Relacion entre derivada e integral
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La relación entre la Derivada y la Integral
La Integral como “antiderivada”
Francisco MartínezPuebla, MX
Qué es la derivada• Podemos definir la derivada como la pendiente
de la recta TANGENTE a la gráfica de f(x) en un punto de su dominio (f debe ser continua).
• Pero antes de trabajar con la tangente, comenzaremos con una recta SECANTE, cuya pendiente se calcula con la expresión:
…tomemos como ejemplo la gráfica de f(x)=0.5x2:x
xfxfxxyy
xy
m
)()( 12
12
12
f(x)=0.5x2
Elegimos como primer punto:x1=1, y1=f(x1)=0.5y como segundo punto:x2=3 , y2=f(x2)=4.5
2135.05.4)()( 12
mx
xfxfm
Estos dos puntos se unen con una recta SECANTE, cuya pendiente es:
Veamos lo que sucede si acercamos los puntos…
m=2
f(x)=0.5x2
El primer punto sigue siendo:x1=1, y1=f(x1)=0.5Y ahora el segundo punto es:x2=2, y2=f(x2)=2
5.115.02)()( 12
mx
xfxfm
Acerquemos los puntos aún más…
Nuevamente se unen con una SECANTE, cuya pendiente es:
m=1
.5
f(x)=0.5x2
Para ver mejor los puntosx1=1, y1=f(x1)=0.5x2=1.5 , y2=f(x2)=1.125necesitamos acercarnos un poco a la gráfica…
25.15.
5.0125.1)()( 12
mx
xfxfm
Nuevamente se unen con una SECANTE, cuya pendiente es:
Los puntos se acercan cada vez más…
m=1.25
f(x)=0.5x2
Cuando la distancia horizontal entre los puntos es de 0.1:x1=1, y1=f(x1)=0.5el segundo punto es:x2=1.1 , y2=f(x2)=0.605
05.11.05.0605.0)()( 12
mx
xfxfm
Calculamos igual la pendiente de la SECANTE:
Conforme acerquemos los puntos más y más, se observa que la pendiente entre ellos se acerca a cierto valor…
m=1.05
f(x)=0.5x2
Si los puntos se acercan mucho entre sí, decimos que la distancia entre ellos es mínima; es decir, “tiende a cero”….
1
)()(lim 12
0
mx
xfxfm
x
Para calcular la pendiente de la recta que pasa por estos puntos utilizamos el concepto de límite:
…y ésta es la pendiente de la recta TANGENTE en (1, 0.5)
m=1
f(x)=0.5x2
m=1 En general, la derivada de una función se define:
xxfxxf
xfx
)()(lim)('
0
(si el límite existe)La derivada de f(x)=0.5x2 es:
xxxx
xfx
22
0
5.0)(5.0lim)('
Nota: aunque este es el procedimiento completo, en la práctica se usan reglas de derivación
xxxxxx
x
222
0
5.05.05.0lim
xxxx
xfx
2
0
5.0lim)('
xxxx
x
)5.0(lim
0)(lim
0xx
x
x
Origen de la integral• Mientras la derivada surge de la necesidad de
estimar el cambio “instantáneo”, la integral surge de la necesidad de calcular áreas.
• Calcular geométricamente el área bajo la gráfica de una función (continua y no negativa) se dificulta por las curvas:
Origen de la integral• Para hallar el área de una región complicada
podemos dividirla en regiones más pequeñas.• Dividimos el intervalo [a,b] en n-intervalos, y
calculamos n-áreas individuales. Al sumarlas encontraremos el área total:
nitotal AAAAAA ......321
n
iitotal AA
1
Origen de la integral• Como cada porción tiene su propia curva, en
vez de calcular sus áreas, las delimitamos entre un valor mínimo y un valor máximo:
< <
Origen de la integral• Y esta delimitación se conserva en los totales:
< <Es decir, aunque no sabemos cuál es el valor del área,
podemos delimitarla entre dos valores:
n
iii
n
ii
n
iii xMAxm
111
Origen de la integral• Una aproximación interesante es la suma de
Riemann, donde se elige un punto arbitrario de cada intervalo, y también cumple:
< <
Origen de la integral• Si lo aplicamos a cada intervalo:
< <Es decir, esta suma de Riemann se acerca aún más al valor del área:
n
iii
n
iii
n
iii xMxxfxm
111
*)(
Origen de la integral• Finalmente, la SUMA de todas las áreas Ai* se
acercará lo suficiente al área real bajo la gráfica si dividimos el intervalo [a,b] en una cantidad infinita de sub-intervalos:
n
iii
b
a
xxfn
dxxf1
*)(lim
)(
• A esta área la llamamos “integral definida”, y la forma de S alargada hace referencia a la suma de todas las áreas de a a b, también llamados limite inferior y superior de integración
Propiedad aditiva de la integral• Podemos dividir la región total en 2 que se
calculen individualmente:
b
a
dxxf )( b
c
c
a
dxxfdxxf )()(
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
La integral como antiderivada• Si f está definida en el intervalo [a,b], es
posible calcular el área desde a hasta un valor x en [a,b]. El área bajo la gráfica es una función -que llamaremos F(x)- que depende del lugar donde ubiquemos a x:
F(x) x
a
dttfxF )()(
Si cambia la posición de x, también cambiará F(x)
La integral como antiderivada• Para demostrar que F’(x)=f(x), o que F(x) es
una antiderivada de f(x), calculamos el área limitada por x a la izquierda y por x+h a la derecha. Aplicamos la propiedad aditiva de la integral para definir el área desde x hasta x+h:
x
a
hx
a
hx
x
dttfdttfdttfA )()()(
)()()( xFhxFdttfAhx
x
La integral como antiderivada• A pesar de su forma, también se encontrará
entre un área mínima y un área máxima:
< <
Mhdttfmhhx
x
)(
A
La integral como antiderivada…sustituimos la integral por su equivalente en F:
Mhdttfmhhx
x
)(
MhxFhxFmh )()(
… y dividimos entre h:
Mh
xFhxFm )()(
Igual que en la derivada… ¿qué sucede si h se vuelve cada vez más pequeña?
Area del rectángulo
“chico”
Area del rectángulo “grande”
No es coincidencia que se parezca a la
fórmula de la derivada
La integral como antiderivada• Conforme reducimos h (la base de la figura) el
máximo (M) y el mínimo (m) se acercan cada vez más a f(x):
La integral como antiderivada• Cuando h se vuelve infinitamente pequeño el
máximo (M) y el mínimo (m) se acercan cada vez más al valor de f(x):
Mh
xFhxFm )()(
)(0
limxfm
h
)(
0
limxfM
h
)()()(
0
limxf
hxFhxF
h
…y entonces:
La integral como antiderivada• Analicemos esta última expresión:
)()()(
0
lim)(' xf
hxFhxF
hxF
Se puede observar que la derivada de F(x) es f(x). Recordemos que F(x) es la integral de f(x):
F(x)
x
a
dttfxF )()(
osea, la integral de f(x) es, además, su antiderivada.