Relatividad

Prof. Beltrán Velásquez- La Relatividad

1

APRENDIZAJE-ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS

ULA-MERIDA-VENEZUELA

LA RELATIVIDAD

Autor: Beltrán Velásquez


2

INTRODUCCION La relatividad fue desarrollada a principios del siglo XX. Esta teoría fue introducida para tratar de explicar ciertas anomalías en el concepto del movimiento relativo. Fue desarrollada por Albert Einstein y fue la base para que los físicos demostraran la unidad esencial de la materia, y la energía, el espacio y el tiempo y la equivalencia entre las fuerzas gravitacionales y los efectos de aceleración de un sistema. Antes del desarrollo de la teoría de la relatividad los científicos se basaban en el principio de la mecánica clásica anunciados por el físico británico Isaac Newton. La mecánica de Newton era un caso particular de la teoría de la relatividad de Einstein. Ambas teorías coinciden para el comportamiento de cuerpos que se muevan a bajas velocidades, pero por lógica matemática se toma la matemática de la mecánica clásica por ser más sencilla. Pero a altas velocidades la teoría clásica no responde el estado de movimiento de los cuerpos, pero la teoría relativista encaja correctamente en este caso. Hay un límite o frontera entre la clásica y la relativista. Y este límite viene determinado por el factor de Lorentz. Factor introducido por Antón Lorentz y George Fitzgerald a finales del siglo XIX. Este factor dependerá de la velocidad del objeto en estudio. A medida que se desarrolle el tema demostraremos la expresión del factor de Lorentz. Hasta 1887 la física clásoca era totalmente sólida. En ese mismo año el físico Albert Michelson y el químico Eduard Morley llevaron a cabo el famoso experimento Michelson-Morley ¿Cuál era el motivo del experimento de Michelson-Morley? Pretendian detectar una diferencia entre la velocidad de la luz a través del espacio en dos direcciones distintas. El experimento de Michelson-Morley no logro detectar esa diferencia indicando que la velocidad de la luz era la misma en todas las direcciones.

En la década de 1890 Fitzgerald y Lorente plantearon la hipótesis de que, cuando cualquier objeto avanza a través del espacio su longitud en la dirección del movimiento se contrae, y que el tiempo se dilataba si su velocidad era bastante grande.


3

INVARIANZA GALILEANA Esta invariancia se refiere a que las leyes fundamentales de la física son las mismas en todos los sistemas de referencia inerciales ¿Qué es un sistema de referencia inercial? Posteriormente daremos su definición. Invariancia sugiere que las longitudes y los tiempos no son afectados por el cambio de velocidad. TRANSFORMACION DE GALILEO Si tenemos un sistema en reposo “A” y otro en movimiento “B” (velocidad constante al primero ç) y tenemos que las coordenadas del son (x,y,z) y las de B son (x’,y’,z’) podemos decir que:

ttzzyy

vtxx

''''

Que son las transformadas de Galileo. RELATIVIDAD ESPECIAL Esta teoría fue publicada por Albert Einstein en 1905 y se refiere al movimiento de cuerpos en sistemas inerciales. ¿Qué es un sistema inercial? Decimos que un sistema es inercial si para un conjunto de partículas se cumple que la suma de los movimientos lineales es constante.

teconsP tan__

El trabajo de Einstein comenzó con un acertijo por ejemplo, un cuerpo que emite luz hacia delante y hacia atrás y con velocidad v. nos preguntamos ¿Cuál de las dos haces de luces se mueve con mayor velocidad en relación al suelo? Según la mecánica de Newton el Haz delantero tendrá mayor velocidad. Debido al fracaso de Michelson-Morley y a la teoría de Einstein los dos rayos se mueven a la misma velocidad. Entonces ¿Qué dice la teoría de la relatividad especial? Esta toma la hipótesis de que la velocidad de la luz es una invariante en cualquier sistema de referencia. Einstein introduce la métrica de minsicosway es decir que la coordenada del tiempo se debe tratar simplemente como una coordenada mas del espacio. Las consecuencias de la teoría de la relatividad especial son interesantísimas como por ejemplo:


4

La contracción de Lorentz: Una distancia medida en tierra no es igual a una distancia medida desde un móvil.

Es decir el cuerpo se contrae, se hace más pequeño. La dilatación del tiempo: Un intervalo de tiempo medido en tierra no es igual al mismo

intervalo medido desde un móvil.

Es decir el tiempo se dilata.

La equivalencia entre la masa y la energía: La masa puede convertirse en otras fuentes de energía; (por ejemplo; ondas de luz). Y al contrario de aquí sale la famosa formula de Einstein

2MCE

Donde C es la velocidad de la luz. SISTEMAS DE REFERENCIAS EN TRANSLACION Podemos realizar la posición de una partícula y la equiticamos o identificamos con 3 coordenadas, por lo cual asumimos que el espacio es tridimensional. El concepto de espacio tridimensional ya era conocido por los griegos. Y el espacio en una dimensión o unidimensional puede ser representado por la recta real y asignarle un origen donde podemos medir la distancia y podemos elegir cualquier punto. Supongamos la recta real y sobre ella los puntos P y Q.

Entonces podemos decir que la distancia entre PQ es:

12 XXdpq

Consideremos ahora otro eje x’ encima del eje x. Pero con los orígenes separados a una distancia a:

P Q

X1 X20

P Q

X1 X20


5

Como podemos ver:

''''

''''

''

''

''

qdpdpqasixqpxxqxp

xqaxpaxqxpxqapxaxqxpahora

xqaxqqxaxqasi

xpapxpxaxpo

xaxasixax

''qdpdpqasi

Es decir que la distancia es una invariante bajo esta transformación. Podemos observar que las coordenadas cambian pero las distancias no. Ahora consideremos el cado de dos dimensiones completamente homogéneas. Es decir podemos elegir un punto como origen así:

0’ P Q X’

0 a

X’

X

0’X

0’ P Q X’

0 a

X’

X

0’X

Xp Xq X

Yq

Yp

Y

P

Q

Xp Xq X

Yq

Yp

Y

P

Q


6

Supongamos que tenemos dos puntos P y Q, donde

222 yxsAsiYxYqyXpXqx

Ahora supongamos que tenemos otro sistema de coordenada x’ y y’

''

''''

yyxxAsi

byybyyayxaxxpAsi

Por lo tanto 222222 ''' syxyxs Como podemos ver la distancia entre dos puntos vistos de sistemas de referencias diferentes, pero en reposo uno al otro, es invariante. SISTEMA DE REFERENCIA EN ROTACION Ahora queremos observar que ocurre en los sistemas donde no hay traslación, sino rotación o para este caso ambos orígenes coinciden o es decir podemos afirmar que:

DyCxYByAxX

''

ab

P

Q

Xq Xp X

X’q X’p X’

Y Y’

ab

P

Q

Xq Xp X

X’q X’p X’

Y Y’


7

Incrementado:

yDxCYyBxAX

''

Según Galileo:

yxCDAByDCxBAsyDyxCDxCyByxABxAs

yDxCyBxAyxs

yxsyxs

ss

2'22'

'''

''''

2222222

222222222

22222

222

222

22

Para que se cumpla lo anterior tenemos que:

CosDSenC

SenBCosA

CDAB

CDABDCBA

02211

22

22

Asi:

YCosXSenYYSenXCosX

''

Desarrollando:

YCosXSenYYSenXCosX

''


8

22

2222222

22222222222

2222

'

'22'''

''

ssSenCosySenCosxs

SenyCosxSenxCosySenyCosxSenyCosxyxsYCosXSenYSenXCosXY

Por lo tanto s es decir es una invariante en esta transformación el sistema anterior representa una rotación alrededor del eje Z.

Sabemos que un vector se puede representar por las coordenadas de un punto, es decir las coordenadas eran proporcionales a las componentes vectoriales. En consecuencia, siempre que cualquier par de cantidades (Ax,Ay) en el sistema de coordenadas xy se transforman en (Ax’,Ay’) debido a esta rotación del sistema coordenado son:

AyCosAxSenAyAySenAxCosAx

''

Definimos Ax y Ay ç, como los componentes del vector __

0A nuestro vector queda definido ahora en términos de la transformación de sus componentes bajo la rotación del sistema coordenado. Si Ax y Ay se transforma en el mismo modo que X y Y. Los componentes del vector desplazamiento bidimensional son componentes del vector ___

A . Si Ax y Ay no muestran este comportamiento cuando se hace girar las coordenadas, no forman un vector. Ejemplo1: Dado un par de cantidades (-y,x), demuestre que son las componentes de un vector bidimensional. Solución: Esto va a depender de sus propiedades de transformación. Sabemos que

xVyyyVxSiVyCosVxSenVy

VySenVxCosVx

''

Xp

X’p

P

Y’p

Y

x

Y’

X’

Xp

X’p

P

Y’p

Y

x

Y’

X’


9

2222

2222222

222222222

22222

''

22''''

'''

''

syxsCosSenyCosSenxs

CosxCosySenxSenyCosyCosySenxSenxsyCosySenxSenyCosxys

xCosySenxxSenyCosyAsi

xVxyVysiPero

xCosySenVxxSenyCosVy

22' ss

Entonces xjyiV ___

Si es un vector en dos dimensiones

Ejemplo: Verifique si yxV ,___

es un vector Sabemos que:

VyCosVxSenVyVySenVxCosVx

''

Así

YCosXSenYYSenXCosX

'

'

22222222

22222222222

22222

'22'''

'''

sSenCosySenCosxsCosyCosxSenySenxSenyCosySenxCosxyxs

yCosxSenySenxCosyxs

No es un espacio vectorial


10

NOTACIÓN VECTORIAL Es importante representar la invariada s en forma vectorial, es decir, sabemos que:

22222 ''' yxyxss

Recuerde que: yjxir __

Así yjxir ___

Por lo tanto 22______

. yxrr

Concluyendo que ______

2 . rrs Como se describe que tenemos un sistema cartesiano xy

yy

xx

Donde es un parámetro no necesariamente el tiempo

Sabemos que 2222 yxsyxs La longitud la podemos definir como: sL

Recuerde que ddxdyyd

dxdxx

Así la longitud L la podemos transformar en una integral

2

22

2

ddxdyd

dxdxL

X

Y

Ls

X

Y

Ls


11

ddxdy

dxdxL

2

1

22

Ahora recuerde yjxi

drd

yjxir

__

___

ngente vector tael Es___

___

___

yjxir

yjxir

yjxir

dL

asiyx

queyyjxi

______

22______

___

.

.

Siguiendo con las rotaciones tenemos que si estamos en tres dimensiones y queremos determinar las ecuaciones de transformación alrededor del eje a)z, b)x, c)Y

a) eje Z

zyx

CosSenSenCos

zyx

10000

'''

z

Y’

y

p

X’

x

___

r

z

Y’

y

p

X’

x

___

r


12

b) Eje X

zyx

CosSenSenCos

zyx

00

001

'''

c) Eje Y

zyx

CosSen

SenCos

zyx

0010

0

'''

Las rotaciones no son conmutativas sin embargo las traslaciones si. Si queremos generalizar esto en cuanto a dimensiones espacial (x,y,z,w). Tenemos seis posibles transformaciones

zwywyzxwxzxy

El generador de una transformación es una matriz anti -simétrica Por ejemplo:

yCosxSenyySenxCosx

''

z

Y’

y

x

Z’

z

Y’

y

x

Z’

z

y

x

Z’

X’

Z’

z

y

x

Z’

X’

Z’


13

yx

CosSenSenCos

yx

''

Observe que

MAICos

SenSen

CosCosSenSenCos

00

1001

M.A. Matriz Anti -simétrica El grupo de invariancia del espacio de Euclides son las rotaciones y las traslaciones y eso es la

razón de que el espacio de Euclides es homogéneo e isotopito. LA IMPORTANCIA DE REPRESENTAR LAS LEYES DE NEWTON EN FORMA VECOTRIAL

Sabemos que ______

amF

dtxd

tx

tLimxv

_____

0

En general podemos decir que:

dtdz

dtdy

dtdxv ,,

___

Así

______

vmdtdF

Si la masa no es constante en el tiempo, la masa no se puede sacar y nos dará:

dtdmv

dtvdmF

____

___

También podemos escribir la ecuación anterior como:

:__

2

__2

dtvdmF


14

¿QUE SIGNIFICA QUE ___

F Y ___

V SEAN VECTORES?

Cuando hablamos de un vector se habla de una transformación ____

VyF son vectores. Y por lo tanto estamos hablando de las rotaciones y podemos rotular como queremos el sistema queda invariable. Es decir la ecuación de movimiento es la misma. Si la ecuación de movimiento está escrita en forma vectorial entonces la podemos escribir en cualquier sistema de referencia. MOVIMIENTO DE UN SISTEMA RESPECTO A OTRO Si tenemos dos sistemas como indica la figura

Observamos que:

vtxxvtxx

vtdtdvdxx

''

'

Así que: tvxx ' y como 'tt para estos casos

vtx

tx

''

VV ' Donde Ctte

dtdya ' Entonces

'aa La aceleración no cambia

d

x’ x

d

x’ x


15

DERIVACION DE LAS TRANSFORMADAS DE LORENTZ EN EL ESPACIO TIEMPO Para poder trabajar mejor con las ecuaciones de la teoría de la relatividad especial, Minkowki asigno a todo evento una cuarta dimensión perpendicular a la otras tres y de componente imaginaria cuyo valor sería ict siendo i la componente imaginaria. Así tendríamos un incremento de espacio-tiempo s entre dos sucesos será tal que:

2222 wzyxs

Donde ticw Así

22222 tczyxs Ya que 12 i Este sistema tiene cuatro ejes de coordenadas tipo cartesiano en el que podemos aplicar el teorema de Pitágoras. Si cambiamos de sistemas de referencias tendremos 22222 ''''' tczyxs que hace ser igual a la anterior 2s , pues la longitud de un vector es igual para todo sistema de referencia. Para que los cálculos sean más sencillos eliminemos las coordenadas Y y Z así

22222 '' tcxtcxs Si

DxtcxBxAtt

'''

Entonces

xDtcx

xBtAt

'''

Para este tratamiento suponemos que la velocidad de la luz c es uno (c=1). Entonces:

ABCDxtBDxACtsxtBAxBtAxtDCxDtCsxtBAxBtAxtDCxDtCs

xBtAxDtCs

txs

22'

22'22'

'

'''

2222222

222222222

222222222

222

222


16

Y para que ''2 ss Tenemos que

0

11

22

22

ABCDBDAC

Esto se cumple si:

CoshBSenhASenhDCoshC

122 SenhCosh Así se cumple que

xSenhtCoshtDxCtt

xCoshtSenhxBxAtx

''''

Observando

tCoshxSenht

tSenhxCoshx

''

Si queremos hallar x y t simplemente se coloca - donde hay

CoshtSenhxtSenhtCoshxx

''''

Prácticamente son sistemas rotados en el sistema espacio-temporal ¿Qué pasará si x’=0? Nos queda que

CoshttSenhtx

''

Si dividimos

Tghtx


17

Donde si incrementamos

Tghtx

tTghx

Recuerde que

Tghtxv

V es la velocidad vista en el sistema espacio temporal x,t. Así

CoshSenhV

Y que

22

22

11

SenhCoshSenhCosh

De lo anterior VCoshSenh Así

2

22

22

222

222

11

11

111

1

VCosh

VCosh

VCoshCoshVCosh

CoshVCosh

Cálculo del Senh De la ecuación

122 SenhCosh Tenemos:


18

22

2

22

2

22

111

111

11

1

Senh

Senh

Senh

21

Senh

Así podemos afirmar que:

2

2

22

1'

1'

11'

''

xtt

txx

txx

tSenhxxCoshxDxCtx

Y tenemos:

2

2

1''

1''

xtt

txx

Estas son las transformadas de Lorentz Recuerde que V es la velocidad del objeto que se mueve en el sistema x,t. Si queremos hallar la velocidad con que se mueve el sistema primado respecto al no primado. Tenemos:

2

2

1'

1'

vxvtt

vtvxx

xvttvx

vxvt

vtvx

tx

2

2

1

1''


19

VV

VV

tx

1,

1''

Ejemplo: Supongamos que el objeto que se mueve es un foton, es lógico que su velocidad es c. ¿Cómo es la velocidad vista en el sistema primado Sol: Recuerda que el sistema no primado esta en reposo y el primado se mueve a velocidad V

Así VV

1'

Observe que el denominador tiene que ser adimensional, entonces

21CVV

Así C Entonces

CC

VCVCCVVC

'

'

1'

Es la misma velocidad, esto es debido a la constancia de la velocidad de la luz LA INERCIA DE LA ENERGIA La energía posee inercia, por la que ambas son directamente proporcionales. Respecto a la energía, esta es equivalente a un trabajo dado por la siguiente relación

____

. sFE

Donde ats entonces podemos relacionar la energía con el impulso at

Recuerde que tFE __

Así tE __

Por lo tanto la relación entre la inercia y la energía es:


20

tEmkE

Pero también

dmmdde

dmmdde

22

2

Como kdmde

mo

kv

mom

vkkmom

kmoConstvk

Constm

vkConstLnmLn

ConstLnvkLnmLn

vkvd

vkvd

mdm

vdmdmvk

dmvvdmkdm

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

22

1

1

21

21

21

21

2

La velocidad v no puede pasar del valor kc porque cuando lo alcanza entonces v2 es igual a k y se hace infinito. Así pues, c2 el valor máximo de v puede alcanzar así

2

2

1cv

mom

Hemos visto que inercia, la energía es proporcional a esta. Teniendo en cuenta en la mecánica de Newton, resulta que la velocidad de ningún cuerpo, ni la de la misma energía, puede sobrepasar el valor límite c.


21

En consecuencia, toda interacción actúa con efecto retardado, lo que da lugar al acortamiento de los cuerpos en movimiento de traslación. Incluyendo a los patrones de medida como por ejemplo las varas métricas. Por otro lado, el aumento de inercia, debido al aumento de velocidad absoluta. Hace disminuir el ritmo propio de los relojes y de cualquier proceso en el tiempo.

Es compresible entonces, que dos equipos instrumentales s y s’ no obtengan iguales resultaos en las mediciones que realicen sobre su mismo objeto, si entre ellos existe diferencia de velocidades.

Lo que para uno ocurra en el lugar de coordenadas x,y,z en el momento t, para el otro tiene las

coordenadas x’,y’,z’,t’, según indican sus respectivas metas y relojes. Una misma fase S de cualquier proceso tendrá las coordenadas x,y,z,t en un equipo y las x’,y’,z’,t’ en el otro.

S(x,y,z,t) respectivamente S’(x’,y’,z’,t’)

Si las fases sobre una variación ds por ejemplo, si una rueda gira ¼ de vueltas los 2 sistemas registraran el mismo valor numérico de ds, es decir ¼ de vueltas. El valor de la diferencia de fase de cualquier es un escalar invariante, porque no depende del sistema de referencia desde el cual se observa, ni de las peculiaridades de este. Lo que si cambia desde luego, son las coordenadas en las que cada equipo sitúa al invariante según las indicaciones de ese instrumento de medida. Si para simplificar nos limitamos a una sola coordenada. Espacial, la expresión matemática del invariante en los sistemas

dttsdx

xsds

Y, respectivamente

'''

dttsdx

xsds

Como ds puede ser de signo positivo o negativo, lo elevamos al cuadrado para obtener siempre un valor positivo en ambos sistemas, y obtenemos las dos expresiones

22

22

2 2 dtts

ts

xsdx

xsds

22

22

2 ''''

2''

dtts

ts

xsdx

xsds

Si no fijamos bien, vemos que no solo es invariante 2ds si no también la forma de su relación con las coordenadas de cada sistema. Esta relación representa, pues una ley invariante para todos los sistemas, porque es una ley matemática y puede considerarse por ello una ley general de la naturaleza. En forma abreviada


22

222 GttdtGxtdxdtGxxdxds Al analizar ambos lados de la ecuación, vemos que la dimensión del lado izquierdo es temporal, porque ds también se llama tiempo propio, y la fase o suceso que transcurre en el tiempo. En cambio, en el lado derecho aparece además de la variable cronométrica t, la espacial x. Pues bien, como toda igualdad tiene que ser homogénea en las dimensiones, deducimos que Gxx debe contener el factor 1/c2 y Gxt el factor 1/c, para que todos los términos queden con la dimensión del tiempo.

22

22 Gttdtdt

cdxGtx

cdxGxxds

Esto se llama forma cuadrática invariante Gij se les llama tensor covariante. Bien volviendo a nuestra ecuación, aventuraremos la suposición de que el proceso observado transcurre a igual ritmo en cualquier lugar y en cualquier momento, es decir que ds no depende del signo impuesto por lo tanto por simetría del espacio el termino gtx debe desaparecer así:

22

22

22

22

''' Gttdtc

dxGxxds

GttdtcdxGxxds

En este caso los términos Gxx=Gx’x’=-1 y Gtt=1. Y nos quedarían las expresiones

2

222

22

22

cdxdtds

dtcdvds

Así

2

2

2

222

22

222

1

1

1

cdtds

cdtds

dtcdxdtds

O simplemente

2

2

1c

dtds

Aquí se confirma que se anula cuando 1 c .


23

Vemos que en la teoría de Einstein la funcionalidad es la invariancia de la luz. En la deducción de las ecuaciones de transformación de Lorentz, observamos que lo invariante fue que

22 'ss Para cualquier sistema de referencia inercial. Es decir un diferencial de espacio-tiempo medirá lo mismo para todos los sistemas de referencia inercial. COMPROBANDO QUE 22' dsds PARA LAS TRANSFORMADAS DE LORENTZ Vamos a realizar un ejemplo numérico en vez con ecuaciones Supongamos un evento A situado a 0,6 años luz de nosotros (sistema en reposo o inercial). Y a un año de distancia temporal (por ejemplo la explosión de un cometa). En este caso vamos a eliminar las coordenadas “Y” y “Z” usando solo las x espacial y w temporal. Así tendremos que X=0,6 años luz y w=ict=i(año luz imaginario). ¿Quién es ds? ds será la distancia espacio – temporal entre nuestro instante actual. (origen de coordenadas) (0,0) y dicho evento A cuyas coordenadas es A(0,6:i). Así 64.0136,06,0 22 ids La hipotenusa es mas corta que uno de los catetos e imaginario. Ahora supongamos que tomamos de referencia una nave que paso al lado de nosotros en dirección a dicho evento. A velocidad v=0.7c en el instante (0,0). Aplicando la transformada de Lorentz. Tenemos que: Llamemos

71414,0

7,0112/122/12

KvK

Sabemos que


24

Añost

t

t

Kvxctt

luzAñosXK

vtXX

81,0'719,0

92,01'

719,06,0.7,01'

'

14.0'719,0

7,06,0'

Así en coordenadas el evento para la nave espacial es E(0,14 ; 0,81) Y así

64,0636,0'

6561,00196,081,014,0'2

222

dsids

Así que 22 'dsds Recuerde que

22222 dzdydxdtds Así

zzyyvvtxx

vvxtt

''1

'

1'

2

2

En forma matricial tenemos:

z

y

x

t

vvvx

yvx

y

z

y

x

t

0000

0000

001

11

0011

1

'

'

'

'

22

22


25

EL ESPACIO TIEMPO DE MINKOWSKI El espacio cuadridimensional fue introducido por Minkowski inspirado en las ideas de Poncairé. Aparece así el mundo de los cuadrivectores, siendo un cuadrivector de un proceso a un vector de cuatro coordenadas (x,y,z,cti) que pueden ser utilizadas y transformadas mediante operaciones, y se entra en el mundo del cálculo tensorial y los cuadrivariantes. Supongamos que tenemos una partícula de masa m moviéndose como indica la Fig.

Donde

sttszzsyysxx ,,, Es decir dependen del parámetro s Si x = xa = (t,x,y,z) donde xa es un punto que representa un vector

__

, rtxa

Donde

zkyjxir ___

y

3,2,1,0a Si hay un cambio, entonces

__

, rtdxdx a

Recuerde que ds es un tiempo, es una invariante Si derivamos

x

y

t

x

y

t


26

dsdxUU

dsdx 4

4

Donde U es la cuadrivelocidad REALCION ENTRE LA CUADRIVELOCIDAD U Y LA VELOCIDAD V

Sabemos que

dsdx

dsdx

dsdx

dsdx

dsdxU

32104

,,,

Así dtdx 0 En los capítulos anteriores, demostramos que

dtvdsvds

dt

vdtds

2

2

2

1,1

1

1

Introduciendo en la ecuación

dsdx

dsdx

dsdx

dsdt

dsdxU

3214

,,,

dtvVz

dtvVy

dtvVx

vU

dtvdx

dtvdx

dtvdx

vU

2222

2

3

2

2

22

1,

1,

1,

11

1,

1,

1',

11

En general

22 1,

11

vV

vU

COMO HALLAR LOS Vi a partir de los 0 yi Sabemos que

dtdxv

ii

Pero


27

dsdtdsdx

v

i

i

Recuerde que

dsdtU 0

Así

0Udsdx

v

i

i

Y que ii

dsdx por lo tanto

0 i

iv

De esta forma podemos hallar los vi a partir de i y 0 Desde el punto de vista de la Física clásica sabemos que

______

.drrds En el espacio-tiempo de cuadrivectores

22222 dzdydxdtds Y también lo podemos escribir así

dxdxds .2 y 232221202 dxdxdxdxds

En general

badxabXds 2 Esto es una métrica

Quremos hallar ______

.UU Recuerde que

111.

111.

111

2

2______

2

2

2

______

2

__

2

___

VVUU

VV

VUU

VV

VU

Es decir que esta normalizada a uno como debería esperarse, ya que la velocidad de la luz es c=1, es una invariante.


28

CUADRIMOMENTO

__

UmP

Recuerde que

22

___

1,

11

VV

VU

Así

22 1,

11

VV

VmP

Donde podemos observar que

201 V

mP

Aquí podemos demostrar algo interesante Recuerde que c/ si <<c entonces <<L. Y podemos expandir la expresión

............2111 22/12

Por lo tanto

............2121

211

220

220

2

2

0

mmcP

cmP

cmP

Es que P0 es energía pura y esto indica que cuando la masa esta en reposo se transforma en energía a la velocidad de la luz

2mcE Que es la famosa ecuación de Einstein. Esta es la ecuación en que se basa las reacciones nucleares para producir energía. ¿Ahora que pasa con P? Bueno tenemos que

2

2__

____

__0

__

1

,

,

VmP

PEP

PPP


29

CUADRIFUERZA De la teoría clásica sabemos que

dtPdF__

__

En el espacio de cuadrivectores tenemos

dsdPF

Donde ds es el tiempo propio en el sistema de cuadrivectores

Sí aa

Fds

dp donde ia

2

__

1 Vvm

dsdF

dsdpF

ii

ii

También podemos escribir

22

22

11

11

ii

ii

mdtdF

mdt

dF

Así i

i FF 2___

1 Entonces

2

__

1 i

im

dtdF

Sabemos que 1.____

UU

Entonces 0'..'________

UUUU

0.'

0.'2____

____

UU

UU

¿Pero quien es __

'U ? Es la cuadriaceleración __

Ua

Así 0.____

aU


30

Son ortogonales en el sistema de cuadrivector

Ahora PdsdF

____

UmP Si multiplicamos escalarmente

0..

.

..

_______

_____

_______

UQmUF

UdsdQmUF

UUmdsdUF

Este resultado nos indica que no hay cuadripotnecia Ahora observe lo siguiente Sabemos que 1,0 FFF Y que UUU ,0 Y que 0. UF Entonces 0.00 UFUF

Así 00 .

UUFF

Pero 0 ii

Así ____

0 .FF

Así ____

.FdtdQ

Que es la potencia en el sistema tradicional. MOVIMIENTO DE UNA PARTICULA EN EL SISTEMA ESPCIO-TIEMPO Partícula libre: Esto indica que la sumatoria de todas las fuerzas que actúan sobre ella es cero.


31

0__

F

Así 01 2

0

mx

dtd

Desarrollando

Amx

2

0

1 Así 20 1 Amx

Elevando al cuadrado

22222

222202

22202 1

AAmAAxm

Axm

22

22

22

2222

AmA

AmA

AAm

Donde se demuestra que es constante ¿Qué ocurre si la masa de la partícula es cero? Nos quedaría así

10 2

2

A

A

Y la partícula que tiene masa igual a cero es el foton que viaja a la velocidad de la luz c=1. Tenemos que

X

t

m

X

t

m


32

22 mAA

y que dtdx

Así

22

22

mAAdtdx

mAA

dtdx

Sí 22 mA

ABo

Bdtdx Integrando oXBtx Ahora supongamos que

mgF Una partícula moviéndose por la acción de la gravedad

mgdt

dUm

g

X

Xdtd

20

0

1

220

222220

22202220

202220

200

20

0

1

1

1

1

1

tggtX

tgtgX

tgXtgX

XtgX

XgtX

gtX

X

Integrando


33

22

22

1

1

tggtdtdx

tggt

dtdx

Haciendo un cambio de variable

2

2

22

2

21

gdutdt

tdtgdutgu

Así

22

2/1

11

21

tgg

x

udu

gdx

Ahora observe algo importante, las dimensiones de 2

2

4

222

segm

segmtg es decir velocidad al

cuadrado, por lo tanto hay que dividir entre c2 para que sea adimensional.

2

22

11c

tgg

x

Esto es una hipérbola, donde se toma nada mas la rama positiva.


34

¿Qué ocurre a bajas velocidades?

Observe gt<<c y por lo tanto 1cgt

Así

2

22

2

22

2111

ctg

ctg

Así

2

22

2111

ctg

gx

Lo que esta en paréntesis no tiene dimensiones y x debe tener dimensión de longitud, por lo tanto multiplicamos por c

ctg

gcx

ctg

gcx

22

2

22

21

211

Que es una parábola que es lógico. Este resultado es presentado en la siguiente gráfica

x

y

x

y

x

y

x

y


35

LA POSICION EN EL ESPACIO Tenemos que

2211 tgg

tx

Ahora la quiero en el tiempo para astronauta. Recuerde que

22

22

222

222

1

1

2121

tggtdtdx

tggt

dtdx

tgtggdt

dxdxdtds

Así

22

22

22

2222222

22

22222

222

1

11

1

tgdtds

tgdttgtgdtds

tgdttgdtds

dxdtds

Por lo tanto

22

22

1

1

tgdts

tgdtds

Si


36

gsSenhg

t

tsgtSenhg

s

gtuuSenhg

s

udu

gs

gdtdugtu

1

1

11

12

Ahora queremos hallar la posición en función de s Sabemos que

222

2

22

1

1

tgLg

x

tgLg

tx

Donde

gsSenhg

t 1

Así

gsCoshg

x

gsCoshg

x

gsSenhg

x

gsSenhg

gg

x

1

1

11

111

22

2

22

2

22

22

2

Ahora queremos hallar la velocidad en función de s. Procedemos de dos maneras.

a) Primera


37

gsTgh

gsCoshdsdt

gsSenhdsdx

dsdtdsdx

dtdx

b) Segunda

Sabemos que

221 tggtdtdx

dtdx

gsTghgsCoshgsSenh

gsSenhg

g

gsSenhg

g

tggt

22

2

22

11

11

DE LO ESPECIAL A LO GENERAL La relatividad especial es un principio de simetría en la cual las leyes de la física deben ser invariantes ante todas aquellas transformaciones de coordenadas que no cambian la métrica de minkowski. En cambio la relatividad general es mas general, es decir las leyes de la física deben ser invariantes ante cualquier transformación de coordenadas en general. Todo esto nos indica que para pasar de lo especial a lo general, hay que consideras como transforman en general los objetos de la teoría física de interés o cuando las transformaciones no son lineales, las derivadas no se transforman linealmente. Por esa razón se generaliza de concepto de derivada al de derivada covariante, de manera de escribir de manera invariante las leyes de la física y de esa manera recuperar el sistema inercial local. Esto es prácticamente el principio de equivalencia fuerte que posteriormente enunciaremos. En términos de cultura general uno podría acoplar el objeto físico de interés con elementos que describen


38

la curvatura espacio-tiempo, de tal manera que se vuelve al sistema de referencia localmente inercial los elementos de la curvatura se anulan y uno vuelve a recuperar las ecuaciones y esto corresponde al principio de equivalencia débil que ya enunciaremos. EL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA El principio de equivalencia es el principio físico fundamental de la relatividad general. Afirmación que dedujo un acontecimiento instantáneo o suceso en el seno de un campo gravitatorio, las partículas en caída libre que atraviesan el suceso en algún momento de su historia, son descritas en el sistema local como si no existiera campo gravitatorio. Para presentar o formular las leyes del movimiento suelen presentar tres tipos de principios: de equivalencia débil o principio de Galielo, el de Einstein y el fuerte. Principio de equivalencia débil

Enunciado: El movimiento de cualquier partícula de prueba en caída libre es independiente de su composición y estructura. Esto fue enunciado por Galileo. Esto se puede entender de la siguiente manera. Si tenemos dos cuerpos como indica la figura apliquemos Newton.

_______

..min amiaecialF

Donde mi es la masa inercial y es la resistencia de un cuerpo a ser acelerado. Por otro lado sabemos que de la ley de gravitación universal de Newton que

__

3

__

2

__

rr

GMgrr

rGMgF

Donde Mg es la masa gravitacional. Ahora si el cuerpo mi cae en caída libre, es decir,

sin mas fuerzas actuando sobre ella, entonces podemos igualar las ecuaciones

M

rF

M

rF


39

rr

rGMgami

__

2

__

Recuerde que

2

____

rrGMgg

Así ____

gmgami

En este caso ____

ga

Y se demuestra que mi=mg es decir que el principio de equivalencia débil demuestra la igualdad entre la masa inercial y la gravitacional.

Principio de equivalencia de Einstein

Enunciado: El resultado de cualquier experimento no gravitacional en un laboratorio desplazándose en un sistema de referencia inercial es independiente de la velocidad del laboratorio o de su localización. En el espacio-tiempo.

Principio de equivalencia fuerte

Enunciado: El movimiento gravitacional de un cuerpo depende únicamente de la posición inicial en el espacio-tiempo y no de su constitución y el resultado de cualquier experimento local gravitacional o no, en un laboratorio moviéndose en un sistema de referencia inercial es independiente de la velocidad del laboratorio y de su localización en el espacio-tiempo.

TEORIA GENERAL DE LA RELATIVIDAD Esta teoría fue publicada por Albert Einstein en 1916. Esta teoría tiene una base fundamental que es el principio de equivalencia. Que se basa en que la aceleración y sensación de la gravedad como aspectos distintos de la misma realidad. Einstein afirmó que no se puede distinguir entre un cuerpo acelerado uniformemente y un campo gravitatorio uniforme. En esta teoría el espacio-tiempo es tratado como una banda de cuatro dimensiones, la cual es curva por la presencia de masa, energía y momento lineal. Hay muchos aspectos en la física clásica que son atribuidos a la fuerza de gravedad, sin embargo en esta teoría son representados como movimiento inerciales en un espcio-tiempo curvado. Las bases fundamentales predichas por Albert fueron muy precisas como eran:


40

a) Las leyes de la física deben ser la misma para todos los observadores. b) Las leyes de la física deben tomar la misma forma en todos los sistemas de

coordenadas. c) Que el movimiento inercial se realiza a través de trayectorias geodesicas.

El principio de equivalencia es una consecuencia del principio general de la relatividad y del

principio del movimiento inercial sobre trayectorias geodesicas. Una principal consecuencia de la gravedad es que el espacio en vez de ser plano como predice

la teoría puede ser abierto o hiperbolico, o (existen infinitas rectas paralelas) o cerradas o parabolicas (ninguna recta paralela).

La idea fundamental en la relatividad es que principalmente hay que definir un sistema

de referencia. Y dicho sistema de referencia es definido por elección particular. En tal caso todo movimiento es definido y cuantificado a otra materia.

En la relatividad general las leyes de Newton son asumidas solo a sistemas de referencias

locales. En particular las partículas libres viajan trazando líneas rectas en sistemas inerciales locales (Lorentz). Cuando esas líneas se extienden, no parecen como rectas, siendo llamadas geodesicas. En entonces las leyes de Newton se ven reemplazadas por la ley del movimiento geodesico.

En sistemas de referencia no inerciales se percibe fuerza derivada del sistema de referencia; np

por la influencia directa de otra materia. Por ejemplo sentimos fuerzas gravitatorias cuando vamos en un vehículo y giramos en una curva. Como la base física de nuestro sistema de referencia. El principio de equivalencia en relatividad general establece que no hay experimentos locales capaces de distinguir una caída no gravitacional en un campo gravitacional a partir de un movimiento uniforme en ausencia de un campo gravitatorio. En otra palabras no hay gravedad en un sistema de referencia en caída libre. En la teoría de la relatividad general Einstein postulo sus ecuaciones de campo y las modulo en el espacio-tiempo. Las ecuaciones de campo establecen que la curvatura de un punto en el espacio tiempo está relacionada con el tensor de energía en ese punto. La curvatura le dice a la materia como moverse, y de forma reciproca. La materia le dice al espacio como curvarse. La ecuación de campo contiene una constante llamada constante cosmologica, que fue introducida para permitir un universo estático. Esta constante posteriormente fue desechada ya que; posteriormente Hubbe demostró que el universo no es estático sino que está en constante expansión La ecuación de campo de Einstein es

TikC

GgikgikRRik 48

2

Esta se puede deducir de la ecuación de Einstein-Hilbert

xdLMRG

cS 44

16


41

En esta ecuación Rik es el tensor de curvatura; R es el escalar de curvatura; gik es el tensor neutrito; es la constante cosmologica; tik es el tensor de energía; c la velocidad de la luz; G la constante gravitatoria y es el determinante de la métrica. La teoría de la relatividad general ha demostrado muchas predicciones importantísimas. Desde el punto de vista gravitacional tenemos:

Los efectos rotantes, por ejemplo un objeto en rotación va a arrastrar consigo al espacio-tiempo causando que la orientación cambie con el tiempo.

Los efectos de aceleración. Por ejemplo la frecuencia de la luz decrece al pasar por una región de elevada gravedad. Seguido sobre la dilatación gravitacional del tiempo, es decir que los relojes situados en regiones de gravedad elevada marcan el tiempo más lentamente.

Los efectos de curvatura de la luz, es decir que la luz se curva al pasar cerca de objetos de elevada masa y esto origina una serie de fenómenos como: Fenómenos de lentes gravitacionales y de microlentes, los anillos de Einstein.

Los lentes de ondas gravitacionales. Los efectos cosmológicos como por ejemplo la gran explosión del universo.

Bibliografía Girbau, J.: "Geometria diferencial i relativitat", Ed. Universitat Autònoma de Catalunya, 1993. ISBN 84-7929-776-X. Misner, Thorne and Wheeler, Gravitation, Freeman, (1973), ISBN 0-7167-0344-0. Robert M. Wald, General Relativity, Chicago University Press, ISBN 0-226-87033-2. Steven Weinberg, Gravitation and Cosmology: principles and applications of the general theory of relativity, Wiley (1972), ISBN 0-471-92567-5.

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