ANALISIS COMBINATORIO

TCNICA DE CONTEO

PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACINSupongamos que tengo 3 camisas de vestir y 4 pantalones. Cules y cuntas sern las diferentes formas que tendr para vestirme con dichas prendas? Veamos:C representa una camisa y P un pantaln; entonces:

Tendemos 3 x 4 = 12 formas diferentes.

En general:Si un proceso (A) se puede efectuar de n maneras y otro proceso (B) se puede efectuar de m maneras diferentes, entonces ambos procesos juntos se pueden efectuar de (mxn) maneras diferentes.

PRINCIPIOS DE LA ADICINSi tengo 4 maneras diferentes para ir al Cusco y otras 3 formas para viajar a Arequipa, entonces tengo (4+3) formas diferentes para ir al Cusco o Arequipa.

Entonces: Si un proceso (A) se puede efectuar de n maneras y otro proceso (B) se puede efectuar de m maneras, entonces A o B se pueden efectuar de ( m + n ) maneras.

VARIACIONESSupongamos que Alberto (A), Beatriz (B), Carlos (C) y Daniel (D) se quiere sentar en dos sillas disponibles. De cuntas maneras diferentes se pueden ubicar?

Veamos:

Es decir, el nmero de arreglos diferentes que se pueden hacer con 4 elementos diferentes, tomados de a 2, es igual a 12. Luego, el nmero de variaciones de 4 elementos tomados de 2 en 2 ser :

En general :

Donde n k Z+Forma prctica:

COMBINACIONES Si tenemos 5 textos de diferentes cursos, cuntos grupos diferentes de 2 textos cada grupo se pueden formar?Solucin: Si los textos son A,B,C,D,E, entonces las parejas sern :{A;B};{A;C};{A,D},{A,E},{B,C},{B,D},{B,E}, {C,D},{C,E},{D,E}

Luego el nmero de combinaciones de 5 elementos tomado de 2 en 2 es 10.

En general: n k Z+

Forma prctica:

Ejemplo: = =10Propiedades:

PERMUTACION CON REPETICINEs un arreglo u ordenacin de elementos donde algunos de ellos se repiten.Si se tienen N elementos de los cuales:

K1 : elementos repetidos de una 1era clase.K2 : elementos repetidos de una 2da clase.K3 : elementos repetidos de una 3era clase.Kn : elementos repetidos de una nsima clase.

=

Donde: K1 + K2 + K3 + + Kn N

Ejemplo: Con todas las letras de la palabra ALIBABA Cuntas palabras diferentes se pueden formar, sin importar lo que diga?

PERMUTACION CIRCULAREs un arreglo u ordenacin de elementos diferentes alrededor de un objeto; en estas ordenaciones no hay primer ni ltimo elemento por hallarse todos en lnea cerrada.

Pc(n) = (n1)!

Ejemplo: De cuntas maneras diferentes pueden sentarse alrededor de una masa circular 6 personas?

NIVEL I1. Felipe desea viajar de Lima a Cuzco y tiene A su disposicin 4 lneas areas y 6 lneas terrestres. De cuntas maneras diferentes podr viajar?

a) 6 lneasb) 4c) 24d) 10e) N.A.

2. De una ciudad A a otra ciudad B hay 2 caminos diferentes y de la ciudad B a C, 3 caminos diferentes Por cuntos caminos distintos se podra viajar de A a C pasando por B y sin retroceder?

a) 5b) 6c) 8d) 12e) N.A.

3. Por cuntas rutas diferentes se puede ir de A a B y regresar al punto A sin retornar por ningn tramo o camino de ida?

a) 150b) 160c) 180d) 120e) N.A.

4. Esther tiene 4 blusas y 3 faldas. De cuntas maneras se puede vestir, si la blusa azul se la debe poner siempre con la falda celeste?

a) 12b) 8c) 7d) 11e) N.A.

Enunciado: (para los problemas 5 y 6)Con todas las letras de la palabra BEATRIZ, cuntas palabras diferentes se pueden formar sin importar que las palabras tengan o no sentido, si:

5. La T y R deben estar juntas siempre.

a) 120b) 720c) 5040d) 28e) N.A.

6. Todas las palabras deben empezar con B y siempre deben llevar consigo la slaba TRIZ.

a) 6b) 24c) 12d) 120e) N.A.

7. De cuntas maneras distintas 5 personas pueden ubicarse alrededor de una fogata?

a) 120b) 24c) 240d) 720e) N.A.

8. Del problema anterior. De cuntas maneras diferentes pueden ubicarse alrededor de la fogata, si dos personas deben estar juntos siempre?

a) 24b) 120c) 360d) 480e) N.A.

NIVEL II01.Pablito va con su pap a una tienda de discos. Luego de una detallada bsqueda se decide por 5 CDs y 7 casetes; sin embargo su padre le indica que solo puede escoger 2 CDs y 3 casetes. Calcular el nmero de formas diferentes que puede efectuar su pedido considerando la sugerencia de su padre.

a) 300b) 30c) 350d) 45e) 2802.Cuntos diccionarios bilinges se deben editar si tomamos en consideracin los siguientes idiomas: espaol, ingls, francs, alemn y japons?

a) 60b) 24c) 10d) 5e) 32

03.Un supervisor, responsable de 7 promotores de venta debe verificar el trabajo de su equipo. Con el fin de no despertar suspicacias, vara permanentemente el orden de verificacin. De cuntas formas diferentes puede efectuar su trabajo?

a) 920b) 820c) 720d) 5040e) 620

04.De cuntas maneras diferentes se pueden ubicar 6 nios en fila, a condicin de que tres de ellos en particular, estn siempre juntos?

a) 5040b) 4050c) 7000d) 72e) 144

05.Con las cifras 8; 5; 1; 2; 6, cuntos nmeros mayores de 10 y menores de 99, se pueden formar?

a) 10b) 60c) 120d) 30e) 20

06.Con las letras de la palabra EDITOR, cuntas palabras de 6 letras que terminen en E se pueden formar?

a) 60b) 720c) 360d) 120e) 24

07.Un padre va al cine con sus 4 hijos. De cuantas maneras podrn sentarse en una fila, si el padre siempre se sienta al centro?

a) 24b) 48c) 120d) 60e) 30

08.Noem tiene por su casa 6 amigos, uno de los cuales se llama Jorge. De cuantas maneras podr invitar a 3 de ellos a su casa, si Jorge siempre debe estar entre los invitados?

a) 20b) 10c) 60d) 40e) 120

09.De cuantas maneras se pueden disponer 5 personas en una fila, si una de ellas siempre va en un extremo?

a) 24b) 48c) 120d) 240e) 20

10.De cuantas maneras se podr formar una comisin de por lo menos 4 personas, con 6 personas disponibles?a) 15b) 21c) 42d) 28e) 22

11.De cuntas maneras se pueden sentar 5 personas alrededor de una mesa circular, si tres de ellas siempre deben estar juntas?

a) 12b) 72c) 20d) 24e) 48

12.Martn tiene 12 amigos y 15 amigas. De cuntas maneras podr elegir a 6 amigos y 8 amigas para invitarlos a su casa?

a) 924b) 6 435c) 7 359d) 5 945 940e) 5 945 490

13.Un entrenador de ftbol tiene 16 jugadores. De cuntas maneras podr formar su equipo, si cualquiera de los jugadores puede desempearse en cualquier puesto?; adems se sabe que un jugador no puede jugar por estar lesionado.

a) 1 356b) 1 365c) 1 500d) 3 003e) 1 615

14.Cuntos arreglos diferentes se pueden hacer con las letras de la palabra "JAPANAJA"?

a) 81b) 840c) 120 d) 8e) 64

15.En un mercado venden 6 tipos diferentes de frutas y 8 tipos diferentes de verdura. De cuantas maneras una seora podr comprar 3 tipos diferentes de verdura?

a) 280b) 560c) 48d) 140e) 96

16.En el problema anterior, de cuantas maneras diferentes, al seora podr comprar 3 tipos diferentes de fruta o 2 tipos diferentes de verdura?

a) 48b) 96c) 280d) 140e) 560

17.En un grupo de 15 personas hay 4 que se llaman Luis, 6 Pedro y el resto Jorge. De cuntas maneras se podrn elegir a 2 Luises, 4 Pedros y 3 Jorge?

a) 900b) 600c) 750d) 300e) 1 200

18.En un plano hay 10 puntos, cuntos segmentos se pueden determinar, que tengan como extremos a dichos puntos?

a) 45b) 90c) 20d) 5e) 50

19.Se tienen 15 puntos coplanarios, donde 3 o ms de ellos no son colineales. Cuntos tringulos se pueden determinar, que tengan como vrtices a dichos puntos?

a) 165b) 910c) 250d) 150e) 455

20.Un muchacho visita a su enamorada 3 veces a la semana. De cuantas maneras podr elegir dichos das de visita, si uno de esos das debe ser sbado?

a) 21b) 30c) 15d) 42e) 45

21.Un barco lleva 5 banderas de color diferente. Cuntas seales diferentes se podrn hacer, izando en un mstil, por lo menos 3 banderas?

a) 520b) 430c) 864 000d) 246e) 300

22.En el problema anterior, cuntas seales podrn hacerse, pudiendo izarse cualquier nmero de banderas?

a) 405b) 210c) 325d) 350e) 180

23.Con 10 marineros, cuntas tripulaciones de 4 marineros se pueden formar?

a) 180b) 210c) 220d) 420e) 270

24.En el problema anterior, si los marineros deben ocupar puestos determinados, de cuntas maneras se formar la tripulacin?

a) 2 500b) 240c) 5 400d) 5 040e) 1 800

25. Por cuntas rutas diferentes se puede ir de A a B?

a) 12b) 14c) 16d) 20e) 24

26.Del siguiente tablero, de cuntas maneras diferentes se puede escoger una casilla blanca y una casilla negra de tal manera que no estn en la misma horizontal ni vertical?

a) 24b) 120 c) 32d) 256e) 64