REPASA LO QUE SABES1. Indica qué número natural corresponde a cada punto.

•• • ••10 200

2. Resuelve esta expresión.

12 − 5 + 9 − 7 − 1

3. Opera y resuelve.

72 : 6 ⋅ 4 : 12

4. Calcula el resultado de estas operaciones combinadas.

a) 12 − 3 ⋅ 2 + 5 ⋅ 4 b) 3 + 2 ⋅ (12 − 4) − 5

5. Expresa los resultados de estas operaciones como una única potencia.

a) 32 ⋅ 34 c) 24( )5 e) 127 : 47

b) 512 : 54 d) 35 ⋅ 25 f) 1010 : 210

5

1Es posible encontrar números negativos en muchos ámbitos de la vida cotidiana. Fijémonos, por ejemplo, en los frigoríficos de nuestros hogares.

En efecto, las neveras o frigoríficos tienen zonas con diferentes temperaturas. La zona donde colocamos alimentos como la fruta o la verdura tiene una temperatura de entre +3 ºC y +5 ºC. Otros compartimentos, como aquel en el que mantenemos congelados alimentos como carnes, pescados o helados, tienen una temperatura de unos −18 ºC.

NÚMEROS ENTEROS

IDEAS PREVIAS

Los números naturales:

❚❚ Representación.

❚❚ Operaciones.

❚❚ Potencias y raíces.

A diferencia de los números naturales, los números enteros no aparecen de forma natural. Los números enteros () se construyen ampliando el conjunto de los números naturales (): por cada número positivo se añade su opuesto y se obtiene el número negativo.

Matemáticas en el día a día ][ma2e1

1 Números enteros

6

1. NÚMEROS NATURALES. DIVISIBILIDAD

En un restaurante utilizan 30 huevos para preparar 5 o 6 tortillas más o menos iguales. Pueden hacer 6 tortillas utilizando 5 huevos en cada una o preparar 5 tortillas con 6 huevos en cada caso.

3 0 6 3 0 5

0 5 0 6

Observa que el resto de estas divisiones es 0. Por tanto:

30 es divisible por 6 y por 5.

30 es múltiplo de 6 y de 5. 6 y 5 son divisores de 30.

Dos números, a y b, son divisibles si la división a : b es exacta.

El número a es múltiplo de b, y el número b es divisor de a.

Descomposición en factores primos

Podemos escribir el número 30 como producto de factores de diferentes formas.

Factores primos o compuestos Factores primos

30 = 6 ⋅ 5 30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5

Para descomponer un número en factores primos, se realizan estos pasos:

1 Escribimos el número que se va a descomponer y, a su derecha, trazamos una línea vertical.

2 Buscamos el menor número primo divisor del número en cuestión y lo escribimos a la derecha de la línea.

3 Anotamos el cociente debajo del primer número.

4 Repetimos el proceso hasta obtener un 1 como cociente.

La descomposición factorial es el producto de los números primos obtenidos.

140 = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 7 = 22 ⋅ 5 ⋅ 7

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

Para calcular el máximo común divisor (m.c.d.) y el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de varios números, seguimos estos pasos:

m.c.d. (72, 108, 270) m.c.m. (72, 108, 270)

1 Descomponemos los números en factores primos.

72 = 23 ⋅ 32 108 = 22 ⋅ 33 270 = 2 ⋅ 33 ⋅ 5

2 Elegimos los factores comunes elevados al menor exponente con el que aparecen.

23 ⋅ 32 22 ⋅ 33 2 ⋅ 33 ⋅ 5

2 Elegimos los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente con el que aparecen.

23 ⋅ 32 22 ⋅ 33 2 ⋅ 33 ⋅ 5

3 El producto de esos factores es el m.c.d. de los números.

m.c.d. (72, 108, 270) = 2 ⋅ 32

3 El producto de esos factores es el m.c.m. de los números.

m.c.m. (72, 108, 270) = 23 ⋅ 33 ⋅ 5

❚❚ El m.c.d. de varios números es el mayor de sus divisores comunes.

❚❚ El m.c.m. de varios números es el menor de sus múltiplos comunes.

Aprenderás a…❚● Identificar la relación de divisibilidad entre dos números.

❚● Calcular múltiplos y divisores de un número.

❚● Descomponer un número en factores primos.

❚● Calcular el m.c.d. y el m.c.m. de varios números.

Un número es primo si solo tiene dos divisores: el 1 y él mismo.

Si un número no es primo, es compuesto.

Por orden, los primeros números primos son:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …

Recuerda

Factorizar un número es descomponerlo en factores primos.

Lenguaje matemático

Presta atención

Si al calcular el m.c.d. de varios números no hay factores primos comunes en las descomposiciones, el m.c.d. de esos números es 1.

Se dice que esos números son primos entre sí.

140 2

70 2

35 5

7 7

1

7

1Actividades

Comprueba si entre los siguientes números existe relación de divisibilidad.

a) 14 y 168 c) 84 y 7

b) 12 y 98 d) 17 y 51

Escribe dos múltiplos y dos divisores de estos números.

a) 24 b) 35 c) 144 d) 72

¿Puedes encontrar todos los divisores de un número? ¿Y todos sus múltiplos? Explica por qué.

Descompón en factores primos.

a) 66 d) 450

b) 160 e) 392

c) 168 f) 147

Factoriza estos productos.

a) 2 ⋅ 6 ⋅ 8 c) 25 ⋅ 10

b) 8 ⋅ 4 d) 3 ⋅ 9 ⋅ 12

Factoriza los números propuestos.

a) 253 c) 187

b) 169 d) 242

Calcula el máximo común divisor de estos números.

a) 81 y 108 c) 63 y 88

b) 56 y 84 d) 168 y 216

Halla el mínimo común múltiplo de estas cantidades.

a) 27 y 36 c) 72 y 100

b) 126 y 392 d) 154 y 175

Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de estas descomposiciones en factores.

a) 22 ⋅ 34 ⋅ 5 23 ⋅ 3 ⋅ 5 23 ⋅ 32 ⋅ 7b) 53 ⋅ 132 2 ⋅ 132 ⋅ 7 23 ⋅ 53 ⋅ 72

c) 74 ⋅ 132 ⋅ 23 25 ⋅ 73 ⋅ 232 32 ⋅ 74 ⋅ 233

Halla el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los números indicados.

a) 112, 168 y 196 c) 243, 240 y 294

b) 216, 441 y 225 d) 720, 468 y 504

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Óscar ha comprado varias docenas de huevos. ¿Cuántos huevos ha adquirido si se trata de un número que está entre 90 y 100?

En una pastelería empaquetan 312 magdalenas en bolsas.a) ¿Pueden hacerlo en bolsas de 7 magdalenas?

Explica por qué.b) ¿Y en bolsas de 8 magdalenas? c) Si quieren ofrecer a sus clientes paquetes

iguales que tengan entre 5 y 15 magdalenas, ¿qué opciones tienen?

En un almacén de cítricos disponen de 735 kg de naranjas, 540 kg de mandarinas y 375 kg de limones. Quieren transportarlos en cajas con el mayor número de kilos posible sin mezclar las variedades de cítricos. ¿Cuántos kilos de cada clase de cítrico tendrá cada caja? ¿Cuántas cajas se necesitan de cada variedad?

A una pequeña isla llegan un helicóptero con víveres cada 12 días y un barco cada 15 días. Si hoy han arribado a la isla ambos medios de transporte, ¿cuántos días pasarán hasta que vuelvan a coincidir?

En Navidad, Carol coloca tres guirnaldas de luces que se encienden y se apagan de forma intermitente: las luces rojas se vuelven a encender pasados 32 s; las verdes, a los 24 s, y las azules, transcurridos 18 s. Si se conectan al mismo tiempo, ¿cuánto tiempo tiene que pasar para que vuelvan a coincidir las tres encendidas?

En un almacén de aluminio existe un sobrante de perfiles. Disponen de 25 perfiles de 1,20 m, 32 de 1,50 m y 12 de 1,80 m. La empresa decide aprovecharlos cortándolos en trozos iguales de la mayor longitud posible.a) ¿Cuál es esa medida?b) ¿Cuántos perfiles habrá después de los cortes?

11

12

13

14

15

16

Investiga

Las antiguas calculadoras solo hacían operaciones básicas y ni siquiera respetaban la jerarquía de las operaciones.Las actuales calculadoras científicas son capaces de simplificar cálculos. Investiga el funcionamiento de las teclas de tu calculadora.

17

1 Números enteros

8

2. NÚMEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS

Ordenación de números enteros

Leonor piensa que su nevera se ha estropeado, pues no está segura de que la temperatura de la zona frigorífica y la del congelador sea la adecuada para conservar los alimentos.

En el manual de instrucciones se indica que:

❚❚ La temperatura ideal de la zona frigorífica se encuentra entre +3 ºC y +5 ºC.

❚❚ La temperatura ideal del congelador es de −18 ºC.

Decide comparar estas temperaturas ideales con las que realmente marca su nevera, y observa que:

❚❚ La zona frigorífica del dibujo marca +4 ºC.

❚❚ La zona del congelador, −12 ºC.

• • •–18 –16 –14 –12 –10 –8 –6 –4 –2 0 +2 +4 +6–19 –17 –15 –13 –11 –9 –7 –5 –3 –1 +1 +3 +5

Funcionamiento incorrecto–18 < –12

Funcionamiento correcto +3 < +4 < +5

Como +3 < +4 < +5, la zona frigorífica funciona perfectamente. Sin embargo, dado que −12 > −18, la zona del congelador no funciona como debería porque está 6 grados por encima de la temperatura ideal.

Para comparar dos números enteros, se tienen en cuenta las siguientes reglas:

❚❚ Si los dos son positivos, es mayor el que está más lejos del 0 en la recta.

❚❚ Si uno es positivo y otro negativo, es mayor el positivo.

❚❚ Si los dos son negativos, es mayor el que está más cerca del 0 en la recta.

Valor absoluto y opuesto de un número entero

La nevera de Leonor tiene ahora la pantalla de visualización de la temperatura estropeada. No se aprecia si la temperatura es positiva o negativa. Es decir, si el frigorífico marca 2 ºC, la temperatura real podría ser +2 ºC o −2 ºC.

Estos dos datos tienen el mismo valor absoluto, pero son números opuestos.

|−2| = 2 y |+2| = 2 op(+2) = −2 y op(−2) = 2

••–3 –2 –1 0 +1 +2 +3

••–3 –2 –1 0 +1 +2 +3

❚❚ El valor absoluto de un número entero es la distancia que lo separa del 0 en la recta numérica.

❚❚ El opuesto de un número entero es otro entero situado a la misma distancia del 0, pero de signo contrario.

Aprenderás a…❚● Identificar y usar los números enteros.

❚● Representar números enteros en la recta numérica.

❚● Ordenar números enteros.

❚● Calcular el opuesto y el valor absoluto de un número entero.

Los números enteros están formados por un signo y una parte numérica.

parte numérica

−12 +12

signo

Recuerda

❚❚ Al conjunto de los números naturales se les designa por la letra .

❚❚ El conjunto de los números enteros se representa mediante la letra .

Lenguaje matemático

❚❚ El valor absoluto de un número se indica entre dos barras.

|+15| = 15 |−12| = 12

❚❚ El opuesto de un número se representa con las letras op y el número entre paréntesis.

op(+5) = −5 op(−7) = +7

Lenguaje matemático

9

1Actividades

Expresa las siguientes oraciones con números enteros.a) Ayer bajé 4 m buceando.b) ¡Qué frío! El termómetro marca 3 grados bajo cero.c) Creo que dejé el coche en el segundo sótano.d) Hemos arreglado el congelador y ahora marca 18 grados bajo cero.

Compara y completa en tu cuaderno con > o <.a) 3 § 8 c) −3 § 9 e) −6 § −2 b) −12 § −11 d) −5 § −7 f) 5 § −1

Ordena los números de menor a mayor en cada caso.a) −5, 4, 5, −7, −3, 2, 0b) −9, −3, −7, −5, 1, −12, −1

Realiza estos valores absolutos.a) |+12| c) |−8| e) |−432|b) |−7| d) |+23| f) |−12|

Calcula estos opuestos.a) op(−14) c) op(+35) e) op(−43)b) op(+99) d) op(−101) f) op(−35)

Halla los siguientes opuestos y valores absolutos.a) op(op(−12)) c) |op(+12)| e) op(|−12|)b) op(op(+12)) d) |op(−12)| f) op(|+12|)

Copia y completa con > o < en tu cuaderno.a) op(−3) § |−4| c) op|−12| § −11 e) |−10| § op(+11)b) −|−17| § op(+15) d) −(op(+15)) § |−17| f) −15 § op(op(−14))

Ordena estos números de mayor a menor.

18

19

20

21

22

23

24

25

DESAFÍOLos espeleólogos se dedican a explorar las simas que hay repartidas por el mundo. Aquí tienes una lista que muestra las diez más profundas del mundo.

Torca Magali España  −1 507 m Torca del Cerro del Cuevón España  −1 589 m

Lamprechtstofen-Verlorenen Weg Schacht

Austria −1 632 m Sima Sarma Georgia −1 830 m

Réseau Jean-Bernard Francia  −1 602 mGouffre Mirolda-Lucien Bouclier

Francia −1 626 m

Sima Krúbera-Voronya Abjasia −2 197 m Cehi 2-«La Vendetta» Eslovenia  −1 502 m

Vjacheslav Pantjukhina Georgia  −1 508 mIllyuziya-Snezhnaya-Mezhonnogo 

Georgia  −1 753 m

Realiza una lista con las simas ordenadas de mayor a menor profundidad.

26

Presta atención

Los números enteros positivos suelen escribirse sin el signo +.

+8 = 8

5 −|−5| op(op(−4)) op(−3) op(+7)

−|−14| op(−15) op|−9| −11 op(+10)

1 Números enteros

10

3. SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS

Alberto tiene una aplicación en su smartphone que muestra la temperatura del día actual y la prevista para las 4 próximas jornadas.

Observa la información que aparece en su pantalla. ¿Cuál es la temperatura que se espera para dentro de 4 días?

A los −5 ºC del día actual hay que sumarles:

❚❚ Un número positivo si la temperatura aumenta (↑).

❚❚ Un número negativo cuando disminuye la temperatura (↓).

Efectuamos las operaciones en el orden en el que aparecen, teniendo en cuenta el signo que precede a los paréntesis.

(−5) + (+6) + (+2) + (−4) + (−5) = −5 + (+6) + (+2) + (−4) + (−5) =

= −5 + 6 + (+2) + (−4) + (−5) = −5 + 6 + 2 + (−4) + (−5) =

= −5 + 6 + 2 − 4 + (−5) = −5 + 6 + 2 − 4 − 5 = 1 + 2 − 4 − 5 = 3 − 4 − 5 == −1 − 5 = −6

La temperatura dentro de 4 días será de −6 ºC.

Para sumar dos números enteros:

❚❚ Si tienen el mismo signo, se suman las partes numéricas. El resultado tendrá el mismo signo que los números.

❚❚ Si tienen distinto signo, se resta a la parte numérica mayor la menor. El resultado tendrá el signo de la parte numérica mayor.

Alberto consulta la aplicación otro día. Los datos indican −3 ºC para esa jornada y una bajada de 2 ºC para la siguiente. ¿Cuál es la previsión del día siguiente?

Para calcularlo, restamos esos dos datos.

(−3) − (+2) = −3 − (+2) = −3 + (−2) = −3 − 2 = −5

op(+2) = −2

La previsión del día siguiente es de −5 ºC.

Para restar dos números enteros, se suma al primero el opuesto del segundo.

Aprenderás a…❚● Sumar y restar números enteros.

❚● Aplicar la suma y la resta de números enteros.

Presta atención

A la hora de resolver operaciones con números enteros tenemos en cuenta el signo que precede a los paréntesis.

❚❚ Si va precedido del signo +, se deja el mismo número.

3 + (−5) = 3 − 5

❚❚ Si va precedido del signo −, se sustituye por su opuesto.

3 − (−5) = 3 + 5

Presta atención

Para resolver operaciones con enteros sin paréntesis:

❚❚ Si tienen el mismo signo, sumamos las partes numéricas y dejamos el signo.

3 + 5 = 8 −3 − 5 = −8

❚❚ Si tienen distinto signo, restamos a la parte numérica mayor la menor y dejamos el signo de la parte numérica mayor.

−3 + 5 = 2 3 − 5 = −2

`` Resuelve esta expresión con sumas y restas de números enteros.

(−2) + (−5) + 3 − (−6)

SoluciónEfectuamos las operaciones en el orden en el que aparecen, teniendo en cuenta el signo que precede a los paréntesis.

(−2) + (−5) + 3 − (−6) = −2 + (−5) + 3 − (−6) = −2 − 5 + 3 − (−6) = = −7 + 3 − (−6) = −4 − (−6) = −4 + 6 = 2

EJERCICIO RESUELTO

11

1Actividades

Realiza estas sumas y restas.

a) (+12) + (+18) e) (+12) − (+18)

b) (+12) + (−18) f) (+12) − (−18)

c) (−12) + (+18) g) (−12) − (+18)

d) (−12) + (−18) h) (−12) − (−18)

Calcula.

a) 3 − 5 e) −17 + 12

b) 12 − 9 f) −15 − 9

c) −5 + 15 g) −21 + 17

d) −12 − 5 h) −13 + 12

27

28

Resuelve las siguientes expresiones.

a) 12 − 5 + (−3) − (−7) + 1

b) −15 − (−12) + 7 − 3 + 5

c) −23 + 14 + (−8) − 10 − 7

d) 3 + (−8) − 12 − (−5) + 2

e) −(−6) + 7 − 8 + (−12) + 1

f) 12 − 5 + (−19) − (−2) − 7

Calcula.

a) 125 − 269 − (−141) + 72

b) −350 + 130 − 45 + (−92)

c) 35 − 167 − (−87) + (−35)

d) −83 − (−172) + 271 − 16

e) 76 + (−165) − 206 − (−62)

f) −94 − 83 − (−319) − (−77)

29

30

Calcula.

a) −12 + (15 − 20) + 3 − (−8)

b) 14 − (3 − 7) + (4 − 7 − 6) + 1

c) 12 − 19 − (12 − 8) + (−4)

d) −(7 − 21) − (15 − 6) − 3

Resuelve estas operaciones.

a) 3 − (5 − 7) − (4 + (−7) − 3) + 1

b) −(5 + (−12)) + (5 − 9 + (−1))

c) (4 − 9 − (−17)) − (12 − 4 + (−22))

d) −(−12 − (−5)) + (4 − 12 + (−2)) + 1

Halla la solución en cada caso.

a) 12 − (9 − (4 − 12) + 19) − 7

b) 34 + (−(12 − 5) + (4 − 7)) + 6

c) −22 − (−7 + (17 − 9)) + (13 − 8)

d) 15 − (6 − (−2 − 9) + (14 − 3)) − 5

Copia y completa con los números que faltan.

a) −7 + § = 5 − 8

b) −14 + § = 3 + (− 19)

c) 12 − (− 3) = 20 + §

d) 3 − 12 = 1 + (−§)

Joan tiene un saldo en el banco de 235 € y tiene que pagar tres facturas: una de 195 €, otra de 73 € y otra de 45 €. ¿Qué saldo le quedará finalmente en la cuenta?

31

32

33

34

35

EJERCICIO RESUELTO

`` Efectúa.

3 − (−5) − 14 + (−7) + 3

SoluciónEfectuamos las operaciones en el orden en el que aparecen, teniendo en cuenta el signo que precede a los paréntesis.3 − (−5) − 14 + (−7) + 3 = 8 − 14 + (−7) + 3 == −6 + (−7) + 3 = −13 + 3 = −10

EJERCICIO RESUELTO

`` Resuelve la siguiente operación.

3 + (−5) − (4 − 7) − (12 − 5)

Solución3 + (−5) − (4 − 7) − (12 − 5) =

= 3 + (−5) − (−3) − 7 = = 3 − 5 + 3 − 7 = −2 + 3 − 7 = 1 − 7 = −6

Efectuamos primero los paréntesis.

Operamos de izquierda a derecha.

DESAFÍOCalcula los resultados de estas expresiones.a) 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 c) 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 b) 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 d) 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + 9 Imagina que pudieras continuar añadiendo sumas o restas del siguiente número indefinidamente.1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + 9 − 10 + 11 − 12 + 13 − 14…Busca en Internet cuál es el resultado de la suma y resta de esos infinitos números.

36

1 Números enteros

12

4. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Un depósito tiene una grieta y pierde 7 L de agua por cada minuto que pasa. ¿Cuántos litros habrá perdido el depósito transcurridos 5 min?

❚❚ Representamos el hecho de perder 7 L de agua cada minuto mediante el número entero −7.

❚❚ Calculamos cuántos litros de agua habrá perdido el depósito en 5 min, multiplicando −7 por 5.

Para ello:

1 Multiplicamos las partes numéricas.

2 Como los números tienen distinto signo, el resultado es negativo.

Así, obtenemos que:

(−7) ⋅ 5 = −35

Por tanto, el depósito habrá perdido 35 L de agua en 5 min.

Para multiplicar o dividir dos números enteros:

1 Se multiplican o dividen las partes numéricas.

2 Al resultado se le añade el signo más (+) si ambos números tienen el mismo signo, y el signo menos (−) si tienen distinto signo.

Regla de los signos

Para multiplicar y dividir números enteros, tenemos en cuenta la parte numérica y aplicamos la regla de los signos de los números.

(+8) ⋅ (+3) = +24 (−8) ⋅ (+3) = −24

+ ⋅ + = + − ⋅ + = −

(−8) ⋅ (−3) = +24 (+8) ⋅ (−3) = −24

− ⋅ − = + + ⋅ − = −

(+12) : (+4) = +3 (−12) : (+4) = −3

+ : + = + − : + = −

(−12) : (−4) = +3 +12 : (−4) = −3

− : − = + + : − = −

Aprenderás a…❚● Multiplicar y dividir números enteros.

❚● Aplicar el producto y el cociente de números enteros.

`` Resuelve esta expresión de operaciones con números enteros.

6 ⋅ (−5) : 2 ⋅ (−3)

SoluciónEfectuamos las multiplicaciones y las divisiones de izquierda a derecha.6 ⋅ (−5) : 2 ⋅ (−3) = −30 : 2 ⋅ (−3) = –15 ⋅ (−3) = 45

EJERCICIO RESUELTO

13

1Actividades

Presta atención

Para multiplicar o dividir números enteros, se utiliza la regla de los signos.

+ ⋅ + = + + : + = +

+ ⋅ − = − + : − = −

− ⋅ + = − − : + = −

− ⋅ − = + − : − = +

Copia y completa el signo que falta en estas operaciones.a) 4 ⋅ (§5) = −20 d) (−12) : (−4) = §3b) (−16) : 8 = §2 e) 3 ⋅ (§7) = −21c) (−12) ⋅ (−4) = §48 f) (−36) : (§12) = 3

¿Qué signo tendrán los resultados de estas expresiones?a) 12 ⋅ (−35) : (−7) ⋅ (−450) c) (−405) ⋅ 35 : 15 ⋅ (−89)b) 350 ⋅ 61 : 10 ⋅ (−65) d) (−45) ⋅ (−58) ⋅ (−135) : (−30)

Resuelve en tu cuaderno.a) 14 ⋅ (−4) e) 18 : (−9)b) (−7) ⋅ 7 f) 24 : 3c) 15 ⋅ 5 g) (−42) : (−7)d) (−9) ⋅ (−8) h) (−12) : 6

Calcula.a) 12 ⋅ (−3) : 4 d) (−45) : (−5) : (−3)b) (−24) : 3 ⋅ (−6) e) 8 ⋅ 4 ⋅ (−3)c) 36 : (−4) ⋅ 5 f) (−42) : (−7) ⋅ 4

Completa en tu cuaderno con el número entero que falta en cada caso.a) 50 : § = (−25) d) § ⋅ (−6) = 72b) § ⋅ (−12) = 96 e) (−140) : § = (−28)c) § : (−6) = (−15) f) 15 ⋅ § = (−105)

Representa estas oraciones en forma de operación y resultado.

Úrsula tiene una cuenta bancaria que solo utiliza para pagar un préstamo. Cada mes, en su extracto aparece el dato −125 €, que corresponde a los 125 € que paga por su préstamo.a) ¿Cuánto variará su saldo después de pagar el préstamo durante un año?b) Si su saldo ha bajado 875 €, ¿cuántos meses de préstamo ha pagado?

37

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40

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42

43

DESAFÍOEl producto de dos números enteros es 18. ¿Cuáles podrían ser esos números? Si ahora tenemos tres números enteros cuyo producto es 19, averigua de qué números podría tratarse.

44

1 Números enteros

14

5. POTENCIAS Y RAÍCES CUADRADAS

Potencia de base negativa

Charo sabe que una multiplicación de varios factores iguales se puede escribir en forma de potencia. La base es el factor, y el exponente, el número de veces que se repite dicho factor.

(−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) = (−3)5

Para calcular el resultado, utilizamos la regla de los signos en la multiplicación de números enteros:

(−3)5 = (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) = 9 ⋅ 9 ⋅ (−3) = 81 ⋅ (−3) = −243

(−3)2 = +9 (−3)2 = +9 + ⋅ + = + + ⋅ − = −

De este modo comprobamos que un número negativo elevado a un número par tiene como resultado un número positivo, mientras que, elevado a un número impar, el resultado es un número negativo.

El valor de una potencia de base negativa depende de la paridad de su exponente.

❚❚ Si el exponente es par, su valor es el opuesto de la base elevado al exponente. El resultado es positivo.

(−a)par = apar

❚❚ Si el exponente es impar, su valor es el opuesto de la base elevado al exponente, con signo negativo.

(−a)impar = −aimpar

Raíz cuadrada de un número entero

Charo también recuerda que la raíz cuadrada de un número positivo es otro número cuyo cuadrado es igual al número positivo dado.

Por ejemplo:

La raíz cuadrada de 25 es 5 porque 52 = 25.

También la raíz cuadrada de 25 es −5 porque (−5)2 = 25.

Observamos que 25 tiene dos raíces cuadradas: 5 y −5.

Para calcular la raíz cuadrada de un número negativo deberíamos encontrar un número tal que, al elevarlo al cuadrado, dé ese número negativo.

Por ejemplo:

¿Qué número elevado al cuadrado da −25?

(?)2 = −25

Como hemos visto, cualquier número elevado a una potencia par tiene un valor positivo. Por eso, no es posible calcular raíces cuadradas de números negativos.

❚❚ Un número entero positivo tiene dos raíces cuadradas: una positiva y otra negativa.

❚❚ La raíz cuadrada de un número entero negativo no se puede calcular.

Aprenderás a…❚● Comprender y utilizar las potencias de números con base negativa.

❚● Comprender y manejar las raíces cuadradas.

❚● Calcular el número de raíces de un número entero.

El símbolo de la raíz

cuadrada es .

a = b → b2 = a

Lenguaje matemático

15

1Actividades

Calcula en tu cuaderno.

Expresa las siguientes expresiones como potencias con base positiva.a) (−15)13 c) (−23)53 e) (−42)46

b) (−105)32 d) (−8)37 f) (−37)98

Expresa estos productos como potencias con base positiva.a) 2 ⋅ (−2) ⋅ (−2) ⋅ 2 d) (−5) ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5b) 3 ⋅ (−3) e) (−9) ⋅ 9 ⋅ (−9) ⋅ (−9) ⋅ (−9)c) (−7) ⋅ (−7) ⋅ 7 ⋅ (−7) f) (−10) ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ (−10) ⋅ (−10)

Determina si cada par de potencias tienen el mismo resultado. Justifica tu respuesta.a) (−3)4 y −34 d) 945 y (−9)45

b) −713 y (−7)13 e) (−2)3 y −23

c) (−5)12 y 512 f) −1111 y (−11)11

Indica cuántas raíces cuadradas tienen estos números. a) −3 481 c) 8 649 e) −40 401b) 11 025 d) −23 716 f) 103 041

Señala cuáles son las raíces cuadradas de estos números. Ten en cuenta los datos que se indican. a) 529 si 529 = 232 c) 676 si 676 = 262

b) 2 209 si 2 209 = 472 d) 1 156 si 1 156 = 342

Calcula las raíces cuadradas de estos números.a) 16 d) 81 g) −32b) −25 e) 49 h) 100c) −4 f) −10 000 i) 121

Copia en tu cuaderno y asocia cada expresión con el número que corresponde.

–3²

–6²

–9

11

121

–3

64Sin

solución

8

–36–6

(–11)²

(–8)²

√36 √121

√9

√64

√–64

45

46

47

48

49

50

51

52

DESAFÍOEn general, la igualdad ab = ba no se cumple. ¿Eres capaz de encontrar valores para a y para b de forma que se cumpla la igualdad? Escríbelos en tu cuaderno.

53

a) (–2)3 c) (–2)2 e) (–2)5

b) (−2)6 d) (−2)7 f) (−2)4

1 Números enteros

16

6. OPERACIONES CON POTENCIAS

Potencias con el mismo exponente

❚❚ Producto de potencias con el mismo exponente

53 ⋅ (−2)3 = (5 ⋅ 5 ⋅ 5) ⋅ ((−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2)) =

= (5 ⋅ (−2)) ⋅ (5 ⋅ (−2)) ⋅ (5 ⋅ (−2)) =

= (−10) ⋅ (−10) ⋅ (−10) = (−10)3 = −103

Se multiplican las bases y se deja el mismo exponente.

❚❚ Cociente de potencias con el mismo exponente

(−6)2 : (−2)2 = ((−6) ⋅ (−6)) : ((−2) ⋅ (−2)) =

= ((−6) : (−2)) ⋅ ((−6) : (−2)) = 3 ⋅ 3 = 32

Se dividen las bases y se deja el mismo exponente.

Para multiplicar o dividir potencias con el mismo exponente, se multiplican o dividen las bases y se deja el mismo exponente.

Potencias con la misma base

❚❚ Producto de potencias con la misma base

(−5)2 ⋅ 54 = 52 ⋅ 54 = 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 56 = 52+4

35 ⋅ −3( )3 = − 33 ⋅35( ) = − 3 ⋅3 ⋅3 ⋅3 ⋅3 ⋅3 ⋅3 ⋅3( ) = −38 = −33+5 =Se deja la misma base y se suman los exponentes.

❚❚ Cociente de potencias con la misma base

(−7)6 : 72 = 76 : 72 = 74 ⋅ 72 : 72 = 74 = 76−2

28 : −2( )5 = − 28 : 25( ) = −23 ⋅25 : 25 = −23 = −28−5

Se deja la misma base y se restan los exponentes.

❚❚ Potencia de una potencia

−3( )3( )2 = −3( )3 ⋅ −3( )3 = −3( )3+3 = −3( )3⋅2 = −3( )6 = 36

−3( )5( )3 = −3( )5 ⋅ −3( )5 ⋅ −3( )5 = −3( )5+5+5 = −3( )5⋅3 = −3( )15 = −315

Se deja la misma base y se multiplican los exponentes.

❚❚ Para multiplicar o dividir potencias con la misma base, se deja la misma base y se suman o restan los exponentes.

❚❚ Para elevar una potencia a otra potencia, se deja la misma base y se multiplican los exponentes.

Potencias de exponente 0 y 1 (−8) : (−8) = 1 16 : (−8) = −2

(−2)3 : (−2)3 = (−2)0 = 1 (−2)4 : (−2)3 = (−2)1 = −2

(−2)3−3 = (−2)0 (−2)4−3 = (−2)1

❚❚ Una potencia de exponente 0 es igual a 1.

❚❚ Una potencia de exponente 1 es igual a la base.

Aprenderás a…❚● Operar con potencias con el mismo exponente.

❚● Operar con potencias con la misma base.

❚● Calcular potencias con exponente 0 y 1.

Presta atención

an ⋅ bn = (a ⋅ b)n

an : bn = (a : b)n

Presta atención

ap ⋅ aq = ap+q

ap : aq = ap−q

ap( )q = ap⋅q

Presta atención

a0 = 1 a1 = a

17

1Actividades

Expresa en forma de potencia única.a) 35 ⋅ 25 c) 127 : 47

b) 73 ⋅ 33 d) 322 ⋅ 162

Escribe como potencia única de base positiva.a) (−2)5 ⋅ 65 e) (−12)3 : (−6)3

b) (−2)5 ⋅ (−6)5 f) 123 : 63

c) 25 ⋅ (−6)5 g) (−12)3 : 63

d) 25 ⋅ 65 h) 123 : (−6)3

54

55

Opera y deja el resultado en forma de potencia única de base positiva.

a) 82 ⋅ −32( ) ⋅22 : 62

b) (−12)5 : (−3)5 ⋅ 55 : 25

c) 310 ⋅ (−4)10 : (−2)10 : (−3)10

Escribe como una única potencia de base positiva.

a) 25 ⋅ (−2)3 d) 612 ⋅ (−6)5

b) (−7)8 ⋅ 72 e) 47 ⋅ (−4)2

c) (−5)8 ⋅ 53 f) 36 ⋅ (−3)4

Expresa como una única potencia de base positiva.

a) 25 : (−2)3 d) 612 : (−6)5

b) (−7)8 : 72 e) 47 : (−4)2

c) (−5)8 : 53 f) 36 : (−3)4

Reduce a una sola potencia de base positiva.

a) −5( )3( )3 d) −2( )2( )5

b) −3( )8( )2 e) −3( )3( )7

c) −9( )3( )8 f) −8( )6( )4

56

57

58

59

Reduce a una sola potencia de base positiva.

a) 35 ⋅ 34 : (−3)3 d) 92 ⋅ (−9)7 : (−9)5

b) (−11)8 : 112 ⋅ (−11)5 e) (−3)2 ⋅ 34 ⋅ 35

c) (−7)9 : 73 : 72 f) (−5)6 : (−5)4 ⋅ 55

Escribe como potencia única de base positiva.

a) 25 ⋅ −2( )3 : 25 ⋅ −2( )3( )2

b) 5( )9 5( )3 : 52 5( )3( )2

c) −3( )5( )3 : −33( )2 ⋅32

Calcula las siguientes potencias.

a) (−3)2 d) (−3)0

b) 32 e) −30

c) −32 f) 30

Reduce a una sola potencia de base positiva.

a) 34 ⋅ (−3) : (−3)2 c) −2( )4 : 24( )2 ⋅ −2( )3

b) (−5)5 : (−5)3 : 52 d) 34 : −3( )3( )5 ⋅ −3( )

60

61

62

63

EJERCICIO RESUELTO

`` Expresa como potencia única de base positiva.

(−2)4 ⋅ 64 : (−3)4 ⋅ (−5)4

SoluciónRealizamos las operaciones de izquierda a derecha.(−2)4 ⋅ 64 : (−3)4 ⋅ (−5)4 = (−12)4 : (−3)4 ⋅ (−5)4 = = 44 ⋅ (−5)4 = (−20)4 = 204

EJERCICIO RESUELTO

`` Escribe en forma de una única potencia de base positiva.

32 ⋅ (−3)5 : (−3)2

Solución

Investiga

Busca en Internet quién y dónde enunció las reglas para operar con números enteros tal y como lo hacemos en la actualidad.

64

ma2e2

1 Números enteros

18

7. OPERACIONES COMBINADAS

Operaciones sin paréntesis

Al igual que cuando operamos con números naturales, para realizar operaciones combinadas con números enteros debemos seguir un orden.

12− 6 ⋅22 : 3− (−5)− 25 ⋅3

1 Calculamos todas las potencias y las raíces.

2 Hallamos todas las multiplicaciones y las divisiones. Si hay varias, las realizamos de izquierda a derecha.

3 Resolvemos todas las sumas y las restas. Si hay varias, procedemos también de izquierda a derecha.

Operaciones con paréntesis

Cuando en una expresión con números enteros hay operaciones agrupadas con paréntesis, hemos de efectuar las operaciones siguiendo un orden.

(−3)2 + 5 ⋅ (4− 6) + 16 −1

1 Realizamos todas las operaciones que hay entre paréntesis.

2 Calculamos todas las potencias y las raíces.

3 Hallamos todas las multiplicaciones y las divisiones. Si hay varias, procedemos de izquierda a derecha.

4 Resolvemos todas las sumas y las restas de izquierda a derecha.

El orden en el que resolvemos operaciones combinadas con números enteros es el siguiente:1 Paréntesis.2 Potencias y raíces.3 Multiplicaciones y

divisiones (de izquierda a derecha).

4 Sumas y restas (de izquierda a derecha).

Recuerda

Aprenderás a…❚● Realizar operaciones combinadas con números enteros.

Presta atención

Al operar con raíces cuadradas, consideramos que es positiva.

49 = 7

12 − 6 ⋅ 22 : 3 − (−5) − 25 ⋅ 3 =

= 12 − 6 ⋅ 4 : 3 − (−5) − 5 ⋅ 3 =

= 12 − 8 − (−5) − 15 == 12 − 8 + 5 − 15 == 4 + 5 − 15 = 9 − 15 = −6

( 3)2 + 5 (4 6 ) + 16 1 =

= (−3)2 + 5 ⋅ (−2) + 16 −1 =

= 9 + 5 ⋅ (−2) + 4 − 1 =

= 9 − 10 + 4 − 1 = −1 + 4 − 1 == 3 − 1 = 2

`` Resuelve la siguiente operación combinada.

12− 16 ⋅ (3− (5− 3) ⋅ (−2)) + (−2)3

SoluciónRealizamos las operaciones siguiendo el orden correcto.

EJERCICIO RESUELTO

ma2e3

19

1Actividades

Resuelve, teniendo en cuenta la jerarquía de las operaciones.

a) 7 − (5 − 8) + 3 − 4 ⋅ 2 c) −12 − (4 − 12) + (5 − 7) + 1

b) 5 − 13 + (5 − 7 + 1) − (3 − 6) d) (−5 − 7) − (7 − 5 + 3) + 4

Opera.

a) 5 − 3 ⋅ 2 + 7 c) −4 ⋅ (−3) + 5

b) 2 ⋅ (−5) + 3 ⋅ (−2) d) 5 ⋅ 3 + (−2) ⋅ 4

Calcula los resultados en cada caso.

a) 3 − 4 ⋅ 5 + 3 ⋅ (−3) c) 12 − 15 : (−3) + (−4) ⋅ 5

b) −7 ⋅ (−2) − 3 ⋅ 4 + 2 d) −7 − 3 ⋅ (−5) + 4 − 3 ⋅ (−5)

Opera.

a) 13 − 4 ⋅ (−3)2 c) 23 − 3 ⋅ (−2)3

b) 4 ⋅ (−5) + (−5)2 d) 52 ⋅ 2 + (−2)3 ⋅ 3

Resuelve estas operaciones combinadas.

a) 4 ⋅ (−3) + (−2)5 : 4 − 7 c) 7 + 16 ⋅ (−3) − 5 + 32

b) −12 + (−2)3 ⋅ 9 − (−5) d) (−3)3 − (−5) ⋅ 36 + 5 ⋅ (−3)

Halla los resultados en cada caso.

a) 1− 4 ⋅ 3− −2( )2( ) + 5 c) 4 − 52 : (2 − 7) + 16

b) − 4−7( ) + 72 − 24 : − 64( ) d) −3( )2 + 5 ⋅ 32 − 42( )− 25

Calcula.

a) 3− −2( )3 − 4 ⋅ −5( )( )− − 49( ) c) −12 + 5 + 18 : −32( )( ) + 25

b) 15 + 18 : −6( )− 4 ⋅ 4( ) + −3( )3 d) 12− 4 ⋅ −2( )4( ) : −2( ) + 15

Resuelve. Ten en cuenta los paréntesis.

a) 5− 3 ⋅ 32 − 4 ⋅ 25( )−12( ) + 8 : − 16( )

b) 6 ⋅ −3( ) + 12 + 7 ⋅ − 9( )− 2( )− 3( ) + 22

c) 4− 5 + −9( )( )− 4−7( ) ⋅ 36( )d) −15 + ((5 − 3 ⋅ 2) ⋅ 7 − (−2)4 : 4 + 7)

Alicia abre una cuenta en el banco e ingresa en ella 125 € cada mes. Si en este momento tiene 875 € en la cuenta, indica mediante una expresión matemática las siguientes situaciones.

a) Los meses que lleva la cuenta activa.

b) El dinero que tenía hace tres meses.

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73

DESAFÍOEl sistema métrico utiliza la escala Celsius para medir la temperatura. Sin embargo, la temperatura en Estados Unidos todavía se mide en grados Fahrenheit. Las fórmulas para cambiar de escalas son:

F = 1,8 ⋅C + 32 o C =F − 32

1,8

Utiliza estas formulas para saber cuántos grados Fahrenheit son −20 ºC y cuántos grados centígrados son 14 ºF.

74

1 LEE Y COMPRENDE LAS MATEMÁTICAS

20

Medidas enteras

Hoteles increíbles del mundo

Al viajero curioso ya no le basta con una simple cama para pasar la noche, sino que busca un lugar con personalidad, que deje huella y sea una experiencia más del viaje.

Para dormir en la suite de Sala Silvermine, hay que tener valor. O al menos no sufrir de claustrofobia. Esta es la habitación de hotel más profunda del mundo. Se encuentra a −155 m en una antigua mina de plata. Aquí los móviles no funcionan y la única comunicación con el personal del hotel se realiza por radio. Es recomendable llevar ropa de abrigo, ya que durante una visita guiada recorrerás las oscuras y sinuosas galerías de la mina (a 2 ºC). Las temperaturas en la suite rondan los 18 ºC, aunque hay ropa de cama gruesa y calentita disponible. Por si acaso.

Fuente: www.ocholeguas.com

El extravagante hotel más alto del mundo estará en un pueblo de los Alpes

En Vals, un pequeño pueblo balneario del cantón de los Grisones, en Suiza, viven oficialmente menos de mil personas. Alrededor, montañas, el esplendor verde o blanco, según la estación del año, que podemos suponer. En ese paisaje parece que se va a construir el hotel (edificio dedicado exclusivamente a ese fin) más alto del mundo, con 381 m.

Cada planta tendrá solo una habitación. Costará entre 1 000 y 25 000 € la noche. También será el rascacielos más alto de Europa.

Fuente: www.abc.es

Julio ha leído los artículos sobre los dos hoteles: el más alto y el más profundo. Se imagina cómo sería si ambos estuvieran unidos uno sobre el otro y se comunicaran por una interminable escalera.

Si cada peldaño de la escalera de esa construcción tuviese un desnivel de −17 cm, ¿cuántos peldaños debería tener una escalera que nos llevase desde el punto más alto al más profundo de este imaginario hotel?

Analiza la pregunta

¿Cuántos peldaños debería tener una escalera que nos llevase desde el punto más alto al más profundo de este imaginario hotel?

Primero, elegimos una unidad de medida de longitud común para los datos del escalón y la profundidad del hotel.

A continuación, calculamos la distancia que hay del punto más alto al punto más bajo de este hotel imaginario.

Por último, dividimos este dato entre el desnivel de los peldaños.

Busca los datos

❚ La habitación más profunda se encuentra a −155 m.

❚ El hotel más alto del mundo va a medir 381 m.

❚ Cada escalón de la escalera tiene un desnivel de −17 cm.

Utiliza las matemáticas

Calculamos la distancia entre el punto más alto y el más bajo.

381 − (−155) = 381 + 155 = 536 m

Expresamos esta longitud en centímetros.

536 m = 53 600 cm

Tomamos el valor absoluto del desnivel de cada peldaño para obtener su altura.

|−17| cm = 17 cm

Dividimos la longitud total entre el desnivel de cada escalón.

53 600 : 17 = 3 152,94 escalones

Por tanto, se necesitan unos 3 153 escalones para ir del punto más alto al más bajo.

21

1Actividades

Beatriz necesita un frigorífico y lee lo siguiente.75 Rosalía es muy friolera y lee con atención los siguientes artículos.

77

a) ¿Cuántas estrellas como mínimo debe tener el frigorífico que compre Beatriz si quiere enfriar hasta los −15 ºC?

b) Un frigorífico congela hasta los −11 ºC. ¿Cuántas estrellas tendría que tener para que congele 5 ºC menos? ¿Y para congelar 5 ºC más?

Consejos a la hora de comprar un frigorífico

Elegir un modelo u otro determinará la conservación de los alimentos.

La duración de los productos congelados es otro de los aspectos que se deben considerar. La medida de la congelación viene dada por las estrellas del congelador:

a) 1 estrella: −6 ºC de temperatura mínima, por lo que serán congeladores para mantener unas horas los alimentos.

b) 2 estrellas: −12 ºC de temperatura mínima. Los alimentos se pueden congelar hasta unos tres días.

c) 3 estrellas: −18 ºC de mínima temperatura. Los alimentos duran meses congelados.

d) 4 estrellas: la congelación es más rápida y permite congelar mayor cantidad de alimentos.

Fuente: www.consumer.es

a) ¿En cuántos grados se superó la temperatura de hipotermia?

b) Si cada 30 min la temperatura variaba en −2 ºC, ¿cuántos grados habría en Michigan pasadas dos horas?

Temperaturas anormalmente bajas siguen azotando Estados Unidos

Peligro mortal

Un frío como el registrado el lunes causa hipotermia en unos cuantos minutos. Las tormentas de nieve y hielo han dejado una docena de muertos.

El Servicio Meteorológico señaló en su página web que, «combinadas con ráfagas de viento, las temperaturas van a caer a niveles potencialmente mortales, tan bajas como los −51 °C en algunos lugares del país».

En la madrugada del lunes, a la vera del lago Michigan, la temperatura bajó a −37 grados Celsius, informó la Agencia Francesa de Noticias, AFP, citando declaraciones de Sarah DeRoo, portavoz del municipio.

Fuente: www.univision.com

«A menos 30 grados te congelas en un minuto».

A temperaturas tan bajas, todo el cuerpo debe estar protegido. La hipotermia es el efecto más grave.

[…] Claro que todo depende de la protección que se tenga. «A menos 30 grados, la temperatura a la que se ha llegado en partes de EE UU, una persona mal preparada se congela en un minuto», afirma.

Fuente: El pais.es

Lee y contesta.76

¿Cuántos metros le faltaron para llegar a lo más profundo de la sima?

Jesús Calleja atrapado en la sima más profunda de la Tierra

El aventurero, que grababa un especial de Desafío extremo, se encuentra con su equipo a 1 600 m de profundidad.

Cinco jornadas después de comenzar con el desafío, el aventurero ha tenido que desistir por las malas condiciones climatológicas en el terreno. «No han podido alcanzar los −2 080 m. Se dan la vuelta. Era una decisión difícil, ha subido mucho el nivel de agua. La seguridad, lo primero».

Fuente: www.abc.es

Analiza cuál de estas frases está mejor enunciada.

❚ Está a una profundidad de −120 m por debajo del nivel del mar.

❚ Está a una profundidad de −120 m.

❚ Está a una profundidad de 120 m por debajo del nivel de mar.

78

22

¿QUÉ1 tienes que saber?

Calcula el m.c.d. (12, 15) y el m.c.m. (12, 15).

12 2 15 3 m.c.d. (12, 15) = 3

m.c.m. (12, 15) = 22 ⋅ 3 ⋅ 56 2 5 53 3 11

12 = 22 ⋅ 3 15 = 3 ⋅ 5

Números naturales. DivisibilidadTen en cuenta

Dos números, a y b, son divisibles si la división a : b es exacta. El número a es múltiplo de b, y el número b es divisor de a.

❚❚ El m.c.d. de varios números es el mayor de sus divisores comunes.

❚❚ El m.c.m. de varios números es el menor de sus múltiplos comunes.

¿Cuáles son los resultados?

a) (−2)5 b) (−3)4 c) Raíz cuadrada de 81 d) −16

a) (−2)5 = −25 = −32

b) (−3)4 = 34 = 81

c) Las raíces cuadradas de 81 son +9 y −9.

d) −16 → No se puede calcular.

Potencias y raíces de números enterosTen en cuenta

Potencias de base negativa

(−a)par = apar

(−a)impar = −aimpar

Realiza la siguiente operación combinada.

−15 − 23 ⋅ (5 − 7) + 36 : (−11 + 8)

−15 − 23 ⋅ (5 − 7) + 36 : (−11 + 8) = −15 − 23 ⋅ (−2) + 36 : (−3) =

= −15 − 8 ⋅ (−2) + 6 : (−3) = −15 + 16 − 2 = 1 − 2 = −1

Operaciones combinadas con números enterosTen en cuenta

❚❚ La raíz cuadrada de un entero positivo siempre tiene dos soluciones.

❚❚ La raíz cuadrada de un entero negativo no se puede calcular.

Resuelve estas expresiones con números enteros.

a) 15 − 17 − (−5) + (−8)

Primero, resolvemos los paréntesis y, después, operamos de izquierda a derecha.

15 − 17 − (−5) + (−8) = 15 − 17 + 5 − 8 = −2 + 5 − 8 = 3 − 8 = −5

−(−5) = +5 +(−8) = −8

b) (−15) ⋅ 6 : (−3)

Operamos de izquierda a derecha aplicando la regla de los signos.

(−15) ⋅ 6 : (−3) = −90 : (−3) = 30

(−15) ⋅ 6 = −90 −90 : (−3) = +30

Suma, resta, multiplicación y división de números enterosTen en cuenta

Suma o resta

❚❚ Con el mismo signo, se suman las partes numéricas y se deja el mismo signo que tienen los números.

❚❚ Con distinto signo, se resta a la parte numérica mayor la menor y se deja el signo de dicha parte numérica mayor.

Multiplicación o división

1❚Se multiplican o dividen las partes numéricas.

2❚El resultado tiene signo más (+) si los números tienen el mismo signo, o signo menos (−) si son de distinto signo.

23

Actividades Finales 1

Números naturales. Divisibilidad

Escribe tres múltiplos de 6 que estén comprendidos entre 20 y 40.

Escribe todos los divisores de estos números.

a) 18 b) 21 c) 23 d) 32

Realiza la descomposición factorial de los siguientes números.

a) 12 d) 539

b) 128 e) 300

c) 360 f) 567

Indica cuáles de estos números no pueden ser primos. Justifica tu respuesta.

12 30 23 16 51

Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los números propuestos.

a) 36 y 48 c) 54, 72 y 99

b) 25 y 27 d) 150, 250 y 340

Se quieren cortar tres cuerdas de 24, 32 y 36 cm, respectivamente, en trozos iguales con la mayor longitud posible. ¿Cuánto medirá cada trozo?

Dos cronómetros están programados para que suenen uno cada 252 s y el otro cada 180 s. Si los dos acaban de sonar en cierto instante, ¿cuántos segundos pasarán hasta que vuelvan a coincidir?

Números positivos y negativos

Escribe tres oraciones donde utilices el número −15 en diferentes contextos.

Copia estas rectas numéricas y escribe los números que faltan en cada caso.

a) • • • • •–22 –17 –10 –9–25

b) • • •–22 –8 –2

c) • • •–30 5–5

Copia y completa estas desigualdades.

a) −4 < § < −1 d) −7 > § > −12

b) 0 > § > −2 e) −12 < § < −9

c) −1 < § < 1 f) 2 > § > −1

Calcula los siguientes valores absolutos.

a) |−27| d) |+301|

b) |+42| e) |−61|

c) |−37| f) |−15|

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Resuelve.

a) op(−21) d) op(+53)

b) op(+37) e) op(−91)

c) op(−14) f) op(+52)

¿Son ciertas estas oraciones? Explica por qué.

a) El opuesto de un número es siempre negativo.

b) El valor absoluto de un número es siempre positivo.

¿Cuál es el número mayor en cada caso?

a) op(−43) y |−44| d) −|−4| y op(+3)

b) |op(+12)| y |−11| e) op(op(+5)) y |−|+6||

c) op(|−7|) y −op(+5) f) −|−12| y op(+13)

Escribe, en cada caso, un número que cumpla las condiciones que se indican.

a) Es mayor que −7 y menor que −3.

b) Es menor que |−6| y mayor que op(−2).

c) Es menor que op(|−5|) y mayor que op(+8).

d) Es mayor que −|−12| y menor que op(|−10|).

Operaciones con números enteros

Supongamos que la suma de dos números enteros, a y b, es negativa.

a) ¿Pueden ser a y b negativos?

b) ¿Pueden ser a y b positivos?

c) ¿Pueden ser a positivo y b negativo?

Si la respuesta es afirmativa, escribe un ejemplo; si es negativa, justifícala.

Supongamos que la diferencia entre dos números enteros es negativa.

a) ¿Pueden ser los dos números negativos?

b) ¿Pueden ser los dos positivos?

c) ¿Pueden ser uno positivo y otro negativo?

Si la respuesta es afirmativa, escribe un ejemplo; si es negativa, justifícala.

¿Qué signo tiene la solución de cada operación? Comparte los resultados con tu compañero.

a) 42 − 35 d) −5 + 68

b) 78 − 98 e) −67 + 56

c) −16 − 45 f) 72 − 86

Resuelve.

a) 3 − 7 + 4 d) −12 + 5 − 3

b) −5 + 12 − 4 e) 6 − 8 + 12

c) 4 − 3 − 7 f) 8 − 12 + 4

90

91

92

93

94

95

96

97

24

1 Números enteros

Opera.a) −2 + (−25) + 18 − 7 b) 9 − (−8) + (−20) + 15 c) −16 + 7 − (−21) − 19 d) 45 − 36 + (−18) − 23

Resuelve estas expresiones.a) −(12 − 18) + (−3) + (−3 − 15)b) −12 − (12 + (−15) − 7) + 8 − 21c) 19 − 7 + (12 − 20) + (−15) − (12 + (−27))d) −31 − (2 − 10 − (−8)) + (−15 − (−27))

Supongamos que el producto de dos números enteros es negativo.a) ¿Pueden ser los dos números negativos?b) ¿Pueden ser los dos positivos?c) ¿Pueden ser uno positivo y otro negativo?Si la respuesta es afirmativa, escribe un ejemplo; si es negativa, justifícala.

Supongamos que el cociente de dos números enteros es negativo.a) ¿Pueden ser los dos números negativos?b) ¿Pueden ser los dos positivos?c) ¿Pueden ser uno positivo y otro negativo?Si la respuesta es afirmativa, escribe un ejemplo; si es negativa, justifícala.

¿Qué signo tiene la solución de cada operación? Comparte los resultados con tu compañero.a) (−45) ⋅ 8 : 6 ⋅ 71b) (−525) : (−15) ⋅ (−36) : (−7)c) 23 ⋅ (−45) : 9 ⋅ (−12)d) (−360) : (−15) : 12 ⋅ (−99)

Resuelve.a) (−12) ⋅ 5b) 12 ⋅ (−5) : 30 ⋅ 4 c) (−42) : (−6) ⋅ 15 : (−5)d) 105 : (−7)e) (−8) ⋅ (−12) : (−4) ⋅ (−5)f) 45 : (−9) ⋅ (−6) ⋅ 2

Potencias y raíces cuadradas de números enteros

¿Qué signo tiene cada potencia? Comparte tus respuestas con tu compañero.a) (−53)16 d) (−29)105

b) (−49)71 e) (−15)49

c) (−71)39 f) (−63)1 051

98

99

100

101

102

103

104

Expresa como una sola potencia de base positiva.a) (−2)63 d) (−2)244

b) (−2)82 e) (−2)75

c) (−2)34 f) (−2)352

¿Tienen cada par de potencias el mismo resultado? Explica tu respuesta.a) (−5)6 y 56 c) (−15)24 y 1524

b) −1221 y (−12)21 d) 3127 y (−31)27

Indica cuántas raíces cuadradas tienen estos números.a) 1 225 d) 1 764b) −2 704 e) −121c) 0 f) 10 000

Calcula los resultados de estas raíces.

a) 312 d) −49

b) (−27)2 e) (−37)2

c) −152 f) 672

Operaciones con potencias

Escribe como potencia única de base positiva.a) (−3)4 ⋅ 64 e) (−9)7 : (−9)7

b) (−7)5 ⋅ (−2)5 f) (−24)6 ⋅ (−4)6

c) 73 ⋅ (−3)3 g) (−36)8 : 98

d) (−5)6 ⋅ (−4)6 h) 255 : (−5)5

Opera y deja el resultado en forma de una sola potencia de base positiva.a) 43 ⋅ (−3)3 ⋅ 53 : 63

b) (−24)6 : (−3)6 ⋅ (−4)6 : 26

c) 65 ⋅ (−9)5 : (−3)5 : 25

d) (−8)8 ⋅ (−4)8 : (−2)8 ⋅ (−5)8

Expresa como potencia única de base positiva.a) 53 ⋅ (−5)4 g) 812 : (−8)3

b) (−9)8 ⋅ 95 h) (−2)8 : 2c) (−3)7 ⋅ 3 i) (−7)10 : 74

d) 711 ⋅ (−7)3 j) 618 : (−6)2

e) 47 ⋅ (−4) k) 517 : (−5)12

f) (−2)6 ⋅ 27 l) (−9)5 : 9

Reduce a una sola potencia de base positiva.

a) −7( )2( )3 d) −11( )3( )5

b) −5( )6( )4 e) −3( )6( )7

c) −9( )5( )7 f) −15( )6( )3

105

106

107

108

109

110

111

112

25

Actividades Finales 1

Expresa como potencia de base positiva.

a) (−7)9 : (−7) ⋅ 73 c) (−5)12 : 54 ⋅ (−5)5

b) 97 ⋅ (−9)3 : (−9)2 d) (−3)16 : 35 : 36

Reduce a una sola potencia de base positiva.

a) 35 ⋅ −3( ) : 35 ⋅ −3( )2( )4

b) 5 ⋅ −5( )12 : −5( )2 ⋅ −5( )4( )2

c) −7( )2( )4 : −7( )2 ⋅72

d) 23 ⋅ −2( )12 : 23( )4( )2 ⋅ −2( )

Calcula estas potencias.

a) (−2)4 c) −24 e) −20

b) 24 d) (−2)0 f) 20

Operaciones combinadas

Resuelve.

a) 5 ⋅ (−3) + 4 − 3 ⋅ 2b) −21 − (−9) − 5 ⋅ (−3)

c) 4 ⋅ (−7) − (−10) − (−72) : 6

Opera.

a) −(16 − 20) : 2 + (−7) ⋅ (12 − 10)

b) 60 : (−5) + (−7) ⋅ (8 − 10) − 1

c) −25 + (−30 − 15) : (2 − 7) − 12

Opera.

a) 3 − 49 ⋅ (−7) + 5 ⋅ (−2)3 − 2

b) − 36 + 5 ⋅ (−4) + 42

c) −12 + 5 ⋅ 3 − (−4) ⋅ 3 + (−3)3

d) 2 + 25 − (−7) ⋅ 3 − 52

Calcula el resultado de las siguientes operaciones.

Calcula las siguientes operaciones.

a) 3− 4− 5−7( )2 ⋅3 + − 9( )( ) ⋅2 + 1

b) 8 : − 16( )− 4− 5−7( )2 + 1( ) ⋅ 3− 6( )

c) 16− 24( ) : 23( ) ⋅ 12− 3 ⋅ −2( )2( )−5

d) −32− 4 ⋅ 3− 9( )−5( ) + 4− 9( )2

113

114

115

116

117

118

119

120

Problemas con números enteros

Un día de invierno, a la misma hora, diez estaciones meteorológicas registran estas temperaturas.

−2 ºC −4 ºC −9 ºC −6 ºC −11 ºC

−1 ºC −15 ºC −5 ºC −7 ºC −14 ºC

a) ¿Cuál es la temperatura más alta?

b) ¿Cuál es la más baja?

c) ¿Qué temperatura está más próxima a −10 ºC?

Gerardo tiene en la cuenta 255 €. Realiza un ingreso de 125 € y le cargan un recibo de 78 €. Después, realiza dos compras que tienen ambas el mismo importe. Si, finalmente, el saldo de la cuenta es de −18 €, ¿cuál ha sido el precio de esas compras?

Cualquier elevación terrestre se mide a partir del nivel del mar, que se considera que tiene una elevación de 0 m. Los puntos que se elevan por encima del nivel del mar se consideran positivos, y los que están por debajo de dicho nivel, negativos. Los puntos más bajos de cada continente son:

Continente Lugar Elevación

África Lago Assal −156 m

América del Norte

Valle de la Muerte −86 m

del SurLaguna del

Carbón −105 m

AntártidaFosa subglaciar

Bentley −2 540 m

Asia Mar Muerto −422 m

Australia Lago Eyre −12 m

Europa Mar Caspio −28 m

a) Ordénalos de menor a mayor elevación.

b) ¿Cuántos metros hay de diferencia entre la elevación del mar Caspio y la del mar Muerto?

c) Uno de los puntos subterráneos más profundos de la Tierra es la cueva de Voronya, en el Cáucaso, con −2 160 m. ¿En cuántos metros supera a la fosa Bentley? ¿Y qué diferencia de elevación tiene respecto al mar Muerto?

d) El punto más elevado de Europa es el monte Elbrus, en Rusia, con 5 642 m. ¿Cuántos metros hay de diferencia entre el monte Elbrus y la elevación más profunda del mismo continente?

Las temperaturas en cinco localidades del Pirineo en pleno invierno son las siguientes:

−13 ºC −17 ºC −20 ºC −16 ºC −14 ºC

Calcula la temperatura media.

121

122

123

124

a) – 81– (12 –20) : (–2)2 +5 ⋅ (7 –10)

b) –21+ (25 – 9) : (8 –12) + 121

c) – 8 – 3 ⋅22( ) + 5 –7( )3 : – 4( )

d) 25 – 144 ⋅ (7 – 9) + (3 – 6)3

1 MATEMÁTICAS VIVAS

26

El buceo se considera una actividad de riesgo controlado, ya que se desarrolla en un medio que no es el natural del ser humano. Cada vez que un buceador realiza una inmersión, tiene que ser consciente de los peligros a los que se enfrenta.

A los −20 m o −25 m se encuentra la barrera entre el buceo deportivo y buceo profundo. En el año 1997 se creó en nuestro país una normativa en relación con la seguridad para el ejercicio de actividades subacuáticas, que regula tanto el buceo deportivo-recreativo como el profesional y que limita a los −50 m la profundidad del buceo.

RELACIONA

La fosa de las Marianas, localizada en el océano Pacífico, es la zona más profunda que se conoce en el mundo, y el Everest, situado en el Himalaya, es el punto más alto.

a. ¿Cuál es la diferencia de altura entre el punto más alto y el punto más profundo de la Tierra?

b. ¿Cuál es la diferencia entre el valor absoluto de los mismos puntos?

UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO

c. Si un buceador pudiera realizar un descenso hasta la fosa de las Marianas sin que peligrase su salud, cosa imposible, a una velocidad de 20 m por minuto, ¿cuánto tiempo tardaría en llegar al fondo?

2

COMPRENDE

Observa el gráfico anterior.

a. Indica cuáles de los buceadores están practicando buceo deportivo y cuáles están haciendo buceo profundo.

ARGUMENTA

b. ¿Qué buceador se encuentra más cerca de la superficie? ¿A qué profundidad está?

UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO

c. Teniendo en cuenta su profundidad, representa a todos los buceadores en una recta numérica.

REPRESENTA

d. ¿Cuántos metros separan al buceador más profundo del más cercano a la superficie?

e. ¿Cuál es el buceador que está corriendo más peligro?

f. ¿Por qué motivo crees que es más peligroso bucear a mayor profundidad?

PIENSA Y RAZONA

1

27

1Submarinismo

Uno de los mayores peligros en el buceo es el momento del ascenso a la superficie. Si se realiza de una forma muy rápida y sin haber expulsado todo el aire de los pulmones, se puede producir un desequilibrio entre las presiones y el aire no eliminado puede dañar los pulmones gravemente.

Para ayudar a los buceadores, se han elaborado unas tablas a fin de realizar esta subida de forma segura. Existen tablas para cada profundidad y tiempo de buceo. Por ejemplo, para una profundidad de −18 m solo se tiene que hacer una parada de descompresión a los −3 m transcurrido 2 min de ascenso.

Profundidad (m) Tiempo hasta la parada (min)

Tiempo en el fondo (min)

Parada de descompresión en los −3 m

Tiempo total de ascenso (min)

−18 2

60 0 2

120 26 28

180 56 58

a. ¿Cuántos metros tiene que recorrer un buceador en el primer minuto de ascensión?

b. ¿En cuáles de los siguientes gráficos no se ha respetado la tabla de descompresión?

•••

••• • •

•

•

•O 20

4

X

Y

•••

•• • • •

• •O 20

4

X

Y

•••

•• • • •

••

•O 20

4

X

Y

Lola tiene el siguiente plan para una inmersión: bajar hasta un profundidad de −5 m y estar ahí 4 min; después, subir 2 m para volver a bajar 12 m; a continuación, subir 3 m y, después, bajar 8 m. Sabiendo que en total han pasado 150 min en el fondo, ¿qué tabla de profundidad tiene que elegir?

Lola programa una inmersión fotográfica: bajará 3 m para realizar fotos durante 5 min y luego repetirá este proceso 9 veces. En una de las paradas fotográfica echa un vistazo a su profundímetro y observa que marca −21 m.

a. ¿Cuántas paradas fotográficas lleva realizadas en ese momento?

b. Si hace dos paradas más, ¿a qué profundidad se encuentra ahora?

c. Si pudiese realizar 5 paradas más de las planeadas, ¿cuál sería su profundidad?

3

4

5

REFLEXIONA

RESUELVE

TRABAJO

COOPERATIVO TAREABuscad tablas de descompresión para distintas profundidades y realizad gráficos con planes de buceo que respeten las normas, las profundidades y las paradas para la descompresión.

Investigad sobre la mayor profundidad a la que se ha encontrado vida marina.

28

1 Números enteros

Observa varias maneras de resolver este cociente de potencias: 104 : 106

❚ Se aplica la propiedad del cociente de dos potencias con la misma base: 104

106= 104−6 = 10−2

❚ 10−2 =1

102

❚ Se desarrollan las potencias para, a continuación, efectuar el cociente: 104

106=

10 000

1000 000=

1

100=

1

102

Observa que: a−n =1

an

AVANZA

A1. Calcula las siguientes potencias con exponente negativo.

a) 3−3 c) 2−5 e) 4−3

b) 5−4 d) 7−2 f) 10−5

A2. Calcula el valor de estas potencias.

a) 2

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−3

c) 1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−5

e) 6

7

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−2

b) 3

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−4

d) 1

10

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−6

f) 10

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−3

A3. Halla el valor de estas potencias.

a) (−2)−4 c) 1

10

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−5

e) (−10)−5

b) −1

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−3

d) (−2)−6 f) −3

10

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−4

A4. Expresa en forma de una única potencia de exponente positivo.

a) 23 : 27 c) 53 : 54

b) 7 : 75 d) 43 : 49

Potencias cuyo exponente es un número negativo

CÁLCULO MENTAL Tanteo de raíces cuadradas

El resultado de una raíz cuadrada es un número que, al elevarlo al cuadrado, da el radicando. Por tanto, es conveniente saber cuáles son las terminaciones de los primeros números naturales al cuadrado.

12 = 1 22 = 4 32 = 9 42 = 16 52 = 25 62 = 36 72 = 49 82 = 64 92 = 81 102 = 100

Por ejemplo, si queremos calcular 1849 :

❚ Primero, acotamos la decena.

Tenemos que 402 = 1 600 y 502 = 2 500; luego, se tiene que: 40 < 1849 < 50

❚ En segundo lugar, como el número acaba en 9, los únicos posibles valores para la raíz son 43 y 47.

Calculamos las dos potencias y obtenemos el resultado.

432 = 1 849 472 = 2 209

Por consiguiente, tenemos que 1849 = 43.

CM1. Calcula las siguientes raíces cuadradas.

a) 2916 c) 1521 e) 8 281

b) 4 225 d) 5 776 f) 3 844