Conjuntos de Números:

LOS NUMEROS NATURALES:

Los denominados Números Naturales son los primeros números que surgen con la

necesidad en la humanidad de contar, este conjunto está formado por los elementos 1, 2,

3, 4... etc., y se designa con el símbolo N.

El conjunto N, es aquel en que cada elemento se obtiene de sumar una unidad al

elemento anterior. Es por esto que el conjunto N resulta ordenado, es decir dados dos

números naturales a y b distintos, siempre uno es menor que el otro, se dice a es menor

que b, o b es mayor que a. En símbolos: a < b o b > a.

El conjunto N tiene primer elemento (1) y no tiene último elemento, por lo que decimos

que es infinito, o que tiene infinitos elementos.

Indicaremos a este conjunto: N = {1, 2, 3,…………..}

En este conjunto podremos sumar, multiplicar y el resultado será otro número natural. No

siempre ocurre lo mismo con la resta o la división. ¿Por qué?.

Este conjunto lo podemos representar gráficamente con una recta cualquiera en donde

ubicaremos un punto de origen “O”, y tomando un segmento arbitrario como unidad y

trasladándolo a partir del origen hacia la derecha, obtenemos sucesivas divisiones a, b,

c,….. Luego se hace corresponder a cada división un número natural.

a b c d e f

0 1 2 3 4 5 6

Como puede observarse a cada punto marcado de la recta se lo llama “la grafica” del

numero natural correspondiente, mientras que al número asignado a cada punto se lo

llama “la coordenada” del mismo. Es decir hay una relación “biunívoca” (relación uno a

uno), en la que a cada grafica de la recta le corresponde un único numero natural y

viceversa a cada numero natural le corresponde una única coordenada de la recta.

LOS NUMEROS ENTEROS:

La humanidad continuó usando estos números hasta que surgieron problemas tales

como la resta: 3 - 5; cuando en la resta el minuendo es menor o igual al sustraendo

aparece la primera restricción en el conjunto N.

Para resolver esta operación requirió la ampliación de este conjunto a un nuevo conjunto

de números, los Números Enteros, que se denotan Z.

Este conjunto es tal que incluye al conjunto de los Números Naturales N conserva los

resultados y propiedades de N y la resta cuando el minuendo es menor o igual al

sustraendo siempre tiene solución.

Para ello definimos el conjunto de los Números Negativos donde cada elemento es el

número opuesto de cada número natural n є N; y se denominan con “-n”.

Es decir que los Números Enteros son:

Z = {...- 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4...}

Cuya grafica será siguiendo el mismo concepto que los números N y con simetría a la

izquierda del origen representado a los Números Negativos:

-3 -2 -1 0 1 2 3

LOS NUMEROS RACIONALES:

El conjunto Q de los Números racionales se crearon para indicar una parte de algo,

ellos representan la división de un Número Entero entre otro, es decir que contiene a los Z

y además en él tienen solución las divisiones donde el dividendo no es múltiplo del divisor.

Ejemplos:

Para representar numéricamente dos pedazos de pizza, que normalmente se divide en ocho

porciones iguales, decimos que esos dos pedazos son 2/8 (dos octavos) de una pizza.

El número 3/5 (tres quintos) podría representar tres pedazos de un chocolate que ha sido cortado

en cinco partes iguales. 7/4 litro (siete cuartos de litro) podrían ser siete vasos de cerveza de ¼

litro cada uno.

Para ello se crearon los “números fraccionarios” como el cociente entre dos enteros a y b

cualesquiera, con b ≠ 0.

Los números 3/5, 7/4,12/7 son números fraccionarios.

Estos números también pueden ser negativos y junto a los Números Enteros conforman

el conjunto de los Números Racionales.

En símbolos, Q = Z υ F, es decir, el conjunto de números racionales es la unión del

conjunto de los números enteros y el conjunto de los números fraccionarios F.

EXPRESIONES DECIMALES:

Un número racional puede expresarse con una fracción o con una

expresión decimal.

Por ejemplo: 2/5 = 0,4; 2/3= 0,6666…..

Al efectuar la división entre numerador y denominador de una fracción, para obtener la

expresión decimal puede ocurrir que:

1) En algún paso de la división el resto es cero.

2) En algún momento los restos comiencen a repetirse.

En el primer caso se obtiene una expresión decimal finita, mientras que en el segundo se

dice que la expresión decimal es periódica, y las cifras que se repiten forman el periodo

de la expresión decimal.

RECIPROCAMENTE:

Toda expresión decimal finita o periódica corresponde a un número

racional.

Por ejemplo: 1/4 = 0,25 expresión decimal finita;

-1/3=- 0,3333…. expresión decimal infinita;

3594/990= 3,58848484…..expresión decimal infinita.

Un número fraccionario también puede escribirse como una expresión decimal, que puede

ser finita o infinita. Las expresiones decimales infinitas tienen “periodo” y pueden tener

“parte no periódica” (ver ejemplo nº3). La parte anterior a la coma es la “parte entera”. Las

expresiones decimales pueden, recíprocamente, expresarse como una fracción.

REPRESENTACION GRAFICA DE Q:

Los números racionales se pueden representar construyendo las fracciones en sobre la

recta.

a) Si el numerador es menor que el denominador (es decir, su expresión decimal es

un número comprendido entre 0 y 1):

Por ejemplo para representar el numero ¾, dividimos al segmento unidad en cuatro

partes iguales y tomamos tres, contando desde cero.

0

3/4 1

b) Si el numerador es mayor que el denominador (es decir, su expresión decimal es

un número mayor que 1):

La fracción se puede descomponer en suma de un número entero mas una fracción

menor que la unidad. Por ejemplo: 13/5 = 2 + 3/5.

Donde 2 es el cociente entero de la división de 13 entre 5 y 3 es el resto de la misma. Asi

el numero 13/5 será un punto comprendido entre 2 y el 3, y para representar el numero

13/5 deberemos representar el numero 3/5 en el segmento (2,3), es decir, dividir el

segmento (2,3) en 5 partes iguales y tomar 3 desde el punto 2.

2

13/5

3

Observación: en esta construcción, podemos ver que dados dos puntos de una recta

(representativos de números racionales) entre ellos se pueden realizar aun infinitas

divisiones. Eso es lo mismo que decir que entre dos números racionales siempre existen

“infinitos números racionales”. Por esta propiedad se dice que el conjunto Q es “denso”.

Además se podría pensar que con este criterio toda la recta estaría cubierta, o sea, que

cada punto de ella es la grafica de un numero racional y viceversa. Veremos a

continuación que ello no es cierto.

LOS NUMEROS IRRACIONALES:

Existen algunos números tales como, = 1,4142……….; = 1,7320………….; - =-

2.236067……., etc., que tienen infinitas cifras decimales y sin embargo no tienen periodo,

ellos no pueden representarse de cómo cociente entre dos números enteros a y b. estos

son los Números Irracionales.

Ejemplos:

El numero π, que se usa para calcular, por ejemplo, la longitud de la circunferencia o el

área de un circulo, tiene como expresión decimal 3,1415926535………. Su irracionalidad

se probó recién en el siglo XVIII.

El numero e, posiblemente el número más importante en matemática superior, su valor

decimal es: 2,718281…… aparece en ciertos procesos de crecimiento vegetal o animal,

en la desintegración radiactiva, etc.

LOS NUMEROS REALES:

El conjunto formado por los Números Racionales y los Números Irracionales se

denomina conjunto de los Números Reales que se representan por R.

Estos números completan la recta, y podemos afirmar que:

Cada punto de la recta es grafica de algún número real y cada número

real es la coordenada de algún punto de la recta.

Esta correspondencia es biunívoca, es decir, una relación uno a uno.

Con el siguiente esquema podemos representar los conjuntos de números vistos

NUMEROS

NATURALES

0

NUMEROS

ENTEROS

NATURALES

NUMEROS

ENTEROS

NEGATIVOS

NUMEROS

ENTEROS

NUMEROS

RACIONALES

NUMEROS

FRACCIONARIOS

NUMEROS

IRRACIONALES

NUMEROS

REALES

Ejercitación

1) Indica a que conjunto de números pertenecen los siguientes números

a) 13 b) –12 c) –15/4 d) 25 e) 16/8 f) 5

2) Ubica los siguientes números en la recta numérica

a) 4/7 b) 8/5 c)-1/2 d) 1,3 e) 2 f) –5,2

3) Lista los siguientes números de menor a mayor

-5 -2/5 3,6 16/3 5 -1,8