Regulador del depósito de combustible en Antonov An-225 Mriya modificado

Alumnos:

Antonio Gómez Guzmán NºB: 201137I001

Manuel de Jesús Vázquez Morales NºB: 2008301170

Jose Manuel Figueroa Hernández NºB: 2007300354

Eduardo Arcos Nonato NºB: 2008301109

Roosevelt Ballato Robledo NºB: 2006370256

Índice

Introducción…………………………………….Pag 3

Objetivo………………………………….…..…...Pag 4

Datos de los depósitos……………………..Pag 5

Esquema del Proyecto………………….…..Pag 6-7

Modelización del Proyecto………………..Pag 8-9

Estudio Matemático……………………….Pag 10-17

A)Lazo Abierto…………………………..Pag 10-13

B)Lazo Cerrado………………………….Pag 14-15

C)Estudio Transitorios……………….Pag 16-17

Bibliografía………………………………………..Pag 18

Introducción

Este proyecto trata el modelado matemático de sistemas de fluidos.

Los fluidos, ya sean líquidos o gases, son el medio más versátil para transmitir

señales y potencia por lo que tienen un amplio uso en la industria. Las principales

diferencias entre líquidos y gases son la falta de compresibilidad relativa y el hecho de

que un líquido pueda tener su superficie libre, mientras que un gas se expandirá para

llenar su recipiente.

En el campo de la ingeniería, el término neumático describe los sistemas de

fluidos que usan aire o gases. Los sistemas neumáticos se emplean frecuentemente en

la automatización de la maquinaria de producción y en el campo de los controladores

automáticos.

El término hidráulico describe a los sistemas que usan aceite. Son

especialmente utilizados en las maquinarias de las herramientas de sistemas, los

sistemas de control aéreos, etc.

Objetivo

En este proyecto se va a analizar el comportamiento de un sistema de nivel de

líquido con interacción de los depósitos de combustible de un avión Antonov An-225

Mriya. Para ello se partirá del esquema de un sistema con realimentación.

• Se considerará el sistema de lazo abierto (sin realimentación) y se pedirá,

haciendo uso de las ecuaciones de la mecánica de fluidos, obtener las ecuaciones

diferenciales que rigen el comportamiento del sistema. Estas ecuaciones deberán ser

linealizadas, para después obtener las ecuaciones de estado del sistema de lazo

abierto así como su función de transferencia.

• Después se considerará el sistema realimentado, del que se obtendrá el

diagrama de bloques, así como las ecuaciones de estado y la función de transferencia

del sistema

Llegados a este punto se pasará a trabajar con Matlab:

• Se analizará la evolución de los niveles de queroseno, caudales etc. durante

el llenado y vaciado de los depósitos a partir de diferentes condiciones iniciales.

Datos de los depósitos del Avión

MFW (Maximun Fuel Weight): 300 Toneladas

ρQueroseno=0.8gr

cm3 =0.8gr

cm3

1003cm3

m3

T10002 gr

=0.8Tm3

V= mρQueroseno

= 300 T

0.8T

m3

=375 m3

Por lo que, se tendrán 3 depósitos, uno en cada ala (150 m3 en cada una) y otro

en el estabilizador horizontal (75 m3).

Nota: Hay que aclarar que el MTOW (Maximun Take Off Weight) de este avión

es de 600 Toneladas, mientras que su OEW (Operation Empty Weight) es de300

Toneladas.

Como sabemos:

MTOW (Maximun TakeOff Weight )=OEW (Operation Empty Weight )+PL (Pay Load )+FW ( FuelWeight ) .

En este caso suponemos que PL (carga de pago) es nula, y que tenemos un

FW=MFW, es decir, el avión lleva sus depósitos llenos pero no lleva mercancías dentro

(es un caso extremo). Esta situación se da, y de hecho se ha dado, cuando este avión

ucraniano se rentó a los americanos, por lo que el avión se llevó de Ucrania a USA sin

carga pero con el máximo combustible en sus depósitos para poder llegar sin hacer

escalas, pues cuando este avión despega, se debe esperar como mínimo unos 15

minutos hasta que el próximo avión despega por los torbellinos generados por sus 6

motores.

Esquema del Proyecto

Se va a considerar el siguiente sistema formado por dos depósitos, en régimen

estacionario y con flujo turbulento (número de Reynolds grande):

Como vemos, el depósito primero (visto desde arriba) y el último son iguales, ya

que corresponde a las alas, por ello tienen igual área pero la altura puede ser

diferente, dependerá de la forma de llenado. Mientras que el segundo depósito es

diferente, pues corresponde al estabilizador horizontal, y por ello tiene otro área.

Lo mostrado anterior quedaría reflejado en lo siguiente:

Modelización del Proyecto

Como podemos observar, para los cálculos nos será indiferente el primer

depósito, pues el Caudal Qe es independiente de lo lleno que esté el primer depósito;

por estar regulado por la válvula. Mientras que los otros 2 caudales, sí dependerá la

altura del nivel del combustible en el depósito.

La finalidad del esto es que se quiere controlar la altura H1(t) del depósito

inferior, actuando sobre el caudal de entrada Qe(t) del depósito superior. Para ello se

dispone de un sensor de presión colocado en el fondo del depósito inferior, del que se

obtendrá una señal que se comparará con la de referencia (la altura hidrostática en

régimen estacionario vendrá impuesta por una señal de consigna u(t) ). La señal

resultante se lleva al regulador, que en este caso es de tipo integrador.

Datos:

Envergadura = 88.4m

Depósito 1: kg1=d Q0

d H 1

∨¿H 1=H 1=0.1

m2

s¿ ; A1=2m2; H 1=37.5m

Luego: V 1=2m237.5m=75 m3

Depósito 2: kg2=d Q2

d H 2

∨¿H 2=H 2=0.2

m2

s¿ ; A2=5 m2; H 2=30 m

Luego: V 2=5m2 30 m=150 m3

Será el depósito 0 el que no usaremos. Pero se tendrá en cuenta para las

condiciones iniciales en los ejemplos posteriores.

El área A1 y el área A2 corresponden a las áreas del perfil, mientras que las

alturas corresponden a las longitudes del semi-ala y estabilizador horizontal.

Estudio Matemático

A) Para el sistema de lazo abierto (sin tener en cuenta la realimentación):

A.1) Obtención de las ecuaciones diferenciales del sistema.

Dos ecuaciones saldrán de aplicar el principio de conservación de la masa a

cada depósito y las otras dos saldrán de considerar el flujo estacionario turbulento a

través de los tubos de descarga de los depósitos.

Solución:

Por el principio de conservación de la masa, de cada depósito obtendremos:

Qe (t )−Q2 (t )=A2 ·d H2 (t )

dtm3

s (1)

Q2 ( t )−Q0 ( t )=A1·d H 1 (t )

dtm3

s (2)

Considerando turbulento (Número de Reynolds grande) el flujo estacionario

a través de los tubos de descarga de los depósitos, de la mecánica de fluidos

obtenemos que:

Q2 (t )=k2 √H 2(t )m3

s (3)

Q0 ( t )=k1 √H 1(t )m3

s (4)

Las ecuaciones (1), (2), (3) y (4) forman un sistema de ecuaciones no lineales

de las que se podría obtener H1(t) en función de Qe(t).

A.2) Obtención de las ecuaciones linealizadas del sistema.

Llamaremos Q al caudal en régimen estacionario y H 1 , H 2 a las alturas de los

depósitos en dicho régimen. Si en un instante t=0 se produce un pequeño cambio en

el caudal de entrada, las variaciones del resto de caudales y de las alturas estarán

dadas por:

Qe (t )=Q+qe (t) (5)

Q2 ( t )=Q+q2(t ) (6)

Q0 ( t )=Q+q0(t) (7)

H 1 (t )=H 1+h1(t) (8)

H 2 (t )=H 2+h2(t) (9)

Al linealizar las ecuaciones (3) y (4) se obtiene:

Q2 ( t )=Q+d Q2

d H 2

∨¿H 2=H 2¿ ; ( H 2−H 2)=Q+kg2 · h2(t ) q2 ( t )=kg2· h2(t ) (10)

Q0 ( t )=Q+d Q0

d H 1

∨¿H 1=H 1¿ ; ( H 1−H 1)=Q+kg1 · h1(t) q0 ( t )=kg1 ·h1( t) (11)

, donde hemos renombrado las constantes d Q2

d H 2

∨¿H 2=H 2¿ y

d Q0

d H 1

∨¿H 1=H 1¿ como kg2

y kg1 y donde hemos tenido en cuenta las ecuaciones (6), (7), (8) y (9). Si hacemos

las derivadas anteriores resulta:

kg1=k 1

2√ H 1

m2

s kg2=

k 2

2√H 2

m2

s (12) y (13)

Finalmente vamos a sustituir las ecuaciones (5) a la (11) en las ecuaciones (1)

y (2):

qe (t )−q2 (t )=A2

d h2(t)dt

; qe ( t )−kg2h2 (t )=A2

d h2( t)dt

Luego: d h2(t)

dt+

kg2

A2

h2 (t )= 1A2

q2(t ) (14)

q2 (t )−q0 (t )=A1

d h1(t)dt

; kg2h2 ( t )−kg1h1 ( t )=A1

d h1( t)dt

Luego: d h1(t)

dt+

kg1

A1

h1 (t )−kg2

A1

h2 ( t )=0 (14)

A.3) Obtención de las ecuaciones de Estado tomando h1(t ) como variable de

estado x1, h2(t ) como variable de estado x2 y u(t ) como el caudal de entrada qe.

De las ecuaciones (14) y (15), tomando h1(t) como variable de estado para x1,

h2(t) como variable de estado para x2, y u(t) como el caudal de entrada qe, se obtiene:

( x1(t)x2(t))=(

−kg1

A1

kg2

A2

0−kg2

A2

)(x1(t)x2(t))+( 0

1A2

)u(t) (16)

y (t )=(1 0 )(x1( t)x2( t)) (17)

A.4) Obtención de la función de transferencia en lazo abierto.

Se aplicará la ecuación de Laplace a las ecuaciones (14) y (15) teniendo en

cuenta que se parte de régimen estacionario, es decir, condiciones iniciales nulas;

h1(0)=h2(0)=0.

(14) [ A2 s+kg2 ] H 2 (s )=Qe (s)

(15) [ A1 s+kg1 ] H 1 (s )=kg2 H 2(s)

H 1(s)Qe(s)

=kg2

( A1 s+kg1 )(A2 s+kg2)= 0.02

s2+0.09· s+0.002 (18)

B) Para el sistema en lazo cerrado (realimentado):

B.1) Obtención del diagrama de bloques.

En primer lugar se calcula el diagrama de bloques del sistema sin realimentar

a partir de las ecuaciones de estado (14) y (15):

Si a este diagrama le añadimos la realimentación y el regulador, se obtiene:

B.2) Obtención de la función de transferencia de lazo cerrado.

Se puede obtener por dos caminos distintos; operando en el diagrama de

bloques realimentado ó aplicando Laplace a las ecuaciones de estado del sistema

realimentado.

La salida de la función de transferencia en lazo cerrado es Y(s), que

físicamente coincide con la variación del nivel del agua respecto a un nivel medio, en

el depósito inferior. La entrada es simplemente la señal de referencia R(s).

M (s )=Y (s)R (s)

=G(s )

1+G(s)=

kg2

T i s ( A2 s+kg2 ) (A1 s+kg1)

1+kg2

T i s ( A2 s+kg2 )( A1 s+kg1)

Luego:

M (s )=kg2

T i A1 A2 s3+T i ( A2 kg1+A1 kg2 ) s2+T ikg1 kg2 s+kg2

(19)

C) Estudio de transitorios

C.1) Se quiere llenar el tanque inferior hasta una altura de 20 metros.

Suponiendo que inicialmente los tanques están vacíos (el 1 y 2, pero no el tanque 0).

Representamos la evolución del nivel de queroseno en los tanques en función

del tiempo para las constantes de integración Ti=1, 4 y 20 minutos.

Código Matlab

%Funcion de transferencia en lazo abiertokg1=0.1; A1=2; kg2=0.2; A2=5; %Estudio del llenado de tanques cuando inicialmente estan vaciost=0:1:600;r=20*ones(1,601); %Saca un vector fila todo de unosi=0;figure(1)disp('Respuesta a entrada escalon en 20m para Ti=1,4 y 20 minutos')for T3=[60,240,1200] i=i+1; Ac=[-kg1/A1 kg2/A1 0;0 -kg2/A2 1/(A2*T3);-1 0 0]; Bc=[0;0;1]; Cc=[1 0 0]; Dc=0; x0=[0 0 0]; [y,x]=lsim(Ac,Bc,Cc,Dc,r,t,x0); subplot(2,2,i) plot(t,x(:,1),t,x(:,2),'r'); pauseend

Resultados:

En la primera gráfica, Ti = 1 minuto, el sistema se hace inestable; para las dos

restantes, los dos niveles se estabilizan: h1 en 20 metros y h2 en 12 metros. La

diferencia entre estos dos casos está en que para Ti = 4 minutos, el tiempo de

respuesta del sistema es más largo, mientras que para el caso Ti = 20 minutos, este

tiempo de respuesta es menor; el régimen estacionario se alcanza antes.

Por lo tanto, para el primer caso tenemos que el fluido se comporta de una forma inestable, por lo tanto el ala vibraría, mientras que para los otros 2 casos se comporta de forma estable.

Bibliografía relacionada

-Ingeniería de Control Moderna. Katsuhico Ogata.

-Ayuda Matlab.

-Matlab for control engineers. Katsuhico Ogata.