República Bolivariana de Venezuela Universidad Pedagógica … · 2018-04-27 · República...
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República Bolivariana de Venezuela Universidad Pedagógica Experimental Libertador Instituto Pedagógico Rural El Mácaro “Luis Fermín” La Demostración Matemática Trabajo presentado para el Ascenso a la categoría de Profesor Asistente Autor: José Luís Frías Tovar C.I. 8784546 San Juan de los Morros, Diciembre 2016
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República Bolivariana de Venezuela
Universidad Pedagógica Experimental Libertador
Instituto Pedagógico Rural El Mácaro “Luis Fermín”
La Demostración Matemática
Trabajo presentado para el Ascenso a la categoría de Profesor Asistente
Autor: José Luís Frías Tovar
C.I. 8784546
San Juan de los Morros, Diciembre 2016
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ÍNDICE DE CONTENIDO
LISTA DE FIGURAS ........................................................................................IVLISTA DE TABLAS ........................................................................................... VINTRODUCCIÓN ............................................................................................... 1
Interrogantes de la Investigación ................................................................ 6
Objetivos de la Investigación ....................................................................... 6
Objetivo General ................................................................................... 6
Objetivos Específicos ............................................................................ 6
Justificación de la Investigación .................................................................. 6
CAPÍTULO I ...................................................................................................... 10Fundamentos Epistemológicos de la Demostración Matemática ........... 10
La Demostración en la Historia de las Matemáticas ............................... 12
La Demostración Matemática en la Antigüedad. ................................ 12
Creación Formal del Concepto de Demostración en Matemáticas. .... 14
La Demostración Matemática en la Contemporaneidad (Siglos XX y
XXI)..................................................................................................... 18
CAPÍTULO II .................................................................................................... 21Características de Algunos Métodos Para Demostrar En Matemática .21
Método Directo.................................................................................... 21
Método Contradicción ......................................................................... 23
Método Reducción al Absurdo............................................................ 25
Método Contraejemplo........................................................................ 27
Método El Contrarrecíproco................................................................ 28
Método Disyunción por Casos ............................................................ 28
Método Inducción Completa ............................................................... 30
Método Constructivo o por Construcción ........................................... 33
Método Exhaustividad......................................................................... 33
Método Probabilístico. ........................................................................ 36
Método No Constructivos.................................................................... 37
CAPÍTULO III................................................................................................... 38Implicaciones Didácticas de la Demostración Matemática ..................... 38
iii
La Demostración Matemática desde el Punto de Vista de las
Concepciones ............................................................................................... 40
Dualismo.............................................................................................. 44
Multiplicidad ....................................................................................... 44
Relativismo.......................................................................................... 45
Compromiso ........................................................................................ 45
Dificultades en el Aprendizaje de la Demostración ................................. 48
Ausencia de Madurez en el Desarrollo del Pensamiento Deductivo... 49
Noción de Demostración ..................................................................... 50
Verificación frente a la Demostración................................................. 51
Incomprensión General acerca de la Necesidad de Demostrar ........... 51
Dificultad para Expresarse por medio de un Texto acabado usando
Herramientas Lógicas .......................................................................... 52
CAPÍTULO IV ................................................................................................... 55Reflexiones Finales...................................................................................... 55
REFERENTES................................................................................................... 60
iv
LISTA DE FIGURAS
Figura 1. Triángulo Rectángulo .................................................................................. 15
Figura 2. Demostración del Teorema de Pitágoras ..................................................... 15
v
Lista de Tablas
Tabla 1. Demostración Exhaustiva de la Preposición p(p+1)(p+2) es múltiplo de 6.36
1
INTRODUCCIÓN
La Universidad Pedagógica Experimental Libertador (UPEL), está realizando un
proceso de transformación curricular con el propósito de ofrecer alternativas de
solución a los distintos problemas que afectan al país, específicamente los
relacionados con la formación docente, con el fin de generar cambios institucionales
continuos, tal como se establece en el documento base del currículo (2012); que
tengan que ver con una real ampliación diversificada de la formación profesional de
calidad con evidencias empíricas, científicas y teóricas metodológicas, preferidas y
extendidas en el qué hacer docente institucional que permitan analizar la realidad.
En tal sentido, este proceso de construcción curricular se apoya en la Ley
Orgánica de Educación (2009), en el artículo 32 donde se destaca que la Educación
universitaria tiene como finalidad
Formar profesionales de las más alta calidad y promocionar su permanenteactualización y mejoramiento, con el objetivo de establecer sólidosfundamentos, que, en lo humanístico, científico y tecnológico, sean soportepara el proceso autónomo, independiente y soberano del país en todas susáreas.
Por consiguiente, hay que destacar que la Universidad Pedagógica Experimental
Libertador (Op. Cit.) Considera como rectores de la educación universitaria, los
siguientes principios:
El carácter público, calidad e innovación, el ejercicio del pensamiento críticoy reflexivo, la pertinencia y la autonomía, el estar abierta a todas lascorrientes del pensamiento y desarrollar valores académicos y sociales que sereflejan en sus contribuciones a la realidad. (p.2).
Así mismo, la Universidad Pedagógica Experimental Libertador (2006) concibe
al ser humano como:
Eje fundamental del proceso transformador en el orden científico,humanístico y tecnológico, y define al estudiante como objeto y sujeto delconocimiento, transformador, actor y administrador de su propio aprendizaje,mediador entre éste, las instituciones educativas, su comunidad y la realidadsocial. (p.6).
Con respecto a la didáctica, esta es entendida en este proceso de transformación
curricular, como aquel saber que conceptualiza el proceso formativo y el intercambio
2
de saberes y experiencias en los espacios de construcción del conocimiento. El
aprendizaje se concibe como proceso integral basado en la construcción del
conocimiento en interacción permanente con la realidad.
El profesional a formar se proyecta como un ser libre, autónomo, crítico,
reflexivo, investigador, participativo y protagónico, comprometido con el país con
sólidos conocimientos para diagnosticar, diseñar, descubrir, contribuir, evaluar, y
formular proyecto, atendiendo a necesidades de escenarios diversos y cambiantes con
amplia formación cultural, real comprensión del tiempo y el contexto histórico,
manejo efectivo y ético de las tecnologías de la información y la comunicación,
claridad en su expresión oral y escrita, conciencia ambientalista y responsabilidad
social.
La República Bolivariana de Venezuela, vive momentos de profundas
transformaciones sociales, políticas y económicas que impone la nueva época que
vive el país y el continente. Estas transformaciones presuponen nuevas exigencias al
sistema educativo. Entre sus objetivos esenciales, sostiene Gomes (2010) está el de
Formar profesionales competentes en la docencia, que respondan a lasdemandas actuales y futuras de la nación, y que estimulan el desarrollo deestrategias que contribuyan al mantenimiento del más alto nivel académicoen las instituciones de formación docente del país. (p.12).
En esta nueva sociedad del conocimiento, resulta conveniente que los ciudadanos
dispongan de una cierta cultura científica y matemática. Su adquisición y
actualización se ha vuelto tan imprescindible como la alfabetización. La mayoría de
los ciudadanos, de todos los países, afirma Goñi (2008), se están viendo
progresivamente implicados en multitud de tareas que incluyen conceptos
cuantitativos espaciales, representativos, interpretativos, argumentativos,
probabilísticos y otras tareas matemáticas. Es decir, se está haciendo referencia no
sólo a matemáticas instrumentales o aplicativas, sino también formativas ya que
contribuyen al desarrollo intelectual, fomentando capacidades tales como: la
abstracción, la argumentación, la generalización, el pensamiento reflexivo, el
razonamiento lógico entre otras.
3
Para afrontar estos cambios e incorporarse activamente a esta nueva sociedad, es
necesario lograr en las universidades y en las instituciones de educación media
general y primaria una buena base matemática para conseguir que los estudiantes
puedan analizar, razonar y comunicar eficazmente cuando enuncian, formulan,
demuestran y resuelven problemas matemáticos en una gran variedad de dominios y
situaciones.
Para lograr estudiantes de educación media general que se atrevan a pensar con
ideas matemáticas y que además las empleen en todos los contextos, es
recomendables desarrollar un grupo de competencias en los profesores de matemática
en formación, entre las cuales, de acuerdo al informe Pisa 2003 (citado por Font
2011), se podrían considerar las siguientes:
1. Pensar y razonar: formular preguntas características de las matemáticas. ¿Hay?.
¿Cuántos?, ¿Cómo lo puedo hallar?; conocer los tipos de respuestas que dan las
matemáticas a estas preguntas; diferenciar entre los diferentes tipos de afirmaciones
(definiciones, teoremas, conjeturas, hipótesis, ejemplos, aseveraciones
condicionadas); y entender y tratar la amplitud y los límites de los conceptos
matemáticos dados.
2. Argumentación: saber lo que son las demostraciones matemáticas y en que se
diferencian de otros tipos de razonamiento matemático; seguir valorar el
encadenamiento de argumentos matemáticos de diferentes tipos; tener un sentido
heurístico (¿Qué puede o no puede pasar y por qué?); y crear y plasmar argumentos
matemáticos.
3. Comunicación: se refiere a saber expresarse de diferentes maneras, tanto
oralmente como por escrito, sobre temas de contenido matemático.
4. Construcción de modelos: estructurar el campo o situación que se quiere modelar,
traducir a la realidad, validar, reflexionar, analizar y criticar un modelo y sus
resultados.
5. Formulación y resolución de problemas: representar, formular y definir diferentes
tipos de problemas matemáticos (por ejemplo “puro”, “aplicado”, “abierto” y
4
“cerrado”); y la resolución de diferentes tipos de problemas matemáticos de diversas
maneras.
6. Representación: descodificar y codificar, traducir, interpretar y diferenciar entre
las diversas formas de representación de las situaciones y objetos matemáticos.
7. Empleo de operaciones y un lenguaje simbólico: descodificar e interpretar el
lenguaje formal y simbólico y comprender su relación con el lenguaje natural;
traducir al lenguaje natural al lenguaje simbólico/formal.
De esta manera para lograr que los profesores de matemática en formación
adquieran la habilidad para utilizar y relacionar los números, sus aplicaciones básicas,
los símbolos y las formas y razonamiento matemático tanto para producir e
interpretar distintos tipos de información, como para ampliar el conocimiento sobre
aspectos cuantitativos y espaciales de la realidad, se incluye durante el primer año de
estudios de la carrera de profesor de matemática en la Universidad Pedagógica
Experimental Libertador, la enseñanza de la demostración. Esta competencia
matemática busca que los estudiantes aprecien esta disciplina en su esencia y
estructura, como un área que se encarga de formular, estructurar y sintetizar modelos
generales con los cuales se pueden simular y representar diversos problemas para
solucionarlos.
Las demostraciones consideradas problemas de conclusión conocida, producen en
el estudiante, de acuerdo a lo establecido por Godino, Rivas, Castro y Koni (2008),
una nueva concepción de las matemáticas muy distintas a la tradicional (los
procedimientos que se enseñan pueden ser ejecutados por calculadoras y
ordenadores), donde la matemática no es considerada como un cuerpo acabado de
conocimientos, por el contrario una disciplina dinámica y en constante construcción ,
donde se introducen conceptos tales como: axiomas, teoremas, definiciones, y se
inicia la producción de habilidades de conjeturar, realizar contraejemplos, inducir,
deducir, justificar y generalizar; que se correspondan con las competencias que se
deben desarrollar en los profesores de matemática en formación, con los
requerimientos que la nueva sociedad , el sistema educativo venezolano y la
Universidad Pedagógica Experimental Libertador exigen.
5
En tal sentido, Balacheff (2000), afirma que;
Una demostración matemática es una sucesión coherente de pasos que,acepta como verdadero una premisa llamada hipótesis, la cual permiteasegurar la veracidad de la conclusión llamada tesis. Estos pasos deben estarfundamentados en la aplicación de la reglas de deducción tales como: losaxiomas y teoremas anteriormente demostrados. (P.8).
La matemática ha proporcionado al hombre muchas herramientas para enfrentar
los diferentes problemas de la vida cotidiana. Casi la totalidad de los campos del
conocimiento humano están basados en procedimientos matemáticos para dar
explicación a los procesos y fenómenos de cada especialidad siendo la demostración
matemática de gran importancia en dichos procedimientos.
En tal sentido, Ibañez y Ortega (2006) afirman que
La matemática tiene como base principal la demostración, puesto que estáfundamentada en la exactitud. Sin embargo, a lo largo de los años seevidencia a nivel universitario que los estudiantes presentan dificultades parala comprensión de las demostraciones, ocasionando esto un conjunto dedebilidades en los diferentes cuerpos de álgebra, geometría y cálculo. p(23).
Autores como Martínez (2000) y Balacheff (op. Cit.) mencionan que las formas
de enseñanza que utilizan los docentes y las dificultades que presentan los
estudiantes, son obstáculos comunes en estos cuerpos, específicamente en lo que se
refiere a las demostraciones matemáticas, plantean además que generalmente en los
cuerpos de matemática se presentan las demostraciones como algo ya acabado que
hay que memorizar, y alejado de la realidad.
Por tal razón, es posible que los estudiantes le pierdan el sentido a demostrar, que
desconozcan las definiciones y el cuerpo axiomático y se les dificulte usarlos en
contexto distintos del analítico, en problemas no rutinarios y para modelar situaciones
planteadas en contextos extra matemáticas e interpretar los resultados de los
problemas una vez que estos han sido solucionados.
Balacheff (op. Cit.) entre otros, ha desarrollado interesantes investigaciones
motivados en la problemática de la enseñanza de la matemática, manifestando su
preocupación por las graves dificultades observadas en estudiantes de distintos
niveles educativos relacionados con el desarrollo del pensamiento deductivo;
Señalando que:
6
Este fracaso es persistente imputado a los estudiantes o a la enseñanzaevocando para los primeros, su debilidad o falta de madurez lógica. Pero elcarácter permanente de estas dificultades y su resistencia a numerosastentativas de innovación o modificación de los programas, nos invitan a unestudio más profundo tanto en lo referente a los alumnos, como al sistemadidáctico. (p.3).
Independientemente del enfoque que se quiera conceder al análisis del problema
en cuestión, estudiar a profundidad los fundamentos teóricos conceptuales de la
demostración matemática podría contribuir a superar dichas confrontación, por tal
razón partiendo de texto lo expuesto en los párrafos anteriores surgen las siguientes
interrogantes en relación a la demostración matemática.
Interrogantes de la Investigación
¿Cuáles son los fundamentos epistemológicos de la demostración matemática?
¿Cuáles son las características de los diferentes métodos para demostrar en
matemática?
¿Cuáles son las implicaciones didácticas de la demostración matemática?
Objetivos de la Investigación
Objetivo General
Analizar los fundamentos teóricos conceptuales de la demostración matemática.
Objetivos Específicos
Precisar los fundamentos epistemológicos de la demostración matemática.
Caracterizar los diferentes métodos para demostrar en matemática.
Determinar las implicaciones didácticas de la demostración matemática.
Justificación de la Investigación
La matemática afirma Martínez (op. Cit.) debe ser entendida como una clase de
actividad mental, una construcción social que encierra conjeturas, pruebas y
refutaciones, cuyos resultados están sometidos a cambios y cuya validez, por lo tanto
7
puede ser juzgada con relación a un entorno social y cultural, contrario a la visión
absolutista (platónica) del conocimiento matemático. En tal sentido, el profesor de
matemática en formación debe aprender las características notacionales, conceptuales
y fenomenológicas de la demostración.
Pero cada uno de ellos es miembro y está sujeto, por tanto a las influencias de
distintos contextos institucionales: particularmente no puede evitar participar como
un ciudadano en la vida cotidiana y emplea todos los recursos característicos del
razonamiento informal; es también estudiantes de clases impartidas sobre ciencias
experimentales, donde es inducido a pensar en términos empíricos e inductivos.
Por otro lado, la demostración es un concepto fundamental en un curso de
matemática, pero, es notorio que los estudiantes no le dan importancia que amerita
puesto que presentan muchas dificultades para su comprensión, es por ello, que en
este trabajo de investigación se pretende analizar los fundamentos teóricos
conceptuales de la demostración matemática a través del estudio de sus aspectos
epistemológicos y la caracterización de los diferentes métodos que se utilizan para
demostrar en matemática, pasando por las implicaciones didácticas de la
demostración matemática.
También es importante resaltar que esta investigación pretende ser un aporte
teórico, debido a que existen pocos estudios relacionados con la demostración
matemática, por lo que resulta interesante la creación de una referencia bibliográfica
que sirva de apoyo y motivación al estudiante, donde este pueda observar que lo que
está aprendiendo es de utilidad y que ampliando su conocimiento la comprensión
puede llegar a ser mucho más profunda.
Cabe destacar que por medio de esta investigación se busca que el profesor de la
especialidad de matemática de la Universidad Pedagógica Experimental Libertador,
tenga un cúmulo de información que le sirvan a él y a sus estudiantes para
profundizar en el tema de las demostraciones matemática, además un conjunto de
métodos de demostración que le brindan herramientas que podrían facilitar su
enseñanza y aprendizaje.
8
El conocimiento matemático y la demostración son un aporte metodológico
relevante, debido a que inicien en la práctica rutinaria y común de los docentes y
estudiantes de la Universidad Pedagógica Experimental Libertador, haciéndola más
dinámica y significativa, puesto que todos juntos construyan ideas y demuestran
teoremas. Esto origina la formación de individuos poseedores de una alta capacidad
para razonar y demostrar enunciados matemáticos.
Desde el punto de vista práctico, el analizar los aspectos teóricos conceptuales de
la demostración matemática, podrían incrementar en los docentes de matemática en
formación o no, su conocimiento en la demostración de los diferentes teoremas que
constituyen esta disciplina y sus implicaciones didácticas. Aumentar la capacidad de
demostrar, por consiguiente mejorar, la enseñanza de la matemática.
Para cumplir con los objetivos planteados, se desarrollará una investigación de
tipo Documental – Bibliográfica. De acuerdo con la UPEL (2015), este tipo de
investigación se define como “el estudio de problemas con el propósito de ampliar y
profundizar el conocimiento de su naturaleza, con apoyo, principalmente en trabajos
previos, información y datos divulgados por medio impresos, audiovisuales o
electrónicos” (p. 36), cuyos resultados se reflejan a través del enfoque, criterios,
conceptualizaciones, conclusiones y recomendaciones, derivadas del pensamiento del
investigador.
En este mismo orden de ideas, para Arias (2007), la Investigación documental “es
la consulta de documentos, sin alterar su naturaleza o sentido que aporte información
o rinda cuenta de una realidad o acontecimiento”. (p. 18).
El desarrollo del presente trabajo monográfico, se inicia con la introducción
(planteamiento del tema o problema, objetivos, justificación, metodología y
estructura del trabajo), seguidamente se distribuye en capítulos.
El capítulo I, presenta los aspectos epistemológicos de la demostración
matemática.
En el capítulo II se plantean las características de los diferentes métodos de
demostración matemática.
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Seguidamente en el capítulo III se presentan las implicaciones didácticas de la
demostración matemática.
Finalmente, en el capítulo IV se señalan las conclusiones y recomendaciones.
10
CAPÍTULO I
Fundamentos Epistemológicos de la Demostración Matemática
A lo largo de la historia, el ser humano ha intentado comprobar si ciertos
resultados matemáticos obtenidos en base a la observación y la práctica, son ciertos.
Esto lo ha llevado a fundamentar dicha comprobación mediante una serie de pasos
lógicos, que se conoce en la actualidad como demostración.
En tal sentido, Mora (2014) afirma que una demostración matemática es una serie
de pasos que se realizan siguiendo una lógica válida que se construye a partir de
ciertas estrategias, de acuerdo a lo que establezcan la hipótesis y la tesis, obteniendo
la veracidad de la afirmación planteada.
La demostración matemática afirma Goizueta (2015), es el instrumento con el
que las matemáticas validan, hacen público y comiencen su conocimiento
proposicional dentro de la comunidad matemática. Sin embargo, afirma este autor, a
pesar de su importancia en esta disciplina, la noción de “demostración matemática”
sigue siendo motivo de discusión.
Lo primero que hay que establecer es la demostración matemática como proceso
o tal como la define Camargo (2010) “actividad demostrativa” y la demostración
matemática como producto o “demostración”, como la definan Boero, Douek y
Ferrari (2002).
En este orden de ideas; se tiene que la demostración como producto tiene que ver
con un conjunto de publicaciones que las matemáticas presentan como producto de su
trabajo para ser sometido al escrutinio de la comunidad con el propósito de ser
aceptado como conocimiento matemático, de aquí su relevancia tanto social como
epistemológica. Estos productos afirman Boero, Douek y Ferrari (op. Cit.) presentan
ciertas características que se encuentran ubicadas en un sistema teórico de referencia
y se desarrollan a partir de razonamientos, procedimientos y registros lingüísticos
11
aceptados por la comunidad matemática. Con la intención de validar, a partir de un
conjunto de premisas explicitas, un teorema de esta teoría.
La publicación de estas demostraciones se hace a través de revistas
especializadas, los cuales son revisadas por otros expertos; sin embargo en lo que
respecta a lo que la demostración matemática debe ser, Goizueta (op. Cit.)sostiene
que no hay total acuerdo en el interior de la comunidad matemática.
En tal sentido, Weber (2014) establece que en la práctica matemática no hay un
conjunto de propiedades explicitables que caracterice plenamente la demostración. Es
decir, no se puede definir de acuerdo a la opinión de este autor, la noción de
demostración partiendo de las prácticas de la comunidad matemática. Kirtcher (1984)
sugiere que los estándares para la demostración no pueden hacerse completamente
explícita y que gran parte del conocimiento meta matemático respecto a la
demostración corresponde a conocimientos tácitos de la comunidad matemática.
A pesar de lo descrito anteriormente es importante resaltar el crecimiento de la
comunidad y de los conocimientos matemáticos en los últimos ciento cincuenta años,
sostiene Goizueta (op. Cit.), debido a la capacidad de esta comunidad para utilizar
estos conocimientos para la producción, validación y publicación de demostraciones.
Por otro lado, Camargo (op. Cit.), define “actividad demostrativa”, a las
actividades llevadas a cabo con el propósito de producir una demostración. Entre
estas actividades se pueden mencionar las siguientes: a) Explorar, en la que Polya
(1945), la define como una actividad donde los matemáticos se involucran con la
intención de ubicar un cierto problema de interés matemático en el ámbito de
conocimientos y procedimientos previamente aceptado; b) Conjeturar, Weber (op.
Cit) afirma que es una hipótesis que se avanza y que no tiene aún estatus de teorema;
puede estar en el origen de la exploración, como detonante, o pude ser una de sus
instancias; c) Definir, Goizueta (op. Cit) sostiene que esta actividad implica hacer
explícitas las condiciones necesarias y suficientes que delimitan un concepto o
noción. Esta actividad afirma este autor, es clave dentro de la actividad demostrativa,
pues es necesaria para la creación de contraejemplos, determina los ámbitos de
12
aplicación de teoremas y establece las clases de objetos matemáticos bajo el alcance
de una demostración.
Tomando en cuenta lo descrito anteriormente, se tiene que las actividades
demostrativas son importantes para el proceso de producción de demostraciones, y
que además son procesos complejos tal como lo propone Lakatos (1976), en el cual
en un aula ficticia, durante la conversación de un grupo de estudiantes con su
profesor, muestra como estas actividades (explorar, conjeturar y definir) se suceden
de manera no – lineal para impulsar la investigación, refutar los dichos de otros,
reorientar, convencer y validar (aceptar o rechazar) los productos parciales de la
demostración (ejemplos, contraejemplos, lemas, técnicas y otros).
En tal sentido el trabajo de Lakatos (op. Cit.), contrasta con la linealidad del
estilo deductivista que se exige a las demostraciones para su publicación. Estas
actividades y su no lineal devenir se encuentran como la resolución de problemas, en
el corazón de las matemáticas, y son parte de las situaciones usuales que deben
realizar los profesionales de esta disciplina.
La Demostración en la Historia de las Matemáticas
La evolución de la demostración a lo largo de la historia de las matemáticas se
describe a continuación en tres etapas:
La Demostración Matemática en la Antigüedad.
El uso de las matemáticas en la humanidad, proviene de los egipcios y
babilónicos. Ambas civilizaciones desarrollaron matemáticas, las cuales eran
parecidas en profundidad y distintas en algunos aspectos. Sus conocimientos
numéricos y geométricos fueron valiosos para las civilizaciones posteriores. La
palabra “demostración” no era de relevancia en los tiempos de estas dos grandes
civilizaciones, si querían verificar un resultado lo único que hacían era comprobar
mediante la práctica.
13
A continuación se presentan algunos aportes matemáticos de los egipcios y
babilónicos, de acuerdo a la descripción realizada por Mora (op. Cit):
Babilónicos.
El término babilónico se refiere a toda una serie de pueblos que ocupan,
simultáneamente o de manera sucesiva, la región comprendida entre los ríos Eufrates,
Tigris y sus alrededores, región conocida como Mesopotamia. Tiene sus raíces
alrededor del año 4000 a.C., de lo poco que se sabe de sus matemáticas es que
construyeron casas y templos que decoraron con cerámica artística y mosaicos con
formas geométricas.
En tal sentido, los documentos matemáticos que se conservan de los babilónicos
son tablillas de arcilla blanda en donde se imprimía el texto con una cuña (escritura
cuneiforme) y después se cocían en hornos para endurecerlos.
Egipcios.
Esta civilización nació hacia el año 4000 a.C. a orillas del río Nilo. Las
matemáticas que desarrollaron fueron utilizadas para resolver problemas prácticos,
como el cálculo de áreas, la medición del tiempo y la realización del comercio. La
cantidad de información que se obtiene de las tumbas, los templos y calendarios es
muy limitada ya que se encuentran muy deterioradas y los datos están incompletos.
Así mismo se tiene por ejemplo el papiro de Rhind, el cual cuenta con ochenta y
siete (87) problemas con sus soluciones, la mayoría tratan acerca de la división
equitativa de panes entre un cierto número de hombres o la determinación de la
cantidad de grano necesario para la fabricación de cerveza. Estos problemas
comienzan por lo general con una suma de fracciones unitarios 1 2 , 1 3 , 1 5 ó 1 34y no del tipo 4 5 , 6 8 ó 7 45, de manera tal que sumen 1. Hay que resaltar que se
considera que la geometría nació en egipcio, en donde las inundaciones anuales del
Nilo exigían que se cobrara un impuesto por el tamaño de la propiedad de la tierra.
14
En consecuencia, se puede determinar que en las matemáticas egipcias y
babilónicas, no se encuentran ningún caso de lo que se conoce en la actualidad como
demostración. Se encuentran algunas descripciones detalladas de un procedimiento
aplicado a un caso particular.
Creación Formal del Concepto de Demostración en Matemáticas.
Eudoxo (408 a.C – 335 a.C), fue quien comenzó la gran tradición de la
organización de las matemáticas en teoremas. Sin embargo a pesar del rigor y la
precesión de sus formulaciones matemáticas, no logró demostrar nada. Fueron
Pitágoras y Euclides algunos de los matemáticos que con sus aportes lograron crear el
concepto que hoy se tiene de la demostración en matemáticas.
En tal sentido, se describe a continuación este proceso estudiando los aportes de
Pitágoras y Euclides a la evolución de las demostraciones matemáticas:
Pitágoras (569 a.C – 500 a.C):
Burton (1997), establece que fue un matemático que formó un grupo llamado Los
Pitagóricos, quienes establecieron la importancia y la necesidad de la demostración
en matemática: que los enunciados matemáticos especialmente los geométricos,
deben ser verificados por medio de una demostración rigurosa. También introdujeron
la idea de que las teorías matemáticas (la geometría) podrían ser derivadas de un
pequeño número de Postulados.
Los Pitagóricos descubrieron que no todos los números son proporcionales. Las
fracciones surgen de manera concreta, como proporciones de los lados de los
triángulos de longitud entera y estas fracciones hoy en día se conocen como número
racionales.
Pitágoras demostró su teorema, el cual dice que los catetos , y la hipotenusa
de un triángulo rectángulo están relacionados por la fórmula + =
15
Este teorema tiene más demostraciones que ningún otro, nada más Loomis (1997)
presenta 367 demostraciones diferentes en su libro titulado The Pythagorean
Proposition.
En tal sentido, en Krantz (2007) se puede observar una de las demostraciones
más simples y clásicas, tal como se muestra a continuación:
En la figura N° 2 se puede observar cuatro triángulos rectángulos y un cuadrado
contenidos en un cuadrado más grande. Cada uno de los triángulos tiene catetos
e hipotenusa al igual que el teorema de Pitágoras.
Luego el área del cuadrado grande es , el cual es igual a la suma de las piezas
lo componen, es decir:
= (á ) =(á á 1) + (á á 2) + (á á 3) +(á á 4) + (á ñ );
a
bc
Figura 1. Triángulo Rectángulo
a
a a
ab
b
b
b
c
c
c
c
Figura 2. Demostración del Teorema de Pitágoras
16
= + + + + ( − ) ;
= 2 + ( − 2 + );= + .
Burton (op. Cit.), afirma que también Pitágoras se dio cuenta de que sí =1 = 1 entonces = 2, donde él se preguntó si había un número racional tal
que = 2. Su conclusión fue que no existía un número racional tal que = 2. En
la Grecia Antigua se consideraba que todos los números eran racionales.
Euclides
Euclides de Alejandría fue un matemático griego que vivió sobre el 300 a.C (se
cree que desde el 325 a.C al 265 a.C). De acuerdo a la enciclopedia electrónica
Wikipedia (2016), a Euclides se le atribuye introducir el método axiomático que aún
se usa en la actualidad, empezando con términos indefinidos y axiomas; usando estos
para probar teoremas usando lógica deductiva. Su Libro Los elementos, es uno de los
textos más importantes e influyentes de la historia de las matemáticas. La obra se
divide en XIII Libros o Capítulos que incluyen 132 definiciones, 5 axiomas, 5
postulados y cerca de 500 proposiciones y trata temas de álgebra, geometría
elemental del plano y del espacio y teoría de números.
Este libro sostiene Moreno (1996) fue escrito de acuerdo a la concepción
aristotélica de la ciencia. Como una parte fundamental se incluye, en esta concepción,
la sistematización del conocimiento geométrico a partir de los primeros principios
(axiomas) derivados de un proceso de abstracción del mundo empírico. Este esquema
cambió, afirma el autor, con la obra de Hilbert (1971) sobre los fundamentos de la
geometría, en ella no se tiene en cuenta el carácter de “verdad” de los axiomas. Lo
fundamental es que el conjunto de axiomas sea consistente, es decir, que no se
17
contradigan entre sí. Así como se indica en el siguiente ejemplo extraído de Moreno
(op. Cit.), no debe haber, además del axioma de Unicidad de la paralela por un punto
exterior a una recta otro que afirme, o del cual pudiera deducirse, la existencia de más
de una paralela por un punto exterior a una recta. Los resultados que se deduzcan de
los axiomas, tendrán el carácter de “deducciones” pero no un valor asociados de
verdad.
En consecuencia, de todo lo anterior se tiene que Euclides fue el primero en
organizar sistemáticamente las matemáticas (es decir una gran parte de las
matemáticas que se hicieron antes de él), formular definiciones, axiomas y demostrar
teoremas, uno de sus más grandes logros, el cual ha tenido un efecto muy grande en
el pensamiento matemático. Lo importante de la obra de Euclides titulada Los
Elementos, es que establece la forma en que las matemáticas deben ser estudiadas y
registradas, comienza con varias definiciones e ideas de la geometría y luego enuncia
cinco importantes postulados (o axiomas), de esta rama de la matemática. Una
versión de estos postulados, extraídos de Mora (op. Cit.), es la siguiente:
Postulado 1.
Dados dos puntos es posible trazar un segmento de recta que los une.
Postulado 2.
Cualquier segmento de recta puede prolongarse continuamente para convertirse
en una recta con la misma dirección.
Postulado 3.
Un círculo está determinado por su centro y su radio.
Postulado 4.
Todos los ángulos rectos son iguales.
Postulado 5.
Dada una recta y un punto ajeno a ella, se puede trazar una única recta paralela a
la primera que pase por el punto dado.
18
La Demostración Matemática en la Contemporaneidad (Siglos XX y XXI)
Hasta el siglo XX podría decirse que la demostración matemática fue un proceso
supuestamente claro e indiscutible. Crespo (2005), afirma que las demostraciones
eran el alma de las matemáticas, la forma de justificar la validez de sus afirmaciones,
de comprobar o refutar sus conjeturas. Los principios de la lógica habían sido
sentados por Aristóteles y eran la base sobre la que se construyen los conocimientos
matemáticos. A partir de la toma de conciencia por la aparición de las paradojas a
principios de este siglo, se produjo cierta inseguridad sobre los cuales y cómo son los
principios sólidos.
En tal sentido, Toranzo (1943) sostiene que los logicistas afirmaban que la
matemática era una parte de la lógica y que como tal, puede construirse utilizando
procedimientos lógicos, resumiendo sus ideas de la manera siguiente:
Todo concepto matemático es reducible a conceptos lógicos no existiendo
maneras originales de la matemática para formar conceptos.
Todo teorema matemático puede reducirse a principios lógicos, solamente con
ayuda de procedimientos de fundamentación que pertenecen a la lógica.
Luego la demostración matemática es un caso de la lógica.
En consecuencia, la matemática se reduce a la lógica, y la lógica es el lenguaje
que le da el carácter formal y permite definir objetos y demostrar teoremas a través
de un proceso lógico – deductivo. Crespo (2005), describe el proceso de
demostración matemática desde la perspectiva del logicismo, a partir de la
consideración que las propiedades matemáticas son tautologías y el razonamiento
matemático consiste en reducir la verdad de la propiedad que se va a demostrar a otra
propiedad ya demostrada.
Luego se tiene la posición de las intuicionistas quienes, de acuerdo a lo que
afirma Toranzas (op. Cit.), adoptaron una postura totalmente distinta a la logicista.
Este autor señala que desde el punto de vista conceptual, podrían afirmarse que el
intuicionismo en la matemática tiene su origen en Kant, quien afirmó que la
referencia inmediata entre un conocimiento, y los objetos es la intuición. Si la
intuición se refiere al objeto a través de los sentidos, se llama empírica. Pero si a las
19
sensaciones percibidas se les impone un orden o forma “a priori”, se habla entonces
de intuición pura.
Los seguidores de una vertiente del intuicionismo, denominada neo -
intuicionismo sostiene Crespo (2003), creyeron necesario restringir la aplicación de
la Ley del Tercer Excluido en las demostraciones por el absurdo y aceptaron
únicamente la categoría de objetos matemáticos que podrían ser construidos y cuyas
propiedades podían demostrarse de manera constructiva, por lo que se rechazaba
todas las demostraciones realizadas por reducción al absurdo.
De acuerdo a este autor, algunas culturas como los chinos y los hindúes no
utilizaron en su matemática demostraciones por reducción al absurdo, y que en ambos
casos desconocían e incluso negaban el principio del tercer excluido. Para los griegos
y en consecuencia para occidente, la influencia de Zenón y Parménides fue decisiva
para la aceptación de este principio lógico.
En 1900 David Hilbert, perfeccionó las ideas de Euclides en cuanto a la
axiomatización de la matemática. Los dos objetivos principales de Hilbert consistían
en demostrar que la matemática es consistente y que es completa. En tal sentido,
Boyer (1996) sostiene que es necesario mencionar a Kurt Gödel, cuyo teorema
demostró la futilidad de los intentos de reducir la matemática a un mero sistema
formal, demostrando que cualquier teoría matemática suficientemente poderosa, que
al menos contengan la aritmética, contiene proposiciones que no pueden ser probadas
ni refutadas, es decir contiene afirmaciones que no se puedan demostrar a través de
un simple algoritmo.
Crespo (2005), afirma que la diferencia fundamental entre formalistas y logicistas
consiste en que para los seguidores de Hilbert, la aceptación de los axiomas lógicos
tiene la misma naturaleza que la de los axiomas matemáticos, sólo que estos no son
reducibles a los de la lógica. No se usan otras suposiciones que los contenidos en los
axiomas. La matemática no es posterior a la lógica, no es reducible a ella, sino que
ambas aparecen simultáneamente en el sistema formal.
A los largo del siglo XX, las posiciones formalistas extremas, hacen hincapié en
el aspecto sintáctico de los sistemas axiomáticos, dejando a un lado lo semántico y la
20
intuición. Esto consiste en eliminar de los términos matemáticos su significado y
realizar una definición del sistema formal correspondiente desde la sintaxis, es decir,
a partir de un conjunto de reglas que se definen previamente. Desde esta perspectiva
la demostración se reduce a un procedimiento algorítmico que podría desarrollarse de
forma automatizada.
En 1976 sostiene Crespo (2005), Kenneth Appel y Wolfgang Haken,
matemáticos de la Universidad de Illinois, cambiaron el mundo de las demostraciones
en matemática, al demostrar con ayuda de una computadora una conjetura que había
ocupado a matemáticos más de 100 años. Este problema se denominó el de los cuatro
colores, el cual consistió en demostrar que todo mapa plano puede ser coloreado
usando solo cuatro colores aceptando que dos regiones que tienen frontera no puntual
común no deben tener el mismo color. Ellos redujeron el problema a comprobar que
casi 1800 mapas de tipo esencialmente diferentes se podían colorear con cuatro
colores, se lo hacían ellos, no terminaban en mucho tiempo, el resultado se consiguió
en varios días programando una computadora.
Esta demostración trajo consigo una polémica entre los matemáticos quienes
sostenían que si era válido o no aceptarla, ya que en ella había sido necesaria utilizar
la computadora, y no la razón humana, argumentando que no sólo se produjo un
resultado aparente ya que al repetir el experimento en varias máquinas pudo
cometerse un fallo.
A respecto, Godino , Recio (2001), afirman que la matemática es mucho más que
un mero encadenamiento deductivo formal. Además ella se encuentra relacionada con
un proceso creativo, ligado a la formulación de conjeturas, a la presencia de ejemplos
y contraejemplos. Este pensamiento en la actualidad ha ido cambiando la concepción
de la demostración y el lenguaje para su comunicación, sosteniéndose que el aspecto
deductivo no es lo único importante en la matemática, centrándose más en la
resolución de nuevos problemas, en el acercamiento del cuerpo de conocimiento, en
organización y la fundamentación del sistema de la matemática.
21
CAPÍTULO II
Características de Algunos Métodos Para Demostrar En Matemática
Demostrar un teorema equivale a encontrar un método que permita pasar de las
premisas o hipótesis a determinar la veracidad de la conclusión. No es sencillo
realizar este proceso. Sin embargo es importante tomar en cuenta que los estudiantes
poseen muchos recursos para realizar una demostración, y que algunos de estos
métodos son personales e incluso pueden presentar procedimientos originales que los
ayude a realizar la demostración.
En consecuencia, un estudiante puede demostrar un teorema por un método
propio, pero es relevante que él no se quede en este nivel, sino que explore y mejore
adquiriendo nuevas competencias y modifique los posibles procedimientos erróneos.
En tal sentido, se presentan a continuación algunos métodos para demostrar en
matemática:
Método Directo
Se plantea una proposición, en la forma si H entonces C, donde H se denomina
hipótesis (condición suficiente) y C, se llama tesis o conclusión (condición
necesaria).
Ejemplo 1:
Si estudio entonces apruebo: esto es: que es una condición suficiente para aprobar
es que estudie. Y si estudio necesariamente apruebo.
En la demostración directa, se parte de que H es verdadera, es decir de la verdad
de la hipótesis y por medio de las reglas de inferencias, leyes de la lógica, axiomas,
definiciones o teoremas, se deduce que C o la tesis es verdadera. Un modelo para este
método es el presentado por Sanabria (2010), el cual consiste en:
22
Hipótesis: H
Hay que probar (ℎ ):Supongamos H verdad H se asume verdadera
1) ⟹ (Por teorema, Def, Axioma, …,)
2) ⟹ (Por teorema, Def, Axioma, …,)⋮n) ⟹ (Por teorema, Def, Axioma, …,)
n+1)⟹ (Por teorema, Def, Axioma, …,)∴En tal sentido, se presentan las siguientes demostraciones aplicando el método
directo.
Ejemplo 2:
La suma de dos números enteros pares es siempre un número par.
Demostración
Considérese dos enteros pares e (por hipótesis), como son pares por
definición de número par pueden ser escritos como = 2 y = 2 ,
respectivamente, para enteros y . Luego la suma + = 2 + 2 = 2( + ).Por lo tanto + tiene un factor de 2 y por definición de número par se puede
afirmar que es un número par. En consecuencia de todo lo anterior se tiene que la
suma de dos enteros pares es par.
Para realizar el ejemplo 3 se demostrará el teorema utilizando el estilo de doble
columna, el cual permite organizar el trabajo de manera más fácil, además recordar
que cada vez que se hace una afirmación hay que justificar o dar la razón.
Ejemplo 3.
Sí + = + entonces = , ∀ ∀ ∈ ℝAfirmaciones Razones+ = + Hipótesis
23
⟹− + ( + ) = − + ( + ) Sumando − a ambos
miembros de la igualdad.⟹ (− + ) + = (− + ) + Axioma de la
asociatividad.⟹ 0+ = 0 + Axioma del Opuesto.⟹ = Axioma del Neutro.
Luego + = + ⟹ + ,∀ ∀ ∀ ∈ ℝ.
Método Contradicción
Sanabria (op. Cit.), sostiene que este método sigue el siguiente modelo:
Hipótesis: (se asume verdadera pero no se usa)
Hay que probar (ℎ ):Supongamos por contradicción que es verdadero
Utilizando axiomas, definiciones o teoremas se obtienen las siguientes
deducciones:
es verdadero⟹ es verdadero⟹ es verdadero⋮⟹ es verdadero
es verdadero.
Por lo tanto se concluye que es verdadero.
Pero H se asumió como verdadero, por lo que se llega a una contradicción ⇒ | ⇐por lo tanto lo supuesto ( )es falso es decir C es verdadero.
Ejemplo 4.(Extraído de Sanabria (op. Cit.))
Sea A un conjunto de números reales que cumple los siguientes axiomas o
proposiciones:
Axioma 1) 5 ∈Axioma 2) ∈ ⋏ ∈ ⟹ ( + ) ∈Hay que demostrar los siguientes teoremas:
24
Teorema 1. ∈ ⟹ ∉Demostración
Se utiliza el método de contradicción
Hipótesis: 13 ∉( ) Tesis: 4 ∉Supongamos por contradicción que: 4: ∈Afirmaciones Razones
1. 4 ∈2. ⇒ 4 ∈ ⋏ 4 ∈ Idempotencia.
3. ⇒ 4 + 4 = 8 ∈ Axioma 2.
4. ⇒ 8 ∈ ⋏ 5 ∈ 3 y Axioma 1.
5. 8 + 5 = 13 ∈ Axioma 2.⇒ | ←, contradice la hipótesis.
Por lo tanto lo supuesto es falso, es decir∴ 4 ∉Teorema 2.
Sí (3 − 6) ∉ entonces ( ∉ ∨ −11 ∉ )Demostración
Se utilizará el método de contradicción.
Hipótesis: ( − ) ∉( ) Tesis: ∉ ∨ −11 ∉Supongamos por contradicción que:∈ ∧ −11 ∈Afirmaciones Razones
1. ∈ ∧ −11 ∈2. ⇒ ∈ ∧ ∈ Idempotencia
3. ⇒ ( + ) = 2 ∈ Axioma 2. Reducción de
Términos Semejantes.
4. ⇒ ∈ ∧ 2 ∈ 1 y 3
25
5. ⇒ ( + 2 ) = 3 ∈ Axioma 2. Reducción de
Término semejantes.
6. ⇒ −11 ∈ ∧ 5 ∈ 1 y Axioma 1.
7. ⇒ (−11 + 5) = −6 ∈ Axioma 2.
8. ⇒ 3 ∈ ∧ −6 ∈ 5 y 7.
9. ⇒ (3 − 6) ∈ Axioma 2.→ | ←Contradice la hipótesis, por lo tanto lo supuesto es falso es decir∴ ∉ ∨ −11 ∉
Método Reducción al Absurdo
Este método suele ser confundido con el de contradicción, además es uno de los
más usados para hacer demostraciones matemáticas. Se le atribuye al filósofo griego
Zenón de Elea, alrededor del siglo V a.C. la idea es suponer que la tesis es falsa y la
hipótesis verdadera, y luego a partir de estas suposiciones y haciendo deducciones
matemáticas llegar a una contradicción o algo absurdo, lo cual implica que la
proposición original es necesariamente cierta. La gran diferencia con el método de
contradicción es que en éste se utiliza la hipótesis y la negación de la tesis para llegar
a un absurdo.
Ejemplo 5. (Extraído de Rodríguez, 2005)
Teorema:
Sí m y n son enteros tales que + + = + , entonces n es par.
Demostración
Como n es impar, entonces n2 y n3 son ambos impares, de donde + + , es
impar (ya que la suma de tres impares es impar). Entonces como + = ++ , se tiene que + es impar.
Sin embargo + es siempre par (ya que + = ( + 1) y
necesariamente alguno de los números m o + 1 es par, y el producto de un número
26
entero por otro par es un número par). Luego se ha llegado a una contradicción. De
allí se tiene que n es par.
Ejemplo 6. (Extraído de Bethelmy, Gil, Romero, López y Sáenz, 2001)
Teorema:√2 es número real ⇒ √2 es un número irracional.
Demostración
Supongamos por el método de reducción al absurdo que √2 no es irracional y que√2 es un número real. Luego utilizando el estilo de doble columna se tiene:
Afirmaciones Razones
1. √2 es real Hipótesis
2. √2 no es irracional Suposición
3. √2 es racional de 1 y 2
4. √2 = , donde Definición
n, m son enteros y de número≠ 0 racional.
5. n y m son primos entre sí simplificando la función
6. √2. = de 4 pasando a m a
Multiplicar
7. 2 = elevando al cuadrado
8. es par de 7, definición de par
9. n es par n2 es par⇒ es par
(teorema demostrado)
10. = 2 , ∈ Definición de par
11. 2 = (2 ) Sustituyendo 10 en 7
12. 2 = 4 Potencia
13. = 2 Dividiendo entre 2.
14. es un número par Definición de par.
27
15. m es par Teorema demostrado
16. n y m son primos entre sí 2 es factor común de
n y m; de 9 y 15.⟶ |⟵ contradice el hecho de que n y m son primos entre sí, por lo tanto √2 no
es irracional es falso, luego √2 es irracional.
Método Contraejemplo
Este método se aplica de manera muy particular para demostrar la falsedad de
proposiciones cuya hipótesis está construida mediante un “cuantificador universal”.
Esto es, se aplica para demostrar la falsedad de una proposición que tenga una
conclusión referida para “todos los elementos de un cierto conjunto”.
Ejemplo 7. (Extraído de Rojas, 1997).
Teorema:
Todo número primo es impar.
Demostración
Para demostrar que esta generalización es falsa; debe presentarse un número que
sea primo y no sea impar.
Contraejemplo: 2 es un número primo y no es impar.
Ejemplo 8. (Extraído de Rojas, 1997)
Teorema
Si = entonces =Demostración
Para demostrar que esta generalización es falsa, deben presentarse dos números a
y b tales que = pero a es distinto de b.
Contraejemplo:(−2) = 16 y 2 = 16, se tiene que(−2) = 2 sin embargo −2 ≠ 2
28
Método El Contrarrecíproco
La ley del contrarrecíproco establece que la afirmación ⇒ es equivalente a⇒ , por lo tanto para probar una afirmación de la forma ∧ ⋯∧ ⇒ ,
basta demostrar su contrarrecíproco, es decir ⇒ ( ∧ ∧ ⋯ )Ejemplo 9: (Extraído de Bethelmy, Gil, Romero, López, Saénz, 2001)
Teorema:
Sí n2 es par, entonces n es par.
Demostración
El contrarrecíproco de este teorema es: si n no es par entonces n2 no es par, es
decir:
Sí n es impar entonces n2 es impar
Luego se procede a demostrar este último.
Afirmaciones Razones
1. n es impar Hipótesis
2. = 2 + 1, ∈ Definición de número
entero impar.
3. = (2 + 1) elevando al cuadrado.
4. = 4 + 2(2 ). 1 + 1 cuadrando de la suma.
5. = 2(2 + 2 ) + 1 factorizando.
6. = 2 + 1 haciendo = 2 + 27. es impar. Definición de número
entero impar.
Luego como este teorema es el contrarrecíproco de n2 es par, se tiene que él es
verdadero, por la ley del contrarrecíproco.
Método Disyunción por Casos
Este método se utiliza cuando la hipótesis o una de las hipótesis es una
disyunción de dos o más proposiciones, es decir para demostrar enunciados de la
forma ∨ ∨ ⋯∨ ⇒ .
29
Para demostrar un enunciado por el método de disyunción por casos se procede
de la manera siguiente:
1. Se supone que la hipótesis dada corresponde a una disyunción.
2. A partir de cada una de las proposiciones que integran la disyunción se
obtiene una conclusión parcial por el método directo.⇒⇒⋮⇒3. Se concluye finalmente la disyunción de las conclusiones parciales es
decir que independientemente del caso c es verdadera.
Ejemplo 10 (Extraído de Telles, 2015)
Teorema
Sean , ∈ : ∨ ⇒Demostración
Por disyunción se tienen los siguientes casos:
i. ⇒Por hipótesis a es par, es decir= 2 , para algún ∈ , luego= 2 , lo que indica que
es múltiplo de 2, por lo tanto
es par.
ii. ⇒Por hipótesis b es par, es decir = 2 , para algún ∈ , luego = 2 , lo que
indica que ab es múltiplo de 2, por lo tanto, ab es par.
En consecuencia de (i) y (ii) se tiene que ab es par.
30
Método Inducción Completa
El principio de inducción completa proporciona un método de demostración por
recurrencia, de vastas aplicaciones en matemática. No es constructivo, en el sentido
de generar propiedades, pero hace posible la demostración de éstas cuando son
relativas al conjunto de los números naturales. Éste método se utiliza para demostrar
propiedades relacionadas con conjuntos infinitos numerables, esto es demostrar
propiedades de todos los números naturales o bien de todos los números naturales a
partir de uno de ellos.
Para utilizar el método de inducción completa en la demostración de una lista de
enunciados , , … , para cada = 0, 1, 2, …, se procede:
i. El enunciado p0 es cierto.
ii. Cualquiera que sea ℎ ≥ 0, la validez del enunciado ℎ implica la validez
del enunciado ℎ + 1.En consecuencia de (i) y (ii) se tiene que pn es verdadera ∀ ∈Ejemplo 11. (Extraído de Rojo, 1972).
Teorema 1.1 + 3 + 5 +⋯+ 2 − 1 = , ≥ 1La suma de los n primeros números naturales impares es n2.
Demostración
i. Hay que probar que la propiedad se verifica para = 1.: = 1 ⇒ = 1 luego= 1 = 1Por lo tanto p1 es cierto.
ii. Supongamos que ℎ = ℎ , ℎ ≥ 1 es cierto, luego ℎ = ℎ , ℎ ≥ 1constituye la hipótesis y se debe probar que ℎ + 1 = (ℎ + 1)ℎ = 1 + 3 + 5 +⋯+ (2ℎ − 1) = ℎ , ℎ ≥ 1ℎ + 1 = 1 + 3 + 5 +⋯+ (2ℎ − 1) + (2(ℎ + 1) − 1) = ℎ + (2(ℎ + 1) − 1)ℎℎ + 1 = ℎ + (2ℎ + 1) = ℎ + 2ℎ + 1
31
ℎ + 1 = ℎ + (2ℎ + 1) = ℎ + 2ℎ + 1ℎ + 1 = ℎ + (2ℎ + 1) = (ℎ + 1)En consecuencia de (i) y (ii) se tiene que:1 + 3 + 5 +⋯+ (2 − 1) = , ≥ 1 es verdadera.
Ejemplo 12. (Extraído de Rojo, 1972)
Teorema 2.5 + 7 es par, ∀ ∈Demostración
i. Hay que probar que la propiedad se verifica para = 0.: = 0 ⇒ 5 + 7 = 1 + 1 = 2 es par
Luego es verdadera.
ii. Supongamos que ℎ = 5 + 7 es par.
Luego ℎ = 5 + 7 es par, constituye la hipótesis, luego hay que probarℎ + 1 = 5( ) + 7( ) es par.ℎ = 5 + 7 es parℎ + 1 = 5( ) + 7( )ℎ + 1 = 5( ) − 5 + 7( ) − 7 + 5 + 7 Sumando y restando5 + 7ℎ + 1 = 5 (5 − 1) + 7 (7 − 1) + 5 + 7 Factorizandoℎ + 1 = 4 ∗ 5 + 6 ∗ 7 + 5 + 7ℎ + 1 = 2 ∗ (2 ∗ 5 ) + 2 ∗ (3 ∗ 7 ) + 5 + 7 Definición de par hipótesis
Par Par Par
Luego ℎ + 1 = 5 + 7 es par.
En consecuencia de (i) y (ii) se tiene que 5 + 7 es par.
32
Ejemplo 13. (Extraído de Rojo, 1972)
Teorema (2 − 1) ∗ 3 = ( − 1) ∗ 3 + 3, ∀ ∈i. Hay que probar que la propiedad se verifica para = 1: = 1 ⇒ ( − 1)3 + 3 = 3
= (2 − 1)3 = 3 = (1 − 1) + 3Luego P1 es cierto.
ii. Supongamos que ℎ = (ℎ − 1)3 + 3, ℎ ≥ 1 es cierto, luego ℎ =(ℎ − 1)3 + 3, ℎ ≥ 1 constituye la hipótesis y hay que probar ℎ +1 = ℎ3 + 3.ℎ = (2 − 1)3 = (ℎ − 1)3 + 3
ℎ + 1 = (2 − 1)3 = ℎ + [2(ℎ + 1) − 1]3ℎ + 1 = (2 − 1)3 + (2ℎ + 1)3
ℎ + 1 = (ℎ − 1)3 + 3 + (2ℎ + 1)3 (Sustitución)ℎ + 1 = 3 (ℎ − 1 + 2ℎ + 1) + 3 (Factorización)ℎ + 1 = 3 3ℎ + 3 (Reducción de términos semejantes)ℎ + 1 = ℎ3 + 3 (producto de potencia igual base)
En consecuencia de (i) y (ii) se tiene que(2 − 1)3 = ( − 1)3 + 3
33
Método Constructivo o por Construcción
La demostración por construcción consiste en elaborar un ejemplo concreto con
una propiedad específica para mostrar que algo que posea esa propiedad existe. La
manera más común de como aparecen este tipo de proposiciones es: Existe un
“objeto” con una “cierta propiedad” tal que “algo sucede”
En tal sentido Joseph Liounville (citado por Morales, 2008) probó la existencia
de los números trascendentes construyendo un ejemplo explícito. Durante el proceso
de demostración, si alguna proposición tiene el cuantificador existe, una forma en la
cual se puede proceder para probar que el enunciado es verdadero es mediante este
método. La idea consiste en generar (adivinar, predecir) el objeto deseado. Este
método no es la única técnica disponible para demostrar proposiciones que contienen
el cuantificador “existe”, pero es bastante usado.
Ejemplo 14. (Extraído de Morales, 2008)
Teorema:
Existe un entero : > 2 − 5 + 6 = 0Demostración
Para construir el ejemplo se resuelve la ecuación− 5 + 6 = 0( − 2)( − 3) = 0 (factorizando)= 2 ∨ = 3En consecuencia existe un número entero > 2 tal que− 5 + 6 = 0, el cual es el Tres (3).
Método Exhaustividad
En la demostración por exhaustividad, la conclusión se establece al dividirla en
número finito de casos y se demuestran cada uno por separado. El número de casos a
veces puede ser muy grande. En tal sentido, se puede citar la primera demostración
del teorema de los cuatro colores la cual fue probada a través de este método con
34
1936 casos. La demostración conocida más corta de este teorema se realizó en el
2011 con más de 600 casos.
Por otro lado, Zuñiga (1997) sostiene que el método de demostración matemática
por exhaustividad tiene una gran aplicabilidad en el campo de la geometría ya que es
un procedimiento geométrico de aproximación a un resultado, con el cual el grado de
precisión aumenta en la medida que avanza el cálculo. En tal sentido señala este autor
que el sofista Antifonte (4300 a.C) intentó determinar el área del círculo inscribiendo
en él un mayor número de triángulos, cada vez más pequeños, hasta que su área se
colmara, además describe que uno de los ejemplos más famosos de demostración
realizado por este método, tiene que ver con el hecho por Arquímedes, en donde
inscribió polígonos regulares en una circunferencia de radio unitario para calcularle la
longitud.
Es importante destacar que no existe un tope en el número de casos en la
demostración por exhaustividad. En algunos momentos hay dos o tres casos, pero en
otros pueden haber miles e incluso millones. Los matemáticos prefieren evitar
demostraciones con grandes números de casos debido a que sienten que son pocas
elegantes, de acuerdo a lo que establece Zuñiga (op. Cit), sostiene que dejan una
impresión de que el teorema es solamente cierto por coincidencia y no por algún
principio o conexión subyacente. Sin embargo hay algunos teoremas importantes que
se han demostrado aplicando este método, tales como:
- La demostración que no existe ningún plano proyectivo de orden 10.
- La clasificación de grupos finitos simples.
- La conjetura de Kepler.
Ejemplo 15. (Extraído de Rivero, 2012).
Teorema: Los Cuatro Colores.
En octubre de 1952 un joven matemático, llamado Francis Guthrie, estaba
coloreando un mapa en el que aparecía todos los condados de Inglaterra cuando hizo
el siguiente planteamiento:
35
Demostrar que todo mapa plano puede ser coloreado usando sólo cuatro colores
aceptando que dos regiones que tienen fronteras no puntuales comunes no deben
tener el mismo color. Es decir, el número máximo de colores requeridos era 4. La
condición necesaria para poder colorear el mapa, es que dos regiones vecinas, que
comparten la misma línea de frontera, sean coloreadas de forma diferente. Este
teorema pasó a ocupar un lugar importante entre los famosos problemas de
matemática sin resolver, segundo en importancia después del teorema de Fermat.
En 1976, este teorema fue demostrado por dos matemáticos de la Universidad de
Illinois: Keneth Appel y Wolfgang Haken. La idea consistió en utilizar la Teoría de
Grafos. Cada región se representa con un punto en el plano. Si dos regiones
comparten una misma frontera, entonces los puntos estarán unidos mediante un lado.
De esta forma se puede representar un mapa como un conjunto de puntos y
segmentos rectilíneos en el plano, lo cual es una simplificación considerable. El
problema es que se deben considerar todos los posibles mapas y ello representa
estudiar miles y miles de grafos.
En 1994, se produce otra nueva demostración, simplificando la anterior a 633
casos.
En diciembre de 2005, durante una reunión científica en Francia, el matemático
George Gonthier, despejó las series dudas sobre la demostración usando una técnica
computacional conocida como el “asistente matemático”. Esto es un programa de
computación en donde los matemáticos pueden interactuar con el computador que
verifica la prueba. Rivero (2012) sostiene que esto parece ser la solución más
aceptable por la comunidad matemática.
Sea n un entero positivo. Entonces, al dividir n entre 6, los posibles restos son
0,1,2,3,4 y 5. Así pues se tiene= 6 + , donde p es uno de los posibles restos.
Por lo tanto ( ) = (6 + )(6 + + 1)(6 + + 2)( ) = 6 + ( + 1)( + 2)Para algún entero positivo t.
36
Se prueba la proposición demostrando que para los posibles valores de p, la
expresión ( + 1)( + 2) es un múltiplo de 6. Esto se hace en forma exhaustiva
mediante la siguiente
Tabla 1. Demostración Exhaustiva de la Preposición p(p+1)(p+2) es múltiplo de6.
p p+1 p+2 p(p+1)(p+2)0 1 2 01 2 3 62 3 4 243 4 5 604 5 6 1205 6 7 210
En todos los casos la expresión ( + 1)( + 2) es divisible entre 6. Con esto se
da fin a la demostración.
Método Probabilístico.
Una demostración matemática realizada por el método probabilístico es aquella
en donde se muestra que un ejemplo existe, con seguridad: aplicando la teoría de
probabilidad. Es importante señalar que esto no debe confundirse con que un teorema
es probablemente cierto, este tipo de razonamiento puede ser llamado “argumento de
plausibilidad” y no conlleva a una demostración.
Este método junto con el de construcción es una de las muchas formas de
demostrar teoremas de existencia.
En el blogs pot.com.fismateros (2013) se afirma que el método de demostración
probabilísticos es una generalización del principio del palomar, también conocido
como el principio de Dirichet, el cual dice que si se tienen n palomares, m palomas y
hay más palomas que palomares (es decir > ), entonces si todas las palomas
están en uno de estos palomares, en algún palomar hay más de una paloma.
En la página de internet citada en el párrafo anterior, se hace la demostración de
este teorema a través de la aplicación del método probabilístico de la manera
siguiente: se supone que p representa la probabilidad de que algún palomar contenga
más de una paloma. Ahora sea p1 la probabilidad de que el palomar 1 tenga más de
37
una paloma. p2 la probabilidad de que el palomar 2tenga más de una paloma, …, pn la
probabilidad de que el palomar n tenga más de una paloma. Luego + +⋯+= (la probabilidad de que algún palomar tenga más de una paloma es la suma de
las probabilidades de que el palomar 1 tenga más de una paloma, etc). Si = 0entonces + +⋯+ = = 0 y por lo tanto = 0 para todo 1 ≤ ≤(sabiendo que las probabilidades se encuentran entre los números reales 0 y 1,
incluyendo el 0 que significa que el evento nunca ocurre y el 1 que el evento siempre
ocurre. Pero sí > 0 entonces + +⋯+ > 0 y entonces algún > 0.Entonces dado dicho pi, debe existir al menos una configuración de palomas, en
la que el palomar i-ésimo tiene más de una paloma.
Método No Constructivos.
La demostración no constructiva establece que un objeto matemático con una
cierta propiedad existe sin explicar como tal objeto se puede encontrar. Es muy
frecuente, que tomen forma de demostración por contradicción. En contraste a la
demostración constructiva esta debe establecer que un objeto en particular existe y
hay que proveer el método para encontrarlo.
Ejemplo (Extraído de Tellez, 2015)
Demostrar que existen dos números irracionales a y b tal que ab es un número
racional.
Demostración:
Sea = (√2)√ es irracional y = √2 es irracional.
Luego= ((√2)√ )√ Sustitución= ( 2)√ Potencia de una Potencia= ( 2) Raíz cuadrada.= 2 Potencia de una raíz.
Luego
es racional.
38
CAPÍTULO III
Implicaciones Didácticas de la Demostración Matemática
La didáctica de las matemáticas está renovándose constantemente. Siempre
aparecen nuevos tópicos para determinar si pueden ser utilizados para mejorar los
procesos de enseñanza y aprendizaje de esta disciplina. Dentro de estos componentes
se puede mencionar a las demostraciones, las cuales de acuerdo a lo establecido por
Sanchez y Gil (2014) ocupan un lugar primordial en la historia de las matemáticas
debido a que le ha otorgado a esta ciencia una de sus características principales: el
rigor; sin embargo, señalan estos autores, la conveniencia o no de su utilización
didáctica, ha originado hasta la actualidad un arduo debate entre los investigadores.
En tal sentido, Polya (1945) apoyaba la idea de usar las demostraciones para las
clases de matemáticas, en especial aquellas donde se desarrollaban tópicos de
geometría, con el fin de que el estudiante comprendiera el razonamiento lógico –
riguroso.
Sin embargo Lakatos (1976), para la didáctica de los 70 y 80 sostiene la idea de
considerar inconveniente el trabajar en el aula con demostraciones, ya que su
aplicación dificultaba la construcción del conocimiento matemático, sobre todo en los
estudiantes que no se preparaban para ser matemáticos, razón por la cual no podían
apreciar su belleza y tener una postura positiva a la hora de demostrar un teorema.
Por su parte, Klime (1981) planteó una serie de argumentos que justificaban el
por qué no se le debía dar uso didáctico a las demostraciones matemáticas, entre las
cuales se encuentran:
a) Muchos matemáticos han descubierto teoremas de gran importancia que
luego no han sabido demostrar.
b) Al dar demasiada importancia al rigor, se pueden alejar las matemáticas
de los estudiantes al creer que sus resultados provienen de personas con
un alto nivel intelectual que razonan directamente con teoremas y
axiomas.
39
c) No son, procedimientos útiles para solucionar problemas cotidianos.
d) Los planteamientos deductivos pueden resultar motivadores para cierto
perfil del profesorado, pero son pocos motivadores para la gran mayoría
de los estudiantes.
El debate sobre el uso de la demostración en el aula, aumento en inicios de la
década de los 90 con la entrada en los salones de las nuevas tecnologías y de
demostraciones utilizando este recurso; ya que algunos investigadores eran de la idea
de sustituir razonamiento lógicos-deductivos por trabajos utilizando medios
informáticos que permiten conformar en un gran número de casos una determinada
conjetura.
En el tiempo la utilización de las demostraciones matemáticas en el aula fueron
ganando terreno en el campo de la didáctica, surgiendo posturas que justificaban su
valor en la enseñanza de las matemáticas, así como por ejemplo se pueden citar los
siguientes investigadores: Solow (1987) define la demostración como método para
comunicar una verdad matemática a otra persona que habla el mismo idioma. Para
lograr tal fin elaboró un manual estableciendo un lenguaje común en el que pudieran
comunicarse profesores y estudiantes. Así mismo De Villers (1993) propuso un
modelo en el que dotaba a la demostración de una serie de funciones como la
explicación, la verificación, la síntesis o el descubrimiento permitiendo establecer las
posibilidades que tendría su introducción en la didáctica de las matemáticas.
La demostración es un objeto de notable interés matemático y didáctico, la
tendencia de no utilizarla en las clases de matemáticas fue cambiando, y en la
actualidad el debate se hace acerca de cómo trabajar la demostración en el aula, de
esta forma Hanna (1995) sostiene que ella “es una característica esencial de la
matemática y como tal debería ser un componente clave de la educación matemática,
no debe presentársele a los estudiantes como puro ritual, sino como un procedimiento
con “razón de ser” dentro del aprendizaje”.
En tal sentido, Bravo, Arteaga y Sol (2001) afirma que el trabajo con
demostraciones ayuda a desarrollar procesos como la abstracción, el análisis, la
síntesis, la clasificación, la particularización, la comparación o la generalización;
40
también destacan como ayuda a desarrollar formas de pensamiento extra lógico
(pensamiento creativo, heurístico, especulativo, etc).
Además destacan que el trabajar con las demostraciones ayuda al estudiante a
adquirir un mayor conocimiento del enunciado matemático, lo que permite desarrollar
competencias para identificar con mayor facilidad contextos en los que puede aplicar
el enunciado estudiado.
Por su parte, Martinón (2009) considera que para que los matemáticos formen
intelectualmente al estudiante es imprescindible que se presenten de una forma
racional y no como un misterioso conjunto de reglas de obligatorio cumplimiento,
este autor entiende que la demostración es la cumbre de la argumentación racional y
por eso debe estar inducida explícitamente en los currículos escolares.
Finalmente, si se quiere transformar las clases de matemáticas en un conjunto de
situaciones didácticas dinámicas, donde el estudiante participe activamente,
recopilando información, descubriendo, creando relaciones, discutiendo sus ideas,
planteando conjeturas y construyendo es necesario utilizar adecuadamente las
demostraciones y los procesos argumentativos y de justificación en el aula. Por tal
razón es fundamental que los docentes se formen en las distintas universidades en la
utilización de esta herramienta como estrategia fundamental para enseñar y aprender
las matemáticas.
La Demostración Matemática desde el Punto de Vista de las Concepciones
El origen de muchas de las conductas de un individuo (deseables o no), se
encuentran asociadas a las concepciones de éste, respecto a todo lo que le rodea.
Ahora, bien al usar el término concepción, se corre el riesgo de incurrir en algún tipo
de ambigüedad, por lo que podría ser conveniente precisar algunos puntos para
interpretar su significado.
La palabra concepción generalmente es asociada a términos como pensamiento,
concepto, noción. Los cuales muchas veces se asumen como sinónimos, y éste, en
principio será el sentido que se le da en este estudio. Más específicamente, con los
términos concepción y/o conceptualización, se hará referencia al resultado de los
41
procesos mentales que conducen a un individuo a la identificación personal y
particular de determinado objeto, de su naturaleza, composición, contexto teórico en
el cual se ubica y cuando sea posible, de su imagen o representación.
En tal sentido, Flores (1996), ofrece un significado de los términos creencias y
concepciones, a saber “… vamos a llamar creencias y concepciones a los significados
que atribuyen los docentes y estudiantes a las matemáticas y a la enseñanza y
aprendizaje de esta disciplina”. (p.107)
A juicio de Ibañez y Ortega (op. Cit.), “… uno de los aspectos fundamentales en
el estudio del aprendizaje de la demostración matemática es la propia idea que los
alumnos tienen de lo que significa demostrar” (p.41). En concordancia con ello, en
los párrafos sucesivos se tratará de identificar algunas concepciones que, en torno a
las matemáticas y los objetos matemáticos, se manejan en la actualidad, con la
finalidad de describir el valor didáctico de la demostración en cada uno de ellos.
Aprender matemática, tiene varios significados, todo depende sobre qué
conceptos se eduque al individuo, o cual se considere el método más efectivo para
lograr el aprendizaje. Tradicionalmente el aprendizaje se relacionaba con una simple
acumulación de información (conceptos y habilidades), la cual se tenía que repetir
con un discurso adecuado, cuando así lo requería el docente. Es decir, aprender
matemática significaba identificar los componentes de la disciplina, sus conceptos y
procedimientos.
De esta manera la matemática es considerada como una disciplina rígida y
formal, donde el estudiante adquiere los conocimientos a través de la memorización,
dejando a un lado el razonamiento, el cual constituye un aspecto primordial para
aprender realmente esta disciplina.
Sin embargo, esta concepción ha sido cuestionada debido a que el estudiante
adquiere un pensamiento a crítico, repetidor y pasivo, originando esto, que pierda el
interés por el estudio de esta asignatura.
La concepción de las matemáticas descrita en los párrafos anteriores, se identifica
con la posición formalista de esta disciplina donde la demostración matemática se le
42
atribuía a personas con un alto nivel intelectual, lo que suponía que no eran
procedimientos útiles en la didáctica.
En la actualidad han empezado a surgir otras alternativas acerca de la manera de
cómo lograr aprendizajes significativos de las matemáticas, la cuales tienen que ver
con la construcción del conocimiento, aceptándose un poco más en la comunidad de
investigadores, la utilización de la demostración como una herramienta útil para
producir en los estudiantes procesos como la argumentación, abstracción, análisis,
síntesis, generalización, construcción necesaria para obtener aprendizajes
significativos en esta disciplina. Esta nueva perspectiva se basa en que el aprendizaje
se realiza a través de un proceso dinámico en el aula, donde el estudiante participa
activamente resolviendo problemas de conclusión (demostraciones) que les
permitirán conocer significativamente las definiciones, axiomas, enunciados que
constituyen esta disciplina, para posteriormente identificar con mayor facilidad
contextos en los que pueda aplicar los saberes obtenidos. Santos (1995) afirma:
En esta perspectiva, el estudiante, al desarrollar matemáticas se involucra enlas actividades propias de esta disciplina. En este proceso el estudianterecopila información, descubre o crea relaciones, discute sus ideas, planteaconjeturas y constantemente evalúa y contrasta sus resultados. (p.47).
Cabe destacar, que en el aprendizaje de las matemáticas el trabajo individual que
realiza el estudiante es fundamental para lograr adquirir una sólida formación
matemática en donde se esfuerza en efectuar procesos de argumentación, abstracción,
evaluación e invención, Santos (op. Cit) afirma que:
Hacer matemáticas no es solo aprender los conceptos acerca de los números,resolver ecuaciones, gráficas funciones, etc, sino también desarrollarmatemáticas incluye resolver problemas, demostrar, abstraer, inventar yencontrar sentido de las ideas matemáticas. (p.47).
En tal sentido, Mancera y Carreño (1993) sostienen que al concebir a la
matemática como una manera de “ver al mundo”, donde el individuo participa
activamente en su creación y en el descubrimiento de las relaciones que la
conforman, resulta insignificante únicamente la información de los contenidos, para
poder entenderla y aplicarla, debido a que se hace necesario aprender a establecer
dichas relaciones para poder usarlas en los diferentes campos científicos que se
43
conocen. El planteamiento de enunciados y los intentos por demostrarlos, han sido un
punto de partida fundamental para buscar y descubrir las relaciones existentes entre
los diferentes conceptos matemáticos, haciendo de las matemáticas una disciplina
dinámica, que progresivamente aumenta en conocimientos, y en donde los individuos
que la estudian desarrollan una genialidad, originalidad y sagacidad para abordar
situaciones de la vida cotidiana.
Por su parte Schoenfeld (1985), indica que “para que los estudiantes desarrollen
un sentido consistente con lo que es la matemática, el aula debe ofrecer un medio
similar al que desarrolla un matemático al trabajar en esta disciplina” p.17. En este
contexto, se pueden apreciar que para poder aprender matemática, se hace necesario
contar con un ambiente en el aula, propicio para que el estudiante participe en el
desarrollo o construcción (reconstrucción) de las ideas matemáticas.
Es importante resaltar que la concepción que se tiene de la matemática es muy
variada (docentes, investigadores, autores y otros), pero en general los autores citados
anteriormente coinciden en que es un proceso dinámico donde el individuo
necesariamente tiene que estar comprometido a ejecutar las actividades, que tienen
que ver con esta disciplina, donde al estudiante investiga, demuestra, descubre,
construye, resuelve, discute, argumenta, plantea conjeturas, evalúa, abstrae, todo con
la finalidad de desarrollar sus capacidades cognitivas y metacognitivas que les
permitan abordar problemas de la vida cotidiana.
Por otro lado, es preciso acotar que identificar y explicar concepciones respecto a
la matemática y la demostración no es una tarea fácil; sin embargo, se hará dicha
descripción exponiendo y clasificando algunas teorías propuestas por diversos
autores. Desde una perspectiva filosófica hay que resaltar la confrontación histórica
respecto al para qué de las matemáticas. Por un lado, la visión formalista con la
tendencia a concebir la matemática como producto de sistemas axiomáticos y por
otro, la visión constructivista para la cual la existencia de la matemática no tiene
sentido como ciencia pura e ideal, ajena a la realidad. A pesar de estas concepciones
extremas, no se deben pasar por alto, posiciones más equilibradas. En este sentido,
Sánchez (1997), explica que la matemática ha tenido que, responder a uno u otro
44
propósito, de acuerdo con las necesidades planteadas. Así, a un período de grandes
descubrimientos basados en conjeturas instructivas y argumentos convincentes, le
sigue otro de formulaciones axiomáticas y rigor lógico.
En este orden de ideas, se señala que el enfoque logicista y la abstracción han
permitido una comprensión más profunda de los hechos matemáticos y una mayor
penetración en los resultados, como explica Lakatos (citado por Ramírez, 1999): las
matemáticas “no se desarrollan mediante un monótono aumento del número de
teoremas establecidos, sino mediante la incesante mejora de las conjeturas, gracias a
la especulación y a la crítica, siguiendo la lógica de pruebas y refutaciones”. (p.127).
Ahora bien, dejando de lado la discusión de las concepciones de índole filosófica
acerca de las matemáticas y que ejercen influencia sobre el concepto mismo de
demostración, se enfocará la atención hacia otro tipo de concepciones, identificada de
forma más empírica, a través de la observación y la experiencia educativa.
En este orden ideas, Sánchez (1995) propone cuatro categorías para explicar las
“proposiciones de desarrollo intelectual desde donde los estudiantes coinciden su
mundo” (p.419), los cuales, serán descritas partiendo de la matemática a
continuación:
Dualismo
Consistente en una visión dicotómica, según la cual los estudiantes piensan que
solo hay una respuesta correcta. Expresando en términos de la demostración
matemática esta posición se reflejaría en la concepción de aquellos estudiantes que
creen que únicamente hay un método demostración aceptable para un determinado
teorema.
Multiplicidad
Admitir la posibilidad de encontrar distintas respuestas o puntos de vistas a
determinados planteamientos. Se le atribuye un significado muy particular a esta
categoría, matemáticamente hablando, Sánchez (op. Cit), afirma que toda persona
tiene derecho a desarrollar su propio sistema axiomático, y todos son igualmente
45
buenos ya que, después de todo, las matemáticas son sólo una colección de series de
símbolos sin significado. Como se puede observar, esta categoría se identifica con la
visión formalista de principio de siglo.
Relativismo
Según el cual las distintas posibilidades deben ser comparadas para determinar la
mejor, lo cual dependerá de las características del contexto. Así señala Sánchez (op.
Cit), una demostración de un teorema puede ser superior a otra demostración B del
mismo teorema, debido a la mayor elegancia A. pero igualmente puede considerarse
una tercera demostración, mejor que las anteriores, dependiendo de los aspectos que
deseen ser cubiertos en términos de la enseñanza de un tema específicos.
Compromiso
Induce a la comparación y valoración de las alternativas disponibles, e implica un
acto de responsabilidad, identidad, de iniciativa personal, cuando el estudiante debe
construir su propia respuesta. En el campo de las teorías y de conjeturas temáticas,
ésta posición de desarrollo intelectual impulsaría el enriquecimiento de la teoría,
creando diversidad de respuestas, construcciones y demostraciones matemáticas.
Desde otro punto de vista, surge la clasificación de las concepciones que propone
Radford (1994). De acuerdo con este autor, la idea de para qué y cómo demostrar,
depende de la contextualización que se tenga de la matemática y ésta, a su vez
depende de los objetos matemáticos. Parece lógico suponer, que esta
conceptualización se relaciones con la competencia para reconocer lugares comunes
entre tales objetos, así como posibles analogías entre determinadas propiedades y su
respectiva justificación, lo que, en definitiva, conformará la concepción que asuma
respecto a la demostración y al lugar que esta ocupa como herramienta matemática.
Así desde esta perspectiva, se plantean tres conceptualizaciones acerca de objetos
matemáticos, considerados como más frecuentes entre los estudiantes y se plantea el
tránsito de una u otra, de acuerdo con el nivel de abstracción del pensamiento de
éstos. La primera es una conceptualización fenomenológica en la que la identidad del
46
objeto está asociada a una imagen inmóvil, concreta. En este caso, “el aspecto
conceptual está delimitado por el aspecto figurativo. La figura se reduce a una imagen
concreta, inmóvil” (Radford, 1994, p.26).
Se tiene a continuación una conceptualización en la cual el objeto puede ser
asociado a distintas figuras, pero que mantienen las mismas propiedades generales,
aun cuando la existencia de tal objeto depende de la posibilidad de obtener una figura
o representación. Esta conceptualización es denominada dinámica intuitiva. Así se
tiene que, “el aspecto conceptual se deslinda del aspecto figurativo. La figura
adquiere movilidad” (Radford, 1994, p.27).
Finalmente, se tiene una conceptualización en la que “el razonamiento rebasa a la
figura”. Es posible la existencia de los objetos matemáticos en su sentido abstracto y
las relaciones con otros objetos se deducen de la propia definición y propiedades de
estos, “lo que supone la toma de conciencia de cierto grado de arbitrariedad en la
elección” (Radford, 1994, pp27, 28).
Esta última conceptualización de los objetos matemáticos parece la más afín con
el modelo de demostración… “que está ligada a la concepción que la generalidad es
propia de la matemática: una disciplina abstracta, cuyos teoremas se deducen de
conjuntos establecidos de axiomas, mediante razonamientos estrictamente lógicos”
(Martínez, 2000, p.25).
De esta forma, las conceptualizaciones analizadas por Radford (1994), aparecen
más bien como niveles o estadios que deben ser alcanzados por los estudiantes a lo
largo del proceso del aprendizaje de la matemática, y por ende, de la demostración.
Por su parte, Balacheff (2000), describe cuatro tipos de prueba, las cuales se
constituyen en concepciones respecto a su significado, desde el punto de vista de la
validación matemática, éstas son:
a) El empirismo ingenuo, tiene lugar cuando un estudiante se convence de la
veracidad de la conjetura a partir de la observación empírica de algunos
ejemplos. Constituye una forma de validación rudimentaria y, en extremo
limitada, pero será el primer paso en el camino que conduce a la
generalización.
47
b) La experiencia crucial “… designa una experimentación cuyo resultado
permite escoger entre dos hipótesis siendo verdadera solo una de ellas”.
(p.26). En otras palabras, el estudiante identifica un caso particular, poco
común (una figura geométrica con características poco usuales) y
comprueba que cierta propiedad se cumple en ese caso, de manera que
apuesta por la verdad de la misma. La demostración consiste en encontrar
un ejemplo rebuscado, que sea convincente respecto a la verdad de una
conjetura.
c) El ejemplo genérico implica el inicio de los procesos de argumentación,
en el sentido de que invoca una explicación racional sobre un ejemplo
particular de por qué es verdadera una propiedad matemática. “La
formulación libera las propiedades, características y las estructuras de una
clase, estando siempre ligada a su categoría y a la exhibición de uno de
sus representantes”. (Balacheff, 2000, p.27). la demostración se concibe
como una explicación convincente respecto a la razón con la cual es corta
una propiedad sobre un caso particular.
d) La experiencia mental marca la transición de las pruebas pragmáticas a las
pruebas intelectuales, puesto que implica un proceso de interiorización.
“Las acciones interiorizadas se encuentran en la génesis de las
operaciones que serán necesarias para la elaboración de pruebas de un
nivel más alto”. (p.28).
Puede observase como Balacheff y Radford, interpretan las diferentes
concepciones de prueba en términos de evaluación hacia el pensamiento abstracto y
el discurso formal.
Otra referencia del significado en relación con la concepción a la demostración se
debe a Harel y Sowder (1998). Estos autores distinguen tres esquemas de pruebas
basadas en fuentes externas, esquemas de pruebas empíricas y esquemas de pruebas
analíticas. Interpretando el significado dado por los autores se tiene que esquema de
prueba individual incluye todo lo que para una persona constituye el convencerse a sí
misma y persuadir a otros en relación con un hecho o resultado específico.
48
En un esquema de prueba basado en fuentes externas, la fuente convencimiento
de un estudiante respecto a la verdad de una afirmación, pertenece a su entorno, se
encuentra fuera de sí mismo. Puede tratarse de una persona reconocida como experta
en la materia, un libro de texto, la apariencia convincente de cierta argumentación, y
otros. En este caso, el juicio sobre la demostración se delega a otros.
En un esquema de prueba empírica, la percepción del estudiante, desarrollada a
partir de la experiencia (mediante la construcción de ejemplos), constituye el
fundamento de la persuasión respecto a la veracidad de la conjetura. De nuevo, la
ejemplificación sustituye a la demostración como fuente de conocimiento.
Por último, un esquema de prueba analítica, se caracteriza porque las
justificaciones de los estudiantes tienen que ver con el aspecto general de una
situación e incluyen un razonamiento orientado hacia el establecimiento de una
conjetura general. En este caso, un argumento de tipo general (aun no deductivo)
asume las funciones de una demostración.
Se han presentado los esquemas conceptuales que han parecido más
significativos. No obstante, hay muchas otras clasificaciones y tipos diferentes de
concepciones identificadas por respetados investigadores de la materia. Al respecto,
Ibañez y Ortega (2001) presenta una lista de referentes, entre los que se destacan Beel
(1979), Domolen (1977), Useskin (1982), Van Asch (1993), Muyazaki (2000), entre
otros.
Dificultades en el Aprendizaje de la Demostración
En las últimas décadas muchos investigadores en educación matemática se han
interesado en los procesos cognitivos que intervienen en la demostración, así como
las dificultades que tienen los estudiantes en el proceso de aprendizaje de la
demostración. Al analizar las diferentes posturas de dichos autores, como: Haret y
Sowder (1998), Dreyfus (1999), Ibañez y Ortega (2004), Acuña (1997), Balacheff
(2000), Martínez (2000), Hoyles y Healy (2000), De Villors (1993), entre otros se
plantea la descripción de algunas dificultades que presentan los alumnos cuando
demuestran un teorema matemático.
49
Ausencia de Madurez en el Desarrollo del Pensamiento Deductivo
Esto es, el desarrollo de destrezas por parte de los estudiantes, sería de gran
ayuda para su aprendizaje de la demostración, pero la ausencia de tal entrenamiento
dificulta bastante este proceso.
Esto nos coloca ante una población estudiantil que se inicia en elrazonamiento deductivo a la elaboración de conjeturas o al análisis desituaciones problemáticas, al mismo tiempo que se le introduce a lademostración, por lo que su tratamiento debe hacerse prácticamente al mismotiempo. (Acuña, pp 95,97).
En tal sentido, Giménez (2001) establece que un heurístico puede definirse como
una estrategia de aplicabilidad más allá de un problema concreto, pero específica un
dominio de conocimiento, cuyos efectos, de cara a su solución no están claramente
definidos. Es decir, un heurístico no asegura contundentemente la consecución de la
solución, pero da ideas de un plan a ejecutar, ayudando a captar las relaciones que
existen entre los elementos que intervienen en el problema. Así pues, un estudiante
que luce desorientado en el planteamiento de un razonamiento o de una estrategia
organizada para alcanzar una meta específica en la solución de un problema, podría
estar mostrando deficiencias en la utilización de heurísticos. La solución de un
problema específico requiere, de acuerdo con el nivel de complejidad que plantee, el
desarrollo del pensamiento deductivo y de algunas habilidades en el empleo de
heurísticos, las cuales se convertirán en las principales herramientas a las que pueden
acceder un individuo en la búsqueda de la solución al problema dado.
Es importante destacar que, aun disponiéndose de todo lo anterior, no se puede
garantizar el éxito en la búsqueda de la solución deseada, pero atendiendo al proceso
más que al producto, se espera que individuo pueda proporcionar un procedimiento
coherente con los objetivos y vinculado con los elementos que intervienen en el
problema.
En lo que respecta a la elaboración de demostraciones, el pensamiento deductivo
y los procesos heurísticos se activan en el momento en que el individuo reconoce el
problema y se dispone a resolverlo, solo que, una vez que se ha identificado el
50
camino a seguir, el individuo debe plantear la solución, formalizando un
planteamiento deductivo, en el que, muchas veces opera otro tipo de dificultades,
como las asociadas al dominio del lenguaje matemático.
Puntualizando y delimitando el alcance de las conductas que ponen de manifiesto
las dificultades asociadas a la falta de madurez en el pensamiento deductivo, se puede
mencionar:
i. Formulación de afirmaciones ambiguas e incoherentes, cuya vinculación conel contexto y propósito de la demostración no es suficientemente clara.
ii. Deficiencia al interpretar y elaborar explicaciones en forma de argumentosconvincentes.
iii. Incapacidad de delinear estrategias claras, organizando pasos y relacionandolos distintos elementos que intervienen en el problema.
Noción de Demostración
Harel y Sowder (1998), sostienen que generalmente los estudiantes suelen tener
muchas dificultades para reconocer una demostración matemática. Para estos autores,
una demostración es válida en función de su apariencia, es decir, los alumnos solo
reconocen como demostración aquellos que utilizan el formato de doble columna. Por
su parte, Alvarado y González (2010) señalan que los estudiantes por lo general,
centran su atención más en el significado de la proposición, mientras que les resulta
más difícil fijarse en los aspectos relativos al estado (hipótesis, conclusión, etc.).
Como consecuencia consideran muchas proposiciones matemáticas triviales porque
las juzgan en términos de su valor epistémico (grado de verdad) en lugar juzgarlos
por su valor lógico.
Para Dreyfus (1999), la dificultad que tienen los estudiantes para comprender la
noción de demostración e identificarla reside en que, en los libros ciertos argumentos
más o menos formales se suelen acompañar de algunas justificaciones visuales o
inducciones ingenuos que invitan al estudiante a considerar estas formas de
exposición como demostración.
Incluso, algunos argumentos formales con frecuencia sólo lo son en apariencia y
como señalan Ibañez y Ortega (2004), en esos mismos libros hay una ausencia de
51
intencionalidad didáctica en torno a la demostración. En muy pocas ocasiones se da a
los estudiantes alguna indicación acerca de sí en las matemáticas se distingue
diferentes formas de argumentación y si son todas igualmente aceptables.
Verificación frente a la Demostración
Harel, (2006) señala que muchos estudiantes se enfrentan a las demostraciones
como si se trataran de simples verificaciones, por lo que se limitan a comprobados
usando ejemplos conocidos. Además en el desarrollo de una demostración muestran
un aparato lógico y lingüístico deficiente.
Incomprensión General acerca de la Necesidad de Demostrar
De Villiers (1993) y Hoyles y Healy (2000), afirma que a menudo, un estudiante
se aferra a las relaciones que observa en un dibujo como demostración irrefutable de
una propiedad geométrica. Para esta persona es incomprensible la necesidad de
desarrollar un razonamiento deductivo que conduzca a establecer la veracidad de tal
propiedad geométrica. Martínez (2000), haciendo referencia a una investigación sobre
esquemas personales de demostración matemática, realizada con 101 estudiantes de
educación, sostiene que más de la mitad de los alumnos aceptaban un argumento
empírico – inductivo como demostración matemática válida.
Gímenez (2001), citando experiencias realizadas con futuros profesores de
primaria en formación reseña:
Cuando se pide a futuros profesores de primaria en formación, como setrabajaría con el alumnado para ver que la suma de dos números impares espar, surge la mostración en casos particulares. Ni se percibe la necesidad degeneralización, ni el hecho de indicar que los casos particulares pudieran serazarosos. (p.5).
Fishbein (1982) (citado por Martínez, 2000), en investigación desarrollada sobre
una muestra de 400 estudiantes de secundaria de Tel Aviv, encontró que “... de toda
la población investigada, solo un porcentaje reducido de estudiantes fueron capaces
de aceptar una demostración desarrollada de acuerdo con un razonamiento
estrictamente lógico, sin necesidad de comprobaciones empíricas adicionales” (p-32).
52
Así, plantear la necesidad de demostrar en términos de verificación, convicción,
probablemente se traduce en una consistencia para el estudiante, sobre todo cuando se
tratan de demostrar propiedades cuya veracidad es demasiado evidente. Lo que la ha
convencido de esta realidad no ha sido la demostración propiamente dicha, sino el
proceso mental previo basado en la visualización.
Entre las conductas que se encuentran asociadas a esta dificultad, se tienen:
1. Exhibir ejemplos particulares como argumento para justificar la verdad de
un enunciado.
2. Ausencia de piezas claves en el desarrollo de una demostración, sin las
cuales la obtención de la conclusión luce arbitraria.
Dificultad para Expresarse por medio de un Texto acabado usando
Herramientas Lógicas
Un aspecto a considerar en el análisis de la situación anterior, es que en la
elaboración del texto de la demostración propiamente dicha, el estudiante requiere del
buen uso de ciertos principios de naturaleza lógica que, frecuentemente, no domina.
Como expresa Radford (1994): “en tanto que el alumno no haya desarrollado las
habilidades lógicas que puedan asegurar el éxito del encadenamiento deductivo de las
proposiciones, la heurística (que permite precisamente ir a la caza de las
proposiciones) se ve rotundamente debilitada, al punto de llegar a carecer de sentido”
(p.30)
Un ejemplo de esta situación se puede observar en una experiencia desarrollada
por Radford (1990), en la cual se presentaba, a un grupo de 70 estudiantes de
ingeniería, el enunciado de un teorema, seguido de las proposiciones necesarias para
construir la demostración del mismo. Tales proposiciones dadas. Algunas de las
conclusiones más interesantes obtenidas de esta experiencia son las siguientes:
no es suficiente tener puesto los ojos en la lista de proposiciones elementalesque componen un discurso deductivo con vistas a establecer la veracidad deun hecho para que los individuos puedan organizarlo de manera adecuada.(...) Es necesario una ejercitación de tipo predominante lógica que permita alindividuo elaborar eficazmente sus organización deductivas... Si el individuo
53
no ha alcanzado un nivel lógico mínimo, no es de esperarse mayor éxito enmateria de demostración. (Radford, 1990, p.28).
Uno de los teoremas presentados a los estudiantes es el siguiente: “En todo
triángulo rectángulo, la longitud de la hipotenusa es mayor que cada uno de sus
lados”. Las proposiciones con las cuales se debía reconstruir la demostración se
presentaron en el siguiente orden:
pero + > (i)
por tanto > (ii)
por tanto > (iii)
por el teorema de Pitágoras tenemos que = + (iv)
es decir > (v)
igualmente + > (vi)
sean a la longitud de la hipotenusa y b y c las longitudes de los lados (vii)
es decir > (viii)
Suprimiendo el texto de las preposiciones anteriores y haciendo uso de la
enumeración asignada, se tiene el esquema lógico de la demostración al teorema
planteado:{[( ) → ( )] ∧ [( ) → ( )]} → [( ) ∧ ( )] → [( ) ∧ ( )]Ciertamente, el uso de herramientas de la lógica matemática se encuentra
implícito en el trabajo de redacción de la demostración propiamente dicha, tanto que,
probablemente, sea imposible separar el proceso heurístico de la selección de las
preposiciones del proceso lógico de organizarlas.
Por lo tanto, se puede afirmar que el recurso de la lógica simbólica y la redacción
de un discurso matemático no pueden ser desvinculados. En consecuencia, es
necesario plantear aspectos relacionados con el dominio y comprensión del lenguaje
matemático. Este abarca más que tan solo los conectivos lógicos. En relación con
esto, Ramírez (1999) señala que en la matemática se utiliza un lenguaje muy
particular denominado “lenguaje matemático”. En la medida en que aumenta el grado
54
de formalización las expresiones simbólicas se hacen más universales. Por tal motivo
se enfatiza sobre dos aspectos básicos: en primer lugar, acerca de la existencia de un
lenguaje propio de la matemática, cuya naturaleza es universal. En segundo lugar,
este lenguaje se encuentra ligado al grado de rigor o formalización de las expresiones
matemáticas. Tal como sostiene Vivenes (1998): “se formaliza cuando recurre a
medios simbólicos propios de la matemática o de la lógica, para organizar el discurso
matemático” (p.113).
En tal sentido, Ruesga (2001) profundiza más esta idea al afirmar que el lenguaje
que se utiliza en matemáticas implica el uso de expresiones y leyes de inferencia en
términos de conectivos lógicos. Este autor indica que las investigaciones señalan que
la comprensión que distintos colectivos de estudiantes tienen de algunas de estas
expresiones no coinciden, necesariamente, con la significación con que operan en el
discurso matemático. En efecto, muchas veces, para acceder al significado de una
proposición matemática, se requiere de hacer correctamente la traducción del
lenguaje común. Por tal razón hay que comprender las reglas que operan en la
sintaxis del lenguaje matemático.
Por otro lado, cuando se hace referencia al lenguaje matemático, con frecuencia
se tiene en mente símbolos, tales como los conectivos lógicos y cuantificadores o
reglas de inferencia. Pero el argot matemático cuenta con innumerables expresiones
que, incluso escritas en los idiomas naturales, pueden causar confusión. Por ejemplo
la palabra “sea” se utiliza para indicar la elección de un elemento con ciertas
características, Ruesga (op. Cit.) sostiene que hay evidencias de que su uso genera
cierto tipo de conflictos, sobre todo en estudiantes de los primeros niveles escolares,
por lo que ha sido sometido a numerosos estudios en donde se ha determinado que es
importante agregar las reglas de lecturas de diversos símbolos que se emplean para
establecer relaciones entre objetos matemáticos.
55
CAPÍTULO IV
Reflexiones Finales
A modo de conclusiones se tienen las siguientes reflexiones en torno la
demostración matemática, tales ideas podrían servir de referencia para docentes e
investigadores preocupados por la enseñanza de las matemáticas, de manera que se
correspondan con el proceso de transformación de la Universidad Pedagógica
Experimental Libertador (UPEL) con el fin de producir los cambios institucionales
necesarios para darles respuestas a los distintos problemas que afectan al país.
En tal sentido, es preciso afirmar que muchos de los ciudadanos del mundo y
específicamente los de Venezuela realizan cotidianamente actividades que incluyen
conceptos matemáticos, para afrontar esta realidad es importante que las
Universidades y los institutos de educación media general y primaria desarrollen en
sus estudiantes un conjunto de competencias matemáticas, entre las cuales es
fundamental potenciar la argumentación, es decir, conocer todo lo relacionado con las
demostraciones matemáticas y el valor que tiene el encadenamiento de argumentos en
esta disciplina.
Para lograr estudiantes de educación media y primaria con mayor formación
matemática es necesario que los profesores en formación de esta disciplina adquieran
la habilidad de pensar y razonar matemáticamente donde debe utilizar los números,
sus aplicaciones básicas y los símbolos para producir e interpretar información,
además deben saber expresarse tanto oralmente como por escrito sobre temas de
contenido matemático, construir modelos, formular y resolver problemas; por tal
motivo hay que hacer hincapié en la enseñanza de la demostración matemática en este
nivel, ya que su estudio permite desarrollar en los estudiantes las competencias
señaladas anteriormente.
Ahora bien, hay que tener presente como lo afirma Schoenfeld (1994, p.76) que
la demostración no es algo que se puede separar de las matemáticas, tal y como
56
aparece en los currículos; es un componente especial del hacer, comunicar y registrar
en esta disciplina, la cual según Godino (2001) podría ser incorporada en todos los
niveles de la educación, tomando en cuenta que los procesos de demostración puestas
en práctica en los niveles de educación primaria serán distintos de las realizadas en
secundaria y estos diferentes a su vez de los universitarios. Balacheff (1987) sostiene
que esto ocurre debido a la naturaleza de la racionalidad de los estudiantes y las
condiciones de su evolución, pero también hay que tomar en cuenta el análisis
didáctico de los criterios aceptados de demostración que deben poder evolucionar en
el campo de la escolaridad.
Las demostraciones ocupan una posición central en la actividad matemática, ya
que constituyen el método de validación de las afirmaciones de esta ciencia en
contraposición, de lo que ocurre en la física o en otras disciplina científicas en las que
el método de verificación de las afirmaciones consiste en su contrastación con la
realidad, es el proceso validativo que siguen las matemáticas para justificar las
propiedades de sus teorías. Aunque existen otras opciones, el modelo actual
dominante de demostración, dentro de la institución matemática, es la demostración
lógico – formal.
Sin embargo, a pesar de la importancia de la demostración dentro de la
comunidad matemática, todavía sigue siendo motivo de discusión por quienes
intentan darle una definición definitiva, situación que no ha impedido utilizar los
conocimientos obtenidos de la producción, validación y publicación de
demostraciones en el crecimiento de esta disciplina científica en los últimos ciento
cincuenta años.
Por otro lado, con respecto a la demostración en la historia de las matemáticas, se
puede establecer que en la cultura egipcia y babilónica no se encuentra ningún caso
de demostración. Además Euclides fue el primero en organizar sistemáticamente las
matemáticas (definiciones, axiomas y teoremas), utilizando el método deductivo para
demostrar resultados matemáticos geométricos en su época, el cual ha perdurado
hasta la actualidad. En el siglo XIX y XX algunos matemáticos como Helbert,
Miguel, Baire, Gödel, Birkhoff y otros, ayudaron a la creación de herramientas más
57
sofisticadas, las cuales originaron cambios significativos en la manera de demostrar
resultados matemáticos y el diseño de un conjunto de métodos que permiten pasar de
la hipótesis a la determinación de la veracidad de la tesis de manera más efectiva.
En la actualidad muchos matemáticos están familiarizados con una demostración
que consiste en una secuencia de pasos lógicos, relacionados con un proceso creativo
ligado a la formulación de conjeturas, a la presencia de ejemplos y contraejemplos;
sin embargo, se cree que en el tiempo la concepción de la demostración y su lenguaje
para comunicarla vayan cambiando, en donde el aspecto deductivo no sea lo más
relevante sino la resolución de nuevos problemas, la organización y fundamentación
del sistema de las matemáticas, tomando siempre en cuenta que el propósito de todo
matemático es el mismo, comprobar que un resultado es verdadero y lograr establecer
generalizaciones ciertas en torno a él.
En el capítulo II de la presente investigación se describieron las características de
algunos métodos para demostrar en matemática, no son los únicos pero constituyen
un conjunto básico con sus respectivos ejemplos, además se pueden afirmar que ellos
por sí sólo no permiten que los estudiantes adquieran la comprensión y el dominio de
la demostración, sino que se requiere del desarrollo de una racionalidad y un estado
específico de los conocimientos. Exige “la adhesión” a una problemática que no es la
de la eficacia (exigencia de la práctica) sino la del rigor (exigencia teórica)
(Balacheff, 1987, p.170).
En esta misma idea incide Fischbein (citado por Godino, 2001), cuando afirma
que, para la comprensión de lo que realmente significa una demostración matemática,
la mente debe sufrir una transformación fundamental, que se construye a través de un
proceso progresivo que requiere tiempo. Los métodos de demostración son
herramientas válidas que facilitan el paso de las premisas o hipótesis a determinar la
veracidad de la conclusión, lo cual en gran parte dependerá de la capacidad de
razonamiento de la persona que pretende hacer la demostración.
Otro aspecto que hay que tomar en cuenta es cuando se construye el
conocimiento matemático donde los nuevos resultados dependerían de los anteriores,
es decir que para demostrar una proposición se necesitan considerar proposiciones
58
verdaderas como axiomas o teoremas ya demostrados. Pero al modificar los axiomas
pertenecientes a un sistema axiomático formal se produce otras teorías con otras leyes
donde el concepto de verdad no es absoluto, teniendo como ejemplo el quinto
postulado de Euclides que dio origen a la geometría no euclidiana.
En otro orden de ideas considerando los contenidos desarrollados en los tres
capítulos, se tiene que la demostraciones matemáticas tienen las siguientes funciones:
1. Convencer y eliminar la duda de la comunidad matemática acerca de la
verdad de un enunciado.
2. Explicar por qué un enunciado es verdadero. La demostración conecta e
ilumina los conceptos relevantes al mismo tiempo que explica el
resultado.
3. Genera conocimientos, teorías, leyes, propiedades y principios
matemáticos.
4. Organizar los resultados obtenidos dentro de un sistema axiomático.
5. Descubrir colorarios, conjeturas y vías de abordar otras nuevas
proposiciones.
6. Comunicar el conocimiento matemático obtenido.
También es importante destacar, que la enseñanza de la demostración depende de
la concepción de la matemática que posea la persona que pretenda enseñarla, debido a
que en este proceso se pone en evidencia la idea que subyace en el propósito con el
cual se comunica las maneras de aprender a demostrar; es decir si la matemática es
considerada como una disciplina acabada, rígida y formal, donde el estudiante
adquiere el conocimiento a través de la memorización, dejando a un lado el
razonamiento; la demostración será entendida como una estructura fija inmodificable
que debe ser memorizada tal como aparecen en los libros. En cambio sí se entiende a
la matemática como una disciplina en constante construcción, la demostración
adquirirá un perfil de elemento dinámico y modificable, donde se podría realizar
continuamente argumentaciones matemáticas diversas, utilizar distintos métodos de
demostración y de enfoques en la explicación, comunicación, verificación,
argumentación y sistematización de los resultados obtenidos.
59
Por tal motivo es fundamental que los estudiantes y docentes distingan
claramente entre la matemática, el valor matemático necesarios para resolver
problemas de la vida cotidiana en relación con las argumentaciones; con el propósito
de que identifiquen los distintos niveles existentes entre qué es demostrar; para darle
respuesta en una demostración a interrogantes tales como: ¿Qué se puede dar por
supuesto?, ¿Qué argumentos se pueden usar?, ¿Cuál es el método que mejor se
adapta?. ¿Qué se debe obtener?, ¿Qué grado de detalle es necesario?, ¿Qué es lo que
constituye una justificación?, ¿Para qué sirven los resultados obtenidos?
Finalmente, la demostración debería concebirse en un sentido amplio, hacer
hincapié más en los procesos de razonamientos empleados para determinar los
resultados que en los detalles. Debe estar relacionada con la naturaleza del proceso
enseñanza – aprendizaje de las matemáticas bajo la perspectiva del constructivismo y
los estudiantes deben experimentarlas a los largo de todo el currículo escolar.
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