Relatividad general de Einstein y cosmologa

Contenido

I. Introduccin

II. Cosmologa relativista

III. Modelo cosmolgico con rotacin

IV. Modelo Inflacionario

V. Topologa del universo

VI. Problemas abiertos.

I. Introduccin

25 Noviembre 1915 25 Noviembre 2015

100 aos de Teora de Relatividad General

cementerio de trenes de Uyuni - Bolivia

Geometra Materia

scar Mir Quesada de la Guerra - RACSO

Racso es el pionero del periodismo cientfico en el mundo.

Publica La relatividad y los quanta en 1940 donde tradujo al espaol la obra de Einstein La Evolucin de la Fsica y fue la primera traduccin existente en espaol.

j

Dicha obra es una recopilacinde 22 artculos publicados en el suplemento cultural de las ediciones dominicales del diario El Comercio de Lima.

Carta de Albert Einstein a Racso 21 de noviembre de 1939

Carta de Albert Einstein a Racso 21 de noviembre de 1939

Me he quedado verdaderamente sorprendido de que un diario ofrezca a sus lectores una exposicin tan detallada y precisa de un tema cientfico. Los artculos me parecen, en efecto reproducir bien el contenido esencial del pensamiento del libro escrito por el seor Infeld y por m, tanto como puedo juzgarlo por mi incompleto conocimiento del espaol. Este hecho es un interesante signo de que las tendencias e intereses cientficos estn iniciando su emigracin hacia el Nuevo Mundo

su carta es el honor ms grande que he recibido en la vida yla recompensa ms alta que poda esperar por mi labor de40 aos como vulgarizador de la cultura en mi pas

Godofredo Garca Daz

Lima 8 de Noviembre de 1888

Lima 16 de Julio de 1970.

Estudi en la Facultad de Ciencias de la UNMSM de 1906 a 1909.

Doctor en Ciencias Matemticas en 1912 y desde 1919, catedrtico de la Facultad de Ciencias de laUNMSM.

Es considerado, junto con Federico Villareal, como unade las glorias de la matemtica peruana.

Es autor de ms de 80 trabajos en matemticas, fsica, astronoma, astrofsica e ingeniera.

En 1938, junto con distinguido matemtico polaco, Alfred Rosenblatt y otros matemticos sanmarquinos, fund laAcademia Nacional de Ciencias Exactas, Fsicas y Naturales del Per, y dirigi la publicacin "Actas de la Academia".

Mantuvo correspondencia con Albert Einstein.

II. Cosmologa Relativista

La palabra Cosmologa es la unin de las palabras griegas:

Cosmos = Mundo

Logia = Estudio

Cosmologa significa el estudio del Universo en grandes escalas. Es rama de la astronoma que

estudia el origen, estructura y evolucin del Universo a partir de la aplicacin de los

mtodos cientficos.

Suposicin fundamental de la cosmologa: dinmica deluniverso es gobernado por la interaccin gravitatoria.

Cosmologa relativista resulta de usar la teora de Einsteinpara la gravedad.

El espacio-tiempo es una variedad cuadri-dimensional con mtrica como campo gravitational.

La fuerza gravitacional es representado por la curvatura del espacio-tiempo:

Espacio-tiempo plano de Minkowsky-ausencia del Campo gravitacional si

)(xg)4(M

)(xR

0)( xR

0)( xR0)( xR

)(xg

)(xg

Espacio-tiempo curvo Espacio-tiempo plano

de Minkowsky

Bernhard Riemann

1826 - 1866Nikolai Lobachevsky

1792 - 1856

Carl Gauss

1777 - 1855

Geometra no Euclideana = Geometra diferencial

Gravedad Newtoniana Relatividad General = +

Geometra Diferencial

rr

mMGFFUERZA

2

dxdxxgds )(

2

0)( xR)(xg

Espacio-tiempo curvo de cuatro dimensionesGeometrizacion de la interaccin gravitacional

T

c

GgRgR

4

8

2

1

Soluciones de las ecuaciones de EinsteinCondiciones de contorno:

espacio-tiempo asintticamente

Plano

AGUJEROS NEGROS

)()( xhxg

1)( xh

Homogeneidad e Isotropa en la parte espacial

COSMOLOGIAONDAS GRAVITACIONALES

En 1917 Einstein publica:

Problema de la cosmologa en teora de relatividad general

T

c

GRgR

4

8

2

1

G42 G42

En marco de relatividad general:

Materia:

Geometra: esfrica

K=1

Modificacin:

Aproximacin Newtoniano

Una esfera de radio R en un

universo homogneo e isotrpico

l

La aceleracin que experimenta una galaxia en la frontera, de acuerdo a gravedad Newtoniana es:

Fuerza de gravedad

33

4RM

RR

GMga

3

RmGgmF

3

4

2 galaxias deben atraerse y el universo debe colapsar.

Para obtener un universo ESTATICA Einstein introduce una fuerza de repulsin que compense la fuerza de gravedad:

Mas esta fuerza no debe depender de la masa y por tanto de G, solo debe depender de la distancia entre las masas o (galaxias)

La constante cosmolgica originaba una repulsin creciente con la distancia y evitaba el colapso inevitable del universo debido a las fuerzas de atraccin gravitacional.

La fuerza de gravedad es importante en pequeas y grandesescalas, mas la fuerza repulsiva solo en grande escalas.

RmGFRp

3

4

RFRp

3

RRG

R

RRR

mMGF

33

4

32

LEsfera volumen finito

Es un modelo terico en que el universo tiene una configuracin ESTATICA y volumen FINITO de acuerdo con la ideas de aquella poca.

Modelo de Einstein: esttico y finito

Importancia del modelo:

Vital en cosmologa

moderna

3)4( SRM

En 1917 W De Sitter publica:

Teora de gravedad de Einstein y sus consecuencias en la astronoma

En marco de relatividad general:

Sin materia:

Geometra: esfrica K=1

gRgR 2

1

0T

Geometra: hiperblica K=-1

Einstein y De Sitter

0

Modelo cosmolgico de De Sitter.

poca inflacionario

Energa oscura

0

Modelo cosmolgico de Anti de Sitter.

En 1922 A A Friedmann publica:

Sobre la curvatura del espacio

En marco de relatividad general:

Geometra: esfrica K=1

Ecuaciones de Friedmann

Universo con materia en evolucin

Cosmologa dinmico

En 1924 A A Friedmann publica:

la posibilidad del universo con curvatura espacial constante negativa.

Geometra: hiperblica K=-1

Geometra: hiperblica K=-1

T

c

GgRgR

4

8

2

1

En 1927 G Lemaitre

T

c

GgRgR

4

8

2

1

RRpG

R

RkRG

R

3)3(

3

4

33

8

2..

22

2.

Las soluciones dinmicas de las ecuaciones de Einstein:

A. Friedmann en 1922-1924 y G. Lemaitre en 1927-1933.

funciones desconocidas:suplementamos con ecuacin de estado de la materia:

2/3~)(0 ttRm

2/1~)(3

1ttRr

universo dominado por la materia

universo dominado por la radiacin

)()( ttp )(),(),( ttptR

I. E Hubble en 1924-1927 observa las galaxias lejanas:

El universo es dinmico y se expande.

v=HRLey de Hubble

H P Robertson 1929 y Walker 1936

La homogeneidad e isotropa de la parte espacialla variedad es dotado por la mtrica de

donde (k=0,1,-1), y R(t) es el factor de escala

)sin(

1)( 2222

2

2222 ddr

kr

drtRdtds

TM )4(

Para encontrar las soluciones cosmolgicas a las ecuaciones de Einstein se asumen 2 condiciones:

I. La homogeneidad e isotropa de la parte espacialla variedad es dotado por la mtrica de Robertson-Walker

)sin(

1)( 2222

2

2222 ddr

kr

drtRdtds

donde (k=0,1,-1), y R(t) es el factor de escala.

II. Tensor de energa-momento del fluido csmico debe serde la forma de tensor de energa-momento del fluido perfecto:

),,,( pppdiagT

Tensor de energa-momento debe ser de la forma detensor de energa-momento del fluido ideal:

),,,( pppdiagT

Resultado: Modelo cosmolgico en expansin.

3)4( HRM

3)4( ERM

3)4( SRM

K=-1K=0K=+1

Nucleosntesis y Radiacin csmica de fondo

G Gamov en 1946 aplica las ideas de la fsica nuclear y la termodinmica a la cosmologa:

En el inicio Gran bola de fuego:

En 1947-1949 Gamov y sus estudiantes Alpher y Hermantrabajan en el origen cosmolgico de los elementos qumicos.

Hiptesis: Con el intenso calor, las partculas se fusionan en elementos cada vez mas pesados. Explicando la creacin del hidrgeno y del helio, luego eluniverso se expande y se enfra, al enfriarse se formantomos, galaxias, estrellas.

-Hidrgeno, Helio, Litio origen cosmolgicoResultado experimental: Estos elementos qumicos leves no

se forman en ncleo de estrellas.

Fsica NuclearNucleosntesis cosmolgico = +

Cosmologa

Radiacin Csmica del Fondo

Modelo Cosmolgico estacionario.

F Hoyle, H Bondi y T Gold en 1948 elaboran la teora delEstado Estacionario:-El universo se expande pero no hubo ningn evento de creacin o

inicio: universo infinitamente viejo o eterno. -La materia era continuamente creada de la nada en el universo para

mantener la homogeneidad e isotropa-Homogneo en espacio y tiempo

)(

00)()(ttH

etRtR

-Origen de los elementos pesados: estrellas-No explica el origen del Hidrgeno y el Helio

NO EXISTE LA RADIACION COSMICA DEL FONDO DE ORIGENCOSMOLOGICO

A. Penzias y R. Wilson en 1965 descubrieron una seal que venia de todas las direcciones y que corresponda al espectro de un cuerpo negro de 2.73 K.

haban detectado los restos del Big Bang.

Radiacin Csmica del Fondo es isotrpico con temperatura:

F

C

K

TRCF

455

270

725,2

III. Modelo cosmolgico con rotacin

Todo gira!!!!

La tierraLas planetas

Las estrellas El universo? Las galaxias

En 1949 Kurt Geodel presenta un modelo cosmolgico con rotacin consistente con las ecuaciones de Einstein

Curvas de tipo tiempo cerrado

En universo con rotacin todas las galaxias rotaran en un solo sentido.

IV. Modelo inflacionario

I. El problema del Horizonte o Causalidad

Regin B

Regin A

Para que las regiones A y B diametralmente opuestos estn a misma temperatura han tenido que intercambiar energa. Pero la energa no se puede propagar a mayor velocidad que la velocidad de la luz.

No puedes estar conectados causalmente. Es una coincidencia o resultado de alguna condicin inicial.

KT ARCF 725.2

KT BRCF 725.2

II. Problema de monopolos magnticos (MM)

Los MM seran muy pesados y seran creados en un nmeroinmenso.

Significara que tales partculas dominaran la evolucin deluniverso, incluso frenaran su expansin y provocaran el re colapso del universo.

Adems, no vemos los MM por ningn lugar. Dnde estn?.

poca de grande unificacinGUT

las interacciones se separaron en la interaccin fuerte y la electrodbil: se producen MM

Modelo Inflacionario

Usando la ley de conservacin de la energa o ecuacin de fluido

Para la constante cosmolgica obtenemos

La constante cosmolgica

tiene presin negativa

gravedad es atractiva

gravedad es repulsiva

0)(3

R

Rp

dt

d

G

8

pR

Rp

dt

d

03)(

R

G

p

RpG

R

3

8

03

)3(3

4 2..

A. Guth, A Linde, A. Albrecht y P Steinhardt en 1981-1982consideran el universo con campo escalar, llamado INFLATON

Calculamos la densidad de energa y la presin

La solucin a las ecuaciones de FLRW es

PERIODO DE EXPANSION ACELERADA DEL UNIVERSO.

)](2

1[

VggT

)()(

)()(2

1

)()(2

1

2

2

VpV

Vp

V

)()(3

8

0

2

0

)(3

8 ttVG

eRtRG

R

R

)](2

1[

3

1

VggT

)]()(3

8exp[)()(inf ii ttV

GtRtR

Solucin de Horizonte o Causalidad

las regiones A y B diametralmente opuestos estn a misma temperatura debido a que intercambiaron energa y estuvieron a la misma temperatura antes de la inflacin.

Los MM despus de ser formados son separados a distancias mas all del horizonte, por eso no observamos.

V. Topologa del universo

Aristteles y Ptolomeo: modelo geocntrico

Universo finito

El espacio es Euclidiano plano de 3 dimensiones y infinito:

El universo Newtoniano es

homogneo

isotrpico e

Infinito.

zyxt ,,,

/

/

/

3

3

3

34

HR

SR

ER

RM

Topologa de la cosmologa relativista:

homogneo e isotrpico

18

Infinito contable

Infinito no contable

Los 18 formas del espacio plano compacto

120 copias

forman S3

Ejemplo del espacio esfrico: Dodecaedro de Poincar

Fundamental Polyhedron

from inside

Twist : 36

Name Volume r- r+ 2rinj

Weeks 0.9427 0.5192 0.7525 0.5846

Thurston 0.9814 0.5254 0.7485 0.5780

s556(-1,1) 1.0156 0.5276 0.7518 0.8317

m006(-1,2) 1.2637 0.5502 0.8373 0.5750

m188(-1,1) 1.2845 0.5335 0.9002 0.4804

v2030(1,1) 1.3956 0.5483 1.0361 0.3662

m015(4,1) 1.4124 0.5584 0.8941 0.7942

s718(1,1) 2.2726 0.6837 0.9692 0.3392

m120(-6,1) 3.1411 0.7269 1.2252 0.3140

s654(-3,1) 4.0855 0.7834 1.1918 0.3118

v2833(2,3) 5.0629 0.7967 1.3322 0.4860

v3509(4,3) 6.2392 0.9050 1.3013 0.3458

Espacio de Best

Ejemplo de espacio hiperblico compacto

Observacin: Poliedro fundamental mas all delhorizonte

VI. Problemas abiertos

materia oscura alrededor de clster de galaxia.

Energa Oscura

Los modelos cosmolgicos de tipo FLRW presentansingularidad en el inicio:

3)4( HRM

3)4( ERM

3)4( SRM

Teora de cuerdas, cosmologa cuntica,...?

Universo es finito o infinito?

Cul es la topologa o forma del universo?

Muchas Gracias !