Ejercicios de Calculo Integracion multipleFundamentos Matematicos de la Arquitectura

1. Calcular el area de la region limitada por las graficas de las ecuaciones dadas:

a)√x+√y = 2, x = 0, y = 0. Solucion: 8/3.

b) 2x− 3y = 0, x+ y = 5, y = 0. Solucion: 5.

c)x2

a2+y2

b2= 1. Solucion: πab.

2. En cada caso, calcular la integral y dibujar la region R correspondiente:

a)

∫ 2

0

∫ 1

0

(1 + 2x+ 2y) dy dx. Solucion: 8.

b)

∫ 6

0

∫ 3

y/2

(x+ y) dx dy. Solucion: 36.

c)

∫ a

−a

∫ √a2−x2

−√a2−x2

(x+ y) dy dx. Solucion: 0.

3. Calculese la integral sobre R de la funcion f(x, y):

a) f(x, y) = xy, R: rectangulo de vertices (0, 0), (0, 5), (3, 5) y (3, 0). Solucion: 225/4.

b) f(x, y) =y

x2 + y2, R: triangulo limitado por y = x, y = 2x y x = 2. Solucion: ln(5/2).

c) f(x, y) = x, R: sector de cırculo en el primer cuadrante limitado por y =√

25− x2,3x− 4y = 0 e y = 0. Solucion: 25.

4. Hallar el volumen del solido limitado por las graficas de las ecuaciones:

a) z = xy, z = 0, y = x y x = 1 (primer octante). Solucion: 1/8.

b) z = 0, z = x2, x = 0, x = 2, y = 0 e y = 4. Solucion: 32/3.

c) x2 + z2 = 1 e y2 + z2 = 1 (primer octante). Solucion: 2/3.

d) z = x+ y y x2 + y2 = 4 (primer octante). Solucion: 16/3.

5. Calculese la integral que se indica y dibujese la region R correspondiente:

a)

∫ 2π

0

∫ 6

0

3r2 sen(θ) dr dθ. Solucion: 0.

b)

∫ π/2

0

∫ 3

2

√9− r2 r dr dθ. Solucion: 5

√5π/6.

c)

∫ π/2

0

∫ 1+sin(θ)

0

θ dr dθ. Solucion: 1 + π2/8.

6. Usar una integral doble en coordenadas polares para hallar el volumen del solido limitado por lagrafica de las ecuaciones:

a) z =√x2 + y2, z = 0 y x2 + y2 = 25. Solucion: 250π/3.

b) z = xy y x2 + y2 = 1 (primer octante). Solucion: 1/8.

7. Hallese a de forma que el volumen dentro del hemisferio z =√

16− x2 − y2 y fuera del cilindro

x2 + y2 = a2 sea la mitad del volumen del hemisferio. Solucion: a = 2√

4− 24/3.

8. Hacer el cambio de variables indicado para calcular la integral doble:

a)

∫∫

R

48xy dx dy, x = 12 (u+ v), y = 1

2 (u− v), R: rectangulo de vertices (0, 0), (1,−1), (2, 0) y

(1, 1). Solucion: 0.

b)

∫∫

R

4(x + y)ex−y dy dx, x = 12 (u + v), y = 1

2 (u − v), R: triangulo de vertices (0, 0), (1, 1) y

(−1, 1). Solucion: 2(1− e−2).

c)

∫∫

R

√x2 + y2 dy dx, x = u, y = uv, R: triangulo de vertices (0, 0), (4, 0) y (4, 4). Solucion:

323 [√

2 + ln(√

2 + 1)].

9. Hacer un cambio de variables para hallar el volumen de la region solida situada por debajo de lasuperficie z = f(x, y) y por encima de la region plana R:

a) f(x, y) = (x+y)ex−y, R: cuadrado de vertices (4, 0), (6, 2), (4, 4) y (2, 2). Solucion: 12(e4−1).

b) f(x, y) =√

(x− y)(x+ 4y), R: paralelogramo de vertices (0, 0), (1, 1), (5, 0) y (4,−1). Solu-cion: 100/9.

c) f(x, y) =√x+ y, R: triangulo de vertices (0, 0), (a, 0) y (0, a), donde a ≥ 0. Solucion: 2

5a5/2.

10. Calculese el area de la superficie dada por z = f(x, y) sobre la region R:

a) f(x, y) = 8 + 2x+ 2y, R = {(x, y) : x2 + y2 ≤ 4}. Solucion: 12π.

b) f(x, y) = 9 − x2, R: cuadrado de vertices (0, 0, 0), (3, 0, 0), (0, 3, 0) y (3, 3, 0). Solucion:34 [6√

37 + ln(√

37 + 6)].

c) f(x, y) = 2y+x2, R: triangulo de vertices (0, 0, 0), (1, 0, 0) y (1, 1, 0). Solucion: (27−5√

5)/12.

d) f(x, y) = 2 + x3/2, R: cuadrangulo de vertices (0, 0, 0), (0, 4, 0), (3, 4, 0) y (3, 0, 0). Solucion:427 (31

√31− 8).

e) f(x, y) =√a2 − x2 − y2, R = {(x, y) : x2 + y2 ≤ b2, b < a}. Solucion: 2πa(a−

√a2 − b2).

11. Usar una integral triple para hallar el volumen del solido limitado por las graficas de las ecuacionesdadas:

a) x = 4− y2, z = 0, z = x. Solucion: 256/15.

b) x2 + y2 + z2 = r2. Solucion: 4πr3/3.

c) z = 4− x2, y = 4− x2 (primer octante). Solucion: 256/15.

12. Hallar el volumen de la region solida cortada de la esfera x2+y2+z2 = 4 por el cilindro x2+y2 = 2y,usando coordenadas cilındricas. Solucion: 16

9 (3π − 4).

13. Hallar el volumen de la region solida limitada inferiormente por el interior de la hoja superior delcono z2 = x2 + y2 y superiormente por la esfera x2 + y2 + z2 = 9, usando coordenadas esfericas.Solucion: 9π(2−

√2).