonces el valor f(t, y) nos proporciona la pendiente de la curva y = y(t) en cadapunto. En otras palabras, v(t, y) =

(1, f(t, y)

)es un vector tangente a dicha curva. Si trabajamos

en un plano cartesiano con la variable t en el eje de abscisas y la variable y en el eje de ordenadasy representamos en cada punto (t, y) el vector v(t, y), obtenemos un campo vectorial que se conocecomo el campo de direcciones de la ecuacion.

Campo de direcciones.

Continuidad. Se dice que un campo vectorial F:U ⊂ R3 → R3 es continuo en un punto A0 ∈ U

si todas sus funciones componentes son continuas en dicho punto. Diremos que F:U ⊂ R3 → R3

es continuo en U si es continuo en todos los puntos de U .

Campo vectorial diferenciable. Se dice que un campo vectorial F:U ⊂ R3 → R3 es diferencia-ble en un punto A0 interior de U si sus funciones componentes son diferenciables en A0. Diremos

que F = (F1, F2, F3) es diferenciable en un conjunto abierto U cuando sus funciones componentes

son diferenciables en U y diremos que el campo F = (F1, F2, F3) es de clase Cn en U cuando sus

funciones componentes son de clase Cn(U). En particular, cuando el campo F = (F1, F2, F3) es declase C1(U), entonces la condicion suficiente de diferenciabilidad nos dice que las tres componentes

F1, F2, F3 son diferenciables y, por tanto, que el campo F es diferenciable.

4. Campos vectoriales diferenciables 59

Matriz diferencial. La matriz DF formada fila a fila por los vectores diferenciales de las compo-

nentes de F se llama matriz diferencial de F, o sea

DF =

DF1

DF2

DF2

=

∂F1

∂x

∂F1

∂y

∂F1

∂z

∂F2

∂x

∂F2

∂y

∂F2

∂z

∂F3

∂x

∂F3

∂y

∂F3

∂z

.

En el caso de una curva parametrizada por r = x(t) ı + y(t) ȷ + z(t)k, la matriz diferencial es la

derivada r ′(t) = x′(t) ı+ y′(t) ȷ+ z′(t) k. Veamos que tenemos en otros de los ejemplos dados.

Matriz hessiana de un campo escalar. Sea f un campo escalar de dos variables de clase C2 ensu dominio U . Su diferencial es el campo vectorial que a cada punto le asigna el vector diferencialDf = fx ı + fy ȷ. Puesto que las componentes de Df admiten, a su vez, derivadas parcialescontinuas (las derivadas parciales segundas de f), el campo Df es diferenciable y su diferencial es

D(Df

)=

∂

∂x(fx)

∂

∂y(fx)

∂

∂x(fy)

∂

∂y(fy)

=

∂2f

∂x2

∂2f

∂y∂x

∂2f

∂x∂y

∂2f

∂y2

= D2f,

la matriz hessiana de f , lo que justifica la notacion D2f .

Matriz jacobiana de un cambio de variables. Cuando el campo vectorial representa un

cambio de variables diferenciable F(u, v) =(x(u, v), y(u, v)

)en el caso bidimensional, entonces su

matriz diferencial se llama matriz jacobiana, o matriz de Jacobi, del cambio de variables y se suele

representar por∂(x, y)

∂(u, v),

DF =∂(x, y)

∂(u, v)=

∂x

∂u

∂x

∂v∂y

∂u

∂y

∂v

,

y lo mismo en el caso de un cambio diferenciable de tres variables. En esta leccion y las siguientes,iremos viendo la importancia y utilidad de esta matriz.

Matriz jacobiana del cambio a coordenadas polares. Si f es un campo escalar de dosvariables y cambiamos a coordenadas polares, de manera que x = r cos(θ) e y = r sen(θ), la matrizjacobiana del cambio es

∂(x, y)

∂(r, θ)=

∂x

∂r

∂x

∂θ∂y

∂r

∂y

∂θ

=

[cos(θ) −r sen(θ)

sen(θ) r cos(θ)

].


La matriz jacobiana y la regla de la cadena. La regla de la cadena para dos variablesindependientes nos dice que si f(x, y) es un campo escalar de clase C1(U) y hacemos un cambiode variables x = x(u, v) e y = y(u, v) mediante funciones diferenciables con respecto a las nuevasvariables u y v, entonces la composicion g(u, v) = f

(x(u, v), y(u, v)

)es diferenciable y se verifica

∂g

∂u=

∂f

∂x

∂x

∂u+

∂f

∂y

∂y

∂uy

∂g

∂v=

∂f

∂x

∂x

∂v+

∂f

∂y

∂y

∂v

Si escribimos estas igualdades en forma matricial obtenemos

[∂g

∂u

∂g

∂v

]=

[∂f

∂x

∂f

∂y

]∂x

∂u

∂x

∂v∂y

∂u

∂y

∂v

.

Los vectores fila son los diferenciales de f y de g y la matriz de la derecha es la matriz jacobiana∂(x, y)

∂(u, v)del cambio de variables, de manera que la igualdad queda Dg = Df

∂(x, y)

∂(u, v); en otras

palabras, la matriz jacobiana es la matriz que relaciona los correspondientes diferenciales del campoescalar con respecto a las variables antiguas y las nuevas.

Para tres variables ocurre lo mismo. La regla de la cadena nos dice que si f(x, y, z) es un campoescalar de clase C1(U) y hacemos un cambio x = x(u, v, w), y = y(u, v, w) y z = z(u, v, w) dadopor funciones diferenciables con respecto a las variables u, v y w, entonces el campo expresado enlas nuevas variables g(u, v, w) = f

(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)

)es diferenciable y se verifica

∂g

∂u=

∂f

∂x

∂x

∂u+

∂f

∂y

∂y

∂u+

∂f

∂z

∂z

∂u,

∂g

∂v=

∂f

∂x

∂x

∂v+

∂f

∂y

∂y

∂v+

∂f

∂z

∂z

∂v,

∂g

∂w=

∂f

∂x

∂x

∂w+

∂f

∂y

∂y

∂w+

∂f

∂z

∂z

∂w.

Si escribimos esto en forma matricial, nos queda

[∂g

∂u

∂g

∂v

∂g

∂v

]=

[∂f

∂x

∂f

∂y

∂f

∂z

]∂x

∂u

∂x

∂v

∂x

∂w∂y

∂u

∂y

∂v

∂y

∂w∂z

∂u

∂z

∂v

∂z

∂w

,

Como en el caso bidimensional, la matriz 3 × 3 que aparece a la derecha y contiene las derivadasparciales de las variables (x, y, z) con respecto a (u, v, w) es la matriz de Jacobi del cambio de

variables y tenemos Df(u, v, w) = Df(x, y, z)∂(x, y, z)

∂(u, v, w).

EJERCICIOS DE LA SECCION 1

Ejercicio 1. Calcula las matrices diferenciales de los siguientes campos en el origen y en (1,−3):

F1(x, y) =(x2 − y2, 2xy

), F2(x, y) =

(ex cos(y), ex sen(y)

)y F3(x, y) =

(x3, y3

).


Ejercicio 2. Halla la matriz jacobiana del cambio de coordenadas polares a coordenadas car-

tesianas∂(r, θ)

∂(x, y)expresando sus componentes tanto en coordenadas polares como en cartesianas.

Comprueba que cuando es invertible, su inversa es la matriz jacobiana del cambio de coordenadas

cartesianas a coordenadas polares∂(x, y)

∂(r, θ).

Ejercicio 3. Calcula las matrices diferenciales de los siguientes campos en el origen y en (−1, 1, 2):

F1(x, y, z) =(x2 − y2 + z2, 2xy, z2

)F2(x, y, z) =

(ex cos(y), ex sen(y), z

).

Ejercicio 4. Sean r(x, y, z) = (x, y, z) el campo vectorial que da el vector de posicion de un punto

y r(x, y, z) =√x2 + y2 + z2 el campo escalar que da la distancia desde dicho punto hasta el origen

de coordenadas. Calcula la diferencial del campo vectorial F = rnr siendo n un numero entero.

2. CAMBIOS DE VARIABLES

Visualizacion geometrica de los cambios de variables en el plano. En muchas situacioneses conveniente cambiar las variables de las que depende un campo, escalar o vectorial. La regla dela cadena nos dice que ocurre con las derivadas parciales del campo cuando se hace el cambio. Enesta seccion estudiaremos mas a fondo los cambios de variables en dimension dos, en particular,los cambios lineales y las coordenadas polares, y en dimension tres, donde introduciremos lascoordenadas cilındricas y esfericas.

Dado que un cambio de variables bidimensional x = x(u, v) e y = y(u, v) puede escribirse como

un campo vectorial F(u, v) =(x(u, v), y(u, v)

), su grafica serıa un conjunto en R4 por lo que no

es posible visualizarla. Una opcion alternativa es estudiar como el cambio de variables transformael plano de las variables (u, v) en su imagen en el plano de las variables (x, y). Para ello, hacemoslos siguiente: en el plano (u, v) trazamos una retıcula mediante lıneas horizontales de ecuacionv = constante y lıneas verticales de ecuacion u = constante y dibujamos las imagenes de estaslıneas en el plano (x, y); esto puede hacerse usando alguno de los programas para dibujar curvasparametricas que se recomiendan en la Bibliografıa. El resultado es una retıcula para las variables(x, y) que puede ayudarnos a entender como actua el cambio de variables.

Retıcula para u, v. Retıcula para x, y.


Determinante jacobiano y su interpretacion geometrica. El determinante de la matrizjacobiana se llama determinante jacobiano del cambio de variables:

det

(∂(x, y)

∂(u, v)

)=

∣∣∣∣∣∣∣∂x

∂u

∂x

∂v∂y

∂u

∂y

∂v

∣∣∣∣∣∣∣ =∂x

∂u

∂y

∂v− ∂x

∂v

∂y

∂u.

Veremos que el determinante jacobiano de un cambio de variables es de enorme importancia envarias aplicaciones; por ejemplo, a la hora de cambiar variables en una integral doble o triple, dondetendra el mismo papel que x′(t) cuando escribimos dx = x′(t)dt al hacer un cambio de variable enlas integrales de funciones de una variable. Esto se debe a que el determinante actua como factorde dilatacion de las areas a pequena escala.

Rectangulo pequeno para u, v. Rectangulo curvilıneo pequeno para x, y.

Para verlo, construimos un rectangulo OABC en el plano de las variables u, v con base ∆u yaltura ∆v y, por tanto, con area ∆u∆v. Suponiendo, por comodidad, que x(0, 0) = y(0, 0) = 0,este rectangulo se transforma en el paralelogramo de lados curvos OA′B′C ′. Si los incrementos∆u,∆v son suficientemente pequenos, entonces, por continuidad, el area del paralelogramo de ladoscurvos OA′B′C ′ es aproximadamente igual al area del paralelogramo de lados rectos con los mismosvertices que, como se conoce del Bachillerato, puede hallarse como el valor absoluto del determinan-te formado por las coordenadas de A′ =

(x(∆u, 0), y(∆u, 0)

)y C ′ =

(x(0,∆v), y(0,∆v)

). Usando

la aproximacion dada por las derivadas parciales, para este determinante tenemos

∣∣∣∣x(∆u, 0) y(∆u, 0)

x(0,∆v) y(0,∆v)

∣∣∣∣ ≈∣∣∣∣∣∣∣∂x

∂u∆u

∂y

∂u∆u

∂x

∂v∆v

∂y

∂v∆v

∣∣∣∣∣∣∣ =(∂x

∂u

∂y

∂v− ∂x

∂v

∂y

∂u

)∆u∆v.

Es decir, el area el paralelogramo de lados curvos OA′B′C ′ es, aproximadamente,∣∣∣∣∂x∂u ∂y

∂v− ∂x

∂v

∂y

∂u

∣∣∣∣∆u∆v =

∣∣∣∣det(∂(x, y)

∂(u, v)

)∣∣∣∣∆u∆v

(En la figura hemos usado J para la matriz jacobiana).

Cambios de variables lineales. Sea A =

[a11 a12a21 a22

], entonces el cambio de variables

(xy

)= A

(uv

)o, en forma extendida,

{x(u, v) = a11u+ a12vy(u, v) = a21u+ a22v


se dice que es lineal porque transforma las variables (u, v) en (x, y) de manera lineal. La matrizjacobiana del cambio coincide con A y el cambio puede invertirse si A es invertible; en ese caso, elcambio inverso tambien es lineal y su matriz es A−1.

Retıcula para u, v. Retıcula para x, y.

Cuando es invertible, un cambio lineal transforma los cuadrados de la retıcula para u, v en para-lelogramos que conforman la retıcula para x, y. Como el determinante jacobiano es constante eigual a det(A), es facil comprobar que el area de cada paralelogramo es igual al area del cuadradodel que proviene multiplicada por |det(A)|; es decir, en este caso el determinante jacobiano es elfactor de dilatacion de areas global, no solo local.

Los giros son casos especiales de cambios lineales. Un giro de angulo α (en el sentido positivo) es

el cambio lineal que se obtiene para A =

[cos(α) − sen(α)sen(α) cos(α)

]. Los giros son siempre invertibles y

conservan los angulos y las areas ya que para la matriz de un giro se tiene det(A) = 1.

Cambios entre coordenadas polares y cartesianas. En el caso bidimensional, el cambio devariables mas habitual es el cambio a coordenadas polares x = r cos(θ) e y = r sen(θ).

Retıcula para r, θ. Retıcula para x, y.

Hemos visto que la matriz jacobiana de este cambio es

∂(x, y)

∂(r, θ)=

∂x

∂r

∂x

∂θ∂y

∂r

∂y

∂θ

=

[cos(θ) −r sen(θ)

sen(θ) r cos(θ)

]

con determinante jacobiano det

(∂(x, y)

∂(r, θ)

)= r.


Tambien hemos visto que si f es un campo escalar de dos variables, entonces las derivadas parcialesde f como funcion de (x, y) estan relacionadas con las derivadas parciales de f como funcion de

(r, θ) mediante Df(r, θ) = Df(x, y)∂(x, y)

∂(r, θ), o sea,

∂f

∂r=

∂f

∂xcos(θ) +

∂f

∂ysen(θ) y

∂f

∂θ= −∂f

∂xr sen(θ) +

∂f

∂yr cos(θ),

En la Leccion 1 vimos como calcular directamente las derivadas parciales con respecto a las coor-denadas cartesianas en terminos de las derivadas parciales con respecto a las coordenadas polares,es decir, la matriz jacobiana del cambio de coordenadas polares a coordenadas cartesianas. Estopodemos hacerlo, si r = 0, despejando las derivadas parciales con respecto a las coordenadas

cartesianas sin mas que invertir la matriz jacobiana∂(x, y)

∂(r, θ):

(∂(x, y)

∂(r, θ)

)−1

=1

r

[r cos(θ) r sen(θ)− sen(θ) cos(θ)

]=

[cos(θ) sen(θ)

− sen(θ)/r cos(θ)/r

].

Por lo tanto,

∂f

∂x=

∂f

∂rcos(θ)− ∂f

∂θ

sen(θ)

ry

∂f

∂y=

∂f

∂rsen(θ) +

∂f

∂θ

cos(θ)

r.

O sea, si r = 0, entonces la matriz jacobiana del cambio inverso∂(r, θ)

∂(x, y)es la inversa de

∂(x, y)

∂(r, θ):

∂(r, θ)

∂(x, y)=

∂r

∂x

∂r

∂y

∂θ

∂x

∂θ

∂y

=

[cos(θ) sen(θ)

− sen(θ)/r cos(θ)/r

]

El final de esta seccion lo dedicaremos al problema de analizar cuando puede deshacerse un cambiode variables y veremos que este resultado, que hemos visto para el caso especial de las coordenadaspolares, es cierto para cambios de variables cualesquiera.

Cambio de variables en el espacio. En el caso tridimensional, si hacemos un cambio de varia-bles x = x(u, v, w), y = y(u, v, w) y z = z(u, v, w), que son funciones diferenciables con respecto a

las nuevas variables u, v y w, entonces la matriz jacobiana del cambio de variables∂(x, y, z)

∂(u, v, w)es

∂(x, y, z)

∂(u, v, w)=

∂x

∂u

∂x

∂v

∂x

∂w∂y

∂u

∂y

∂v

∂y

∂w∂z

∂u

∂z

∂v

∂z

∂w

y su determinante se llama determinante jacobiano del cambio de variables. De manera analoga alcaso bidimensional, puede probarse que el valor absoluto del determinante jacobiano a actua comofactor de dilatacion de los volumenes a pequena escala.

Veamos ahora los principales cambios de variable tridimensionales.


Cambios de variables lineales. Si A es una matriz 3 × 3, el cambio (x, y, z)T = A(u, v, w)T

se llama, como en el caso de dos variables, lineal . La matriz jacobiana del cambio de variablescoincide con A y el cambio puede invertirse si A es invertible, o sea, si det(A) = 0. En ese caso, elcambio inverso tambien es lineal y su matriz es A−1.

Coordenadas cilındricas. Este cambio consiste simplemente en hacer el cambio a coordenadaspolares en el plano XOY y mantener la z como variable independiente. Las coordenadas cilındricasde un punto (x, y, z) son, entonces, (r, θ, z) de manera que

x(r, θ, z) = r cos(θ), y(r, θ, z) = r sen(θ), z(r, θ, z) = z.

La matriz jacobiana del cambio a coordenadas cilındricas es

∂(x, y, z)

∂(r, θ, z)=

cos(θ) −r sen(θ) 0sen(θ) r cos(θ) 0

0 0 1

Su determinante jacobiano es igual a r y es util para solidos que presentan simetrıa axial.

Coordenadas cilındricas. Coordenadas esfericas.

Coordenadas esfericas. Las coordenadas esfericas de un punto P = (x, y, z) ∈ R3 son los tresvalores (ρ, θ, ϕ) definidos por las siguientes relaciones:

x(ρ, θ, ϕ) = ρ cos(θ) sen(ϕ), y(ρ, θ, ϕ) = ρ sen(θ) sen(ϕ), z(ρ, θ, ϕ) = ρ cos(ϕ),

de manera que ρ es la distancia de P al origen de coordenadas; θ es el angulo polar de la proyeccion

de P sobre el plano XOY y se llama angulo azimutal y ϕ es el angulo que forma el vector OPcon el eje OZ positivo y se llama colatitud. En otras palabras, θ y ϕ permiten determinar, res-pectivamente, la longitud y la latitud de P .

La matriz jacobiana del cambio a coordenadas esfericas es

∂(x, y, z)

∂(ρ, θ, ϕ)=

cos(θ) sen(ϕ) −ρ sen(θ) sen(ϕ) ρ cos(θ) cos(ϕ)sen(θ) sen(ϕ) ρ cos(θ) sen(ϕ) ρ sen(θ) cos(ϕ)

cos(ϕ) 0 −ρ sen(ϕ)

con determinante jacobiano −ρ2 sen(ϕ). Este cambio de variables resulta apropiado cuando setrabaja en conjuntos que tienen simetrıa esferica. Las formulas para invertir este cambio son

ρ =√

x2 + y2 + z2, θ = arc tg(y/x), ϕ = arccos(z/

√x2 + y2 + z2

).


Inversion de un cambio de variables. ¿Cuando podemos deshacer un cambio de variables?Empecemos recordando el caso unidimensional. Supongamos que estamos trabajando con unavariable x y que, por la razon que sea, queremos trabajar con una nueva variable t = ϕ(x), dondeϕ es una funcion derivable. Si al final del proceso queremos deshacer el cambio de variables, estoes, obtener x como funcion de t, la condicion suficiente es que ϕ′(x) = 0, en cuyo caso la funcion

inversa ϕ−1(t) es derivable y se verifica que[ϕ−1

]′(t) =

1

ϕ′(ϕ−1(t)

) .Para cambios de mas variables, la condicion de que la derivada no se anule se traduce en la invertibi-lidad de la matriz jacobiana del cambio o, equivalentemente, en que el determinante jacobiano no seanule, como hemos visto en el caso de los cambios lineales y las coordenadas polares. Estudiaremoslos detalles solo en el caso bidimensional; para cambios de tres variables el resultado es analogo.Supongamos entonces que hacemos un cambio de variables mediante funciones x = x(u, v) ey = y(u, v) de clase C1 en el conjunto A en el que se mueven las variables u, v. ¿Podemos deshacerel cambio obteniendo u, v como funciones de clase C1 de x, y?

Teorema de la funcion inversa para dos variables. Supongamos que tenemos un puntoP = (u0, v0) interior a la region A que se transforma mediante el cambio de variables de clase Cn

en el punto P ′ = (x0, y0). Si la matriz jacobiana

∂(x, y)

∂(u, v)=

∂x

∂u

∂x

∂v∂y

∂u

∂y

∂v

es invertible en P , entonces existen un cuadrado D ⊂ A centrado en P , un conjunto D′ conteniendoel punto P ′ en su interior y dos funciones u(x, y), v(x, y) de clase Cn(D′) que deshacen el cambiode variables; es decir, dado (x, y) ∈ D′ los valores u(x, y), v(x, y) son la unica solucion en D delsistema x = x(u, v), y = y(u, v). Ademas, la matriz jacobiana del cambio inverso u = u(x, y),v = v(x, y) es la inversa de la matriz jacobiana del cambio x = x(u, v), y = y(u, v):

∂(u, v)

∂(x, y)=

∂u

∂x

∂u

∂y

∂v

∂x

∂v

∂y

=

∂x

∂u

∂x

∂v∂y

∂u

∂y

∂v

−1

=

(∂(x, y)

∂(u, v)

)−1

.

Teorema de la funcion inversa.

En el caso del cambio a coordenadas polares, ya sabemos que el cambio puede deshacerse cercade cualquier punto que no sea el origen; esto se refleja en el hecho de que la matriz jacobiana delcambio a coordenadas polares no es invertible en el origen porque, como vimos, su determinantees el radio polar r, que vale cero en dicho punto.


Teorema de la funcion inversa para tres variables. Supongamos que tenemos un puntoP = (u0, v0, w0) que se transforma en el punto P ′ = (x0, y0, z0) mediante un cambio de variablesx = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w), que son funciones de clase C1(A). Si la matriz

jacobiana∂(x, y, z)

∂(u, v, w)es invertible en P , entonces existen un cubo D ⊂ A centrado en P , un

conjunto D′ conteniendo el punto P ′ en su interior y tres funciones u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z)de clase Cn(D′) que deshacen el cambio de variables. Ademas, la matriz jacobiana del cambio

inverso es la inversa de la matriz jacobiana del cambio directo:∂(u, v, w)

∂(x, y, z)=

(∂(x, y, z)

∂(u, v, w)

)−1

.

En consecuencia, tanto el cambio a coordenadas cilındricas como el cambio a coordenadas esfericaspueden deshacerse en todo el espacio tridimensional salvo en el eje OZ.


Ejercicio 1. Halla la matriz y el determinante jacobianos de cada uno de los siguientes cambiosde variables.

(1) x(u, v) = u+ v, y(u, v) = u− v. (2) x(u, v) = 2u+ v, y(u, v) = u+ 3v.(3) x(u, v) = uv, y(u, v) = u− v. (4) x(u, v) = u2 − v2, y(u, v) = uv.

¿Cuando son invertibles estos cambios de variables?; ¿cuales son ortogonales?

Ejercicio 2. Determina las matrices de los cambios de variables lineales que consisten en, respec-tivamente, girar π/3 y −π/3 radianes.

Ejercicio 3. Considera el cambio de variables dado por x = u2 + cos(v) e y = sen(v) y el puntoP cuyas coordenadas en el plano de las variables u, v son u0 = 1 y v0 = 2π.

(1) Calcula el punto Q = (x0, y0) que es la imagen del punto P mediante el cambio de variablesdado. Prueba que dicho cambio de variables puede invertirse cerca del punto Q y halla lamatriz jacobiana del cambio de variables inverso en el punto Q.

(2) De un campo escalar f(x, y) se sabe que la ecuacion del plano tangente a su grafica en elpunto Q es z = 3− 2x+ y. ¿Cuanto valen fx(Q) y fy(Q)? ¿Cual es la ecuacion del planotangente a la grafica del campo g(u, v) = f

(x(u, v), y(u, v)

)en el punto P?

Ejercicio 4. Calcula la matriz y el determinante jacobianos de los siguientes cambios de variables:

(1) x(u, v, w) = u− v, y(u, v, w) = u+ v, z(u, v, w) = w.(2) x(u, v, w) = u− v, y(u, v, w) = v − w, z(u, v, w) = w − u.(3) x(u, v, w) = uv, y(u, v, w) = u− w, z(u, v, w) = w.(4) x(u, v, w) = 2u+ 3v − w, y(u, v, w) = 4u− v, z(u, v, w) = v + 5w.(5) x(u, v, w) = eu cos(v), y(u, v, w) = eu sen(v), z(u, v, w) = log(w).(6) x(u, v, w) = 2u+ 3v − w, y(u, v, w) = 2u− v − w, z(u, v, w) = 2v − w.

¿Cuando son invertibles estos cambios de variables?; ¿cuales son ortogonales?

Ejercicio 5. Determina las coordenadas cilındricas y esfericas de los siguientes puntos dados encoordenadas cartesianas: (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (2− 1, 2), (−2,−2, 1), (0, 3,−4) y (0, 0,−1).

Ejercicio 6. Determina, buscando en internet sus latitudes y longitudes respectivas, las coorde-nadas esfericas de Sevilla, Londres, Tokyo, Moscu, Nueva York y Buenos Aires. ¿Puedes dar unaformula general para pasar la longitud y la latitud a coordenadas esfericas?


3. DIVERGENCIA, ROTACIONAL Y LAPLACIANO

En muchas aplicaciones las variables x, y, z son coordenadas espaciales y se usan para representar

posiciones, r = xı + yȷ en R2 o r = xı + yȷ + zk. Para este caso, hemos visto que el concepto degradiente de un campo escalar o de diferencial de un campo vectorial, formado por los gradientesde sus componentes, es la forma natural de extender la nocion de derivada de una funcion en unpunto; sus componentes son las derivadas parciales del campo escalar o las derivadas parciales delas componentes del campo vectorial.

En muchas aplicaciones aparecen, ademas del gradiente, otras formas de combinar las derivadasparciales que tienen importancia en el desarrollo posterior de la teorıa y en sus aplicaciones en otrasdisciplinas. Estas diversas formas de combinar las derivadas espaciales se llaman, genericamente,operadores diferenciales y en esta seccion estudiaremos los tres mas importantes: la divergencia,el rotacional y el laplaciano, ası como las relaciones que se dan entre ellos y con el gradiente.Finalmente, veremos que estas relaciones pueden unificarse mediante lo que se conoce como elalgebra del operador ∇ que nos proporciona una herramienta muy util en la practica.

Divergencia y rotacional de un campo vectorial tridimensional. Sea F =(F1, F2, F3

)un

campo vectorial tridimensional de clase C1 en un conjunto abierto U ⊂ R3. La divergencia de F

es el campo escalar continuo div(F) definido en U por

div(F) =∂F1

∂x+

∂F2

∂y+

∂F3

∂z.

Los campos vectoriales que tienen divergencia nula se llaman campos solenoidales.

El rotacional de F es el campo vectorial continuo rot(F) definido en U por

rot(F) =

(∂F3

∂y− ∂F2

∂z,∂F1

∂z− ∂F3

∂x,∂F2

∂x− ∂F1

∂y

)

=

∣∣∣∣∣∣ı ȷ k

∂/∂x ∂/∂y ∂/∂zF1 F2 F3

∣∣∣∣∣∣Los campos vectoriales que tienen rotacional nulo se llaman campos irrotacionales.

Los conceptos de divergencia y rotacional nacieron del elctromagnetismo y la mecanica de fluidos,disciplinas en las que admiten interpretaciones fısicas. Hablando sin mucha precision, si tenemosun campo vectorial y consideramos un espacio infinitesimalmente pequeno que rodea un punto,entonces la divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujoentrante y el rotacional mide la tendencia de un campo vectorial a inducir una rotacion en dichoespacio.

Divergencia y rotacional para un campo bidimensional. La divergencia y el rotacional seusan basicamente con campos tridimensionales; no obstante, a veces se usan con campos de dos

variables en cuyo caso, si tenemos F = (F1, F2), se definen de la siguiente manera:

div(F) =∂F1

∂x+

∂F2

∂yy rot(F) =

∂F2

∂x− ∂F1

∂y.

Observemos que, por tanto, el “rotacional bidimensional” no es un campo vectorial, sino escalar.


Laplaciano de un campo escalar de tres variables. Sea f un campo escalar de clase C2 enU ⊂ R3. El operador de Laplace o laplaciano de f es el campo escalar dado por

∇2f =∂2f

∂x2+

∂2f

∂y2+

∂2f

∂z2= div

(∇f

).

Los campos escalares con laplaciano igual a cero se llaman campos armonicos. En las aplicaciones,el laplaciano aparece en multiples contextos como la teorıa del potencial, la electrostatica, lamecanica cuantica, la propagacion de ondas, la conduccion del calor o la distribucion de tensionesen un solido deformable, por mencionar unos cuantos. Por ejemplo, en la mecanica cuantica ellaplaciano de la funcion de onda de una partıcula da la energıa cinetica de la misma.

Como antes, usando la regla de la cadena podemos obtener la expresion del laplaciano en coorde-nadas cilındricas

∇2f =∂2f

∂r2+

1

r2∂2f

∂θ2+

1

r

∂f

∂r+

∂2f

∂z2.

Cuando el campo solo depende de dos variables, las expresiones del laplaciano se obtienen de lasanteriores suprimiendo la coordenada z.

Interpretacion del operador ∇. El sımbolo ∇ que aparece en la definicion de gradiente,

∇f (r) = fxı+ fyȷ+ fzk, se puede interpretar como un vector

∇ =

(∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

)=

∂

∂xı+

∂

∂yȷ+

∂

∂zk.

Las componentes de ∇ son operaciones de derivacion parcial que pueden actuar sobre un campoescalar f . Si tratamos ∇ como si fuera un vector corriente, entonces ∇f es el producto de cadacomponente de ∇ por el escalar f , interpretando las componentes de ∇ como operadores queactuan sobre f :

∇f =

(∂

∂xf,

∂

∂yf,

∂

∂zf

)=

(∂f

∂x,∂f

∂y,∂f

∂z

)= grad(f),

que es de donde surge la notacion ∇f para el gradiente de f . Siguiendo con esta interpretacion, si

F = (F1, F2, F3) es un campo vectorial, entonces

div(F) =∂

∂xF1 +

∂

∂yF2 +

∂

∂zF3 = ∇ · F;

es decir, el “producto escalar” de ∇ por F. Por otro lado, tenemos

rot(F) =

(∂F3

∂y− ∂F2

∂z,∂F1

∂z− ∂F3

∂x,∂F2

∂x− ∂F1

∂y

)=

∣∣∣∣∣∣ı ȷ k

∂/∂x ∂/∂y ∂/∂zF1 F2 F3

∣∣∣∣∣∣ = ∇× F;

es decir, el “producto vectorial” de ∇ por F.

Observemos tambien que para el laplaciano se tiene que

∇2(f) = div(grad(f)

)= ∇ · ∇f,

lo que justifica la notacion ∇2(f) para esta operacion.

En resumen, con esta interpretacion, si f es un campo escalar y F es un campo vectorial entonces

grad(f) = ∇f, ∇2f = ∇ · ∇f, div(F) = ∇ · F, rot(F) = ∇× F.


Algebra del operador nabla. Sean f un campo escalar y F y G dos campos vectoriales, lostres de clase C2 en un mismo dominio de definicion. Entonces

rot(grad(f)

)= 0,

div(grad(f)

)= ∇2f,

rot(rot(F)

)= grad

(div(F)

)−∇2F,

div(rot F

)= 0.

o, simbolicamente,

∇× (∇f) = 0,

∇ · (∇f) = ∇2f,

∇× (∇× F) = ∇(∇ · F)−∇2F,

∇ · (∇× F) = 0.


Ejercicio 1. Calcula las divergencias y los rotacionales de los siguientes campos vectoriales en elorigen y en el punto (1,−3)

(1) F(x, y) =(x2 − y2, 2xy

)(2) F(x, y) =

(ex cos(y), ex sen(y)

)(3) F(x, y) =

(x3, y3

)Ejercicio 2. Calcula las diferenciales, las divergencias y los rotacionales de los siguientes camposvectoriales en el origen y en el punto (1, 0,−3)

(1) F(x, y, z) =(x2 − y2 + z2, 2xy, z2

)(2) F(x, y, z) =

(ex cos(y), ex sen(y), z

)(3) F(x, y, z) =

(x3, y3, z3

)(4) F(x, y, z) =

(cos(y + z), cos(x+ z), cos(x+ y)

)Ejercicio 3. Sean r(x, y, z) = (x, y, z) el campo vectorial que da el vector de posicion de un punto

y r(x, y, z) =√x2 + y2 + z2 el campo escalar que da la distancia desde dicho punto hasta el origen

de coordenadas. Calcula la divergencia y el rotacional del campo vectorial F = rnr siendo n unnumero entero.

Ejercicio 4. Calcula los laplacianos de los siguientes campos escalares

f1(x, y) = ex sen(y), f2(x, y) = ex cos(y), f3(x, y) = log(x2+y2), f4(x, y, z) = arc tg(y/x)+z.

Ejercicio 5. ¿Para que valores de las constantes a, b y c es armonico el campo escalar definidopor f(x, y) = ax2 + bxy + cy2?

Ejercicio 6. Prueba las formulas del algebra del operador nabla dadas al final de la seccion.


Ejercicio 7. Prueba las siguientes formulas para el operador nabla:

∇ · (f F) = f∇(F) +∇(f) · F,

∇× (f F) = f(∇× F) + (∇f)× F,

∇ · (F× G) = G · (∇× F)− F · (∇× G).

Algunas notas historicas. Las formulas que acabamos de ver, que nacen de la interpretacion de ∇ como si fuera

un vector, son muy utiles cuando se hacen calculos en diversas disciplinas; especialmente en electromagnetismoo mecanica de fluidos. De hecho, estas formulas aparecieron por primera vez en el contexto del estudio de loscampos electricos y magneticos llevado a cabo a lo largo del siglo xix desde sus orıgenes con Carl F. Gauss hasta suculminacion con James C. Maxwell. El sımbolo ∇ para indicar el gradiente, introducido por el matematico irlandes

William R. Hamilton en 1853, fue utilizado por Maxwell para establecer el modelo matematico de la teorıa delcampo electromagnetico, las famosas ecuaciones de Maxwell:

∇ · E=ρ

ϵ0∇ · B= 0

∇× E= −∂B

∂t∇× B= µ0J+ µ0ϵ0

∂E

∂t,

donde E es el campo electrico, B es la induccion magnetica, J es la densidad de corriente y los valores ρ, ϵ0, µ0 sonconstantes; los campos dependen de las tres variables espaciales (x, y, z) y el tiempo t.

BIBLIOGRAFIA

G.L. Bradley y K.J. Smith, Calculo, vol. 2, Secciones 13.7, 13.8 y 14.1.

R.E. Larson, R.P. Hostetler y B.H. Edwards, Calculo, vol. 2, Secciones 13.7, 13.8 y 14.1.

G.B. Thomas, Jr., Calculo, varias variables, Secciones 15.8, 16.7 y 16.8.

Paginas web de interes:

http://www.wolframalpha.com

http://web.monroecc.edu/manila/webfiles/calcNSF/JavaCode/CalcPlot3D.htm

http://www.desmos.com/

Lecci on 4. CAMPOS VECTORIALES DIFERENCIABLES · 4. Campos vectoriales diferenciables 59 Matriz...

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