Relatividad Para Todos

8/18/2019 Relatividad Para Todos

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RELATIVIDAD PARA TODOS

Rafael Alemañ



Primera edicción: abril 2004

© EQUIPO SIRIUS

© Rafael Alemañ

Reservados todos los derechos de esta edición para

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RELATIVIDAD

PARA TODOS

Rafael Alemañ



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Al profesor Antonio Bernalte Miralles,in memoriam



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La Ciencia del Movimiento .............................................11

La electricidad no es newtoniana. ....................................25

Einstein: La imaginación razonada ..................................47

El descubrimiento de un ...................................................67

nuevo mundo ....................................................................67

La paradoja de los gemelos ..............................................85

La más célebre ecuación ..................................................93

Arrugando el espacio-tiempo .........................................105

Generalizando la Relatividad .........................................123

Una mirada al infinito ....................................................139

INDICE



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1

Todos conocemos, por experiencia, lo diferentes que parecen una piedra y un globo de feria: si soltamos la piedra,ésta caerá pesadamente al suelo, pero si hacemos lo mismocon el globo lo veremos ascender para no volver más. De

consideraciones similares a éstas extrajo el filósofo griegoAristóteles la conclusión de que había algo fundamentalmen-te distinto en ambas situaciones. La causa de la diferencia sehallaba, para el griego, en que los movimientos pueden ser dedos clases: el movimiento natural de los cuerpos pesados eshacia abajo (como en el caso de la piedra) y el de los ligeroshacia arriba (como en el globo).

Se trata quizás de un ejemplo un poco burdo, aunque locierto es que esta forma de razonar sigue presente en muchosde nuestros contemporáneos. Si le preguntamos a una personacorriente por qué una piedra sin sujeción cae al suelo y no seeleva como una voluta de humo, seguramente se encogeráde hombros y nos mirará como a lunáticos. Después de todo,¿qué ha de hacer una piedra abandonada a sí misma si no

caer? Las pierdas caen –todo el mundo lo sabe– y el humoasciende; así ha sido siempre y así debe ser, ¿o no?

En realidad ocurre que la fuerza de la costumbre sehace tan poderosa en nuestras mentes que muy a menudo

LA CIENCIA DEL MOVIMIENTO



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damos por sentadas multitud de ideas que exigirían una cui-

dadosa reflexión. Los movimientos de las cosas en el mundoque nos rodea, por ejemplo, resulta buen exponente de ello.La familiaridad que hemos desarrollado con los objetos denuestro entorno, es la responsable de que razonemos de modomuy semejante a como la hacía Aristóteles casi tres mil añosatrás. No nos preguntamos por las leyes que gobiernan elmovimiento de los cuerpos; simplemente damos por des-

contado que deben moverse como de hecho lo hacen, y estoes un grave error.Loa antiguos griegos observaron que algunas estrellas

parecían estar fijas en sus posiciones, mientras que otras pa-recían vagar a su antojo por el firmamento. Por eso llamarona estas últimas planetas (del griego «estrella errante»). Ensu opinión, los movimientos de los objetos celestes, eternos,

circulares y perfectos, diferían por completo de los movi-mientos propios de los objetos terrestres, violentos, abruptosy discontinuos. Esta doctrina que dividía tajantemente lanaturaleza en un mundo terrestre y otro celeste, se mantuvodurante la Edad Media gracias al predominio ideológico dela Iglesia Romana, la cual no dudó en utilizarla en su propio

beneficio. El orbe –se decía –está organizado en una escala

de perfección que va desde el Todopoderoso hasta el últimode los plebeyos, pasando por los monarcas terrenales y losdignatarios eclesiásticos. Tan estrechamente llegó a ligarseesta visión del universo con las verdades de la religión cris-tiana, que cualquier crítica astronómica se consideró comoun ataque al poder de la Iglesia.

Las consecuencias de semejante insolencia las sufrió

en propia carne Galileo Galilei, el sabio italiano que allanóel camino de posteriores descubrimientos científicos con suestudio matemáticos de los movimientos de péndulos y balasde cañón. Sin embargo, las investigaciones que le granjearon



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la enemistad de la Inquisición se relacionaban con las teorías

de un oscuro párroco polaco llamado Nicolás Copérnico,cuya osadía había llegado al punto de sostener que era laTierra la que giraba en torno al sol y no al revés, como sedecía que afirmaban las sagradas escrituras. Galileo suscri-

bía el modelo copernicano, y por ello se le obligó a abjurar públicamente de él bajo amenaza de muerte. Suele argüirsehoy día que no sería correcto censurar demasiado duramente

a los jueces de Galileo, pues eran hombres de su tiempo sinuna mente tan adelantada como la del reo a quien perseguían.Pero también es cierto que en todas las épocas ha existido unaclara distinción entre quienes mostraban tolerancia y respeto

por las ideas ajenas, y los fanáticos sin más horizonte que elacoso y la condena de cuantos poseían una mentalidad másabierta y penetrante que las suyas.

Pese al empeño de sus captores, la obra de Galileo nose desarrolló en vano, y tras él aparecieron los trabajos deastrónomos de la talla de Tycho Brahe o Johannes Kepler,quienes reafirmaron y profundizaron el modelo heliocéntricoen contra del que suponía una Tierra central e inmóvil. Los

planetas –ya no cabía duda– se movían en órbitas elípticas enuno de cuyos focos se encontraba el Sol. Kepler, sobre todo,

cambió nuestra concepción sobre el sistema solar, pero lasideas y concepciones sobre todo el universo seguían siendotodavía vagas y contradictorias. Gran parte de los astrónomosy hombres de ciencia de la época, se resistían a aceptar elmovimiento de la Tierra acobardados por los dogmas con-fesionales prevalecientes durante la Edad Media.

Fue necesaria la aparición de un genio de la talla de

Isaac Newton para provocar el derrumbe definitivo de lasantiguas concepciones y abrir las puertas de la mente delhombre, hasta entonces aprisionada por las enmohecidas rejasdel escolasticismo, permitiéndola volar libre de toda traba.



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Newton elevó la universalidad de las leyes físicas a su máxi-

ma expresión. Sobre su mecánica racional se tuvieron queafirmar los avances científicos y tecnológicos de los siglosXVIII y XIX y aun gran parte de los de nuestra centuria.

Isaac Newton, el más grande de los astrónomos ingle-ses, destacó también como gran físico y matemático. Fue enrealidad un genio al cual debemos el descubrimiento de laley de gravitación universal, una de las piedras angulares de

la ciencia moderna. Inventó el cálculo diferencial e integral,estableció las leyes de la mecánica clásica, y partiendo de laley de gravitación universal, dedujo las leyes de Kepler en suforma más general. Además de construir el primer telescopiode reflexión, también son importantes sus contribucionesal estudio de la luz. Sus obras más importantes publicadasson la Optica, en la que explica sus teorías sobre la luz, y

la obra monumental Philosophiae Naturalis Principia Ma-thematica, comúnmente conocida como los Principia, en lacual expone matemáticamente unas leyes del movimiento

pretendidamente válidas en todo el universo.En su obra Principia (1687), aplica por igual su nueva

ley de gravedad a los arcos descritos por las balas de cañón,a las órbitas de los satélites y planetas y a las trayectorias de

los cometas, calculando sus posibles rutas en forma detallada.Pero llevado por su fe religiosa, Newton concibe el espacioy el tiempo como una suerte de órganos sensoriales de Dios:«El Dios Supremos es un Ser eterno, infinito, absolutamente

perfecto... Perdura eternamente y es omnipresente; y estaexistencia eterna y omnipresencia constituyen la duración yel espacio». Es decir, al igual que nosotros captamos median-

te la vista, el oído, el tacto y el resto de nuestros sentidos larealidad del mundo circundante, así el creador percibe –porasí decirlo– los acontecimientos del universo mediante elespacio y el tiempo.



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Análogamente, Newton sostiene que «este bellísimo

sistema de Sol, planetas y cometas sólo podría provenir dela sabiduría y dominio de un Ser poderoso e inteligente».Así, para Newton, el universo considerado como un todo,era estático. También pensaba que el universo no podía es-tar expandiéndose o contrayéndose globalmente puesto que,según él, tales movimientos requieren por necesidad de uncentro, tal como una explosión tiene el suyo. Y la materia

esparcida en un espacio infinito no define ningún centro.En consecuencia, estudiando los hechos hacia el pasado,el cosmos debía ser estático, lo que le abocó a la tradiciónaristotélica de un cosmos inalterable.

Con la publicación de los Principia Isaac Newtondesarrolla una herramienta fundamental para la cosmo-logía: la gravitación universal. No abordó el problema

cosmológico de una manera directa, pero sí lo examinó enla correspondencia que sostuvo con el reverendo RichardBentley, quien se afanaba en demostrar la existencia deDios mediante la ley de gravitación universal. A tal fin lerogó a Newton la aclaración de algunos puntos sobre suteoría. Para Benteley era evidente que un universo finito,estático, sería inestable y colapsaría gravitacionalmente

hacia su centro. Esto se debe a que las estrellas del bordedel universo experimentarían una fuerza neta que las obli-garía a moverse hacia el centro. Así el universo se haría

progresivamente más pequeño y más denso. La alternativade un universo infinito también preocupaba a Bentley, puesen ese caso la Tierra sería atraída en todas direcciones deluniverso con una fuerza infinitamente grande. Y dado que

la suma de todas esas fuerzas debería ser nula; argumentaque la atracción ejercida por el Sol sobre la Tierra pasaríainadvertida entre tantos infinitos. Tampoco le quedaba claroa Benteley por qué la Tierra orbita alrededor del Sol y no



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camina simplemente en línea recta como un cuerpo sobre

el cual no hay fuerzas netas. Newton estuvo de acuerdo en los problemas de un uni-verso finito y argumentó que el universo debería ser infinitoy que si la Tierra es atraída en todas direcciones con unafuerza infinita la resultante es cero y si luego agregamos lafuerza atractiva del Sol, ella la hará girar a su alrededor. Porúltimo Bentley señala que un universo infinito podría estar

en equilibrio, pero sería inestable, pues al menor aumentode densidad las estrellas se atraerían más y se juntarían más,haciendo que el aumento de densidad creciera. Newton tuvoque concordar con su amigo en la inestabilidad del universohomogéneo e infinito.

Los cimientos de toda la obra de Newton sobre lagravitación fueron su comprensión del movimiento, que

expresaría finalmente como un conjunto de leyes. La primeraley de ellas dice así: «Cada cuerpo persevera en su estadode reposo, o de movimiento uniforme en una línea recta,a menos que sea compelido a cambiar este estado por unafuerza ejercida sobre él». De acuerdo con esto, los proyectiles

persisten en sus movimientos, mientras no sean retardados por la resistencia del aire, o atraídos hacia abajo por la fuerza

de gravedad. Un trompo, cuyas partes por su cohesión es-tán perpetuamente alejadas de movimientos rectilíneos, nocesa en su rotación salvo que sea retardado por el aire. Losgrandes cuerpos de los planetas y cometas, encontrándosecon menos resistencia en espacios más libres, preservan susmovimientos, tanto progresivos como circulares, por untiempo mucho más largo

La segunda ley del movimiento de Newton dice: «Elcambio de movimiento es siempre proporcional a la fuerzamotriz que se imprime; y se efectúa en la dirección de lalínea recta según la cual actúa la fuerza». Newton nos legó



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una fórmula matemática para averiguar su trayectoria cuando

actúa esa u otra fuerza, según la cual la fuerza igual masa poraceleración. Si una fuerza cualquiera genera un movimiento,una fuerza doble generará un movimiento doble, una fuerzatriple un movimiento triple, ya sea que la fuerza actúe en-teramente y de una vez, o gradualmente y sucesivamente.Frente a la acción de una fuerza neta, un objeto experimentasiempre una aceleración.

Por último, el enunciado de su tercera ley es: «Todocuerpo sometido a la acción de una fuerza, ejerce otra fuerzade igual magnitud y sentido contrario a la fuerza que él mismoexperimenta». Por eso un disparo de fúsil –cuando la balasale hacia delante– repercute sobre el hombro del tirador porel retroceso de la culata. La misma fuerza que el fusil ejercesobre la bala para lanzarla fuera del cañón, devuelve la bala

al fusil obligándolo a moverse en sentido contrario. Lo queocurre, naturalmente, es que de acuerdo con la segunda leyla masa superior del arma no permite que la velocidad deretroceso sea igual a la de salida del proyectil.

Cuando Newton elaboró sus famosas leyes, sus pen-samientos flotaron más allá de la Tierra y de la Luna, alespacio interplanetario e interestelar. Los mismos principios

que explican por qué las manzanas caen al suelo y por quéla Luna orbita la Tierra deberían explicar también por qué laTierra y todos los demás planetas orbitan alrededor del Sol.La gravedad tiene que ser una fuerza ubicua que actúa entredos cuerpos cualesquiera del universo.

Newton llegó a esta conclusión a través de un procesoconocido hoy como «experimento mental», es decir, recu-

rriendo a una situación imaginaria para iluminar las reglasque gobiernan el mundo real. Newton tenía a su disposiciónun poderoso medio de corroboración como son las mate-máticas. Podía ir muy lejos hacia confirmar sus hipótesis



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calculando sus consecuencias y luego comprobando sus

resultados con las observaciones y experimentos.Los principios fundamentales de la mecánica de Newton son tan satisfactorios desde un punto de vista lógi-co y experimental, que para revisarlos parece imprescindiblecontar con estímulos cuyo empuje sólo puede provenir dehechos empíricos irrebatibles. No obstante, el propio Newtonera consciente de las limitaciones de su edificio intelectual

mejor que muchos de los científicos que le sucedieron. Élsiempre admitió las debilidades que comportaba su teoría.«Explicar toda la naturaleza es una tarea demasiado difícil

para un hombre o incluso para una época», reconoció. Tuvo problemas en particular en intentar comprender la naturalezareal de la gravedad y del espacio. Aunque su teoría predicelos efectos de la gravedad en forma muy contrastable, nada

dice sobre los mecanismos a través de los cuales actúa esainfluencia.En sus escritos, Newton realiza evidentes esfuerzos

por representar sus sistemas como rigurosamente sustentadosen la experiencia y por introducir el menor número posiblede conceptos no directamente referidos a objetos empíricos.Pese a ello, establecería los conceptos de «espacio absoluto»

y «tiempo absoluto», cuestión por la cual a menudo se lecriticó. Pero en ello, Newton es particularmente consistente.Había comprendido que las cantidades geométricas obser-vables (distancias entre puntos materiales) y su curso en eltiempo no caracterizan por completo el movimiento en susaspectos físicos, tal como demostró con su famoso experi-mento del cubo de agua rotatorio.

Newton imaginó un cubo lleno de agua que se hacíagirar, de modo que el líquido de su interior, por efecto de larotación, formase una concavidad en su superficie. Ahora

bien, si en lugar de mover el cubo lo mantuviésemos en



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reposo haciendo girar la estancia en la que se encuentra, la

superficie del agua no se alteraría en modo alguno. Por ello,argumentaba Newton, es obvio que en este caso no puedehablarse de movimientos relativos, pues las situaciones fí-sicas son muy distintas en cada caso. Cuando el cubo girala concavidad del agua nos indica que se está moviendo sinnecesidad de fijar una referencia exterior, como sí ocurre conlos movimientos inerciales. Este es un movimiento absoluto

cuya única referencia posible es el espacio absoluto del quehablaba Newton en sus Principia.Por ello, además de las masas y sus distancias, debe

existir algo más que determina el movimiento. Newton consi-deró que ese «algo» debía ser la relación con el mencionado«espacio absoluto». Sabía que el espacio debe poseer unaespecie de realidad física si sus leyes del movimiento poseen

algún significado, una realidad de la misma clase que la delos puntos materiales y sus distancias.En sus explicaciones matemáticas sobre los movi-

mientos planetarios, Newton trabajó sobre la suposición deque la gravedad actúa instantáneamente a través del espacio.

No le satisfacía esta idea, pero no encontró alternativas; encualquier caso, no parecía tener importancia práctica para

sus cálculos. La velocidad de la acción de la gravitación, encambio, resultaba de importancia crítica cuando se conside-raba el universo como un conjunto. Newton planteaba queel universo era infinito. De otro modo, argumentaba, tendríaun borde y, en consecuencia, un centro gravitatorio comocualquier otro objeto finito. La atracción entre sus partesharía, señaló, que el universo «cayera hacia el centro del

espacio», lo cual evidentemente no ocurría. Como contrapartida, cada fragmento de materia en un universo infinitose halla sometido a fuerzas iguales desde todas direccionesy, en consecuencia, permanece estable.



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En la mecánica de Newton los astros se atraen mediante fuerzas ins-tantáneas que actúan a distancia a través del vacío

También era una preocupación para Newton la fra-gilidad de un universo gobernado por el equilibrio de estasfuerzas opuestas. Si la gravedad actúa instantáneamentesobre distancias infinitas, entonces las fuerzas sobre cadafragmento de materia serán no sólo iguales sino también

infinitas, en todas direcciones. Cualquier pequeño desequi-librio en la distribución de la materia alteraría el equilibriode la atracción, sometiendo a los cuerpos a enormes fuerzasasimétricas, mucho más fuertes que la gravitación ordinariaque mantiene a los planetas en sus órbitas o retiene juntas alas estrellas. Las consecuencias serían catastróficas: los as-tros se verían lanzados al espacio interestelar a velocidades

increíbles. Sin embargo, puesto que el universo parecía estar bien cohesionado, Newton llegó a la conclusión de que ladistribución de la materia era de hecho perfectamente unifor-me y que el efecto gravitatorio neto de los objetos distantesera prácticamente cero.

Otra de las inquietudes de Newton se relacionaba conel problema de los cuerpos no sometidos a fuerzas externas,

La ley de la inercia, enunciada primero por Galileo y asumida por Newton como la primera de sus leyes del movimientoafirma que un objeto continúa en un estado de reposo o demovimiento uniforme a menos que sea impulsado a cambiar



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de movimiento por fuerzas que actúan sobre él. Pero no existe

ningún patrón definido por el que juzgar si un objeto está ono en reposo. Por ejemplo, un pasajero en un barco en unanoche perfectamente tranquila puede ver luces que pasan en laoscuridad. Estas luces pueden ser interpretadas como un signode que el barco se mueve hacia delante mientras se cruza conotro que se encuentra parado, pero también puede significarque el barco del observador se encuentra detenido mientras es

el otro barco el que está pasando. O ambos barcos pueden estarmoviéndose. Siempre que los movimientos implicados seanuniformes, es imposible determinar la condición estacionaria.Pero este problema abstracto es resuelto por Newton con otraabstracción. Un objeto está en reposo, señaló, si no poseeningún movimiento en relación con el «espacio absoluto»,que permanece siempre igual e inamovible.

Newton parecía entender el espacio absoluto como unaespecie de rejilla invisible sobre la cual podía trazarse la tra-yectoria de cualquier móvil, lo que suponía la imposibilidaden todo caso de distinguir entre movimiento absoluto y reposoabsoluto. Por otro lado, la teoría de Newton no proporcionaninguna explicación para el curioso hecho de que el peso y lainercia de un cuerpo están determinados por la misma mag-

nitud (su masa), hasta el extremo de que el propio Newtonse había percatado en semejante peculiaridad.

Considerada como un proyecto intelectual para el conjunto de la física, la obra de Newton recibió su primer golpefatal por parte de la teoría de la electricidad de Maxwell. Sehabía llegado comprender con claridad que las interaccioneseléctricas y magnéticas entre los cuerpos no eran debidas a

fuerzas que operan de un modo instantáneo y a distancia,sino a procesos que se propagan a través del espacio a unavelocidad finita. Junto con el punto de masa y su movimien-to, aquí surgió, de acuerdo con el concepto de Faraday, una



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nueva especie de realidad física; es decir, el campo. En una

primera instancia, bajo la influencia del punto de vista de lamecánica, se intentó interpretar el campo como un estadomecánico (de movimiento o tensión) de un medio hipotético(el éter) que llena el espacio. Cuando esta interpretación noresultó adecuada, a pesar de los más obstinados esfuerzos, seadoptó gradualmente la idea de que el «campo electromag-nético» es el elemento final irreducible de la realidad física.

De cuerdo con H.A. Lorentz, el único sustrato del campo esel espacio físico vacío (o éter), que incluso en la mecánica de Newton no estaba desprovisto de toda función física. Es eneste punto, cuando se deja de considerar, dentro de la física,la posibilidad de la acción a distancia incluso en el ámbitode la gravitación.

Pero el valor principal de las contribuciones de Newton

a la física, estriba en la explicación de casi todos los fenóme-nos mecánicos que los humanos podían percibir, desde lastrayectorias de los obuses hasta las de los cometas. En ello se

basa el éxito alcanzado por la física newtoniana a mediadosdel siglo XIX. Las irregularidades observadas en la órbitadel planeta Urano condujeron a dos jóvenes matemáticos,Urbain Leverrier en Francia y John Adams en Inglaterra, a

una sorprendente conclusión: Tenía que existir otro planetamucho más grande y más distante que Urano. Trabajandoindependientemente, utilizaron las leyes del movimiento y dela gravitación de Newton para calcular la posición del nuevo

planeta. En septiembre de 1846 fue descubierto Neptuno,exactamente en el lugar donde Leverrier y Adams habían

previsto. Con ello quedó demostrado el poder y la perfección

de las herramientas intelectuales aportadas por Newton.Al analizar la teoría de Newton hay que tomar en

consideración aspectos que son fundamentales, tanto parasu comprensión como para su aplicación. La mecánica



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2

LA ELECTRICIDAD NO ES NEWTONIANA.

A principio del siglo XVIII los hombres de cienciatenían motivos para sentirse satisfechos y orgullosos. Lamecánica desarrollada por Newton y sus seguidores pare-cía capaz de explicar cualquier fenómeno de la naturaleza.

Desde el movimiento de los astros en el firmamento hasta latrayectoria de los obuses o las ruedas de los carruajes, todoaparentaba obedecer las leyes clásicas del movimiento. Asíque no había razón para suponer que fenómenos entoncesnovedosos escaparan a ese mismo marco explicativo. Uno detales fenómenos, destinado a resquebrajar los cimientos dela inexpugnable física newtoniana, era algo hoy tan familiar

para nosotros como la electricidad y el magnetismoAun cuando la electricidad y el magnetismo eran fenó-

menos conocidos por los griegos y otros pueblos del mundoantiguo, su estudio sistemático no se inició de forma aprecia-

ble hasta el siglo XVII. Sobre ello Newton opinaba con granclarividencia: «(...)es bien conocido que los cuerpos ac-túan unos sobre otros por las atracciones de la gravedad,

el magnetismo y la electricidad; (...) y no es improbableque haya más poderes atractivos que éstos(...).Las atrac-ciones de la gravedad, el magnetismo y la electricidadalcanzan distancias muy considerables, (...) y puede



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haber otras que alcancen sólo distancias tan pequeñas

que escapen a la observación.» (Optica, Libro III).El resonante triunfo de las investigaciones newtonianassobre la gravedad animó a los espíritus inquietos de la épocaa indagar sobre los otros dos «poderes» entonces conocidos,la electricidad y el magnetismo. Desde la antigüedad se sabíaque frotando un fragmento de ámbar, éste adquiría la capaci-dad de atraer trocitos de papel y cuerpos ligeros. Posterior-

mente se observó que los objetos que habían tenido contactocon el ámbar así frotado se repelían entre sí. A principiosdel siglo XVIII, el francés Du Fay llegó a la conclusión deque existían dos tipos de «virtudes» eléctricas, a las que éldenominó resinosa y vítrea. En nuestros días estas dos clasesde electricidad se denotan con los términos «carga positiva» y«carga negativa» (sin que las palabras «positiva» o «negativa»

encierren ninguna valoración ética), cuyo movimiento ocasio-na lo que llamamos «corriente eléctrica». En la segunda mitadde ese mismo siglo, otro científico francés llamado CharlesCoulomb, estableció experimentalmente la ley de la fuerzaexistente entre dos cargas eléctricas que lleva su nombre. Laexpresión matemática de la ley de Coulomb es por completoanáloga a la de la gravedad, y muestra que dicha fuerza se

debilita con el cuadrado de la distancia que separa las cargaseléctricas. Tal como en el caso gravitatorio, la fuerza eléctricano se anula estrictamente más que a una distancia infinita dela carga que la ejerce; esto es, en un sentido riguroso ni lagravitación ni la electricidad se anulan jamás del todo pormucho que nos alejemos de las cargas o las masas.

La exploración del magnetismo siguió un camino para-

lelo al de la electricidad. Pese a ser interacciones detectablesa escala de las distancias cotidianas, tanto las mediciones dela electricidad como del magnetismo resultaban mucho másdifíciles que las de la gravedad, a causa de la existencia de



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cuerpos neutros. A diferencia de lo que ocurre con la gra-

vitación, la gran mayoría de los objetos comunes parecenindiferentes a las influencias eléctricas y magnéticas. Por estemotivo se hubo de aguardar hasta 1750 para comprobar que,nuevamente, una ley del inverso del cuadrado regía las fuer-zas entre polos magnéticos. Las propiedades atractivas sobremetales de la piedra magnetita, conocidas desde muchos siglosatrás, posibilitaron la fabricación de las brújulas marítimas

primero y de los típicos imanes de barra después, que jugaríanun papel determinante en las futuras experimentaciones.El estudio de la electricidad y el magnetismo avanzaba

con esfuerzo, pero hasta el momento no se había logradoesclarecer ninguna conexión entre ambos fenómenos. Estosucedió finalmente en 1820, cuando el sueco Oersted obser-vó cómo la aguja imantada de una brújula era desviada por

la presencia de una corriente eléctrica en su vecindad. Nocontento con ello, Oersted también comprobó que la brújulase balanceaba hacia un lado u otro dependiendo del sentidode la corriente eléctrica o de si se colocaba por encima o pordebajo del cable conductor. Tales descubrimientos suponíanun desafío a la imagen tradicional de la física newtoniana,según la cual todas las fuerzas de la naturaleza eran rectilí-

neas, por cuanto aportaban indicios de que las influenciasmagnéticas operaban a lo largo de líneas circulares.

A pesar de la perplejidad inicial, el científico francésAmpere prosiguió la línea investigadora de Oersted, hallan-do que también se daban fuerzas magnéticas entre cablesconductores de electricidad. Cada vez parecía más claro queexistía una íntima conexión entre la electricidad y el magne-

tismo. La demostración posterior de que las cargas eléctricasen movimiento producen y experimentan fuerzas magnéticas,corroboró definitivamente ese vínculo, a la par que derribabala opinión newtoniana de que todas las interacciones natu-



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rales habían de actuar según líneas rectas. No obstante, si

cualquiera de las dos cargas eléctricas se encuentra en reposo,no existirá fuerza magnética entre ellas.Uno de los hallazgos importantes que es destacable, y

que se origina también en las experiencias de Oersted, es elque realizó François Arago (1786-1853) al comprobar quelas corrientes eléctricas no sólo desvían la aguja magnética,sino que imantan también el acero. El efecto se acentúa si

se repliega la espira conductora y se introduce una varillay se introduce una varilla de hierro siguiendo un eje gira-torio: con ello se ha descubrió el principio del electroimán.Simultáneamente, y casi en forma paralela, André MarieAmpère comprobó que las corrientes eléctricas se atraeno rechazan como lo hacen las cargas electromagnéticas, locual demuestra que dos corrientes eléctricas paralelas y del

mismo sentido se atraen, mientras que las de sentido contrariose repelen. Esto implica que la acción mutua de dos líneasde corriente no paralelas tiende a disminuir el ángulo queforman, dándose con ello los fenómenos de rotación que se

producen en circuitos eléctricos. El hecho descrito dio origena lo que se llama las leyes de Ampère y al comienzo de unanueva rama de la física: la electrodinámica.

Ampère, en 1825, creó los fundamentos teóricos delelectromagnetismo, con la descripción básica de la relaciónexistente entre la electricidad y el magnetismo, expresada através de afirmaciones cuantitativas en una ley sobre la relaciónde un campo magnético con la corriente eléctrica o las varia-ciones de los campos eléctricos que lo producen. Ahora bien,existe asimismo una expresión alternativa a la ley de Ampère,

la que conocemos como ley de Biot-Savart, que también rela-ciona el campo magnético y la corriente que lo produce.

Según Ampère, una corriente eléctrica es asimilable aun imán; por consiguiente, podría reemplazarlo. Demostró



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esta afirmación con un solenoide, o sea, una bobina reco-

rrida por una corriente eléctrica, comprobando que ésta secomporta como un imán. Su éxito lo llevó a formular la hi- pótesis de que el magnetismo es el resultado de minúsculascorrientes que circulan en torno a las moléculas. Ampereredujo el estado magnético, en todas sus manifestaciones,a corrientes moleculares, liberando de esta suerte a la físicade la hipótesis de los fluidos magnéticos, en boga desde

mediados del siglo XVIII.Las consecuencias prácticas de la obra de Ampère sontan considerables como su valor teórico. Se basó para desa-rrollar su trabajo reconociendo en el experimento de Oerstedel medio para medir la intensidad de la corriente (galvanó-metro) y fue el primero en sugerir la emisión de señales adistancia por medio de la corriente eléctrica. Esta última

aportación de Ampere, allanó el camino para la invencióndel telégrafo no implicó el descubrimiento de algún nuevo principio relacionado. Poco después de su muerte ocurridaen 1836, fue construido, por el norteamericano John FinlayMorse en 1837, el primer telégrafo eléctrico.

Como se ha dicho, los primeros pasos del electromag-netismo se dieron bajo el supuesto tácito de que las fuerzas

eléctricas y magnéticas, en estrecha semejanza con la gra-vedad, actuaban a distancia a través del espacio vacío, sinningún agente intermediario que transportase su influencia deunos cuerpos a otros. Esta forma de pensar se había mostradotremendamente fructífera en la gravedad newtoniana y noaparecían razones de peso para abandonarla, pese a que elmismo Newton no quedó muy convencido de su fundamen-

tación lógica. Tal situación cambió radicalmente en el sigloXIX con la obra del británico Michael Faraday, cuyo queha-cer científico inauguró una tradición intelectual que perdurahasta nuestros días basada en el concepto de «campo». Este



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brillantísimo experimentador no poseía apenas preparación

matemática y no pudo por ello formalizar de manera abstractael conjunto de sus descubrimientos. Lo que para un individuocorriente hubiese constituido un escollo insalvable, para elgenio de Faraday fue la puerta abierta que permitió el accesoa una idea clave en la física moderna.

Nacido cerca de Londres en 1791, Michael Faradayera hijo de un herrero cuyos escasos medios económicos no

pudieron costearle los estudios que en su infancia hubieradeseado. A los trece años entró a trabajar en una librería en laque no sólo encuadernaba los libros que allí llegaban sino quetambién los leía encontrando en ellos inspiración para sus yaingeniosos experimentos químicos y eléctricos. Tanto fue asíque asistió a las conferencias del célebre químico británicoSir Humphry Davy, a quien envió encuadernadas al término

de las mismas las notas que había tomado, esmeradamenteilustradas con dibujos de su propia mano. Junto a sus notas seadjuntaba una solicitud de trabajo en el laboratorio de Davy,cosa a la que éste accedió aunque Faraday únicamente sededicase al principio a tareas de importancia menor. Pero conel paso del tiempo la enorme maestría experimental del jovenayudante de Davy iba haciéndose evidente, hasta el punto de

que no tardó en convertirse en colaborador de su maestro ymás tarde en su sucesor. La falta de preparación matemáticade Faraday le impidió familiarizarse con las concepcionesentonces en boga sobre las fuerzas a distancia, concediéndole

por ello una audacia impensable para sus mayores. Esto noquiere decir en modo alguno que sea bueno y conveniente

para un científico prescindir de conocimientos matemáticos.

Muy al contrario, las ideas de Faraday fructificaron de verascuando se alcanzó a darles una correcto formalismo mate-mático –tarea que más tarde ocupó al escocés Maxwell– demodo que fuese posible extraerles todo su jugo intelectual.



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En primer lugar, Faraday no creía en teoría atómica

de la materia, heredada de los griegos, la cual viene a decirque todo lo que existe se compone de diminutos corpúsculosmateriales y espacio vacío entre ellos. A su juicio carecíade sentido hablar de «vacío», pues el espacio en toda suextensión estaba ocupado por una distribución continua demateria, aunque de diferente género a la que compone losobjetos corrientes. En aquellos años era común la opinión de

que el espacio sideral estaba ocupado por una sustancia sutile invisible que transmitía la gravedad de unos cuerpos a otrosde un modo ignorado, por lo que la suposición de Faradayno resultaba en absoluto descabellada. Donde sí sobresaliósu originalidad fue en la serie de imágenes mentales que sudesconocimiento de las matemáticas le obligó a crear a fin decomprender las situaciones físicas que manejaba a diario.

No habiendo en su mente posibilidad de un espaciovacío, Faraday se dispuso a imaginar la acción de las fuerzaselectromagnéticas como si estuviesen producidas por unaespecie de «tentáculos» o «hilos» que trasmitían los tironesy empujones entre cargas eléctricas y polos magnéticos através del espacio intermedio. A la región por la que circu-laban esos tentáculos e hilos hipotéticos se le llamó «campo

de fuerzas». Ya que había renunciado por principio a lasfuerzas a distancia, el genio británico precisaba de «algo»que propagase las fuerzas electromagnéticas de un cuerpoa otro y fuese coherente con los resultados experimentalesconocidos en aquel momento. Así nació el concepto de «lí-neas de fuerza» y «campo magnético» en Faraday, que notardaría en materializarse de forma bien visible.

Con el fin de visualizar un tanto mejor lo que hasta en-tonces sólo era un conjunto de atractivas imágenes mentales,

procedió a esparcir limaduras de hierro en torno a un imánsituado sobre una superficie de vidrio. Pronto comprobó Fara-



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day que las limaduras quedaban magnetizadas y se orientaban

alrededor del imán formando elegantes curvas que iban deun extremo a otro de la barra. Eso era exactamente lo queél había supuesto que ocurriría de acuerdo con su modelotentacular: Los minúsculos fragmentos de hierro eran arras-trados por efecto de las invisibles líneas de fuerza magnéticasque rodeaban al imán, manifestando así su presencia. ¿Quéocurría con ellas cuando se retiraban las limaduras? Todos los

físicos decimonónicos hubieran respondido que las líneas defuerza se esfumaban también; todos menos Faraday. Desdesu punto de vista las líneas eran lo verdaderamente sustancialen el electromagnetismo, y persistían en el espacio tanto siéramos capaces de verlas como si no. Las líneas de fuerzamagnética eran tan reales como los mismos imanes auncuando no pudiesen ser vistas, y los suaves arcos formados

por las limaduras de hierro así lo probaban.

Esparciendo limaduras dehierro a su alrededor, es

posible visualizar las líneasdel campo magnético de

unos imanes

Poco a poco este modelo se fue haciendo más ricoy complejo. No existían acciones magnéticas a distancia,como se ha dicho, sino líneas de fuerza que se extendían enel espacio entre polos y ejercían tales influencias. Un cierto



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número de líneas magnéticas agrupadas formaba lo que se

llamó un «tubo de fuerza», que Faraday imaginaba con uncomportamiento similar a los tubos elásticos de caucho, cuyogrosor indicaba la intensidad del magnetismo allá donde seencontrara. El debilitamiento de la fuerza al alejarnos del polomagnético implicaba que el tubo se ensanchaba dejando unnúmero menor de líneas en cada unidad de sección transver-sal. Estos tubos de fuerza poseían la propiedad de contraerse

longitudinalmente y expandirse en su anchura. Cuando dos polos magnéticos de distinto signo se aproximaban, los ex-tremos de los tubos de fuerza conectaban entre sí y tirabanel uno del otro, originando las atracciones mutuas que todosconocían. En cambio, si los polos eran opuestos los tubos no

podían conectarse y su expansión lateral tendía a separarlos,lo que explicaba la repulsión típica de estos casos.

El gran éxito explicativo de esta perspectiva de pensa-miento, así como el gran número de razonamientos sencillosque suministraba, propiciaron su aplicación a otras áreascolindantes de la física. Así, comenzó a hablarse muy prontode «líneas de fuerza eléctrica» o «líneas de fuerza gravitacio-nal». Las partículas elementales portadoras de carga eléctricanegativa, o electrones –descubiertas con posterioridad a Fa-

raday– tenían sus líneas orientadas desde fuera hacia adentro por convenio. Por un convenio semejante las líneas de fuerzadel protón, la partícula de carga positiva, salían de dentrohacia afuera. La principal distinción del campo gravitatorioestribaba en que sus líneas de fuerza eran siempre atractivasy se orientaban hacia el interior de las masas.

Incluso Faraday llegó a pensar que con esta concep-

ción de las interacciones podía hallarse la explicación a sudebilitamiento con el cuadrado de la distancia. Puesto quelas líneas y los tubos de fuerza se extienden en el espacio entodas direcciones, presentan simetría esférica en su distribu-



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ción espacial, (en la esfera todos los ejes son equivalentes sin

que haya una dirección preferida). Sabemos que estas fuerzasdisminuyen al separarnos de la fuente que las produce; perocuanto más alejados estemos del polo, de la carga o de la masaque generan la fuerza, mayor será la superficie de la esferaque la rodee. Y como la superficie de una esfera es igual a4πr 2, he ahí la explicación: las líneas de fuerza se diseminansobre una superficie esférica que crece con el cuadrado de la

distancia al centro, luego las fuerzas que portan dichas líneasse debilitan en igual medida.En la actualidad la moderna idea de campo se ha ge-

neralizado, llegando a ser mucho más elaborada y refinadaque la primigenia concepción de Faraday. Ahora bien, suesencia sigue siendo la misma: comprender las interaccionesfísicas mediante el concepto de campo, entendido éste como

una propiedad física que se extiende sobre una región delespacio, y se describe por una función de la posición y deltiempo. Una partícula dada, por ejemplo, produce a su alre-dedor un campo cualquiera (electromagnético, gravitacionalo nuclear), el cual interacciona con las demás partículas desus cercanías. Esas partículas, a su vez, generan sus propioscampos, que interaccionan con el de la primera dando lugar

así a una influencia mutua.Se destacó con insistencia que sólo las cargas móvi-

les podían generar o ser afectadas por campos magnéticos.¿Cómo es posible entonces que un imán, al fin y al caboun trozo de metal sin cargas ni movimientos aparentes,sea capaz de crear efectos magnéticos en su vecindad? Larazón se encuentra en el movimiento microscópico de las

cargas eléctricas de los átomos que componen el imán. Loselectrones, portadores elementales de la carga negativa, semueven en órbitas en torno al núcleo de los átomos de formasemejante a como los planetas se mueven alrededor del Sol.



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El movimiento de esos electrones orbitales, que son cargas

eléctricas en continuo giro, provoca la aparición de un campo magnético asociado muy débil pero real. El fenómeno sehace perceptible a gran escala cuando ocurre _como en losimanes_ que ciertos materiales metálicos alcanzan un estadode mínima energía, y por ello más estable, disponiendo en lamisma orientación todos los campos magnéticos generados

por sus átomos. El efecto combinado del conjunto de los áto-

mos del metal crea finalmente el campo magnético asociadoal imán que todos conocemos.La existencia en el imán de un polo norte y uno sur

también recibe cumplida explicación con este modelo. Ima-ginemos a los electrones girando en órbitas circulares en susátomos, y supongamos que la circunferencia de su trayectoriaestá frente a nuestra vista. Si el electrón gira en el sentido de

las agujas de un reloj (giro horario), las leyes del electromag-netismo aplicadas a esa carga en movimiento nos asegura queengendrará unas líneas de campo magnético iguales a las de un

polo norte. Pero si a continuación observamos su trayectoria por el lado de atrás, el sentido de giro será lógicamente el con-trario (giro antihorario) y a todos los efectos nos encontraremosante un polo sur. La orientación en el mismo sentido de todas

las caras «polo norte» de las órbitas electrónicas en el conjuntode los átomos del metal, y la correlativa orientación de todoslos «polos sur», es la responsable de que en el imán se tenganasimismo ambos polos. De aquí podemos deducir el curiosohecho de que el polo norte de la Tierra no es en realidad el

polo sur magnético, ya que las agujas imantadas de las brújulas(polos norte) se orientan en la dirección del norte geográfico a

pesar de que los polos de la misma naturaleza se repelen y loscontrarios se atraen, al estilo de las cargas eléctricas.

En efecto, de ser el polo norte de la Tierra un nortemagnético las agujas de las brújulas deberían verse repelidas



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por él, a no ser que cambiásemos la polaridad de éstas últimas.

Por tradición las agujas de las brújulas se mantienen imanta-das como polos norte, y también por tradición se denomina«polo norte» a aquél al que apuntan dichas agujas. No hayninguna razón determinante para ello puesto que en el espaciono existen direcciones privilegiadas, mas en este asunto comoen muchos otros la costumbre se ha hecho ley.

Parece claro que ahora podemos prescindir con toda

tranquilidad de la discutida «acción a distancia», tan temida por los filósofos. No es ya que dos cuerpos actúen uno sobreel otro sin contacto y a través del espacio vacío entre ellos.Lo que acaece, desde este punto de vista, es que los camposoriginados por ambos interaccionan entre sí transportandolas influencias mutuas del uno al otro. Ahora bien, siendoesto cierto es fácil percatarse de que la transmisión de las

interacciones de una carga o una masa a otra se tomará untiempo determinado distinto de cero. En la época de Newtonse suponía tácitamente que las acciones a distancia, como lagravedad, ocurrían instantáneamente; bastaba con modificarla posición de una sola masa para que los efectos de esecambio se transmitiesen instantáneamente a todas las demásmasas del universo.

Empero, con el campo como mediador esto no puedeser así. La variación en la posición de una masa modifica laestructura del campo en sus proximidades, y esa modificaciónse ve extendiendo hacia regiones cada vez más distantes de lafuente del campo hasta alcanzar la posición de la masa sobre laque actúe. Parece evidente entonces que la ley newtoniana deacción y reacción no puede mantenerse en su forma original.

De acuerdo con su enunciado, a cada fuerza ejercida por uncuerpo sobre otro se opone otra igual y opuesta que ejerce ésteúltimo sobre el primero, donde se admitía que tales fuerzaseran también instantáneas. Como ahora sabemos que no sucede



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así, puesto que las modificaciones en el campo que portan la

interacción tardan un tiempo no nulo en propagarse, resulta enla práctica que a cada fuerza ejercida por un cuerpo no siguede inmediato una fuerza de reacción, como creía Newton. Laantigua suposición de la instantaneidad de las fuerzas no sedebía más que a la extrema rapidez con la que éstas se propaganen los casos en que nos es posible observarlas.

La fertilidad de la visión del campo conforme a Faraday

se probó por el hecho de que algunos años después de que se popularizase, ofreció un mecanismo plausible para justificarla aparición de ondas electromagnéticas. El razonamientoera sencillo: Una partícula cargada, digamos un electrón, seencuentra rodeada de sus líneas de fuerza, las cuales poseensimetría esférica cuando está en reposo. Pero al acelerarse losextremos más alejados de las líneas se retrasarán con respecto a

las partes más próximas al electrón, que siguen su movimientomás de cerca. Una situación parecida a lo que ocurre cuandouna mujer con una melena larga gira la cabeza bruscamente:los tramos de su pelo más cercanos al cuero cabelludo apenasse agitarán, mientras que las puntas de su cabellera ondularánde forma visible. En nuestro caso, los tramos más lejanos delas líneas de fuerza tardarán un tiempo en adaptarse al cam-

bio de posición del electrón acelerado, en tanto que los máscercanos lo harán enseguida. Los rizos de las líneas de fuerzaque se propagan desde el electrón hacia el exterior comoconsecuencia de su movimiento acelerado son, en efecto, lasondas electromagnéticas estudiadas por los físicos.

La misión de dar forma matemática a las ideas deFaraday fue asumida por J.C. Maxwell, de quien se habló

en el capítulo anterior a colación de sus contribuciones a latermodinámica. A diferencia de Faraday, quien en sus últimosaños pretendía despojar al éter de toda realidad en beneficiode sus líneas de fuerza, Maxwell se propuso elaborar una



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teoría del electromagnetismo fundada en la existencia de

un medio continuo _el «éter electromagnético»_ , invisibley omnipresente, cuyas propiedades mecánicas pudiesen darcuenta de las líneas de fuerza inventadas por Faraday.

Con este propósito, Maxwell comenzó por suponer quesu éter se componía de un sistema de ruedecillas y engrana-

jes a imagen y semejanza de las maquinarias del siglo XIX.Dado que el campo magnético parecía exhibir una naturaleza

curvilínea, el físico escocés lo representó mediante una seriede rodillos o cilindros rodantes cuyos giros reprodujesen conexactitud todos los efectos magnéticos conocidos por entonces.Sin embargo, los rodillos contiguos que girasen en el mismosentido se moverían en sentidos contrarios en su zona de con-tacto, produciendo con ello choques y fricciones indeseables enel marco de la teoría. A fin de evitar esas fricciones, Maxwell

recurrió a la misma solución que los ingenieros en las máquinasreales: situó entre cada dos rodillos una pequeña bolita de étera modo de cojinete, lo que evitaba todo rozamiento cualquieraque fuese el sentido en que aquellos se moviesen.

Si la rotación de esos rodillos engendraba el magne-tismo, era el movimiento de las esferitas colocadas entreellos la que representaba las corrientes eléctricas. Al girar

los rodillos en el mismo sentido las bolitas intersticialesquedaban en su lugar sin desplazarse, con lo que teníamosun campo magnético uniforme. Pero en el instante en queuna fila de rodillos rotaba en sentido contrario a la de al lado,el giro concertado de ambas impulsaba a las esferitas en unmovimiento que dependía del sentido de la rotación. En todocaso, su circulación constituye una corriente eléctrica cuya

tensión estaba determinada por la presión que las esferitas seejercían mutuamente. A su vez, cuando las bolitas se muevencoordinadamente en el mismo sentido, imponen a los rodillosde su alrededor un giro, también ordenado, de forma que el



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efecto final es la aparición de un campo magnético en torno

a la corriente tal como sucedía en realidad.La teoría electromagnética que Maxwell construyó sehallaba basada en unas suposiciones («no hay cargas», «existeun éter que transporta las influencias electromagnéticas», «eseéter obedece la mecánica clásica»...) que entonces resultabanchocantes y hoy nos pueden parecer completamente desca-

belladas. No obstante, su éxito práctico fue tan inmenso que

pronto se olvidaron las dificultades de su cimentación teóricaen beneficio de las posibilidades técnicas y experimentalesque abría. De hecho, Maxwell fue el primero que consiguiódesarrollar una teoría de campos completa con total inde-

pendencia de las teorías newtonianas de fuerzas a distancia.Con anterioridad a su obra cuantos científicos se sentían in-cómodos con las acciones a distancia, habían carecido de una

verdadera teoría de campos que oponer como alternativa. Yeso fue precisamente lo que el sabio escocés les brindó.Por muy extravagante que en un principio resultase el

modelo mecánico de Maxwell –y no fueron pocas las críticasque recibió por ese motivo– no era menos cierto que encajabaa la perfección con todos los datos experimentales conocidosen la época, al tiempo que arrojaba predicciones que más

tarde se demostraban correctas. La más sonada de ellas fuela posibilidad de deducir a partir de las ecuaciones del éterde Maxwell, la propagación de ondas electromagnéticas en elvacío con la misma velocidad de la luz. La posibilidad de quela luz consistiese en una onda de naturaleza electromagnéticaflotaba en el ambiente científico de finales del siglo XIX. Dehecho Maxwell se proponía demostrar con sus trabajos que

su éter electromagnético y el éter luminífero de la ópticaondulatoria eran el mismo, por lo que tales conclusiones nole sorprendieron demasiado. Por fin, en 1888 el joven físi-co alemán Heinrich Hertz demostraba que las oscilaciones



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inducidas por chispas eléctricas en un circuito abierto se

propagaban en el aire a la velocidad de la luz. Había quedadodefinitivamente probado el origen electromagnético de lasondas luminosas y robustecida la teoría de Maxwell.

Sólo después de bastantes años de esfuerzos, y principalmente gracias a las ecuaciones de Maxwell, fue posibledeterminar las leyes generales que rigen el electromagne-tismo, divisando finalmente la unidad sustancial de ese

enorme abanico de fenómenos tan dispares. En concreto,las ecuaciones de Maxwell son relaciones que describen, enun cierto entorno, el estado del campo magnético debido alas variaciones espaciales y temporales del campo eléctrico,y viceversa, el estado del campo eléctrico causado por lasvariaciones espaciales y temporales del campo magnético.Los campos eléctrico y magnético son vectoriales, lo que

quiere decir que para definirlos correctamente necesitamostanto su intensidad como su orientación espacial.Sabiendo esto comentemos brevemente el significado

de las ecuaciones de Maxwell. La primera de ellas expresaque la variación espacial del campo eléctrico es igual a lavelocidad de cambio del campo magnético con signo opuesto.Es decir, la variación espacial del campo eléctrico se opone a

la variación temporal del campo magnético, y a la inversa.La segunda ecuación nos dice que la cantidad de líneas

de fuerza eléctrica netas (las que salen menos las que entran)que emergen de una región del espacio es igual a la densidadde carga eléctrica que encierra dicha región.

De forma similar, la tercer ecuación nos indica que lacantidad neta de líneas de fuerza magnética que salen de la

región de espacio considerada es cero. El motivo es la formacurvada de las líneas del campo magnético. Esta circunstanciaes la responsable de que en cualquier volumen del espacioentren tantas líneas como las que salen, con lo que el balance



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es nulo; o dicho de otro modo, no existen «cargas magnéti-

cas» en el mismo sentido en que existen cargas eléctricas. Elmagnetismo está siempre producido por el movimiento decargas eléctricas, y no es posible encontrar cargas magné-ticas aisladas de la misma manera que encontramos cargaseléctricas en partículas como el protón o el electrón.

Por último, la cuarta ecuación de Maxwell señala quela variación espacial del campo magnético se debe a dos

efectos combinados: la densidad de corriente eléctrica, juntocon la velocidad de cambio del campo eléctrico.La reunión de las cuatro ecuaciones de Maxwell –cuyo

aspecto ya no es tan terrible cuando se comprende lo quetratan de decirnos– reúne todo el conocimiento que la físicaclásica es capaz de brindarnos acerca del electromagnetismo.Tanto es así que hasta ahora esta rama de la física es la única

que se ha podido formular de modo matemáticamente compa-tible y lógicamente cerrado. Este extremo supone una suerte,no sólo para los científicos sino para toda la humanidad, puesla interacción electromagnética es la que gobierna la mayor

parte de los fenómenos interesantes a escala humana y casitodos los avances técnicos en los que se funda la modernacivilización tecnológica.

En particular, demuestran que las variaciones de uncampo eléctrico engendran un campo magnético, y recípro-camente. Por consiguiente, las ondas electromagnéticas, queconsisten en el acoplamiento de campos eléctricos y magnéti-cos oscilantes, son autónomas puesto que una vez generadasno precisan de nada externo para seguir propagándose. Noes necesario ya suponer la existencia de un medio hipotético

como el «éter», cuyas vibraciones se creían responsables dela transmisión de la luz en el vacío. Y ya no es necesario

porque vemos que los componentes eléctricos y magnéticosde la onda son capaces de engendrarse mutuamente, posi-



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bilitando con ello su propagación en ausencia de cualquier

medio transmisor.Las ecuaciones de Maxwell nos suministran toda lainformación necesaria para determinar los cambios en el es-

pacio y en el tiempo de los campos eléctricos y magnéticosuna vez dadas las distribuciones de cargas y corrientes. Esdecir, al igual que ocurría con las leyes del movimiento y dela gravitación de Newton, la electrodinámica maxwelliana es

una teoría «dualista»: por una lado establece las ecuacionesque gobiernan el comportamiento de las magnitudes del campo (los vectores E y B), mientras que por otro se añaden lasleyes que rigen sobre las fuentes del campo (las cargas y lascorrientes eléctricas). La separación tajante entre las leyes delcampo y las de las fuentes que lo producen, ha sido origen deinagotables controversias teóricas hasta nuestras fechas.

Es obvio que los resultados alcanzados por los trabajosde Maxwell fueron relevantes para la física, pero comportaronademás consecuencias quizás más significativas aún. Si agita-mos una carga eléctrica hacia arriba y abajo, produciremos de-

bido a los cambios que hemos generado en la carga, un campomagnético. Ahora, si estos cambios de la carga son regulares,de hecho produciremos un campo magnético cambiante. Este

campo magnético cambiante producirá a su vez un campo eléc-trico cambiante, que a su vez producirá un campo magnéticocambiante, y así sucesivamente. Una alteración «electromag-nética», u onda, se moverá hacia fuera. Para los físicos, ello esestar frente a la presencia de un notable resultado.

La teoría maxwelliana probó que una carga eléctricaacelerada distorsionaría las líneas de fuerza en el sentido de

su avance de un modo que la distorsión de las líneas en su parte trasera no podría compensar. En consecuencia se hace preciso que la carga transfiera una cantidad de energía a todoel espacio a fin de mantener íntegra la estructura del campo



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en todo lugar. En eso consiste justamente la producción de

ondas electromagnéticas. Tales ondas portan además una ciertacantidad de energía y de impulso, por lo cual a partir de ahorasiempre que haya campos presentes (y de hecho siempre loshay, aunque sólo sea por la presencia de la gravedad) habremosde tomar en cuenta la energía y el impulso de la materia juntoa la energía y el impulso de los campos asociados a ella.

Pero lo que sí resulta ser todavía de mayor importancia,

especialmente para el desarrollo posterior de la física teórica,es la contribución matemática de Maxwell que permite cal-cular, basándose solamente en la medición de la potencia delas fuerzas eléctricas y magnéticas entre las cargas estáticasy dinámicas, con qué velocidad se movería esa alteración.Las ecuaciones predicen que la velocidad de esas ondas al-terativas es de 300.000 kilómetros por segundo, exactamente

la velocidad de la luz tal como se había determinado ya pordiversos experimentos. Maxwell llegó a la conclusión deque estas ondas electromagnéticas eran similares a la luz,que se sabía que tenía una naturaleza ondulatoria. De hecho,decidió, la luz visible era simplemente una de muchas formasde energía electromagnética, que se distinguía de las otrassólo por su diferente longitud de onda.

Según la teoría de campos los cuerpos interaccionan por medio de loscampos de fuerzas que generan a su alrededor



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Así fue como Hertz, en 1888, logró producir ondas por

medios exclusivamente eléctricos y, a su vez, demostrar queestas ondas poseen todas las características de la luz visible,con la única diferencia de que las longitudes de sus ondasson manifiestamente mayores. Ello, deja en evidencia quelas ondas eléctricas se dejan refractar, reflejar y polarizar, yque su velocidad de propagación es igual a la de la luz. La

propuesta de Maxwell quedaba confirmada y la existencia

de las ondas electromagnéticas se consideró una realidadinequívoca. Establecida la posibilidad de transmitir oscila-ciones eléctricas sin alambres, se abrieron las puertas parael desarrollo de las innumerables invenciones técnicas quehan protagonizado tan significativamente el progreso de lacivilización contemporánea.

Las investigaciones de Maxwell y Hertz no sólo se

limitaron al ámbito de las utilizaciones prácticas, sino queentrañaron también importantes consecuencias teóricas.Todas las radiaciones se revelaron de la misma índole físi-ca, diferenciándose solamente en la longitud de onda en lacual se producen. Su escala comienza con las largas ondashertzianas y, pasando por la luz visible, se llega a los rayosultravioleta, los rayos X, y los gamma.

Ahora, la teoría electromagnética de Maxwell, pese asu belleza, contiene también sus propias carencias y debi-lidades, ya que deja sin explicación fenómenos tan obvioscomo la absorción o emisión; el fotoeléctrico, y la emisiónde luz por cuerpos incandescentes. En consecuencia, pasadoel entusiasmo inicial, fue necesario para los físicos, como loshizo Planck en 1900, retomar la teoría corpuscular. Pero la

salida al dilema que presentaban las diferentes teorías sobrela naturaleza de la luz, empezó a tomar forma en 1895 en lamente de un estudiante de dieciséis años, Albert Einstein,que en el año 1905, en un ensayo publicado en el prestigioso



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periódico alemán Anales de la física, abrió el camino para

eliminar la disparidad entonces existente en las considera-ciones formuladas sobre el comportamiento de la luz. Contal propósito introdujo el principio que más tarde se haríafamoso como Relatividad.

No es sorprendente, pues, que la luz sólo resulte seruna onda electromagnética, cuya velocidad se determina entérminos de dos constantes fundamentales de la naturaleza: la

intensidad de la fuerza eléctrica entre partículas cargadas y laintensidad de la fuerza magnética entre imanes. Sin embargo,esto en aquella época exacerbó un dilema. Los físicos de laépoca creían que todas las ondas requerían algún medio que lastransportara, del mismo modo que el agua transporta las olasen el océano. Pero el espacio a través del cual viaja la luz delas estrellas se consideraba en general como vacío. La solución

adoptada fue postular la existencia de un medio transportadorde las ondas llamado éter, una materia insustancial e invisibleque no impedía el movimiento de los cuerpos celestes.

En 1887, dos científicos norteamericanos, Albert Mi-chelson y Edward Morley, realizaron un experimento paradetectar el éter mediante un dispositivo denominado inter-ferómetro. Este instrumento, desarrollado por Michelson,

utilizaba el principio de interferencia de las ondas de luz –elfortalecimiento o debilitamiento de las ondas que se hallandesfasadas– para medir la velocidad de la luz en diferentesdirecciones. Si la Tierra se mueve a través del éter, razona-ron, entonces un rayo de luz orientado en la dirección delmovimiento de la Tierra viajará a una velocidad diferentede la de un rayo que se mueva perpendicularmente a ese

movimiento: el movimiento de la Tierra y el movimiento dela luz que apunta hacia delante se sumarán, mientras que elotro rayo no obtendrá ningún impulso del movimiento de laTierra: Michelson y Morley quedaron asombrados cuando



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su experimento les indicó que, independientemente de la

dirección a la que fuera apuntado el rayo de luz, su velocidadera siempre la misma. Convencidos de que su equipo debíade tener algún fallo, repitieron el experimento con mayor

precisión. Pero los resultados fueron idénticos, lo cual lesobligó a llegar a una conclusión completamente opuesta alsentido común: La velocidad de la luz no resulta influencia-da por el movimiento de su fuente o el movimiento de un

observador. Es siempre la misma.Una fuente de luz enviaba un rayo de luz a una delgada placa plateada que permitía que parte de la luz pasara a su tra-vés y reflejaba el resto en ángulo recto. Los dos rayos viajabanentonces distancias iguales a unos espejos que los reflejaban devuelta a la placa. La luz se unía de nuevo en un solo rayo paraentrar en un visor. Allí, un dispositivo medía las ondas de luz

para determinar si los dos rayos llegaban simultáneamente.Se trataba de un resultado que ponía de manifiesto un pro-fundo antagonismo entre las ondas electromagnéticas y la nocióndel espacio establecida por las leyes de la física clásica.

Semejante situación atormentó durante más de dos dé-cadas a los físicos de la época, consternados ante su incapaci-dad de zanjar satisfactoriamente el problema. Si el espacio y

el tiempo son absolutos, entonces no es posible para dos ob-servadores, el uno en movimiento y el otro en reposo, percibirel mismo rayo de luz como moviéndose a la misma velocidadrelativa con respecto a ellos. Pero eso era precisamente loque los resultados de Michelson y Morley implicaban. Al

parecer, o Newton o Maxwell estaban equivocados, aunquecada una de sus teorías parecía funcionar impecablemente

dentro de sus propios ámbitos de publicación.Esta inesperada conclusión permitió comprender a

Einstein a que la velocidad de la luz es una constante, dando paso con ello a un nuevo capítulo en la historia de la física.



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EINSTEIN: LA IMAGINACIÓN RAZONADA

En los últimos años del siglo XIX existían algunosdatos experimentales que parecían oponerse a los resultadosesperables según los postulados de la física clásica. Uno deaquellos experimentos discordantes se relacionaba con el vie-

jo problema del movimiento. Desde Newton y sus sucesoresse admitía la estricta validez de las leyes de la mecánica entodos los sistemas de referencia que estuviesen en reposo oen movimiento inercial (rectilíneo y uniforme) con respectoal espacio absoluto. La física decimonónica había sustituidola idea del espacio absoluto newtoniano por la del éter, queen la práctica cumplía exactamente las mismas funciones.

El «éter» era una sustancia invisible e intangible queocupaba todo el espacio vacío, ya fuese entre planetas, ob-

jetos comunes o átomos. De hecho se suponía que el vacíoabsoluto era sólo una idealización, pues allá donde no hubiesemateria ordinaria se encontraba el éter, al que se atribuíanlas más contradictorias propiedades físicas dependiendo delas necesidades del momento.

Por aquellos tiempos se suponía que las vibraciones deléter eran lo que hoy llamamos una onda luminosa. Y dadoque el éter se hallaba en todas partes, no había problemaen explicar la propagación de la luz como una vibración en



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forma de onda a través del vacío, donde aparentemente no

había nada que pudiese vibrar. La dificultad surgía de quelos experimentos de polarización indicaban que la luz erauna vibración transversal, esto es, la onda oscila en direc-ción perpendicular a la de su avance. Ya el propio Newtonhabía especulado con la posibilidad de que la luz estuviesecompuesta de corpúsculos asimétricos (en sus palabras, loscorpúsculos luminosos tenían «lados»), lo que explicaba su

comportamiento al atravesar ciertos minerales cristalizados.Si el cristal mineral se colocaba en una determinadaorientación la luz pasaba a su través sin ningún problema;

pero si se superponían dos de estos cristales en cruzados enorientaciones mutuamente perpendiculares, la luz era detenida

por completo. Los padres de la moderna teoría ondulatoria dela luz no tardaron en comprender que la única explicación de

estos fenómenos en el marco de su modelo era suponer que lasondas luminosas eran transversales. De este modo las molé-culas de un mineral, orientadas en una determinada dirección

por su estructura cristalina, solo permitían el paso a las ondasde luz que vibrasen en esa misma dirección («polarización» dela luz). Es obvio asimismo que situando tras el primer cristalotro perpendicular a él, lo que conseguimos es cerrar cualquier

posible paso a las ondas que atraviesan el primero.Por la física clásica se sabía que la velocidad de una

onda transversal depende de la rigidez del medio transmisor,y la enorme velocidad de la luz (300.000 km/s) parecía exi-gir, por tanto, una rigidez en el éter igualmente desorbitada.

No obstante, ya que los planetas se desplazan por el espaciosin oposición aparente que los frene, el éter debía ser a la

vez extremadamente tenue, pues de lo contrario los cuerposcelestes perderían velocidad a causa de la fricción contra él.Este es tan sólo una ilustración de las paradojas que aqueja-

ban al éter en el último tercio del siglo XIX; paradojas que,



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pese a desagradar a muchos, se juzgaban ineludibles a fin de

explicar todos los fenómenos conocidos acerca de la luz.Una de las escasas ventajas que proporcionaba la creen-cia en una sustancia como ésa, consistía en que un sistema dereferencia en reposo respecto al éter podía ser consideradoen reposo «absoluto», suministrando de esa forma un marcoindispensable para las leyes de la física clásica. Con igualderecho, cualquier sistema de referencia (también llamado

referencial) en movimiento respecto al éter, se hallaría enmovimiento «absoluto», lo que insinuaba una atractiva ma-nera de probar indirectamente la existencia del éter. Bastaríacon medir la velocidad absoluta de un móvil referida al estehipotético medio para contar con una evidencia indirecta desu realidad. Ahora bien, la física de Newton había estableci-do, por su principio de Relatividad, que ningún experimento

mecánico podía discernir entre un sistema en reposo y otroen movimiento inercial.Esto era cierto en lo tocante a experimentos mecánicos,

pero nada se decía de experimentos electromagnéticos. Elelectromagnetismo se había desarrollado con bastante poste-rioridad a la época de Newton y para él no valía su principiode Relatividad. El reto consistía así en medir la velocidad

absoluta de una onda luminosa respecto al éter, tarea nadasencilla teniendo en cuenta la impresionante velocidad de laluz, abreviadamente c. Como ya sabemos, las dificultadesexperimentales no eran suficiente para arredrar a un hom-

bre con el ingenio y la inventiva del físico estadounidensede origen polaco Albert Michelson, cuyas investigacionesexperimentales con interferómetros y rayos de luz no detec-

taron diferencias en la velocidad de la luz de rayos emitidosen distintas direcciones. El dilema estaba servido a causa dela aberración de la luz estelar, es decir, la ligera inclinaciónque hemos de dar al telescopio para observar una estrella



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debida al movimiento orbital de la Tierra. Este efecto indi-

caban que la velocidad de la luz debía quedar afectada por suorientación con respecto a la dirección de avance de nuestro planeta, luego el valor de c debía dependería de algún mododel movimiento en relación al éter. Pero las conclusiones deMichelson y Morley señalaban lo contrario.

En los años siguientes se propusieron multitud de solu-ciones para justificar estos resultados negativos, la inmensamayoría de las cuales discutían detalles concretos del dispo-sitivo experimental. Fueron muy pocos quienes se atrevierona adoptar la alternativa obvia: que no existía ni viento de éter

ni el éter mismo, y que los experimentos de Michelson-Mor-ley se explicaban aceptando que la velocidad de la luz erala misma con independencia del movimiento del observadorque la midiese. Y de entre estos últimos sólo la genialidad

Versión moderna del montaje experimental correspondiente al experi-mento de Michelson-Morley



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del físico Albert Einstein le llevó a concebir una teoría que

desarrollase por entero esta hipótesis. Nacido en la localidadalemana de Ulm en 1879, Einstein se nacionalizó suizo ensu juventud para escapar al militarismo prusiano entoncesimperante en su país. Los trabajos de investigación teórica querealizó mientras trabajaba como empleado de una oficina de

patentes en Berna, pronto le ganaron la admiración de la co-munidad científica. Gracias a ello se le concedió un puesto en

el Instituto de Física Teórica de Berlín, donde prestó todo suapoyo a los movimientos pacifistas que trataban de mitigar losdesastres de la Primera Guerra Mundial. Con el advenimientodel nazismo en Alemania, Einstein partió hacia los EstadosUnidos –país cuya nacionalidad adquirió– donde prosiguiósu labor investigadora en la universidad de Princeton hastaque la muerte le sorprendió a los 76 años de edad.

Pese a que se ha insistido en innumerables ocasionesque los fallidos experimentos de Michelson condujeron aEinstein a su teoría de la Relatividad, lo que en realidad ledecidió a romper con la física clásica, fue la asimetría existenteen ésta entre ciertos fenómenos que dependían en exclusiva deun movimiento relativo. Al agitar, por ejemplo, un imán cercade una espira conductora se genera una corriente eléctrica. El

efecto final es exactamente el mismo si movemos la espiracon el imán fijo o el imán es el que se mueve y no la espira;en cambio, la explicación que la física clásica ofrecía en losdos casos era radicalmente distinta. Este género de insatisfac-ciones formales, y no el resultado negativo de un experimentoconcreto, llevaron a Einstein a publicar en 1905 su TeoríaEspecial de la Relatividad, que se denominaba de este modo

por ocuparse únicamente de los movimientos inerciales.En 1903, el físico holandés, Hendrik Anton Lorentz,

propuso una interpretación: si la luz no parece propagarsemás rápidamente en el sentido perpendicular al desplaza-



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miento del globo, es porque el brazo del interferómetro se

acorta en el sentido del movimiento de la Tierra, compen-sando exactamente la diferencia de velocidad. Esta hipótesisartificial, inventada por la necesidad del momento, recibióuna fría acogida. En este momento Einstein con la genialidadde resolver el problema apelando a un principio que tenía tressiglos de antigüedad, el de la relatividad galileana.

Cada vez que necesitamos analizar o describir un fenó-

meno físico debemos recurrir necesariamente a un sistema dereferencia con respecto al cual efectuamos mediciones. Comoes obvio, el sistema de referencia que más se utiliza, es laTierra misma que, en general, se supone inmóvil, a pesar deque gira sobre sí misma y alrededor del Sol, recorriendo elespacio cósmico a una velocidad de 30 km/seg. Pero, cuandose requiere describir el movimiento de los planetas, usual-

mente se concurre para ello a utilizar al Sol como punto dereferencia, o, más precisamente, como centro de un sistemade referencia donde este astro está fijo. Pero ni el Sol, ni lasestrellas vecinas a él, se encuentran realmente fijos: el Sol sehalla en las regiones externas de una galaxia que rota dandouna vuelta completa en millones de años. A su vez, esta ga-laxia se mueve con respecto a otras galaxias, etcétera.

En las mediciones prácticas, afortunadamente, no es preciso tomar en cuenta todos estos movimientos porque lasleyes de la física son las mismas en cualquier sistema de refe-rencia. Este principio fundamental se aplica aun para sistemasde referencia terrestres: en la época de Galileo, los filósofosdiscutían si una piedra, lanzada desde lo alto del mástil deun barco en movimiento, cae verticalmente con respecto al

barco o con respecto a la Tierra. Galileo argumentó que en elsistema de referencia del barco, las leyes de la física tienen lamisma forma que en tierra firme y por lo tanto, la piedra caeverticalmente con respecto al barco, aunque éste se mueva.



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Así, todo movimiento es relativo al sistema de referen-

cia en el cual se observa y, las leyes de la física, no cambianentre ellos cuando tales sistemas son inerciales. Este hechofundamental se conoce como principio de relatividad deGalileo. A este principio va asociado una transformaciónde coordenadas entre un sistema de referencia y otro. Estatransformación, como su nombre indica, relaciona las coor-denadas de un cierto referencial con las de otro que se mueve

inercialmente respecto del primero. La transformación que preserve la validez de las leyes de Newton de un sistema aotro es la que conviene a la física clásica, puesto que respetasu principio de relatividad. La llamada «transformación deGalileo» es la que cumple todos estos requisitos.

Es necesario correlacionarde algún modo las descrip-ciones de la realidad ofreci-

das desde diversos sistemasde referencia

Pero es también esta transformación la que no conservalas leyes maxwellianas del electromagnetismo al pasar deun sistema inercial a otro. Una onda electromagnética, por



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ejemplo, no mantiene su forma ni sus propiedades cuando la

describimos en un referencial que se mueve uniformementerespecto de aquél en el que la onda ha sido emitida. Anteesta disyuntiva el conjunto de los científicos que precedie-ron a Einstein se limitaron al intento de modificar la teoríaelectromagnética para encajarla en el principio clásico deRelatividad. Solo El sabio alemán tuvo la valentía necesaria

para abordar el problema por el camino opuesto: admitir

que era el principio de relatividad válido en el electromag-netismo el que debía regir sobre la totalidad de la física, yque era la mecánica clásica la que debía ser modificada enconsecuencia. El resultado de estos razonamientos llevó aEinstein a desarrollar una teoría de rango superior; esto es,la Relatividad no es una nueva teoría de la mecánica, ni delelectromagnetismo, ni de ninguna otra parcela de la física.

Constituye en realidad una condición previa para que cual-quier teoría pueda ser considerada físicamente aceptable.Con ello Einstein extiende la validez de este principio

mecánico de relatividad a experiencias ópticas, admitiendoque, en el vacío, la velocidad de la luz es siempre constantee independiente del movimiento de la fuente luminosa. Laconstancia de la velocidad de la luz explica, inmediatamente,

el resultado negativo del experimento de Michelson. Se sabeque el movimiento orbital de la Tierra no es uniforme, perodurante la infinitesimal fracción de un segundo que empleala luz para llegar en el interferómetro de Michelson de unespejo a otro, el movimiento terrestre puede ser consideradocomo uniforme y rectilíneo.

De todo ello se desprende una conclusión de trascen-

dental importancia. Si la velocidad de la luz es constante, seencuentre la fuente emisora en un sistema en movimiento oen un sistema en reposo, lo que varía es el propio marco denuestras mediciones, el espacio y el tiempo, y con ellos la



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longitud y la duración. Cuando éstas son medidas en sistemas

con diferentes velocidades, la longitud se acorta y la duraciónse dilata, tanto más cuanto más se aproxime la velocidad delreferencial a c.

La constancia de la velocidad de la luz cualquieraque sea el origen del movimiento, que Einstein introduceal formular su teoría de la relatividad restringida o espe-cial, es sin duda un concepto capital para la viabilidad de la

teoría. Según el concepto newtoniano del universo, un rayoluminoso procedente de un emisor en movimiento hacia elobservador, se mueve más rápido que otro procedente de unemisor que se aleja en dirección opuesta. Einstein opinabalo contrario y basándose en tal suposición consiguió deducirtransformaciones de coordenadas que respetaban la constan-cia de c y eliminaban para siempre la necesidad de espacios

o tiempos absolutos.Todos los efectos que Einstein contempla en su teoría – acortamiento de la longitud, dilatación de la duración, etc.– sontan diminutos para velocidades corrientes que resultan despre-ciables. Esta circustancia permitió a la física clásica satisfacerlas exigencias de sus leyes en la escala ordinaria de velocidades.Pero la relatividad del espacio y del tiempo se manifiesta en

sistemas con velocidades comparables a la de la luz.Para alcanzar una mejor comprensión de estas deduc-

ciones de la teoría, usemos el siguiente ejemplo: imaginémo-nos a uno de esos metros de medición que estuviera animadocon una velocidad de 270.000 kilómetros por segundo y quellevara un reloj, sufriría variaciones cruciales: su longitud,con respecto al metro en reposo, se reduciría a la mitad y su

reloj marcaría, en comparación con un cronómetro en repo-so, 30 minutos en una hora. La velocidad de la luz (299.792Km/s) es, por otra parte, una velocidad límite que ningúncuerpo material puede alcanzar.



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Con la aparición de la teoría de la relatividad restrin-

gida o especial el valor absoluto de las medidas de distancia,duración y masa –que fueran postulados inconmovibles de lafísica clásica– fueron arrinconados. Einstein, en la formula-ción de la teoría, introduce un nuevo marco para describir losfenómenos físicos, pero con una absoluta independencia delas velocidades de los sistemas inerciales en que se efectúanlas mediciones. Entrelaza el espacio tridimensional con la

única dimensión del tiempo en una inseparable unidad y llegaasí a un continuo espaciotemporal de cuatro dimensiones. Enesta fusión del espacio y del tiempo existe una magnitud –elllamado intervalo– que permanece invariable, aun cuando losnúmeros de medidas que atañen a las longitudes y duracionesdel mismo fenómeno, en sistemas con distintas velocidades,sean tan diferentes como se quiera. Se ve, pues, que lejos

de demostrar que «todo es relativo», la teoría restringida oespecial indica la manera de formular las leyes de la mecánica para que posean valor absoluto.

Como era de suponer una de las consideraciones fun-damentales de la teoría especial einsteniana es la negaciónde la existencia del espacio absoluto y del tiempo absoluto.Einstein en su teoría asume que todo cuanto necesitamos

hacer es seleccionar un referencia para poder relacionar conella los acontecimientos del universo. Cualquier estructura dereferencia (la Tierra, el Sol o, incluso, por qué no, nosotrosmismos) sería válida; sólo nos resta elegir aquélla que nos

parezca más conveniente. Tal vez sea preferible, pero no másverídico, calcular los movimientos en una estructura dondeel Sol se considere inmóvil, que en otra donde la Tierra se

suponga inmóvil. Así, pues, las medidas de espacio y tiemposon relativas respecto a una estructura de referencia elegidaarbitrariamente, y de aquí que se haya llamado a la ideaeinsteniana teoría de la relatividad.



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La Teoría de la Relatividad Especial (que desde ahora

abreviaremos como RE) consta de dos proposiciones fun-damentales:I. El Principio Especial de Relatividad, que postula

la igualdad de las leyes naturales en cualesquiera sistemasde referencia en reposo relativo o en movimiento relativorectilíneo y uniforme.

II. La constancia de la velocidad c de la luz en el vacío,

cuyo valor es independiente del movimiento o el reposo delsistema de referencia respecto del que se determine.A partir de estos dos postulados se deduce que las trans-

formaciones que relacionan los referenciales en movimientorelativo inercial, ya no son las de la física clásica; han de serreemplazadas por las llamadas transformaciones de Lorentz,que relacionan las coordenadas espaciales y temporales de

unos sistemas con las de otros.De todo cuanto se ha dicho hasta ahora es posible ex-traer una serie de interesantísimas conclusiones. La primerade ellas es que no se puede establecer la simultaneidad ab-soluta de dos acontecimientos. Dos sucesos que sean simul-táneos en un sistema de referencia, no lo serán en general enotro que se mueva respecto del primero.

En el articulo sobre la electrodinámica de los cuerposen movimiento que Einstein publicara en 1905, y en el quese esbozan las líneas generales de la teoría especial de larelatividad, se sostiene: «Hay que tener en cuenta que todosaquellos juicios en los que interviene el tiempo son siempre

juicios referentes a sucesos simultáneos. Por ejemplo, si yodigo: «Ese tren llega a las siete», lo que intento decir es algo

así como: «La posición de la manecilla pequeña de mi relojen las siete y la llegada del tren son sucesos simultáneos».Podría parecer que para superar todas las dificultades entorno a la definición de «tiempo» bastaría con sustituir «la



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posición de la manecilla pequeña de mi reloj» por «tiem-

po». Y, efectivamente, tal definición es satisfactoria cuandolo que interesa es definir el tiempo únicamente para aquellugar donde está situado el reloj; pero deja de serlo cuandose trata de conectar en el tiempo una serie de sucesos queocurren en lugares diferentes, o bien -lo que viene a ser lomismo- de evaluar tiempos correspondientes a sucesos quese desarrollan en lugares alejados del reloj». De este modo

continúa Einstein: «Vemos, pues, que no podemos atribuiruna significación absoluta al concepto de simultaneidad; dossucesos que, vistos desde un sistema dado de coordenadas,son simultáneos, no pueden ser considerados como sucesossimultáneos al contemplarlos desde un sistema que se halleen movimiento con respecto al otro».

Ahora bien, para llegar a coordinar en el tiempo dos o

más acontecimientos remotos que se dan en lugares distintos,es imprescindible disponer de dos o más relojes sincronizados.Aquí las primeras preguntas que nos hacemos es cómo sincro-nizar relojes separados en el espacio y si es posible estableceralgún criterio de medición del tiempo en un conjunto de relo-

jes, de manera de lo que resulta simultáneo para uno tambiénlo fuera para los restantes. Enviando, por ejemplo, una señal

luminosa de un lugar a otro. Desde luego, no basta conocer ladistancia que separa los relojes; se requiere, además, conocerla velocidad de la señal, para poder efectuar la sincronización.Sin embargo, para establecer la velocidad de una señal es im-

prescindible disponer de, a lo menos, de dos relojes ya sincro-nizados. Lo anterior implica, pues, que la tarea de establecer lasimultaneidad de acontecimientos que se producen en distintos

lugares del espacio conduce a un círculo vicioso.Para Einstein, ese círculo vicioso carece, en realidad,

de salida. Otro sería el caso si la velocidad de la luz fuerainfinita, o si existiera otra señal instantanea, susceptible de



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ser transmitida sin demora alguna en el tiempo, por ejemplo,

barras absolutamente rígidas, que admitieran la propagaciónde una presión con velocidad infinita. Solamente bajo esascondiciones, podría determinarse la simultaneidad de sucesosacaecidos en distintos lugares del espacio, por grande quefuese la distancia que los separarase. La inexistencia de ve-locidades infinitas en la naturaleza quita base experimentalal concepto de la simultaneidad absoluta, valida para todos

los puntos del espacio. Puesto que no podemos asociarleninguna experiencia contrastable, carece de sentido, y Eins-tein en su teoría procede a eliminarla de la mecánica. En unartículo publicado en septiembre de 1905, Einstein escribe:«Una noción adquiere derecho a existir únicamente por suencadenamiento claro y unívoco con los acontecimientos, esdecir, las experiencias físicas. Por esta razón, en la teoría de

la relatividad, los conceptos: simultaneidad absoluta, veloci-dad absoluta, aceleración absoluta, están eliminados, siendoimposible establecer su vínculo con las experiencias».

Sin la abolición de esos conceptos absolutos, la decisiónde combinar los postulados de la universalidad de la relatividadcon la invariancia de la velocidad de la luz no habría podidosalir adelante, ya que nociones cinemáticas como reposo, mo-

vimiento, instante, duración, simultaneidad, tiempo, velocidad,etc., eran referidas de forma explícita a definidas operacionesde medición con vista a dar una expresión algebraica de susmagnitudes o de sus relaciones entre esas magnitudes. Con ladecisión de Einstein, ya no basta con decir, por ejemplo, quela variable numérica t representa el tiempo sin precisar si ladatación del suceso considerado se efectúa en el mismo lugar

en que este se produce, por un reloj situado en ese lugar, o enun lugar distante por medio de una señal.

Tampoco las longitudes de los objetos y las duracionesde los procesos son absolutas, sino que dependen de la velo-



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cidad entre el sistema juzgado en reposo y el que se mueve

respecto de él.. Una regla que mida un metro, pongamos por caso, en un referencial en reposo respecto a ella –en esecaso se denomina «longitud propia»– medirá menos en unsistema de referencia que se mueva respecto al primero. Elcomportamiento de los relojes es semejante, de forma que lasduraciones se dilatan (el tiempo transcurre más lentamente)al aumentar dicha velocidad: un segundo para un referencial

en reposo respecto al reloj se hará más largo para el que semueva con respecto a él. También aquí el tiempo medido por un observador en reposo en relación al reloj, se llama«tiempo propio» de ese reloj.

A esos dos efectos se les llama «contracción» relativis-ta de las longitudes, o contracción de Lorentz, y «dilatación»de las duraciones. Asimismo tienen lugar otras consecuencias

sorprendentes en las que no intervienen explícitamente elespacio y el tiempo. Una masa que se mueva con respecto aun sistema considerado en reposo, parece incrementarse alaumentar su velocidad.

El modo de expresarse empleado en la mayoría de lostextos que tratan este tema, mencionando «observadores»,«reglas» y «relojes», ha propiciado la opinión corriente de

que la Relatividad es una especie de «teoría de la medida»que se aplica cuando las velocidades en juego son compara-

bles con la de la luz. Las distorsiones del espacio y el tiemposerían algo así como espejismos o efectos ópticos debidosa las enormes velocidades de los sistemas de referencia.Y sin embargo, nada más lejos de la realidad; la teoría deEinstein analiza las propiedades del espacio y del tiempo en

sí mismos, y las percepciones de los observadores son unaconsecuencia de tales propiedades, no una perturbación desus medidas. La literatura científica de divulgación relacio-nada con la Relatividad se encuentra repleta de expresiones



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semejantes a «la masa aparente de tal objeto respecto de un

observador», o «la longitud aparente respecto del observa-dor cual», que pretenden hacer más comprensible la teoría poniendo al lector en situación de imaginarse físicamente presente en cada sistema de referencia. El grave precio quese paga por conseguir esta familiaridad es el de confundir«referencial» con «observador» y «relativo» con «aparen-te», lo que a su vez propicia los malentendidos que antes

se mencionaban. Si se le asocia un sistema de ejes, todoobservador puede servir de sistema de referencia; pero noen todo referencial (piénsese en el centro de la Tierra o enlas estrellas lejanas) es posible situar un observador. Estoes algo que deberemos tener siempre presente cuando en losucesivo utilicemos expresiones que incluyan observadorescon el fin de hacer menos árida la exposición.

Tampoco es correcto confundir lo que son propiedadesrelativas a un sistema de referencia con lo que son puras apa-riencias. La solidez de una madera carcomida en su interiorsí es aparente, mas propiedades como la masa, la longitud ola duración son plenamente reales aunque sus valores depen-dan del sistema de referencia que se haya escogido. En lugarde hablar de propiedades «aparentes», deberíamos citar tan

solo la masa «relativa a tal o cual sistema de referencia», ydel mismo modo con cualquier otra propiedad física que nofuese independiente del referencial elegido. En particular,son muy inadecuadas las expresiones del tipo «la longitud deuna regla vista por un observador en movimiento relativo...»Desde 1959, gracias a los estudios del físico nortemaeriacnoJ. Terrell, sabemos que el aspecto de los objetos móviles

sometidos a la contracción de Lorentz no es la que cabría esperar de la simple aplicación directa de las transformacionesrelativistas. Resulta que la discusión sobre la longitud vista

por un observador involucra el proceso físico de la visión



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(la luz parte del objeto y tarda un cierto tiempo en alcanzar

nuestros ojos), el cual se halla a su vez sometido a las exi-gencias relativistas. Terrell probó que lo que se percibiría acausa de ello no sería un cuerpo contraido en la dirección desu movimiento sino girado respecto al observador (ahora sínos es dado hablar de observadores pues estamos tratandode la visión de objetos), tanto más cuanto mayor fuese lavelocidad relativa. Nada de esto tiene que ver con las trans-

formaciones de Lorentz-Einstein, que nos informan de las propiedades intrínsecas del espacio y del tiempo.Según la relatividad restringida de Einstein, la inercia

de un objeto se incrementa según aumente su velocidadrelativa a un observador, requiriendo más energía cuantomás rápido deba moverse. Un automóvil en carrera ¿tienemás masa que uno estacionado en el lugar de partida? Una

piedra de 200 gramos lanzada ¿tiene mayor masa que cuandose encuentra en el suelo? Con respecto a nosotros que per-manecemos en reposo, la respuesta es afirmativa. A 10 km.

por hora, su masa resulta cerca de una cienmillonésima demillonésima de un gramo mayor que cuando se encuentraquieta con respecto a nosotros.

Sin embargo, si lográramos lanzar la piedra a una

velocidad de nueve décimas la de la luz, la masa de éstanos parecería más del doble. Y si la velocidad es el noventay nueve coma nueve por ciento de la velocidad de la luz(1.078.173.594 km./hora), la piedra sería para nosotrosveintidós veces más masiva. Es necesario subrayar que elaumento de la inercia debido al movimiento relativo sola-mente sería percibido por nosotros, que permanecemos en

reposo relativamante a ella, pues si la piedra portase algúnhipotético observador, para éste la piedra seguiría quieta y

pesando los doscientos gramos originales. Todo tiene quever nuevamente con el movimiento relativo.



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Mover un objeto a la velocidad de la luz requeriría, por

definición, una cantidad infinita de tiempo y fuerza, una evi-dente imposibilidad. En consecuencia, la velocidad de la luzde 299.792 kilómetros por segundo no sólo es una constanteque permanece absoluta independientemente del marco dereferencia de un observador, sino que también representa ellímite definitivo de la velocidad.

Razonamientos de este jaez condujeron a la más fa-

mosa ecuación de Einstein, energía = masa x velocidadde la luz al cuadrado, donde se expresaba la equivalenciade la masa y la energía. Una intuición que tendría enormesimplicaciones para los futuros trabajos en mecánica cuánticay teorías sobre el universo primitivo

Para detectar estos fenómenos es necesario que entrenen juego tremendas variaciones energéticas. Uno de los pro-

cesos en los que son liberadas tales cantidades de energíaes la desintegración radiactiva. Para describirlo de maneraesquemática, podemos decir que el proceso transcurre así:un átomo de masa m se divide en dos átomos de masas m'y m'', que se separan con una tremenda energía cinética(energía debida al movimiento). Si imaginamos a esas dosmasas en reposo –es decir, si extraemos de ellas esa energía

de movimiento–, entonces, consideradas en conjunto, sonesencialmente más pobres en energía que el átomo original.De acuerdo con la equivalencia masa-energía, la suma de lasmasas de los productos de la desintegración, debe también seralgo más pequeña que la masa original, m, del átomo a puntode desintegrarse, en contradicción con el viejo principio dela conservación de la masa. La diferencia relativa de los dos

está dentro del orden del 0,1 por ciento.En realidad, no es un procedimiento sencillo el pesar

los átomos en forma individual. Sin embargo, hay métodosindirectos para medir sus pesos con exactitud. Asimismo, es



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factible determinar las energías cinéticas que son transferi-

das a los productos m ‘ y m « de la desintegración. De estamanera ha sido posible comprobar y confirmar la fórmulade la equivalencia. También la ley nos permite calcular conanticipación, a partir de pesos atómicos determinados enforma precisa, qué cantidad exacta de energía será libera-da con cualquier desintegración atómica. Las leyes, desdeluego, nada dicen acerca de si se producirá la reacción de

desintegración o acerca de cómo se producirá.Los fenómenos descritos tienen una importante impli-cación¡, que es la igualdad entre masa y energía, dos con-ceptos que en la física clásica no guardan relación alguna..Sin embargo, para la relatividad, no son sino dos aspectosde una misma realidad física. La masa puede transformarseen energía a través de un adecuado proceso radiactivo, con

partículas menos masivas como resultado. También, en algu-nos casos la materia puede transformarse en energía radiante,como cuando colisionan partículas con sus correspondientesantipartículas y, a su vez, extraerse energía de la masa. Y,a la inversa, puede transformarse energía en masa con laaplicación de dispositivos de alta tecnología, como ocurrecon los aceleradores de partículas elementales. Con solo

una pequeña fracción de masa se pueden producir enormescantidades de energía.

Como ya se mencionó, el valor del cuadrado de la ve-locidad de la luz es enorme. Con sólo una pequeña cantidadde masa se puede producir enormes volúmenes de energía.En el universo, esta transformación es el proceso que producela energía que se irradia desde las estrellas. En el transcurso

de los miles de millones de años de vida de una estrella cua-lesquiera, menos del 1% de su masa tiene como destino la

producción de energía. Nuestra estrella Sol, ha generado asíla energía que nos ha regalado durante aproximadamente los



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6.000 millones de años que lleva en ignición. De esa energía,

tan sólo una minúscula cantidad ha sido suficiente para que lavida se origine en la Tierra y quién sabe si en otros planetas.Sea como fuere, en el próximo capítulo comprenderemos elsentido profundo de la equivalencia entre masa y energía, ytambién el de las transformaciones relativistas de coordena-das, cuando comprobemos que la Relatividad abrió nuestrosojos a una perspectiva radicalmente fantástica y novedosa

del universo.



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4

EL DESCUBRIMIENTO DE UN

NUEVO MUNDO

Para la naturaleza humana, quizás nada sea más directoque la percepción del espacio y del tiempo, pues correspondea una parte decisiva del desarrollo intelectual de los sereshumanos. Los cambios de percepción espacial y temporal

constituyen reconocidos hitos del comportamiento animal.Un gatito, por ejemplo, caminará sin cuidado alguno sobreun agujero cubierto de hierbas; pero sólo hasta que el animalcomience a advertir el peligro que significa el espacio vacío

bajo sus pies. Por eso resulta absolutamente notable que des-cubriéramos, a comienzos del siglo veinte, que el espacioy el tiempo están íntimamente conectados de un modo que

nadie había sospechado antes. Muy pocos discuten que eldescubrimiento de Albert Einstein sobre esta conexión me-diante su teoría de la relatividad constituye uno de los logrosintelectuales más sobresalientes de nuestro tiempo.

Tratando de situar los objetos y los acontecimientos enel espacio y en el tiempo, necesitamos alguna herramientaque nos permita etiquetar los instantes y las posiciones. Es

práctica común entre los físicos y matemáticos representarla posición de un punto en un plano mediante un par de ejes

perpendiculares que nos sirvan a modo de reglas para medirlas distancias desde el origen. Todo el que alguna vez haya



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practicado el popular «juego de los barquitos» tiene una idea

intuitiva de lo que son las coordenadas, sólo que en nuestrocaso utilizamos dos números (y no un número y una letracomo en ese juego) para etiquetar la posición de un puntoen el plano. Si pretendemos especificar una posición en elespacio, necesitaremos tres ejes con el fin de indicar la lon-gitud, la latitud y la altura del punto en cuestión. Debido aesto se dice que el espacio físico posee tres dimensiones: es

preciso ofrecer un conjunto de tres números para establecerde manera inequívoca la posición de un punto en un sistemade referencia dado.

Ahora bien, al tratar con el problema del movimientono nos basta con conocer la posición de los cuerpos que seestán moviendo; necesitamos saber asimismo el modo enque su posición cambia con el tiempo, lo que constituye

justamente su movimiento. Con este propósito hemos deintroducir en la discusión un dato nuevo, a saber, el tiempo,de tal forma que ahora determinaremos sin ambigüedades lalocalización de un cuerpo –se mueva o no– suministrando su

posición en el espacio y el instante en que se encuentra enella. Mas si deseamos representar gráficamente nuestra nuevacolección de datos, ya no nos es posible hacerlo, toda vez que

precisaríamos de cuatro ejes mutuamente perpendiculares:tres para las coordenadas espaciales y uno para la temporal.Habitualmente se recurre a la simplificación de suprimir unade las dimensiones espaciales. Dibujamos entonces un gráficotridimensional en el que un plano formado por dos ejes sim-

boliza el espacio completo, en tanto que el eje perpendicularrestante asume el papel del tiempo. Con ello hemos obtenido

lo que se llama un diagrama espacio-temporal. El universoreflejado por estos gráficos cuenta con las cuatro dimensionesmencionadas (tres de espacio y una de tiempo), por lo quehablaremos de él como de un universo tetradimensional.



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Representación del espacio-tiempo como una serie de hiperplanostridimensionales, correspondientes al espacio, apilados a lo largo del

eje temporal

Cualquier punto en esta clase de diagramas recibe elnombre de suceso, sin importar que esté ocupado por un

cuerpo o no. Un punto situado dos metros sobre la cima delEverest a las diez de la mañana (hora local) del siete de juniode 2002, es un suceso espacio-temporal; toda colección decuatro números que representen una posición en el espacio yun instante en el tiempo lo es. No obstante, nos encontramoscon ciertos conjuntos de sucesos que, físicamente, despiertanmayor interés que otros. Pensemos en el movimiento de una

bola de billar sobre una mesa bien pulida. A medida que sedesplaza sobre ella, la bola ocupará diferentes posiciones endiferentes instantes, donde cada grupo de coordenadas es a suvez un suceso distinto. Pues bien, si agrupamos esos sucesosen una serie ordenada obtendremos la denominada línea deuniverso de la bola de billar. En el diagrama espacio-temporaleste concepto aparece representado, efectivamente, por una

línea trazada a lo largo de las distintas posiciones de la bolade billar en cada uno de los momentos que las ocupa. Lalínea de universo de una bola en reposo en ese sistema serárecta y paralela al eje del tiempo (cambiará la coordenada



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temporal pero no las espaciales); si se mueve uniformemente,

hallaremos una línea recta con una cierta inclinación respectodel eje temporal; y si su movimiento es acelerado, la líneade universo puede ser una curva cualquiera.

¿Qué hemos de hacer si queremos representar algunafigura en estos diagramas espacio-temporales de cuatro di-mensiones? Recordemos que al haber suprimido una de lasdimensiones espaciales, ya no nos es dado dibujar los objetos

directamente con su aspecto habitual. El recurso empleadoen este caso consiste en eliminar también una de las dimen-siones espaciales del cuerpo en cuestión. Concretamente,convendría introducir la imagen de una onda luminosa, dadala importancia de la luz en la Relatividad. La forma de lo-grarlo es sencilla: imaginaremos en primer lugar que la luz

—en una buena aproximación— se propaga como una onda

esférica en todas direcciones. Para representar una esfera enun diagrama espacio-temporal, omitimos una de sus dimen-siones espaciales y nos queda una circunferencia, al igual queeliminando una de las dimensiones de un cubo nos quedaríaun cuadrado. Una vez hecho esto, hemos de percatarnos deque conforme pasa el tiempo la onda de luz se expande, y lacircunferencia que lo simboliza ha de agrandarse en igual

medida. Pensándolo por un momento, tendremos finalmenteuna sucesión de circunferencias de radio creciente apiladas,cuyo centro coincidirá con el eje de los tiempos. En otras

palabras, tendremos un cono centrado en el eje temporal, alque en RE se le llama cono de luz.

Hasta ahora, si lo reflexionamos, no hemos realizadonada que no hubiese suscrito el mismo Newton. Tan sólo

hemos añadido un eje suplementario, mediante ciertasartimañas gráficas, a los diagramas que representan las

posiciones de las partículas, adoptando a la vez una termi-nología más o menos original (suceso, línea de universo,



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cono de luz). Todo esto bien pudiera haberlo hecho un fí-

sico clásico; ¿dónde radica, pues, la diferencia de la físicarelativista? La novedad sustancial que distingue a la teoríade Einstein de todas sus predecesoras, reside en demostrarque el espacio y el tiempo se combinan de tal manera quelos diagramas espacio-temporales contienen propiedadesobjetivas del universo que la física newtoniana era incapazde expresar, entre otras cosas, porque jamás había imagi-

nado su existencia. El primero que advirtió la importanciade este tipo de gráficos, fue el matemático germanorrusoHermann Minkowski, antiguo profesor de Einstein, por loque estos diagramas espacio-temporales también se de-nominan «diagramas de Minkowski». En ellos, apelandoa una geometría distinta de la ordinaria («geometría deMinkowski»), es posible descubrir los efectos de dilata-

ción temporal y contracción espacial que tanto asombrana quienes se acercan por vez primera a la RE.En el marco de la geometría corriente, o «geometría de

Euclides», el cuadrado de la distancia de un punto al origende coordenadas se calcula como la suma de los cuadradosde cada una de las coordenadas espaciales. La física newto-niana aceptaba el supuesto tácito de que era esta geometría

la que se adecuaba correctamente a las características delmundo real, mas la labor de Einstein se ocupó de probar loequivocado de esta suposición. En primer lugar, el cálculoantes mencionado de la distancia al origen, sólo tenía sentidosi se realizaba con coordenadas espaciales; en ese género dediagramas la coordenada temporal no jugaba ningún papel.Muy al contrario, Minkowski reparó en que los diagramas

apropiados para la RE el tiempo posee una importancia capital a través del concepto de intervalo.

El intervalo espacio-temporal es algo análogo al módu-lo de un vector (o la distancia entre dos puntos del espacio)



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en la geometría ordinaria, sólo que aquí incluimos también la

coordenada temporal en el cálculo. Si el módulo de un vectorrepresentaba la distancia entre dos puntos (sus dos extremos)en el espacio, el intervalo espacio-temporal expresa la dis-tancia entre dos sucesos en el espacio-tiempo.

El intervalo, así entendido, posee la interesante propiedad de presentar el mismo valor cualquiera que sea elsistema de referencia desde el que se calcule. Como se

dijo antes, distintos observadores en movimiento relativoobtendrán diferentes coordenadas de espacio y tiempo paraun par de sucesos. Sin embargo, a pesar de esta discrepan-cia, todos hallaran que el intervalo espacio-temporal entredichos sucesos es el mismo en cada uno de los sistemas.Esta circunstancia, que puede parecer soprendente, no loes tanto si recordamos la analogía con la distancia entre

dos puntos en el espacio. Tal distancia, sea la que sea, nocambia su valor porque nuestro sistema de referencia estégirado con respecto al de otro observador que también deseemedirla (un matemático diría que «el módulo de un vector esinvariante frente a rotaciones del sistema de coordenadas»).Idéntico es lo que acontece en el espacio-tiempo, sólo queahora son los ejes espaciales y temporales los que se hallan

girados unos respecto a otros entre distintos sistemas de re-ferencia en movimiento relativo. De acuerdo con esto, no esasombroso comprobar que las transformaciones de Lorentz

—cuyo significado físico era el de relacionar coordenadasentre distintos sistemas en movimiento relativo— , son,matemáticamente hablando, las fórmulas que expresan larotación de unos ejes espacio-temporales respecto a otros

en la geometría de Minkowski.¿De qué sirve el cono de luz en todo esto?, cabría

preguntarse. Uno de los postulados fundamentales de la REafirmaba que la velocidad de la luz c era la misma para to-



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dos los referenciales con independencia de su movimiento.

No ha de extrañarnos entonces descubrir que las rotacionesde ejes espacio-temporales en la geometría de Minkowski(en lenguaje físico, las transformaciones de Lorentz entresistemas de referencia), preservan la forma y característi-cas de los conos de luz. Asimismo, los conos luminososnos proporcionan un patrón geométrico para distinguir lasvelocidades físicamente admisibles de las que no lo son.

Esto es posible porque también se dijo que la velocidad cera la máxima alcanzable por un cuerpo en movimiento, loque traducido a los diagramas de Minkowski significa quela línea de universo de un objeto jamás podrá atravesar elcono de una onda luminosa que haya partido del origen decoordenadas en el mismo momento que dicho objeto. Si asífuese, querría decir que en algún momento el móvil se ha

desplazado a velocidad superior a c para rebasar a la ondaluz, lo que se vería desde otros referenciales como un retro-ceso del móvil en el tiempo, cuyas enojosas implicacionescomentaremos más adelante.

Acudamos como de costumbre a un ejemplo que aclarealgo más nuestras ideas. Supongamos que una ambulancia

parte de un hospital dejando a un enfermero en la puerta, el

cual emite una señal luminosa a la vez que la ambulanciase marcha. Según lo dicho antes, la línea de universo de laambulancia no podrá sobrepasar al cono de luz de la señalemitida por aquel enfermero. Pero, además, podemos inter-

pretar geométricamente los efectos relativistas que se pro-ducirían entre el sistema de referencia de la ambulancia y eldel enfermero que quedó en tierra. Desde el punto de vista

del enfermero la cadencia con que la sirena de la ambulan-cia emite destellos es menor cuando se mueve (transcurremás tiempo entre un destello y el siguiente), la longitud delvehículo es más corta y su masa mayor que cuando estaba



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en reposo respecto de él. No obstante, para los ocupantes de

la ambulancia tanto la frecuencia de los destellos como lalongitud y la masa del vehículo son las mismas que cuandoestaban parados en la puerta del hospital. Es, en cambio, elreloj del enfermero el que retrasa y las camillas de su alrede-dor las que resultan más cortas y masivas desde la referenciade la ambulancia. No olvidemos que a juicio de quienes estánen el interior del vehículo son ellos los que están en reposo

y es el hospital con todo lo que le circunda el que se aleja ensentido contrario. En el seno de la RE ambos observadorestienen razón y las descripciones de la situación física depen-den del sistema de referencia que se adopte.

El hecho de que el momento en que ocurra un acon-tecimiento dependa del sistema de referencia en el que seobserva, no significa que podamos alterar las coordenadas

temporales a fin de lograr que los sucesos pasados vuelvana hacerse presentes para nosotros (lo que sería, de hecho, unretorno al pasado). En general, distintos observadores asig-narán distintas coordenadas temporales a dos sucesos, peroestarán de acuerdo en cual ocurrió antes y cuál después. El

periodo de tiempo que tarda una bala disparada por un tira-dor en alcanzar la diana será juzgado distinto por diferentes

observadores, mas todos acordarán que la bala se disparóantes de llegar al blanco.

Sólo cuando dos acontecimientos están desconecta-dos causalmente (no puede decirse que uno sea la causa delotro), el orden en el que ocurran será distinto dependiendodel sistema de referencia. Esto ocurre cuando dos sucesosA y B están separados de manera que una señal luminosa

emitida por uno es incapaz de llegar hasta el otro antes deque se produzca. Como nada puede viajar más deprisa quela luz, ambos sucesos no están conectados por ninguna in-fluencia física ni puede decirse por tanto que haya relación



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causal entre ellos. En ese caso es indifernete el orden en queA y B sucedan en cada referencial: algunos observadores los juzgarán simultáneos, otros creerán que A acaeció antes queB, y otros afirmarán que fue B el que precedió a A. Cuandodos sucesos están causalmente desvinculados de la forma queacabamos de describir, se dice que su separación es de tipoespacial (uno de ellos está fuera del cono de luz del otro);

en caso contrario su separación es de tipo temporal (uno estádentro del cono de luz del otro).

Seguramente por su incapacidad para asimilar la perspectiva tetradimensional de pensamiento característicade la Relatividad, son muchos los que repiten frases como«contracción real», «contracción aparente», y otras delmismo jaez. Por ese motivo, un adecuado entendimiento de

la formulación geométrica tetradimensional de Minkowskiresulta imprescindible para asimilar el espíritu esencial dela teoría. Piénsese en las proyecciones de un vector sobre un

par de sistemas de coordenadas, como se muestra en la figura

Imagen espacio-temporalde una onda de luz comoun cono luminoso (se hasuprimido uno de los ejesespaciales)



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que sigue. Tenemos el vector y dos sistemas de ejes girados

uno respecto del otro. Podemos proyectar ahora el vectorsobre cada par de ejes y encontrar sus componentes en cadasistema. ¿Tiene algún sentido preguntar qué componentes delvector son más auténticos?; o del mismo modo, ¿qué sistemade ejes es el que nos da las componentes «reales» del vectory cuál otro las «aparentes»? Ciertamente tales preguntas re-sultan absurdas debido al hecho de que la descomposición

de un vector en sus componentes según un par de ejes, esuna operación enteramente arbitraria que se puede efectuarde infinitas maneras, todas ellas igualmente legítimas.

Lo único que hemos de hacer ahora es trasladar esterazonamiento a los ejes de un sistema de referencia espacio-

temporal, con la salvedad de que las normas para girar losejes son las de la geometría minkowskiana en lugar de laeuclídea. Los ejes ya no giran manteniéndose mutuamente

perpendiculares, sino que se aproximan entre sí al modo deunas tijeras que se cierran. Pero comoquiera que sea, en laRE diferentes sistemas con distintas velocidades relativas su-

ponen diferentes ejes espacio-temporales inclinados los unos

respecto a los otros un ángulo que depende de la velocidadrelativa. El ángulo θ entre el referencial que suponemos enreposo y que representamos con ejes perpendiculares entresí, y el sistema móvil, es el arco cuya tangente es el cocientede la velocidad relativa entre ambos referenciales v y la de laluz c, una operación matemática ésta que la mayoría de lasactuales calculadoras de bolsillo realizan con toda facilidad.

En el caso de la luz, v = c y el arco cuya tangente es la unidadresulta ser 450, por lo que los rayos luminosos se muevensiempre en la bisectriz del diagrama (y por ello la aberturadel cono de luz es también de cuarenta y cinco grados). Si a



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continuación imaginamos que el vector del dibujo representa

el intervalo espacio-temporal entre dos sucesos (por ejemploel disparo de una bala y su impacto en el blanco), compren-deremos por qué desde distintos referenciales las duraciones

—tiempo transcurrido desde el disparo hasta el impacto— ylas longitudes —distancia entre el tirador y la diana— sondistintas. Cada sistema de referencia espacio-temporales, alestar girados unos respecto a los otros, obtendrá diferentes

proyecciones del mismo intervalo sobre sus respectivos ejesespacial y temporal. No cabe interrogarse sobre qué longi-tudes y duraciones son «reales» o «aparentes»; todas sonigualmente genuinas, sin más distinción que el sistema dereferencia al que corresponden.

La escala de unidades en ambos pares de ejes no es lamisma, lo que expresa que no nos encontramos en un espacio

euclídeo sino de Minkowski. En un espacio ordinario en el quese cumpla la geometría de Euclides, los ejes de coordenadas preservan la misma escala de unidades (las marcas a lo largode los ejes mantienen siempre la misma separación) aunquelos giremos unos repecto de otros. Una forma de visualizarloconsiste en advertir que todos los puntos a la misma distanciadel origen se encuentran sobre una esfera (o una circunfe-

rencia si por simplicidad nos limitamos a dos simensiones).Así, cuando giramos un sistema de ejes respecto de otro los

puntos que se hallasen sobre la esfera lo seguirán estando,de tal modo que la escala de ambos sistemas permanece in-variable. Sin embargo, en el espacio-tiempo de Minkowskihemos modificado la definición de distancia —ahora es lafórmula del intervalo— y por ello no es de esperar que sea

una esfera el lugar de los puntos equidistantes del origen. Yde hecho no lo es; la nueva figura que sustituye a la esfera enesa función es una superficie curva llamada hipérbola. Aunquevisualmente nos parezca increíble, todos los puntos situados



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sobre esta hipérbola están por definición a la misma distancia

del origen. Puesto que la geometría de Minkowski es la quecorresponde al espacio-tiempo de la RE, no debemos olvi-darlo, las transformaciones de Lorentz resultarán ser aquéllasque preservan esa igualdad de distancias, al modo que lasrotaciones euclídeas conservaban las distancias ordinarias.

La ordenación de los sucesos respecto de un deter-minado referencial, se hace más sutil en la RE de lo que lo

era en la vieja física. Tomemos un punto cualquiera en undiagrama de Minkowski que por comodidad elegiremos dedos dimensiones, una temporal y otra espacial (si deseamosgeneralizar no hemos más que añadir las restantes coorde-nadas espaciales), y calculemos el intervalo que lo separadel origen. Si el punto escogido está dentro del cono de luzcentrado en el origen, recordando la fórmula del intervalo

antes expuesta veremos que el cuadrado del intervalo será positivo. En ese caso nuestro cálculo indicará que los dos puntos separados de esa manera pueden ser visitados por unmismo individuo tras el pertinente lapso de tiempo. Nuestrosillón favorito en la sala de estar a las cinco de la tarde demañana y ese mismo lugar al día siguiente son dos puntosespacio-temporales que nos es posible ocupar si así lo de-

seamos. Podemos hacerlo o no hacerlo, pero en lo que a laRelatividad le incumbe, no hay ley física alguna que nos loimpida. Lo mismo cabe decir de nuestra posición actual y cienmetros más allá dentro de treinta minutos; tranquilamente

podemos trasladarnos de un lugar a otro en el plazo men-cionado sin exceder por ello la velocidad de la luz . A estegénero de intervalos se les denomina «de tipo temporal», y

el conjunto de sucesos conectados por intervalos temporalescon uno dado configuran el «futuro» de ese suceso.

Muy distinto es lo que ocurre si elegimos un punto quese halle fuera del cono de luz centrado en el origen y tratamos



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de calcular el intervalo como antes. Ahora nos encontraría-

mos que el cuadrado del intervalo es negativo. Esta es unaindicación clara de que para conectar estos dos puntos sería preciso envira una señal más rápida que la luz. Pensemos, porejemplo que la luz del Sol tarda unos ocho minutos en llegara la Tierra. En tales circunstancias dos puntos separados porla distancia Tierra-Sol no podrían ser visitados por un mismoindividuo en menos de ese tiempo (en realidad en más por-

que no nos es dado alcanzar jamás la velocidad c). Un puntoespacio-temporal «aquí-ahora»tomado como origen y otroetiquetado como «Plutón-dentro de un minuto» —ese minutoes del tiempo en el sistema de referencia donde situamos elorigen— no pueden ser conectados por un mismo rayo deluz. Esa clase de sucesos se dice que están separados por unintervalo «de tipo espacial». Puesto que los sucesos espacial-

mente separados de uno dado no podrán jamás conectarsecon éste, se dice que pertenecen simplemente a «otro lugar»o que están «absolutamente separados» de él.

Un tercer género de intervalos sería el que separa jus-tamente los extremos de un rayo de luz. Las posición de unfotón en un cierto instante y su posición un segundo despuéssería el ejemplo de una pareja de tales sucesos. En ese caso el

intervalo es igual a cero, se denomina sencillamente «nulo».En otras palabras, cualquiera que sea la distancia recorridael intervalo espacio-temporal cubierto por un rayo de luz essiempre cero. Aun cuando pueda parecer sorprendente, estono es más que una consecuencia de la definición de intervalo(o «distancia espacio-temporal») que establecimos al comien-zo. Estas distinciones entre parejas de sucesos no existían

en la física newtoniana, desde luego, para la cual todos los pares eran asequibles en principio a cualquier móvil quealcanzase una velocidad suficiente. La imposición en la REde c como velocidad límite, establece una severa restricción



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de estas posibilidades prohibiendo que cualquier línea de

universo salga del cono de luz centrado en su origen. El pasoal mundo clásico se produciría cuando la velocidad de la luztendiese a infinito; entonces el cono de luz se abriría hastahacerse perpendicular al eje del tiempo y todos los puntosdel espacio-tiempo quedarían así en su interior.

A lo largo de la exposición precedente hemos nombra-do varias veces la imposibilidad física de rebasar la veloci-

dad de la luz, sin aclarar muy bien a qué es debido esto. Haquedado flotando en el ambiente la sensación de que resultauna imposición gratuita. Al fin y al cabo —nos recuerdanlos amantes de los viajes intergalácticos— en los años deldescubrimiento de América nadie hubiese podido imaginarsiquiera que algún día el Atlántico podría cruzarse en ape-nas unas horas de vuelo. ¿Qué dificultad hay en suponer

que con el avance de los tiempos lleguemos a descubrir elmodo de viajar a velocidades mayores que c, extendiendola conquista del espacio más allá del sistema solar? Des-graciadamente las cosas no son tan sencillas, y no debemosfiar en la incapacidad imaginativa de los contemporáneos deColón nuestras esperanzas de expandirnos por el cosmos.La diferencia crucial entre la época del Renacimiento y la

nuestra radica en que por entonces no existía ninguna leynatural que prohibiese alcanzar una velocidad cualquiera,mientras que en la nuestra esa ley existe y es el principio deRelatividad. Un somero examen de las transformaciones deLorentz indica que un móvil con una velocidad superior a lade la luz, implicaría que desde ciertos sistemas de referenciaese móvil aparecería retrocediendo en el tiempo. Esto crearía

más de una incomoda contradicción en las descripciones dela realidad obtenidas desde distintos referenciales, pero no

podemos negar que ha supuesto un filón para los novelistasy guionistas de ciencia-ficción.



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Supongamos que alguien consigue exceder la veloci-

dad de la luz y regresar a su propio pasado, concretamentea los tiempos de un antepasado de su abuelo. Una vez allínada le impediría asesinar a ese antepasado antes de quehubiese dejado descendencia; o si decidimos ser menoscrueles, bastaría con que nuestro hipotético viajero evitasesu encuentro con la que luego se convertiría en su esposa.Esto cambiaría el curso de la vida de este individuo así como

la de todos sus descendientes: si no conoce a la que fue suesposa (desde nuestra perspectiva), todos sus descendientesno existirán o serán otros; pero resulta que el viajero deltiempo es uno de ellos y de suceder esto él mismo dejaría deexistir. No obstante, si el viajero no existiese nada impediríanacer a su abuelo y al resto de sus antepasados, con lo queel mismo recobraría su existencia y podría volver a iniciar

este ciclo paradójico, donde algunos acontecimientos ocurrensolamente si no tienen lugar. Parece ser que los viajes en eltiempo nos encierran definitivamente en un círculo de contra-dicciones sin fin. Este escollo ha sido salvado por los autoresde ciencia-ficción postulando lo que ellos llaman «universos

paralelos», una suerte de universos gemelos del nuestro quese encuentran no se sabe dónde y que se desdoblan a partir

del que conocemos cada vez que un viajero temporal retro-cede al pasado y cambia un aspecto del mismo. Prosiguiendocon nuestro ejemplo, en el mismo momento en que evitaseel nacimiento de su abuelo, el viajero se vería prisionero sinremedio en un universo paralelo en el que sus antepasadosno existieron jamás y en el que él quedará aislado como unnáufrago del tiempo. Mientras tanto, los acontecimientos en

el cosmos ordinario seguirían su curso normal.Dejando aparte estas vías de escape para novelistas

imaginativos, pensemos en términos de un diagrama espacio-temporal a fin de percatarnos de las dificultades entrañadas



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por las velocidades mayores que c. Una señal que viajase

con mayor rapidez que la luz se representaría por una líneade universo exterior al cono de luz centrado en su origen.Supongamos que un observador A puede emitir una de esasseñales y la utiliza para enviar un saludo a su amigo B, quiense halla muy lejos moviéndose respecto de él a una velocidadmenor que c. Lo que sucedería, respecto de nuestro sistemade referencia, sería algo semejante a lo que se observa en el

dibujo inferior. Desde nuestra perspectiva espacio-temporal,el mensaje le llegaría a B mucho más rápido que con unaseñal a velocidad c.

En este caso laseñal FTL conecta

los dos pares desucesos en un orden

temporal distinto. Y puesto que algunasleyes fundamentalesde la física parecen

ser asimétricasen el tiempo, esta

inversión temporalconduce a descrip-ciones del universo

mutuamente incom- patibles, en contra

del principio deRelatividad.

La cuestión que hemos de dilucidar ahora es cómo sedescribiría esta situación desde la perspectiva espacio-tem-

poral de B. Para descubrirlo no tenemos más que aplicar las

transformaciones de Lorentz al esquema anterior y recordarque, geométricamente hablando, representan la rotaciónminkowskiana de unos ejes respecto de los otros. Esa rota-ción no es la euclídea ordinaria, tengámoslo bien presente,



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y no dará los resultados que intuitivamente esperaríamos.

La imagen de la realidad obtenida por B correspondería alesquema inferior, donde se hacen bien patentes las dificul-tades a las que aludíamos. Resulta ahora que una rotaciónde Minkowski de los ejes conduce a una disposición en laque la señal enviada llega a nuestro amigo en su pasado. Nose trata ya de que un audaz viajero retroceda en el tiempo,como en el ejemplo anterior, pues entonces todos estábamos

de acuerdo en que lo que ocurría era que regresaba al pa-sado. Lo que acaece ahora es mucho más grave por cuantoque nos condena a descripciones de la realidad mutuamentecontradictorias para sistemas de referencia en movimientorelativo inercial. Por mucho que nos empeñemos en ellono hay posibilidad de que la señal enviada a nuestro amigole llegue tanto al pasado como al futuro. Por el principio

de Relatividad ambos referenciales tienen todo el derechode afirmar que su descripción del universo es la verdadera, por lo que una contradicción tan flagrante plantea absurdosque ninguna teoría científica digna de ese nombre podríaadmitir.

Pese a todo se discuta a menudo en RE de velocidadessuperlumínicas en un sentido que es preciso aclarar. Llama-

mos «velocidad» a la variación de la coordenada espacial por cada unidad de tiempo, en un sistema inercial, de unente físico localizable que porta energía. Verdaderamenteno sabemos qué es la energía, pero sí creemos saber lo quees portarla: entregamos una energía a un ente móvil con lamisión de que la ceda a otro ente en otro lugar. Eso no puedelograrse con velocidad mayor que c.

Ahora bien, dados dos puntos cualesquiera de un espa-cio, abstracto o no, queda definida una «distancia» que puedevariar como se nos antoje en función del tiempo. La separa-ción entre dos electrones que avancen en sentidos opuestos



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con velocidad próxima a c, aumentaría a razón de casi 2c

cada segundo. O si prolongamos uno de los radios terrestreshasta las estrellas tan lejos como nos parezca, su extremorecorrerá sobre la esfera celeste distancias tan grandes comose quiera en un segundo, de estrella a estrella. En ninguno deesos casos hay algo real que se mueva con velocidad mayorque c, de modo que pueda ser usado para transportar ener-gía. Por el momento, y mientras no se produzca una nueva

revolución científica que trastoque completamente nuestraconcepción del universo, el viajes a las estrellas queda con-finado a los relatos de ficción y a las ensoñaciones de casitodos nosotros.



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5

LA PARADOJA DE LOS GEMELOS

La adaptación de nuestros hábitos de pensamiento alnuevo estilo exigido por la Relatividad, significó un esfuerzoexcesivo para quienes se sentían muy a gusto anclados enlos viejos razonamientos del pasado. Durante los primeros

años en los que la RE se difundió en el mundo científico yentre el público en general, no faltaron quienes se mostrabanconvencidos de que la teoría era falsa y contenía algún tipode contradicción interna que revelaba su incongruencia. La

piedra angular de las objeciones contra la teoría de Einstein pareció concentrarse en la llamada «paradoja de los gemelos»(o «paradoja de los relojes»), tan vivamente discutida en los

primeros tiempos de la Relatividad.La paradoja consistía en analizar en el ámbito relati-

vista lo ocurrido a dos gemelos que se separasen para queuno de ellos emprendiese un largo viaje. El ejemplo másmanejado consideraba que un gemelo permanecía en la Tie-rra y otro subía abordo de una nave espacial, en la que sealejaba millones de kilómetros antes de iniciar el camino de

regreso. Las predicciones relativistas aseguraban que, debidoal efecto de dilatación temporal causado por la velocidadrelativa, el gemelo viajero retornaría mucho más joven quesu hermano sedentario, quien podría haber envejecido dé-



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cadas mientras que para el primero apenas habrían pasado

unos pocos años. Esta asombrosa consecuencia equivale a pensar que si de dos relojes idénticos uno es llevado en unviaje de ida y vuelta, en el momento de regresar de nuevotendrá que estar atrasado respecto del que permaneció enreposo al haber sufrido el retraso que la Relatividad imponea todo reloj en movimiento.

Ahora bien –intervenían los detractores de la teoría– si

el efecto de dilatación temporal o retraso de los relojes esmutuo, como de hecho así es, el retraso también ha de sermutuo: desde el punto de vista del gemelo que partió, quesegún la RE tiene todo el derecho a considerarse en reposo,fue su hermano junto con el resto del planeta el que inicióun viaje que finalizó después reencontrándose de nuevo conél. Siendo esto así cada uno de los gemelos debería com-

probar que es más joven que su hermano, lo que incluso enla Relatividad es un absurdo insostenible. ¿Dónde está laequivocación, en la física relativista o en sus críticos?

El error que derriba esta objeción por su base, estribaen considerar simétricas dos situaciones físicas que en rea-lidad no lo son. El gemelo que viaja no es completamenteequiparable al que se queda en la Tierra dado que aquél, y

no éste, experimenta la aceleración necesaria para frenar sunave y cambiar de rumbo de regreso a nuestro planeta. Si laaceleración del cohete es demasiado brusca su tripulante yla propia nave podrían quedar destruidos, en tanto que el ge-melo sedentario no sentiría la menor molestia. Es justamenteesa distinción –la aceleración que uno sufre y el otro no– laque «congela», por decirlo de alguna manera, la diferencia

entre el tiempo propio de cada uno a favor del que viaja. Locierto es que el que permanece en reposo en la Tierra nocambia de sistema de referencia, pero el viajero sí lo haceal moverse primero alejándose y luego acercándose, con lo



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que en realidad se ha encontrado sobre dos sistemas de re-

ferencia consecutivos. Esta circunstancia impide considerarsimétrícos ambos casos

La respuesta a esta aparente paradoja puede visuali-zarse con gran facilidad en el correspondiente diagrama deMinkowski, en el que trataremos de relojes para mayor clari-dad. Uno de los relojes queda en reposo y el otro se desplazaen movimiento uniforme, por lo cual durante el tramo queva de A hasta B, cada uno de los relojes puede considerarse

él en reposo y el otro en movimiento. En consecuencia, paracada reloj es el otro el que atrasa con respecto a él mismo,que se considera inmóvil. No existe contradicción en queambos relojes atrasen mutuamente, ya que todo se debe a unefecto de perspectiva tetradimensional en el espacio-tiempo.además, no hay verdadero conflicto mientras no se coloquen

juntos. Y eso no puede ocurrir si es que se alejan mutuamente

con movimiento rectilíneo y uniforme. Cuando queramoscompararlos habremos de transportar uno junto a otro, y paraello tendremos que frenar o cambiar de dirección (es decir,acelerar) uno de los móviles.

Eva se marcha con velocidad próxima a c, pero después se arrepientey vuelve para encontrar que el tiempo ha transcurrido más despacio

para ella en relación con Adán



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En rigor la teoría de la Relatividad no se aplica al

estudio de referenciales mutuamente acelerados, pero pode-mos subsanar esta carencia mediante algunos subterfugiosconvenientes. Es necesario destacar este extremo pues sonmuchos los legos que suponen que la Relatividad «estudiael movimiento relativo de un punto con respecto a otro». Enrealidad no se ocupa de eso, sino de «estudiar el movimientoarbitrario de un punto sobre uno cualquiera de todos los sis-

temas inerciales posibles», así como de las transformacionesque relacionan dichos sistemas entre sí (las transformacionesde Lorentz). La situación en la que el punto bajo estudio co-incida con el origen de un sistema de referencia inercial esun caso particular de lo enunciado antes y resulta sencillo detratar. Si el punto, por contra, se mueve de modo arbitrario,habremos de considerarlo instantáneamente quieto en uno

de los infinitos sistemas inerciales momentáneos (sólo du-ran un instante) asociables a cada punto de una trayectoriaarbitraria.

Diagrama espacio-temporal que compara al gemelo viajero con elcompañero que no se desplazó

Distintas trayectorias en el espacio-tiempo de dos gemelosentre los puntos A y B. El camino 1 corresponde al gemeloestacionario y el camino 2 al gemelo móvil



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En el caso que nos ocupa supondremos que el cambio

de velocidad se produce instantáneamente. Entonces resul-taría que las líneas de universo de ambos relojes diferiríanen un rasgo fundamental: una de ellas sería recta y la otraquebrada, indicando la aceleración sufrida. En virtud de las

peculiares características de la geometría espacio-temporalde Minkowski, no se cumple la desigualdad triangular clásica

para las distancias: en un espacio euclídeo ordinario AC sería

menor que AB + BC, pero en lugar de ello AC es mayor queAB + BC. Como en el espacio-tiempo no medimos distanciasen el sentido corriente sino intervalos espaciotemporales, olo que es lo mismo «tiempo propio», el reloj viajero mar-cará menos horas transcurridas que el que no se movió dela Tierra.

No es posible decir que desde el punto de vista del reloj

móvil cabría considerarlo todo como si él hubiera estadoen reposo hasta el final y los demás se hubiesen movido. Elhecho de que ha sido él el que ha experimentado las acele-raciones indispensables para regresar y no su compañerosedentario, rompe la simetría de la situación mantenida hastael punto B. Esta diferencia es inequívoca en el sentido deque las líneas rectas de universo representan un movimiento

inercial frente a las líneas quebradas, que manifiestan algunaaceleración.

Pese a lo asombrosas que aparenten ser sus consecuen-cias, todas las predicciones de la RE han sido corroboradascon el máximo grado de exactitud alcanzado por una teoríafísica. La variación de la masa, o del tiempo de vida, de lasmicro-partículas lanzadas a grandes velocidades, la variación

del ritmo de relojes atómicos de precisión en movimiento,el estudio de todas las radiaciones electromagnéticas (paracuya descripción ya ni se necesita acudir al éter ni a movi-miento «absoluto» alguno) y un sinfín de experimentos más,



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constituyen un magnífico broche de oro a la obra intelectual

de Einstein.Una característica del universo de cuatro dimensiones presentado en este capítulo que con frecuencia pasa desaper-cibida, es la que se relaciona con el problema del flujo deltiempo. La convicción intima del paso del tiempo se hallatan arraigada en nosotros que llega a convertirse en una se-gunda naturaleza, a la que casi nunca nos atrevemos a poner

en tela de juicio. En verdad parecería absurdo hacerlo; todossentimos que «el tiempo pasa», que ayer no fue lo mismo quehoy, ni el hoy será con seguridad idéntico al mañana. Pero lascosas son bien distintas contempladas desde la perspectiva delos diagramas de Minkowski. En ellos el tiempo se incluyeya como un eje más del gráfico, y basta recorrer cada unode los puntos de ese eje para tener ante nosotros, desde el

pasado hasta el futuro, todos los acontecimientos sucedidosy por suceder. El universo tetradimensional de la Relatividades una configuración estática y atemporal de todos los acon-tecimientos espacio-temporales de todas las épocas.

Mas, ¿no podría ocurrir que el diagrama de Minkowskise fuera desplegando conforme pasa el tiempo, creciendoa lo largo del eje temporal, de modo que el pasado el uni-

verso sí existiese ya pero el futuro aún no figurase en él?Esta opinión, que imagina el paso del tiempo en el universocomo el despliegue de un pergamino que se desenrolla, estan atractiva como engañosa y ha merecido por ello el cali-ficativo de «falacia del diagrama animado de Minkowski».El equívoco reside en el hecho de que no existe un tiempoabsoluto respecto del cual referir el supuesto despliegue del

universo. Dado que la simultaneidad entre los sucesos depende del sistema de referencia en el que se describan, dosacontecimientos que tengan lugar a la vez para un observadoracaecerán en tiempos distintos para los demás. Este extremo



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nos imposibilita decidir qué acontecimientos han sucedido ya

y qué otros todavía no, porque el «ya» y el «todavía» lo son para nosotros y, en general, para nadie más. Mal podremosentonces concebir un despliegue del diagrama de Minkowskisi carece de sentido establecer los sucesos que han ocurrido,

para incluirlos en él, y los que no lo han hecho, para inser-tarlos más tarde.

Aquí surge una nueva cuestión: ¿cuánto «más tarde»?.

Admitiendo que el crecimiento del universo tetradimensio-nal a lo largo del eje del tiempo no fuese incongruente, senos plantea el interrogante del ritmo al que se produce esecrecimiento. En otras palabras, ¿a qué velocidad se da ese«despliegue»? Habiendo incluido el eje temporal como par-te integrante del diagrama de Minkowski, no tiene sentidohablar de la «velocidad» a la que se despliega el universo

tetradimensional, ya que entonces necesitaríamos un eje temporal extra al que referir la rapidez con que se expanden losotros cuatro. La ganancia que conseguiríamos con esto seríaridícula, pues bastaría con agregar ese nuevo eje temporalal diagrama previo para obtener un gráfico de Minkowskiampliado en el que nos toparíamos con los mismos problemasde fondo que luchábamos por resolver.

La idea de un universo como el descrito cuenta consólidos argumentos teóricos y experimentales en su respaldo.De hecho toda la teoría de la Relatividad milita en su favor,

por cuanto que la geometría minkowskiana de cuatro dimen-siones representa las propiedades consideradas físicamenteobjetivas del mundo. Esa geometría no es un simple juegointelectual creado por un matemático ingenioso; resulta más

bien la plasmación teórica de las características más profun-das del espacio y del tiempo descubiertas hasta ahora.

Nos guste o no, «la sensación del flujo del tiempo –en palabras de Einstein– no es más que una ilusión psicológi-



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ca». Cuando nos detenemos a pensar que lo discutido para

las líneas de universo de partículas elementales y objetosinanimados es también aplicable a los seres humanos, sonmuchas las personas para las que esta conclusión es motivode espanto. Se horrorizan al suponer que se les priva de su«libre albedrío», al que, por alguna razón que no precisan,estiman muy importante en sus vidas.

Sin embargo, la Relatividad no tiene nada que decir

sobre este asunto, pues la noción de libre albedrío es más un problema psicológico que físico. Que desde un punto de vistatetradimensional todos los acontecimientos se encuentrendispuestos en el universo y que nuestras líneas de universosean como son, no significa que estemos obligados a haceralgo que no deseamos. Los cleptómanos o los alcohólicos,que se ven impulsados a cometer actos que repudian en sus

momentos de lucidez, sí carecen de libre albedrío. Mas losindividuos que en cada momento se deciden por sí mismos arealizar esto o aquello, son a todos los efectos tan libres y res-

ponsables como antes de los descubrimientos de Einstein.



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6

LA MÁS CÉLEBRE ECUACIÓN

Uno de los múltiples méritos de Einstein fue popula-rizar hasta límites increíbles lo que se convirtió en la másconocida ecuación de la historia de la ciencia. La relación de

equivalencia entre la masas y la energía, llegó a ser, con toda justicia, el estandarte público de la teoría de la Relatividad,si bien su extendidísima fama no evitó las confusiones mal-entendidos sobre su genuino significado. Después de todo lodicho en el capítulo anterior, no debe quedar ya duda algunade que el verdadero sentido del principio de relativista deEinstein se capta contemplando los nuevos conceptos e ideas

desde una panorámica tetradimensional. Solamente desdela atalaya de un espacio-tiempo con cuatro dimensiones, sedespliega ante nosotros toda la riqueza de matices que lanueva teoría aporta a la comprensión del mundo físico. Yesta observación es válida, desde luego, para la ecuación querelaciona la masa con la energía.

Con el fin de comprenderla en profundidad, hemos de

introducir primero un nuevo concepto tetradimensional. Elvector de posición de un suceso en el espacio-tiempo veníadado por una colección cuatro componentes que escribíamoscomo (ct, x, y, z), sus coordenadas en el espacio y en el tiem-



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po. De igual manera que este vector vincula variables como

la posición espacial y la temporal que en la física clásica permanecían desligadas, es necesario construir como pasosiguiente una cantidad similar que enlace la energía y el im-

pulso, que en la época anterior a Einstein también aparecíancomo cantidades solo indirectamente relacionadas. Emperoel vínculo que la RE les depara es mucho más estrecho queel de la física clásica.

En el marco de la Relatividad la energía (escalar) yel impulso (un vector tridimensional) de un objeto, formanlas cuatro componentes de un nuevo vector que a falta demejor denominación podríamos llamar impulso-energía o«4-ímpetu» (el 4 por el número de dimensiones del espacio-tiempo, y el nombre de ímpetu por evitar la redundancia entérminos como energía o impulso). Con este nombre mestizo

se pretende recordar constantemente que tanto la energíacomo el impulso son tan solo distintos aspectos de una mismaentidad física. El vector de 4-ímpetu será representado comoξ = (ξ

1 , ξ

2 , ξ

3 , ξ

4 ).

La clave de todo cuanto sigue consiste en comprenderque las diversas maneras de expresar las componentes de ξ en función del impulso o de la energía, son únicamente di-

ferentes modos de referirse al mismo concepto. Una formahabitual de construir dichas componentes es la de tomar elvector impulso tetradimensional, una generalización relati-vista del impulso clásico tridimensional, y multiplicarlo porla velocidad de la luz. por la masa newtoniana en la físicaclásica.

Multiplicando el vector P por la velocidad c obtenemos

otro vector cuyas unidades son las de la energía y que per-fectamente podemos asimilar al 4-ímpetu. Con igual derecho

podríamos escribirlas las componentes de ese vector comoenergías El cuadrado del módulo del vector 4-ímpetu –o dicho



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toscamente, el cuadrado de su longitud– es igual al cuadrado

de la «energía propia» del cuerpo en cuestión. Hemos arriba-do a la famosa ecuación de Einstein que estatuye la igualdadentre la masa y la energía, a la vez que logramos una conclu-sión tan importante como esa: en el seno de la relatividad laenergía ya no es un escalar, un número puro como era en lafísica clásica, sino que es la primera componente del vector4-ímpetu, lo que resulta muy distinto.

Incluso podemos representar gráficamente el vectorξ y algunas de sus componentes. Haciéndolo así quedarade relieve que tanto lo que en la vieja física llamábamos«energía» como lo que se denominaba «impulso», no eranmás que diversas proyecciones de una única magnitud tetra-dimensional. En concreto la energía, primera componente delvector 4-ímpetu, es la proyección de ξ sobre el eje temporal,

mientras que las componentes del impulso tridimensionalclásico son las distintas proyecciones de ξ sobre los tresejes espaciales (por sencillez en el gráfico sólo dibujamosdos ejes).



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Desde la perspectiva tetradimensional ni la energía ni

el impulso tienen ahora significado físico con independenciadel vector ξ. La energía propia equivale a la masa propiamultiplicada por el cuadrado de la velocidad de la luz. Este esel genuino sentido del enunciado que afirma la equivalenciade la masa y la energía. Son todavía muchos los que suponenque la ecuación de Einstein sirve tan solo para mudarse deun sistema de unidades a otro, pasando de las unidades de

masa a las de energía o viceversa, y juzgan ambos conceptosfundamentalmente distintos. Sin embargo, nada más lejos dela realidad; la velocidad de la luz no es una suerte de factorde conversión para realizar tales cambios. El análisis espacio-temporal que hemos llevado a cabo ha dejado patente que«masa» y «energía» son los dos nombres que indistintamenterecibía la componente temporal del vector ξ, en tanto que

«energía propia» y «masa propia» eran los dos sinónimoscon que calificábamos a la longitud tetradimensional de esemismo vector.

Las diferencia entre ambos términos se comprende bien considerando la analogía que existe entre el tetravec-tor 4-ímpetu, y el tetravector intervalo entre dos sucesosespacio-temporales. La proyección sobre el eje del tiempo

del intervalo es la duración entre ambos sucesos que, comosabemos, depende del sistema de referencia respecto del quese describa. De igual forma la proyección de ξ sobre el ejetemporal constituye la energía E (o la masa m equivalente),la cual también depende del referencial elegido. Por otrolado, el módulo del intervalo, su longitud, tiene la propiedadde ser invariante frete a cambios del sistema de referencia.

Exactamente lo mismo ocurre con el valor del módulo deξ, al que llamamos masa propia o energía propia, el cual

permanece constante en cualquier referencial en el que nosencontremos.



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Es por esto que la ecuación de Einstein debe ser enten-

dida como la expresión de una identidad largamente ignorada por los investigadores del pasado. No es que la masa y laenergía sean dos conceptos sustancialmente equivalentes; esmás bien que se trata del mismo concepto denominado dedos maneras diferentes. Tampoco es correcto decir que «lamateria se ha transformado en energía», entre otras razones

porque la masa y la energía son atributos mientras que la

materia y la radiación son entidades físicas. La materia jamás puede convertirse en energía, ni tampoco la masaen radiación, del mismo modo que un objeto (un chaqueta,

por ejemplo) no puede convertirse en una propiedad de ellamisma (digamos,«de color gris»).

Son numerosísimos los malentendidos que se generanen torno esta fórmula, entendida como una especie de ligazón

entre dos ideas dispares –la masa y la energía– en lugar decomo ha sido explicado antes. Con gran frecuencia se afirmaque expresa las variaciones paralelas de la masa y la energíaen cualquier proceso físico (si cambia la energía de un sis-tema en una cantidad, así lo hace su masa en un valor corre-lativa), manteniendo ambas nociones conceptualmente tanseparadas como en los días de Newton. Negándonos a iden-

tificar energía con materia y ésta con la masa, nos veremosen gruesas complicaciones cuando se nos interrogue acercade las colisiones de alta energía en las que ciertas partículasse descomponen en haces de radiación. Los únicos atributosfísicos reconocibles de la radiación electromagnética, son suenergía y su impulso, pero al mantener una tajante distinciónentre la materia y la energía quedaremos obligados a admitir

que alguna cantidad de materia ha desaparecido.Peor incluso, pues el hecho de que la masa propia del

fotón sea cero, nos impide explicar, por ejemplo, cómo unfotón de energía E y masa propia nula en un horno puede



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incrementar la inercia de esa cavidad en la cantidad igual a

la energía dividida entre el cuadrado de la velocidad de laluz. La identidad de la masa inercial (resistencia a la acele-ración) y la gravitatoria (generación del campo de gravedad)viene dada por la Relatividad General –de la que hablaremosen los capítulos siguientes– la cual nace directamente delformalismo geométrico tetradimensional que aquí hemosexpuesto en sus líneas generales.

Cabría preguntarse entonces que ocurre cuando dos partículas elementales en reposo se desintegran dando lu-gar a radiaciones. Si dichas partículas son materia –y seríasorprendente que alguien lo negase– o bien consideramosla radiación como una clase de «sustancia» sobre la que seasientan propiedades como la energía y el impulso, o bienhemos de admitir que la materia inicial ha desaparecido.

La segunda opción parece intolerable, sin que la primera sehiciese menos insostenible desde que se conoce la capacidadde las ondas electromagnéticas para propagarse en ausenciade medio material.

La razón de tales confusiones estriba en olvidar unavez más la naturaleza esencialmente tetradimensional delos conceptos relativistas, y restringirse a un solo sistema

de referencia contemplado además desde un punto de vistatridimensional. En ese caso lo que único que conseguimoses mezclar las ideas clásicas y relativistas, interpretando laecuación de Einstein como una relación entre dos magni-tudes que hasta ese instante se suponían desligadas. Nadatiene ello que ver con la estricta identidad entre la masa y laenergía que se desprende de una adecuada interpretación en

cuatro dimensiones del problema. Desde esa perspectiva laecuación de Einstein ya no es una nueva ley de la naturalezaque conecta magnitudes distintas, sino la manifestación deuna identidad que antes permanecía oculta.



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Una discusión muy similar cabe llevar a cabo acerca de

las llamadas «transformaciones» entre la masa y la energíaque se deducen de la fórmula einsteniana. En efecto, pareceríaque una variación de la masa de un cuerpo (lo que resultafrecuente en las reacciones nucleares) lleva aparejada unavariación correlativa en la energía de ese cuerpo.

Ejemplo simplificado (y por ello inexacto) de una reacción nuclear pararepresentarse espacio-temporalmente. No hay transformaciones de

masa en energía, solo reordenación de los vectores 4-dimensionales

Tomemos lo que sucede en una reacción nuclear en

la que un grupo de partículas subatómicas se reúnen paraconstituir un núcleo en una reacción de fusión, desprendiendoenergía en el proceso. Muchos individuos aducirían que laenergía desprendida tiene su origen en una disminución dela masa del sistema respecto de la suma de las masas de loscomponentes por separado, arguyendo al final que «la masaque falta se ha transformado en energía». Analizándolo con

mayor detenimiento volvemos a sospechar que algo no mar-cha del todo bien. Si la masa y la energía son exactamentelo mismo, ¿qué sentido tiene afirmar que se transforman launa en la otra? Cuando se habla de «transformaciones» se



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sobreentiende que ha de ser entre cosas distintas, pues de lo

contrario la misma palabra pierde su sentido. No tiene muchomérito afirmar que una antigua moneda de cinco pesetas se haconvertido en un «duro», porque son nombres distintos paradesignar el mismo objeto. Por todo ello debemos aclarar quées lo que se quiere decir al mencionar las transformacionesentre masa y energía.

Si por ellas entendemos la idea tetradimensional dis-

cutida arriba, lo que en realidad sucede es que una formade energía antes ignorada –la «masa propia»– se manifiestacomo una forma clásica de energía –generalmente calor– enel proceso nuclear puesto como ejemplo. Las masas propias(o energías propias) de cada uno de los componentes delnúcleo por separado, consideradas como los módulos de losrespectivos vectores ξ, no son aditivas; es decir, la masa

propia de un sistema no es igual a la suma de las masa propias de sus componentes tomados uno a uno. Ocurre que losmódulos de los vectores son escalares (números puros), ysolo es posible visualizar geométricamente su suma ponien-do todos los vectores en hilera. En cambio la suma de losvectores como tales puede hacerse en cualquier orientaciónque tengan estos y el resultado no será ya el mismo

Recordando ahora que el módulo de ξ representaba lamasa o energía propia de un cuerpo, comprenderemos queen un proceso nuclear de fusión lo que acaece es que por lasrazones que se acaban de explicar la suma de las masa (oenergías) propias al comienzo –las de los componentes porseparado– es menor que la masa propia del sistema conjuntoformado tras la reacción. La diferencia entre ambas es lo

que se revela como energía extra en el curso del proceso.La misma explicación justifica los procesos de fisión, en losque el núcleo atómico se divide en dos o más fragmentos.La opinión popular sostiene generalmente que la energía



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desprendida en las reacciones atómicas, se origina en latransmutación directa de masa en energía. Sin embargo estoes un error; la energía producida en este tipo de reacciones

se debe en su mayor parte a la repulsión electrostática entrelos fragmentos resultantes de la fisión. No es indispensableque en una reacción nuclear «desaparezcan» partículas paraconvertirse directamente en energía.

La conservación del vector 4-ímpetu condensa en símisma las leyes clásicas de conservación de la energía (latotal, debida a Mayer y Helmholtz, y la cinética, a Leibniz),

la masa (proclamada por el químico francés Lavoisier enel siglo XVIII) y el impulso (enunciada ya por Descartes).Cuatro grandes leyes que garantizan la integridad en todo

proceso natural de una serie de magnitudes físicas, quedan

Dibujo de una reac-ción en cadena defisión nuclear



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subsumidas en un único principio gracias a la síntesis magis-

tral de Einstein. La conservación de ξ atañe a los procesosocurridos en un mismo sistema de referencia y no al cambiode las componentes del vector cuando pasamos de un refe-rencial a otro. Es obvio que entonces podemos elegir unoen el que el cuerpo se halle en reposo y sus componentesde impulso se anulen, lo que equivaldría a girar los ejes delsistema de referencia de forma que el eje temporal coincidiese

con el vector ξ.

Un caso interesante nos lo plantea la desintegraciónde los piones, una partícula subatómica que en determinadascondiciones es capaz de desintegrarse en dos fotones. Losfotones no son una partícula cualquiera, dado que viajansiempre a la velocidad de la luz su masa propia es nula por

definición. Daría la sensación entonces de que existe un proceso en el que la masa propia de un objeto no se conser-va, ya que un pión tiene masa propia distinta de cero peroun fotón no. La solución a esta paradoja reside en que lamasa propia nula se refiere a un único fotón, en tanto queen la desintegración del pión aparecen dos fotones. Puededemostrarse sin mucha dificultad que un haz luminoso que

no sea infinitamente estrecho (lo que es una idealizaciónimposible en la práctica) posee una masa propia no nula. Encuanto los fotones de un haz posean diferentes direcciones,la masa propia del conjunto ya no será cero, lo que aplicadoa nuestro ejemplo disipa la paradoja.

¿Cuál es pues, desde este punto de vista, lo que impide que un cuerpo alcance la velocidad de la luz? En el

lenguaje relativista responderíamos que son las restriccionesimpuestas por el espacio y el tiempo al comportamiento delos objetos físicos las que evitan que alcncen la velocidadde la luz.



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La razón de que el móvil nunca alcance la velocidad de

la luz se contempla ahora desde otro ángulo: es la dilatacióndel tiempo propio la que incrementa la lentitud del movi-miento del objeto desde nuestro punto de vista. Los segun-dos «propios» del móvil cada vez son más largos conformeaumenta su velocidad y nosotros, que nos encontramos enotro referencial, comprobamos que cuanto más acrecienta suvelocidad más tiempo tarda en recorrer la misma distancia.

Finalmente, de alcanzar la velocidad c su tiempo propio sedetendría y respecto de nosotros tardaría un tiempo infinitoen seguir avanzando; en otras palabras, quedaría inmóvil. Encambio, en el sistema de referencia unido al móvil, el tiempotranscurre al ritmo de siempre y desde él se percibe que no-sotros nos movemos en dirección contraria a su movimiento.Pero es por efecto de la contracción relativista de las longitu-

des, que cuanto más aumentan su velocidad la distancia querecorren en cada segundo de su tiempo se hace más corta. Elefecto final es el mismo, su velocidad decrece (tanto da queaumente el tiempo empleado en recorrer la misma distancia,como que se recorra cada vez menos distancia en el mismotiempo) y se hace imposible siquiera alcanzar el valor c.



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Lo que sucede en realidad es que los segundos en B,

por ejemplo, son más largos en A (dilatación del tiempo), por lo que en el referencial A, el móvil B recorre el mismoespacio cada vez en más tiempo. Luego su aceleración dis-minuye. Recíprocamente, B considera que su tiempo no sufrealteraciones pero que el referencial A y la regla unida a él semueven hacia atrás. Por la contracción de las longitudes enmovimiento relativo, B nota que en cada unidad de su tiempo,

recorre distancias paulatinamente más cortas sobre la escala(las divisiones de la escala, que se mueve hacia atrás respectoa él, se hacen más cortas) y también deduce por tanto que suaceleración disminuye. Jamás se alcanzará la velocidad c enninguno de ambos sistemas de referencia. Como se ve, no esnecesario en modo alguno recurrir a masas que se incremen-tan con la velocidad, como se hace en numerosos textos. Es

más, hacerlo así supone embutir ideas newtonianas dentrode la teoría de Einstein, lo que constituye una falacia y unfraude contra el verdadero sentido de la Relatividad. En esteaspecto, como en todos los demás de la teoría einsteniana,la clave está en las asombrosas propiedades del espacio y eltiempo, cuyo engarce en el espacio-tiempo nos lleva muchomás allá de cuanto hubiésemos podido imaginar.



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7

ARRUGANDO EL ESPACIO-TIEMPO

En un primer momento, Einstein desarrolló su teoríade la Relatividad Especial, ciñéndose exclusivamente a losmovimientos inerciales, es decir, aquellos que son rectilíneosy uniformes. En ella no se encuentra ningún camino obvio

para generalizarla al caso de los movimientos acelerados.Esto supone un gran escollo en tanto que las interaccionesfundamentales de la naturaleza (gravitacional, electromag-nética, nuclear) se manifiestan como fuerzas que aparecenentre los cuerpos físicos. La aplicación de una fuerza a uncuerpo le produce a éste una aceleración, como se sabedesde Newton, por lo cual los fenómenos verdaderamente

interesantes para la física se dan entre sistemas de referenciaacelerados por la acción de las fuerzas. De hecho, si la ley dela gravedad newtoniana es correcta –y todo hace pensar quelo es– no existe, en rigor, ningún cuerpo que se halle librede aceleraciones. La fuerza de la gravedad tiene un alcanceinfinito, como se deduce de su misma fórmula, y todos loscuerpos materiales la experimentan.

Queda muy claro entonces es que los sistemas de refe-rencia reales están siempre acelerados en mayor o menor me-dida. Por este motivo la consecución de una teoría relativistaque logre englobarlos se presenta como un objetivo de primer



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orden en la línea de investigación iniciada por Einstein. El

primer paso en esta dirección lo dio el mismo genio alemán,al plantearse la posibilidad de incluir la ley newtoniana de lagravedad de un modo consistente en el esquema relativista.Como sabemos, la Relatividad prohíbe cualquier transmisiónde señales o influencias físicas a mayor velocidad que la luz.

No obstante, la gravedad, tal cual era clásicamente entendida, parecía estar exenta de esta obligación.

La ley de Newton era muy clara a este respecto: laatracción entre dos cuerpos sólo dependía de las masas decada uno, la distancia que mediara entre ellos y de nadamás. No había la menor mención a un «tiempo de retardo»empleado por la interacción gravitatoria en viajar de un ob-

jeto a otro, como sucedía en el electromagnetismo, dondelas ondas electromagnéticas sí se tomaban un tiempo finito

en el trayecto entre su punto de partida y su destino. Lastentativas experimentales de medición de la velocidad conla que se propagaba la gravedad llevadas acabo durante lossiglos XVIII y XIX, habían arrojado resultados confusosde los que se deducía en todo caso que dicha velocidad erainmensamente mayor que c, por lo que se admitía en la prác-tica que era infinita. Esta conclusión era intolerable para una

mentalidad impregnada del espíritu de la Relatividad y exigía pronta enmienda, tarea ésta a la que se dedicó Einstein sintardanza.

Al comienzo de esta apasionante andadura, pregunté-monos cuál es la diferencia más evidente entre un movimien-to inercial y uno acelerado desde la óptica tetradimensionalde la RE. En el lenguaje de los diagramas de Minkowski

la distinción salta a la vista de inmediato: los movimientosuniformes se representan por líneas de universo rectas enel espacio-tiempo, frente a los movimientos acelerados quedan lugar a líneas curvas.



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Como se dijo, la gravedad afecta a todos los entes físi-

cos por igual sin que nada se salve de ejercer o sufrir fuerzasgravitatorias. Parece lógico deducir de esto que en presenciade un campo de gravedad, cualquier línea de universo ha deestar curvada. Es más, la aceleración de la gravedad no de-

pende sino del punto del campo en el que nos encontramos.Una vez que tenemos un campo gravitacional concreto, laaceleración que experimenta una masa inmersa en él está

determinada exclusivamente por la distancia de dicha masaa la fuente del campo.Se diría, pues, que la gravedad no depende de otra cosa

que las coordenadas del espacio y del tiempo. ¿Podría ser –se preguntó Einstein– que la gravitación sea una propie-dad de espacio-tiempo mismo? No sería ya que hubiese unagente externo, al que llamaríamos «fuerza de gravedad»,

que curvase las líneas de universo junto a él; en su lugarhallaríamos que es la propia curvatura del espacio-tiempola que modela las líneas de esa manera. Esta visión, porsorprendente que resulte al principio, es coherente con elformalismo tetradimensional de la RE. Ya que la gravedadsólo depende del lugar en que nos encontremos, no haynecesidad de superponer a la estructura del espacio-tiempo

un «campo de fuerzas» que explique su acción. Basta conadmitir que es la propia naturaleza curvada de esa estructurala que impone su curvatura a las líneas de universo de loscuerpos acelerados por la gravedad.

Casi siempre que se explica el concepto einstenianode la gravitación, se suele organizar un revuelo entre quie-nes son incapaces de imaginar cómo pueden «curvarse» el

espacio y el tiempo. Por ello no faltan opiniones según lascuales todo esto es una insensatez. Sólo se pueden curvar,torcer o enderezar las cosas materiales. La justicia no se

puede curvar porque, igual que el espacio, es un concepto



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abstracto, se dice. No les faltaría razón a estos críticos si el

significado de la palabra «curvatura» no fuese mucho mástécnico y especializado que en el lenguaje corriente.Ciertamente que no se puede curvar algo intangible;

pero plantear así la cuestión es cometer un error de enfoquedesde el principio. La costumbre humana de concebir lacurvatura como un efecto que se puede contemplar desdefuera del objeto curvado, nos hace olvidar con frecuencia

que la curvatura, en su sentido matemático, es un conceptoesencialmente definible en función de los resultados de lasmedidas (lo que se denomina las propiedades métricas) delespacio en el que estamos inmersos. La superficie de nuestro

planeta es un espacio –o «variedad», como prefieren llamarlolos matemáticos para evitar connotaciones inoportunas– dedos dimensiones, muy semejante a la superficie de una esfera.

No fue menester esperar a la llegada del hombre a la Lunao a la salida de los primeros astronautas al espacio exterior, para comprobar fuera de toda duda la forma casi esférica dela Tierra. Bastó con realizar una serie de medidas geométricassobre ella para llegar a la conclusión inequívoca de que nose trataba de un plano. De manera similar, las característicasgeométricas de las líneas de universo (que refleja a su vez

el comportamiento cinemático de los cuerpos) definen possí mismas la curvatura del espacio-tiempo del que forman

parte, sin relación a nada externo.Una imagen manida pero sugestiva que se emplea para

visualizar esta controvertida idea, es la que representa el espacio-tiempo como una lámina elástica que se deforma porefecto de los objetos que se depositan encima. Una canica,

por ejemplo, que se moviese por una lámina de esta clase,se desplazaría en línea recta en ausencia de cualquier objetoa su alrededor. Esa es la imagen que simboliza un espacio-tiempo «plano» sin gravitación. Si ahora colocamos una bola



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de billar sobre la superficie elástica, ésta se deformará pro-vocando un hundimiento en su entorno a modo de pequeño

valle. La canica se verá perturbada ahora en su movimiento,y su trayectoria ya no será rectilínea sino que se curvará al pasar junto a la bola, tanto más cuanto más próxima se ha-lle a su recorrido. Este es el espacio-tiempo curvado cuyosefectos expresamos hablando de la presencia de «un campode gravedad». Como es de suponer, un peso mayor sobre elelástico ocasionará una deformación mayor de la superficie,

lo que traduce el hecho de que al incrementar la masa au-mentamos la intensidad gravitacional. Este montaje visualcontiene aún algunos defectos estimables, porque en él siguesiendo difícil destacar el importantísimo papel de la curva-tura del tiempo, tanto o más que la del espacio, pero captael nervio fundamental de la teoría. Lo que desde Newtondenominábamos gravitación, no es más que un efecto de la

curvatura del espacio-tiempo.La primera reacción es la de negar que el ejemplo gráfi-

co anterior corresponda a la realidad. Las líneas en el espacioordinario son rectas, se diría, y si se curvan es porque algo

El espacio-tiempo de laRelatividadGeneral, cur-vado por lasmasas, desvíalas trayecto-rias producien-do las órbitasvisibles



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les obliga a ello. Lo que ocurre es que no nos las vemos con

un «espacio ordinario». Siempre que pensamos en una línearecta vienen a nuestra mente las ilustraciones de los textosde geometría escolar, las cuales tiene muy poco que ver conlo que tratamos aquí. Porque, exceptuando las abstraccionesmatemáticas de los libros, ¿qué es, en un sentido físico, unalínea recta? No podemos responder «el borde de mi regla dedibujo» porque ese objeto, como todos los que nos rodean

han sido construidos usando algún patrón de rectitud, el úl-timo de los cuales se reduce finalmente al ideal de un suelo bien pulido.

Pero por muy plano que sea el suelo sobre el que nosmovamos, no es posible olvidar que forma parte de un pla-neta cuya superficie está curvada y comunica esa curvaturaa todo lo que se construye sobre ella. Ni siquiera las paredes

de nuestras casa son realmente rectas, pues en el mejor delos casos son perpendiculares a un suelo que en realidad escurvo, y si se prolongasen hacia el interior de la Tierra secortarían en su centro. Si lo reflexionamos con cuidado, laúnica definición razonable de «línea recta» con sentido fí-sico es la del camino que recorre la luz entre dos puntos enel vacío. Precisamente el camino que los experimentos han

descubierto curvado en perfecto acuerdo con las prediccionesde Einstein.

Acaso intentemos aferrarnos a la antigua noción delínea recta, definiéndola como «la distancia más corta entredos puntos. En la geometría de Euclídes esa distancia vienedada por una variante del conocido teorema de Pitágoras. Elcuadrado de la distancia rectilínea entre dos puntos es igual

a la suma de los cuadrados de sus coordenadas. Cuandola situación lo exija podemos añadir una coordenada más

para pasar de un plano bidimensional a un espacio de tresdimensiones. E incluso nos es dado agregar más de tres co-



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ordenadas y trabajar en espacios abstractos con un número

cualquiera de dimensiones, como habitualmente hacen losmatemáticos.Por desgracia todo eso no nos sirve de gran cosa. Un

estudio más profundo de la geometría nos aclara que el con-cepto de «distancia» entre dos puntos cambia según el tipode geometría que manejemos. La geometría euclídea no es laúnica, ni con mucho, entre todas las posibles, cada una de las

cuales posee su propia fórmula para definir la distancia entredos puntos. Un ejemplo muy obvio de ello lo encontramosal discutir la geometría de la RE. La definición de distancia,o métrica, en la geometría de Minkowski era bien distintade la euclídea, lo que ocasionaba no pocos contratiempos yaparentes paradojas. No era sólo que se empleasen cuatrodimensiones al incluir el tiempo, sino que algunas coorde-

nadas al cuadrado se restaban y otras conservaban el signo positivo. Fórmulas todavía más complejas es posible hallaren el marco de las denominadas geometrías no euclídeas,algunas de las cuales desempeñarán un puesto decisivo enel desarrollo de la Relatividad General.

El objetivo inmediato, así pues, sería desvelar cuál detodas las geometrías teóricamente posibles corresponde al

universo real. Esa ya no es labor de las matemáticas, puesresulta ser materia de experimentación y concierne por tantoa la física. Veremos a continuación cómo Einstein fue persua-diéndose gradualmente de que la geometría que más útil semostraba para describir las propiedades del espacio-tiempo,en efecto, no era euclídea.

La geometría en la que todos pensamos cuando se

pronuncia esa palabra, fue sistematizada por el matemáticogriego Euclides alrededor del siglo III antes de Cristo. Auncuando se limitó a reproducir las conclusiones de contem-

poráneos y antecesores suyos –al propio Euclides no se le



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atribuye casi ninguna de las que recogió en sus libros– su

labor sistematizadora marcó un hito insustituible en la his-toria del pensamiento matemático. Fue el primer autor co-nocido que reconstruyó la geometría de su tiempo como unsistema lógico-deductivo puramente abstracto sobre el quese podía discurrir sin relación con nada externo. Partiendode una colección de axiomas (enunciados lógicos de caráctergeneral o particular que se aceptan como base de los razo-

namientos subsiguientes) obtiene los resultados íntegros dela geometría elemental, que por eso se llama euclídea, contal exactitud y concisión que su obra constituye todavía hoy,dos mil trescientos años después, la base de casi todos loslibros de texto de educación primaria y secundaria.

Expuestos en riguroso orden, los postulados de Eucli-des eran claros y directos con excepción del quinto de ellos,

que alcanzaría fama durante los dos milenios siguientes porel infructuoso empeño de matemáticos de todas las nacio-nes en demostrarlo como teorema (enunciado deducible delos axiomas) a partir de alguno de los restantes. El quinto

postulado de Euclides viene a decir, en síntesis, que por un punto exterior a una recta sólo puede pasar una paralela adicha recta. La forma en que el matemático griego lo había

enunciado en sus escritos, no obstante, era notablementemás enrevesada que ésta. Tanto así que la totalidad de losgrandes matemáticos posteriores hasta el siglo XIX, se sintiótentada de eliminarlo como axioma básico convirtiéndolo enteorema. Nadie lo consiguió pese a los ímprobos esfuerzoque se destinaron a ello y a que en el problema trabajaronlas mayores mentes matemáticas de la Historia.

La razón del fracaso general en demostrar el quinto postulado residía sencillamente en que era indemostrable,en el sentido de que es posible construir sin contradiccionesinternas geometrías en las que sea sustituido por otro. La



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coherencia lógica de la geometría es independiente del pos-

tulado de las paralelas. El primero que se percató de la posibilidad de desarrollar geometrías distintas de la euclidiana,en las que este postulado no se cumplía, fue el alemán KarlFriedrich Gauss, probablemente el más grande matemáticoque haya existido jamás. Sus intuiciones sobre este particularle parecieron tan osadas que no tuvo el valor de publicarlas.Por fortuna sí lo tuvieron el matemático húngaro J. Bolyai

y el ruso N.I. Lobachevsky, quienes descubrieron indepen-dientemente la geometría que lleva su nombre, en la que un punto puede ser atravesado por infinitas paralelas a una rectadada. Mas adelante el gran matemático alemán BernhardRiemann elaboró una geometría en la que no existen rectas

paralelas. Fue el mismo Riemann el que sintetizó en una obra posterior las geometrías no euclídeas, el manejo de los espa-

cios con un número cualquiera de dimensiones y el estudiointrínseco de las curvas y superficies propio de la geometríadiferencial. Por ello se considera que tanto la geometría deEuclides como la de Lobachevshky-Bolyai y la del mismoRiemann son casos particulares de las llamadas geometríasriemannianas, que se ocupan de espacios («variedades» di-ríamos hoy) con un número arbitario de dimensiones y con

curvatura variable.La características de las geometrías no euclídeas desafía

nuestra intuición ordinaria, y es una suerte que existan mode-los representativos de tales geometrías a nuestro alcance. Lageometría de Riemann en la que no hay paralelas a ningunarecta, se ejemplifica en la superficie de una esfera. Sobre esafigura cualquier recta que tracemos tendrá una longitud finita

puesto que acabará encontrándose a sí misma al otro lado dela superficie. Es decir, no tenemos en este caso «rectas» en elsentido tradicional, sino círcunferencias, que cumplen dentrode la geometría de Riemann las misma funciones geométrica



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que las rectas euclidianas en el plano. Tampoco es posible

trazar paralelas a una recta dada por un punto exterior a ella,ya que si prologamos lo suficiente el arco que cada una formasobre la superficie de la esfera, acabarán intersectando irre-mediablemente. Se sabía desde antiguo que en la superficiede una esfera la geometría era bien distinta a la de un plano,

pero nadie había especulado con la psoibilidad de que lo queallí ocurría sucediese de igual modo en un espacio de tres o

más dimensiones, ya existiese en el mundo real o sólo en lasabstracciones de los matemáticos. Hasta la aparición de estasnuevas geometrías, se admitía que sobre la superficie esféricano había más que un caso degenerado de geometría rediciblea la euclídea. Riemann demostró que en realidad se tratabade una geometría completa por derecho propio, que recibióel nombre de geometría elíptica al generalizar a situaciones

en que no fuese una esfera perfecta.La geometría de Lobachevsky-Bolyai es un poco máscomplicada de visualizar, aunque en absoluto imposible. Elmejor ejemplo con el que contamos es el de la superficiede una silla de montar a caballo. La forma tan particular delas sillas de los jinetes hípicos nos proporciona un modelode la geometría en la que hay infinitas paralelas a un recta

cualquiera, con la peculiaridad de que la extensión de dichasilla habría de ser también infinita si queremos que cumplalos axiomas de Lobachevsky-Bolayi con todo rigor.

De todas maneras, realizando un pequeño esfuerzode imaginación supondremos que los bordes de la silla demontar son ilimitados, con lo que las líneas dibujadas sobreella tampoco serán rectas desde una perspectiva euclídea.

Lo que sucede es que tanto en este caso como en el anteriornos es difícil recordar que la curvatura es una propiedadgeométrica intrínseca de la superficie o el espacio (la variedadmatemática en suma) que estemos considerando.



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Las mediciones realizadas en el seno de la variedad en

la que nos encontremos y el comportamiento de sus rectases lo único que precisamos para determinar la geometríaaplicable con rigor en cada situación, sin necesitar paranada la observación «desde fuera» de nuestras rectas a finde comprobar si son «verdaderas rectas». Siendo estrictos,la expresión «verdaderas rectas» no tiene sentido ya que larecta es un objeto geométrico que se define según las pro-

piedades que cada geometría, euclídea o no, les otorgue. Loque llamamos recta en la geometría del plano no es ni tiene porqué ser idéntico a lo que son rectas sobre la geometría dela superficie de una esfera o de una silla de montar. Estamostan acostumbrados a juzgar la geometría euclidiana como laúnica verdadera, que instintivamente consideramos supremoel criterio de Euclides para decidir lo que es una recta ge-

nuina y lo que no. Es éste una gravísimo error que debemosdesterrar cuanto antes.La asociación de cada geometría con la superficie que

la ejemplifica, dio lugar a unos nombres que ilustran tanto laforma de dichas superficies como la curvatura de las mismas.Así, a la geometría riemaniana se le llamó elíptica –comoya se dijo– o de curvatura positiva, a la de Lobachevsky-

Bolyai hiperbólica o de curvatura negativa, y a la euclídea parabólica o de curvatura nula. De hecho, cada una delas geometrías mencionadas constituye un caso particulardentro del conjunto de las geometrías caracterizadas por sucurvatura. La geometría euclídea, por ejemplo, es un casoconcreto de geometría con curvatura nula, pero hay una in-finidad más cuya curvatura también es cero aunque no sean

euclídeas, como ocurre con la geometría de Mikowski queya conocemos bien.

Tampoco es el postulado de las paralelas el únicocriterio con el que nos es dado decidir en qué variedad nos



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encontramos. Podemos recurrir igualmente a las propiedades

geométricas de algunas figuras características y observar sisu valor difiere del que sería esperable en la geometría deEuclides. Si trazamos un triángulo y sus tres ángulos suman180º nos hallaremos en una variedad euclídea, si la suma esmenor será hiperbólica (o de Lobachevsky-Bolyai), y si lasuma es mayor la variedad será elíptica.

La métrica euclídea es ya bien conocida por nosotros y

consiste en el cálculo de la distancia entre dos puntos. Asocia-mos al vector un sistema de ejes coordenados y no tenemosmás que sumar los cuadrados de las coordenadas del vectorsegún cada eje para hallar el cuadrado de su módulo, que esel cuadrado de la distancia entre su origen y su extremo. Estoes en realidad una aplicación del teorema de Pitágoras, quedice que en un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados

de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Ya quelas coordenadas del vector sobre los ejes forman un ángulorecto, no hay mayor dificultad en aplicar este teorema.

Pero, ¿qué sucedería si el triángulo no fuese rectángu-lo?; en el caso de nuestro vector, ¿qué ocurriría si los ejes nofuesen perpendiculares entre sí? Un sencillo cálculo geomé-trico indica que hemos de sumar a la expresión anterior los

productos de las coordenadas multiplicados por una ciertafunción del ángulo entre los ejes.

No hay razón para detenernos aquí y nuestro intentode generalizar la fórmula de la distancia proseguiría pregun-tándonos cómo se ha de escribir la métrica de un sistema decoordenadas en el que usásemos líneas curvas en lugar derectas como ejes. Esas curvas pueden estar tan onduladas

y retorcidas como queramos, de forma que sobre ellas lasescalas de medidas se hallen completamente distorsionadas.Aparecerán entonces unos coeficientes que serán funcionesdependientes del punto en que nos encontremos.



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Se denominan métricas riemannianas a aquéllas cuyos

coeficientes se aproximan tanto más a los de una métricaeuclídea cuanto más pequeño se hace el sistema de coordena-das. Si la diferencia entre nuestra métrica y la euclídea puedehacerse tan pequeña como se quiera reduciendo el tamañode nuestros ejes de coordenadas, entonces resulta ser unamétrica riemanniana. Por el contrario, si sobre un entornoinfinitesimal nuestra métrica tiende a convertirse en la de

Minkowski, se denomina pseudorriemanniana. Es naturalavanzar que las métricas interesantes para nosotros en laRelatividad General serán las pseudorriemannianas, puestoque en un entorno infinitesimal del espacio-tiempo curvado

parecerá que nos hallemos sobre una variedad plana, al igualque un pequeño huerto parece llano aunque se haya labradosobre una superficie esférica como la de la Tierra.

Otra importantísima característica de la métrica con-siste en el hecho de que es un tensor, es decir, una cantidadmatemática que conserva invariables una serie de propieda-des cuando se transforma de un sistema de coordenadas aotro. En concreto, el tensor métrico posee la decisiva pro-

piedad de aunque sus componentes –los coeficientes de lamétrica– cambien al pasar de un sistema de coordenadas a

otro, la distancia entre dos puntos calculada con la fórmulade la métrica permanece constante.

La exigencia del carácter tensorial de la métrica es unrequerimiento lógico elemental, pues la distancia entre dos

puntos no puede depender del tipo de variables que usemos para etiquetarlos. Y es de suma importancia a la hora deaplicarlo a la gravedad relativista, ya que si la gravitación es

una curvatura del espacio-tiempo, los sistemas de referenciasometidos a un campo de gravedad verán sus coordenadasdeformadas por dicha curvatura. Por ello la única manera deque distintos observadores concuerden en sus medidas de



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un intervalo espacio-temporal (que era constante para todos

los observadores en la RE y ha de seguir siéndolo aquí) escalculándolo mediante el tensor métrico.Teniendo bien presentes estas ideas en su camino hacia

la Relatividad General, el primer interrogante afrontado porEinstein, fue el de cómo traducir las ecuaciones de la gravi-tación de la física clásica al lenguaje tensorial en cuatro di-mensiones de un espacio-tiempo curvo. La primera ecuación

cuya contrapartida relativista buscó Einstein fue la llamada«ecuación de Poisson», que expresa un resultado tan simplecomo el de que en un volumen que no encierra masa alguna,o no existe campo gravitatorio o entra el mismo número delíneas de fuerza que sale. La situación física que describe estaecuación está esquematizada en el siguiente dibujo.

La masa m es la fuente del campo y la circunferencia punteada es el volumen que escogemos de modo que su

interior esté vacío. Se ve con facilidad que el flujo de líneasa través de la zona considerada es globalmente nulo: entrantantas como salen. Con la presencia de materia en el interiorde nuestro volumen imaginario, el resultado es distinto. La



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materia que contiene sí produce ahora líneas de fuerza netas

apuntando hacia el interior sin que las compense ningunaorientada hacia el exterior.La ecuación gravitatoria con quela física clásica describía esta situación era la de Laplace,donde se tiene un término proporcional a la densidad de masaencerrada en el volumen.

Guiándonos por analogía con las ecuaciones clásicasde Poisson y Laplace, lo que buscamos es una ecuacióntensorial cuya anulación en un lugar concreto sea un caso

particular dentro de un conjunto más amplio que contemplela presencia de materia y la aparición de campos gravitato-rios en otras regiones. Fueron necesarios bastantes años dedudas, dilaciones y tentativas fallidas hasta encontrar unasecuaciones que cumpliesen todas las condiciones deseablesya enumeradas y que a la vez garantizasen la conservaciónde la energía. Finalmente Einstein obtuvo nas ecuaciones

cuyo significado se puede resumir como sigue:

Curvatura de una región del espacio-tiempo = Conteni-do de masa-energía de esa región



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Un rasgo importante de la teoría gravitacional de Eins-

tein quedaba al descubierto durante estas investigaciones.Para calcular en esta teoría la densidad y flujo de impulsoy energía en los sistemas de referencia localmente «llanos»(llanos en el sentido de la Relatividad Especial, es decir, queen ellos resulta válida la geometría de Minkowski, no la deeuclides), no basta con conocer la distribución de estas mag-nitudes en tales sistemas. Además se hace imperativo conocer

cómo se relacionan espacio-temporalmente dichos sistemasentre sí. Ahora bien, para determinar esto último necesitamosconocer precisamente los coeficientes de la métrica, lo cualesdepende a su vez de la distribución espacial y temporal delimpulso-energía. En pocas palabras, desde el punto de vistade la Relatividad General, la estructura del espacio-tiempoy su contenido energético dependen mutuamente de un modo

desconocido en la física clásica.Las dificultades para la resolución de las ecuaciones decampo de la RG son inconmensurablemente mayores que enel caso clásico por dos motivos principales. En primer lugarresulta que estas ecuaciones, a diferencia de las newtonia-nas, no son lineales. Esto se traduce en que el campo creado

por un grupo de masa en sus inmediaciones, ya no puede

ser calculado como la suma de los campos que ocasionaríacada una de tales masas por separado. Las complicacionesmatemáticas que ello introduce en la práctica a la hora derealizar los cálculos, son apabullantes. De hecho una de las

pocas soluciones exactas que conocemos de estas ecuacionesrelativistas corresponde al caso de una masa inmensamentegrande alrededor de la cual orbita otra tan diminuta que su

influencia sobre la primera se considera despreciable. To-davía no hemos sido capaces de resolver la situación en laque dos cuerpos de masa comparable se mueven bajo unainfluencia gravitacional recíproca. En segundo lugar, pero



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no menos importante, la naturaleza interdependiente antes

comentada de las fórmulas einstenianas, complica todavíamás las cosas.De un modo u otro estas ecuaciones rigen con extraor-

dinaria exactitud el universo a gran escala, e incluso sonimprescindibles para estudiarlo a escalas medias de tamañosi deseamos una precisión que la teoría newtoniana no nos

puede ofrecer. Complementadas con observaciones expe-

rimentales, en ellas se encuentra la información pertinentesobre la métrica global del universo o la de sus regioneslocales, el comportamiento de púlsares, estrellas dobles ymuchos otros extraños objetos astrofísicos, la dinámica delos cúmulos de galaxias y demás grandes estructuras cosmo-lógicas, condiciones sobre el origen del universo y sin dudatambién sobre su fin.



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8

GENERALIZANDO LA R ELATIVIDAD

Gracias a la nueva teoría de la Relatividad General se pudo esclarecer el problema del origen de la inercia. Comosabemos, Newton sostenía que las fuerzas de inercia surgíanen los sistemas de referencia acelerados con respecto al es-

pacio «absoluto». Esta afirmación constituía un disparatea juicio del físico y filósofo Mach, puesto que el espacioabsoluto es una entidad completamente indetectable e inde-finible, un concepto absurdo inventado por el sabio británico

para explicar el origen de la inercia. En opinión de Mach lafísica debe contener la mínima cantidad posible de conceptosajenos a la experiencia directa, y el espacio absoluto era el

más alejado de ella. Las aceleraciones de los cuerpos, losefectos inerciales y todo movimiento en general había dereferirse no al espacio absoluto sino al conjunto de la materiadel universo. Desde esa perspectiva, los cuerpos materialessólo podían acelerarse respecto de otros cuerpos materialesy el espacio absoluto carecía de todo sentido.

Pero de acuerdo con la Relatividad General, un cubo

como el de Newton girando en solitario en el cosmos todavíaexperimentaría efectos inerciales, mas no por su relacióncon un supuesto espacio absoluto. El cubo, o cualquier otroobjeto, engendra a su alrededor un campo gravitatorio que



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posee una cierta energía. Esa energía, por la bien conocida

igualdad einsteniana, es equivalente a una cantidad de masa.Por lo tanto las aceleraciones experimentadas por el cubo ysu inercia lo serían con relación al campo que lo circunda,el cual se comportaría a todos los efectos como una masaextendida por el resto del universo.

Es decir, no tiene sentido hablar de «una masa únicaen el cosmos» prescindiendo de un campo gravitacional

que siempre la acompaña y cuyos efectos mecánicos nuncason despreciables. Esta solución hubiese sido inimaginable para Newton, quien carecía del concepto de campo físico ydesconocía la igualdad de la masa y la energía.

La pieza clave en este razonamiento es la estrictaigualdad entre masa inercial y masa gravitatoria, menciona-da en el capítulo primero. Esa igualdad es la que ocasiona

la notable característica de que la intensidad de un campogravitacional dado sólo depende de la distancia a su fuente.Es sencillo comprender que si una masa gravitatoria m

g es

atraída por el campo de otra masa M, la fuerza de atracciónviene dada por la ley newtoniana de la gravitación univer-sal. A su vez, dicha fuerza le produce a la masa atraída unaaceleración a la que ésta se resiste con su masa inercial m

i.

De acuerdo con la segunda ley de Newton la fuerza ejercidasobre esta masa vendrá dada por producto de su masa inercial

por la aceleración que sufra. Como estas dos expresionesde la fuerza se refieren a la misma atracción entre M y m,esto significa que la gravedad es un campo de aceleraciones

puras, que la aceleración que lo caracteriza no depende másque de la distancia a la fuente del campo, en este caso M.

No importa el tipo del cuerpo sumergido en el campo, ni sutamaño, velocidad, material o constitución atómica; si todosse colocan en el mismo punto del campo, la aceleración queexperimentarán será idéntica para todos.



125

La igualdad de la masa inercial y la gravitatoria, una

peculiar coincidencia en la física newtoniana, se toma comofundamento básico en la RG y se denomina principio deequivalencia. En realidad ésta es una formulación muy cru-da de tal principio; el enunciado moderno del principio deequivalencia –sustancialmente el mismo que Einstein usóen sus trabajos– es más elaborado y pone el énfasis en elsignificado espacio-temporal de dicha igualdad. Conforme

a este principio, no se trataría de una mera igualdad sino deuna identidad estricta, es decir, «masa inercial» y «masagravitatoria» son dos términos para denominar diferentesmanifestaciones del mismo fenómeno.

Podríamos prescindir del término «masa» y referirnostan solo al hecho de que un cuerpo a mayor velocidad que otro

posee por ello mayor energía y es capaz a su vez de afectar

y verse afectado por medio de campos gravitacionales. Enese sentido cabe afirmar que la teoría de Einstein describe por primera vez la «gravitación de la energía»: la energíaengendra y experimenta campos de gravedad.

Todos hemos tenido ocasión de admirar alguna vezlos suaves movimientos de los astronautas en una cápsulaespacial. Ellos mismos los describen como la sensación de

flotar sin agua alrededor, con una absoluta libertad paradesplazarse de un lugar a otro con un mínimo esfuerzo. Esemaravilloso ballet estratosférico suele considerarse productode la ingravidez de los astronautas que lo protagonizan. Perono es así, si tomamos el término «ingravidez» en su verda-dero sentido. Para que los astronautas estuviesen ingrávidoshabrían de alejarse tanto de todas las masas que ninguna

fuerza de gravedad les afectase, cosa harto difícil. En con-creto, las cápsulas espaciales y los satélites artificiales seencuentran sometidos a la gravedad terrestre, que les obligaa girar en torno al planeta, pues de lo contrario se moverían



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rectilínea y uniformemente como impone la primera ley de

Newton. La razón de que un satélite en órbita (sea artificialo natural, sea una nave o la misma Luna) no caiga sobre el planeta alrededor del cual orbita, es que mientras se desplaza verticalmente un trecho hacia dicho planeta tambiénse traslada horizontalmente, de forma que la composiciónde ambos movimientos se traduce en una órbita circular oaproximadamente circular.

Tanto la nave como todo lo que contiene, incluidos sustripulantes, caen hacia la Tierra con la misma aceleración puesto que la gravedad es un campo de aceleraciones puras,de modo que no se dan aceleraciones relativas entre ellos.El fuselaje de la nave y todos los objetos de su interior estánsometidos a la misma aceleración de la gravedad, igual quelos astronautas que tripulan la nave, siendo esta la razón de

que floten unos con respecto a los otros. Los efectos de lagravedad que acostumbramos a contemplar sobre la superficiede nuestro planeta, se deben principalmente a las pequeñasdiferencias de aceleración entre unos cuerpos y otros. Cuandosoltamos una piedra, por ejemplo, ésta cae hacia el suelo conla aceleración de la gravedad en tanto que nosotros permane-cemos inmóviles con respecto a ese suelo. Si por el contrario

nos arrojasen a un pozo profundo junto con la piedra, cae-ríamos ambos con la misma aceleración y nos parecería quela piedra no se mueve respecto a nosotros, ya que la mismaaceleración que impulsa la piedra hacia abajo es la que nosimpulsa a nosotros sin que haya movimiento relativo entre la

piedra y el observador. Esa es la razón fundamental de que para los astronautas sea indistinguible el estado de ingravidez

real de la situación en la que se hallan en caída libre dentrode un campo gravitatorio

Veamos ahora una situación hipotética en la que un as-tronauta solitario estuviese a la deriva por el espacio en espera



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de auxilio a causa de una avería en sus motores. El reactor

principal no funciona y, aunque puede hacerlo en cualquiermomento, nuestro amigo es previsor por lo que ha decididosolicitar un remolcador que lo devuelva a su base. Durante laespera el astronauta permanece en un estado que supondremosde ingravidez debido a su lejanía de cualquier otra masa, loque provoca las conocidas escenas de flotación dentro de lanave. De repente una aceleración (que por comodidad imagi-

naremos igual a g) le lanza contra el suelo de la nave, o lo quees lo mismo, el suelo de la nave se acelera contra sus pies conuna aceleración g. Si el astronauta no mira por alguna esco-tilla ni se comunica por radio con el exterior, será imposibleque averigüe si lo que ocurre es que los motores de la navehan comenzado a funcionar súbitamente o que el remolcadorespacial está tirando de la misma con igual aceleración a la

que producirían sus reactores en funcionamiento.Con este sencillo ejemplo hemos alcanzado el Principiode Equivalencia formulado por Einstein, que constituye unode los pilares de la Relatividad General. Este principio afirma,en forma resumida, que a un observador local (es decir, sinmedios para examinar grandes regiones del espacio-tiempo)le es imposible distinguir si se encuentra en un sistema de

referencia acelerado o en uno sometido a un campo gravita-cional. Einstein no utilizó, como es lógico, ningún ejemplorelacionado con cápsulas espaciales que en su tiempo noexistían, pero sí empleó una metáfora equiparable suponiendolo que experimentaría un individuo encerrado en un ascensor.El hecho de que el observador se enclaustrase en un espaciotan reducido se proponía garantizar que los fenómenos detec-

tados fuesen tan sólo locales, como ya se ha dicho, referidosa una porción muy reducida del espacio-tiempo

Pues bien, un individuo en un ascensor cayendo libre-mente en un campo de gravedad sería por completo equiva-



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lente a los astronautas antes citados, por cuanto que no tendríamodo de discernir si su ingravidez la provoca una ausenciacompleta de masa a su alrededor, o el hecho de que la cabinay él mismo caen con idéntica aceleración gravitatoria. Deigual manera se vería incapaz de distinguir entre la acele-

ración hacia el suelo que le ocasiona un tirón exterior sobreel camerín, y la atracción gravitatoria que sufre cuando elascensor permanece inmóvil sobre la superficie terrestre. Lassituaciones en las que el ascensor se halla detenido en tierra(el observador experimenta la aceleración gravitacional g) o semueve verticalmente en el espacio sideral con una aceleracióng (el observador sigue experimentando la misma aceleración

hacia abajo que cuando estaba en tierra), son enteramenteidénticas para el individuo encerrado en su interior.

La condición de que la equivalencia entre la gravedady la inercia se cumpla localmente es de suma importancia,

Viendo flotar los obje-tos el individuo dentro

del ascensor no sabesi está en caída libredentro de un campo

gravitatorio o en el espacio sideral. Y si nota

aceleración, ignora siestá bajo el influjo de

la gravedad o movién-dose hacia delante de

forma acelerada



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ya que si extendemos nuestro estudio a vastas regiones del

espacio y del tiempo aparecen severas desviaciones de este principio. En un hipotético ascensor con una extensión quecubriese todo un hemisferio terrestre, se percibiría que elcampo de gravedad es radial por el hecho de que objetos

bastante alejados entre sí caerían hacia el suelo segúndirecciones mutuamente oblicuas. Esto nos permitiríadistinguir la aceleración del campo de gravedad terrestre

de la aceleración provocada por una fuerza externa quetirara hacia arriba del ascensor, debido a la cual todos losobjetos en su interior se verían impulsados hacia atrás endirecciones paralelas entre sí. De igual forma, dos cuerposdentro de un pequeño ascensor en caída libre dentro de uncampo gravitacional como el terrestre, acabarían aproxi-mándose el uno al otro puesto que las líneas de fuerza del

la gravedad son radiales y están orientadas hacia el centrodel planeta; es decir, si prolongásemos las trayectorias deestos cuerpos en caída libre, terminarían por cortarse en elcentro de la Tierra.

En lo que atañe a las rotaciones el principio se cumple de igual modo, si bien en este caso es menos sencillode visualizar. Con el fin de determinar si está rotando o no,

imaginemos que el ocupante del ascensor einsteniano empleaun aparato diseñado para ello que se llama giróscopo. Alobservar que el giróscopo indica efectivamente una rotación,¿existe algún motivo para dudar de que es la cabina del as-censor la que gira?, en otras palabras, ¿tal estado es indistin-guible de algún otro según el principio de equivalencia? Enrealidad sí lo es a causa de un curioso efecto relativista de

las cuerpos rotantes. De acuerdo con la Relatividad Generalcuando una masa gira produce una distorsión adicional delespacio tiempo circundante que se agrega a la ocasionada

por su presencia con respecto a un espacio-tiempo «llano»



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en ausencia de masa y campos de gravedad. Es decir, además

de la curvatura espacio-temporal que constituye el campo degravedad tenemos también una curvatura añadida (la mé-trica espacio-temporal se aparta todavía más de la métrica

plana de la Relatividad Especial) causada por la rotación delcuerpo en cuestión. Esa distorsión espacio-temporal debidaa la rotación de una masa fuera del ascensor (que puedeimaginarse gráficamente como los torbellinos alrededor de

un trompo que gira dentro del agua), produciría en el girós-copo de dentro un comportamiento idéntico al que tendríasi fuese el ascensor el que girase sin ninguna masa rotandoen sus inmediaciones.

El principio de equivalencia es la principal idea físicaque condujo a Einstein a establecer su teoría espacio-tempo-ral de la gravedad. En su formulación actual, básicamente la

misma de Einstein, expone que en un campo gravitacionalarbitrario siempre es posible elegir en cualquier punto delespacio-tiempo un sistema de referencia «localmente iner-cial» en el que, en un entorno lo bastante reducido, las leyesnaturales sean las mismas que en un sistema no acelerado singravitación. La mención de «lo bastante reducido» suponeque el campo de gravedad no experimentará grandes cam-

bios, a lo largo del espacio y del tiempo, en todo el entornoconsiderado. La exigencia de que las leyes de la naturalezasean las mismas que en un sistema sin aceleración de ningúntipo, implica que dichas leyes asumirán la forma que adoptanel el marco de la Relatividad Especial.

Este es el principio de equivalencia, cimiento capitalde la Relatividad General. Gracias a él, Einstein procedió a

estudiar los sistemas gravitatorios mediante sistemas acele-rados equivalentes. Al hacer esto se percató que la geometríaeuclídea no era la apropiada en esta clase de problemas. Yeso le abocó finalmente a plantear su gravedad relativista



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como una teoría geométrica del espacio-tiempo curvo. En

esta teoría la fuente del campo gravitacional no podía serúnicamente la masa, sino una combinación de la masa-ener-gía y el impulso.

En las ecuaciones de la Relatividad General las in-cógnitas a desvelar son los coeficientes de la métrica de losque hablamos en el capítulo anterior. Su cálculo resulta máso menos complicado dependiendo de cada sistema físico

concreto. Sin embargo existe un caso de máxima sencillez,muy semejante al caso ideal newtoniano, que nos será degran ayuda para comprender cuál es el significado físicode esos coeficientes métricos y cómo se conectan con losfenómenos observables que rastrean los investigadores. Esasituación idealmente simplificada es la correspondiente auna masa minúscula moviéndose en el campo gravitacional

de otra mucho mayor, frente a la cual la primera es despre-ciable, de manera que podemos desestimar la influencia dela masa pequeña sobre la grande. Asimismo se supone quea una distancia infinita de la masa grande el espacio-tiempoes plano.

El primero que solucionó las ecuaciones de la RG bajoestas condiciones simplificadoras fue el astrónomo alemán

Karl Schwarzschild, y por ello dicha solución particular seconoce como «métrica de Schwarzschild». Es la que corres-

ponde con mucha aproximación a la de un sistema como elde la Tierra y el Sol, por lo que fue de considerable utilidada la hora de contrastar experimentalmente las prediccionesde la teoría de Einstein.

En un sistema tan simplificado como el de una masa

enorme en cuyo campo de gravedad se mueve otra diminu-ta, la métrica puede obtenerse sin más instrumentos que el

principio de equivalencia y la prescripción de que para unagravedad muy débil o velocidades muy inferiores a la de la



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luz, la atracción gravitatoria ha de describirse por la ley de

Newton. El contenido esencial del principio de equivalenciase resume en la afirmación de que un sistema acelerado repro-duce localmente –en una terminología matemática rigurosadeberíamos decir «puntualmente»– los efectos de un campode gravedad caracterizado por la misma aceleración. A finde calcular los efectos físicos del campo para un observadorexterior, procedemos como en la RE: calculamos cómo se

verían afectados los relojes y las reglas por causa de la ve-locidad del sistema en el que se encuentran. Lo que sucedeahora es que la velocidad que hemos de tomar en cuenta

para calcular dichos efectos es la velocidad instantánea delsistema acelerado.

Supóngase, por ejemplo, que una regla y un reloj caenatraídos por un campo gravitacional desde una distancia infi-

nita. Al llegar a una cierta altura sobre la masa que los atraetendrán una determinada velocidad, de modo que se veráal reloj retrasar y a la regla acortarse como si estuviesen enun sistema inercial con esa misma velocidad con respecto anosotros, que nos consideramos en reposo. Así pues, esa esla velocidad instantánea que escogemos para nuestro siste-ma acelerado que, según el principio de equivalencia, será

localmente idéntico a un campo de gravedad.Como además resulta que la Relatividad General equi-

para los campos de gravedad a curvaturas del espacio-tiempo,el efecto de esa curvatura sobre reglas y relojes puede ave-riguarse mediante el estudio de sistemas acelerados graciasa tal equivalencia. El paso siguiente consiste en hallar lamétrica correspondiente que caracteriza el espacio-tiempo

curvo –y por ende el campo de gravedad– apoyándose enla equivalencia con el sistema acelerado. Tras una serie nodemasiado complicada de cálculos basados en las aproxima-ciones adoptadas al comienzo de este apartado, es posible



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llegar a un resultado básicamente idéntico al que alcanza-

ríamos resolviendo con todo rigor las complejas ecuacionestensoriales de la Relatividad General.Razonando como se ha dicho por analogía entre un

campo gravitatorio y un sistema acelerado, llegamos a laconclusión de que en uno de estos campos las longitudesradiales (las que se orientan a lo largo de una de las «líneasde fuerza» del campo) se acortan y los periodos de tiempo se

alargan con respecto a un sistema libre de gravedad. Cuantomás intenso sea el campo gravitacional en una región, máscortas aparecerán las reglas y más lentos los relojes situadosen ella para un observador externo. Y lo más llamativo esque ahora este efecto no es recíproco como ocurría en laRelatividad Especial.

Un observador sumergido en un campo comprobará

que efectivamente sus reglas se acortan y sus relojes se frenancon relación a un sistema exterior. El motivo de ello estribaen que en la RE comparábamos sistemas de referencia en unespacio-tiempo plano en el que la simetría era completa. Porotra parte, en este caso dentro de la RG relacionamos obser-vadores sometidos a un campo de gravedad, o acelerados deforma equivalente, con otros que se encuentran libres de toda

aceleración, bien porque estén suficientemente alejados delcampo, bien porque estén cayendo libremente en él. Es lamisma diferencia que se obtendría al comparar una porcióncurvada de espacio-tiempo con otra llana, lo que rompe lasimetría entre ambas situaciones y hace que dejen de serintercambiables.

Otra importantísima consecuencia de la RG, no ad-

vertida por Einstein al comienzo, reside en el hecho de queésta es una teoría de campos pura; es decir, de las mismasecuaciones del campo es posible deducir las leyes del movi-miento de los cuerpos que se mueven bajo su acción. Nada



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de esto ocurría en la vieja teoría newtoniana, donde teníamos

la ley de la gravitación universal junto a las leyes de la me-cánica que regían el movimiento de los objetos. En el marcoteórico de la RG los cuerpos físicos son «puntos singulares»del espacio-tiempo en los que la intensidad gravitacional sehace infinita. En 1938 Einstein consiguió demostrar que talessingularidades se agrupaban a lo largo de curvas de universo(las líneas de universo de la RE en un espacio-tiempo curvo)

muy determinadas. Ello se debía a que tanto los cuerpos quegeneran el campo como los que se mueven en él, producencada uno su propia curvatura espacio-temporal, y la únicamanera de que todas ajusten entre sí es que recorran unatrayectorias en el espacio-tiempo y no otras. Esta es una delas propiedades más inesperadas y elegantes de la Relativi-dad General.

Desde el punto de vista de un físico clásico no hayduda, por ejemplo, de que la Tierra es atraída por la fuerzagravitacional del Sol. He aquí el nervio de la diferencia en-tre la interpretación de un físico relativista, y otro que nolo es, del movimiento planetario. A juicio del primero los

planetas recorren el camino, o intervalo, más recto posibleen un espacio-tiempo curvo sin que haya necesidad de pos-

tular fuerzas de atracción de ninguna clase. Todo se explicahallando los coeficientes de la métrica espacio-temporal yencontrando luego las trayectorias más cortas (geodésicas)de los cuerpos en dicha métrica, lo que basta y sobra paraexplicar los movimientos de todos los objetos causados porla gravitación. En opinión del segundo existe una fuerza deatracción que actúa a distancia a través del espacio vacío

curvando las trayectorias de los planetas, que de otro modoserían rectas, al acercarse al Sol.

Una labor semejante a la esbozada arriba pero –comoes imaginable– mucho más compleja, condujo a Einstein a



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resolver el problema del llamado «avance del perihelio de

Mercurio». Desde hacia siglo y medio se sabía que el ejemayor de la órbita del planeta Mercurio, giraba alrededordel Sol a una velocidad que no era posible explicar con laley gravitatoria de Newton. Las más variadas e imaginativashipótesis se sucedieron intentando encajar esta anomalíaen el marco de las ideas clásicas. Las más lógicas entreellas consistían en suponer la presencia de masas todavía

no descubiertas, a las que atribuir la responsabilidad detal perturbación. Se presumió la existencia de un planetaignorado en el interior de la órbita de Mercurio al que porsu supuesta cercanía al Sol se llamó «Vulcano», aunque

jamás se realizó observación alguna que revelase su au-tenticidad.

Esta idea se abandonó cuando cálculos más cuidado-

sos demostraron que la realidad de Vulcano comportaría perturbaciones irreparables en las órbitas de otros planetasdel sistema solar. Otra de las conjeturas más verosímilesafirmaba que el avance anómalo del perihelio de Mercurio,se debía a la influencia gravitatoria de masas de polvo inter-estelar situadas entre este planeta y el Sol. A este respecto,el astrónomo alemán Hugo von Seeliger elaboró en 1906 un

modelo que parecía explicar el enigma del movimiento deMercurio por este método. No obstante su éxito aparente, fueabandonado en cuanto se comprobó que la teoría einsteniana

proporcionaba una explicación más simple teóricamente yal mismo tiempo más profunda.

Poco después de publicarse la RG, en 1919, una ex- pedición británica confirmaba que la desviación de la luz

por la gravedad al pasar junto al Sol coincidía con las pre-dicciones de Einstein. La desviación luminosa pronosticada

por la teoría de Einstein era de 1, 75 segundos de arco y lasmediciones experimentales la confirmaron.



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Hubo de esperarse algunos años más para contrastar

afirmativamente la tercera de las tres pruebas sugeridas porel mismo Einstein acerca de su teoría, el «corrimiento alrojo gravitacional». Este fenómeno consiste en la pérdida deenergía de la luz al escapar de la superficie de una estrellasuficientemente masiva, empleada en vencer la atraccióngravitacional de la misma, lo que se manifiesta como unadisminución de la frecuencia («corrimiento hacia el rojo»)

de las ondas luminosas. Cuanto más cerca de la fuente delcampo nos encontremos, más lento se hará el transcurrir deltiempo y mayor número de oscilaciones se darán en cadasegundo. Puesto que la definición de frecuencia viene dada

por el número de oscilaciones en cada unidad de tiempo, sededuce que a mayor cercanía de la fuente del campo, mayorha de ser la frecuencia de la luz ya que los segundos son más

«largos» y caben más oscilaciones en cada uno de ellos. Yviceversa, al alejarnos del campo gravitacional su intensi-dad se aminorará, el efecto de retraso temporal también y lafrecuencia disminuirá correlativamente.

Desplazamientode la órbita de

Mercurio



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Durante bastante tiempo estas tres contrastaciones

fueron casi las únicas pruebas directas de la veracidad de laRG, pues en todos los demás experimentos realizables poraquel entonces las diferencias con la teoría newtoniana erandemasiado pequeñas para ser medidas. Afortunadamente a

partir de la segunda mitad del siglo XX, en especial de ladécada de los sesenta, el avance las técnicas astrofísicas per-mitió concebir y llevar a cabo numerosas experiencias que

avalaron espléndidamente la validez de la teoría. El retrasode los ecos de un radar al pasar junto al Sol (experimento deShapiro), el cálculo de la caída de grandes masas en el campode gravedad de otra (estudios de Nordtvedt), la exploraciónlunar con láser (experiencias de Dicke), cálculo del periodode vibración de láseres, de los retardos de relojes atómicos,del llamado «efecto Mössbauer», e innumerables experi-

mentos realizados con relojes a bordo de aviones a reaccióno naves espaciales en órbita han refrendado de continuo lasconclusiones de la RG.

Curvatura de los rayos de luz al pasar junto al Sol

Merece la pena destacar por su importancia el hallazgo y

seguimiento de un objeto astronómico bastante singular, cuyodescubrimiento en 1974 fue galardonado con el premio Nobeldiecinueve años después, el «púlsar binario» PSR 1913+16.Se trata de un sistema doble formado por lo que se llama un



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«púlsar» (una estrella de neutrones en rápida rotación sobre

sí misma) y un cuerpo acompañante extremadamente densocuya naturaleza exacta se desconoce hasta ahora, aunque sesospecha que sea otra estrella de neutrones o un agujero ne-gro. La variación del periodo de giro del púlsar alrededor desu compañero oculto, coincide de manera excelente con la

predicción que hace la RG de su movimiento en el caso deque emitiese ondas gravitatorias, lo que supone a su vez una

confirmación indirecta de la existencia de éstas últimas.Las ondas de gravedad son distorsiones de la curvaturaespacio-temporal similares a ondulaciones del propio espacio-tiempo, que se transmiten de un lugar a otro del universo a lavelocidad de la luz. Podríamos entenderlas como una rápidavariación de la curvatura que se propaga de un punto a otro delespacio-tiempo de modo continuo y siguiendo una cierta pe-

riodicidad. A semejanza de sus compañeras electromagnéticas,las ondas gravitatorias son emitidas por las masas aceleradasy portan, como ellas, energía e impulso. Tanto es así que, ensentido estricto, la energía y el impulso total de un sistemade masas sólo se conserva si consideramos conjuntamente lacontribución del campo gravitacional, de forma parecida a loque ocurre con las cargas eléctricas y el campo electromag-

nético que las rodea. No obstante, sus longitudes de onda sontan largas, o lo que es lo mismo, la energía que portan es tan

pequeña, que resultan tremendamente difíciles de detectar.Se tiene la esperanza, empero, de que sea posible lograrlo enun futuro cercano estudiando cuerpos astronómicos masivos,como estrellas de neutrones, púlsares o agujeros negros.



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9

UNA MIRADA AL INFINITO

La cosmología, entendida como el estudio de las propiedades del universo en su conjunto, se convirtió enciencia de pleno derecho gracias a dos importantes aconte-cimientos científicos. El primero fue la aparición de la teoría

de la Relatividad General de Einstein, una poderosa teoríadel espacio, el tiempo y la materia, que aportó una nuevaestructura conceptual a nuestra idea del cosmos. El avanceconsistió en la creación de nuevos y potentes instrumentosastronómicos, como los grandes telescopios de reflexióny los radiotelescopios. La teoría de Einstein no exige unaestructura particular en el universo. Aporta el esqueleto

general del cosmos, pero no los detalles específicos. Paradecidir la disposición concreta de la materia en el espacioy en el tiempo, son necesarias, observaciones mucho másnumerosas y detalladas.

En las primeras décadas del siglo XX, cuando losastrónomos sondearon más profundamente en el espacio,advirtieron una jerarquía de estructuras cada vez mayores que

abarcaban desde las estrellas a las galaxias y a los cúmulosde galaxias. Todas esllas se alejaban mutuamente en una

perpetua expansión. Pero, en las últimas décadas con el usode nuevos y más poderosos instrumentos técnicos de observa-



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ción como son los distintos satélites que orbitan la Tierra y el

telescopio espacial Hubble, las observaciones casi han rozadola propia estructura global del cosmos, descubriendo que laestructura jerarquía de aglomeraciones cada vez mayoresse interrumpe. A las enormes escalas de distancia de milesde millones de años luz, se revela un universo homogéneoy regular, cuya uniformidad parece ser la textura global delcosmos, no sólo una propiedad local de nuestra región del

espacio. Un espacio que, como sabemos por la RelatividadGeneral, posee unas asombrosas peculiaridades.La primera descripción matemática completa de los

espacios curvos fue realizada por el matemático alemán delsiglo XIX, Bernhard Riemann. Normalmente, consideramos

plano el espacio físico vacío, de forma que si utilizásemoshaces de luz para formar los lados de triángulos, cubos y

otras figuras geométricas, obedecerían a los teoremas de lageometría euclidiana. Si despegásemos en un cohete en línearecta y siguiéramos esa línea recta, no volveríamos nunca al

punto de partida. Pero los trabajos de Riemann generalizaronuna noción de espacio que incluyese también la posibilidadde una geometría no euclidiana, de un espacio no plano sinocurvo. Seria como generalizar espacios bidimensionales para

que no sólo incluyesen el espacio plano de una hoja de papel sino también superficies curvas como la de una pera ouna silla de montar a caballo. Riemann demostró que podíadescribirse exactamente la curvatura geométrica del espaciono euclidiano con una herramienta matemática denominadatensor de curvatura. Utilizando rayos lumínicos en un espaciotridimensional y midiendo con ellos ángulos y distancias,

podemos determinar, en principio, el tensor de curvatura deRiemann en cada punto de ese espacio.

A principios del siglo XX, tanto las matemáticas comola geometría aplicada a espacios curvos de cualquier número



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de dimensiones, eran bien comprendidas por los respectivos

especialistas. Pero estos avances parecían reducirse al ámbitoexclusivamente académico, hasta que Albert Einstein postulósu teoría de la relatividad general en 1915. Einstein estabatan convencido de la naturaleza estática del cosmos que nose dejó llevar por las implicaciones de sus propias fórmulas,añadiéndoles un término que se correspondía con una fuerzarepulsiva cósmica que actuaba contra la gravedad. El térmi-

no adicional, al que llamó constante cosmológica, parecíahacer más asequible la descripción del universo. Puesto quela constante estaba directamente relacionada con el tamañoy la masa del universo, la maniobra de Einstein condujo aun cosmos conformado por un espacio curvo y estático llenode gas uniforme de materia.

En 1917, el mismo año en que Einstein introdujo su

término cosmológico, el astrónomo holandés Willem deSitter dio con otra solución para las ecuaciones relativistas,considerando un universo vacío junto con la constante cos-mológica. La solución que daba de Sitter a las ecuacionesde Einstein podía interpretarse como un espacio en expan-sión similar a la superficie de un globo de goma mientrasse infla. Un cosmos desprovisto de materia podía parecer

absurdo en principio, pero en la práctica puede considerarsecomo una aproximación bastante acertada de la realidad. Elespacio, después de todo, aparenta estar en su mayor partevacío. Había, pues, dos modelos cosmológicos basados enlas ecuaciones de Einstein: la cosmología de Einstein, conun espacio estático lleno de materia, y la de de Sitter, unespacio en expansión vacío de materia.

Por esas mismas fechas el matemático AlexanderFriedmann, halló las soluciones dinámicas a las ecuacionesoriginales de Einstein, sin constante cosmológica. Con ellodemostró que las ecuaciones permitían una amplia variedad



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de universos, lo que hoy se conoce como la familia de mo-

delos cosmológicos de Friedmann, caracterizados por seruniversos llenos de materia y en expansión. Sus modelos pueden dividirse en dos grupos: aquellos en que la expansiónes eterna, y aquellos en los que la atracción gravitatoria de lamateria supera finalmente el impulso de expansión, causandofinalmente un colapso.

El factor que decide entre expansión y colapso es la

densidad media de la materia que contiene el universo. Si lacantidad media de materia en un volumen dado de espacioes menor que un cierto valor crítico, el universo se expandirá

para siempre. En este tipo de universo se da un espacio-tiempocon una curvatura negativa, análoga a la curvatura de una sillade montar a caballo en el espacio ordinario. Si la densidadmedia de la masa es mayor que el valor crítico, el universo

volverá a colapsarse al final en una densa concentración demateria, desde la que puede reiniciar un nuevo ciclo de ex- pansión y colapso. Este universo posee una curvatura positiva –como la de un balón de fútbol– y un radio finito, y contieneuna cantidad finita de materia. Entre ambos casos se encuentraaquel en el que la densidad media de la materia es igual a ladensidad crítica. Este universo tiene curvatura cero (se dice

que el espacio-tiempo es plano debido a que en él se aplica lageometría euclidiana habitual) y se expande eternamente.

Considerando estas posibilidades, el jesuita y físico belga Georges Lemaître. se sentía especialmente intrigado por las indicaciones de que algunas nebulosas extragalácticas,como eran conocidas entonces las otras galaxias, estabanalejándose de la Vía Láctea a velocidades de unos 1.000 ki-

lómetros por segundo. En su primer ensayo sobre cosmologíarelativista, publicado en 1925, el cuidadoso análisis matemá-tico de Lemaître reveló una nueva propiedad del modelo deun universo vacío propuesto por Willem de Sitter en 1917, y



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es que sus dimensiones cambiaban con el tiempo. Lemaître

observó que esta propiedad podía explicar la recesión obser-vada de las nebulosas extragalácticas. Se verían alejadas unasde otra por la expansión del espacio-tiempo. Las galaxiasen recesión se estaban alejando realmente, decía Lemaître,arrastradas por el mismo entramado del espaciotiempo amedida que éste se dilataba.

La relatividad permitía a los físicos describir matemá-

ticamente la expansión cósmica iniciándose desde una regiónmuy pequeña. Sin embargo, no les permitía penetrar en el pro-ceso físico que había transformado una diminuta y densa masade materia en el universo observado de galaxias en recesión.Esta tarea requería de una mayor comprensión del mundoultramicroscópico, una teoría de la estructura subnuclear que

pudiera ser utilizada para delinear las interacciones existentes

en esos instantes primigenios. En otras palabras, necesitabanlo que hoy conocemos como teoría cuántica.Una característica básica de cualquier modelo cosmo-

lógico consiste en suponer que el universo es homogéneo eisotrópico, es decir, sus propiedades físicas son las mismasen cualquier punto y en cualquier dirección. A la presuntahomogeneidad e isotropía del universo la conocemos como

«principio cosmológico» Desde 1930 adelante, empezó adesarrollarse en el mundo científico una mayor inquietude interés por las cuestiones cosmológicas. Se empezarona difundir nuevas aportaciones, como las que hicieron losmatemáticos Howard P. Robertson y Arthur Walker, quienesdemostraron que las soluciones de Friedmann correspondíana resultados más generales a las ecuaciones de Einstein, siem-

pre que se aceptara el supuesto de un universo espacialmentehomogéneo e isotrópico.

Posteriormente, demostraron también que, en este caso,el espacio-tiempo cuatridimensional podía escindirse en un



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espacio tridimensional curvo y un tiempo único común a

todos los observadores comóviles (que se mueven con lamisma velocidad promedio del centro de masas de su cúmulogaláctico). En la actualidad, se le suele llamar cosmología«FRW» a los modelos cosmológicos basados en las solucio-nes de Friedmann-Robertson-Walker.

Una de las pruebas más sólidas en la que se sostienela idea de un universo nacido tras una gran explosión, es la

radiación cósmica de fondo (el calor residual del Big Bang),detectada en 1965 en el rango de las microondas. Dentro delos márgenes de error de observación y de detecciones envariaciones de temperatura en distintos lugares del espacio,esta radiación de fondo se distribuye de forma isotrópica anuestro alrededor, lo cual indica que el universo ya era bas-tante uniforme cuando se produjo la gran explosión.

Suponiendo que el espacio tridimensional es ho-mogéneo e isotrópico, Robertson y Walker demostraronmatemáticamente que sólo podían haber tres espaciosgeométricos de tal genero. Como era de esperar, dos deellos correspondían a las soluciones de las ecuaciones deEinstein que había hallado ya Friedmann. Los tres espacioseran el espacio plano de curvatura cero, el espacio esférico

de curvatura positiva constante y el espacio hiperbólico decurvatura negativa constante. En el espacio plano, dos rayosde luz paralelos jamás se encuentran; es un espacio abiertode infinito volumen. En un espacio esférico, los rayos para-lelos convergen; es un espacio cerrado de volumen finito.En este espacio puedes alejarte volando en línea recta yvolver al punto de partida. En el espacio hiperbólico, los

rayos paralelos divergirán; es un espacio abierto con unvolumen en infinito.

Analizando las ecuaciones de Einstein, vemos que lacurvatura cosmológica cambia en el tiempo. En el espacio



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plano, de curvatura espacial cero, cambia la escala relativa

de las mediciones de espacio y de tiempo. Partiendo de estassoluciones dinámicas a las ecuaciones de Einstein sólo se puede concluir que el universo ha de cambiar expandiéndoseo contrayéndose, y que de hecho se está expandiendo. Estassoluciones contenían la semilla de la ley de Hubble, querelaciona la velocidad de alejamiento de una galaxia con ladistancia que la separa de las de su entorno.

La curvatura que corresponde realmente a nuestrouniverso depende de la forma en que se inició la expansióncósmica, de igual modo que la trayectoria que tomará una

piedra al ser lanzada al aire, dependerá de su velocidad inicialrelativa dada la gravedad de la Tierra. Para una piedra ennuestro planeta la velocidad inicial crítica es de 11,2 km. porsegundo. Si se lanza a una velocidad inferior a ésta, volverá

a caer a la Tierra. Pero si lanzamos la piedra a una velocidadinicial mayor, se perderá en el firmamento y jamás volveráa caer. Así también, el destino del universo depende de suvelocidad inicial de expansión en relación con su gravedad(la cantidad de materia que contiene).

Conocer este dato es la cuestión más complicada parala física. Aunque el destino del universo depende de cual

sea la respuesta, porque la geometría plana e hiperbólica puede corresponder a universos abiertos que continúanexpandiéndose eternamente, mientras que el universo ce-rrado esférico llega un momento en que cesa la expansión yvuelve a contraerse: su existencia es finita. Pero pese a lascomplicaciones que hemos señalado e incluso sin conocerlas condiciones iniciales de la expansión del universo, po-

demos deducir cuál podría ser su destino: comparando sutasa de expansión actual con su densidad promedio actual.Si la densidad es mayor que el valor crítico (10-29g por cm3,unos 10 átomos de hidrógeno por cada metro cúbico de



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esacio), determinado por la velocidad de expansión actual,

entonces es la gravedad la gran dominante; el universo esesférico y cerrado y está predestinado a desintegrarse enalgún momento en el futuro. Si la densidad es inferior alvalor crítico, el universo es hiperbólico y abierto. Si esexactamente igual al valor crítico, es plano. La relaciónentre la densidad material media observada en el univer-so y la densidad crítica se denomina con la letra griega

omega (Ω). Así, el universo es abierto, plano o cerradodependiendo de si omega es inferior a 1, igual a 1 o mayorque 1, respectivamente.

En principio es posible medirΩ. El principal obstáculo para determinar la densidad material media es que la mate-ria del universo puede ser tanto materia visible (estrellas,galaxias y otros) como materia invisible (materia oscura,

agujeros negros o partículas cuánticas microscópicas). Las partes visibles y luminosas de las galaxias nos dan un va-lor aproximado de Ω de 0,01. Los astrónomos sólo puedencalcular directamente la densidad de la materia visible. Sisuponemos que el 90 por ciento de la masa de una galaxia esmateria oscura, tendríamos un valor aproximado de Ω de 0,1. Y a la escala mayor de cúmulos de galaxias, la aportación

al parámetro Ω de la materia oscura respecto a la visible esdel orden de 20 a 1. Si es así, llegaríamos a la conclusiónde que vivimos en un universo hiperbólico abierto. Por des-gracia, no podemos llegar a una conclusión tan simple, puesdebemos contra con la presencia de materia oscura, de cuyaexistencia hay sólidas evidencias. De hecho, el elementomaterial dominante muy bien podría ser materia oscura y el

elemento visible, las galaxias y las estrellas, sólo una parteinsignificante de la masa total del universo.

Ahora bien, para medir omega, uno de los métodosfactibles consiste en calcular la velocidad de expansión



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del universo a través de la medición de la velocidad de

alejamiento de una galaxia distante (que es hallada por sudesplazamiento al rojo) y dividirla por la distancia a la ga-laxia. En un universo de expansión uniforme la velocidadexterna de cualquier galaxia es proporcional a su distancia;entonces, la relación velocidad-distancia es la misma paracualquier galaxia.

La cifra resultante, denominada la constante de Hu-

bble, mide la velocidad actual de expansión del universo.De acuerdo a las mediciones más precisas, en el presente lavelocidad de expansión del universo es tal que éste duplicarásu tamaño en aproximadamente diez mil millones de años.Esto corresponde a una densidad crítica de materia de cerca de10-29gramos por centímetro cúbico, la densidad que se obtieneal dispersar la masa de un grano de polen en un volumen del

tamaño de la Tierra. El valor de medición más preciso parala densidad promedio real –obtenida por observación tele-scópica de gigantescos volúmenes de espacio que conteníamuchas galaxias, en los que se estimó la cantidad de masa

por sus efectos gravitacionales, y se dividió finalmente estamasa por el tamaño del cada región estudiada– es de aproxi-madamente 10-30 gramos por centímetro cúbico, alrededor de

un décimo del valor crítico. Este resultado, al igual que otrasobservaciones, sugiere que nuestro universo es abierto.

Estimar la edad del universo implica conocer su masa ysu ritmo de expansión hasta el presente con suficiente fiabili-dad. Pero esto no puede lograrse sin tomar en consideraciónla contribución de la energía del vacío, otro nombre parareferirse al mismo concepto que la constante cosmológica de

Einstein. Como se dijo, el creador de la Relatividad introdujoen sus ecuaciones gravitatorias un término al que denominóconstante cosmológica. Así ocurrió porque estaba seguro queel universo tenía que ser estático, y nada en aquel momento



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sugería lo contrario. La constante cosmológica se percibe

como un extraño efecto antigravitatorio, capaz de acelerarcualquier par de masas separándolas como si hubiese entreellas una fuerza repulsiva. Einstein sostenía que el espacio-tiempo poseía una curvatura intrínseca manifestada comouna expansión, y que ésta equilibraría exactamente la cur-vatura generada por toda la materia del universo. Con ello,entonces, sería posible la existencia de un universo estático

y, a la vez, se evitaría el colapso que las propias ecuacionesde la relatividad general pronosticaban.Cuando Edwin Hubble en la segunda década del siglo

XX descubrió la expansión del universo, Einstein juzgoel término cosmológico como el mayor error de su vidacientífica. Pese a ello, unos años más tarde el matemáticofrancés Élie Cartan demostró que una deducción estricta de

las ecuaciones de la Relatividad General debía contener eltérmino cosmológico, lo que devolvió su respetabilidad atan controvertida constante. Es más, las teorías cuánticas decampos predicen una densidad de energía de vacío que secomporta, a todos los efectos, como una constante cosmo-lógica relativista

Las estimaciones que se han logrado realizadas hasta

ahora sobre esta extraña fuerza repulsiva a partir del efectocombinado de todas las energías conjeturables en el universo,

predicen efectos que exceden con mucho lo que observamosen nuestro entorno cósmico. De acuerdo con estos cálculosel radio de curvatura del espacio mediría apenas algunoscentímetros, y la imagen de nuestros brazos extendidos haciaadelante estaría profundamente deformada.

El problema suele esquivarse –no resolverse– supo-niendo que los efectos de diversos campos cuánticos secompensan casi exactamente para engendrar un resultadocasi nulo. Con ello se necesitan ajustes muy precisos en los



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órdenes de magnitud, de aproximadamente 1050. Es decir, el

margen de error estaría en la cifra decimal número 50. Ahora bien, ¿por qué ha de ser así?, ¿qué principio aún desconocidoimpondría este asombroso equilibrio de fuerzas? Semejantecoincidencia plantea un problema de extraordinaria comple-

jidad tanto técnica como conceptual; es el enigma, aún sinrespuesta, de la constante cosmológica.

Otro de las incógnitas de la astrofísica se relaciona con

la existencia de objetos tan masivos que su propia gravedadnos impida ver la luz que emiten, o dicho más popularmente,los «agujeros negros». La luz posee normalmente la energíasuficiente para liberarse de la atracción gravitacional de laestrella que la genera. Pero en el caso de una estrella masivaque se colapsa para convertirse en un agujero negro, la inmen-sa densidad que adquiere curva las líneas del espacio-tiempo

de tal forma que incluso la luz queda atrapada.Para entenderlo mejor, aunque se trate de un tópicomuy repetido, recurramos al ejemplo del disparo verticalde un obús desde la superficie de la Tierra. A medida quese eleve, disminuirá su velocidad por efecto de la gravedad.Acabará por interrumpir su ascensión y retornará a la superfi-cie. Pero si supera una cierta velocidad mínima, jamás dejará

de ascender y continuará alejándose de nuestro mundo. Esavelocidad mínima recibe el nombre de velocidad de escape,unos 11, 2 kilómetros por segundo para la Tierra y unos 160kilómetros por segundo para el Sol. Ambas velocidades sonmuy superiores a la que puede desarrollar una bala de cañón

pero muy inferiores a la velocidad de la luz (c es aproxima-damente 299.792 km/s).

Esto significa que los efectos de la gravedad solar oterrestre sobre la luz son apenas perceptibles. Pero si se dael caso de una estrella con una masa sustancialmente mayorque el Sol y un tamaño suficientemente reducido, su grave-



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dad puede incrementar la velocidad de escape más allá de

los 299.792 km/s, y así la luz queda atrapada. No consegui-ríamos ver una estrella tal porque no nos llegaría la luz desu superficie, al quedar retenida por el campo gravitatoriodel astro. Sin embargo, podremos detectar la presencia de laestrella por el efecto que su campo gravitatorio ejerza sobrela materia que se encuentra en su vecindad.

Es posible que no sea muy ortodoxo equiparar a la luz

como algo igual a una bala de cañón o a un cohete tratando deliberarse de las fuerzas de atracción gravitacional. Sabemosdesde 1897 que la luz viaja a una velocidad constante, sinembargo, también sabemos que una gravedad intensa puedeafectar su trayectoria. Hasta 1915, cuando Einstein formulóla teoría de la relatividad general, no se dispuso de una ex-

plicación consistente del modo en que la gravedad afecta a la

luz. Aun así, hasta la década de los sesenta no se entendierongeneralmente las implicaciones de esta teoría para estrellassupermasivas y otros objetos de altísima densidad, como esel caso de un agujero negro.

La luz que va a parar a un agujero negro no desaparecede repente tras rebasar su borde exterior, llamado «horizontede sucesos». Debido a la curvatura del espacio-tiempo, aque-

llos rayos de luz que describen trayectorias casi paralelas ala superficie del horizonte de sucesos se van curvando pro-nunciadamente hacia el interior, permitiendo que una partedel haz luminoso sea engullido por las fauces del agujeronegro, mientras el resto del haz, inmediatamente encima delhorizonte de sucesos, escapa. A causa de su lucha contra lagravedad la luz pierde energía, experimentado un corrimiento

hacia mayores longitudes de onda, lo que la lleva a coloresmás enrojecidos. La trayectoria de escape de esta luz se dis-torsiona por el arrastre del espacio-tiempo ocasionado porla rotación del agujero negro.



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La gravedad depende del tamaño de una masa y de

la distancia que la separa de otra. Así pues, resulta fac-tible intensificar esta fuerza comprimiendo un cuerpo.Imaginemos que fuera posible comprimir un cuerpo deltamaño y la masa del Sol. A medida que se hace más pe-queño, la velocidad de escape aumenta, ya que el centroy la superficie del cuerpo se aproximan. En consecuencia,

para poder escapar de la gravedad de un cuerpo que se va

comprimiendo, cada vez, se va haciendo necesario contarcon empujes más poderososEl tiempo también es afectado en los agujeros negros,

que le obligan a sufrir deformaciones inusuales. Un individuoque cayese en las fauces de uno de estos monstruos cósmicos(suponiendo que no se desintegrara) podría observar cómoen el exterior el tiempo parecería acelerar su paso. Por el

contrario, el observador que contemplase desde el exteriorla caída consideraría que el transcurso del tiempo se frena entorno al agujero, de modo que el viajero tardaría una eternidaden cruzar el horizonte de sucesos.

Dentro de las sobrecogedoras características de losagujeros negros deducidas teóricamente, sin duda alguna,la más inquietante estriba en los efectos que éstos generan

sobre la materia y el tiempo, al menos desde el punto de vistade un observador que se encuentre a una distancia segura desus horizontes de sucesos. Las leyes de la mecánica clásicaque nos legó Newton establecen que un objeto sin distincióndebe acelerarse hacia el agujero negro hasta desaparecer trastraspasar el horizonte de sucesos. De acuerdo con la teoríade la Relatividad General de Einstein, sin embargo, las leyes

clásicas de la física, que han sido elaboradas para explicarnoslas visiones que percibimos sobre el comportamiento de lanaturaleza, son tan sólo aproximaciones que deben mante-nerse en suspenso, por lo menos en este caso.



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Un observador frente a un agujero negro puede ver,

tal como es de esperar, que un objeto se empieza a moveraceleradamente hacia el abismo gravitatorio. No obstante, amedida que su velocidad se aproxima a la de la luz, los lla-mado efectos relativistas empiezan a reconocerse. En vez deacelerarse más y más precipitando su caída, el objeto parecefrenarse justo encima del horizonte de sucesos. Desde el

punto de vista del observador exterior, el tiempo se detiene

en el horizonte de sucesos y el objeto queda allí suspendidoeternamente. Para ese observador exterior el objeto nuncallega a destino.

No obstante, si otro hipotético observador acompañaal objeto en cuestión, la percepción de éste es totalmentedistinta. Ello se debe a que para ese observador, al compartircon el objeto su mismo sistema de referencia, el tiempo trans-

curre normalmente y el objeto se acelera de acuerdo con lasleyes de Newton. Sin embargo, a medida que las distanciashacia el horizonte de sucesos se estrechan, el espacio-tiempose ve fuertemente deformado por la acción de la crecientegravedad del agujero negro. Inmerso en lo que implica eseentramado, el infortunado objeto se estira desde el extremodelantero hacia el trasero y se comprime por ambos lados.

Mucho antes de que alcance el horizonte de sucesos, el objetose desintegra en pedazos debido a esas poderosas tensionesde deformación (también llamadas «fuerzas de marea») queemanan del agujero negro.

Los disgregados fragmentos a los que el objeto haquedado reducido continuarán alargándose de punta a pun-ta mientras progresan en su caída hacia ineludible sumidero

cósimico, pero el compañero observador no apreciará ningúncambio repentino que le permita identificar el momento en elque atraviesa el horizonte de sucesos. A medida que los restosdel objeto se acercan a la velocidad de la luz, las estrellas



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del universo colindante aparecen más y más deformadas, y

su imágenes tienden a contraerse frente a él.Los agujeros negros con masas mayores son tambiénmás grandes y menos densos. Si existiesen de masas dealrededor de trillones de masas solares, podríamos despla-zarnos por encima del horizonte de sucesos sin mayoresconsecuencias. Pero también se tendría que tener cuidadode no traspasar la frontera, ya que de hacerlo quedaríamos

atrapados y el desastre nos alcanzaría en breves instantes.Llegaríamos a una singularidad espaciotemporal (punto dedensidad infinita) que teóricamente existe en el mismo centrodel agujero. Podemos imaginar incluso agujeros negro ma-yores aún. Durante algún tiempo se creyó posible que todo eluniverso se hallase inmerso en el proceso de convertirse en unagujero negro gigante, de manera que nuestro cosmos dejara

algún día de expandirse y se desplomara sobre sí mismo. Noobstante, las últimas mediciones experimentales rebaten esta posibilidad.

La existencia de los agujero negros, tal y como aquíse han descrito, depende sustancialmente de la validez es-tricta de las teorías de Einstein. Y por estricta se entiendedespreciar los efectos cuánticos que quizás impidiesen la

condensación en una singularidad de los cuerpos de masamuy elevada. Sin embargo, podría darse el caso de que una

presión interna de origen cuántico compensase la contraccióngravitatoria evitando así la molesta singularidad final. Y estaes la opinión que se está abriendo camino en la mayoría de lacomunidad científica: cuando una estrella de masa superiora la del Sol alcanza el estado de estrella de neutrones por

colapso gravitatorio y continúa comprimiéndose, entraríanen juego múltiples efectos cuánticos habitualmente ignoradosen los estudios puramente relativistas sobre agujeros negros.De hecho, la Relatividad General supone una absoluta falta



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de presión interna en las estrellas en colapso, y predice con

ello las singularidades espacio-temporales por su indiferenciaante las propiedades cuánticas de la materia gravitacional.

Gráficos del proyectoBOOMERANG en com- paración con los resul-

tados esperables segúnlas distintas curvaturas

del cosmos

Una de las consecuencias de la descripción de la gra-vedad que hace la relatividad general y sus relaciones con elespacio-tiempo es que permite a los cosmólogos conjeturar

posibles respuestas a la pregunta que hasta recientemente

fue dominio de la religión, el misticismo y la filosofía: ¿cuálserá el final del universo, si lo tiene? Las respuestas admi-sibles pasan por el estudio de tres modelos cósmicos y suscorrespondientes comparaciones con la observación. Todosse inician con la suposición de que el universo se está expan-diendo, probablemente como consecuencia de la explosióncósmica conocida como el Big Bang. Decidir qué modelo

es el correcto depende de hallar un pequeño pero importantenúmero: la densidad media de la materia en el universo. Estacantidad determina si la gravitación será lo suficientementefuerte o no para frenar la expansión.



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Si la densidad media de la masa se halla por debajo de

un valor crítico de aproximadamente tres átomos de hidró-geno por cada metro cúbico, estaríamos frente a un universotetradimensional de espacio-tiempo abierto. Seguirá expan-diéndose para siempre, hasta que todos los átomos estén tanalejados los unos de los otros que el universo se vea dominado

por un gran enfriamiento. Si la densidad media se halla porencima del valor crítico, el cosmos es cerrado. En el futuro, la

atracción gravitatoria de toda la masa en el universo frenarála expansión y lo atraerá de vuelta sobre sí mismo hasta queimplosione en un Big Crunch, una Gran Contracción. Final-mente, si la densidad media es igual al valor crítico, entoncesel universo es esencialmente plano; la gravedad frenará laexplosión pero nunca acabará por detenerla.

Entre los años 1998 y 1999 los proyectos de investiga-

ción MAXIMA y BOOMERANG vinieron a confirmar lasmediciones previas del satélite COBE en el sentido de queel valor del parámetro Ω (recordémoslo, el cociente entrela densidad real y la densidad crítica necesaria para que eluniverso sea plano) se aproxima extraordinariamente a 1. Enconcreto el margen de error oscila de 0,85 a 1,25, lo que su-

pone una fiabilidad muy elevada en las medidas. Todo parece

indicar, así pues, que nuestro universo es plano –o con unaligerísima curvatura negativa– y que su final llegará medianteuna expansión infinita, en la que los soles se apagarán los

planetas se consumirán y nada quedará sino un inacabablemar de microondas en perpetuo proceso de enfriamiento. Noes una perspectiva muy alentadora, pero podemos consolar-nos pensando que quizás nos equivoquemos, o que en todo

caso nadie quedará aquí para sufrirlo.

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